ANÁLISE COMPUTACIONAL DAS CORRENTES DE TINKER. Isabela Ramos Teixeira Zão. Engenharia Mecânica.

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AN ´ALISE COMPUTACIONAL DAS CORRENTES DE TINKER

Isabela Ramos Teixeira Z˜ao

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Mecânica.

Orientador: N´ısio de Carvalho Lobo Brum

Rio de Janeiro Outubro de 2014

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Z˜ao, Isabela Ramos Teixeira

An´alise Computacional das Correntes de Tinker/Isabela Ramos Teixeira Z˜ao. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2014.

XIII, 90 p.: il.; 29, 7cm.

Orientador: N´ısio de Carvalho Lobo Brum

Disserta¸c˜ao (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Mecˆanica, 2014.

Referˆencias Bibliogr´aficas: p. 85 – 90.

1. Trocadores de calor. 2. Simula¸c˜ao em volumes finitos. 3. Escoamento no lado do casco. I. Brum, N´ısio de Carvalho Lobo. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecˆanica. III. T´ıtulo.

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Agradecimentos

A Deus pois sem Ele nada disso seria poss´ıvel e também a intercessão da Virgem Maria, Mãe que nunca me abandona.

Agrade¸co a minha fam´ılia pelo apoio, pelas ora¸c˜oes e por ter tolerado minha ausˆencia.

Agrade¸co especialmente ao meu marido Leonardo, que esteve ao meu lado du-rante todas as crises e me apoiou todo o tempo.

Ao meu orientador N´ısio pela paciˆencia, orienta¸c˜ao e disponibilidade.

A Petrobras por ter concedido a libera¸c˜ao para realizar este mestrado e ao meu chefe e aos colegas de trabalho pelo apoio.

A minha amiga de mestrado Diana, que me ajudou muito mais do que ela pode imaginar.

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Resumo da Disserta¸cão apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

AN ´ALISE COMPUTACIONAL DAS CORRENTES DE TINKER

Outubro/2014

Orientador: N´ısio de Carvalho Lobo Brum Programa: Engenharia Mecˆanica

Este trabalho apresenta um estudo numérico sobre a influência das correntes de Tinker no escoamento dentro do casco de um permutador de calor casco e tubos. Em especial, é analisado o efeito da corrente de vazamento entre os tubos e chicana, denominada corrente A. Inicialmente, destaca-se a importância da análise compu-tacional do escoamento no lado do casco do equipamento estudado. Em seguida, é apresentado o problema do escoamento dentro do casco do permutador de calor casco e tubo com suas equa¸cões governantes. E também sua discretiza¸cão pelo Método dos Volumes Finitos, modelando o feixe de tubos como um meio poroso, prática comum na literatura, é detalhada. É apresentada então a descri¸cão da modelagem numérica da corrente de vazamento entre os tubos e a chicana. Finalmente são apresentados os resultados obtidos com as principais observa¸cões. Ao final da disserta¸cão são apresentadas as principais conclusões do trabalho e propostas de trabalhos futuros.

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Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

COMPUTATIONAL ANALYSIS OF TINKER’S STREAMS

October/2014

Advisor: N´ısio de Carvalho Lobo Brum Department: Mechanical Engineering

This work presents a numerical study about the Tinker’s streams influence on the shell side flow of a shell and tube heat exchanger. Particularly, the tube to baffle leakage stream, named stream A, effects are evaluated. First the importance of computational analysis of shell side flow is emphasized. Then the problem of shell side flow of a shell and tube heat exchanger is explained and its governing equations, presented. Also, the problem discretization with Finite Volume Method, modelling the tube bundle as a porous media, a common practice in literature, is detailed. Then, the numerical modelling of the tube to baffle leakage stream is described. Finally, the achieved results are shown, with main observations. By the end of this work the main conclusions and some future works proposals are exhibited.

