Modelagem Conjunta de Chuva-Vazão: o caso da bacia do Rio Grande

ONS - Operador Nacional do Sistema El ´etrico , Rio de Janeiro, RJ

20/21 Stembro de 2007

Modelagem Conjunta de Chuva-Vaz ˜ao:

o caso da bacia do Rio Grande

Helio S. Migon

Romy R. Ravines & Alexandra M. Schmidt

Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matem ´atica

30/06/2007

Outline

1

_{Modelos Din ˆamicos Revisitados}

Modelos Din ˆamicos

Modelos Din ˆamicos Lineares Generalizados

An ´alise Sequencial

2

_{Conjugate Updating Backward Sampling}

Motivac¸ ˜ao

MCMC+CUBS

3

_{Aplicac¸ ˜oes}

Estudo de Monte Carlo

Vaz ˜ao do rio Fartura

4

_{Um Modelo Bayesiano de Chuva-Vaz ˜ao}

Procedimento de Infer ˆencia

Aspectos Pr ´aticos

Resultados

References46

Modelos Din ˆamicos

Modelagem e Previs ˜oes Bayesianas Din ˆamicas– Harrison and Stevens, JRSS,

1976.

Uma refer ˆencia recente:

Migon, HS, Gamerman, D, Lopes, HF and Ferreira, MAR – Dynamic Models,

Handbook of Statistics, vol 25, Elsevier, 2005

Infer ˆencia completa via MCMC, tamb ´em SMC

Extens ˜oes para outras topologias: espac¸o-tempo, ´arvores di ´adicas etc

Conec¸ ˜ao com Campos Aleat ´orios Gaussianos Markovianos

´

Areas de aplicac¸ ˜ao: financ¸as, epidemiologia, climatologia, hidrologia etc.

Modelos Din ˆamicos

Seja

Y

t

= {y

1

, . . . , y

t

} a informac¸ ˜ao at ´e o tempo

t e

Θ = {θ

1

, . . . , θ

T

} o vetor de

par ˆametros de estado.

Modelo

y

t

|

η

t

, φ ∼ exp[φ{y

t

η

t

−

a(η

t

)}]b(y

t

, φ),

t

= 1, . . . , T.

(1a)

g(µ

t

)

= F

t

(ψ

₁

)

0

θ

t

(1b)

θ

t

= G

t

(ψ

₂

)θ

t−1

+ w

t

,

w

t

∼

N(0, W)

(1c)

θ

0

|

Y

0

∼

N(m

0

, C

0

)

onde

θ

t

, t = 1, . . . , T s˜ao relacionados no tempo via (1c), a eqn. de sistema, e

E(y

t

)

= ˙a(η

t

)

= µ

t

, est ´a relacionado a

θ

t

via func¸ ˜ao de ligac¸ ˜ao conhecida,

g(·).

Inference em

Θ

MCMC: Amostrar da posteriore deΘ pode ser dif´ıcil.

Modelos Din ˆamicos Lineares Generalizados

Modelos Din ˆamicos Lineares Generalizados

West et al. (1985)

ηttem priori conjugada,CP(rt, st).

FteGts ˜ao conhecidos, e, dadoηt,yteθts ˜ao independentes.

A distribuic¸ ˜oes dos dist ´urbios aleat ´orios no sistema s ˜ao somente parcialmente especificados.

yt|ηt, φ ∼ exp[φ{ytηt−a(ηt)}]b(yt, φ), t = 1, . . . , T. (2a)

ηt|Yt−1∼CP(rt, st) (2b) g(µt)= F 0 tθt (2c) θt= Gtθt−1+ wt, wt∼ (0, W) (2d) θ0|Y0∼ (m0, C0)

ondemteCts ˜ao o 1o. e 2o. momentos deθt, dadoYtt= 0, . . . , T.

Conjugate Updating

: sistema de recurs ˜oes sequenciais que

aproximam a posteriori de

θ

t

.

An ´alise Sequencial

DLM

:

. . . (θ

t−1

|

Y

t−1

)

Evolution

₊₃

(θ

t

|

Y

t−1

)

Update

₊₃

(θ

t

|

Y

t

)

. . .

DGLM

:

. . . (θ

t−1

|

Y

t−1

)

Evolution

₊₃

(θ

t

|

Y

t−1

)



(θ

t

|

Y

t

)

. . .

(η

t

|

Y

t−1

)

Update

₊₃

(η

t

|

Y

t

)

KS

An ´alise Sequencial

DLM

:

. . . (θ

t−1

|

Y

t−1

)

Evolution

₊₃

(θ

t

|

Y

t−1

)

Update

₊₃

(θ

t

|

Y

t

)

. . .

DGLM

:

. . . (θ

t−1

|

Y

t−1

)

Evolution

₊₃

(θ

t

|

Y

t−1

)



(θ

t

|

Y

t

)

. . .

(η

t

|

Y

t−1

)

Update

₊₃

(η

t

|

Y

t

)

KS

7/40

Esquema Proposto

DGLM

:

Conjugate Updating

or

Linear Bayes

.

