Rigidez e topologia de variedades quase-Einstein com fronteira

Universidade Federal da Paraíba

Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de PôsGraduação em Matemática

Mestrado em Matemática

Rigidez e topologia de variedades quase-Einstein com fronteira

Geovane de Souza Ferreira Júnior

João Pessoa PB

Maio de 2021

Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de PôsGraduação em Matemática

Mestrado em Matemática

Rigidez e topologia de variedades quase-Einstein com fronteira

por

Geovane de Souza Ferreira Júnior

sob a orientação do

Prof. Dr. Márcio Silva Santos

João Pessoa PB

Maio de 2021

F383r Ferreira Júnior, Geovane de Souza.

Rigidez e topologia de variedades quase-Einstein com fronteira / Geovane de Souza Ferreira Júnior. - João Pessoa, 2021.

113 f. : il.

Orientação: Márcio Silva Santos.

Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN.

1. Variedades compactas. 2. Variedades (\lambda, n+m) - Einstein. 3. Resultados de rigidez. I. Santos, Márcio Silva. II. Título.

UFPB/BC CDU 515.163(043) Catalogação na publicação

Seção de Catalogação e Classificação

Elaborado por RUSTON SAMMEVILLE ALEXANDRE MARQUES DA SILVA - CRB-15/0386

O Senhor, com sabedoria, fundou a terra; com inteli- gência preparou os céus.

Provérbios 3:19

Agradecimentos

Primeiro agradeço a DEUS, pois Ele é a razão de todas as coisas.

Expresso meus sinceros agradecimentos ao meu orientador, Prof. Dr. Márcio Silva Santos, pois sei do trabalho duro que foi me orientar. Também agradeço pela paciência em tirar todas minhas dúvidas durante este trabalho, enm, quero agradecer todo conhecimento matemático e não matemático que me concedeu, além da admiração, do carinho e respeito que tenho por ele.

A toda minha família, em especial Neide e Rose (tias), Manoel de Braz (avô), Aparecida (mãe), Zé Dito (padrasto), Jânio (irmão), Geovane (pai) e Wenderson (tio postiço).

Não tenho como deixar de agradecer a meus amigos Marcos Gabriel, Johnatan da Silva Costa ("esse homi") e Renato Bezerra Silvestre ("o serumaninho") que me ajudaram e me deram muitos conselhos durante todo o mestrado. Por isso, agradeço- lhes de modo especial.

Aos professores do Departamento de Matemática da UEPB: Arlandson Matheus, Francisco Sibério, Vilmar Vaz, Tatiana Rocha, Francisco Anderson, muito obrigado por tudo.

Aos meus amigos da UEPB-campus VII: Abmael, Bruno (Salvador), Eugênio, Saullo (Saulinho) e Victor.

Cabe-me ainda agradecer aos professores Alexandre Simas, Márcio Silva Santos, Miriam Pereira, Jacqueline Rojas e Uberlândio Severo, que se dispuseram em ministrar as disciplinas no mestrado. Suas aulas contribuíram de forma signicativa para minha formação.

Quero agradecer a alguns alunos dos cursos de mestrado e doutorado em matemática da Universidade Federal da Paraíba (peço desculpas por não poder citá-los nominal- mente todos eles): Cláudia, Douglas, Fábio, Felipe, Guilherme, Jaislayne (Lany), José Carlos, Lázaro, Lucas, Pádua, Paulo, Raoní, Milena, Victor Gabriel, Victor Vinícius, Rafael, Tony, João Henrrique, Lenin, Maria e Thays Nunes.

Por m, agradeço a CAPES pelo apoio nanceiro durante todo o mestrado, pois sem a bolsa seria estritamente difícil fazer qualquer coisa.

Resumo

Neste trabalho, estudamos as variedades (λ, n+m)−Einstein compactas com bordo, ondem≥1.Baseado em [10], forneceremos caracterizações topológicas para a fronteira e como consequência de uma fórmula tipo Bochner, apresentaremos um resultado do tipo gap para um espaço-tempo uido estático perfeito compacto com curvatura escalar constante positiva. Em seguida, baseado em [12] , estenderemos para a classe das variedades(λ, n+m)−Einstein generalizadas alguns resultados já conhecidos sobre as variedades estáticas compactas com bordo, a saber, os resultados obtidos por Chrúsciel [11] e Boucher, Gibbons e Horowitz [5] . Por m, segundo [9], forneceremos resultados de rigidez sob condições no tensor de Bach.

Palavras-chave: Variedades compactas, Variedades(λ, n+m)−Einstein, Resultados de rigidez.

Abstract

In this work, we study the compact (λ, n+m)−Einstein manifolds with boundary, wherem≥1.Based in [10], we provide topological characterizations for the boundary and as consequence of a Bochner type formula, we provide a gap result for compact space-time perfect static uid with positive constant scalar curvature. In sequel, from [12], we extend for the class of generalized(λ, n+m)−Einstein manifold, some classical results about compact static manifolds wth boundary, namely, due to Chrúsciel [11]

and Boucher, Gibbons and Horowitz [5] . Finally, from [9], we provide some rigidity results for(λ, n+m)−Einstein manifolds under some conditions on Bach tensor.

Keywords: Compact manifolds, (λ, n+m)−Einstein manifold, Rigidity results.

Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 5

1.1 Conexões e curvatura . . . 5 1.2 Tensores e Curvatura de Ricci . . . 7 1.3 Alguns tensores especiais no estudo da curvatura . . . 12 2 Variedades do tipo espaço-tempo uido estático perfeito com bordo 26 2.1 Espaço-tempo uido perfeito com bordo . . . 29 2.2 Variedades Riemannianas em que f

◦

Ric=

◦

∇² f . . . 38 3 Variedades Riemannianas do tipo (λ, n+m)−Einstein 60 3.1 Estimativa de área e classicação topológica do bordo . . . 60 3.2 Algumas desigualdades integrais . . . 73 3.3 Produto Warped e tensor de Weyl harmônico em variedades Einstein . 80 3.3.1 O 3-tensor covariante D . . . 83

Referências Bibliográcas 105

Introdução

Do ponto de vista geométrico, as variedades de Einstein fazem parte de um tipo de classe de variedades com um vasto campo de estudo, onde nesta dissertação desempenha um papel muito importante para toda teoria. Dizemos que uma variedade é de Einstein ou terá métrica de Einstein quando o tensor de Ricci pode ser escrito como um múltiplo de sua métrica. Essas métricas de Einstein aparecem como soluções de equações de campo de Einstein no vácuo com constante cosmológica, a saber,

Ric− 1

2Rg+ Λg = 8πT,

onde Λ é a constante cosmológica e T é o tensor de energia-estresse. Nesse sentido, as variedades de Einstein recebem esse nome porque na teoria da relatividade, que foi um trabalho apresentado por Albert Einstein em 1915, o próprio escreveu essa teoria usando o tensor de Ricci.