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Sum´

ario

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xiii

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Motiva¸c˜ao . . . 1

1.2 Objetivos . . . 4

2 Revisão Bibliográfica 6 2.1 Métodos experimentais . . . 6

2.2 As Correla¸c˜oes . . . 7

2.2.1 O M´etodo das Correntes . . . 8

2.3 M´etodos num´ericos . . . 12

2.3.1 Avalia¸c˜ao do comportamento local do escoamento no casco com aux´ılio de CFD . . . 12

2.3.2 Feixe de tubos como meio poroso . . . 14

3 Modelagem Matem´atica do Problema 19 3.1 Premissas . . . 19

3.2 Teorema da m´edia volum´etrica ou espacial . . . 20

3.3 Dom´ınio do casco como meio poroso . . . 22

3.3.1 Equa¸c˜ao da continuidade . . . 22

3.3.2 Equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao de quantidade de movimento . . . 23

3.3.3 Intera¸c˜ao fluido-estrutura . . . 25

3.4 Equa¸c˜oes governantes do problema . . . 25

4 Modelagem num´erico-computacional 27 4.1 M´etodo de Volumes Finitos . . . 27

4.1.1 Sobre o m´etodo . . . 27

4.1.2 Fun¸c˜ao de interpola¸c˜ao espacial . . . 31

4.1.3 Integra¸cão das equa¸cões de conserva¸cão . . . 32

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4.2 Modelo poroso . . . 40

4.2.1 Feixe de tubos . . . 40

4.2.2 Equa¸cões de conserva¸cão e Condi¸cões de contorno . . . 44

4.3 Modelagem do vazamento entre os tubos e a chicana . . . 48

4.4 Estudo de convergˆencia de malha . . . 49

5 Resultados e Discussão 52 5.1 Valida¸cão da simula¸cão . . . 54

5.1.1 An´alise de convergˆencia de malha . . . 57

5.1.2 Sensibilidade do modelo . . . 59

5.2 Influˆencia da corrente A . . . 60

5.2.1 Influˆencia na perda de carga . . . 60

5.2.2 Influˆencia no escoamento . . . 63

6 Conclusões 70 6.1 Contribui¸cões desta disserta¸cão . . . 70

6.2 Sugest˜oes de trabalhos futuros . . . 71

A Resultados de escoamento com vaz˜ao de 5,96 kg/s 73 A.1 Resultados considerando escoamento sem a corrente A . . . 73

A.2 Resultados considerando escoamento com a corrente A . . . 74

B Resultados de escoamento com vaz˜ao de 3,77 kg/s 79 B.1 Resultados considerando escoamento sem a corrente A . . . 79

B.2 Resultados considerando escoamento com a corrente A . . . 81

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Lista de Figuras

1.1 Zonas de recircula¸cão dentro do permutador C&T (extra´ıda de Thu-lukkanam (2013)) . . . 2 1.2 Feixe de tubos com incrusta¸cão externa . . . 3 1.3 Permutador casco e tubos . . . 4 1.4 Corrente de vazamento através da folga entre os tubos e a chicana

(extra´ıdo de Thome (2004)) . . . 5 2.1 Distribui¸cão das correntes dentro do casco (adaptada de Hewitt (1994)) 9 2.2 Circuito hidráulico equivalente com resistências ao escoamento . . . . 9 2.3 Mapa das correntes de Tinker (extra´ıdo de Thome (2004)) . . . 10 2.4 Corrente de Bypass entre o feixe e o casco (extra´ıdo de Thome (2004)) 11 2.5 T´ıpicos arranjos do feixe de tubos do permutador Thome (2004)) . . 16 3.1 Permutador casco e tubo com chicanas representadas . . . 20 3.2 Superf´ıcie S associada a um ponto z qualquer do meio poroso

(repro-duzido de Campos (2007)) . . . 21 3.3 Feixe de tubos do permutador de Bell . . . 22 4.1 Tarefa do método numérico (extra´ıdo de Maliska (2004)) . . . 28 4.2 Volume elementar com fluxo de massa através das faces (extra´ıdo de

Maliska (2004)) . . . 29 4.3 Corpo unidimensional sujeito a condu¸c˜ao de calor transiente

(adap-tado de Maliska (2004)) . . . 29 4.4 Volume de controle tridimensional com pontos vizinhos (extra´ıdo de

Veersteg & Malalasekera (2007)) . . . 32 4.5 Arranjo co-localizado (extra´ıdo de Maliska (2004)) . . . 36 4.6 Arranjo defasado para problemas bidimensionais (extra´ıdo de

