Aula. Porcentagem. Figura 4.1 Porcentagem Fonte:

4º

Aula

Porcentagem

As taxas de juros representam a remuneração de qualquer capital aplicado em uma operação financeira, e sempre está em valores percentuais, daí a importância se de compreender bem o conceito de porcentagens.

Boa aula!

Figura 4.1 Porcentagem Fonte: WWW.folhailustrada.com.br

Matemática Financeira I

Objetivos de

aprendizagem

1 - Porcentagens

2 - Exercícios de aplicação

Ao término desta aula, vocês serão capazes de:

• executar cálculos percentuais para controle da vida financeira pessoal e da empresa;

• entender algumas aplicações do conceito de porcentagem para calculo de aumentos e descontos;

• determinar preço de compra e venda e auferir lucros de uma operação.

Seções de

estudo

1- Porcentagem

Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.

O símbolo %, ao lado de um número, apenas indica que aquele número será dividido por 100. Na execução do cálculo o percentual precisa estar na sua forma unitária.

Assim se queremos calcular 25% de 200 temos:

25% . 200 = (25/100) . 200 = 0,25 . 200 = 50.

Porcentagem ou percentagem é uma fração cujo denominador é 100. Representa-se com o símbolo

% (que se lê “por cento”). = x% . Porcentagem pode ser considerada como unidade de medida universal do sistema financeiro e também é aplicado em várias áreas do conhecimento.

Porcentagem pode ser entendida como uma parte do todo, e sempre está relacionada a uma grandeza.

Notação:

Por exemplo, quando escrevemos 10% temos uma representação percentual, o símbolo % indica

isso que dizer que em um total de 100 tomamos 10. Mas veja o seguinte se dividirmos 10 por 100 teremos como resultado (0,10) e este resultado chama-se parte unitária. Vocês já devem ter percebido que a porcentagem pode aparecer

x 100

acompanhada do %, porém, todas as vezes que você tiver que calcular uma porcentagem esta deverá estar na forma unitária.

Como já dissemos anteriormente, porcentagem pode ser entendida como parte do todo, por exemplo, suponha que você acabou de fazer uma prova de 80 questões para um concurso, e o edital dizia que para você ser aprovado você precisava de no mínimo 50% de acertos. Depois de conferido você percebeu que tinha acertado 47 questões das 80. Será que você passou?

Bom, vamos ver:

De 80 você acertou 47, temos, então: = 0,5875. Vejam que o resultado está na forma unitária e, para transformamos isso para porcentagem, basta multiplicarmos por 100 assim teremos:

0,5875x100= 58,75% esse número representa o seu percentual de acerto.

1.1 Aplicação das porcentagens para aumentos e descontos

Exemplo:

Vocês querem comprar um objeto de $ 150,00 e para pagamento a vista terá um desconto de 10%.

Quanto irá desembolsar?

Resolução:

Bom!!!!!! Teremos um desconto de 10% sobre o valor da mercadoria.

O nosso desconto é de $ 15, 00. Agora vamos calcular quanto vamos pagar:

V= 150,00 – 15,00 → V = 135,00

Outra maneira bastante interessante de se fazer é:

Você pode pensar assim: o preço do objeto que quero comprar é 100%, como terei um desconto de 10%, pagarei pelo objeto apenas 90% do seu valor.

O valor final então será dado por:

V_f = 150(100% − 10%)

Devemos sempre transformar taxa percentual em taxa unitária então,

10 100

47 80

d = 10 % . 150 → d = 10 . 150 → d = 0,10 . 150 → d = 15,00 100

V_f = 150( 100 - 10 ) → V_f = 150(1 −0,10) → V_f = 150(0,90) →V_f = 135,00

V_f = valor final V₀ = valor inicial

p = percentual de desconto

Observação:

Agora se em vez de descontos tivéssemos um aumento, bom a ideia é a mesma a única diferença está no sinal no lugar de menos escrevemos mais.

Exemplo:

Vocês querem comprar um objeto de $ 150,00 e para pagamento e por atraso terá um aumento de 10%. Quanto irá desembolsar?

Resolução:

Bom!!!!!! Teremos um aumento de 10% sobre o valor da mercadoria.