Os momentos da

posterior

s ˜ao aproximadamente dados por:

p(θt|Yt, Φ) ∝ p(θt|Yt−1, Φ)p(yt|θt, Φ) = Z p(θt|ηt, Yt−1, Φ) p(ηt|Yt−1, Φ)p(yt|ηt, Φ) | {z } Conjugate Analysis dηt ∝ Z p(θt|ηt, Yt−1, Φ) | {z } Linear Bayes p(ηt|Yt, Φ)dηt [mt, Ct] mt= at+ RtFt(ft∗−ft)1 qt Ct= Rt−RtFtF0tRt  1 −q ∗ t q 1 q

Conjugate Updating Backward Sampling (CUBS)

Esquema proposto: motivac¸ ˜ao

Para

DLM

, Fr ¨uhwirth-Schnater (1998) e Carter and Khon (1998)

Esquema proposto: motivac¸ ˜ao

Para

DLM

, Fr ¨uhwirth-Schnater (1998) e Carter and Khon (1998)

propuseram o

multiple sampling: FFBS

.

A dsn proposta ´e baseada na decomposic¸ ˜ao: p(Θ|YT_{, Φ) ∝ p(θ} T|YT, Φ) T−1 Y t=1 p(θt|θt+1, Yt, Φ) | {z } Backward ∝_p(θT|_YT_{, Φ)} T−1 Y t=1 p(θt+1|_{θt, Y}t_{, Φ) p(θ} t|Yt, Φ) | {z } Posterior . (θt|θt+1, Yt, Φ) ∼ N(mst, Cst) where ms_t = mt+ CtG 0 t(GtCtG 0 t+ Wt)−1(θt+1−_Gtmt) Cs_t = Ct−CtG 0 t(GtCtG 0 t+ Wt)−1GCt,

mteCts ˜ao o 1o. e 2o. momentos obtidos via

KF

.

O algoritmo FFBS consiste em amostrar os elementos de

Θ

Algor´ıtmo: MCMC+CUBS

Seja

Φ = (φ, ψ

₁

, ψ

₂

, W), o vetor de quantidade de interesse in (1), exceto Θ.

1

_{Initializac¸ ˜ao: valores iniciais}

Θ

(0)

, Φ

(0)

_{e contador,}

_i

= 1;

2

_Amostre

Θ

(i)

_{usando CUBS:}

a Approximem(i)_t eC(i)_t ofp(θt|Yt, Φ(i−1)) t= 1, . . . , T, com Conjugate Updating;

b AmostreΘ∗ TdeN(m (i) T, C (i) T); c Amostre_Θ∗ tdeN(m s(i) t , C s(i) t ), t = T − 1, . . . , 1;

d Fac¸aΘ(i)= Θ∗com probabilidadeπ e Θ(i)= Θ(i−1)com probabilidade1 −π, onde π = min(1, A) e A ´e a taxa de aceitac¸˜ao do Metropolis-Hastings A =ω(Θ∗)

ω(Θ).

3

_Amostre

Φ

(i)

_{usando, em geral, o passo de Metropolis-Hastings;}

4

_{Atualize: Fac¸a}

_i

= i + 1 e retorne para 2 at´e convergir.

A distribuic¸ ˜ao conditional completa deΘ = (θ1, . . . , θT) is: p(Θ|YT_{, Φ) ∝ p(θ} T|YT, Φ) T−1 Y t=1 p(θt|θt+1, Yt, Φ) | {z } Smoothing density ∝_p(θT|_YT_{, Φ)} T−1 Y t=1 p(θt+1|θt, Yt, Φ) p(θt|Yt, Φ) | {z } Densidade filtrada

Os momentos da distribuic¸ ˜ao filtrada s ˜ao aproximados por: p(θt|Yt, Φ) ∝ p(θt|Yt−1, Φ)p(yt|θt, Φ) = Z p(θt|ηt, Yt−1, Φ) p(ηt|Yt−1, Φ)p(yt|ηt, Φ) | {z } Conjugate analysis dηt ∝ Z p(θt|ηt, Yt−1, Φ) | {z } Linear Bayes p(ηt|Yt, Φ)dηt≡ [mt, Ct]

Supondo quep(θt|Yt, Φ) ´e N(mt, Ct), ´e f ´acil mostrar que p(θt|θt+1, Yt, Φ) ´e N(mst, Cst),

onde ms_t= mt+ CtG 0 t(GtCtG 0 t+ W)−1(θt+1−Gtmt) Cst= Ct−CtG 0 t(GtCtG 0 t+ W)−1GCt 12/40

Estudo de Monte Carlo

Esquemas amostrais alternativos

De Gamerman (1998)

Calcule observac¸ ˜ao ajustada

y

˜

t

e suas respectivas vari ˆancias ˜

V

t

:

˜

y

t

= η

t

+ (y

t

−

µ

t

)g

0

(µ

t

)

˜

V

t

= ¨a(η

t

)[g

0

(µ

t

)]

2

.