Em busca de novos exemplos de espaços com métricas de Einstein compactas, A. L.

Besse ( ver [3]), fez a seguinte pergunta: "existe um produto warped Einstein compacto com função warping não constante?"Foi então que [17], buscando modelos warped de Einstein, obteve uma solução parcial para essa pergunta e também deu origem a seguinte equação das variedades(λ, n+m)−Einstein:

Ric^m_f = Ric +∇²f − 1

mdf ⊗df =λg. (1)

Daí, dizemos que uma variedade Riemanniana completaM é do tipo quase-Einstein ou equivalentemente(λ, n+m)−Einstein, se existe uma função suavef denida sobre M satisfazendo a equação (1), em que o tensor Ric^m_f mencionado é conhecido como o tensorm−Bakry-Emery.

Denição 0.1. Uma variedade Riemanniana (Mⁿ, g) é dita uma variedade (λ, n+ m)−Einstein, ou simplesmente variedade quase-Einstein, se existirem uma função su- ave f em M e uma constante λ tal que satisfaz a equação (1).

Note que se tivermos a funçãof constante na equação (1), então o Ric^m_f se torna o tensor de Ricci na sua versão clássica, além disso, será escrito como um múltiplo de sua

métrica e, portanto, podemos inferir que as variedades(λ, n+m)−Einstein estendem de forma natural as variedades com métricas de Einstein.

É também usual denotar a métrica g de uma variedade que satisfaz as condições da equação (1) como uma métrica m-quase-Einstein. Além disso, se consideramos m sucientemente grande, isto é, se m tender ao innito, a expressão resultante na equação (1) é justamente a associada a Ricci solitons gradiente.

Nosso trabalho, está subdividido em 3 capítulos: O Capítulo 1, tem como objetivo apresentar vários resultados básicos sobre geometria Riemanniana de muita impor- tância para o desenvolvimento da dissertação, inicia-se com a discussão de conexões e curvatura, onde serão vistas noções, denições e resultados que versam sobre tais conteúdos. O capítulo é concluído com a apresentação de alguns tensores especiais no estudo da curvatura.

O Capítulo 2 é dedicado ao trabalho empregado em [10], em que cita os espaços- tempo estáticos, que são soluções globais especiais para as equações de Einstein na relatividade geral. Recordaremos a denição de um espaço-tempo uido estático per- feito:

Denição 0.2. Uma variedade Riemanniana(Mⁿ, g)é dita ser o fator espacial de um espaço-tempo uido estático perfeito, se existem funções suaves f > 0 e ρ em Mⁿ que satisfazem as equações de uido perfeito:

f

◦

Ric=

◦

∇² f (2)

e

∆f =

n−2

2(n−1)R+ n n−1ρ

f, (3)

ondeRic^◦ e ∇^◦2 representam os tensores de Ricci e Hessiana sem traço, respectivamente.

Vale salientar que quandoMⁿ tem bordo ∂M, assumiremos quef⁻¹(0) =∂M.

O principal resultado deste capítulo garante que a bola geodésica na esfera S³ é o único espaço-tempo uido estático perfeito compacto com bordo e curvatura escalar constante positiva tal que a norma do tensor de Einstein|

◦

Ric|encontra-se no intervalo 0,

√ 6

24(R−6ρ)

. Mais precisamente, temos o seguinte resultado:

Corolário 0.1. Seja (M³, g, f, ρ) um espaço-tempo uido estático perfeito compacto com curvatura escalar constante positiva satisfazendo

|Ric^◦ |<

√6

24(R−6ρ),

Finalmente, no Capítulo 3, estudamos os artigos [9, 12] que de certa forma, estudam as variedades(λ, n+m)−Einstein e(λ, n+m)−Einstein generalizadas compactas. Uma variedade(λ, n+m)−Einstein generalizada é uma tripla(Mⁿ, g, f),onde(Mⁿ, g)é uma variedade Riemanniana, possivelmente com bordo, ef uma função suave emM tal que

∇²f = f m

Ric−λg

, (4)

com f >0 no interior de M e f = 0 sobre ∂M. Além disso,λ é uma função suave em M.

Uma observação interessante é que na equação (4) conseguimos inferir a seguinte equação:

f

◦

Ric=m

◦

∇² f.

Assim, fazendom = 1 eλ= _n−1¹

R 2 −ρ

, tem-se que um espaço-tempo uido estático perfeito é um exemplo de uma variedade(λ, n+m)−Einstein generalizada.

Por outro lado, quando m é um inteiro positivo, considerando u = e^−mf , teremos que

∇u=−1

me^−mf ∇f, m

u∇²u=−∇²f + 1

mdf ⊗df.

Portanto, a equação (1) pode ser reescrita como Ric−m

u∇²u=λg, ou ainda,

∇²u= u

m(Ric−λg).

Daí segue que existe uma relação entre as equações (1) e (4). Portanto, uma varie- dade(λ, n+m)−Einstein é um caso particular de uma variedade (λ, n+m)−Einstein generalizada.

A motivação crucial para estudar as variedades(λ, n+m)−Einstein é por causa da estrutura produto warped que as variedades de Einstein têm, pois a partir de algumas observações (ver [14, 17] ), o estudo de variedades produto warped de Einstein se reduz ao estudo da equação que caracteriza as variedades(λ, n+m)−Einstein.

No que se refere a bordo desconexo, no Capítulo 3 graças a [12], temos um resul- tado de classicação para variedades(λ, n+m)−Einstein com curvatura de Ricci não negativa em dimensão n= 3.De forma mais precisa, segue o resultado:

Teorema 0.2. Seja M³ uma variedade do tipo (λ,3 + m)−Einstein compacta com m > 1, com curvatura escalar constante, curvatura de Ricci não negativa e bordo desconexo. Então M³ é isométrica a um cilindro S²×[0, a].

Capítulo 1 Preliminares

Neste capítulo, abordaremos alguns conceitos preliminares e elementares referente a geometria Riemanniana, visamos essencialmente estabelecer uma base adequada para desenvolver os capítulos seguintes.

1.1 Conexões e curvatura

Um campo de vetores diferenciável X em uma variedade diferenciável M é uma aplicações suaveX :M →T M, onde para cada carta x:U ⊂Rⁿ→M ep∈x(U),

X(p) =

n

X

i=1

f_i(p) ∂

∂x_i. Sendo n

∂

∂xi

on

i=1 uma base para T_pM, em que cada f_i é uma função diferenciável f_i : U ⊂Rⁿ →R. Vamos indicar por X(M) o espaço dos campos de vetores diferenciáveis em M e porC^∞(M) o conjunto das funções diferenciáveis denidas emM.

Denição 1.1. Uma conexão am ∇ em uma variedade diferenciável M é uma apli- cação

∇:X(M)×X(M)→X(M)

onde indicamos por (X, Y)−→ ∇^∇ _XY e que tem as seguintes propriedades 1. ∇X(Y +Z) = ∇XY +∇XZ;

2. ∇_X(f Y) =f∇_XY +X(f)Y; 3. ∇_X+Y(Z) =∇_XZ +∇_YZ;

4. ∇_{f X}(Y) =f∇_XY.

para todos os campos X, Y, Z ∈X(M) e f ∈C^∞(M).

