UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena EEL

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Escola de Engenharia de Lorena – EEL

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“LOB1021 - FÍSICA IV“

Prof. Dr. Durval Rodrigues Junior

Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR) Escola de Engenharia de Lorena (EEL)

Universidade de São Paulo (USP)

Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP 12600-970

durval@demar.eel.usp.br

UNIDADE 8c

-Fótons e

Ondas de Matéria III

A função de onda

)

,

( t

rr

ψ

)

,

(

)

,

(

)

,

(

r

r

t

ψ

₁

r

r

t

ψ

₂

r

r

t

ψ

=

+

2

|

)

,

(

|

)

,

(

r

r

t

ψ

r

r

t

ρ

=

• Princípio da superposição: • Interpretação probabilística: (Max Born)

1

)

,

(

3

=

∫

V

r

d

t

rr

ρ

A nossa conclusão sobre tudo o que foi dito até agora é que, dada uma partícula atômica ou um fóton, este objeto pode ser descrito pela chamada amplitude de probabilidade , ou função de onda, à qual podemos aplicar:

A função de onda carrega a informação máxima

Dualidade e complementaridade

Assim, as propriedades ondulatórias e corpusculares coexistem. Esta é a chamada dualidade onda-partícula.

Entretanto, não há nenhuma forma destas duas propriedades serem

testadas simultaneamente. Ou fazemos um esquema de medida onde o aspecto corpuscular seja evidenciado ou um que revele o

caráter ondulatório do sistema em questão.

Este é o princípio da complementaridade, que ficou bem claro na experiência de Young que analisamos.

• Embora tenha obtido alguns sucessos notáveis, a velha teoria quântica (1900 ~ 1920) tinha

sérios defeitos. Era uma mistura arbitrária de física clássica com novos postulados, alheios e contraditórios à própria física clássica.

A equação de Schrödinger

Alguns meses depois, Schrödinger apresentou a equação de onda, dando início a mecânica quântica moderna.

• Em 1926, Schrödinger foi convidado a dar um seminário na Universidade de Zurich sobre a teoria de De Broglie.

Durante o seminário um dos ouvintes perguntou como ele podia falar abertamente sobre uma onda associada ao elétron,

se não havia nenhuma equação de onda !

A equação de Schrödinger não pode ser deduzida, assim como não podem ser deduzidas as equações da dinâmica de Newton.

Ela só pode ser postulada.

A forma escolhida deveria incorporar o sucesso das teorias anteriores. Fatalmente, ela também levaria a novas previsões (e interpretações) que poderiam ser testadas.

“ Nossa mecânica clássica talvez seja completamente análoga à óptica geométrica e por isso falha, estando em desacordo

com a realidade… Portanto é preciso estabelecer uma

mecânica ondulatória…” - Schrödinger, 1926.

• Os fenômenos ondulatórios, independentemente da sua origem, têm a sua evolução temporal descrita por equações de onda do tipo:

0 ) , ( ) , ( 1 ₂ 2 2 2 ∂ −∇ = ∂ t r F t t r F c r r r r

onde é a variável dinâmica de interesse;

Por exemplo: o campo elétrico ou o campo magnético da radiação EM, ou a função de onda .

)

,

( t

r

F r

r

• Se quisermos investigar a evolução temporal da densidade de

probabilidade , devemos estudar como varia no tempo. No que segue, vamos fazer essa análise apenas

para partículas massivas!

)

,

( t

rr

ψ

A equação de Schrödinger

2

|

)

,

(

|

)

,

(

r

r

t

ψ

r

r

t

ρ

=

0 ) t , r ( F z y x t ) t , r ( F c 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ r r r _r ou

)

,

( t

rr

ψ

Em geral podemos dizer que para uma onda plana temos:

(

ik r i t

)

0 0

exp

i

(

k

r

t

)

e

e

)

t

,

r

(

ψ

ω

ψ

ω

ψ

r

₌

r

_⋅

r

₋

₌

r⋅r −

Derivando com relação a t :

)

,

(

)

,

(

t

r

i

t

t

r

r

_ωψ

r

ψ

₌

₋

∂

∂

Tomando o gradiente de e depois a sua divergência

)

t

,

r

(

k

)

t

,

r

(

)]

t

,

r

(

[

)

t

,

r

(

k

i

)

t

,

r

(

r

)

t

,

r

(

2 2

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

−

=

∇

=

∇

⋅

∇

⇒

=

∂

∂

=

∇

) , ( trr

ψ

) , ( trr

ψ

A equação de Schrödinger

PROVAR que é solução da equação diferencial da página anterior!