Ent ˜ao, construa o modelo linear din ˆamico ajustado

˜

y

t

= F

0 t

θ

t

+ v

t

, v

t

∼

N(0, ˜V

t

)

(3a)

θ

t

= G

t

θ

t−1

+ w

t

, w

t

∼

N(0, W)

(3b)

Proposta I. Amostre

w

∗

t

, da equac¸ ˜ao do sistema, distribuic¸ ˜ao condicional

completa obtida considerando a reparametrizac¸ ˜ao (3):

˜y

t

= F

t t

X

j=1

G

t−j

_w

j

+ v

t

, G

t

= G ∀t, t = 2, . . . , T.

v

t

∼

N(0, ˜

V

t

), w

t

∼

N(0, W), w

1

∼

N(m

1

, C

1

)

Esquemas amostrais alternativos

De Geweke and Tanizaki (2001)

Prop ˜oem amostrar os estados um a cada vez:

Proposta I. Amostre

θ

∗_t

da densidade obtida da eqn. de sistema. Assim,

θ

∗_t

is

amostre de

N(G

t

(ψ

2

)θ

t−1

, W).

Proposta II. Amostre

θ

∗_t

da normal com m ´edia e vari ˆancia baseadas em

estimativas suavizadas do EKF em

t.

1

Proposta III. Amostre

θ

∗_t

da normal com m ´edia baseda num passeio ao acaso

e vari ˆancia baseada no filtro de Kalman extendido.

1

_{EKF: Linearize a func¸ ˜ao de resposta e aproxime a observac¸ ˜ao pela normal.}

Aplique o filtro de Kalman e as eqns de suavizac¸ ˜ao

Modelos simulado

Seja o modelo din ˆamico de primeira ordem - Poisson, isto ´e:

y

t

∼ Poisson(η

t

),

t

= 1, . . . , T

(4a)

log(η

t

)

= θ

t

(4b)

θ

t

= θ

t−1

+ w

t

w

t

∼

N(0, W)

(4c)

θ

0

|

Y

0

∼

N(m

0

, C

0

).

(4d)

Para

W atribuimos a priori IG(0.001, 0.001) e para θ

0

um Normal de m ´edia zero

e variance grande,

N(0, 10

3

_).

Geramos 300 s ´eries temporais artificiais de diferentes tamanhos,

T

= (50, 100, 300).

Comparando diferentes amostradores de MH

I

_{Conjugate Updating and Backward Sampling (CUBS):}

_{Multimove sampling.} II

_{Conjugate Updating - passo a passo:}

_{A proposta ´e Normal com m ´edia e variancia}

baseadas nos momentos usavizados do Conjugate Updating emt.

III

_{De Gamerman (1998) - Proposta I: passo a passo, amostre das disturb ˆancias}

do sistema.

A proposta ´e obtida das equac¸ ˜oes a justadas do modelo dinamico linear normal mas com re-parametrizac¸ ˜ao em temros das disturbancias do sistema.

IV

_{De Gamerman (1998) - Proposta II: passo a passo, amostre dos par ˆametros de}

estados.

Proposta obtida do modelo linear din ˆamico normal ajustado.

V

_{De Geweke and Tanizaki (2001) - Proposta I:}

_{A proposta ´e a func¸ ˜ao de densidade} normal obtida da eqn. do sistema.

VI

_{De Geweke and Tanizaki (2001) - Proposta II:}

_{A proposta ´e a func¸ ˜ao de densidade} normal com m ´edia e variancia baseadas nas estimativas suavizadas do EKF emt. VII

_{DeGeweke and Tanizaki (2001) - Proposta III:}

_{A proposta ´e a func¸ ˜ao de densidade}

normal com m ´ediaa baseada num random walk e variancia baseada no EKF, estimativas suavizadas emt.

Principais resultados

Table:RMSE, Taxa de aceitac¸ ˜ao (m ´edia de T × K taxas) e tempo computational (m ´edia em segundos paraK= 100 amostras

RMSE_YT RMSEΘ Taxa aceitac¸˜ao Tempo

Esquema m ´edia s.d m ´edia s.d m ´edia s.d

T= 50 I 1,252 0,109 0,236 0,036 42,629 – 280,30 II 1,276 0,116 0,234 0,026 33,525 7,157 214,98 III 1,259 0,110 0,249 0,051 97,252 1,228 629,08 IV 1,244 0,114 0,258 0,029 98,144 0,681 120,79 V 1,315 0,132 0,237 0,034 51,423 4,531 89,04 VI 1,240 0,113 0,261 0,028 37,796 6,301 248,25 VII 1,236 0,110 0,259 0,030 44,613 5,816 219,65 T= 100 I 1,309 0,133 0,224 0,027 38,454 – 334,25 II 1,327 0,143 0,226 0,024 32,350 6,986 257,16 III 1,313 0,134 0,233 0,040 97,942 0,851 1533,09 IV 1,434 0,382 0,254 0,049 98,712 3,228 147,62 V 1,383 0,152 0,286 0,038 51,461 4,041 104,54 VI 1,312 0,142 0,235 0,019 34,271 6,864 301,94 VII 1,307 0,140 0,230 0,021 42,016 6,042 274,08 T= 300 I 1,608 0,303 0,228 0,035 31,352 – 247,76 II 1,615 0,306 0,379 0,221 32,177 9,470 314,09