Observação 1.1. O símbolo ∇_XY deve ser interpretado como a derivada direcional do campo Y na direção do campo X.

Denição 1.2. O tensor curvatura algébrica de uma variedade Riemanniana M as- sociado a um par X, Y ∈ X(M) é uma aplicação R(X, Y) : X(M) −→ X(M) dada por

R(X, Y)Z =∇_X∇_YZ− ∇_Y∇_XZ− ∇_[X,Y]Z, X, Y, Z ∈X(M), (1.1) em que ∇ é a conexão Riemanniana de M.

A próxima proposição menciona algumas propriedades do tensor curvatura algé- brico. Para mais detalhes veja [8].

Proposição 1.1. Dados X, Y, Z, W ∈X(M), o tensor curvatura algébrica satisfaz as seguintes propriedades

(a) A propriedade de permutação cíclica chamada primeira identidade de Bianchi:

R(X, Y)Z+ R(Y, Z)X+ R(Z, X)Y = 0.

(b) A propriedade de permutação cíclica chamada segunda identidade de Bianchi:

(∇_ZR)(X, Y)W + (∇_XR)(Y, Z)W + (∇_YR)(Z, X)W = 0.

Observação 1.2. Poderíamos escrever a segunda identidade de Bianchi da seguinte forma:

∇R(X, Y, Z, W, T) +∇R(X, Y, W, T, Z) +∇R(X, Y, T, Z, W) = 0 para todoX, Y, T, Z, W ∈X(M).

No decorrer desta dissertação iremos considerar o tensor curvatura de Riemann, que é o tensor dado por

Rm(X, Y, Z, W) =hR(X, Y)W, Zi, X, Y, Z, W ∈X(M). (1.2) As propriedades de simetria pertencentes a este tensor serão úteis e, portanto, serão apresentadas na proposição seguinte (ver [8]):

(a) Rm(X, Y, Z, W) + Rm(Y, W, Z, X) + Rm(W, X, Z, Y) = 0. (b) Rm(X, Y, Z, W) =−Rm(Y, X, Z, W).

(c) Rm(X, Y, Z, W) =−Rm(X, Y, W, Z). (d) Rm(X, Y, Z, W) = Rm(Z, W, X, Y).

1.2 Tensores e Curvatura de Ricci

Denição 1.3. Um tensor, ou k-tensor covariante T é uma aplicação k-linear em C^∞(M) da forma

T :X(M)× · · · ×X(M)

| {z }

kfatores

−→C^∞(M).

Isto quer dizer que, dados X₁,· · · , X_k ∈ X(M), T(X₁,· · · , X_k), é uma aplicação diferenciável emM, e que T é linear em cada argumento, isto é,

T(X₁,· · · , f X+gY,· · ·X_k) = f T(X₁,· · · , X,· · ·X_k) +gT(X₁,· · · , Y,· · ·X_k), para todoX, Y ∈X(M), f, g ∈C^∞(M).

É também comum a notação (1, k)-tensor para denir T(X1,· · · , Xk)(p) ∈R, isto é,

T :T_pM × · · · ×T_pM

| {z }

kfatores

−→R.

Deniremos agora o produto tensorial que é uma noção muito importante.

Denição 1.4. Dados T um k-tenso e S um l-tensor covariantes em uma variedade Riemanniana M, o produto tensorial de T por S

T ⊗S :X(M)× · · · ×X(M)

| {z }

k+lfatores

−→C^∞(M)

é dado por

T ⊗S(X₁,· · · , X_k+l) = T(X₁,· · · , X_k)S(X_k+1,· · · , X_k+l), sendo assim um (k+l)-tensor.

É possível estabelecer em tensores a noção de derivada covariante. A denição é a seguinte:

Denição 1.5. DadoX ∈X(M), a derivada covariante∇_XT dok-tensorT na direção do campo X é o (k+ 1)-tensor denido como

∇_XT(X₁,· · · , X_k) =X(T(X₁,· · · , X_k))−T(∇_XX₁,· · · , X_k)−· · ·−T(X₁,· · · ,∇_XX_k).

Observação 1.3 (Referencial Geodésico). Seja M uma variedade Riemanniana de di- mensãon ep∈M.Então existe uma vizinhançaU ⊂M depe n camposE₁,· · · , E_n ∈ X(U), ortogonais em cada ponto de U, tais que, em p, ∇EiEj(p) = 0. Uma tal família {E_i}ⁿ_i=1, de campos de vetores é chamado de referencial (local) geodésico em p (veja [8], pág 92).

Observação 1.4. Dado um referencialE₁,· · · , E_n, todo campo de vetoresX ∈X(M), pode ser expresso como

X =

n

X

i=1

x_iE_i, em que xi :M →R são funções diferenciáveis.

Denição 1.6. A derivada de uma função f :M −→R na direção de um campo Y é dada por

∇_Yf =Y(f) = h∇f, Yi.

Observação 1.5. SeT é um2-tensor em uma variedade Riemanniana, então podemos associá-lo a um único(1,1)-tensor, que também denotaremos por T, da seguinte forma T(X, Y) = g(T(X), Y) =hT(X), Yi. (1.3) De fato, sendo X = Pn

i=1x_iE_i, Y = Pn

j=1y_jE_j, T(X, Y) = Pn

i,j=1x_iy_jT(E_i, E_j). DenirmosT(X) =

n

X

i,j=1

xiT(Ei, Ek)Ek, teremos

hT(X), Yi = ⁿ

X

i,j=1

x_iT(E_i, E_k)E_k,

n

X

i,j=1

y_jE_j +

=

n

X

i,j,k=1

x_iy_jT(E_i, E_j)hE_k, E_ji

=

n

X

i,j=1

x_iy_jT(E_i, E_j)

= T(X, Y).

a divergência do campoX como

divX =

n

X

i=1

h∇_EiX , E_ii, (1.4) onde {E_i}ⁿ_i=1 é um referencial ortogonal.

Denição 1.8. Seja X = (X1,· · · , Xk−1) ∈ X^k−1(M), a divergência de um k-tensor T é o (k−1)-tensor

(div(T))(X) =

n

X

i=1

∇_EiT(X₁,· · · , X_k−1, E_i). (1.5) A partir de (1.3), para um (1,2)-tensor simétrico e X ∈T_pM, tem-se

(div(T))(X) = div(T(X))−

n

X

i=1

T(E_i,∇_EiX).

