Cap ıtulo 10 An alise de Lajes 10.1 Introdu

(1)

An´ alise de Lajes

10.1 Introdu¸ c˜ ao

Neste cap´ıtulo s˜ ao aplicados os modelos h´ıbrido-mistos na resolu¸c˜ ao de problemas de lajes em regime el´ astico e elastopl´ astico. Uma laje pode ser deﬁnida geometri- camente atrav´ es da considera¸c˜ ao de uma superf´ıcie m´ edia, conhecida normalmente como folheto m´ edio, ` a qual se associa ponto a ponto uma espessura que corresponde

`

a menor dimens˜ ao da pe¸ca. Embora possa ser vari´ avel, considera-se neste trabalho que a espessura da laje ´ e constante em todo o dom´ınio.

A an´ alise de lajes pode ser efectuado com recurso ` as equa¸c˜ oes da elasticidade e plasticidade tridimensionais, sendo o seu comportamento definido em fun¸c˜ ao das grandezas atr´ as utilizadas, tens˜ oes, deforma¸c˜ oes e deslocamentos. No entanto, tal procedimento ao n˜ ao tirar partido da especificidade da estrutura em causa, torna-se desnecessariamente pesado. Tˆ em vindo a ser propostas ao longo dos tempos diferen- tes teorias [131, 175, 187] que permitem tratar de uma forma eficiente os problemas de flex˜ ao de lajes. Todas elas passam pela caracteriza¸c˜ ao dos campos cinem´ atico e est´ atico atrav´ es da defini¸c˜ ao de grandezas generalizadas, deslocamentos, deforma¸c˜ oes independentes e esfor¸cos. O conjunto de condi¸c˜ oes que relacionam estas grandezas permite ter em conta o car´ acter tridimensional do comportamento das lajes, dando origem no entanto a modelos apenas bidimensionais.

A teoria cl´ assica de lajes ﬁnas, tamb´ em conhecida por teoria de Kirchhoﬀ [126, 187], ´ e o equivalente nas lajes ` a teoria de Euler-Bernoulli das pe¸cas lineares, n˜ ao permitindo ter em conta o efeito da deforma¸c˜ ao devida ao esfor¸co transverso. A teoria de Reissner-Mindlin [131, 175], ao permitir a contabiliza¸c˜ ao deste efeito, ´ e muito utilizada na an´ alise de lajes espessas. Corresponde, na an´ alise de vigas, ` a teoria de Timoshenko [188].

Nos ´ ultimos tempos tem-se vindo a assistir ao desenvolvimento das chamadas teorias de ordem superior [147, 173]. De um modo muito geral, pode dizer-se que estas

275

(2)

o grau das aproxima¸c˜ oes efectuadas ao longo da espessura das lajes. Estas teorias s˜ ao de especial interesse na an´ alise de estruturas laminadas constitu´ıdas por material comp´ osito [147].

Os modelos h´ıbrido-mistos utilizados na an´ alise de lajes foram desenvolvidos com base na teoria de Reissner-Mindlin. Foi tamb´ em desenvolvido um modelo que per- mite aplicar a teoria de ordem superior desenvolvida por Pereira [147]. Nas duas sec¸c˜ oes seguintes ´ e efectuada a redeﬁni¸c˜ ao dos operadores intervenientes em cada uma das teorias de modo a permitir que a forma gen´ erica utilizada na apresen- ta¸c˜ ao das condi¸c˜ oes fundamentais possa ser tamb´ em utilizada na caracteriza¸c˜ ao do comportamento das lajes.

Os exemplos que se apresentam tˆ em como principal finalidade caracterizar as so- lu¸c˜ oes obtidas com base na utiliza¸c˜ ao de fun¸c˜ oes de Walsh e sistemas de wavelets e ilustrar as potencialidades dos modelos na an´ alise deste tipo de estruturas. Tal como no caso das placas, s˜ ao estudadas as diferentes possibilidades de refinamen- to hier´ arquico, assim como se testa a influˆ encia que a distor¸c˜ ao da malha tem na qualidade da solu¸c˜ ao. Ilustra-se tamb´ em a resolu¸c˜ ao de problemas onde a malha

´

e constitu´ıda por elementos com forma n˜ ao-rectangular. ´ E tamb´ em analisado um exemplo que permite veriﬁcar que os fen´ omenos de locking se encontram ausentes quando se utilizam modelos h´ıbrido-mistos nas an´ alises.

O modelo para a an´ alise elastopl´ astica de lajes foi desenvolvido com base na formu- la¸c˜ ao de Reissner-Mindlin. A sua aplica¸c˜ ao ´ e ilustrada atrav´ es da an´ alise de uma laje encastrada sujeita a uma carga uniformemente distribu´ıda na sua face superior.

10.2 Lajes de Reissner-Mindlin

10.2.1 Condi¸ c˜ oes de compatibilidade

O dom´ınioV de um laje pode ser descrito na forma:

V =

{

(x, y, z)

∈

R

³

: z

∈

[

−

τ /2, τ /2] , (x, y)

∈

Ω

⊂

R

²}

, onde Ω e τ denotam o plano m´ edio e a espessura da laje, respectivamente.

A teoria de Reissner-Mindlin assume que as normais ` a superf´ıcie m´ edia da laje (z = 0) antes da deforma¸c˜ ao, permanecem rectas ap´ os a deforma¸c˜ ao, mas j´ a n˜ ao necessariamente normais a essa superf´ıcie.

Sejam θ

x

(x, y) e θ

y

(x, y) as rota¸c˜ oes nos planos (x, z) e (y, z ) das normais ` a su-

perf´ıcie m´ edia da laje no ponto (x, y ). Mantendo-se aquelas normais rectas ap´ os a

(3)

u

_x

(x, y, z) = z θ

_x

(x, y ) ; u

y

(x, y, z) = z θ

y

(x, y) .