The main results

●● ● ● ● ● ● ●● ● I II IIIIV VVIVII 1 2 3 4 log(inefficiency) (a)θ5 ● ●● ● ●● ● ● ●● ● ●●●● ● ●●● ● ●●● I II IIIIV V VIVII 1 2 3 4 log(inefficiency) (b)θ25 ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●●● ●●● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ●●● ● ●● I II IIIIVV VIVII 0 1 2 3 4 log(inefficiency) (c)θ45 ●● ●●●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● I II IIIIV V VIVII 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 log(inefficiency) (d)W ● ● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● I II IIIIV VVIVII 1 2 3 4 log(inefficiency) (e)θ5 ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ●● I II IIIIV V VIVII 0 1 2 3 4 log(inefficiency) (f)θ45 ●● ● ●●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● I II IIIIVV VIVII −1 0 1 2 3 4 log(inefficiency) (g)θ95 ● ● ● ● ●● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ●●● I II IIIIV V VIVII 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 log(inefficiency) (h)W ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●●●● ●● ●●● ●● ● ● ● ● I II IIIIV VVIVII 1 2 3 4 log(inefficiency) (i)θ5 ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ●● ●● ● ● ● ●● ● ● ●●● I II IIIIV V VIVII 0 1 2 3 4 log(inefficiency) (j)θ145 ● ● ● ● ●● ●●●●●●● ●● ● ●●● ● ● ●●● ● ● I II IIIIVV VIVII −1 0 1 2 3 4 log(inefficiency) (k)θ295 ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● I II IIIIV V VIVII 1 2 3 4 log(inefficiency) (l)W

Figure:Box plots das inefici ˆencias (em log) deθt, em tr ˆes instantes de tempo, eW: (a)–(d)

T= 50, (e)–(h) T = 100 e (i)–(l) T = 300.

Vaz ˜ao do rio Fartura

Objetivo

: ajustar um

modelo de func¸ ˜ao de transfer ˆencia com resposta

gama

para a vaz ˜ao e a chuva da bacia do rio Fartura, S ˜ao Paulo

(Brasil). Per´ıodo observacional: Jan., 1960 a Dec., 1964 (?, ?).

Se

Y

t

e

X

t

denotam, respectivamente, a vaz ˜ao e a chuva no m ˆes

t, o

modelo ´e

y

t

|

µ

t

, ν ∼ Gama(µ

t

, ν), t = 1, . . . , T

(5a)

log(µ

t

)

= α + E

t

(5b)

E

t

= ρE

t−1

+ γX

t

+ ω

t

;

ω

t

∼

N(0, W)

(5c)

onde

µ

t

´e o valor esperado de

y

t

,

α ´e n´ıvel basico da vaz˜ao, ρ ´e o fator

de recarga ou memorizac¸ ˜ao do efeito

E

t

,

γ ´e o efeito instantˆaneo da

chuva e

ω

t

´e a componente estoc ´astica da func¸ ˜ao de transfer ˆencia.

Vaz ˜ao do rio Fartura

Table:Esquemas I e III - Vaz ˜ao do rio Fartura

Criterium

I

III

Tempo total fixo por cadeia (segundos)

600

600

N ´umero de iterac¸ ˜oes na cadeia 1

78949

3961

N ´umero de iterac¸ ˜oes na cadeia 2

76005

3931

Tempo para completar

100 iterac¸ ˜oes (segundos)

0,77

15,20

Burn-in ( inspec¸ ˜ao visual)

2000

500

Thinning interval

22

1

Vaz ˜ao do rio Fartura

● ●●●●● ● ●●● ●● ●●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●●●●●● ● ●● ●●● ● ●●● ● ● ● ●● ●●● ● ● ● ● ●●●● ● ● ● ● ●●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ●●●● ●● ●●●● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● I III −0.8 −0.4 0.0 (a)α ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●●● ● ● ●● ●● ● ●● ●● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● I III 0.55 0.65 0.75 (b)ρ ●● ● ● ●● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ●●● ●● ●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ●●● ●●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ●●● ●●● ● ●● ● ●●● ● ●● ●●● ● ●● ● ●● ● ●●●●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●●●● ● ● ● ● ● ● ●●● ●●● ● ●●● ●● ● ● ●●● ●● ● ● ● ●● ● ● ●●● I III 0.08 0.10 0.12 (c)γ ●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ●●● ●●●● ●●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ● ●●● ● ●●●● ●●● ● ●● ● ● ●●● ●●●●● ●●●●● ●● ●●●● ●● ●●● ● ● ● ●●●●●●●●●●● ● ● ● ● ●● ● ●●●● ●● ● ● ●●● ●● ●● ●●● ● ● ●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●●●● ● ●● ●● ●●● ●● ● I III 1.6 2.0 2.4 2.8 (d)E15 ● ● ●● ● ● ●●● ● ● ● ●●● ●● ●●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●●● ●● ●●●● ●● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ●●●●● ● ● ● ● ●●● ●● ●● ●●● ● ● ● ●● ●●● ● ●●● ●● ● I III 0.6 1.0 1.4 1.8 (e)E55 0 20 4060 80 0.0 0.4 0.8 I III (f)α 0 20 4060 80 0.0 0.4 0.8 I III (g)ρ 0 20 4060 80 0.0 0.4 0.8 I III (h)γ 0 20 4060 80 0.0 0.4 0.8 I III (i)E15 0 20 4060 80 0.0 0.4 0.8 I III (j)E55

Figure:Box plots and autocorrelation functions for some parameters (5) (SP).