(div(T))(X) =

n

X

i=1

∇EiT(X, Ei)

=

n

X

i=1

[E_i(T(X, E_i))−T(∇_EiX, E_i)]

=

n

X

i=1

[E_ig(T(X), E_i)−T(E_i,∇_EiX)]

= div(T(X))−

n

X

i=1

T(E_i,∇_EiX). (1.6) Além do mais a divergência de uma função f multiplicada por um tensorT é dada por

(div(f T))(X) =T(X,∇f) +f(div(T))(X). (1.7) Denição 1.9. SejaM uma variedade Riemanniana. O laplaciano deM é o operador

∆ :C^∞(M)−→C^∞(M) dado por

∆f = div(∇f), f ∈C^∞(M).

Denição 1.10. Seja f ∈C^∞(M). A hessiana da função f, denotada por Hess(f)ou

∇²f, é o 2-tensor simétrico

∇²f(X, Y) = h∇_X∇f, Yi, X, Y ∈X(M).

A regra do tipo produto nos permite reescrever ∇²f como

∇²f(X, Y) =X(Y(f))− ∇XY(f).

De fato,

h∇_X∇f, Yi = Xh∇f, Yi − h∇f,∇_XYi

= X(Y(f))− ∇_XY(f).

Seguiremos com a denição do tensor de Ricci

Denição 1.11. O tensor curvatura de Ricci, ou apenas curvatura de Ricci, é o 2- tensor Ric : X(M)×X(M)−→C^∞(M) dado por

Ric(X, Y) =

n

X

i=1

hR(X, Ei)Ei, Yi. (1.8) Assumiremos que {E_i}ⁿ_i=1 é um referencial geodésico.

O traço do tensor de Ricci em um ponto p ∈M é chamado de curvatura escalar e será denotado por R(p), isto é,R(p) =Pn

i=1Ric(Ei, Ei).

Lema 1.3. Em uma variedade Riemanniana (Mⁿ, g) vale que div(Ric) = 1

2∇R. (1.9)

Demonstração: Tomemos um referencial geodésico{E_i}ⁿ_i=1, em p∈M, e X ∈T_pM. Usando as simetrias do tensor curvatura e a segunda identidade de Bianchi ( lembrando que∇XEi = 0,∀i= 1,· · · , n), temos

h∇R, Xi(p) = X(R)(p)

= X

n

X

i=1

Ric(E_i, E_i)

!

= X

n

X

i,j=1

D

R(E_i, E_j)E_j, E_iE

!

=

n

X

i,j=1

D∇_XR(E_i, E_j)E_j, E_iE .

Daí, n

Usando a segunda Identidade de Bianchi

h∇R, Xi(p) =

n

X

i,j=1

D∇_EiR(E_j, X)E_j− ∇_EjR(X, E_i)E_j, E_iE

=

n

X

i,j=1

D

∇EiR(Ej, X)Ej, Ei

E

−

n

X

i,j=1

D

∇EjR(X, Ei)Ej, Ei

E

= −

n

X

i,j=1

(∇_EiRm)(E_j, X, E_i, E_j)−

n

X

i,j=1

(∇_EjRm)(X, E_i, E_i, E_j).

Agora, trocando ipor j na segunda parcela, segue que:

h∇R, Xi(p) = −

n

X

i,j=1

(∇_EiRm)(E_j, X, E_i, E_j)−

n

X

i,j=1

(∇_EiRm)(X, E_j, E_j, E_i)

=

n

X

i,j=1

(∇_EiRm)(X, E_j, E_i, E_j) +

n

X

i,j=1

(∇_EiRm)(X, E_j, E_i, E_j)

= 2

n

X

i,j=1

(∇EiRm)(X, Ej, Ei, Ej).

ComoRic(X, Y) = tr(Rm(X, E_i, E_i, Y)), ∀X, Y ∈X(M),segue que

h∇R, Xi(p) = 2

n

X

i,j=1

∇_EiRic(X, E_i)

= 2(div(Ric))(X).

Portanto concluímos que(div(Ric))(X) = ¹₂h∇R, Xi(p).

Observação 1.6. É muito comum chamar a Equação (1.9) de segunda identidade de Bianchi contraída duas vezes.

Lema 1.4. Dada uma funçãof ∈C^∞(M), vale a seguinte identidade

div(∇²f) = Ric(∇f) +∇∆f. (1.10)

Demonstração: SejaX ∈X(M), então, pela denição de divergência de tensores,

(div(∇²f))(X) =

n

X

i=1

[E_i∇²f(X, E_i)− ∇²f(∇_EiX, E_i)]

=

n

X

i=1

h

Eih∇X∇f, Eii −D

∇∇_EiX∇f, Ei

Ei

=

n

X

i=1

hh∇_Ei∇_X∇f, E_ii −D

∇_∇EiX∇f, E_iEi

. (1.11)

Uma vez que, R(E_i, X)∇f =∇_Ei∇_X∇f − ∇_X∇_Ei∇f− ∇_[Ei,X]∇f, tem-se h∇_Ei∇_X∇f, E_ii=

R(E_i, X)∇f +∇_X∇_Ei∇f +∇_[Ei,X]∇f, E_i , e, por, Ric(X,∇f) =

n

X

i=1

hR(E_i, X)∇f, E_ii, segue que

n

X

i=1

h∇_Ei∇_X∇f, E_ii = Ric(X,∇f) +

n

X

i=1

∇_X∇_Ei∇f+∇_[Ei,X]∇f, E_i

= Ric(X,∇f) +

n

X

i=1

Xh∇_Ei∇f, E_ii

+

n

X

i=1

∇_[Ei,X]∇f, E_i

= Ric(X,∇f) +X(∆f) +

n

X

i=1

∇[Ei,X]∇f, Ei

.

Note que X(∆f) = X(∇²f(E_i, E_i)) que por sua vez é igual a h∇∆f, Xi. Como

∇_XE_i = 0 =⇒ [E_i, X] =∇_EiX, poisX =

n

X

i=1

x_iE_i. Portanto,

n

X

i=1

∇_[Ei,X]∇f, E_i

=

n

X

i=1

h∇_EiX∇f, E_ii.Finalmente, concluímos de (1.11) que

(div(∇²f))(X) = Ric(X,∇f) +h∇∆f, Xi.