Considera-se por outro lado que os deslocamentos transversais n˜ ao variam ao longo da espessura da laje. Tem-se desta forma,

u

_z

(x, y, z) = w(x, y).

Para descrever o campo de deslocamentos na laje, a teoria de Reissner-Mindlin utiliza as trˆ es grandezas cinem´ aticas atr´ as deﬁnidas, θ

_x

, θ

_y

e w.

Para caracterizar os estado de deforma¸c˜ ao da laje, s˜ ao deﬁnidas como deforma¸ c˜ oes independentes trˆ es curvaturas, χ

xx

, χ

yy

e χ

xy

, e duas distor¸c˜ oes, γ

x

e γ

y

, dadas respectivamente por:

χ

_xx

= ε

xx

z = ∂ θ

x

∂x ; χ

yy

= ε

_yy

z = ∂ θ

_y

∂y ; χ

_xy

= γ

_xy

z = ∂ θ

_x

∂y + ∂ θ

_y

∂x ; γ

_x

= γ

_xz

= θ

_x

+ ∂ w

∂x ; γ

_y

= γ

_yz

= θ

_y

+ ∂ w

∂y ;

As igualdades anteriores podem ser escritas matricialmente na forma:







χ

_xx

χ

_yy

χ

_xy

γ

_x

γ

_y







=







∂

∂x · ·

· _∂y^∂ ·

∂

∂y

∂

∂x ·

1

· _∂x^∂

·

1

_∂y^∂







×





θ

_x

θ

_y

w





.

Esta equa¸c˜ ao corresponde ` a condi¸c˜ ao de compatibilidade no dom´ınio escrita na forma (2.7), se se considerar que

u

=





θ

_x

θ

_y

w





;

ε

=







χ

xx

χ

_yy

χ

_xy

γ

_x

γ

_y







;

D^∗

=







∂

∂x · ·

· _∂y^∂ ·

∂

∂y

∂

∂x ·

1

· _∂x^∂

·

1

_∂y^∂







.

As condi¸c˜ oes de fronteira cinem´ atica podem ser impostas na forma (2.8), onde agora

se encontram listados no vector

uγ

os valores especiﬁcados para θ

x

, θ

y

e w ao longo

de Γ

_u

.

(4)

Os esfor¸cos independentes seleccionados para caracterizar o estado de tens˜ ao na laje, correspondem a trˆ es momentos, M

_xx

, M

_yy

e M

_xy

, e a dois esfor¸cos transversos, V

_x

e V

_y

. Os momentos s˜ ao deﬁnidos atrav´ es das igualdades,

M

_xx

=

_{τ /}₂

−τ /2

z σ

_xx

dz ; (10.1)

M

_yy

=

_{τ /}₂

−τ /2

z σ

_yy

dz ; (10.2)

M

_xy

=

_{τ /}₂

−τ /2

z σ

_xy

dz . (10.3)

enquanto que os esfor¸cos transversos s˜ ao dados por:

V

_x

=

_{τ /}₂

−τ /2

σ

_xz

dz ; (10.4)

V

y

=

_{τ /}₂

−τ /2

σ

yz

dz . (10.5)

Integrando na espessura da laje as condi¸c˜ oes de equil´ıbrio no dom´ınio pr´ e-multiplicadas pelo valor da coordenada z, obtˆ em-se as seguintes equa¸c˜ oes:

_{τ /}₂

−τ /2

z (σ

_xx,x

+ σ

_xz,z

+ σ

_xy,y

+ b

_x

) dz = 0 ;

_{τ /}₂

−τ /2

z (σ

yy,y

+ σ

yz,z

+ σ

yx,x

+ b

y

) dz = 0 ;

_{τ /}₂

−τ /2

z (σ

_zz,z

+ σ

_zx,x

+ σ

_zy,y

+ b

_z

) dz = 0 .

Desenvolvendo as trˆ es igualdades anteriores e tendo em conta as deﬁni¸c˜ oes dadas para momentos ﬂectores e esfor¸cos transversos, obtˆ em-se as condi¸c˜ oes de equil´ıbrio da laje. Estas podem ser escritas matricialmente na forma:







∂

∂x

∂

∂y −

1

∂

∂y

∂

∂x −

1

∂

∂x

∂

∂y













M

xx

M

_yy

M

_xy

V

x

V

_y







+





τ

2 τ

τ 2

2 τ

2

1

−

1











σ

_xz⁺

σ

⁺_yz

σ

_xz⁻

σ

⁻_yz

σ

_zz⁺

σ

_zz⁻







+





m

_x

m

_y

v





=

0

,

onde

m

_x

=

_{τ /}₂

−τ /2

z b

_x

dz , m

_y

=

_{τ /}₂

−τ /2

z b

_y

dz , v =

_{τ /}₂

−τ /2

b

_z

dz ,

e onde σ

_sz⁺{

σ

_sz⁻}

representa as trac¸c˜ oes aplicadas na face superior

{

inferior

}

da laje

segundo a direc¸c˜ ao s. Veriﬁca-se desta forma que as condi¸c˜ oes de equil´ıbrio podem

ser reescritas na forma condensada (2.3), se se considerar que o vector

σ

reune os

cinco esfor¸cos independentes acima deﬁnidos e que ao vector

b

correspondem os

coeﬁcientes resultantes da soma dos segundo e terceiro termos da equa¸c˜ ao anterior.

(5)

O formato de rigidez das rela¸c˜ oes constitutivas em regime el´ astico pode ser escrito na forma [131, 175]:







M

_xx

M

_yy

M

_xy

V

_x

V

_y







=







D

_f

νD

_f · · ·

νD

_f

D

_f · · ·

· · ^Gτ₁₂³ · ·

· · ·

κ

²

Gτ

·

· · · ·

κ

²

Gτ













χ

_xx

χ

_yy

χ

_xy

γ

_x

γ

_y







, (10.6)

com

D

_f

= E τ

³

12(1

−

ν

²

) . (10.7)

A rela¸c˜ ao entre os esfor¸cos transversos e as distor¸c˜ oes deveria ser dada por uma igualdade do tipo:

V

x

=

_{τ /}₂

−τ /2

σ

xz

dz =

_{τ /}₂

−τ /2

G γ

x

dx = G τ γ

x

.