Veers-teg & Malalasekera (2007)) . . . 37 4.7 Distribui¸c˜ao das chicanas no permutador discretizado pela malha de

8 x 16 x 41 . . . 43 4.8 Volumes equivalentes ao casco do permutador na malha de 8 x 16 x 41 44

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4.9 Condi¸c˜oes de contorno aplicadas ao modelo (extra´ıdo de Campos

(2007)) . . . 45

5.1 Permutador utilizado no experimento Bell-Delaware (desenho gerado a partir do programa HTRI) . . . 52

5.2 Espelho do permutador de Bell gerando com o programa comercial HTRI . . . 53

5.3 Malha 6 x 12 x 35 . . . 54

5.4 Malha 12 x 24 x 65 . . . 55

5.5 Malha 24 x 48 x 125 . . . 56

5.6 Painel de op¸c˜oes do programa comercial HTRI . . . 56

5.7 Escoamento modelado com malha 6 x 12 x 35 - vaz˜ao 9,48 kg/s . . . 58

5.8 Escoamento modelado com malha 12 x 24 x 65 - vaz˜ao 9,48 kg/s . . . 59

5.9 Escoamento modelado com malha 24 x 48 x 125 - vaz˜ao 9,48 kg/s . . 60

5.10 Ponto analisado no estudo de convergˆencia de malha - vista em pers-pectiva . . . 61

5.11 Ponto analisado no estudo de convergˆencia de malha - vista frontal . 61 5.12 Folga entre os tubos e os furos da chicana . . . 64

5.13 Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 -vaz˜ao 9,48 kg/s . . . 65

5.17 Escoamento com corrente A - vaz˜ao 9,48 kg/s - plano em x=0,114 . . 67

5.20 Detalhe do escoamento com corrente A - vaz˜ao 9,48 kg/s - plano em x=0,114 . . . 69

5.21 Detalhe do escoamento sem vazamentos - vaz˜ao 9,48 kg/s - plano em x=0,114 . . . 69

A.1 Escoamento modelado com malha 6 x 12 x 35 - vaz˜ao 5,96 kg/s . . . 73

A.2 Escoamento modelado com malha 12 x 24 x 65 - vaz˜ao 5,96 kg/s . . . 74

A.3 Escoamento modelado com malha 24 x 48 x 125 - vaz˜ao 5,96 kg/s . . 74

A.4 Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 -vaz˜ao 5,96 kg/s . . . 75

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A.5 Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35 -vaz˜ao 5,96 kg/s . . . 75 A.6 Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65

-vaz˜ao 5,96 kg/s . . . 76 A.7 Escoamento com a corrente A modelado com malha 12 x 24 x 65

-vazão 5,96 kg/s . . . 78 B.1 Escoamento modelado com malha 6 x 12 x 35 - vazão 3,77 kg/s . . . 79 B.2 Escoamento modelado com malha 12 x 24 x 65 - vazão 3,77 kg/s . . . 80 B.3 Escoamento modelado com malha 24 x 48 x 125 - vazão 3,77 kg/s . . 80 B.4 Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35

-vaz˜ao 3,77 kg/s . . . 81 B.5 Escoamento com a corrente A modelado com malha 6 x 12 x 35