1.3 Alguns tensores especiais no estudo da curvatura

É necessário lembrar de alguns tensores especiais no estudo da curvatura para vari- edades Riemannianas ⁿ com ≥ Antes de apresentar o primeiro tensor vamos

Denição 1.12. Sejams e r tensores simétricos de ordem dois. Denimos o produto de Kulkarni-Nomizu sr como o 4−tensor

(sr)(X, Y, Z, W) = 1 2

s(X, W)r(Y, Z) +s(Y, Z)r(X, W)

−s(X, Z)r(Y, W)−s(Y, W)r(X, Z)

. O primeiro tensor é o tensor de Weyl, que é o 4−tensor W dado por

W =−Rm+ R

(n−1)(n−2)(gg)− 2

n−2(Ricg) (1.12) Também podemos escrever em coordenadas da seguinte forma:

W_ijkl = −R_ijkl+ R

(n−1)(n−2) g_ilg_jk−g_ikg_jl

− 1

n−2 R_ilg_jk +R_jkg_il−R_ikg_jl−R_jlg_ik

, (1.13)

onde R_ijkl são as coordenadas do tensor curvatura de Riemann. O segundo tensor é o tensor de Schouten, dado por

S= 1

n−2 Ric− 1

2(n−1)Rg

. (1.14)

Além disso, tem-se o tensor de Cotton, que é um3−tensor C dado por C(X, Y, Z) = −(n−2)

∇_XS

(Y, Z)− ∇_YS

(X, Z)

(1.15) Em coordenadas temos

C_ijk =∇_iR_jk− ∇_jR_ik− 1 2(n−1)

∇_iRg_jk− ∇_jRg_ik

. (1.16)

Para prosseguir será muito útil lembrar que

Proposição 1.5. Seja (Mⁿ, g) uma variedade Riemanniana com o tensor curvatura de Riemann Rm. Então

g^im∇_mR_ijkl = (divRm)_jkl=∇_kR_jl− ∇_lR_jk (1.17) Demonstração: Pela segunda identidade de Bianchi,

∇mRijkl+∇kRijlm+∇lRijmk = 0.

Tomando o traço em relação aos índicesi e m, tem-se 0 = g^im ∇mRijkl+∇kRijlm+∇lRijmk

= g^im∇_mR_ijkl+g^im∇_kR_ijlm+g^im∇_lR_ijmk

= (divRm)_jkl+g^im∇_kR_ijlm+g^im∇_lR_ijmk. (1.18) Como a métrica é paralela, isto é, a derivada covariante é zero, tem-se a partir de(1.18) que

0 = (divRm)_jkl+∇_k(g^imR_ijlm) +∇_l(g^imR_ijmk)

= (divRm)jkl− ∇k(g^imRjilm) +∇l(g^imRjikm)

= (divRm)_jkl− ∇_kR_jl+∇_lR_jk e, portanto,

(divRm)_jkl=∇_kR_jl− ∇_lR_jk.

Além disso,

∇_i R^◦_ij = ∇_i R_ij− R ng_ij

= 1

2∇_jR− 1 n∇_jR

= n−2 2n ∇_jR ou seja,

∇_i R^◦_ij= n−2

2n ∇_jR. (1.19)

Observação 1.7. A partir da denição do tensor de Schouten podemos escrever o tensor de Weyl da seguinte forma:

W =−R_m−2(Sg). (1.20)

Agora, a partir de (1.20), podemos provar o seguinte:

Lema 1.6. Sejam W e S os tensores de Weyl e Schouten, respectivamente. Então, div(W)

(X, Y, Z) = div(−R_m−2(Sg))(X, Y, Z)

= ∇_XRic

(Y, Z)− ∇_YRic (X, Z)

− div(S)

(X)g(Y, Z)− div(S)

(Y)g(X, Z)

Demonstração: Com efeito, inicialmente vamos mostrar que

2div (Sg)

(X, Y, Z) = (div(S))(X)g(Y, Z)−(div(S))(Y)g(X, Z)

+(∇_XS)(Y, Z)−(∇_YS)(X, Z). (1.21) De fato, note que tomando um referencial ortogonal {E_i}ⁿ_i=1, tem-se que

2div((Sg))(X, Y, Z) = 2

n

X

l=1

∇_El (Sg)

(X, Y, Z, E_l).

Pela denição de divergência de um tensor, temos

2div((Sg))(X, Y, Z) = 2

n

X

l=1

E_l((Sg))(X, Y, Z, E_l)−(Sg)(∇_ElX, Y, Z, E_l)

−(Sg)(X,∇_ElY, Z, E_l)−(Sg)(X, Y,∇_ElZ, E_l) . Agora, pelo produto de Kulkarni-Nomizu,

div((Sg))(X, Y, Z) =

n

X

l=1

E_l

S(X, E_l)g(Y, Z) +S(Y, Z)g(X, E_l)

−S(X, Z)g(Y, E_l)−S(Y, E_l)g(X, Z)

−(Sg)(∇_ElX, Y, Z, E_l)−(Sg)(X,∇_ElY, Z, E_l)

−(Sg)(X, Y,∇_ElZ, E_l)

=

n

X

l=1

E_l(S_il)g_ik+S_ilE_l(g_ik) +E_l(S_jk)g_il+S_jkE_l(g_il)

−El(Sik)gjl−SikEl(gjl)−El(Sjl)gik−SjlEl(gik)

−S∇_lilg_jk −S_jkg∇_lil+S∇_likg_jl+S∇_ljlg_ik−S_ilg∇_ljk

−S∇_ljkg_il+S_ikg∇_ljl+S∇_ljlg_ik−S_ilgj∇_lk−Sj∇_lkg_il +S_ikg_∇ljl+S_∇ljlg_ik−S_ilg_j∇lk−S_j∇lkg_il

+S_ilgi∇_lk

. (1.22)

Onde tem-se S(X, El) = Sil, S(Y, Z) = Sjk, S(∇E_lX, El) = S∇_lil, S(∇E_lX, Y) = S∇_lij, g(Y, Z) = g_jk e assim por diante. Agora note que

−El(Sik)gjl+S∇_likgjl+Si∇_lkgjl = −X

l

∇E_l(S)(X, Z)g(Y, El)

= −X

l

∇_l(S)(X, Z)g(Y, E_l)

= −X

l

∇_YlElS(Y, Z)

= −∇_YS(X, Z). (1.23)

De forma similar, tem-se que

E_l(S_jk)g_il−S_∇ljkg_il−S_j∇lkg_il = X

l

∇_El(S)(Y, Z)g(X, E_l)

= X

l

∇_l(S)(Y, Z)g(X, E_l)

= X

l

∇_XlElS(Y, Z)

= ∇_XS(Y, Z). (1.24)

Por outro lado, temos o seguinte:

E_l(S_il)g_ik−S_∇lilg_ik = X

l

∇_ElS(X, E_l)g(Y, Z)

= (div(S))(X)g(Y, Z). (1.25) De forma análoga, segue que

E_l(S_jl)g_ik+S∇_ljlg_ik = −X

El

∇_ElS(Y, E_l)g(X, Z)

= −(div(S))(Y)g(X, Z). (1.26) Além disso,

E_l(g_jk) =g∇_ljk+gj∇_lk e E_l(g_il) = g∇_lil+gi∇_ll. (1.27) E, portanto, substituindo (1.23), (1.24), (1.25), (1.26) e (1.27) em (1.22) concluímos

que

2div (Sg)

(X, Y, Z) = (div(S))(X)g(Y, Z)−(div(S))(Y)g(X, Z) +(∇_XS)(Y, Z)−(∇_YS)(X, Z),

provando assim a igualdade (1.21). Por m, juntando (1.17) com (1.21), concluímos que

div(−R_m−2(Sg))(X, Y, Z)

= ∇_XRic

(Y, Z)− ∇_YRic (X, Z)

− div(S)

(X)g(Y, Z)− div(S)

(Y)g(X, Z)

− ∇XS

(Y, Z) + ∇YS

(X, Z).

provando assim o Lema (1.6).

