EXPERIÊNCIA 7 MEDIDA DE INDUTÂNCIA POR ONDA RETANGULAR

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EXPERIÊNCIA 7 – MEDIDA DE INDUTÂNCIA POR ONDA RETANGULAR

INTRODUÇÃO

O objetivo básico desta experiência é medir a indutância e a resistência de uma bobina utizando uma onda retangular. O princípio da medição é baseado nas formas de onda das correntes obtidas no resistor em série com a bobina quando o circuito é submetida a uma onda retangular. Processo similar utilizando as tensões de carga e de descarga de um capacitor pode ser usado para estimar sua capacitância. A experiência realiza também estudos de transitórios utilizando o método da transformada de Laplace [EDMINISTER,1977].

DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO

Há vários métodos de medida da indutância ou da capacitância. Um dos métodos faz uso de sinal senoidal com o circuito RL ou RC série como visto em experiência passada (Diagrama de Fasores). Pode-se também usar a ressonância em um circuito RLC, onde a indutância é determinada conhecendo-se a frequência de ressonância e o valor da capacitância.

O método a ser visto nesta experiência vai utilizar o circuito RL série com uma onda retangular aplicada ao circuito e verificação das formas de onda como a corrente no circuito [SANTOS,1998]. Dado o circuito da Fig. 1 abaixo, deseja-se verificar o comportamento da corrente em função do tempo quando o circuito é submetido a uma onda retangular. Duas situações podem ser analisadas: a) Período da onda retangular (T) muito maior que a constante de tempo (τ) do circuito;

b) Período da onda retangular menor que a constante de tempo do circuito.

Para analisar os sinais vai-se modelar a onda retangular pela função abaixo no intervalo de um período. )] ( ) 2 / ( ) ( [ ) (t Au t u t T u t T

v = − − + − ,onde u(t) é a função degrau (u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t≥0).

0 T/2 T

A v(t)

t(s)

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As figuras 2a) e 2b) mostram os gráficos das correntes em duas situações: a primeira com T > τ e a segunda com T < τ.

Considerando o circuito dado, a equação correspondente é:

dt t di L t i r R t v( )=( + ) ( )+ ( ) ou considerando RT =R+r, tem-se dt t di L t i R T t u T t u t u A[ ( )− ( − /2)+ ( − )]= _T ( )+ ( )

Aplicando-se a Transformada de Laplace e supondo condições iniciais nulas ou seja I0=0, temos:

LsI I R e s e s s A T Ts Ts + = + − − − ] 1 1 1

[ /2 - Li(0+), onde I = L[ ti( )] e i(0+)=I0=0.

] ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 [ /2 Ts T Ts T T e R sL s e R sL s R sL s A I − − + + + − + = ] ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 [ /2 Ts T Ts T T e L R s s e L R s s L R s s L A I − − + + + − + = e como T R L =

τ

tem-se: ] ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 [ Ts/2 e Ts s s e s s s s L A I − − + + + − + = τ τ τ

Calculando-se a antitransformada de Laplace, tem-se:

L-1{I(s)}=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

+

−

=

[

1

−

]

(

)

[

1

− −

]

(

/

2 )

[

1

− −

]

(

)

1

1 )

(

) ( ) 2 / (

T

t

u

e

T

t

u

e

t

u

e

L

A

t

i

T t T t t τ τ τ

τ

ou

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⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − + − − − − = − − − − − ) ( ] 1 [ ) 2 / ( ] 1 [ ) ( ] 1 [ ) ( ) ( ) 2 / ( T t u e T t u e t u e R A t i T t T t t T τ τ τ

Se τ << T, tem-se o gráfico da fig 2a e:

T R

A i_max =

Ou a tensão sobre o resistor R é dado por:

T R

R RA V _max₁ =

Como R, A e VRmax1 são conhecidos, determina-se RT = R+r ou seja r (resistência da bobina). Para T < τ, tem-se a forma de onda mostrada no gráfico da figura 2b, onde a comutação ocorre antes de alcançar o valor de A.

Neste caso a condição inicial não é nula ou seja i(0+)=I0≠0, tem-se:

) 0 ( ] 1 1 1 [ − − /2 + e− =R I+LsI−Li + s e s s A T Ts Ts

e calculando a antitransformada de Laplace, tem-se:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

+

−

+

=

− − − − − −

)

(

]

1 [

)

2 /

(

]

1 [

)

(

]

1 [

)

(

) ( ) 2 / ( / 0

e

u

t

e

u

t

T

e

u

t

T

R

A

e

I

t

i

T t T t t T t τ _τ _τ _τ

Assim, para t=0 tem-se i(t)=I0.