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Lista de Tabelas

2.1 Correntes de fluxo no casco do permutador casco e tubos . . . 10

5.1 Caracter´ısticas do permutador de calor 10C-TL5-1 de Bell (1963), usado das simula¸c˜oes . . . 54

5.2 Malhas utilizadas . . . 55

5.3 Perda de carga (∆P ) num´erica x HTRI, em kPa . . . 55

5.4 Erro relativo entre perda de carga (∆P ) num´erica x HTRI . . . 57

5.5 Parˆametros de cada malha usado no m´etodo GCI . . . 58

5.6 Análise de convergência numérica . . . 59

5.7 Equipamento padr˜ao - testes de sensibilidade . . . 62

5.8 Comportamento de um trocador de calor real . . . 62

5.9 Varia¸c˜ao da perda de carga (∆P ) encontrada nos testes de sensibili-dade - malha 8 x 16 x 41 . . . 63

5.10 Quantidade de volumes por chicana que simulam a folga entre os tubos e a chicana . . . 63

5.11 Perda de carga (∆P ) num´erica x HTRI, em kPa . . . 64

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

1.1 Motiva¸c˜

ao

Permutadores ou trocadores de calor são equipamentos essenciais na indústria de processos. Dentre os tipos de permutadores presentes em plantas de processo, destacam-se os tubulares, de placas e de circuito impresso. Os permutadores tu-bulares se dividem em duplo tubo, multitutu-bulares e casco e tubos. Na indústria o modelo mais utilizado é o casco e tubos, principalmente por sua maior robustez mecânica e flexibilidade construtiva, que permite a melhor adequa¸cão de área de troca térmica ao servi¸co especificado.

O projeto de qualquer trocador de calor deve encontrar o equil´ıbrio entre projeto térmico e hidráulico. Assim é poss´ıvel obter um equipamento de bom desempenho e que atenda ao servi¸co sem onerar o sistema de bombeamento da planta industrial. Tal configura¸cão é obtida através de sucessivas itera¸cões e este processo pode ser feito de forma anal´ıtica ou com o auxilio de programas comerciais de projeto. O papel que a conserva¸cão de energia ocupa no projeto e na opera¸cão de plantas industriais é cada vez maior. Isso demanda que o cálculo da perda de carga dos equipamentos seja cada vez mais preciso. Uma previsão adequada da perda de carga gera economia ao reduzir custo de bombeamento e custo do equipamento em si, pois um trocador dimensionado para utilizar a máxima perda de carga dispon´ıvel possui dimensões menores que o mesmo equipamento, quando projetado com perda de carga menor.

Incrusta¸cão, corrosão localizada, hot spots decorrentes de zonas de estagna¸cão e vibra¸cão dos tubos são problemas t´ıpicos nos trocadores casco e tubos como apre-sentado em Theodossiou et al (1988) e, salvo algumas exce¸cões, estes são resultado de má distribui¸cão do fluido no casco do permutador. Os programas comerciais dis-pon´ıveis para dimensionamento termo-hidráulico dos trocadores casco e tubos são suficientemente precisos para avalia¸cões globais dos coeficientes de troca térmica e das perdas de carga, porém não existe uma ferramenta comercial espec´ıfica

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dis-Figura 1.1: Zonas de recircula¸c˜ao dentro do permutador C&T (extra´ıda de Thuluk-kanam (2013))

pon´ıvel para análise localizada do escoamento dentro do casco de um equipamento de porte industrial. O conhecimento do comportamento local do fluxo no casco é útil para identificar regiões estagnadas propensas a depósitos ou a corrosão, ou regiões de velocidade elevada que podem provocar vibra¸cão nos tubos, danosas aos mesmos. É poss´ıvel obter informa¸cões localizadas sobre o escoamento e a perda de carga no lado do casco de um permutador casco e tubos através da realiza¸cão de experimentos, implementando técnicas de visualiza¸cão, ou modelando numeri-camente o equipamento com os seus internos, fazendo uso de algumas técnicas de simplifica¸cão, como serão apresentadas posteriormente.

Conforme descrito em Pettigrew (1985), são considerados no dimensionamento de um trocador de calor; seu desempenho, confiabilidade operacional, baixa neces-sidade de manuten¸cão e troca térmica otimizada, alinhado ao menor custo poss´ıvel. As consequências de um mau dimensionamento de um permutador vão além do custo de manuten¸cão ou de fabrica¸cão de um novo equipamento. Os impactos no funcio-namento da planta de processo e as consequentes perdas de produ¸cão correspondem a valores muito maiores do que os custos relacionados a um projeto otimizado e a aquisi¸cão de um trocador bem especificado.