No entanto, a teoria de Reissner-Mindlin prevˆ e a considera¸c˜ ao de um coeﬁciente minorativo na rigidez de corte, κ

²

. Este factor de corte tem como ﬁnalidade permi- tir a considera¸c˜ ao da n˜ ao uniformidade na distribui¸c˜ ao das tens˜ oes tangenciais na espessura da laje. Segundo Reissner, o factor de corte deve valer κ

²

= 5/6, enquanto que Mindlin utiliza o mesmo coeﬁciente com valor κ

²

= π

²

/12.

As rela¸c˜ oes constitutivas podem ser apresentadas tamb´ em na forma (2.10) se se inverter a deﬁni¸c˜ ao (10.6). Obt´ em-se deste modo:







χ

_xx

χ

_yy

χ

_xy

γ

_x

γ

_y







=







12

Eτ³ −

ν

_Eτ¹²₃ · · ·

−

ν

_Eτ¹²₃ _Eτ¹²₃ · · ·

· · ²⁴⁽¹⁺_Eτ3^ν⁾ · ·

· · · _κ2¹Gτ ·

· · · · _κ2¹Gτ













M

_xx

M

_yy

M

_xy

V

_x

V

_y







.

Para deﬁnir a matriz

M

para o caso das lajes, h´ a que seleccionar primeiro a con- di¸c˜ ao de cedˆ encia a utilizar. S˜ ao v´ arias as hip´ oteses que se podem admitir [142]. A primeira consiste em exprimir a condi¸c˜ ao de cedˆ encia em fun¸c˜ ao das componentes independentes do tensor das tens˜ oes, tal como ´ e efectuado em problemas tridimensi- onais [142]. Este n˜ ao ´ e contudo o formato mais eficiente, uma vez que as grandezas est´ aticas envolvidas na caracteriza¸c˜ ao do estado de tens˜ ao das lajes s˜ ao os esfor¸cos independentes definidos em (10.1-10.5). O procedimento usual consiste ent˜ ao em transferir para os esfor¸cos a defini¸c˜ ao das condi¸c˜ oes de cedˆ encia.

Surgem ainda duas alternativas; envolver na deﬁni¸c˜ ao de cedˆ encia a totalidade dos

esfor¸cos independentes ou apenas os momentos ﬂectores. Foi seguido neste tra-

balho esta ´ ultima hip´ otese. O crit´ erio de cedˆ encia seleccionado ´ e utilizado muito

(6)

M

_xx² −

M

_xx

M

_yy

+ M

_yy²

+ 3M

_xy²

= M

₀

.

Esta equa¸c˜ ao permite veriﬁcar que a matriz

M

a utilizar na caracteriza¸c˜ ao do com- portamento das lajes em regime elastopl´ astico ´ e semelhante ` a matriz deﬁnida para o caso dos estados planos de tens˜ ao.

10.3 Lajes de ordem superior

O modelo de lajes de ordem superior proposto por Pereira [147] baseia-se numa aproxima¸c˜ ao para o campo de deslocamentos ao longo da espessura da pe¸ca efectu- ada atrav´ es da considera¸c˜ ao de uma expans˜ ao em s´ erie de Taylor, e numa posterior integra¸c˜ ao por partes da equa¸c˜ ao de equil´ıbrio.

Esta formula¸c˜ ao permite recuperar, como casos particulares, as teorias de Kirchhoﬀ e de Reissner-Mindlin. A nota¸c˜ ao que ´ e aqui utilizada segue de muito perto a que ´ e deﬁnida em [147].

O campo de deslocamentos na pe¸ca laminar ´ e aproximado na forma:

u(x, y, z) =

n

k=0

U_k

(z)

u_k

(x, y) , (10.8) com,

Uk

(z) =







z^k

k! · ·

· ^z_k^k_! ·

· · ₍^z_k^k−1_−1)!







,

uk

(x, y) =





u

_x

u

_y

u

_z





k

, k

≥

1 . (10.9) A matriz

U_k

(z) reune as fun¸c˜ oes de aproxima¸c˜ ao do campo de deslocamentos ao longo da espessura (coordenada z). Os valores dos deslocamentos generalizados,

u_k

(x, y), s˜ ao fun¸c˜ ao apenas das coordenadas de cada um dos pontos pertencentes ao folheto m´ edio da laje.

O campo de deforma¸c˜ oes na laje ´ e deﬁnido pela igualdade:

ε

(x, y, z) =

n

k=0

Ek

(z)

ek

(x, y) , (10.10) com

E_k

(z) =







z^k

k! · · · · ·

· ^z_k^k_! · · · ·

· · ₍^z_k^k−2_−2)! · · ·

· · · _(k−1)!^z^k−1 · ·

· · · · ₍^z_k^k−1_−1)! ·

· · · · · ^z_k^k_!







,

e_k

(x, y) =







e

_xx

e

_yy

e

_zz

e

_yz

e

_xz

e

_xy







k

.

