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Uma vari´ avel aleat´ oria ´ e uma fun¸c˜ ao que associa um ´ unico n´ umero real a cada elemento do espa¸co amostral.

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Academic year: 2022

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Centro Federal de Educa¸c˜ ao Tecnol´ ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Unidade Descentralizada de Ensino de Nova Igua¸cu – UnED NI

Engenharia de Produ¸c˜ ao e Engenharia de Controle e Automa¸c˜ ao Disciplina: Probabilidade e Estat´ıstica

Prof. Anna Regina Corbo

CAP´ ITULO 3: Vari´ aveis Aleat´ orias Discretas

Uma vari´ avel aleat´ oria ´ e uma fun¸c˜ ao que associa um ´ unico n´ umero real a cada elemento do espa¸co amostral.

Nosso objetivo ´ e definir a probabilidade dos valores da Vari´ avel Aleat´ oria (V. A.) sem uma referˆ encia expl´ıcita aos elementos do espa¸co amostral S.

Exemplo 1 Moeda lan¸ cada 2 vezes

S = {HH, HT, T H, T T }

Vari´ avel Aleat´ oria X: n´ umero de caras X = 0 → nenhuma cara

X = 1 → uma cara X = 2 → duas caras

P (X = 0) =

14

P (X = 1) =

12

P (X = 2) =

14

X

(2)

1 Classifica¸ c˜ ao das Vari´ aveis Aleat´ orias

As vari´ aveis aleat´ orias podem ser discretas ou cont´ınuas.

1.1 Vari´ avel Aleat´ oria Discreta

Dizemos que uma vari´ avel aleat´ oria ´ e discreta se o conjunto de poss´ıveis valores da VA ´ e um conjunto finito (ou infinito cont´ avel).

Exemplo 2 cara/coroa

n´ umero de arranh˜ oes em uma superf´ıcie pe¸cas defeituosas

1.2 Vari´ avel Aleat´ oria Cont´ınua

Dizemos que uma VA ´ e cont´ınua se o conjunto de poss´ıveis valores da VA ´ e um intervalo de n´ umeros reais.

Exemplo 3 Peso

Temperatura Voltagem

2 Fun¸ c˜ ao Densidade de uma V. A. Discreta

Exemplo 4 Callcenter com 48 linhas telefˆ onicas

Vari´ avel Aleat´ oria X = n´ umero de linhas em uso

Espa¸co Amostral da vari´ avel aleat´ oria X ´ e {0, 1, 2, 3, · · · , 48} X

Nosso objetivo ´ e saber a probabilidade que uma vari´ avel aleat´ oria assume num certo valor. A descri¸c˜ ao das probabilidades associadas com os valores poss´ıveis de X ´ e chamada de Fun¸ c˜ ao Densidade de Probabilidade Discreta e ´ e definida por:

Defini¸ c˜ ao: Para uma vari´ avel aleat´ oria discreta X, com valores poss´ıveis N = {x

1

, x

2

, · · · , x

n

} a fun¸c˜ ao densidade ´ e dada por:

f(x

i

) = P (X = x

i

) Propriedades:

i) f(x) > 0, para todo x ∈ N ii) X

x∈N

f (x) = 1 iii) P (E) = X

f (x), para todo E ⊂ S.

(3)

Exemplo 5 Representa¸ c˜ ao pontual

Novo produto pode ter grande sucesso, sucesso moderado ou n˜ ao ter´ a sucesso, com prob- abilidades de 0.3, 0.6 e 0.1, repectivamente. A receita anual poder´ a ser de R$10mi, R$5mi ou R$1mi de acordo com o sucesso do produto. Defina a vari´ avel aleat´ oria X e determine a fun¸c˜ ao densidade de X:

X: renda anual do produto

f(10mi) = P (X = 10mi) = 0, 3 f (5mi) = P (X = 5mi) = 0, 6 f (1mi) = P (X = 1mi) = 0, 1 Exemplo 6 Representa¸ c˜ ao por fun¸ c˜ ao

F´ abrica de fus´ıveis. Probabilidade de fus´ıvel defeituoso ´ e de 10%. Testa-se fus´ıveis encer- rando o teste quando o primeiro com defeito ´ e encontrado. Seja X o n´ umero de testes realizados at´ e encontrar o primeiro com defeito. Achar a fun¸c˜ ao densidade de X:

X: n´ umero de testes realizados at´ e encontrar o primeiro com defeito B: bom

D: defeituoso

Analisando o problema temos que f (x) = 0, 1 × (0, 9)

x−1

para todo x = 1, 2, 3, · · · No entanto, esta f´ ormula de densidade ´ e v´ alida? Para afirmar isto, devemos verificar se P

x∈N

f (x) = 1.