O nosso aumento é de $ 15, 00, agora calculamos quanto vamos pagar:

V= 150,00 + 15,00 → V = 165,00

Outra maneira bastante interessante de se fazer é:

Vocês podem pensar assim:

O preço do objeto que quero comprar é 100%

como terei um aumento de 10% pagarei pelo objeto apenas 110% do seu valor. O valor final então será dado por:

V_f = 150(100% + 10%)

Devemos sempre transformar taxa percentual em taxa unitária então,

Então, podemos escrever uma fórmula geral onde:

V_f = valor final V₀ = valor inicial

p = percentual de desconto Exercícios resolvidos:

1) em um teste com 150 questões você acertou 40%. Quantas questões acertou?

a = 10% . 150 → a = 10 . 150 → a = 0,10 . 150 → a = 15,00 100

V_f = 150( 100 + 10 ) → V_f = 150(1 +0,10) → V_f = 150(1,10) →V_f = 165,00 100 100

e = 40% . 150 → e = 40/100 . 150 → e = 0,40 . 150 → e = 60 ou seja, você acertou 60 questões.

2) Em uma empresa compareceram 90%

dos funcionários, tendo faltado 15. Quantos funcionários têm essa empresa?

•Resolução:

Não sabemos quantos funcionários a empresa tem, suponha que a empresa tenha x funcionários.

Mas os 10% que faltaram totalizam em 15. veja que os 10% faltantes fazem parte de x então temos que 10%x = 15 → 0,10x = 15 → x = → x = 150, portanto a empresa tem 150 funcionários.

3) obtenha 20% de 600

• Resolução

20% . 600= (20/100) . 600= 0,20 . 600 = 120 4) obtenha 20% de 30% de 600

• Resolução

(20%) . (30%) . 600 = (0,20) . (0,30) . 600 = 36 Agora, vamos passar para a seção 2, que traz exercícios de aplicação. Vejamos:

15 0,10

2 - Exercícios de aplicação

1) Um objeto que custava $ 300,00 foi vendido com um desconto de 12%. De quanto foi o desconto. Por quanto foi vendido?

Dados do problema C= 300

p = 12% ( de desconto) V = ?

V = C - D

Calculando o valor de D.

D = 12% . 300 → D = 0,12 . 300 → D = 36 V = 300 − 36

V = 264,00

Ou resolvendo de forma direta temos:

Matemática Financeira I V = C(1 – p%)

V = 300( 1 – 12%) V = 300(1 − 0,12) V = 300(0,88) V = 264,00

2) 20% de minha herança representam $ 10.000.

Com quanto ainda ficarei se gastar 5% do total de minha herança.

• Resolução:

Vejam que vocês têm 20% da herança, então, primeiro deve calcular os 100% e depois calcular o que gastou. Vamos seguir o passo a passo:

Vejam que o problema diz que 20% do que é seu (parte de sua herança) da 10.000. Com essa informação, conseguimos calcular o todo.

Seja x o a sua herança (maior que 10.000), então se você pegar 20% de x tem que dar 10.000 assim:

20%x = 10.000 0,20x = 10.000 x = 10.000/0,20 x = 50.000

Agora você gasta 5 % do total.

5% . 50.000 = 2.500 Agora temos:

50.000 − 2.500 = 47.500

Ainda, ficarei com R$ 47.500 da herança recebida.

3) Determine 2% de 3% de 1000.

N = 2% . 3% . 1000 N = 0,02 . 0,03 . 1000 N = 0.60

4) Escreva as taxas de 1,5%, 3%, 42,5% , 125%, 1000% na forma unitária.

Para transformar em taxa unitária – basta dividir por 100.

1,5% = 1,5/100 = 0,015 3% = 3/100 = 0,03

42,5% = 42,5/100 = 0,425 125% = 125/100 = 1,25 1000% = 1000/100 = 10

5) Quanto é 2,5% de R$ 60,00 ? N = 2,5% . 60

N = 0,025 . 60 N = 15

6) 15 é 25% de que número?

• Resolução:

25% de um número devem resultar em 15.

Como não sabemos que número é esse podemos dizer que seja x.

Então temos:

25% . x = 15 0,25 . x = 15 x = 15/0,25 x = 60

7) O que é mais vantajoso, um desconto de 40% ou dois descontos sucessivos de 20% e 20%?

Nesse caso podemos supor um valor para a compra.

Imagine que o valor seja de R$ 100.00.

Se colocarmos um desconto de 40% temos:

V = 100x( 1 – 40% ) V = 100x(1 – 0,40) V = 100x(0,60) V = 60,00

Se colocarmos um desconto de 20% e depois outro desconto de 20% temos:

V = 100x( 1 − 20%) V= 100x(1− 0,20) V= 100x(0.80) V = 80

Agora vamos dar mais um desconto de 20%:

V= 80x(1 − 20%) V= 80x(1 − 0.20) V= 80x(0.80) V = 64

Mas, também, poderá ser resolvido na seguinte maneira.