Armação 1.1. (div(W))(X, Y, Z) = (n−3) (∇_XS)(Y, Z)−(∇_YS)(X, Z) . Demonstração: Note inicialmente que

(div(S))(X) = 1

n−2 (div(Ric))(X)− 1

2(n−1)(div(Rg))(X)

= 1

n−2 1

2g(∇R, X)− 1

2(n−1)g(∇R, X)

= 1

n−2g(∇R, X). (1.28)

Analogamente, temos

(div(S))(Y) = 1

n−2g(∇R, Y). (1.29)

Por outro lado, comoS = _n−2¹ Ric− _2(n−1)¹ Rg

, segue que (∇_XS)(Y, Z) = 1

n−2

∇_XRic(Y, Z)− 1

2(n−1)g(∇R, X)g(Y, Z) , daí segue que

(∇XRic)(Y, Z) = (n−2)(∇XS)(Y, Z) + 1

2(n−1)g(∇R, X)g(Y, Z). (1.30) De forma similar,

(∇_YRic)(X, Z) = (n−2)(∇_YS)(X, Z) + 1

2(n−1)g(∇R, Y)g(X, Z). (1.31)

Agora, substituindo (1.28) e (1.30) no Lema (1.6), (div(W))(X, Y, Z) = (n−2)(∇_XS)(Y, Z) + 1

2(n−1)g(∇R, X)g(Y, Z) +(div(S))(Y)g(X, Z) + (∇_YS)(X, Z)−(∇_XS)(Y, Z)

−(∇_YRic)(X, Z)− 1

2(n−1)g(∇R, X)g(Y, Z)

= (n−3)(∇XS)(Y, Z) + (div(S))(Y)g(X, Z)

−(∇_YRic)(X, Z) + (∇_YS)(X, Z). (1.32) Por m, substituindo (1.29) e (1.31) em (1.32), segue que

(div(W))(X, Y, Z) = (n−3)(∇_XS)(Y, Z) + 1

(n−2)g(∇R, Y)g(X, Z)

−(n−2)(∇_YS)(X, Z)− 1

2(n−1)g(∇R, Y)g(X, Z) + (∇_YS)(X, Z)

= (n−3)(∇_XS)(Y, Z)−(n−3)(∇_YS)(X, Z)

= (n−3) (∇_XS)(Y, Z)−(∇_YS)(X, Z) . Portanto,

(div(W))(X, Y, Z) = (n−3) (∇_XS)(Y, Z)−(∇_YS)(X, Z) .

Observação 1.8. A partir da armação anterior e de (1.15), tem-se que C =−(n−2)

(n−3)div(W) ou ainda,

C_ijk =−(n−2)

(n−3)∇_lW_ijkl.

O tensor de Cotton é anti-simétrico nas duas primeiras entradas, ou seja, temos queC_ijk =−C_jik.Com efeito, basta apenas observar que

C_ijk = ∇_iR_jk− ∇_jR_ik− 1 2(n−1)

∇_iRg_jk− ∇_jRg_ik

= −

∇jRik− ∇iRjk − 1

2(n−1) ∇jRgik

−∇iRgjk

= −C_jil.

Além disso, note que C_ijk tem traço nulo tomando quaisquer dois índices, isto é, g^ijCijk =g^ikCijk =g^jkCijk= 0. (1.33) O próximo resultado é clássico no que se refere as variedades compactas, desem- penha um lugar de destaque nesta dissertação e nessa teoria. Nos próximos capítulos iremos recorrer a estas considerações.

Teorema 1.7 (Teorema da Divergência). Seja M uma variedade Riemanniana com- pacta e X um campo em (Mⁿ, g), então

Z

M

div(X)dV = Z

∂M

hX , νidS,

em que ν é um vetor normal unitário com orientação externa sobre ∂M.

Observação 1.9. Em particular, se M é compacta com ∂M =∅, então tem-se Z

M

div(X)dV = 0

Denição 1.13. Dados dois n-tensores T, F, o produto interno de Hilbert-Schmidt entre eles é denido como

hT, Fi= tr(T^∗F) =

n

X

i=1

hT(E_i), F(E_i)i, (1.34) em que T^∗ é o operador adjunto de T. Isto posto, se T é um operador autoadjunto, então

|T|² =

n

X

i=1

hT(E_i), T(E_i)i,

e dene-se assim a norma de Hilbert-Schmidt, | · |, para operadores.

Uma outra forma de denir o produto interno de Hilbert-Schmidt é

hT, Fi=

n

X

i,j=1

hT(E_i), E_ji hF(E_i), E_ji,

porém, sabe-se que

n

X

j=1

hF(E_i), E_jiE_j =F(E_i) e, deste modo, as duas denições equi- valem.

Lema 1.8. Seja T um(0,2)−tensor em uma variedade Riemanniana (Mⁿ, g), então div(T(φZ)) =φ(divT)(Z) +φh∇Z , Ti+T(∇φ, Z),

para todoZ ∈X(M) e qualquer função diferenciável φ em M.

Demonstração: Usando a linearidade do tensor T, temos para φ ∈ C^∞(M) e Z ∈ X(M) que

T(φZ) =φT(Z).

Aplicando o divergente em ambos os lados, segue

div(T(φZ)) = div(φT(Z)). (1.35) Agora, utilizando a denição de divergência aφT(Z), podemos inferir que

div(φT(Z)) =φ(divT)(Z) +φh∇Z , Ti+T(∇φ, Z), (1.36) portanto, de (1.35), podemos concluir em (1.36) que

div(T(φZ)) =φ(divT)(Z) +φh∇Z , Ti+T(∇φ, Z).

Recorrendo ao Lema 1.8 temos a seguinte fórmula de divergência.

Lema 1.9. Seja(Mⁿ, g)uma variedade Riemanniana e f uma função diferenciável tal quef é positiva satisfazendo f

◦

Ric=

◦

∇² f. Então, div

1 f

∇|∇f|²− 2∆f n ∇f

= 2f|Ric^◦ |²+n−2

n h∇R , ∇fi (1.37) Demonstração: Para provar este lema, vamos tomar T =

◦

Ric, Z = ∇f e φ = 1 no Lema 1.8 para obter

div(

◦

Ric (∇f)) = div

◦

Ric (∇f) +h

◦

Ric, ∇²fi, pois Ric (∇φ,^◦ ∇f) = hRic^◦ ∇φ , ∇fi = 0. Agora, como f

◦

Ric=

◦

∇² f e divRic = ¹₂∇R, temos

div(

◦

Ric (∇f)) = f|Ric^◦ |²+n−2

2n h∇R , ∇fi. (1.38) De fato, por deniçãoRic (∇f) = Ric(∇f^◦ )− ^R_n∇f, assim tem-se

div(

◦

Ric (∇f)) = div(Ric(∇f))−divR n∇f

. (1.39)

Sabemos que

div(Ric(∇f)) = (div(Ric))(∇f) +hRic,∇²fi

= 1

2h∇R , ∇fi+hRic,∇²fi,

div(Ric(∇f)) = 1

2h∇R , ∇fi+hRic, ∇²fi. (1.40) e mais,

divR n∇f

= 1

nh∇R , ∇fi+ R

n∆f. (1.41)

Além disso, observe que f|Ric^◦ |² =hf Ric^◦ ,

◦

Rici=h

◦

∇²f ,

◦

Rici=hRic, ∇²fi − R n∆f.