Vaz ˜ao do rio Fartura

Table:PSRF ( ˆR) e INEFF para alguns par ˆametros do modelo (5)

I III

PSRF INEFF per chain PSRF INEFF per chain ˆ R 97.5 1b ₂b ₁c ₂c _{Rˆ 97.5 1}b ₂b α 1,01 1,03 5,12 5,11 2,87 2,48 1,02 1,08 4,77 4,89 ρ 1,00 1,01 4,58 4,57 2,36 2,14 1,14 1,52 4,68 4,97 γ 1,00 1,00 2,75 2,70 1,13 1,22 1,07 1,29 3,59 3,49 ν 1,00 1,00 3,91 3,85 1,43 1,47 1,08 1,31 3,61 3,70 W 1,00 1,00 3,40 3,40 1,29 1,34 1,04 1,18 3,06 3,32 E0 1,00 1,00 3,91 3,86 1,88 1,55 1,00 1,01 3,53 3,86 E5 1,00 1,02 4,83 4,81 2,67 2,27 1,02 1,10 4,28 4,55 E15 1,00 1,01 4,80 4,77 2,65 2,31 1,00 1,00 4,37 4,56 E35 1,01 1,03 4,85 4,83 2,63 2,37 1,01 1,04 4,41 4,70 E55 1,00 1,01 4,86 4,84 2,63 2,42 1,01 1,07 4,41 4,61

Um Modelo Bayesiano de Chuva-Vaz ˜ao

A bacia do Rio Grande (BA): localizac¸ ˜ao e dados

BRASIL

Bacia do Rio São Francisco

Bacia do Rio Grande Bacia do Rio Grande (a) Localization 0 200 400 0 200 500 0 400 800 300 1 2 3 Taguá Legend Runoff Rainfall Rivers Selected Grid Total Grid Tagua 1 2 3 0 62.5 Kilometers125 250

Abordagens Propostas: caso general

Se

Y

t

´e a vaz ˜ao e

X

t

a chuva acumulada na bacia em

t

, ent ˜ao a relac¸ ˜ao

chuva-vaz ˜ao ser ´a:

Y

t

∼

p(Y

t

|

µ

t

, φ

t

), t = 1, 2, . . .

(6a)

g(µ

t

)

= f

1

(α

t

, E

t

)

(6b)

E

t

= f

2

(E

t−1

, . . . , E

0

, X

t

)

(6c)

Figure:O processo f´ısico envolvido na gerac¸ ˜ao da vaz ˜ao

Relac¸ ˜ao n ˜ao-linear

Vaz ˜ao corrente depende da vaz ˜ao nos per´ıodos anteriores e na chuva presente e passada. N ˜ao existe feedback (feedback) entre chuva e vaz ˜ao

A vaz ˜ao e uma quantidade n ˜ao negativa e sua s ´erie temporal pode se n ˜ao estacion ´aria.

Efeito da chuva: func¸ ˜ao de transfer ˆencia

Baseado nas suposic¸ ˜oes de Migon and Monteiro (1997), a relac¸ ˜ao chuva-vaz ˜ao pode ser representada pela func¸ ˜ao de transfer ˆencia.

Alternativas de Func¸ ˜ao de Tranfer ˆencia:

E

t

= ρ

t

E

t−1

+ γ

t

X

t

(7a)

E

t

= ρ

t

E

t−1

+ [1 − exp(−κ

t

X

t

)][ϑ

t

− (α

t

+ ρ

t

E

t−1

)].

(7b)

tempo Et 5 10 15 20 25 0.00 0.10 0.20 0.30 ●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●● ρρ ==0.7 γγ ==0.3 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 4 6 8 10 14 1 2 3 4 5 Xt Et ρρEt−−1 γγ ==0.3 ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●● 2 4 6 8 10 14 2 3 4 5 6 7 8 9 Xt Et φφ −− αα

Efeito da chuva: func¸ ˜ao de transfer ˆencia

Baseado nas suposic¸ ˜oes de Migon and Monteiro (1997), a relac¸ ˜ao chuva-vaz ˜ao pode ser representada pela func¸ ˜ao de transfer ˆencia.

Alternativas de Func¸ ˜ao de Tranfer ˆencia:

E

t

= ρ

t

E

t−1

+ γ

t

X

t

(7a)

E

t

= ρ

t

E

t−1

+ [1 − exp(−κ

t

X

t

)][ϑ

t

− (α

t

+ ρ

t

E

t−1

)].

(7b)

Interpretac¸ ˜ao dos par ˆametros

γ

t

:

Efeito instant ˆaneo. Associado com a velocidade da ´agua sobre a

terra, capacidade de infiltrac¸ ˜ao do solo e efeito da vegetac¸ ˜ao sobre a

chuva.

ρ

t

:

Fator de recarga. Taxa de memorizac¸ ˜ao da chuva. Depende da

geomorfologia e do uso do solo/tipo cobertura na bacia.

α

t

:

Fluxo b ´asico. Depende do n´ıvel da water table.

