Centro Federal de Educa¸c˜ ao Tecnol´ ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Unidade Descentralizada de Ensino de Nova Igua¸cu – UnED NI
Engenharia de Produ¸c˜ ao e Engenharia de Controle e Automa¸c˜ ao Disciplina: Probabilidade e Estat´ıstica
Prof. Anna Regina Corbo
CAP´ ITULO 3: Vari´ aveis Aleat´ orias Discretas
Uma vari´ avel aleat´ oria ´ e uma fun¸c˜ ao que associa um ´ unico n´ umero real a cada elemento do espa¸co amostral.
Nosso objetivo ´ e definir a probabilidade dos valores da Vari´ avel Aleat´ oria (V. A.) sem uma referˆ encia expl´ıcita aos elementos do espa¸co amostral S.
Exemplo 1 Moeda lan¸ cada 2 vezes
S = {HH, HT, T H, T T }
Vari´ avel Aleat´ oria X: n´ umero de caras X = 0 → nenhuma cara
X = 1 → uma cara X = 2 → duas caras
P (X = 0) =
14P (X = 1) =
12P (X = 2) =
14X
1 Classifica¸ c˜ ao das Vari´ aveis Aleat´ orias
As vari´ aveis aleat´ orias podem ser discretas ou cont´ınuas.
1.1 Vari´ avel Aleat´ oria Discreta
Dizemos que uma vari´ avel aleat´ oria ´ e discreta se o conjunto de poss´ıveis valores da VA ´ e um conjunto finito (ou infinito cont´ avel).
Exemplo 2 cara/coroa
n´ umero de arranh˜ oes em uma superf´ıcie pe¸cas defeituosas
1.2 Vari´ avel Aleat´ oria Cont´ınua
Dizemos que uma VA ´ e cont´ınua se o conjunto de poss´ıveis valores da VA ´ e um intervalo de n´ umeros reais.
Exemplo 3 Peso
Temperatura Voltagem
2 Fun¸ c˜ ao Densidade de uma V. A. Discreta
Exemplo 4 Callcenter com 48 linhas telefˆ onicas
Vari´ avel Aleat´ oria X = n´ umero de linhas em uso
Espa¸co Amostral da vari´ avel aleat´ oria X ´ e {0, 1, 2, 3, · · · , 48} X
Nosso objetivo ´ e saber a probabilidade que uma vari´ avel aleat´ oria assume num certo valor. A descri¸c˜ ao das probabilidades associadas com os valores poss´ıveis de X ´ e chamada de Fun¸ c˜ ao Densidade de Probabilidade Discreta e ´ e definida por:
Defini¸ c˜ ao: Para uma vari´ avel aleat´ oria discreta X, com valores poss´ıveis N = {x
1, x
2, · · · , x
n} a fun¸c˜ ao densidade ´ e dada por:
f(x
i) = P (X = x
i) Propriedades:
i) f(x) > 0, para todo x ∈ N ii) X
x∈N
f (x) = 1 iii) P (E) = X
f (x), para todo E ⊂ S.
Exemplo 5 Representa¸ c˜ ao pontual
Novo produto pode ter grande sucesso, sucesso moderado ou n˜ ao ter´ a sucesso, com prob- abilidades de 0.3, 0.6 e 0.1, repectivamente. A receita anual poder´ a ser de R$10mi, R$5mi ou R$1mi de acordo com o sucesso do produto. Defina a vari´ avel aleat´ oria X e determine a fun¸c˜ ao densidade de X:
X: renda anual do produto
f(10mi) = P (X = 10mi) = 0, 3 f (5mi) = P (X = 5mi) = 0, 6 f (1mi) = P (X = 1mi) = 0, 1 Exemplo 6 Representa¸ c˜ ao por fun¸ c˜ ao
F´ abrica de fus´ıveis. Probabilidade de fus´ıvel defeituoso ´ e de 10%. Testa-se fus´ıveis encer- rando o teste quando o primeiro com defeito ´ e encontrado. Seja X o n´ umero de testes realizados at´ e encontrar o primeiro com defeito. Achar a fun¸c˜ ao densidade de X:
X: n´ umero de testes realizados at´ e encontrar o primeiro com defeito B: bom
D: defeituoso
Analisando o problema temos que f (x) = 0, 1 × (0, 9)
x−1para todo x = 1, 2, 3, · · · No entanto, esta f´ ormula de densidade ´ e v´ alida? Para afirmar isto, devemos verificar se P
x∈N
f (x) = 1.
Qual a probabilidade do defeito acontecer no terceito teste? Qual a probabilidade do
defeito acontecer entre o segundo e o quinto teste?
3 Fun¸ c˜ ao Distribui¸ c˜ ao de Probabilidade
Seja X uma vari´ avel aleat´ oria qualquer. A fun¸c˜ ao distribui¸c˜ ao F (x) ´ e definida como:
F (x) = P (X 6 x) = X
xi6x
f (x
i)
Ou seja, a fun¸c˜ ao distribui¸c˜ ao representa uma probabilidade “acumulada”.
Propriedades:
i) 0 6 F (x) 6 1
ii) Se x < y ent˜ ao F (x) < F (y) Exemplo 7
X f(x) F (x)
1 0, 1 f(1) = 0,1 2 0, 3 f(1) + f (2) = 0, 4 4 0, 2 f (1) + f (2) + f(4) = 0, 6
6 0, 3 0, 9
8 0, 1 1, 0
a) P (X 6 5, 5) =?
b)P (X > 5, 5) =?
Exemplo 8 Seja a fun¸ c˜ ao distribui¸ c˜ ao F de X:
F (x) =
0, se x < −2
0, 2, se − 2 6 x < 0 0, 7, se 0 6 x < 2 1, se x > 2
Determine a fun¸c˜ ao densidade de X
4 M´ edia e variˆ ancia de uma vari´ avel aleat´ oria discreta
4.1 M´ edia (Valor esperado)
Para dados amostrais x
1, x
2, · · · , x
na m´ edia amostral ´ e dada por:
¯ x = 1
n · x
1+ 1
n · x
2+ · · · + 1 n · x
nOu seja, cada x
item peso
1nno c´ alculo de ¯ x.
A m´ edia de uma VA usa a fun¸c˜ ao densidade de X para ponderar os valores poss´ıveis de X. Ou seja, a m´ edia ou valor esperado de X ´ e dado por:
µ = E[X] = x
1· f(x
1) + x
2· f(x
2) + · · · + x
n· f (x
n) Ou seja,
µ = E [X] = X
x
x · f(x)
4.2 Variˆ ancia
Para dados amostrais x
1, x
2, · · · , x
na variˆ ancia amostral ´ e dada por:
s
2= 1
n − 1 · (x
1− x) ¯
2+ 1
n − 1 · (x
2− x) ¯
2+ · · · + 1
n − 1 · (x
n− x) ¯
2Isto ´ e, cada desvio ao quadrado (x
i− x) ¯
2tem peso
n−11no c´ alculo de s
2.
A variˆ ancia de uma vari´ avel aleat´ oria X ´ e uma medida de dispers˜ ao onde os pesos dos desvios quadr´ aticos s˜ ao dados pela fun¸c˜ ao densidade de X, ou seja,
σ
2= V [X] = (x
1− µ)
2· f(x
1) + (x
2− µ)
2· f(x
2) + · · · + (x
n− µ)
2· f (x
n) Ou seja,
σ
2= V [X] = X
x