LISTA EXTRA 1 - C ´ALCULO 1 - 2008
(1) Identifique a hip´otese e a tese em cada uma das seguintes afirma¸c˜oes:
(a) Se n ´e inteiro, ent˜ao 2n ´e um n´umero par.
(b) Vocˆe pode trabalhar aqui somente se tiver um diploma universit´ario.
(c) Um carro n˜ao anda, sempre que est´a sem combust´ıvel.
(d) Eu receberei a bandeirada, se cruzar a linha de chegada primeiro.
(e) Continuidade ´e uma condi¸c˜ao necess´aria para diferenciabilidade.
(f) Normalidade ´e condi¸c˜ao suficiente para regularidade.
(g) Eu tenho sono na aula das 14h, sempre que almo¸co no Central.
(h) f(x) = 5 dado que x >3.
(i) Se eu copiei essa lista do meu colega, s´o ele aprendeu.
(2) Considere a seguinte afirma¸c˜aoA: “Todos os carros s˜ao brancos”. Para cada afirma¸c˜ao abaixo, decida se ela ´e correta ou falsa (considerando que cada carro s´o pode ter uma cor):
(a) Como o carro do meu vizinho ´e preto, a afirma¸c˜aoA ´e falsa.
(b) Como o carro do meu vizinho ´e branco, a afirma¸c˜aoA ´e correta.
(c) A nega¸c˜ao de A´e “Todo carro ´e branco”.
(d) A nega¸c˜ao de A´e “Todo carro ´e preto.
(e) A nega¸c˜ao de A´e “Existe um carro preto”.
(f) A nega¸c˜ao de A´e “Existe um carro que n˜ao ´e branco”.
(g) Se a afirma¸c˜ao A´e verdadeira, ent˜ao a afirma¸c˜ao “Todo carro ´e preto”´e falsa.
(h) Se a afirma¸c˜ao A´e falsa, ent˜ao a afirma¸c˜ao “Todo carro ´e preto”´e verdadeira.
(i) Se a afirma¸c˜ao A´e verdadeira, ent˜ao a afirma¸c˜ao “Existe um carro preto”´e falsa.
(j) Se a afirma¸c˜ao A ´e verdadeira, ent˜ao a afirma¸c˜ao “Existe um carro que n˜ao ´e branco”´e falsa.
(3) Indique se cada uma das afirma¸c˜oes ´e falsa ou verdadeira.
(a) 7 ´e par ou 6 ´e primo.
(b) 7 ´e primo e 5 ´e par.
(c) Se 3<5, ent˜ao 72 = 49.
(d) Se 3<5, ent˜ao 72 >49.
(e) Se 3>5, ent˜ao 72 = 49.
(f) Se 3>5, ent˜ao 72 <49.
(g) Se 3 ´e primo, ent˜ao 2 + 2 = 4.
(h) Se 2 ´e ´ımpar, ent˜ao 22 = 7.
(i) Se 3 ´e ´ımpar, ent˜ao 5−1 = 6.
(j) Se π ´e racional, ent˜ao 3 ´e par.
(k) Se 3>5 e 4 ´e par, ent˜ao 52 = 25.
(l) Se 7<5 somente se 6 ´e par, ent˜ao 8 ´e ´ımpar.
(4) Escreva a nega¸c˜ao de cada uma das afirma¸c˜oes.
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2 LISTA EXTRA 1 - C ´ALCULO 1 - 2008
(a) Alguns l´apis s˜ao azuis.
(b) Todas as cadeiras tˆem quatro pernas.
(c) Todo jogador de futebol ´e inteligente.
(d) Toda bicicleta ´e amarela ou branca.
(e) Existe um cachorro que n˜ao ´e preto.
(f) Existe uma pessoa que n˜ao ´e loira e que n˜ao ´e morena.
(5) Apresente contra-exemplos para as seguintes afirma¸c˜oes:
(a) Todas as aves voam.
(b) Para todo real x, se x2 >4, ent˜ao x >2.
(c) Para todo inteiro positivo n, n2+n+ 41 ´e primo.
(6) Escreva a contra-positiva das seguintes afirma¸c˜oes:
(a) Se rosas s˜ao vermelhas, ent˜ao violetas s˜ao roxas.
(b) X ´e infinito, seX n˜ao ´e discreto.
(c) Se K ´e fechado e limitado, ent˜aoK ´e compacto.
(7) Sejaf a fun¸c˜ao dada porf(x) = 3x−5. Use a implica¸c˜ao contra-positiva para provar:
sex1 6=x2, ent˜aof(x1)6=f(x2).
(8) Use a implica¸c˜ao contra-positiva para provar: se n2 ´e um inteiro par, ent˜ao n ´e par.
(Use o fato que um n´umero inteiro ´e ´ımpar se, e somente se, pode ser escrito como 2k+ 1 para algum inteiro k.)
(9) Prove: se x´e um real, ent˜ao |x−2| ≤3 implica que −1≤x≤5.
(10) Prove: se x2+x−6≤0, ent˜aox≤ −3 ou x≥2.
(11) Prove ou dˆe um contra-exemplo: Para todo inteiro positivon, n2+ 3n+ 8 ´e par.
(12) Prove ou dˆe um contra-exemplo: Para todo inteiro positivon, n2+ 4n+ 8 ´e par.
(13) Assuma as seguintes duas hip´oteses verdadeiras: (1) Se um atacante sempre faz gol ou o goleiro n˜ao deixa passar nenhuma bola, ent˜ao o time ganha e os f˜as ficam felizes;
e (2) se os f˜as ficam felizes ou o patrocinador ´e milion´ario, ent˜ao o time “nada em dinheiro”.
(a) Derive a seguinte conclus˜ao: se um atacante sempre faz gol, ent˜ao o time “nada em dinheiro”. Usando letras para representar as afirma¸c˜oes simples, escreva uma demonstra¸c˜ao formal.
(b) ´E poss´ıvel demonstrar o mesmo teorema se trocarmos oe da hip´otese (1) por um ou?