Efeito da chuva: func¸ ˜ao de transfer ˆencia

Baseado nas suposic¸ ˜oes de Migon and Monteiro (1997), a relac¸ ˜ao chuva-vaz ˜ao pode ser representada pela func¸ ˜ao de transfer ˆencia.

Alternativas de Func¸ ˜ao de Tranfer ˆencia:

E

t

= ρ

t

E

t−1

+ γ

t

X

t

(7a)

E

t

= ρ

t

E

t−1

+ [1 − exp(−κ

t

X

t

)][ϑ

t

− (α

t

+ ρ

t

E

t−1

)].

(7b)

Tipos de Efeito Instant ˆaneos

Constante

:

γ

t

= γ

Variando no Tempo

:

γ

t

= γ

t−1

+ δ

t

Modelo da Chuva

Seja {Xt(s), s ∈ B ⊂ R2, t = 1, 2, · · · } um campo espacial em t e com localizac¸˜ao s. Aqui,

X

t

(s) ≥ 0 ´e uma v.a. representando a chuva em t e no local s

.

A chuva na bacia

B com ´area |B|, X

t

, ´e dada por:

X

t

= |B|

−1

Z

B

X

t

(s

i

)ds, ∀s

i

∈

B

(8)

X

t

(s) segue uma distribuic¸ ˜ao truncada normal e pode ser representada

pelo modelo espac¸p-temporal Sans ´o and Guenni (2000) :

X

t

(s

i

)

=















w

t

(s

i

)

β

se

w

t

(s

i

)

> 0, s

i

∈

B

0

se

w

t

(s

i

) ≤ 0

(9a)

w

t

(s)

= θ

t

f (s)

+ Z

t

(s)

+ 

t

(s)

(9b)

Z(s) ∼ GP(0, σ

2

_%(ks

1

, s

2

k

, λ))

(9c)

30/40

Abordagem proposta: caso geral

Nossa proposta consiste em

ajustar as equac¸ ˜

oes (6) e (9) simultaneamente

.

Este modelos simples

completamente representa o sistema hidrologico

.

O modelo ´e flex´ıvel e baseado na

superposic¸ ˜ao de sub-modelos

.

Todos os par ˆametros tem

interpretac¸ ˜ao f´ısica clara

Todas as incertezas associadas ao

processo f´ısico s ˜ao levadas em conta

Procedimento de Infer ˆencia

SejamY= (Y1, . . . , YT)

0

eX(s)= (X1(s), . . . , XT(s)) 0

, ondes= (s1, . . . , sS). Tamb ´em,

X(si)= (X1(si), . . . , XT(si))0, si∈B, i = 1, . . . , S, Xt(s)= (Xt(s1), . . . , Xt(sS))0, e

X= (X1, . . . , XT)0.

A distribuic¸ ˜ao conjunta deY, X e X(s) ´e dada por

p(Y, X, X(s)|Θ) = p(Y|X, X(s), ΘY)p(X, X(s)|ΘX) (10) = T Y t=1 p(Yt|Xt, Xt(s), ΘY)p(Xt|Xt(s), ΘX) (11) S Y i=1 p(Xt(si)|ΘX)

ondeΘ = (ΘY, ΘX), ΘYdenota os par ˆametros em (6)eΘX, os par ˆametros em (9).

Gelfand, Zhu and Carlin (2001) propos approximarp(Xt, Xt(s)|ΘX) using:

ˆ Xt= 1 SB SB X i=1 ˆ Xt(si) i= 1, . . . , SB. (12)

A distribuic¸ ˜ao preditiva necessaria para interpolar a chuva,Xt(si) ´e:

p(X(s0)|X(s))= Z

p(X(s0)|X(s), ΘX)p(ΘX|X(s))p(ΘX). (13)

Aspectos Pr ´aticos

Y

t

|

X

t

∼

p(µ

t

, φ)

t

= 1, . . . , T

(14a)

log(µ

t

)

= α

t

+ E

t

(14b)

E

t

= ρE

t−1

+ γ

t

X

t

+ w

t

w

t

∼

N(0, σ

2E

)

(14c)

α

t

= G

α

α

t−1

+ w

α,t

w

α,t

∼

N(0, σ

2α

)

(14d)

γ

t

= G

γ

γ

t−1

+ w

γ,t

w

γ,t

∼

N(0, σ

2γ

)

(14e)

X

t

=

1

S

B SB

X

i=1

ˆ

X

t

(s

0 i

)

i

= 1, . . . , S

B

(14f)

X

t

(s

i

)

=















w

t

(s

i

)

β

se

w

t

(s

i

)

> 0

0

se

w

t

(s

i

) ≤ 0

i

= 1, . . . , N

(14g)

w

t

= z

t

+ ν

t

ν

t

∼

N

N

(0, τ

2

I)

(14h)

z

t

= F

0

θ

t

+ 

t



t

∼

N

N

(0, σ

2

V

t

)

(14i)

Chuva

(Sans ´o & Guenni, 2000)

X

Dsn: Normal Truncada

X

F

i

= (1, long

i

, 1, 0, 1, 0)

0

X

G

=

G

₀

1

_G

0

2

!

.

