Derivadas e Taxas de Variação

Derivadas e Taxas de Variação

1. Tangentes

Definição 1.1. A reta tangente à curvay“fpxqem um pontoPpa, fpaqqé a reta passando por P com a inclinação

m“ lim

xÑa

fpxq ´fpaq x´a desde que esse limite exista.

Observação 1.2. A inclinação da reta seconteP Q é m_{P Q}“ fpa`hq ´fpaq

h .

Observe que quandoxtende aa,htende a 0; assim, a expressção para a inclinação da reta tangente na Definição fica

m“lim

hÑ0

fpa`hq ´fpaq h

Exemplo 1.3. Encontre uma equação da reta tangente à parábolay“x²no ponto Pp1,1q.

2. Velocidades Definição 2.1.

velocidade média=deslocamento

tempo “fpa`hq ´fpaq h

velocidade instantânea“vpaq “lim

hÑ0

fpa`hq ´fpaq h

Exemplo 2.2. Suponha que a bola foi deixada cair do posto de observação da torre, 450 m acima do solo. Qual a velocidade da bola?

3. Derivadas

Definição 3.1. A derivada de uma funçãof em um númeroa, denotada porf¹paq, é

f¹paq “lim

hÑ0

fpa`hq ´fpaq h se o limite existir.

Observação 3.2. ‚ f¹paq “limxÑa fpxq´fpaq x´a

‚ A reta tangente a y “fpxq em pa, fpaqq é a reta que passa em pa, fpaqq, cuja inclinação é igual a f¹paq, a derivada def ema.

1

2

4. Taxas de Variação

Definição 4.1. Suponha que y seja uma quantidade que depende de outra quan- tidadex. Assim,y é uma função de xe escrevemosy “fpxq. Se xvariar de x1 a x2, então a varição emxserá ∆x“x2´x1 e a variação correspondente emy será

∆y“fpx2q ´fpx1q. O quociente das diferenças

∆y

∆x“ fpx2q ´fpx1q x2´x1

é denominado taxa média de variação dey em relação axno intervalorx₁, x₂s.

Definição 4.2. Taxa instantânea de variação é lim

∆xÑ0

∆y

∆x “ lim

x₂Ñx₁

fpx2q ´fpx1q x₂´x₁

é denominado taxa média de variação dey em relação axno intervalorx1, x2s.

Observação 4.3. A derivadaf¹paqé a taxa instantânea de variação dey “fpxq em relação a xquandox‰a.