(7)

10.3.1 Condi¸ c˜ oes de compatibilidade

A rela¸c˜ ao entre deforma¸c˜ oes e deslocamentos generalizados vem dada pela igualdade:

e_k

=

D^∗u_k

. (10.11)

O operador diferencial de compatibilidade pode ser escrito na forma:

D^∗

=







∂

∂x · ·

· _∂y^∂ ·

· ·

1

·

1

_∂y^∂

1

· _∂x^∂

∂

∂y

∂

∂x ·







. (10.12)

Para efectuar a imposi¸c˜ ao das condi¸c˜ oes de fronteira cinem´ atica, considera-se a subdivis˜ ao da fronteira da laje em trˆ es sub-regi˜ oes: Γ

_u

= Γ

⁺_u ∪

Γ

⁻_u ∪

Γ

^{f m}_u

. O tro¸co da fronteira cinem´ atica pertencente ` a face superior

{

inferior

}

da laje ´ e aqui representado por Γ

⁺_u{

Γ

⁻_u}

, enquanto que o tro¸co pertencente ` a intersec¸c˜ ao das faces laterais da laje com o plano deﬁnido pelo folheto m´ edio ´ e denotado por Γ

^{f m}_u

.

Nas faces superior e inferior da laje, as condi¸c˜ oes de fronteira cinem´ atica s˜ ao escritas na forma:

u_γ

(Γ

⁺_u

) =

n

k=0

U_k

(τ /2)

u_k

(x, y)

u_γ

(Γ

⁻_u

) =

n

k=0

U_k

(

−

τ /2)

u_k

(x, y)

J´ a no plano m´ edio da laje, a imposi¸c˜ ao das condi¸c˜ oes de fronteira deve ser efectuada em separado para cada ordem. Deﬁne-se ent˜ ao:

uγk

(Γ

^{f m}_u

) =

uk

(x, y )

10.3.2 Condi¸ c˜ oes de equil´ıbrio

Os esfor¸cos generalizados, grandezas duais das deforma¸c˜ oes generalizadas introdu-

zidas em (10.10), s˜ ao deﬁnidos pela equa¸c˜ ao:

(8)

s_k

=





s

_yy

s

_zz

s

_yz

s

xz

s

_xy





k

=

_{τ /}₂

−τ /2E^t_kσ

dz (10.13)

A eq ua¸c˜ ao de equil´ıbrio no dom´ınio apresenta o seguinte formato:

D s_k

+

U^t_kN_zσ^{τ /}²

−τ /2

+

b_k

=

0,

(10.14) onde se deﬁne

b_k

=

_{τ /2}

−τ /2

U^t_kb

dz .

A imposi¸c˜ ao das condi¸c˜ oes de fronteira est´ atica passa de novo pela subdivis˜ ao da fronteira em trˆ es regi˜ oes, Γ

_σ

= Γ

⁺_σ ∪

Γ

⁻_σ ∪

Γ

^{f m}_σ

. Nas faces superior e inferior da laje, a eq ua¸c˜ ao de equil´ıbrio pode ser escrita na forma:

Nσ

=

t_γ

(τ /2) em Γ

⁺_σ

;

Nσ

=

t_γ

(

−

τ /2) em Γ

⁻_σ

.

Substituindo agora estas igualdades na equa¸c˜ ao de equil´ıbrio (10.14) obt´ em-se

D s_k

+

t^σ_γk⁺

+

t^σ_γk⁻

+

t^u_k⁺

+

t^u_k⁻

+

b_k

=

0,

(10.15) com:

t^σ_γk⁺

= 1 n

_z

(

^τ₂

)

U^t_k

( τ 2 )

t_γ

( τ

2 ) em Γ

⁺_σ

;

t^σ_γk⁻

= 1

n

_z

(

−^τ₂

)

U^t_k

(

−

τ

2 )

tγ

(

−

τ

2 ) em Γ

⁻_σ

;

t^u_k⁺

= 1

n

_z

(

^τ₂

)

U^t_k

( τ 2 )

t(

τ

2 ) em Γ

⁺_u

;

t^u_k⁻

= 1

n

_z

(

−^τ₂

)

U^t_k

(

−

τ

2 )

t(−

τ

2 ) em Γ

⁻_u

.

E importante sublinhar que as trac¸c˜ ´ oes ao longo das fronteiras Γ

⁺_u

e Γ

⁻_u

n˜ ao s˜ ao conhecidas ` a partida. Torna-se ent˜ ao necess´ ario proceder ` a sua aproxima¸c˜ ao.

Ao n´ıvel do plano m´ edio da laje, as condi¸c˜ oes de fronteira est´ atica devem ser im- postas em separado para cada uma das ordens. Pode escrever-se:

N s_k

=

t_γk

, com

t_γk

=

_{τ /}₂

−τ /2

U^t_kt_γ

dz .

(9)

Atendendo ` a deﬁni¸c˜ ao dos esfor¸cos generalizados e ` a rela¸c˜ ao deforma¸c˜ oes-deforma¸c˜ oes generalizadas, o formato de rigidez das rela¸c˜ oes constitutivas ´ e dado pela igualdade

s_i

=

n

j=0

k_ije_j

. (10.16)

A matriz

k_ij

permite relacionar os esfor¸cos generalizados de ordem i com as defor- ma¸c˜ oes generalizadas de ordem j e pode ser determinada atrav´ es da integra¸c˜ ao,

k_ij

=

_{τ /}₂

−τ /2E^t_if⁻¹E_j

dz .

O formato de ﬂexibilidade pode ser obtido atrav´ es da invers˜ ao de (10.16), obtendo-se

e_i

=

n

j=0

f_ijs_j

=

n

j=0

k⁻¹_ij s_j

.

10.4 Laje quadrada simplesmente apoiada

A an´ alise da laje simplesmente apoiada representada na ﬁgura 10.1 vai servir pa- ra ilustrar a utiliza¸c˜ ao dos modelos h´ıbrido-mistos baseados em aproxima¸c˜ oes com s´ eries de Walsh e sistemas de wavelets.

Figura 10.1: Laje simplesmente apoiada.