Taborek et al. (1972) ressaltaram que a incrusta¸cão representa o maior custo operacional das indústrias de processo. O conhecimento das caracter´ısticas de es-coamento no casco é essencial para o controle da incrusta¸cão. Mesmo hoje, com o avan¸co das metodologias de cálculo e das tecnologias para reduzir o depósito no equipamento durante sua opera¸cão, a incrusta¸cão continua sendo uma grande preocupa¸cão no projeto dos permutadores de calor. Dentre os fatores que contri-buem para a forma¸cão de depósitos dentro do equipamento, destacam-se o tempo de opera¸cão, a composi¸cão do fluido e suas caracter´ısticas do escoamento. Baixas velocidades de escoamento, seja no casco ou nos tubos, favorecem a deposi¸cão na superf´ıcie dos tubos, dificultando a troca térmica.

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Figura 1.2: Feixe de tubos com incrusta¸c˜ao externa

Um dos parâmetros avaliados pelos programas comerciais é a velocidade média do fluxo no casco. Por mais que estes programas indiquem velocidades médias consideradas adequadas, a geometria interna do casco junto com as propriedades do fluido podem levar ao surgimento de zonas de recircula¸cão, representadas na Figura 1.1. Nestas regiões, o fluido circula com velocidades muito baixas, favorecendo a deposi¸cão. Além de prejudicar a troca de calor, a ocorrência de depósito na zonas de recircula¸cão pode levar a degrada¸cão térmica, alterando a qualidade do fluido no casco. A Figura 1.2 mostra os efeitos de um fluido propenso a incrusta¸cão escoando com baixa velocidade dentro do casco de um permutador de calor.

Em aplica¸cões com fluidos corrosivos ou de viscosidade muito sens´ıvel à tempe-ratura, o controle da forma¸cão de zonas de recircula¸cão torna-se essencial. No caso de fluidos corrosivos pode ocorrer corrosão localizada nas regiões de baixa veloci-dade. Já a varia¸cão de viscosidade ao longo do trocador provoca uma varia¸cão da velocidade de escoamento no casco, gerando má distribui¸cão de fluxo, que pode até danificar o equipamento. A água é um exemplo de fluido de viscosidade sens´ıvel à temperatura, sabe-se que em um intervalo de, por exemplo, 80◦_{C a viscosidade da}

´agua apresenta uma varia¸c˜ao de 65%.

Justificado por sua vasta utiliza¸cão e sua importância nos processos industriais, as metodologias de projeto do permutador casco e tubos devem ser constantemente aprimoradas (1999). O método mais eficaz para conhecer e avaliar localmente o

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Figura 1.3: Permutador casco e tubos

fluxo no casco é pela realiza¸cão de experimentos e a aplicabilidade dos resulta-dos fica restrita ao modelo estudado. Além disso, a instrumenta¸cão necessária e aplica¸cão correta de técnicas de visualiza¸cão tornam esta op¸cão custosa e complexa. A alternativa é simular numericamente o escoamento no casco do permutador. As ferramentas dispon´ıveis atualmente permitem a simula¸cão tridimensional dos equi-pamentos com representa¸cão dos efeitos causados por seus internos. Esta op¸cão permite obter informa¸cões suficientes sobre o comportamento localizado do fluxo no casco.

Eifler & Nijsing (1967), motivados pela necessidade da indústria nuclear em co-nhecer os detalhes do escoamento interno ao casco dos permutadores casco e tubos utilizados, realizaram um estudo experimental para determinar a distribui¸cão de ve-locidades e as resistências ao escoamento de um fluxo paralelo a um feixe de tirantes com arranjo triangular. Foram investigadas a sensibilidade destes parâmetros ao espa¸camento entre as chicanas e ao número de Reynolds, o que validou o modelo teórico proposto pelos autores anteriormente.

1.2 Objetivos

A proposta desta disserta¸cão é modelar o escoamento dentro do casco de um tro-cador Casco e Tubos como o representado na Figura 1.3, através da simula¸cão

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Figura 1.4: Corrente de vazamento atrav´es da folga entre os tubos e a chicana (extra´ıdo de Thome (2004))

computacional utilizando o Método de Volumes Finitos. Além de considerar o efeito dos tubos e das chicanas no escoamento, foram inclu´ıdos no modelo o vazamento através da folga entre os tubos e a chicana, representada na figura 1.4. Foi avaliado o impacto desta corrente de vazamento na perda de carga e verificado como esta corrente modifica o escoamento no lado do casco do permutador.

