EXAME DE INGRESSO 2

EXAME DE INGRESSO

2 ^◦ Semestre/2006

Parte 1

18/04/2006 - Per´ıodo da Manh˜ a

Instru¸ c˜ oes

• Verifique se a folha de respostas que vocˆ e recebeu corresponde ao c´ odigo que identifica o seu nome na lista afixada na porta de entrada da sala.

N˜ ao escreva o seu nome na prova. Ela dever´ a ser identificada apenas atrav´ es do c´ odigo. Destaque o t´ıquete grampeado e verifique se ele corresponde ao seu nome e ao c´ odigo de identifica¸c˜ ao. Guarde-o como comprovante.

• Esta prova constitui a primeira parte do exame de ingresso ` a p´ os-gradua¸c˜ ao do IFUSP. Ela cont´ em problemas e quest˜ oes de Eletromagnetismo (E) e Mecˆ anica Quˆ antica (Q). O tempo de dura¸c˜ ao dessa prova ser´ a de 3 horas. O tempo m´ınimo de permanˆ encia na sala ser´ a de 90 minutos. Procure fazer todas as quest˜ oes e problemas.

• A nota final de cada uma dessas disciplinas ser´ a obtida a partir dos resultados das provas de hoje e de amanh˜ a. O conjunto das quest˜ oes e problemas de cada disciplina tem o mesmo valor.

• Fa¸ ca cada quest˜ ao ou problema na p´ agina correspondente da folha de respostas. As p´ aginas ser˜ ao reorganizadas para a corre¸c˜ ao. Se precisar de mais espa¸co, fale com o professor respons´ avel pela aplica¸c˜ ao do exame, que lhe dar´ a uma folha extra.

Bom trabalho.

E1. Considere um anel isolante de raio a com massa M e carga total Q uniformemente distribu´ıdas. O anel repousa sobre um plano horizontal sobre o qual pode se mover livremente sem atrito. Na regi˜ ao do anel h´ a um campo magn´ etico devido a uma fonte externa dado por:

B(r,t) =

B ₀ ˆ e _z , se t < 0, B ₀ ˆ e _z e ^−αt , se t ≥ 0,

onde B ₀ e α s˜ ao constantes positivas. O plano em que repousa o anel ´ e o plano xy e o centro do anel coincide com a origem do sistema de coordenadas. No instante t = 0 o anel encontra-se parado.

(a) Determine o campo el´ etrico sobre o anel como fun¸c˜ ao do tempo.

(b) Encontre a velocidade angular do anel num instante t > 0.

Desconsidere o campo produzido pelo anel em movimento.

(c) H´ a conserva¸c˜ ao de momento angular neste processo? Explique.

E2. Uma placa condutora aterrada se encontra no plano xy (z = 0). Uma carga q ´ e trazida at´ e o ponto dˆ e _z , com d > 0. Determine:

(a) o potencial eletrost´ atico em todo o espa¸co;

(b) o campo el´ etrico em todo o espa¸co;

(c) a densidade de carga e a carga total induzida na superf´ıcie do condutor;

(d) o trabalho realizado para trazer a carga q do infinito at´ e o ponto dˆ e _z . Q1. Considere, para uma part´ıcula de massa m em uma dimens˜ ao, a fun¸c˜ ao de onda

ψ(x) = A x

x ₀ n

e ^−x/x

,

onde A, n e x ₀ s˜ ao constantes. Encontre o potencial V (x) e a energia E tais que essa fun¸c˜ ao seja uma auto-fun¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger. Considere que V (x) → 0 para x → 0.

Q2. O primeiro estado excitado de um oscilador harmˆ onico isotr´ opico de freq¨ uˆ encia natural ω ₀ , massa m e Hamiltoniano H ₀ , em 3-D, ´ e triplamente degenerado.

(a) Calcule o desdobramento desses n´ıveis devido ` a perturba¸c˜ ao

H ⁰ = b(xy + yz), sendo b uma constante, em primeira ordem de perturba¸c˜ ao.

(b) Determine, em fun¸c˜ ao dos autoestados do oscilador harmˆ onico 3-D n˜ ao per- turbado, os autoestados associados aos n´ıveis perturbados.

Sugest˜ ao: Utilize a representa¸c˜ ao de n´ umero de ocupa¸c˜ ao |n _x ,n _y ,n _z i, tal que H ₀ |n _x ,n _y ,n _z i = (n _x + n _y + n _z + ³ ₂ )¯ hω ₀ |n _x ,n _y ,n _z i.

Dado: Para estados de um oscilador harmˆ onico em 1-D, temos a seguinte rela¸c˜ ao:

hn|x _i |n + 1i = s

(n + 1)¯ h

2mω ₀ , x _i = x,y,z.

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