Devido ` a dupla simetria existente, apenas um quarto da laje ´ e analisada, tal como se encontra representado na ﬁgura 10.1. E admitido que os apoios s˜ ´ ao do tipo

”hard” [173]. S˜ ao consideradas as trˆ es malhas de elementos ﬁnitos representadas na

ﬁgura 10.2 e para cada uma delas s˜ ao testados diferentes graus de aproxima¸c˜ ao. Esta

(10)

Figura 10.2: Malhas utilizadas na an´ alise da laje simplesmente apoiada.

an´ alise, para al´ em de permitir a confirma¸c˜ ao das caracter´ısticas gerais das solu¸c˜ oes obtidas com estes modelos num´ ericos, vai ainda possibilitar o estudo da eficiˆ encia com que podem ser aplicados os processos de refinamento p- e h- hier´ arquicos.

10.4.1 An´ alise com fun¸ c˜ oes de Walsh

Tal como no caso das placas, o grau das fun¸c˜ oes de Walsh ´ e descrito em fun¸c˜ ao do valor do parˆ ametro p. Para ﬂexibilizar a escolha das discretiza¸c˜ oes a efectuar, considera-se que o grau da aproxima¸c˜ ao dos momentos, n

xm

, pode ser diferente do grau utilizado na aproxima¸c˜ ao dos esfor¸cos transversos, n

_xv

. Da mesma forma, efectuam-se aproxima¸c˜ oes de grau diferente para as rota¸c˜ oes no dom´ınio

{

fronteira

}

, n

vθ{

n

vγθ}

e para os deslocamentos transversais no dom´ınio

{

fronteira

}

, n

vw{

n

vγw}

. Considera-se neste caso que:

n

_xm

= 2

^p

; n

_xv

= 1

2 (2

^p

+ 2

^p⁻¹

) ; n

vθ

= 2

^p⁻¹

; n

vw

= 2

^p⁻¹

; n

vγθ

= 2

^p−

1 ; n

vγw

= 1

2 (2

^p

+ 2

^p⁻¹

)

−

1 ,

com p = 2, . . . , 6. Na tabela 10.1 apresenta-se o n´ umero de parˆ ametros de tens˜ ao e de deslocamento utilizados em cada uma das discretiza¸c˜ oes consideradas.

Na tabela 10.2 listam-se, para as discretiza¸c˜ oes envolvendo a utiliza¸c˜ ao da malha A,

o n´ umero de graus de liberdade, N

_gl

, e o tempo total de execu¸c˜ ao, T

_tot

, expresso em

segundos. Indicam-se ainda as aproxima¸c˜ oes obtidas para os valores do momento

M

_xx

e do deslocamento vertical w no ponto central da laje (ponto C na estrutura

representada na ﬁgura 10.1) e o valor obtido para a energia de deforma¸c˜ ao, U. Para

facilitar a compara¸c˜ ao dos resultados obtidos com outras solu¸c˜ oes apresentadas na

literatura, foi efectuada a seguinte normaliza¸c˜ ao,

(11)

2 66 12 16 264 48 64 1056 192 256

3 264 48 38 1056 192 152 4224 768 608

4 1056 192 82 4224 768 328 16896 3072 1312

5 4224 768 170 16896 3072 680 67584 12288 2720 6 16896 3072 346 67584 12288 1384 270336 49152 5536

Tabela 10.1: Caracteriza¸ c˜ ao das discretiza¸ c˜ oes consideradas na an´ alise da laje sim- plesmente apoiada.

w

_c

= 100 D

_f

q a

⁴

w

_c

; M

_xxc

= 100

q a

²

M

_xxc

; U = 100

²

D

_f

q

²

a

⁶

U ,

onde D

f

representa a rigidez de ﬂex˜ ao deﬁnida em (10.7).

p N

_gl

w

_c

M

_xxc

U T

_tot

(s) 2 94 0.495763 4.254443 3.575655 0.03 3 350 0.424802 4.664553 2.401183 0.16 4 1330 0.410969 4.758581 2.190390 2.01 5 5162 0.407564 4.781237 2.144130 32.56 6 20314 0.406723 4.786802 2.133040 690.64

Tabela 10.2: Laje simplesmente apoiada; resultados obtidos com a malha A e com fun¸ c˜ oes de Walsh.

As tabelas 10.3 e 10.4 reunem a mesma informa¸c˜ ao, mas agora para as discretiza¸c˜ oes envolvendo as malhas B e C, respectivamente.

A an´ alise dos valores T

_tot

listados permite desde logo verificar que as discreti- za¸c˜ oes envolvendo um elevado n´ umero de graus de liberdade est˜ ao associadas a um dispˆ endio de tempo de CPU bastante elevado. Este facto tem duas explica¸c˜ oes. Por um lado, o algoritmo utilizado na resolu¸c˜ ao dos sistemas de equa¸c˜ oes n˜ ao ´ e o mais eficaz. Para reduzir a capacidade de mem´ oria necess´ aria, foi utilizado o m´ etodo dos gradientes conjugados sem qualquer pr´ e-condicionamento, a n˜ ao ser a normaliza¸c˜ ao da matriz dos coeficientes. Por outro lado, n˜ ao foram utilizados algoritmos FWT na execu¸c˜ ao das combina¸c˜ oes lineares envolvendo fun¸c˜ oes de Walsh durante a fase de p´ os-processamento, o que introduz tamb´ em uma degrada¸c˜ ao apreci´ avel na eficiˆ encia num´ erica do processo de c´ alculo.