Não foi encontrado na literatura estudo sobre os efeitos locais das correntes de vazamento no escoamento do casco e as abordagem sobre os efeitos destas correntes sobre a perda de carga se limitam a avalia¸cão global do escoamento, como a reali-zadas por programas comerciais de projeto termo-hidráulico de permutadores casco e tubos, como HTRI e Aspentech EDR. Da´ı veio então a motiva¸cão de modelar o escoamento dentro do casco de um permutador de calor casco e tubos e avaliar os efeitos das correntes de vazamento e de bypass do feixe. O foco desta foi estudar o efeito da corrente de vazamento através da folga entre os furos das chicanas e os tubos do feixe no escoamento do lado do casco, tanto na perda de carga como no comportamento local do escoamento. Os efeitos da corrente A na troca térmica do equipamento não foram abordados nesta disserta¸cão.

Os resultados obtidos nas simula¸cões foram comparados com as estimativas for-necidas pelo programa comercial de projeto termo-hidráulico HTRI Xist 5.0, do qual a universidade dispõe de licen¸ca acadêmica. Para esta simula¸cão foi desenvolvido um programa em Fortran baseado no programa desenvolvido por (2007), utilizando o Microsoft Visual Studio 2010 e o compilador Intel Fortran 2011.

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Cap´ıtulo 2

Revis˜

ao Bibliogr´

afica

Devido à sua estrutura interna, o escoamento do fluido dentro do casco de um permutador casco e tubos não é algo simples de ser avaliado como o escoamento interno aos tubos. A metodologia de cálculo do coeficiente de troca térmica e da perda de carga tem evolu´ıdo ao longo dos anos, a partir da década de 1950. Li & Kottke (1997) destacam a complexidade do escoamento no casco do trocador e os numerosos parâmetros geométricos deste equipamento como as principais razões para que se tenha pouco conhecimento útil para o projeto do casco do permutador. Da´ı os diversos esfor¸cos em obter um modelo numérico ou experimental que permita conhecer melhor as especificidades deste escoamento.

O conhecimento detalhado do escoamento no casco pode ser obtido através da realiza¸cão de experimentos como fizeram Bell (1963), Emerson (1963) e Li & Kottke (1997) ou através de correla¸cões também baseadas em experimentos, como os pro-postos por Kern (1950), Tinker (1958), Palen & Taborek (1969) e Wills & Johnson (1984). No entanto, estes métodos não permitem estudar o escoamento de forma localizada, fornecendo somente a perda de carga e o coeficiente de troca térmica globais. A modelagem numérica das equa¸cões que governam o escoamento é a al-ternativa viável para realizar o estudo detalhado do fluxo no casco. Experimentos que avaliem condi¸cões locais do escoamento são custosos, principalmente quando deseja-se estudar a sensibilidade paramétrica do modelo, e os métodos de visua-liza¸cão dificilmente são eficazes. Por isso, o uso de ferramentas computacionais para diagnosticar e corrigir problemas em trocadores de calor sempre foi recomendado, conforme destacado por Pettigrew et al. (1985).

2.1 M´

etodos experimentais

Li & Kottke (1997), (1998), (1998) e (1999) realizaram diversos experimentos para conhecer melhor o comportamento local do escoamento no casco dos permutadores casco e tubos. Eles conduziram uma an´alise da troca t´ermica e de massa localizada

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em permutadores com chicanas do tipo disco e rosca (1999) e estudos de sensibilidade da perda de carga e do coeficiente de troca térmica local ao espa¸camento entre as chicanas (1998). Os autores também avaliaram experimentalmente o efeito da corrente de vazamento entre o casco e a chicana (1998) e do vazamento entre os tubos e as chicanas na transferência de calor e de massas locais (1997). A visualiza¸cão dos vazamentos foi poss´ıvel gra¸cas a uma técnica utilizada de medi¸cão de transferência de massa baseada em rea¸cões qu´ımicas e de absor¸cão.

