Lógica Computacional - Formas normais

Lógica Computacional - Formas normais

DCC/FCUP

2019/20

Funções de verdade (ou Booleanas)

p q p ∧ q

F F F F V F

V F F

V V V

x y F(x,y)

F F F

F V F

V F F

V V V

A tabela de verdade duma fórmulaφ, comn >0 variáveis proposicionaisp1, . . .p_n, define uma função de verdade

F_φ:{V,F }ⁿ−→ {V ,F }

tal queF_φ(x1, . . . ,xn) =v_X(φ) ,ondev_X(pi) =xi parai ∈ {1. . .n}

ex_i ∈ {V,F }

Funções de verdade

Qualquer função def :{V,F}ⁿ −→ {V,F }, com n>0 diz-se uma função de verdade.

Paran=1 temos 4 funções:

x1 f1(x1)

V F

F F

x1 f2(x1)

V F

F V

x1 f3(x1)

V V

F F

x1 f4(x1)

V V

F V

Existem 16 funções de verdade de aridade 2. Prova!

E quantas funções existem de aridaden, paran >0?

Conjunto de conectivas completo

Um conjunto de conectivasC diz-secompletose para qualquer função de verdadef existe uma fórmulaφcom n variáveis proposicionais e contendo só conectivas deC, tal queF_φ=f

Proposição

O conjunto de conectivas{ ∧, ∨,¬}é completo.

Demonstração.

Mostramos por indução sobren.

Base. Paran=1 existem 4 funções de verdade:

x₁ f₁ V F F F

x₁ f₂ V F F V

x₁ f₃ V V F F

x₁ f₄ V V F V Sendoφ1 =p ∧ ¬p,φ2 =¬p,φ3=p,

φ₄ =p ∨ ¬p, tem-se queF_φi =f_i para 1≤i ≤4.

Conjunto de conectivas completo

Demonstração.

Indução. Supondo que a hipótese é válida para n, seja f :{V,F}ⁿ⁺¹ −→ {V,F}. Construímos duas funçõesn-áriasf₁ e f₂ tal que:

f1(x1, . . . ,xn) =f(x1, . . . ,xn,V) f2(x1, . . . ,xn) =f(x1, . . . ,xn,F).

Por hipótese de indução existemφ_i, com variáveis p1, . . . ,pn, tal queFφi =fi parai =1,2. Tome-se φ= (pn+1 ∧ φ1) ∨ (¬p_n+1 ∧ φ2), entãoF_φ=f.

Proposição

O conjunto de conectivas{¬,→}é completo.

Demonstração.

Basta ver queφ ∧ ψ ≡ ¬(φ→ ¬ψ) eφ ∨ ψ ≡(¬φ→ψ).

Uso de conectivas

Podemos restringuir-nos só a conjuntos completos de conectivas.

Assim podiamos ter só considerado na definição da linguagem da Lógica proposicional, apenas:

• as conectivas ∧, ∨ e¬

• as conectivas→ e ¬

• . . .

E considerar as restantes abreviaturas.

Uma dasvantagens seria ter um número menor de tipos de fórmulas o que é bom para as demonstrações...

Mais conectivas

Mas também podemos definir outras conectivas. Por exemplo, uma para cada uma das funções de verdade unárias ou binárias... As mais usuais são:

Designação Conectiva Fórmula semanticamente equivalente

Falso F φ ∧ ¬φ

Verdade V φ ∨ ¬φ

Implicação φ→ψ ¬φ ∨ ψ

Equivalência φ↔ψ (¬φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ ¬ψ) Ou Exclusivo φ∨˙ ψ (φ ∧ ¬ψ) ∨ (¬φ ∧ ψ)

Não-e φ∧˜ ψ ¬(φ ∧ ψ)

Não-ou φ∨˜ ψ ¬(φ ∨ ψ)

Formas normais

Vamos ver que podemos transformar fórmulas em fórmulas semânticamente equivalentes de tal modo a obter fórmulas de formas especiaise que nos permitam decidir mais facilmente sobre a satisfabilidade ou validade das fórmulas originais... algumas dessasformas normaisexistem para qualquer fórmula outras apenas para certas classes de fórmulas...