A an´ alise das tabelas 10.2, 10.3 e 10.4 permite veriﬁcar que o reﬁnamento da so-

lu¸c˜ ao ´ e conseguido, de uma forma gradual e consistente, quer atrav´ es do aumento do

n´ umero de termos nas s´ eries utilizadas nas aproxima¸c˜ oes, quer atrav´ es do acr´ escimo

(12)

3 1400 0.411045 4.758025 2.191032 2.28 4 5320 0.407574 4.781167 2.144209 29.96 5 20648 0.406725 4.786794 2.133050 381.04 6 81256 0.406515 4.788180 2.130303 6426.11

Tabela 10.3: Laje simplesmente apoiada; resultados obtidos com a malha B e com fun¸ c˜ oes de Walsh.

p N

_gl

w

_c

M

_xxc

U T

_tot

(s) 2 1504 0.411298 4.756654 2.192254 2.56 3 5600 0.407599 4.780998 2.144354 31.64 4 21280 0.406728 4.786774 2.133068 321.51 5 82592 0.406515 4.788177 2.130306 3526.15 6 325024 0.406463 4.788523 2.129620 54569.45

Tabela 10.4: Laje simplesmente apoiada; resultados obtidos com a malha Ce com fun¸ c˜ oes de Walsh.

do n´ umero de macro-elementos considerado. Esta afirma¸c˜ ao ´ e de imediato confir- mada pela an´ alise dos gr´ aficos apresentados nas figuras 10.3, 10.4 e 10.5, onde se representa o valor de U , w

_c

e M

_xxc

para cada um dos casos de teste considerados.

Os valores representados nestes gr´ aﬁcos foram normalizados tendo em aten¸c˜ ao a solu¸c˜ ao ”exacta”, obtida na forma de uma expans˜ ao em s´ erie [187] e apresentada em [145, 204],

w

_ce

= 0.40644 ; M

_ce

= 4.78863 ; U

_e

= 2.1294 .

O gr´ afico da figura 10.6 representa a evolu¸c˜ ao do erro relativo associado ao valor da energia de deforma¸c˜ ao em fun¸c˜ ao do n´ umero de graus de liberdade envolvido na aproxima¸c˜ ao. A an´ alise deste gr´ afico permite confirmar que discretiza¸c˜ oes com um n´ umero diferente de elementos e com diferentes graus nas fun¸c˜ oes utilizadas conduzem a solu¸c˜ oes praticamente coincidentes quando envolvem o mesmo n´ umero de graus de liberdade.

A ﬁgura 10.7, onde se representa a distribui¸c˜ ao de momentos M

_xx

obtida para todos os casos testados, permite verificar a forma atrav´ es da qual a solu¸c˜ ao ´ e refinada a partir de uma solu¸c˜ ao inicial bastante fraca. Numa mesma linha encontram- se representadas as solu¸c˜ oes obtidas com uma dada malha, enquanto que numa mesma coluna se mant´ em como constante o grau de aproxima¸c˜ ao, p. Quase todos os coment´ arios feitos sobre o refinamento da solu¸c˜ ao no caso das placas poderiam ser agora repetidos a prop´ osito da an´ alise da informa¸c˜ ao contida nesta figura.

O reﬁnamento da solu¸c˜ ao ´ e ilustrado tamb´ em na ﬁgura 10.8 onde, para as discre-

tiza¸c˜ oes envolvendo a utiliza¸c˜ ao da malha A, se tra¸ca a evolu¸c˜ ao do deslocamento

(13)

0.9 1.2 1.5 1.8

1 2 3 4 5 6

U (a) U (b) U (c)

0.9 1.2 1.5 1.8

1 2 3 4 5 6

U (a) U (b) U (c)

p U/U_e

Figura 10.3: Evolu¸c˜ ao do valor da energia de deforma¸ c˜ ao; solu¸ c˜ ao com fun¸ c˜ oes de Walsh.

0.9 1 1.1 1.2 1.3

1 2 3 4 5 6

w (a) w (b) w (c)

p w/w_e

Figura 10.4: Evolu¸c˜ ao do valor do deslocamento transversal em C; solu¸ c˜ ao com

fun¸ c˜ oes de Walsh.

(14)

0.86 0.9 0.94 0.98 1.02

1 2 3 4 5 6

Mx (a) Mx (b) Mx (c)

p M/M_e

Figura 10.5: Evolu¸c˜ ao do valor do momento ﬂector em C; solu¸ c˜ ao com fun¸ c˜ oes de Walsh.

1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00

10 100 1000 10000 100000 1000000

Ua Uc Ub

log(N) log(e)

Figura 10.6: Erro relativo do valor da energia de deforma¸ c˜ ao; solu¸ c˜ ao com fun¸ c˜ oes

de Walsh.

(15)

0.0E+00 4.7E+00

p = 2p = 3p = 4p = 5p = 6

Figura 10.7: Distribui¸ c˜ ao do campo de momentos M

_xx

; solu¸ c˜ ao com fun¸ c˜ oes de

Walsh.

(16)

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Malha A p=2

Malha A p=3

Malha A

p=4 Malha A

p=5

Malha A

p=6 Malha C

p=6

Figura 10.8: Campo de deslocamentos transversais ao longo do bordo DC; solu¸ c˜ ao

com fun¸ c˜ oes de Walsh.

(17)

M xxM yyM xyV xV y 4.789E+00 -1.940E-04

4.789E+00 -1.940E-04

1.839E-04 -3.252E+00

3.376E+01 -2.710E-05

3.376E+01 -2.678E-05

Figura 10.9: Campo de esfor¸ cos obtido com a malha B e p =6.

(18)

θ xθ yw 0.000E+00 -1.348E+00

0.000E+00 -1.348E+00

4.065E-01 0.000E+00

Figura 10.10: Campo de deslocamentos obtido com a malha B e p =6.

(19)

Nas ﬁguras 10.9 e 10.10 encontram-se representados os campos de esfor¸cos e de deslocamentos obtidos com a discretiza¸c˜ ao envolvendo a malha B e p=6. Os valores representados encontram-se escalados na forma:

M

_ij

= 100

q a

²

M

_ij

; V

_i

= 100

q a V

_i

; w = 100 D

_f

q a

⁴

w ; θ

_i

= 100 D

_f

q a

³

θ

_i

. com i, j = x, y .

10.4.2 An´ alise com wavelets

A an´ alise da laje simplesmente apoiada ´ e agora efectuada com o modelo baseado em aproxima¸c˜ oes com sistemas de wavelets. O reﬁnamento p- ´ e conseguido ` a custa da considera¸c˜ ao de fam´ılias de fun¸c˜ oes com valor de N crescente.

