MAE0229 – Introdução em Probabilidade e Estatística II
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osemestre de 2018
Lista de exercícios 9 – Regressão Linear Simples – CLASSE
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Exercício 1.
Os coeficientes 𝛼, 𝛽, 𝛾 de quais modelos podem ser estimadas usando o modelo de regressão linear simples ou múltipla através de método de mínimos quadrados?
a) 𝑦 = (𝛼 + 𝛽)𝑥 + 𝜀;
b) 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑥 + 𝛽𝑧 + 𝜀;
c) 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑥(𝑥 − 𝛾) + 𝜀;
d) 𝑦 = 𝛼𝑥𝛾+ 𝛽𝑧 + 𝜀;
e) ln 𝑦 = 𝛼 +𝛽
𝑥+ 𝛾𝑧 + 𝜀.
Exercício 2. ([1], Problema 2.6, p.68)
Dois pesquisadores ajustam tendência temporal para uma variável 𝑦 usando o modelo 𝑦 = 𝛼 + 𝛽 𝑡 + 𝜀, em que 𝑡 é tempo (de 1 ate 25). O primeiro pesquisador obtém equação 𝑦̂ = 6.7 + 1.79 𝑡. O se- gundo errou, e fiz a regressão 𝑡 contra 𝑦 e obtive o seguinte resultado 𝑡̂ = −0.25 + 0.44 𝑦 e depois fiz a inferência:
𝑦 =0.25 + 𝑡̂
0.44 → 𝑦̂ = 0.57 + 2.27 𝑡
Explica a discrepância entre equações de primeiro e de segundo pesquisador.
Exercício 3. ([1], Problema 4.2, p.127)
Para os dados gerados durante 25 anos (de 1959 ate 1983) foram ajustadas os dados de gastos agre- gados com moradia (𝑦) em relação a renda individual (𝑥) (Equação 1), e a tendência exponencial em tempo 𝑡 (Equação 2), em que 𝑡 = 1 para ano 1959, 2 para 1960, ... (com erro padrão em parêntesis):
ln 𝑦 = −3.84 + 1.289 ln 𝑥 , 𝑅2 = 0.986 (1)
(0.21) (0.03)
ln 𝑦 = 4.09 + 0.045 𝑡, 𝑅2 = 0.988 (2)
(0.27) (0.01)
Dar a interpretação de coeficientes obtidos. Efetuar F-testes estatísticos em dois casos. A hipótese que a taxa de aumento em período de tempo é de 5% pode ser aceita com nível de significância de 1%? e de 5%?
Exercício 4. ([1], Problema 2.10, 2.11)
Usando método de mínimos quadrados achar estimador de parâmetro 𝛼 em modelo 𝑦 = 𝛼 + 𝜀. O mesmo para parâmetro 𝛽 no modelo 𝑦 = 𝛽𝑥 + 𝜀.
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Exercício 5. ([1], Problema 2.9)
Um pesquisador tem dados anuais de lucro agregado de um estado, Π, salario agregado, 𝑊, e ganho de estado agregado, 𝑌. Supomos que os dados resumem 𝑛 anos. Pela definição de ganho do estado 𝑌 = Π + 𝑊. Usando método de mínimos quadrados obtiveram duas regressões:
Π̂ = 𝑎1+ 𝑏1𝑌 e Ŵ = 𝑎2+ 𝑏2𝑌 Mostrar que necessariamente 𝑎1+ 𝑎2 = 0 e 𝑏1+ 𝑏2 = 1.
Exercício 6.
Usando definição de coeficiente de determinação 𝑅2 provar seguinte representação alternativa para esse coeficiente:
𝑅2 = 𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦)2 𝑉𝑎𝑟(𝑥)𝑉𝑎𝑟(𝑦) em que 𝐶𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 1
𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)(𝑦𝑖− 𝑦̅) e 𝑉𝑎𝑟(𝑥) =1
𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2.
Referência:
1. C. Dougherty “Introduction to Econometrics”.
2. W. de O. Bussab, P.A.Morettin “Estatística Básica”, 8ª edição, Saraiva, 2014.
