MAE0524 - An´alise Bayesiana de dados - primeiro semestre de 2019 Professora: M´arcia D’Elia Branco
LISTA 4
1) Seja (X, Y) um vetor aleat´orio com distribui¸c˜ao normal bivariada N2(µ,Σ). Obtenha:
(a) A distribui¸c˜ao marginal de X.
(b) A distribui¸c˜ao condicional de X dadoY =y.
(c) A distribui¸c˜ao de T =X+Y.
2) Seja Z = (Z1, Z2, . . . , Zq) um vetor aleat´orio Nq(0,Σ). Mostre que ZΣ−1ZT tem distribui¸c˜ao qui-quadrado com q graus de liberdades.
3) Considere X | W = w ∼ Nq(µ,Σ/w) e W ∼ Gamma(n/2, S/2), obtenha a distribui¸c˜ao marginal deX .
4) Considere (θ1, θ2) um vetor aleat´orio com distribui¸c˜aot-bivariada.
(a) Obtenha a distribui¸c˜ao de T =θ1+θ2 .
(b) Usando o programa R, desenhe os gr´aficos de contorno desse vetor considerando λ = (0,0) (posi¸c˜ao), k = 3 (graus de liberdades) e matriz de escala
∆ =
"
1 b b 1
#
Considere diferentes valores de b tais que Cov(θ1, θ2) assuma os valores:
-0.9 ; 0 ; 0.2 e 0.5 .
5) Um professor resolveu comparar dois m´etodos de ensino. Para tal, agrupou os alunos em pares de modo a garantir um n´ıvel idˆentico de forma¸c˜ao b´asica e rendimento pr´evio. Um elemento de cada par foi escolhido aleatori- amente para formar a turma A, onde foi aplicado o m´etodo tradicional. Os restante formaram a turma B, onde uma nova metodologia foi introduzida.
As notas dos alunos s˜ao apresentadas a seguir.
M´etodo A 6 0 6 4 0 6 0 3 4 3 2 M´etodo B 7 1 5 5 4 7 8 0 7 9 0
1
Detemine um intervalo de credibilidade 0.90 para a m´edia de diferen¸ca entre os dois m´etodos. Podemos concluir que o rendimento m´edio dos estu- dantes em um dos dois m´etodos ´e superior ao outro? Indique as suposi¸c˜oes que devem ser consideradas para solu¸c˜ao do exerc´ıcio.
6) Os dados abaixo apresentam o comprimento do ovo de um determinado p´assaro, que possuem duas variedades diferentes: D e RW. As amostras foram obtidas independentemente.
D 22.0 23.9 20.8 23.8 25.0 24.0 21.7 23.8 22.8 23.1 RW 23.2 22.0 22.2 21.2 21.6 21.9 22.0 22.9 22.8
Compare os comprimentos m´edios dos ovos das duas variedades. Para isso, contrua um intervalo de credibilidade 0.90 para a diferen¸ca µD−µRW. Suponha normalidade e use a priori de Jeffreys. Para constru¸c˜ao do intervalo, considere duas abordagens: (a) usando a distribui¸c˜ao a posteriori exata; (b) usando simula¸c˜ao de Monte Carlo. Conclua com base nos intervalos.
7) Os dados a seguir consistem da idade gestacional estimada (em sema- nas) e o peso (em gramas) de 12 bebˆes do sexo feminino.
Idade 40 36 40 38 42 39
Peso 3317 2729 2935 2754 3210 2817
Idade 40 37 36 38 39 40
Peso 3126 2539 2412 2991 2875 3231
Considere um modelo de regress˜ao linear simples em que a vari´avel res- posta (Y) ´e o Idade do bebˆe e a vari´avel explicativa (X) ´e o Peso. Suponha normalidade, homocedasticidade e independˆencia para os erros. Use a priori n˜ao informativa de Jeffreys f(β0, β1, σ2)∝ σ12.
(a) Obtenha a probabilidade a posteriori de β1 ser positivo.
(b) Obtenha os intervalo HPD de 90 % de credibilidade para β0 e β1. Obtenha um intervalo de caudas iguais de probabilidade 0.50 para σ2.
(c) Simule 1000 valores da distribui¸c˜ao a posteriori conjunta dos coefici- entes de regress˜ao. Apresente os valores gerados juntamente com o gr´afico de contornos da distribui¸c˜ao conjunta.
2
(d) Obtenha o intervalo de credibilidade 0.80 para o valor predito da idade de um bebˆe de peso igual a 3000 gramas.
8) Considere X1 e X2 v.a. independentes com distribui¸c˜ao tv(0,1). Ob- tenha a densidade de probabilidade de T =X1−X2.
9) Considerea= ¯y, b=
n
P
i=1
(xi−¯x)(yi−¯y)
n
P
i=1
(xi−¯x)2
eSrr = Pn
i=1
(yi−a−bxi)2. Mostre que
n
X
i=1
[yi−α−β(xi−x)]¯ 2 =Srr+n(α−a)2+Sxx(β−b)2.
Entrega: 28/05/2019
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