Em todas as discretiza¸c˜ oes testadas, considera-se que n

_xm

= n

_xv

, n

_vw

= n

_vθ

e n

_vγw

= n

_vγθ

. Os campos de esfor¸cos s˜ ao modelados com fun¸c˜ oes de escala com grau de reﬁnamento j =1. Os campos de deslocamentos, no dom´ınio e na fronteira, s˜ ao aproximados com fun¸c˜ oes de escala com j =0.

Na tabela 10.5 apresenta-se o valor dos parˆ ametros de tens˜ ao e de deslocamento associados a cada uma das discretiza¸c˜ oes consideradas.

Malha A Malha B Malha C

N α

_v

β

_v

β

_γ

α

_v

β

_v

β

_γ

α

_v

β

_v

β

_γ

4 80 27 18 320 108 72 1280 432 288

5 180 75 30 720 300 120 2880 1200 480 6 180 75 30 720 300 120 2880 1200 480 9 245 108 36 980 432 144 3920 1728 576 10 320 147 42 1280 588 168 5120 2352 672

Tabela 10.5: Laje simplesmente apoiada; caracteriza¸ c˜ ao das discretiza¸ c˜ oes adopta- das.

As tabelas 10.6, 10.7 e 10.8 reunem a informa¸c˜ ao respeitante ` as discretiza¸c˜ oes envol-

vendo a utiliza¸c˜ ao das malha A, B e C, respectivamente. Encontram-se listados o

n´ umero de graus de liberdade, o tempo de CPU dispendido na an´ alise (em segundos)

e os valores obtidos para w

_c

,M

_xxc

e U . ´ E utilizado o c´ odigo MA47 na resolu¸c˜ ao

directa da forma n˜ ao-condensada do sistema governativo. ´ E importante sublinhar

que os tempos de c´ alculo apresentados nas tabelas 10.7 e 10.8 poderiam ser subs-

tancialmente melhorados se se efectuasse a resolu¸c˜ ao directa da forma condensada

dos sistemas de equa¸c˜ oes.

(20)

N n

_gl

w

_c

M

_xxc

U T

_tot

(s) 4 125 0.512569 4.935777 2.249560 2.40 5 285 0.424900 4.866456 2.133454 4.64 6 285 0.410802 4.809562 2.129209 5.70 9 389 0.405933 4.786069 2.129803 11.64 10 509 0.405231 4.785063 2.129687 15.89

Tabela 10.6: Laje simplesmente apoiada; resultados obtidos com a malha A e com wavelets.

N n

_gl

w

_c

M

_xxc

U T

_tot

(s) 4 500 0.418791 4.842744 2.167346 2.91 5 1140 0.406132 4.788681 2.129992 9.72 6 1140 0.408677 4.798876 2.129425 11.88 9 1556 0.405190 4.783029 2.129571 28.31 10 2036 0.405591 4.785444 2.129541 60.48

Tabela 10.7: Laje simplesmente apoiada; resultados obtidos com a malha B e com wavelets.

N n

_gl

w

_c

M

_xxc

U T

_tot

(s) 4 2000 0.396931 4.810345 2.143924 5.97 5 4560 0.405347 4.785128 2.129509 54.04 6 4560 0.405595 4.783755 2.129426 66.92 9 6224 0.405227 4.784325 2.129487 188.90 10 8144 0.405571 4.785587 2.129468 669.36

Tabela 10.8: Laje simplesmente apoiada; resultados obtidos com a malha Ce com

wavelets.

(21)

0.98 1 1.02 1.04 1.06

4 5 6 9 10

U (a) U (b) U (c)

N U/U_e

Figura 10.11: Evolu¸c˜ ao do valor da energia de deforma¸ c˜ ao; solu¸ c˜ ao com wavelets.

0.9 1 1.1 1.2 1.3

4 5 6 9 10

w (a) w (b) w (c)

N w/w_e

Figura 10.12: Evolu¸c˜ ao do valor do deslocamento transversal em C; solu¸ c˜ ao com

wavelets.

(22)

0.98 1 1.02

4 5 6 9 10

Mx (a) Mx (b) Mx (c)

N M/M_e

Figura 10.13: Evolu¸c˜ ao do valor do momento ﬂector em C; solu¸ c˜ ao com wavelets.

A forma como as diferentes solu¸c˜ oes aproximadas convergem para a solu¸c˜ ao exacta

´

e ilustrada pelos gr´ aficos apresentados nas figuras 10.11, 10.12 e 10.13. Nestas trˆ es figuras representa-se a evolu¸c˜ ao dos valores (normalizados em rela¸c˜ ao ` a solu¸c˜ ao exacta) da energia de deforma¸c˜ ao U , do deslocamento transversal w

_c

e do momento M

_xxc

.

A convergˆ encia das solu¸c˜ oes encontra-se ilustrada tamb´ em na ﬁgura 10.14, onde se representa a aproxima¸c˜ ao do campo de momentos M

_xx

obtida para cada uma das discretiza¸c˜ oes consideradas.

Nas ﬁguras 10.15 e 10.16 encontram-se representados os campos de esfor¸cos e de deslocamentos obtidos com a discretiza¸c˜ ao envolvendo a malha B e N =10.

As distribui¸c˜ oes de M

_xx

, V

_x

e w ao longo do bordo DC, encontram-se representa- das na ﬁgura 10.17 para o caso em que se utiliza a malha A em conjuga¸c˜ ao com aproxima¸c˜ oes com wavelets das fam´ılias com N = 5 e N =10. Estas solu¸c˜ oes s˜ ao comparadas com as distribui¸c˜ oes obtidas considerando a malha C e wavelets com N = 10.