Forma normal negativa

Umliteralé uma variável proposicionalp ou a sua negação,¬p.

Uma fórmula diz-se emforma normal negativa se ¬ocorre apenas em literais.

Proposição

Qualquer fórmula contendo apenas as conectivas ∧, ∨ e ¬é semanticamente equivalente a uma fórmula em forma normal negativa.

Demonstração.

Basta usar as Leis de DeMorgan e eliminar as duplas negações.

Forma normal negativa

Exemplo

¬((p ∨ q) ∧ ¬p)

¬(p ∨ q) ∨ ¬¬p (DeMorgan) (¬p ∧ ¬q) ∨ ¬¬p (DeMorgan)

(¬p ∧ ¬q) ∨ p (Dupla Negação)

Formas normal disjuntiva

Uma fórmula diz-se emforma normal disjuntiva se for da forma:

(α11 ∧ . . . ∧ α1k1) ∨ . . . ∨ (αn1 ∧ . . . ∧ α_nkn)

onde cadaαij é um literal.

Lema

Para qualquer funçãof :{V ,F }ⁿ−→ {V,F}, existe uma fórmulaφcom n variáveis proposicionais em forma normal disjuntiva, tal queFφ=f.

x1 x2 F(x1,x2)

F F F

F V F

V F F

V V V

p₁ ∧ p₂

Demonstração.

Sef é F, para todos os valores dos argumentos, então φ=p1 ∧ ¬p₁.

Senão, para cada valoraçãov seja

l_i^v =

p_i se v(p_i) =V

¬p_i se v(p_i) =F

Quanto év(l_i^v)?

e então

φ_v =l₁^v ∧ . . . ∧ l_n^v

Nota quev(φv) =V. Então, basta considerar

φ= _

f(v(p1),...,v(pn))=V

φv

(Verifica!)

Exemplo

Para a seguinte função de verdade:

x1 x2 x3 f(x1,x2,x3)

V V V V

V V F V

V F V V

V F F F

F V V V

F V F F

F F V F

F F F F

uma fórmula em forma normal disjuntiva é:

(p1 ∧p2 ∧p3)∨(p1∧p2 ∧ ¬p₃)∨(p1 ∧ ¬p₂ ∧p3)∨(¬p₁ ∧p2∧p3)

Corolário

Qualquer fórmula é semanticamente equivalente a uma fórmula em forma normal disjuntiva.

Demonstração.

Dada uma fórmula é possível transformá-la numa semanticamente equivalente em forma normal disjuntiva, considerando os seguintes passos:

1. obter uma fórmula apenas com as conectivas ∧, ∨ e¬ 2. obter uma fórmula em forma normal negativa

3. aplicar a distributividade: (φ ∨ ψ) ∧ θ≡(φ ∧ θ) ∨ (ψ ∧ θ)

Exemplo

Determina uma forma normal disjuntiva para

(p ∨ r)↔(q ∧ ¬p)

(p ∨ r)↔(q ∧ ¬p)≡

((p ∨ r)→(q ∧ ¬p)) ∧ ((q ∧ ¬p)→(p ∨ r))≡

(¬(p ∨ r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∧ (¬(q ∧ ¬p) ∨ (p ∨ r))≡

((¬p ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∧ ((¬q ∨ p)∨(p ∨ r))≡

(((¬p ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∧ (¬q ∨ p))∨(((¬p ∧ ¬r)∨ (q ∧ ¬p)) ∧ (p ∨ r))≡

(¬p ∧ ¬r ∧ (¬q ∨ p)) ∨ (q ∧ ¬p ∧ (¬q ∨ p))

∨(¬p ∧ ¬r ∧ (p ∨ r)) ∨ (q ∧ ¬p ∧ (p ∨ r))≡

(¬p ∧ ¬r ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬r ∧ p) ∨ (q ∧ ¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p ∧ p)

∨(¬p ∧ ¬r ∧ p) ∨ (¬p ∧ ¬r ∧ r) ∨ (q ∧ ¬p ∧ p) ∨ (q ∧ ¬p ∧ r)

Satisfabilidade de fórmulas em FND

Lema

Uma conjunção de literaisl1 ∧ . . . ∧ ln é satisfazível se e só se para todo o1≤i,j ≤n,l_i não é ¬l_j.