)

,

(

)

,

(

)

,

(

t

r

E

t

r

t

t

r

i

h

r

r

r

h

∂

ψ

_∂

=

ωψ

=

ψ

Então: e

)

,

(

)

,

(

2

)

,

(

2

)

,

(

2

2 2 2 2 2

t

r

E

t

r

m

p

t

r

m

k

t

r

m

r

r

r

h

r

h

_∇

_ψ

₌

_ψ

₌

_ψ

₌

_ψ

−

)

,

(

2

)

,

(

2 2

t

r

m

t

t

r

i

h

r

r

h

∂

ψ

_∂

=

−

∇

ψ

Equação de Schrödinger da partícula livre (E = E_k ; V = 0) :

A equação de Schrödinger

k c hf p pois r = = hr

)

(

exp

)

,

(

r

t

ψ

₀

i

k

r

ω

t

ψ

r

=

r

⋅

r

−

ω π π = h = = (2 f ) 2 h hf E pois

Mas, no caso geral não relativístico:

)

,

(

)

(

)

,

(

2

)

,

(

)

(

2

2 2

t

r

r

V

t

r

m

p

t

r

E

r

V

m

p

E

=

+

r

⇒

ψ

r

=

ψ

r

+

r

ψ

r

)

,

(

)

(

)

,

(

2

)

,

(

2 ₂

t

r

r

V

t

r

m

t

t

r

i

h

r

r

r

r

h

∂

ψ

_∂

=

−

∇

ψ

+

ψ

Equação de Schrödinger (Postulada!)

Onda estacionária:

)

exp(

)

(

)

,

(

r

t

ϕ

r

i

ω

t

ψ

r

=

r

−

)

,

(

)

(

)

,

(

2

)

,

(

2 2

t

r

r

V

t

r

m

t

t

r

i

h

r

r

r

r

h

∂

ψ

_∂

=

−

∇

ψ

+

ψ

)

(

)

(

)

(

2

)

(

)

(

2 2

r

r

V

r

m

r

E

r

r

r

h

r

r

r

h

ωϕ

=

ϕ

=

−

∇

ϕ

+

ϕ

substituindo na Eq. de Schrödinger:

obtemos:

Equação de Schrödinger independente do tempo.

Aplicações da

Equação de Schrödinger

1) A partícula livre em 1-D

2) O potencial degrau

1) A partícula livre em 1-D

0

)

(

;

)

(

)

(

2

2 2 2

=

=

−

E

x

V

r

dx

x

d

m

ϕ

ϕ

h

Para encontrar a solução geral de:

2 2 2

)

,

(

2

)

,

(

x

t

x

m

t

t

x

i

∂

∂

−

=

∂

∂

ψ

_h

ψ

h

devemos resolver inicialmente:

ou: 2 2 2 2 2

2

onde

;

0

)

(

)

(

h

mE

k

x

k

dx

x

d

=

=

+

ϕ

ϕ

1) A partícula livre em 1-D

Solução geral:

ϕ

(

x

)

=

A

exp(

ikx

)

+

B

exp(

−

ikx

)

)

(

'

;

)

(

'

com

;

sin

cos

)

(

x

=

A

′

kx

+

B

′

kx

A

=

A

+

B

B

=

i

A

−

B

ϕ

como:

_exp(

±

_i

θ

₎

=

_cos

θ

±

_i

_sin

θ

)]

(

exp[

)

,

(

x

t

i

kx

ω

t

ψ

∝

−

+

Onda propagante para a esquerda:

)

(

exp

)