10.5 Efeito de locking

Um dos problemas num´ ericos que com maior frequˆ encia surge quando se efectu-

am an´ alises de lajes baseadas na teoria de Reissner-Mindlin ´ e o chamado efeito de

locking. Este fen´ omeno num´ erico surge em especial na an´ alise de lajes de pequena

espessura. Quando este efeito ´ e activado, a rigidez calculada numericamente ´ e de tal

forma elevada que destr´ oi por completo o signiﬁcado dos resultados, podendo surgir

(23)

0.0E+00 4.7E+00

N = 4N = 5N = 6N = 9N = 10

Figura 10.14: Distribui¸ c˜ ao do campo de momentos M

_xx

; solu¸ c˜ ao com wavelets.

(24)

M xxM yyM xyV xV y 4.786E+00 -2.310E-04

4.786E+00 -2.310E-04

1.835E-07 -3.262E+00

3.373E+01 -9.076E-07

3.373E+01 -1.108E-06

Figura 10.15: Campo de esfor¸ cos obtidos com a malha B e N =10.

(25)

θ xθ yw 1.000E-04 -1.349E+00

9.997E-05 -1.349E+00

4.057E-01 0.000E+00

Figura 10.16: Campo de deslocamentos obtidos com a malha B e N =10.

(26)

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Malha C ; N=10 Malha A ; N=5 Malha A ; N=10

0.00 7.00 14.00 21.00 28.00 35.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Mxx

Vx

w

Figura 10.17: Distribui¸ c˜ oes de M

xx

, V

x

e w ao longo do bordo DC.

(27)

As formula¸c˜ oes mistas de elementos h´ıbridos e mistos tˆ em demonstrado [173, 150]

que n˜ ao s˜ ao, regra geral, afectadas pelo fen´ omeno de locking. Esta ´ e sem d´ uvida uma das importantes vantagens associadas ` a utiliza¸c˜ ao deste tipo de modelos.

Para ilustrar que os modelos baseados na utiliza¸c˜ ao de fun¸c˜ oes de Walsh e sistemas de wavelets tamb´ em n˜ ao s˜ ao afectados por fen´ omenos de locking, ´ e analisada de novo a laje simplesmente apoiada da ﬁgura 10.1.

S˜ ao consideradas trˆ es discretiza¸c˜ oes, todas elas envolvendo a utiliza¸c˜ ao da malha A.

A primeira utiliza fun¸c˜ oes de Walsh, com o grau das aproxima¸c˜ oes deﬁnido por p =6.

A segunda e a terceira utilizam wavelets com N =5 e N =10, respectivamente.

E repetida a an´ ´ alise para uma gama muito variada de valores do quociente τ /a. Os valores obtidos em cada um dos casos para w

_c

e M

_c

(=M

_xxc

) encontram-se listados nas tabelas 10.9 e 10.10.

τ /a 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 Walsh 0.5381 0.4907 0.4539 0.4276 0.4118 Wavelet 1 0.5643 0.5145 0.4756 0.4475 0.4305 Wavelet 2 0.5364 0.4891 0.4523 0.4260 0.4103 Mix L 0.5382 0.4908 0.4539 0.4276 0.4118 QPL6 0.539 0.491 0.453 0.427 0.411

τ /a 0.02 0.01 10

⁻³

10

⁻⁴

10

⁻⁵

Walsh 0.4074 0.4067 0.4065 0.4065 0.4065 Wavelet 1 0.4256 0.4249 0.4247 0.4247 0.4246 Wavelet 2 0.4059 0.4052 0.4050 0.4050 0.4050 Mix L 0.4074 0.4068 0.4066 0.4066 0.4066 QPL6 0.406 0.406 0.405 0.405 0.405

Tabela 10.9: Varia¸ c˜ ao do deslocamento transversal em fun¸ c˜ ao do valor da espessura da laje.

A an´ alise destas tabelas permite verificar que nenhum dos modelos testados apresen- ta ind´ıcios de se poder vir a desenvolver um fen´ omeno semelhante ao anteriormente descrito. O valor normalizado dos deslocamentos transversais vai decrescendo ` a me- dida que se diminui a espessura da laje at´ e que estabiliza num determinado valor, correspondente ` a solu¸c˜ ao aproximada que o modelo determina no caso de lajes fi- nas. Este efeito ´ e ilustrado no gr´ aficos das figuras 10.18 e 10.19 onde se tra¸ca a evolu¸c˜ ao do deslocamento normalizado (w

c

/w

co

) em fun¸c˜ ao do valor do quociente τ /a associado a cada um dos casos testados. A tabela 10.10 permite ainda veriﬁcar que o valor dos momento ﬂector ´ e muito pouco afectado pela varia¸c˜ ao da espessura da laje.

Para conﬁrmar os valores obtidos com os modelos em estudo, apresentam-se ainda

(28)

τ /a 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 Walsh 4.7868 4.7868 4.7868 4.7868 4.7868 Wavelet 1 4.8719 4.8710 4.8696 4.8681 4.8669 Wavelet 2 4.7841 4.7842 4.7844 4.7847 4.7850 Mix L 4.7895 4.7895 4.7895 4.7895 4.7894

QPL6 4.75 4.75 4.75 4.75 4.75

τ /a 0.02 0.01 10

⁻³

10

⁻⁴

10

⁻⁵

Walsh 4.7868 4.7868 4.7867 4.7868 4.7868 Wavelet 1 4.8665 4.8665 4.8664 4.8665 4.8663 Wavelet 2 4.7851 4.7851 4.7851 4.7852 4.7857 Mix L 4.7894 4.7894 4.7894 4.7894 4.7894

QPL6 4.75 4.75 4.75 4.75 4.75

Tabela 10.10: Varia¸ c˜ ao do momento ﬂector M

_xx

em fun¸ c˜ ao do valor da espessura da laje.

0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35

0.00001 0.0001

0.001 0.01

0.1 1

w/w0

τ/a