G

1

= I

2

e

G

2

= 2

harm ˆonicos.

X

t

(s

i

)

=















w

t

(s

i

)

β

if

w

t

(s

i

)

> 0

0

if

w

t

(s

i

) ≤ 0

w

t

= z

t

+ ν

t

, ν

t

∼

N

N

(0, τ

2

I)

z

t

= F

0

θ

t

+ 

t

, 

t

∼

N

N

(0, σ

2

V

t

)

θ

t

= Gθ

t−1

+ ω

t

, ω

t

∼

N

k

(0, W

t

)

Vaz ˜ao

(Migon & Monteiro, 1997)

X

Dsn: Log-Normal or Gamma

X

ST n ˜ao-stationary

X

Efeito da Chuva: 1st order TF

Y

t

|

X

t

∼

p(µ

t

, φ), t = 1, . . . , T

log(µ

t

)

= α

t

+ E

t

E

t

= ρE

t−1

+ γ

t

X

t

+ w

t

, w

t

∼

N(0, σ

2_E

)

α

t

= G

α

α

t−1

+ w

α,t

, w

α,t

∼

N(0, σ

2α

)

γ

t

= G

γ

γ

t−1

+ w

γ,t

, w

γ,t

∼

N(0, σ

2γ

)

Modelo da Chuva:σ2_{> 0, V} t∈ RN×N, θ ∈ Rk, G ∈ Rk×k, F 0 ∈ RN×k_.w

t(s) is a latent Gaussian r.v.,τ2I ´e o

efeito pepita,θt= (θt1, θt2)0, ondeθt1´e um atgend ˆencia espacial eθt2descreve os efeitos sazonais.Vt

captura a correlac¸ ˜ao espacial, comVij= exp(−λdij). No model de vaz ˜ao: f= log ou identidade, dependendo

dep(µt, φ).

Chuva

(Sans ´o & Guenni, 2000)

X

Dsn: Normal Truncada

X

F

i

= (1, long

i

, 1, 0, 1, 0)

0

X

G

=

G

₀

1

_G

0

2

!

.

G

1

= I

2

e

G

2

= 2

harm ˆonicos.

X

t

(s

i

)

=















w

t

(s

i

)

β

if

w

t

(s

i

)

> 0

0

if

w

t

(s

i

) ≤ 0

w

t

= z

t

+ ν

t

, ν

t

∼

N

N

(0, τ

2

I)

z

t

= F

0

θ

t

+ 

t

, 

t

∼

N

N

(0, σ

2

V

t

)

θ

t

= Gθ

t−1

+ ω

t

, ω

t

∼

N

k

(0, W

t

)

Vaz ˜ao

(Migon & Monteiro, 1997)

X

Dsn: Log-Normal or Gamma

X

ST n ˜ao-stationary

X

Efeito da Chuva: 1st order TF

Y

t

|

X

t

∼

p(µ

t

, φ), t = 1, . . . , T

log(µ

t

)

= α

t

+ E

t

E

t

= ρE

t−1

+ γ

t

X

t

+ w

t

, w

t

∼

N(0, σ

2_E

)

α

t

= G

α

α

t−1

+ w

α,t

, w

α,t

∼

N(0, σ

2α

)

γ

t

= G

γ

γ

t−1

+ w

γ,t

, w

γ,t

∼

N(0, σ

2γ

)

Chuva

(Sans ´o & Guenni, 2000)

X

Dsn: Normal Truncada

X

F

i

= (1, long

i

, 1, 0, 1, 0)

0

X

G

=

G

₀

1

_G

0

2

!

.

G

1

= I

2

e

G

2

= 2

harm ˆonicos.

X

t

(s

i

)

=















w

t

(s

i

)

β

if

w

t

(s

i

)

> 0

0

if

w

t

(s

i

) ≤ 0

w

t

= z

t

+ ν

t

, ν

t

∼

N

N

(0, τ

2

I)

z

t

= F

0

θ

t

+ 

t

, 

t

∼

N

N

(0, σ

2

V

t

)

θ

t

= Gθ

t−1

+ ω

t

, ω

t

∼

N

k

(0, W

t

)

Vaz ˜ao

(Migon & Monteiro, 1997)

X

Dsn: Log-Normal or Gamma

X

ST n ˜ao-stationary

X

Efeito da Chuva: 1st order TF

Y

t

|

X

t

∼

p(µ

t

, φ), t = 1, . . . , T

log(µ

t

)

= α

t

+ E

t

E

t

= ρE

t−1

+ γ

t

X

t

+ w

t

, w

t

∼

N(0, σ

2_E

)

α

t

= G

α

α

t−1

+ w

α,t

, w

α,t

∼

N(0, σ

2α

)

γ

t

= G

γ

γ

t−1

+ w

γ,t

, w

γ,t

∼

N(0, σ

2γ

)

Modelo da Chuva:σ2_{> 0, V} t∈ RN×N, θ ∈ Rk, G ∈ Rk×k, F 0 ∈ RN×k_.w

t(s) is a latent Gaussian r.v.,τ2I ´e o

efeito pepita,θt= (θt1, θt2)0, ondeθt1´e um atgend ˆencia espacial eθt2descreve os efeitos sazonais.Vt

captura a correlac¸ ˜ao espacial, comVij= exp(−λdij). No model de vaz ˜ao: f= log ou identidade, dependendo

dep(µt, φ).