Uma vez que h

◦

∇²f ,

◦

Rici =

∇²f − ∆f

n g , Ric− R ng

=

∇²f , Ric

− ∆f

n g , Ric

−

∇²f , R ng

+

∆f n g , R

ng

. Onde pelo produto interno de Hilbert-Schimidt,

∆f

n g , Ric

=

∇²f , R ng

= ∆f

n g , R ng

= R n∆f.

Agora, substituindo (1.40) e (1.41) em (1.39), segue div(

◦

Ric (∇f)) = 1

2h∇R , ∇fi+hRic, ∇²fi − 1

nh∇R , ∇fi − R n∆f

= h∇²f , Rici −R

n∆f +n−2

2n h∇R , ∇fi.

Como f|

◦

Ric|² =hRic, ∇²fi − ^R_n∆f, tem-se div(

◦

Ric (∇f)) = f|Ric^◦ |²+n−2

2n h∇R , ∇fi.

Por conseguinte,

f

◦

Ric (∇f) =

◦

∇f (∇f) =⇒f

◦

Ric (∇f) = ∇²f(∇f)− ∇f

n ∇f. (1.42)

Ora,

∇|∇f|² =

n

X

i=1

E_ih∇f , ∇fi

= 2

n

X

i=1

h∇Ei∇f , ∇fi

= 2

n

X

i=1

∇²f(∇f, E_i)

= 2∇²f(∇f).

Logo,

∇²f(∇f) = 1

2∇|∇f|². (1.43) Substituindo (1.43) em (1.42), temos

2

◦

Ric (∇f) = 1 f

∇|∇²f| − 2∇f n ∇f

. (1.44)

Finalmente, combinando (1.38) e (1.44), temos

div 1

f

∇|∇²f| − 2∇f n ∇f

= 2div(Ric(∇f))

= 2

f|Ric|² +n−2

2n h∇R , ∇fi

= 2f|Ric|²+n−2

n h∇R , ∇fi.

Isto é,

div 1

f

∇|∇f|²−2∆f n ∇f

= 2f|

◦

Ric|²+ n−2

n h∇R , ∇fi.

Lema 1.10 (Fórmula de Bochner). Para uma função f ∈C^∞(M), temos 1

2∆|∇f|² =h∇∆f , ∇fi+|∇²f|²+ Ric(∇f,∇f).

Demonstração: Sabemos que a divergência de um tensorT aplicado ao campo ∇f é div(T(∇f)) =hT , ∇²fi+ (divT)(∇f).

Agora, tomeT =∇²f, assim

div(∇²f(∇f)) =|∇²f|²+ (div∇²f)(∇f). (1.45) Além disso,

(div∇²f)(∇f) =h∇∆f , ∇fi+ Ric(∇f,∇f). (1.46) Como por (1.43) temos que∇²f(∇f) = ¹₂∇|∇f|², segue que

div(∇²f(∇f)) = 1

2∆|∇|². (1.47)

Substituindo (1.46) e (1.47) em (1.45) 1

2∆|∇f|² =h∇∆f , ∇fi+|∇²f|²+ Ric(∇f,∇f).

O próximo resultado é uma identidade integral muito clássica na geometria no que se refere ao estudo de variedades compactas. Ao longo do texto, esse fato será retomado.

Teorema 1.11. (Identidade de Pohozaev-Schoen) SeX é um campo vetorial na vari- edade compacta (Mⁿ, g) e T é um 2-tensor covariante, então

Z

M

(div(T))(X)dV =−1 2

Z

M

hT,L_XgidV + Z

∂M

T(X, ν)dS, em que ν é um vetor normal com orientação externa sobre ∂M.

Demonstração: Observe que temosL_X(E_i, E_j) = h∇_EiX, E_ji+

∇_EjX, E_i , daí

hT,L_Xgi=

n

X

i,j=1

T(E_i, E_j)· L_X(E_i, E_j)

=

n

X

i,j=1

[h∇_EiX, T(E_i)i+

∇_EjX, T(E_j) ]

= 2

n

X

i,j=1

h∇_EiX, T(E_i)i.

Agora, pelo teorema da divergência, inferimos que Z

M

div(T(X))dV = Z

∂M

hT(X), νidS.

Da denição de divergência de um tensor e das considerações anteriores, segue que Z

M

div(T(X))dV = Z

M

(div(T))(X)dV + 1 2

Z

M

hT,LXgidV.

Portanto, concluímos que Z

M

(div(T))(X)dV =−1 2

Z

M

hT,L_XgidV + Z

∂M

T(X, ν)dS.

Finalizamos este capítulo enunciando alguns resultados clássicos que desempenham um papel muito importante nesta dissertação.

Teorema 1.12 (Obata). SejaMⁿ uma variedade Riemanniana completa de dimensão n>2 admitindo uma função suave f não constante tal que

∇∇f =−c²f g,

onde c é constante positiva, então M é isométrica a esfera Sⁿ.

Teorema 1.13 (Desigualdade de Okumura). Seja ai, i = 1,2,· · · , n números reais.

Se Pn

i=1a_i = 0 e Pn

i=1a²_i =k², (k>0 constante), então tem-se que

− n−2

pn(n−1)k³ 6

n

X

i=1

a³_i 6 n−2 pn(n−1)k³. Demonstração: Para mais detalhes veja [20].

O próximo resultado garante que em toda variedade Riemanniana completa M com curvatura de Ricci positiva tem-se que M é compacta. Além disso, temos uma estimativa para o diâmetro deM.

Teorema 1.14 (Bonnet-Myers). Seja Mⁿ uma variedade Riemanniana completa. Su- ponhamos que a curvatura de Ricci de M satisfaz

Ric> 1 r² >0.

EntãoM é compacta e o diâmetro diam(M)6πr.

Demonstração: O leitor pode consultar a referência [8].

Nosso próximo resultado é um teorema que compara volumes, a saber, o teorema de comparação de volume de Bishop-Gromov.

Teorema 1.15 (Bishop-Gromov). Se(Mⁿ, g)é uma variedade Riemanniana completa com Ric>(n−1)k e p∈M. Então a função

r 7→ vol(B_r(p)) vol(B_r^k) .