Qual a probabilidade do defeito acontecer no terceito teste? Qual a probabilidade do

defeito acontecer entre o segundo e o quinto teste?

(4)

3 Fun¸ c˜ ao Distribui¸ c˜ ao de Probabilidade

Seja X uma vari´ avel aleat´ oria qualquer. A fun¸c˜ ao distribui¸c˜ ao F (x) ´ e definida como:

F (x) = P (X 6 x) = X

xi6x

f (x

i

)

Ou seja, a fun¸c˜ ao distribui¸c˜ ao representa uma probabilidade “acumulada”.

Propriedades:

i) 0 6 F (x) 6 1

ii) Se x < y ent˜ ao F (x) < F (y) Exemplo 7

X f(x) F (x)

1 0, 1 f(1) = 0,1 2 0, 3 f(1) + f (2) = 0, 4 4 0, 2 f (1) + f (2) + f(4) = 0, 6

6 0, 3 0, 9

8 0, 1 1, 0

a) P (X 6 5, 5) =?

b)P (X > 5, 5) =?

Exemplo 8 Seja a fun¸ c˜ ao distribui¸ c˜ ao F de X:

F (x) =

 

 

0, se x < −2

0, 2, se − 2 6 x < 0 0, 7, se 0 6 x < 2 1, se x > 2

Determine a fun¸c˜ ao densidade de X

(5)

4 M´ edia e variˆ ancia de uma vari´ avel aleat´ oria discreta

4.1 M´ edia (Valor esperado)

Para dados amostrais x

1

, x

2

, · · · , x

n

a m´ edia amostral ´ e dada por:

¯ x = 1

n · x

1

+ 1

n · x

2

+ · · · + 1 n · x

n

Ou seja, cada x

i

tem peso

1n

no c´ alculo de ¯ x.

A m´ edia de uma VA usa a fun¸c˜ ao densidade de X para ponderar os valores poss´ıveis de X. Ou seja, a m´ edia ou valor esperado de X ´ e dado por:

µ = E[X] = x

1

· f(x

1

) + x

2

· f(x

2

) + · · · + x

n

· f (x

n

) Ou seja,

µ = E [X] = X

x

x · f(x)

4.2 Variˆ ancia

Para dados amostrais x

1

, x

2

, · · · , x

n

a variˆ ancia amostral ´ e dada por:

s

2

= 1

n − 1 · (x

1

− x) ¯

2

+ 1

n − 1 · (x

2

− x) ¯

2

+ · · · + 1

n − 1 · (x

n

− x) ¯

2

Isto ´ e, cada desvio ao quadrado (x

i

− x) ¯

2

tem peso

n−11

no c´ alculo de s

2

.

A variˆ ancia de uma vari´ avel aleat´ oria X ´ e uma medida de dispers˜ ao onde os pesos dos desvios quadr´ aticos s˜ ao dados pela fun¸c˜ ao densidade de X, ou seja,

σ

2

= V [X] = (x

1

− µ)

2

· f(x

1

) + (x

2

− µ)

2

· f(x

2

) + · · · + (x

n

− µ)

2

· f (x

n

) Ou seja,

σ

2

= V [X] = X

x

(x − µ)

2

· f (x) J´ a o desvio-padr˜ ao de uma vari´ avel aleat´ oria X ´ e dado por

σ = p V [X]

Exemplo 9 Retorno de um investimento R: retorno

r

i

−5% 0% 5% 10% 15%

f (r

i

) 0,4 0,15 0,25 0,15 0,05 a) Qual E[R] ?

E[R] = (−5 · 0, 4) + (0 · 0, 15) + (5 · 0, 25) + (10 · 0, 15) + (15 · 0, 05)

= −2, 0 + 1, 25 + 1, 5 + 0, 75 = 1, 5% X b) Qual V [R] ?

V [R] = (−5 − 1, 5)

2

· 0, 4 + (0 − 1, 5)

2

· 0, 15 + (5 − 1, 5)

2

· 0, 25 + (10 − 1, 5)

2

·

0, 15 + (15 − 1, 5)

2

· 0, 05 = 40, 25 X

(6)

5 Modelos de fun¸ c˜ oes de densidade discretas

Apresentaremos a an´ alise de v´ arios experimentos aleat´ orios e modelos de fun¸c˜ oes de densi- dade para vari´ aveis aleat´ orias discretas que aparecem constantemente em aplica¸c˜ oes.

5.1 Densidade Uniforme Discreta

A vari´ avel aleat´ oria discreta mais simples ´ e aquela que assume somente um n´ umero finito de valores poss´ıveis, cada um com igual probabilidade.