Modelo Espac¸o-Temporal: Resultados (1)

O modelo espac¸o-temporal selecionado para a chuva tem intercepto e um efeito linear da longitude na tend ˆencia espacial.

Table:Sum ´ario da posterior dos par ˆametros fixos

mean sd 2,5% 25% 50% 75% 97,5% Rˆ β 1,732 0,016 1,701 1,722 1,732 1,743 1,764 1,001 λ 0,045 0,007 0,033 0,040 0,044 0,050 0,061 1,001 ς2 _{0,719 0,040 0,644 0,691 0,718 0,746 0,798 1,001} σ2 _{1,100 0,044 1,015 1,070 1,098 1,128 1,191 1,003} 1985 1990 1995 2000 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 (a) Intercept 1985 1990 1995 2000 −1.0 −0.6 −0.2 (b) Longitude 1985 1990 1995 2000 −4 −2 0 2 4 (c)1o_Harmonic 1985 1990 1995 2000 −1.5 −0.5 0.5 1.5 (d)2o_Harmonic

Modelo espac¸o-temporal da chuva: Resultados (2)

−46.4−13.0 −46.0 −45.6 −45.2 −44.8 −44.4 −44.0 −43.6 −12.6 −12.2 −11.8 −11.4 longitude latitude 234.6 242.3 155.8 239.8 293.1 284.2 335.6 295.6 (a) December, 2000 −46.4−13.0 −46.0 −45.6 −45.2 −44.8 −44.4 −44.0 −43.6 −12.6 −12.2 −11.8 −11.4 longitude latitude 0 0 0 0 0 0 0 0 (b) June, 2002

Figure:Rainfall posterior mean for two different months.

mm 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 0 100 200 300 400 500 600

Spatio−Temporal model: mean Spatio−Temporal model: IC 95% Thiessen's method

(a) Rainfall: mean and 95% Interval

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●● ●●●●●●●● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● 0 100 250 400 550 0 100 250 400 550 Thiessen's method Média a posteriori (b) Q-Q plot

Modelo de TF da Vaz ˜ao: Resultados (1)

Modelos ajustados

(a) N´ıvel b ´asico, func¸ ˜ao de transfer ˆencia e efeito instant ˆaneo - chuva: σ2

α= σ2γ= σ2E= 0, ∀t;

(b) N´ıvel b ´asico, func¸ ˜ao de transfer ˆencia e efeito instant ˆaneo - chuva est ´atico, e FT estoc ´astica:σ2_α= σ2_γ= 0 e σ2_E> 0, ∀t;

(c) N´ıvel b ´asico variando - random walk, e FT e efeito instant ˆaneo - chuva est ´atico: αt= αt−1+ wα,t,σ2

α> 0 e σ2γ= σ2E= 0, ∀t;

(d) N´ıvel b ´asico est ´atico, FT estoc ´astica e efeito instant ˆaneo da chuva variando no tempo - random walk:γt= γt−1+ wγ,t,σ2γ> 0, σ2α= 0 e σ2E> 0, ∀t;

(e) N´ıvel b ´asico est ´atico, FT estoc ´astica e efeito instant ˆaneo da chuva variando no tempo - tend ˆencia constante e 2 harm ˆonicos:γt= Gγγt−1+ wγ,t,σ2

γ> 0, σ2α= 0 e

σ2

E> 0, ∀t. Gγ= diag(1, G2,γ) onde

Modelo de TF da Vaz ˜ao: Resultados (2)

probability 4.65 4.75 4.85 4.95 0 2 4 6 8 Mean (a)α probability 0.45 0.55 0.65 0.75 0 2 4 6 8 Mean (b)ρ γγt Xt 1984 19861988 199019921994 19961998 20002002 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Mean IC 95% (c) Instantaneous effect deXt γγ0 1984 1988 1992 1996 2000 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 (d)γt,0

Figure:Parameters of (14a)-(14c), (e) and gamma response.

(a) Unit pulse emt= 5 (b) Real pulse - Rainfall

Figure:Func¸ ˜ao de resposta a impulso.

Interpolac¸ ˜ao espacial e Previs ˜ao temporal

mm 2003.0 2003.4 2003.8 2004.2 2004.6 0 50 150 250 350 450 ₁ mm 2003.0 2003.4 2003.8 2004.2 2004.6 0 50 150 250 350 450 ₂ mm 2003.0 2003.4 2003.8 2004.2 2004.6 0 50 150 250 350 450 ₃

(a) Rainfall prediction- each station

mm 2003.0 2003.2 2003.4 2003.6 2003.8 2004.0 2004.2 2004.4 2004.6 0 50 100 200 300

400 Spatio−Temporal model: mean Spatio−Temporal model: IC 95% Thiessen's method (b) Rainfall prediction m 3 s 2003.0 2003.2 2003.4 2003.6 2003.8 2004.0 2004.2 2004.4 2004.6 100 140 180 220 260

300 Transfer function model: mean Transfer function model: IC 95% Observed Runoff

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