[: 2 ~Jque reduzida a forma escada torna-se

Sistemas de Equa~s Llneares 49 A matriz associada

e

1 1

[

:

2

~

_J

que reduzida a forma escada to rna-se

3 -1 2

0 5 -1

~]

. Reinterprc tando, vemos que

z

e t sao livres.

[~

1 -2 1

r:azendo

z

= ~I e t = ~2, obte mos

x

=

-SAt + A2

+

3 Y

=

2AJ - A2

+

2

z = AI t = A2

ou

[J

x,

r-f

J+

X,

h

H

~

J

Compare com 0 exemp lo 1. 0 que voce nota?

2.6 EXE RCICIOS

1. Resolva 0 sistema de equacoes, escrevendo as matri zes arnpliadas, associadas aos nova s sistema s.

2x - Y + 3z = 11

4x - 3y

+

2z = 0

x + y + z= 6

{

3x + y + z= 4

2. Descreva todas as possivcis matrizes 2 X 2, que estao na forma escada redu­ zida pa r Iinhas.

3. Reduza as matrizes

a forma

escada reduzida por linhas.

-2 3 2 0)

[~

-1 2

-~

]

1 c)

l~

1 2 -4 -3

~

J

b)

[~

1 -4

-

3 1 3

21

3 2 -I

SO ALGFHI{\

., l ll llll ' I I' uuhdude das rnatrizes da questao 3. IJI,~

r

h-i' 5)'

=

₁

1 + z = 3

t

\'

5

x

t y -

z

=

a

111 111 1I/. amplladn, assoeiada 010 sistema' e reduza-a

a

forma escada

om lmhas, para resolver 0 sistema original.

11l.1l'" J,. . para que 0 sistema adrnita solucao.

r

-5x -4X

+

3y 4y

=

= 2

0

2~- y =k I ncoutre todas s solucoes do sistema

XI

+

3X2

+

2x3

+

3X4 - 7x5 :.; 14 2x.

+

6x2

+

X3 - 2x4 + 5xs

=

-2

X. + 3X2 - X t 2X_s

=

-I

f

.,. llxphque par que a nulidade de uma mat riz nunca C negat iva.

fl , loram cstudados tres tipos de alirnen tos, Fixada a rnesma quantidade (l g)

deterrninou-se que:

i) 0 alimento 1 tern I unidadc de vitamina A, 3 unidadcs de vitarnina B e 4 unidades de vitarnina C.

ii) 0 alimento II teru 2, 3 e 5 unidades respectivamente. <las vitarninas A, B

e

-iii) 0 alimcnto 111 tern 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades de vitarnina C e nao contem vitamina B.

Se s50 necessarias 11 unidades de vilamina A, 9 de vitamina B e 20 de vita­

mma C,

:IJ Encontre todas as possiveis quantidades dos aliment os I, II e Ill , que for­

ncccm a quantidadc de vitarninas desejada.

'l ')" II alirnento 1 custa 60 centavos por grama e as outros dais custarn 10.

11,1i" uma solucao eustando exatarnente Cr$ I,OO?

()~ sistemas seguintes achando as matrizes arnpliadas linha reduzida

II ,I (," I~' lda e dando tarnbern seus pastas, os postos das matrizes dos

Sistemas de Equacocs Lineares 51 10. x\ + 2X2 - ."(3 + 3X4 11. [ X + y+ z=4 2x + 5y - 2z :: 3 12.

t

x

+

y

+

Z = 4 2x + 5)' - 2z

=

3 x

+

7)' - 7z = 5 13.{ x - 2y + 3z

=

0 2x

+

5y

+

6z

=

0 14.

f

-

~

'

+

'

~2

+

~

3

+

X4 :: 0 .\ \ ~ '\ 2 + ."1:3 - X4

=

4 Xl + X2 - X3 t X4 :: -4 XI - X2 + X3 + X4

=

2 IS.

t

x + 2)'

+

3z = 0 2x + y + 3z =- 0 3x

+

2y

+

Z = 0 16.

