Lista 1 com respostas
Professora Nataliia Goloshchapova
MAT0105 - 1◦ semestre de 2018
Exercício 1.
Verique se é verdadeira ou falsa cada armação e justique sua resposta:
(a) (A, B)∼(C, D)⇔−−→
AB =−−→
CD (b) k−−→
AB k=k−−→
CD k ⇒−−→
AB =−−→
CD (c) −−→
AB k−−→
CD ⇒−−→
AB =−−→
CD (d) k−−→
AB k= 2k−−→
CD k ⇒−−→
AB = 2−−→
CD Solução 1.
Use denição do vetor.
(a) Verdadeiro.
(b) Falso.
(c) Falso.
(d) Falso.
Exercício 2.
Dados os vetores ~u e~v, prove que as armações seguintes são equivalentes:
(a) Os vetores ~u e~v não são múltiplos.
(b) Uma combinação linear α~u+β~v só pode ser igual a zero quando α= β = 0.
(c) Se α~u+β~v =α0~u+β0~v, então α=α0 eβ =β0.
Solução 2.
(a⇒b)
α~u+β~v = 0 ⇔α~u=−β~v. Caso α6= 0, ~u= −βα ~v um absurdo. Semelhante para β 6= 0.
(b ⇒c)
α~u+β~v =α0~u+β0~v ⇒(α−α0)~u+ (β−β0)~v = 0⇒α−α0 = 0, β−β0 = 0 (c⇒a)
Se (c) é verdade, então α~u+β~v = 0 ⇒ α2 +β2 = 0. Logo é impossível escrever~u=λ~v,∀λ ∈R\ {0}.
Exercício 3.
Mostre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e seu comprimento é a média aritmética dos comprimentos das bases.
Solução 3.
Note que, se o trapézio é um quadrilátero A, B, C, D com AB e DC suas bases e M N o segmento que liga os pontos médios de AD e BC, teremos que −−−→
M N = −−→
CN +−−→
DC +−−−→
M D (use polígono fechado MNCD). Do outro lado, −−−→
M N = −−→
BN +−−→
AB +−−−→
M A (use polígono fechado MNBA). Pegando soma de duas igualdades, obtemos 2−−−→
M N =−−→
AB +−−→
DC . O resto segue desse igualdade.
Exercício 4.
Se 4EF Gé um triângulo qualquer, P, Q, R são os pontos médios dos lados EF, F G, GE respetivamente. Mostre que EP QR é um paralelogramo.
Solução 4.
Para resolver, basta mostrar que −−→
P Q é paralelo a −−→
ER e analogamente que
−−→P E é paralelo a−−→
QR . Veja que por estarmos tratando de pontos médios dos lados dos triângulos, vamos ter as seguintes identidades:
2−−→
P F =−−→
EF e 2−−→
F Q =−−→
F G . Note que −−→
EG =−−→
EF +−−→
F G . Substitua as identidades acima nesta equação
−−→ −−→ −−→ −−→
Dado um paralelepípedo ABCDEF GH, sendo ~u = −−→
AB , ~v = −−→
AD e w~ =
−−→AE , exprima em função de ~u, ~v, ~w os seguintes vetores:
(a) −−→
HB (b) −−→
DF (c) −−→
AG (d) −−→
EC Solução 5.
(a) −−→
HB =~u−~v−w~ (b) −−→
DF =~u−~v +w~ (c) −−→
AG =~u+~v+w~ (d) −−→
EC =~u+~v−w~
Exercício 6.
Dado um hexágono regular ABCDEF, de centro O, determine a soma dos vetores indicados:
(a) −−→
F O +−−→
AO +−−→
DC (b) −−→
F D +−−→
F B +−−→
CO (c) −−→
AB +−−→
BC +−−→
CD +−−→
DE +−−→
EF +−−→
F A +−−→
OE +−−→
OC
Solução 6.
(a) 2−−→
OC =−−→
F C (b) −−→
F C (c) −−→
OD Exercício 7.
O hexágono ABCDEF é regular e de centro 0. Prove que −−→
AB +−−→
AC +
−−→AD +−−→
AE +−−→
AF = 6−−→
AO . Solução 7.