,

(

x

t

i

kx

ω

t

1) A partícula livre em 1-D

Façamos: A =

ϕ

₀ e B = 0

ϕ

(

x

)

=

ϕ

₀

exp(

ikx

)

e m k k t kx i t x 2 ) ( onde ) ( exp ) , ( 2 0 h = = − =

ϕ

ω

ω

ω

ψ

m k m p 2 2 2 2 2 h hω = = pois: +∞ < < ∞ = = =| ( , ) | Constante! para - x ) , ( ψ 2 ϕ₀2 ρ x t x t

A densidade de probabilidade para encontrar a partícula será:

) , ( tx ρ

x

0 2 0 ϕ

• Ou seja, uma partícula livre pode ser encontrada em

qualquer ponto sobre o eixo x, com a mesma probabilidade.

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ − − Δ = = 0 ₂2 2 2 )] ( [ 2 )) ( ( exp )] ( [ 2 1 | ) , ( | ) , ( t x t x x t x t x t x π ψ ρ t m k x t x 0 0 0( ) h + = 4 0 2 2 2 0 ) ( 4 1 ) ( x m t x t x Δ + Δ = Δ h x ) ( 0 t x ) (t x Δ 2 | ) , ( |ψ x t 2 )) ( ( 2 1 t x Δ π • Seja um “pacote de ondas”:

k

x

Δ

=

Δ

2

1

0 wavemechanics-freepacket

O princípio da incerteza

∫

∞ ∞ − − = A k i kx k t dk t x ( )exp [ ( ) ] 2 1 ) , (

ω

π

ψ

Densidade de probab.: onde: e

Propriedade da distribuição gaussiana:

O princípio da incerteza

2 2 1 2 1 0 0 0 h = Δ Δ ⇒ = Δ Δ ⇒ Δ = Δ x k x p k x Como: Δx₀ ≤ Δx(t) ≡ Δx

2

h

≥

Δ

Δ

x

p

• Relação conhecida como princípio da incerteza de Heisenberg! ¾ Não podemos determinar a posição e o momento linear de uma partícula quântica com precisão arbitrária em ambas as medidas!

Werner Heisenberg k

h

• Apesar de termos mostrado essa propriedade partindo de uma distribuição gaussiana (pacote de ondas), ela é inerente à

mecânica quântica. Ela se aplica sempre aos pares das

chamadas variáveis incompatíveis. Essas são variáveis que não podem ser medidas simultaneamente!

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

≥

Δ

Δ

≥

Δ

Δ

≥

Δ

Δ

2

2

2

h

h

h

z y x

p

z

p

y

p

x

Em 3-D:

O princípio da incerteza

• Também pode ser escrito como:

O princípio da incerteza

( )

2

v

x

E

2

2

v

m

m

2

m

2

p

x

2

m

2

m

2

p

p

p

x

2

h

h

h

≥

≥

≥

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

2

t

E

Δ

≥

h

Δ

2

h

≥

Δ

Δ

x

p

Prob.1:

a) Uma bola de gude, com 25 g, está numa caixa que tem 10 cm de lado. Achar a incerteza mínima no seu momento linear p e na sua velocidade v.

b) Resolver o mesmo problema, para um elétron confinado numa região de comprimento de 1 Å , que é da ordem de grandeza do diâmetro de um átomo.

) / ( 10 28 . 5 ) ( 40 ) . ( 10 63 . 6 29 27 min , s cm g cm s erg p_xb − − × ≈ × = Δ π min , min , b x b b x m v p = Δ Δ _{2.11 10 ( / )} ) ( 25 ) ( 40 ) . ( 10 63 . 6 27 ₃₀ min , s cm g cm s erg v_xb − − × ≈ × × = Δ → π ) 10 ( 4 ) . ( ) 10 ( 2 10 ,min cm s erg h p p cm p x cm xb b _xb b_x b_x π = Δ → Δ ≤ Δ Δ ≤ → ≤ Δ h a)

b) elétron num átomo:

e b x e x b x e x e m p v p cm s erg h p cm x min , 9 min , min , 9 8 min , 8 10 ; 10 ) 10 ( 4 ) . ( 10 → Δ = = Δ Δ = Δ ≤ Δ − ₋ π c s cm g s cm g v s cm g p_xe _xe 5.8 10 ( ) 0.019 ) ( 10 1 . 9 ) ( 10 28 . 5 ; ) ( 10 28 . 5 ₂₈ 7 11 min , 20 min , ≈ × ≈ × × ≈ Δ × ≈ Δ ₋ − − v m L