f3X

+ 2)' - 4z = 1 x - y + z = 3 X - y - 3z

=

-3

l

3X

+

3~'

- 5z =

a

-x

+

y + Z = t

17. 0 meto da de Gauss para resolucao de sistemas ~ urn dos mais adotados quando se faz uso do computador, devido ao rnenor nurnero de operacoes

que envolve. Ele consiste em se reduzir a matriz arnpliada do sistema por

llnha-equivalencia a uma mat riz que so

c

dlfercnte da linha rcduzida

a

forma

escada na condicao b) de 2.4.1, que passa a ser: b') Cada coluna que con­

tern 0 primeiro elernento mIo nulo de alguma linha. tern todos os elementos

abaixo desta linha iguais a zero. As outras condicoes a. c e d sao identicas. Urna vez reduzida a matriz arnpliada a esta forma, a solucao final do siste­

ma C obt ida por substituicao.

Exemplo :

2x t

+

X2 =; 5

52 ALGEBRA UNEAR

]

r

1

1

2-

J

[1

1

5

]

[

~

-3

I

~

-

lO -

+

+-

0 ;- -:

u ultima ma lriz correspo nd e ao sistema:

I 5

XI+ -::;-x2

='

2

X2 = -1 .

bstt_tt_tui_uica 1 5 . 2

Por su st cao, Xl -

2'

=

:::

'

ou sep, XI

=

.

Resolva pelo metodo de Gauss os Exercfcios 14, 15 e 16 e compare as res­ pasta s.

. a) Mestre a proposicao 2.4.3 para matrizes 2 X 2 qu aisquer.

b) Sinta a dificulda de que voce tera para formalizar 0 resul t ado par a rna trio

zes 1/ X m, mas convenca-se de que

e

56 uma questao de considerar to­

do s os casos possiveis, e escreva a dernons traca o. Co nsu lte 2.7.

19. Cha ma mos de sistema hornogeneo de 11 eq uacoes e m incognitas aquele siste­

ia cujo s termo s independentes, bi' sao todos nulo s.

a) Um sistem a hornogeneo admite pelo menos uma solucao, Qual

e

cia?

h' Encontre as valores de k E R, tais que 0 sistem a horn ogeneo 2X - 5y + 2z =0

x + y+ z =o [ _{2x + kz = 0}

renha uma solucao distinta da solucao trivial (x

=

y = z = 0) .

'II ( ' IlIl ~ I Jere 0 siste m a

X + 6y - 8z = 1 { 2x + 6y - 4z = 0

'1111 nodcmo s escreve-lo na forma matricial

6 6

aJ Verifique que a matriz X, =

[~]

=

~

J

'

urn, solucao para

°

sistema ,

b) Resolva 0 sistema e veriflque que to da "rnatriz-solucao" C da forma

x

=

[

+

{n

+

U

J

onde h ER. c) Verifique

-4l

[-

4h

]

x

[

2 = 2h

lj

h

e

a solucao do sistema hornogeneo, associado ao sistema C':') , (u)

U

₆ 6

:

:

]

[n

=

[

n

d) Conclua, dos itens a), b) e c) , que 0 conjunto-solucao do sistema ~, C0

ccnjunto-so lucao do sistema

*

*

,

sornado a urna solucao part icular do sis­

tema

*

21. Dado 0 sistema

o

2 2 2

II

4 2

o

4

~

l

H

n

=m

a) Encontre uma solucao dele scm resolve-lo. (Atribua valo res para x, y, z

e w.)

b) Agora, resol va efetivamente 0 siste ma , isto e, enco nt re sua mat riz-so lucao.

c) Resolva tambern 0 sistema hornogeneo associado.

d) Verifique que toda marriz-solucao obtida em b)

e

a soma de urna matriz­

-solucao enco nt rada em c) com a solucao part icular que voce encon trou em a).

22. Altame nte mot ivado pelos Exercrcios 20 e 21, mostre que toda rnatriz-solu­