Dica: note que −−→
AB +−−→
AE =−−→
AD = 2−−→
AO e −−→
AC +−−→
AF =−−→
AD = 2−−→
AO . Exercício 8.
Calcule a soma dos seis vetores que tem por representantes segmentos orien- tados com origens em cada um dos vértices e extremidade no centro de um mesmo hexágono regular.
Solução 8.
Dica: desenha o hexágono regular e observe os vetores que se anulam.
Exercício 9.
Dados quatro pontos distintos, A, B, C, eX tais que−−→
AX =λ−−→
AB eλ é um número real. Escreva −−→
CX como combinação linear de −−→
CA e−−→
CB . Solução 9.
Dica: use o fato −−→
CX =−−→
CA +−−→
AX . Exercício 10.
Dado um quadrilátero ABCD tal que −−→
AD = 5−→u,−−→
BC = 3−→u e−−→
AB =~v. (a) Determine −−→
CD ,−−→
BD e −−→
CA em função de~ue~v. (b) Prove que ABCD é um trapézio.
(a) −−→
CD = 2~u−~v
−−→BD = 5~u−~v
−−→CA =−3~u−~v
(b) Note que existem dois lados paralelos de normas distintas.
Exercício 11.
Dados três vetores −−→
AB ,−−→
AD e −−→
AC tais que k−−→
AB k = 2,k−−→
AC k = 6 e k−−→
AD k = 3. AD é uma bissetriz de CABˆ = 60◦. Escreva o vetor −−→
AD como combinação linear de −−→
AB e −−→
AC . Solução 11.
Dicas: primeiro, o objetivo é descobrir os coecientes da seguinte combinação
linear −−→
AD =α−−→
AC +β−−→
AB .
Para isso, será necessário um triângulo com lados formados por vetoresα−−→
AC e β−−→
AB . Por −−→
AD ser uma bissetriz de CABˆ = 60◦, vamos obter um triân- gulo isósceles com lados de comprimento ||α−−→
AC || =||β−−→
AB || a determinar, no entanto com a base −−→
AD de comprimento 3. Utilize lei dos senos para determinar ||α−−→
AC ||=||β−−→
AB || e depois coecientesα e β. Resposta: −−→
AD =√
3/6−−→
AC +√
3/2−−→
AB . Exercício 12.
Em um triânguloABC o pontoM é tal que3−−−→
BM = 7−−−→
M C . Escreva o vetor
−−−→
AM em função de −−→
AB e −−→
AC . Solução 12.
Dica: mostre no primeiro que −−−→
BM = 107 −−→
BC . Resposta: −−−→
AM = 103−−→
AB + 107−−→
AC .
Exercício 13.
São dados −−→
OA = ~a, −−→
OB =~b, −→
AP = 13~c e −−→
BQ = 45~a. Escreva −−→
P Q em função de~a,~be~c.
Solução 13.
Dica: use o fato que OAPQB é poligono fechado.
Resposta: −−→
P Q =−1/5~a+~b−1/3~c. Exercício 14.
Prove que:
(a) ~u, ~v são LD ⇒~u, ~v, ~w são LD (b) ~u, ~v, ~w são LI⇒~u, ~v são LI
(c) ~u, ~v são LD ⇒~u+~v, ~u−~v são LD
Solução 14.
(a) Sejam~u=−−→
P A , ~v =−−→
P B , ~w =−−→
P C . Se (~u, ~v) são LD, então P, A,e B são colineares. Logo,P, A, B e C são coplanares e, portanto~u, ~v, ~w são LD.
(b) Raciocine por redução ao absurdo e utilize a parte (a). (c) Use o fato que ~u||~v.
Exercício 15.
As armações abaixo são verdadeiras ou falsas?
(a) ~u, ~v, ~w são LD⇒~u, ~v são LD (b) ~u, ~v são LI ⇒~u, ~v, ~w são LI
(c) ~u, ~v, ~w são LI⇒~u, ~v são LD
(a) Falso (b) Falso (c) Falso
