• Lei de Ampère

Física 3 (EMB5043): Equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas

MATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL

Prof. Diego Alexandre Duarte

Universidade Federal de Santa Catarina | Centro Tecnológico de Joinville

Sumário

• Lei de Gauss

• Campos elétricos

• Campos magnéticos

• Lei de Faraday

• Lei de Ampère

• Corrente de deslocamento

• Equações de Maxwell

• A equação da onda

• Cálculo da velocidade da luz

• Ondas eletromagnéticas

• Natureza

• Produção

• Oscilador de Hertz

Material para estudos

• Capítulo 32 do Halliday volume 3 e capítulo 12 do Moysés volume 3.

• Estudar os problemas da Lista 11 que está disponível

em diegoduarte.paginas.ufsc.br.

Lei de Gauss

CAMPOS ELÉTRICOS

A lei de Gauss no formato integral para campos elétricos é dada por:

que podemos reescrever no formato diferencial com auxílio do teorema da divergência:

S 0

E dA q

ε

⋅ =

∫

( ) ( )

E dA⋅ = ∇⋅E dV ∴ ∇⋅E dV =

∫ ∫ ∫

em que q pode ser escrito em função da densidade de carga confinada dentro da superfície gaussiana fechada que delimita o volume dV:

indicando que a divergência do campo fornece a intensidade de alguma grandeza relacionada com a produção deste campo, i.e., mede a magnitude da fonte:

( ) ( )

V V 0

S

E dA E dV E dV q

ε

⋅ = ∇⋅ ∴ ∇⋅ =

∫ ∫ ∫

( )

0

1

V

V

E dV ρdV

ε

∇⋅ =

∫ ∫

Lei de Gauss

CAMPOS ELÉTRICOS

( )

0

1

V

V

E dV ρdV

ε

∇⋅ =

∫ ∫

E ρ

ε

∇⋅ = ε0

Lei de Gauss

CAMPOS MAGNÉTICOS

A lei de Gauss no formato integral para campos elétricos é dada por:

que podemos reescrever no formato diferencial com auxílio do teorema da divergência:

0

S

B dA⋅ =

∫

( ) ( )

B dA⋅ = ∇⋅B dV ∴ ∇⋅B dV =

∫ ∫ ∫

O fluxo líquido é zero (não existem monopolos magnéticos)

gerando:

( ) ( )

V V

S

B dA⋅ = ∇⋅B dV ∴ ∇⋅B dV =

∫ ∫ ∫

0

∇⋅ = B

Superfície fechada

https://www.imaeneodimio.com.br/fisica/

Lei de Faraday

A lei de Faraday no formato integral é dada por:

que podemos reescrever no formato diferencial com auxílio do teorema do rotacional:

B

C S

E dl B dA

t t

∂Φ ∂

⋅ = − = − ⋅

∂ ∂

∫ ∫

( ) ( ) ^∂

∫ ∫ ∫ ∫

que permite ser escrito como:

( ) ( )

S S

C S

E dl E dA E dA B dA

t

⋅ = ∇× ⋅ ∴ ∇× ⋅ = − ∂ ⋅

∫ ∫ ∫ ∂ ∫

E B

t

∇× = −∂

∂

Lei de Ampère

A lei de Ampère no formato integral é dada por:

que podemos reescrever no formato diferencial com auxílio do teorema do rotacional:

0 C

B dl⋅ = µ i

∫

( ) ( )

∫ ∫ ∫

em que i pode ser escrito em função da densidade de corrente J:

indicando que o rotacional do campo magnético representa a densidade de corrente que atravessa a área delimitada pela curva fechada C.

( ) ( )

S S

C

B dl ⋅ = ∇× ⋅ B dA ∴ ∇× ⋅ B dA = µ i

∫ ∫ ∫

( )

S

S

B dA µ J dA

∇× ⋅ = ⋅

∫ ∫

Lei de Ampère

( )

S

S

B dA µ J dA

∇× ⋅ = ⋅

∫ ∫

B µ

J

∇× =

Lei de Ampère

CORRENTE DE DESLOCAMENTO

Durante o carregamento de um capacitor com vácuo entre as placas é observado que existe um campo magnético circular, assim como o produzido em torno da fiação externa. Porém, entre as placas não existe corrente elétrica; desta forma, como é possível explicar a produção de um campo circular por meio da lei de Ampère? A reposta é: o modelo está incompleto e precisa ser corrigido.