Prob. 2:

Mostre que o número de onda angular k, de uma partícula livre

não-relativística de massa m, pode ser escrito na forma abaixo, onde K é a energia cinética da partícula.

h mK k = 2π 2

m

k

m

p

K

k

p

2

2

;

2 2 2

h

h

=

=

=

h

mK

mK

k

mK

k

2

=

2

₂

→

=

2

=

2

π

2

h

h

2) O potencial degrau

I) E > V₀ : 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2

)

(

2

onde

;

0

)

(

)

(

;

0

se

2

onde

;

0

)

(

)

(

;

0

se

h

h

V

E

m

k

x

k

dx

x

d

x

mE

k

x

k

dx

x

d

x

−

=

=

+

>

=

=

+

<

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

0 V 1 2 E 0

_x

1 2

E > V₀ : 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ) ( 2 onde ; ) exp( ) exp( ) ( 2 onde ; ) exp( ) exp( ) ( h h V E m k x ik D x ik C x mE k x ik B x ik A x − = − + = = − + = ϕ ϕ

2) O potencial degrau

1 2 0

x

Soluções gerais: x < 0 : x > 0 :

mas : D = 0 , pois não há onda refletida para x > 0.

I R

T R

2 1

2 1 1 2 1 2 1 2 k k k A C k k k k A B + = + − = ; amplitude de reflexão ; amplitude de transmissão m k v v C J v B J v A J i i h = = − =

=| |2 ₁ , _ref | |2 ₁ , _trans | |2 ₂ onde

inc 2 2 1 2 1 2 1 2 inc trans 2 2 1 2 1 2 inc ref

)

(

4

k

k

k

k

A

C

k

k

J

J

T

k

k

k

k

A

B

J

J

R

+

=

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

=

−

=

1

=

+T

R

2) O potencial degrau

→

contínuas

funções

são

dx

d

e

Como

ψ

ψ

daí:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

− → + → − → + → 0 x 0 x 0 x 0 x

dx

d

dx

d

ψ

ψ

ψ

ψ

0 V 1 2 E 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ) ( 2 onde ; 0 ) ( ) ( ; 0 se 2 onde ; 0 ) ( ) ( ; 0 se h h E V m x dx x d x mE k x k dx x d x − = = − > = = + <

κ

ϕ

κ

ϕ

ϕ

ϕ

2) O potencial degrau

0

_x

II) E < V₀ : 1 2

2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ) ( 2 : onde ; ) exp( ) exp( ) ( 2 onde ; ) exp( ) exp( ) ( h h E V m x D x C x mE k x ik B x ik A x − = + − = = − + = κ κ κ ϕ ϕ E < V₀ :

2) O potencial degrau

0

x

x < 0 : x > 0 : 1 2 0 2 1

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = + − = − 1 2 1 2 1 2 1 _{exp( 2 ) , tan} k i i k i k A B _{η η} κ κ κ ; amplitude de reflexão m k v v B J v A J i i h = − = =| |2 ₁ , _ref | |2 ₁ , onde inc

0

=

T

; 1 2 inc ref = = − = A B J J R

⇒

−

=

exp(

)

)

(

₂ 2

x

C

κ

x

ϕ

Comprimento de penetração

)

(

2

₀ 1 2

E

V

m

−

=

=

_κ

−

h

λ

wavemechanics-step

2) O potencial degrau

2) O potencial degrau

→

contínuas

funções

são

dx

d

e

Como

ψ

ψ

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

− → + → − → + → 0 x 0 x 0 x 0 x

dx

d

dx

d

ψ

ψ

ψ

ψ

3) A barreira de potencial

0 V 1 2 E L 3 2 2 1 2 3 3 2 3 2 3 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 onde ; 0 ) ( ) ( ; se ) ( 2 onde ; 0 ) ( ) ( ; 0 se 2 onde ; 0 ) ( ) ( ; 0 se h h h mE k k x k dx x d L x V E m k x k dx x d x L mE k x k dx x d x = = = + > − = = + > > = = + <