Exemplo

Serão satisfazíveis?

p∧ ¬q∧ ¬r∧q

¬p∧q∧ ¬r∧ ¬s Exemplo

p∧¬q∧ ¬r∧q Não

¬p∧q∧ ¬r∧ ¬s Sim Corolário

Uma fórmulaφem forma normal disjuntiva é satisfazível se e só se alguma das suas conjunções de literais o for.

Obtemos assim um método de determinar se uma fórmula é satisfazível.

Exemplo

Determina se é satisfazível

(p ∨ r)↔(q ∧ ¬p)

(p ∨ r)↔(q ∧ ¬p)≡

(¬p ∧ ¬r ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬r ∧ p) ∨ (q ∧ ¬p ∧ ¬q)∨ (q ∧ ¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ ¬r ∧ p) ∨ (¬p ∧ ¬r ∧ r)

∨(q ∧ ¬p ∧ p) ∨ (q ∧ ¬p ∧ r) (p ∨ r)↔(q ∧ ¬p)≡

(¬p ∧ ¬r ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬r ∧ p) ∨ (q ∧ ¬p ∧ ¬q)∨ (q ∧ ¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ ¬r ∧ p) ∨ (¬p ∧ ¬r ∧ r)

∨(q ∧ ¬p ∧ p) ∨ (q ∧ ¬p ∧ r) Sim

Forma normal conjuntiva

Uma fórmula diz-se emforma normal conjuntiva se for da forma:

(α11 ∨ . . . ∨ α_1k1) ∧ . . . ∧ (αn1 ∨ . . . ∨ α_nkn)

onde cadaα_ij é um literal.

Por dualidade temos Lema

Uma disjunção de literaisl1 ∨ . . . ∨ l_n é umatautologiase e só se para algum1≤i,j ≤n,l_i é¬l_j.

Então é fácil determinar se uma fórmula em forma normal conjuntiva é umatautologia: verificar se todas as disjunções são tautologias, pelo método dado no Lema anterior.

Mas como obter uma fórmula em forma normal conjuntiva?

1. se tivermos a tabela de verdade, por um método dual ao da forma normal disjuntiva: isto é, escolher as linhas que correspondem a F considerar para cada uma a disjunção de literais tal que se x_i =V coloca-se¬p_i e sex_i =F coloca-se p_i; e finalmente tomar a conjunção dessas disjunções.

2. adptar o método dado para a forma normal disjuntiva,usando a distributividade para a conjunção:

(φ ∧ ψ) ∨ θ≡(φ ∨ θ) ∧ (ψ ∨ θ)

Exercícios

Obtem uma fórmula em forma normal conjuntiva correspondente à tabela de verdade

x₁ x₂ x₃ f(x₁,x₂,x₃)

V V V V

V V F V

V F V V

V F F F

F V V V

F V F F

F F V F

F F F F

(¬p₁ ∨p2∨p3)∧(p1∨ ¬p₂ ∨p3)∧(p1 ∨p2 ∨ ¬p₃)∧(p1 ∨p2∨p3)

Exercícios

Determina uma forma normal conjuntiva para a fórmula abaixo e verifica se é uma tautologia

(p ∨ r)↔(q ∧ ¬p)

(p ∨ r)↔(q ∧ ¬p)≡

((p ∨ r)→(q ∧ ¬p)) ∧ ((q ∧ ¬p)→(p∨r))≡

(¬(p ∨ r) ∨ (q ∧ ¬p)) ∧ (¬(q ∧ ¬p)∨(p∨r))≡

((¬p ∧ ¬r)∨(q ∧ ¬p)) ∧ ((¬q∨p)∨(p∨r))≡

((¬p ∧ ¬r) ∨ q) ∧ ((¬p ∧ ¬r)∨ ¬p) ∧ (¬q∨p∨p∨r)≡

(¬p∨q) ∧ (¬r∨q) ∧ (¬p∨ ¬p) ∧ (¬r ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ p∨p∨r) Não