A carga acumulada nas placas é:

o que permite escrever que a variação de fluxo elétrico entre as placas produz uma corrente fictícia i_d:

0

0

q CV AV AE

d

ε ε

= = =

( )

0 0

AE E

q i

t ε ∂ t ε ∂Φt

∂ = = =

∂ ∂ ∂

Lei de Ampère

CORRENTE DE DESLOCAMENTO

chamada de corrente de deslocamento. Assim, a lei de Ampère entre as placas fica escrita como:

No caso geral fica escrita como (equação conhecida como lei de Ampère-Maxwell):

0 0 0

E d

C

B dl i

µ µ ε ∂Φ t

⋅ = =

∫ ∂

Para obter o formato diferencial da lei de Ampère-Maxwell, aplicamos o teorema do rotacional:

0 0 0

E C

B dl i

µ µ ε ∂Φ t

⋅ = +

∫ ∂

0 0 0

B J E

µ µ ε ∂ t

∇× = +

∂

Equações de Maxwell

As quatro equações que estudamos formam as equações de Maxwell:

0

0 E

B

ρ ε

∇⋅ =

∇⋅ =

Lei de Gauss para campos elétricos Lei de Gauss para campos magnéticos

0 0 0

E B

t B J E

µ µ ε t

∇⋅ =

∇× = − ∂

∂

∇× = + ∂

∂

Lei de Faraday

Lei de Ampère-Maxwell

A equação da onda

CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ

Analisando as equações no vácuo, não temos a presença de cargas elétricas nem a presença de corrente de condução. Desta forma, as equações são reduzidas para:

0 0 E

B

B

∇⋅ =

∇⋅ =

∇× = − ∂

Lei de Gauss para campos elétricos Lei de Gauss para campos magnéticos

Por simplicidade, consideraremos que os campos se propagam ao longo da direção z:

0 0

E B

t B E

µ ε t

∇× = − ∂

∂

∇× = ∂

∂

Lei de Faraday

Lei de Ampère-Maxwell

( ) ^{, e} ( ) ^,

E = E z t B = B z t

A equação da onda

CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ

0

0

0

0

ˆ ˆ ˆ

x y z

x y z

E E E

E x y z

B B B

B x y z

x y z

=

=

∂ ∂ ∂

∇⋅ = + + =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∇⋅ = + + =

∂ ∂ ∂

0 0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

y y

x x z

x y z

y y

x x z

x y z

x y z

E B

E B B

y x x y z

x y z z z t t t

E E E

x y z

B E

B E E

y x x y

x y z z z t t

B B B

µ ε

∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

= − = − − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

= − = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ zˆ

t

 

 

 

 

 

A equação da onda

CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ

(i) 0

(ii) 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

(iii)

z

z

y x x y z

E z B z

E E B B B

x y x y z

z z t t t

∂ =

∂

∂ =

∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + = − − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

(iii)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

(iv) ^{y x x y z}

x y x y z

z z t t t

B B E E E

x y x y z

z z µ ε t t t

− + = − − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 

− ∂ + ∂ =  ∂ + ∂ + ∂ 

As equações acima mostram que:

z z 0 z z

E B B E

z z t t

∂ = ∂ = = ∂ = ∂

∂ ∂ ∂ ∂

A equação da onda

CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

y x x y

y x x y

E E B B

x y x y

z z t t

B B E E

x y x y

z z µ ε t t

∂ ∂ ∂ ∂

− + = − −

∂ ∂ ∂ ∂

 

∂ ∂ ∂ ∂ 

− ∂ + ∂ =  ∂ + ∂  o que fornece:

e permite escrever os dois sistemas de equações:

0 0

y x

x y

E B

z t

B E

z µ ε t

∂ ∂

∂ = ∂

∂ ∂

∂ = ∂ ^{0 0}

x y

y x

E B

z t

B E

z µ ε t

∂ ∂

∂ = − ∂

∂ ∂

∂ = − ∂

A equação da onda

CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ

Tomando a derivada no primeiro par de equações em relação ao tempo t e a coordenada z, obtemos:

2 2

2 2 2

0 0

y x

x y

E B

t z t B E

µ ε

∂ ∂

∂ ∂ = ∂

∂ ∂

=

2 2

2 2 2

0 0

y x

x y

E B

z z t

B E

µ ε

∂ ∂

∂ = ∂ ∂

∂ ∂

=

As derivadas mistas são simétricas. Isso significa que:

Logo, obtemos as equações:

2 0 0

z = µ ε z t

∂ ∂ ∂

2 2

y y

E E

t z z t

∂ ∂

∂ ∂ = ∂ ∂

0 0 2

t z = µ ε t

∂ ∂ ∂

A equação da onda

CÁLCULO DA VELOCIDADE DA LUZ

2 2

2^x 0 0 2^x 0

B B

z µ ε t

∂ ∂

− =

∂ ∂ ^e

O resultado acima mostra que existem duas ondas transversais se propagando na mesma direção e com velocidade bem definida. Comparando as equações acima com a equação da onda:

2 2

2^y 0 0 2^y 0

E E

z µ ε t

∂ ∂

− =

∂ ∂

2 2

1

f f

∂ ∂

− =

em que f se comporta como uma onda de velocidade v que se propaga na direção x, obtemos:

que é a velocidade da luz no vácuo. Desta forma, concluímos que a luz é formada por campos elétricos e magnéticos cruzados, o que origina o nome “onda eletromagnética”.

( )( )

8

2 0 0 7

0 0 12

8, 1 s

8542 1

1 1

2, 99792 10 m/

4 10 0

v µ ε v

µ ε π ^{− −}

= ∴ = = =

× × ×

2 2 2

1 0

f f

x v t

∂ ∂

− =

∂ ∂

Ondas eletromagnéticas

NATUREZA

A onda eletromagnética é um fenômeno auto sustentado, pois a variação do campo elétrico cria o campo magnético e a variação do campo magnético cria o campo elétrico.

Na figura abaixo, o campo magnético B oscila no eixo x e o campo elétrico E oscila no eixo y, com ambos se propagando pelo eixo z com velocidade v, conforme demonstramos.

https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/o-que-sao-ondas-eletromagneticas.htm

Ondas eletromagnéticas

PRODUÇÃO

A produção de ondas eletromagnéticas pode ser realizada por meio de uma corrente elétrica oscilando no tempo. O campo magnético circular produz um campo elétrico oscilante que produz outro campo magnético oscilante e assim por diante. Logo, cargas elétricas aceleradas produzem ondas eletromagnéticas!

https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Book%3A_University_Physics_(OpenStax)/Map%3A_University_Physics_II_-

_Thermodynamics_Electricity_and_Magnetism_(OpenStax)/16%3A_Electromagnetic_Waves/16.02%3A_Maxwell%E2%80%99s_Equations_and_Electromagnetic_

Waves

Ondas eletromagnéticas

OSCILADOR DE HERTZ

Um transformador é formado por um circuito primário RLC operando na frequência de ressonância e um circuito secundário RL. Uma corrente alternada é produzida no circuito primário que produz um arco e uma onda eletromagnética no gap. A onda emitida produz um corrente elétrica num circuito próximo. Aqui, temos a produção de uma antena!

Heinrich Hertz

(1857-1894) (1857-1894)

https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/Book%3A_University_Physics_(OpenStax)/Map%3A_University_Physics_II_-

_Thermodynamics_Electricity_and_Magnetism_(OpenStax)/16%3A_Electromagnetic_Waves/16.02%3A_Maxwell%E2%80%99s_Equations_and_Electromagnetic_

Waves

https://pt.wikipedia.org/wiki/Heinrich_

Hertz

Dúvidas?

diego.duarte@ufsc.br Skype: diego_a_d

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