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

0

_x

I) E > V₀ : 1 2 3

E > V

₀

:

2 2 1 2 3 3 3 3 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1

2

onde

;

)

exp(

)

exp(

)

(

)

(

2

onde

;

)

exp(

)

exp(

)

(

2

onde

;

)

exp(

)

exp(

)

(

h

h

h

mE

k

k

x

ik

F

x

ik

E

x

V

E

m

k

x

ik

D

x

ik

C

x

mE

k

x

ik

B

x

ik

A

x

=

=

−

+

=

−

=

−

+

=

=

−

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

3) A barreira de potencial

1 2 3 0 1 2 3

0 V 1 2 E L 3 2 2 1 2 3 3 2 3 2 3 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 onde ; 0 ) ( ) ( ; se ) ( 2 onde ; 0 ) ( ) ( ; 0 se 2 onde ; 0 ) ( ) ( ; 0 se h h h mE k k x k dx x d L x E V m x dx x d x L mE k x k dx x d x = = = + > − = = − > > = = + < ϕ ϕ κ ϕ κ ϕ ϕ ϕ

3) A barreira de potencial

0

_x

II) E < V₀ : 1 2 3

E < V

₀

:

2 2 1 2 3 3 3 3 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 onde ; ) exp( ) exp( ) ( ) ( 2 onde ; ) exp( ) exp( ) ( 2 onde ; ) exp( ) exp( ) ( h h h mE k k x ik F x ik E x E V m x D x C x mE k x ik B x ik A x = = − + = − = + − = = − + =

ϕ

κ

κ

κ

ϕ

ϕ

3) A barreira de potencial

1 2 3 0 1 2 3

)

2

(

exp

L

T

≈

−

κ

2 ( 0₂ ) h E V m − =

κ

)

2

exp(

1

1

T

L

R

=

−

=

−

−

κ

Coeficiente de transmissão ou taxa de tunelamento:

; onde wavemechanics-barrier

3) A barreira de potencial

Coeficiente de reflexão

→

contínuas

funções

são

dx

d

e

Como

ψ

ψ

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

− → + → − → + → 0 x 0 x 0 x 0 x

dx

d

dx

d

ψ

ψ

ψ

ψ

Prob. 3:

a) Um feixe de prótons de 5,0 eV incide em uma barreira de energia potencial de 6,0 eV de

altura e 0,70 nm de largura, com uma intensidade correspondente a uma corrente elétrica de 1000 A. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a barreira?

b) Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em vez de prótons?

No tempo de espera t* _{para 1 próton tunelar: r t}* _{T = 1 ; T} ≈ _exp(−₂

κ

_L)

anos s

t* ≈ 3,37×10111 ≈10104 (maior que a idade do universo ! )

Taxa de incidência de prótons: r = 1000(C/s) / 1,6×10-19(C) ≈ 6,25×1023 _s-1

a)

b) Feixe de elétrons: m_e = 0.511 MeV /c2

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − π × = ₋ 8 (0.511 )(6 5 ) ) . ( 1240 ) 70 , 0 ( 2 exp ) ( 10 25 , 6 1 1 23 * eV eV Mev nm eV nm s t_e s t_e* ≈ 2.1×10−9 ! ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − × = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = ₋ 8(938 )(6 5 ) ) . ( 1240 ) 70 , 0 ( 2 exp ) ( 10 25 , 6 1 ) ( 8 2 exp 1 1 23 2 2 * eV eV Mev nm eV nm s h E V m L r t π p b π onde: m_p = 938 MeV/c2 _{; m} e = 0.511 MeV/c2 hc = 1240 eV nm

O microscópio de varredura

por tunelamento (STM)

wavemechanics-stm

Nobel Laureates 1986: Heinrich Rohrer , Gerd Binnig e Ernst Ruska