É uma função não-crescente que tende para 1 quando r → 0, onde B_r^k é uma bola geodésica de raio r em M_kⁿ. Em particular,

vol(Br(p))6vol(B^k_r).

Demonstração: Podemos ver em [4].

Capítulo 2

Variedades do tipo espaço-tempo uido estático perfeito com bordo

Neste capítulo, vamos abordar o artigo [10] que trata dos espaços-tempo uido está- tico perfeito com bordo, que de certa forma, faz generalizações das variedades estáticas.

Em geral, vamos denotar os espaços-tempo uido estático perfeito por (Mⁿ, g, f, ρ), onde (Mⁿ, g)é uma variedade Riemanniana com f eρ sendo funções suaves denidas em M.A denição de um espaço-tempo uido estático perfeito é a seguinte:

Denição 2.1. Uma variedade Riemanniana(Mⁿ, g)é dita ser o fator espacial de um espaço-tempo uido estático perfeito, se existem funções suaves f > 0 e ρ em Mⁿ que satisfazem as equações de uido perfeito:

f

◦

Ric=

◦

∇² f (2.1)

e

∆f =

n−2

2(n−1)R+ n n−1ρ

f, (2.2)

ondeRic^◦ e ∇^◦2 representam os tensores de Ricci e hessiana sem traço, respectivamente.

Vamos salientar, que na denição anterior quandoMⁿtem bordo∂M,assumiremos quef⁻¹(0) =∂M.

Um exemplo clássico de um espaço-tempo uido estático perfeito com bordo não- vazio e conexo é o hemisférioSⁿ+(c).Mais adiante , no capítulo seguinte, vamos mostrar que o hemisfério é um exemplo mais geral que um espaço-tempo uido estático perfeito com bordo conexo.

Observação 2.1. Quando ρ=−^R em uma variedade compacta do tipo espaço-tempo

De fato, substituindo ρ=−^R₂ em (2.2) temos

∆f + R

n−1f = 0.

Portanto, segue de (2.1) que

−(∆f)g+∇²f−fRic = 0, que é a equação que caracteriza uma variedade estática.

Agora vamos mostrar que as equações estáticas em uma variedade do tipo espaço- tempo uido estático perfeito não implica, necessariamente, que a curvatura escalar é constante.

Proposição 2.1. Seja (Mⁿ, g, f, ρ) um espaço-tempo uido estático perfeito. Então a curvatura escalar R de Mⁿ é constante se, e somente se,

1 2R+ρ

f é constante.

Demonstração: Sabemos do capítulo anterior que div∇²f = Ric(∇f) + ∆∇f, e usando esse fato com∇^◦2 f =∇²f − ^∆f_n g, segue

div

◦

∇² f = div∇²f −div∆f n g

= Ric(∇f) +∇∆f− 1 n∇∆f

= n−1

n ∇∆f + Ric(∇f), isto é,

div

◦

∇² f = n−1

n ∇∆f+ Ric(∇f). (2.3)

Por outro lado, sabemos que div(Ric) = ¹₂∇R e sendo Ric= Ric^◦ − ^R_ng,tem-se div(f

◦

Ric) = div

fRic−fR ng

= div(fRic)− 1

ndiv(f Rg)

= Ric(∇f) +fdiv(Ric)−R

n∇f− f n∇R,

poisdiv(f T) =T(∇f) +fdiv(T),para um tensor T e f uma função diferenciável em

M.Logo,

div(f

◦

Ric) = Ric(∇f) +fdiv(Ric)− R

n∇f −f n∇R

= Ric(∇f) +f1

2∇R− f

n∇R− R n∇f

= Ric(∇f) + n−2

2n f∇R− R n∇f, donde

div(f

◦

Ric) = Ric(∇f) + n−2

2n f∇R− R

n∇f. (2.4)

Agora, levando em conta (2.1), podemos combinar (2.3) e (2.4) para termos Ric(∇f) + n−2

2n f∇R− R

n∇f = n−1

n ∇∆f+ Ric(∇f), ou ainda,

n−2

2n f∇R− R

n∇f = n−1

n ∇∆f. (2.5)

Combinando as expressões (2.5) e (2.2), tem-se n−2

2n f∇R = n−1

n ∇∆f +R n∇f

= n−1 n

n−2

2(n−1)∇(Rf) + n−1 n

n

(n−1)∇(ρf) + R n∇f.

Dai segue que n−2

2n f∇R= n−2

2n f∇R+n−2

2n R∇f+f∇ρ+ρ∇f +R n∇f.

Cancelando os termos simétricos temos n−2

2n R∇f +f∇ρ+ρ∇f+ R

n∇f = 0.

A partir disso, temos n−2

2n + 1 n

R∇f+f∇ρ+ρ∇f = 0 ⇒ 1

2R∇f+f∇ρ+ρ∇f = 0

⇒ ∇ 1

2R+ρ f

−1

2f∇R = 0, isto é,

∇ 1

2R+ρ f

−1

2f∇R= 0.

1

2f∇R=∇ 1

2R+ρ f

.

Mostrando assim que a curvatura escalar R é constante se, e somente se,

1

2R+ρ f também o é.

2.1 Espaço-tempo uido perfeito com bordo

Nesta seção vamos estudar os espaços-tempo uido estático perfeito com bordo∂M.

Nesse sentido, iremos recorrer ao seguinte fato: sejam M uma variedade diferenciável e f : M → R uma função suave em M com a ∈ img(f) um valor regular de f, então S:=f⁻¹(a)é uma hipersuperfície mergulhada deM em que(∇f)(p)⊥T_pS,para todo p ∈ S, e mais, p 7→ (∇f)(p) é um campo normal à S em M. Por essa razão, vamos ter (Mⁿ, g) uma variedade compacta com bordo ∂M e f uma função não negativa e diferenciável em M satisfazendo f

◦

Ric=

◦

∇² f. Além disso, f > 0 no interior de M, f⁻¹(0) = ∂M e ∇f não se anula na fronteira de M. Portanto, podemos inferir que ν=−_|∇f|^∇f é um vetor normal unitário com orientação externa à variedade M.

Observação 2.2. Como f⁻¹(0) = ∂M, segue que f é nula sobre o bordo de M, assim f

◦

Ric=

◦

∇² f =⇒

◦

∇² f = 0

=⇒ ∇²f = ∆f n g, ou seja, decorre de (2.1) que ∇²f = ^∆f_n g ao longo do bordo ∂M.

Vamos considerar

e₁,· · · , e_n=−_|∇f|^∇f uma base ortonormal para∂M e notar que

X(|∇f|²) = X h∇f , ∇fi

= 2h∇_X∇f , ∇fi

= 2∇²f(X,∇f)

= 2∆f

n g(X,∇f)

= 2∆f

n hX , ∇fi

= 0,

pois ∇f é ortogonal a qualquer X ∈ X(M). Como consequência disso, temos que

|∇f| é uma constante não nula sobre ∂M. Em seguida, usando (2.2) e o fato de f ser