Para t=T/2,

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

+

=

− /2τ −2_τ 0 max

1 )

(

T T T

e

R

A

e

I

t

i

Para t=T, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − + = = − /τ −τ −2τ 0 0 ) ( T T T T e e R A e I I t i ou τ /2τ 2τ _max /2τ 0 2 / 0 1 ) ( T T T T T e I e R A e I e I t i − − − = − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + = − /2τ −2τ max max 1 T T T e R A e I

I e subtraindo por I0 da expressão anterior, tem-se:

τ τ τ /2 0 max 2 2 0 max 1 1 ( ) T T T T e I I e e R A I I − − _⎥− − − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = − ou τ τ τ τ 2 / 2 / / 2 2 / 0 max 1 1 1 ) 1 ( T T T T T T e e R A e e R A I I ₋ − − − + − = − − = −

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R I I V_R_max₂ =( _max − ₀) ou _τ τ 2 / 2 / 2 max 1 1 T T T R e e R AR V ₋ − + − = ou ainda ) 4 tanh( 2 max

τ

T R AR V T R = , pois a tangente hiperbólica ) cosh( ) ( 1 1 ) tanh( ₂ 2 x x senh e e x _x x = + −

= ₋− e como informação adicional

2 ) ( x x e e x senh − − = e 2 ) cosh( x x e e x − + = E como T R R RA

V max1 = , substituindo na expressão de VRmax2, tem-se:

) 4 tanh( 1 max 2 max

τ

T V V_R = _R ou ) 4 tanh( 1 max 2 max

τ

T V V R R = ou tanh( ) 4 _max₁ 2 max R R V V a T = τ E como T R L =

τ

, L pode ser calculado através de:

) tanh( 4 1 max 2 max R R T V V a TR L=

PREPARAÇÃO INDIVIDUAL

Como preparação para realização da experiência, elaborar os seguintes itens: a) Revisar o cálculo realizado no desenvolvimento do método.

b) Calcular os valores de f(t) = e-t/τ para t = nτ, onde n=0,1,2,..., 6. c) Plotar através do excel o gráfico da tanh(x) e atanh(x).

d) Rever os conceitos de transformada de Laplace e calcular i(t) = L-1{(s-1)/(s2+3s+2)}.

e) Utilizando um simulador de circuitos, criar o circuito elétrico com um valor de indutância e resistência interna em série com resistor R e um gerador de onda retangular.

f) Simular várias situações estimando para cada caso o valor da indutância utilizando o método discutido. Calcular os erros encontrados pelo uso do método discutido em relação ao valor da indutância colocada no circuito.

g) Pela análise dos casos simulados, verificar quais são as restrições do método proposto e justificar o porquê.

h) Propor método similar para determinação do valor de uma capacitância.

ROTEIRO DA PARTE EXPERIMENTAL

Materiais e equipamentos: indutância de 1200 espiras, resistor de 220 Ohms, gerador de onda retangular, capacitor de 1 μF e resistor de 1kΩ.

Realizar os seguintes itens:

a) Montar o circuito abaixo utilizando a indutância de 1200 espiras disponível no laboratório, bem como o resistor de 220 Ohms.

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b) Alimentar o circuito série com gerador de onda retangular.

c) Ajustar a frequência do gerador para o caso T > 5τ, e medir o valor da tensão VRmax1 no

resistor R de 220 ohms.

d) Determinar a resistência interna da bobina através de

T R

R RA

V _max₁ = e R_T =R+r.

e) Alterar a frequência do gerador de onda retangular de modo que T < τ, como mostrado na fig.2b e medir o valor VRmax2.

f) Com os valores medidos de VRmax1 e VRmax2 , determinar o valor da indutância L.

g) Medir o valor de L usando o equipamento disponível no laboratório.

h) Utilizando um capacitor de 1 μF em um circuito série com um resistor de 1kΩ, realizar as medidas de tensão no resistor de 1kΩ com o circuito alimentado por um gerador de onda retangular.

i) Utilizando o desenvolvimento realizado na preparação individual, calcular o valor do capacitor.

j) Fazer a medição do capacitor em equipamento de medida disponível no laboratório e justificar as possívies discrepâncias.

k) Elaborar o relatório da experiência acrescentando a preparação individual. Apresentar os resultados obtidos durante a realização da experiência e justificativas das possíveis diferenças encontradas. Apresentar as conclusões e as discussões finais.

REFERÊNCIA

EDMINISTER, J. A. CIRCUITOS ELETRICOS. McGraw Hill. São Paulo. 1977.

SANTOS, P.C.; VILARES FILHO, A.A. Laboratório de Circuitos Elétricos. Mogi das Cruzes, SP, 1998.