Defini¸ c˜ ao: Uma vari´ avel aleat´ oria X ser´ a uma Vari´ avel Aleat´ oria Discreta Uniforme, se cada um dos n valores poss´ıveis x

1

, x

2

, · · · , x

n

tiver igual probabilidade, isto ´ e,

f(x

i

) = 1 n Nota¸c˜ ao: X ∼ U nif (n)

Exerc´ıcio: Calcule a m´ edia de X ∼ U nif (n) para a 6 X 6 b

5.2 Densidade Binomial

Um experimento aleat´ orio binomial consiste em N repetidas tentativas de modo que:

1. As tentativas sejam independentes

2. Cada tentativa resulte em somente dois resultados poss´ıveis, designados “sucesso” e

“falha”.

3. A probabilidade de um sucesso em cada tentativa, denotada por p, permane¸ca con- stante.

A vari´ avel aleat´ oria X, que ´ e igual ao n´ umero de tentativas que resultam em um sucesso, tem uma densidade binomial com parˆ ametros p e n = 1, 2, 3, · · ·

A fun¸c˜ ao densidade de X ´ e dada por:

f(x) = n

p

p

x

(1 − p)

n−x

, onde x = 0, 1, 2, · · · , n Nota¸c˜ ao: X ∼ Bin(n, p)

Exemplo 10 Exemplos de experimentos aleat´ orios com distribui¸ c˜ ao binomial 1. Jogue uma moeda 10 vezes.

Seja X o n´ umero de caras obtidas

2. Uma m´ aquina produz 10% de pe¸cas defeituosas.

Seja X o n´ umero de pe¸cas defeituosas nas pr´ oximas 25 pe¸cas produzidas.

(7)

3. Nos pr´ oximos 20 nascimentos em um hospital, seja X o n´ umero de nascimentos de meninos.

Exemplo 11

Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma certa mol´ ecula rara. Considere que as amostras sejam independentes com rela¸c˜ ao ` a presen¸ca da mol´ ecula rara. Encontre a probabilidade de que nas pr´ oximas 18 amostras:

a) exatamente 2 contenham a mol´ ecula rara.

b) no m´ınimo 4 amostras contenham a mol´ ecula.

c) entre 3 e 6 amostras contenham a mol´ ecula.

5.3 Densidade Geom´ etrica

Em uma s´ erie de tentativas independentes, com probabilidade constante p de um sucesso, fa¸ca a vari´ avel aleat´ oria X denotar o n´ umero de tentativas at´ e que o primeiro sucesso ocorra.

Ent˜ ao X tem densidade geom´ etrica com parˆ ametro p e

f (x) = (1 − p)

x−1

p, para x = 1, 2, 3, · · · Nota¸c˜ ao: X ∼ Geom(p)

Exemplo 12

F´ abrica de fus´ıveis. Probabilidade de fus´ıveis com defeito 0, 1. Seja X o n´ umero de fus´ıveis fabricados at´ e que o primeiro com defeito seja encontrado. Qual a probabilidade de o quinto fus´ıvel seja defeituoso?

X ∼ Geom(p = 0, 1)

P (X = 5) = f (5) = (1 − p)

5−1

p

P (X = 5) = f (5) = (0, 9)

4

0, 1 = 0, 666 X

Exemplo 13

A probabilidade de uma amostra de ´ agua conter uma part´ıcula grande de contamina¸c˜ ao ´ e

de 0,02. Se for considerado que as amostras sejam independentes, qual ser´ a a probabilidade

de que exatamente 125 amostras necessitem ser analisadas antes de uma contaminada ser

detectada?

(8)

5.4 Densidade Hipergeom´ etrica

Uma s´ erie de N objetos cont´ em

K objetos classificados como sucessos e N − K objetos classificados como falhas

Uma amostra de tamanho n objetos ´ e selecionada ao acaso (sem reposi¸c˜ ao) a partir de N objetos, em que K 6 N e n 6 N .

Seja X a vari´ avel aleat´ oria que representa o n´ umero de sucessos na amostra. Ent˜ ao X tem densidade hipergeom´ etrica com parˆ ametros N, K, n e

f (x) = K

x

N − K n − x

N

n

Nota¸c˜ ao: X ∼ Hiper(N, K, n)

Exemplo 14

Numa loja existem 100 pe¸cas de um fornecedor local e 200 pe¸cas de um fornecedor de um estado vizinho. Se quatro pe¸cas forem selecionadas, qual ser´ a a probabilidade de:

a) Todas elas sejam provenientes do fornecedor local?

b) De 2 ou mais pe¸cas sejam provenientes do fornecedor local?

c) No m´ınimo, uma pe¸ca seja proveniente do fornecedor local?

Referências

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