V = 100x(1 – 20% )( 1 – 20%) V = 100x(1 – 0,20) . ( 1 – 0,20) V = 100x(0,80) . (0,80)

V = 64,00

8) (FUVEST) Uma mercadoria que custava R$ 2.400 sofreu um aumento passando a custar R$

2.700. A taxa de aumento foi de quantos por cento?

• Resolução:

C = 2400 V = 2700 A = 300

Note que houve um aumento de R$ 300 sobre o valor de custo, ou seja,

p = [300/2400] . 100%

p = (0.125) . 100%

p = 12,5%

Um aumento de 12,5%.

9) Em uma cidade de 5.000 eleitores, 5,2%

não votaram, na última eleição. Quantos foram os eleitores ausentes?

a) 520 b) 360 c) 260 d)120 e) 90

Lembrando que 5,2% = 5,2/100 = 0,052 Agora é só multiplicar:

5,2% . 5000 = 0,052 . 5000 = 260 Alternativa C.

10) A Baixada Fluminense, segundo as pesquisas, registra 2.000 crimes por ano. Seu índice de homicídio é de 74 por 100 mil habitantes, comparável ao de países em guerra.

Julgue o item a seguir:

- Na Baixada Fluminense, 0,74% da população morre anualmente vítima de homicídio.

Vamos estabelecer uma razão entre o número de homicídios e o número de habitantes, ou seja:

Agora para transformar em porcentagem devemos multiplicar por 100.

74 = 0,00074 1000000

Pelo valor obtido, conclui-se que o item a ser julgado é falso.

11) Do meu salário líquido dedico:

→ 25% ao aluguel, → 30% à alimentação,

→ 5% à compra de medicamento, → 15% pagamento de mensalidades.

O resto que me sobra é R$ 550,00 para lazer.

Dessa forma, pode-se afirmar que meu salário é no valor de:

a) R$ 1.200,00 b) R$ 785,00 c) R$ 2.200,00 d) R$ 2.250,00 e) R$ 650,00

• Resolução:

Somando-se as porcentagens dos gastos, temos:

25% + 30% + 5% + 15% = 75%.

Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 100%da operação.

Montando uma regra de três:

550,00____25 x________100 25x = 55000 x = 55000/25 x = 2200

Então, a resposta correta da questão acima é a letra “c”.

12) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de :

a) 19,5%

b) 20%

c) 20,5%

d) 21%

e) 21,5%

Matemática Financeira I

OBS: Não esqueçam! Em caso de dúvidas, acessem as ferramentas

“Fórum” ou “Quadro de Avisos”.

• Resolução:

Cenário 1: quantidade que podemos comprar antes do desconto

1m_____R$ 5,52 x______R$ 126,96 5,52x = 126,96 x = 126,96 / 5,52 x = 23m

Cenário 2: quantidade que podemos comprar depois do desconto

1m______R$ 4,60 x_______R$ 126,96 4,60x = 126,96 x = 126,96/4,60 x = 27,60

Temos, então:

23m___100% (Total do metro encontrado com preço maior)

27,6___x (Total do metro encontrado com preço menor)

23x = 100 . 27,6 23x = 2760 x = 2760/23 X = 120%

Desta forma: 120% − 100% = 20%

Então a resposta correta da questão acima é a letra “b”.

Retomando a

aula

Chegamos, assim, ao fi nal da quarta aula. Espera-se que agora tenha fi cado mais claro o entendimento de vocês sobre o conceito de porcentagens e suas aplicações. Vamos, então, recordar:

1 - Porcentagens

O assunto dinheiro ou qualquer negociação, compra, venda investimentos, lucros ou prejuízos sempre estão associados a uma porcentagem, note então, que porcentagem e uma unidade de

medida do sistema financeiro. Daí a importância do conhecimento para manipular dados inerentes a situação financeira de uma empresa.

2 - Exercícios de aplicação

Resoluções de alguns exercícios importantes relacionados com a prática do dia a dia.

NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e Suas Aplicações. Editora ATLAS, 2009.

AYRES JÚNIOR, F. Matemática financeira:

resumo da teoria, 500 problemas resolvidos. São Paulo: Mc Graw-Hill, 1981.

<www.juliobattisti.com.br>

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