Pekdemir et al (1993) realizaram um estudo experimental da distribui¸cão da pressão e das velocidades no feixe de um trocador casco e tubos com casco tipo TEMA E (2007). As medi¸cões foram feitas dentro de um trecho do trocador delimi-tado por duas chicanas consecutivas. Naquele estudo, foram coletadas informa¸cões para diferentes espa¸camentos, mantendo o corte das chicanas constante em 25%. A partir das medi¸cões da perda de carga foram estimados os campos de veloci-dade e o resultado foi comparado com as medi¸cões diretas de velociveloci-dades. Estas compara¸cões corroboraram as correla¸cões de pressão e velocidade para escoamentos através de feixes tubulares.

2.2 As Correla¸c˜

oes

Hewitt et al. (1994) apresentam de forma sucinta a evolu¸cão do desenvolvimento das correla¸cões entre os parâmetros envolvidos no escoamento dentro do casco do troca-dor. Os primeiros métodos utilizavam correla¸cões análogas ao escoamento interno dos tubos, como o apresentado por Kern (1950), e eram baseados em correla¸cões de-senvolvidas a partir de dados experimentais de projetos “t´ıpicos” de permutadores. O Método de Kern é aplicável somente a chicanas com corte de 25% e não considera os vazamentos através das folgas existentes dentro do casco.

O Método Bell-Delaware (1963) possui maior abrangência e é o método mais conhecido. Ele foi desenvolvido a partir de uma base de dados experimentais muito maior do que a utilizada por Kern (1950), e prevê fatores de corre¸cão devido aos va-zamentos presentes no casco e para algumas poss´ıveis geometrias do feixe de tubos. Ele já utiliza o conceito de escoamento do casco dividido em correntes analisadas separadamente, introduzido por Tinker (1958). É fato que este método possui uma aplicabilidade muito maior que o primeiro, mas ainda sim seu uso está limitado a trocadores de geometria compat´ıvel com a base dados utilizada. Os permutadores utilizados como base para o desenvolvimento deste método não são de escala in-dustrial. Logo, aplicar suas correla¸cões a equipamentos de escala industrial pode fornecer resultados que não representem a realidade. Apesar desta limita¸cão é um método ainda muito utilizado, principalmente para estimar o coeficiente de troca térmica no casco, pois os resultados para este coeficiente apresentam certa coerência

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com o comportamento real do equipamento. Serna & Jiménez (2005) desenvolveram rela¸cões compactas baseadas modelo de Bell para estimar a área, o coeficiente de troca térmica e a perda de carga no escoamento no casco de permutadores de calor casco e tubos, levando em conta os vazamentos na chicana e as correntes de bypass. A busca de um método mais abrangente motivou o desenvolvimento da abor-dagem proposta por Tinker (1958), o chamado Método de Análise das Correntes. O método de Tinker foi precursor de Bell-Delaware (1963), mas demandava ferra-mentas de cálculo não dispon´ıveis na época de sua concep¸cão. A ideia do Método das Correntes é identificar as diversas trajetórias que o fluido pode percorrer dentro do casco e calcular a contribui¸cão de cada corrente para a troca térmica e para a perda de carga. Este método é particularmente adequado para cálculos computa-cionais. Além disso, ele é a base dos principais programas comerciais de projeto termo-hidráulico de permutadores de calor casco e tubos, como Xist HTRI e As-pentech EDR. Até 1984, não era poss´ıvel resolver este método manualmente, até que Wills & Johnson (1984) publicaram uma versão do método das correntes com algumas simplifica¸cões pass´ıvel de solu¸cão manual.

2.2.1 O M´

etodo das Correntes

Serth & Lestina (2014) apresentam de forma concisa a evolu¸cão do Método das Correntes. Concebido por Tinker e desenvolvido por Palen & Taborek (1969), em conjunto com outros pesquisadores do Heat Transfer Research, Inc. (HTRI), esta metodologia de base emp´ırica foi aprimorada gra¸cas a um extenso banco de dados de permutadores casco e tubos industriais. É o método mais utilizado e confiável para projeto e verifica¸cão de desempenho de permutadores casco e tubos.

Esta metodologia, apesar de também ter base emp´ırica, é considerada mais fiel ao fenômeno f´ısico que o método de Bell-Delaware, pois é baseada em princ´ıpios hidráulicos bem estabelecidos que consideram corretamente as intera¸cões entre as diversas correntes presentes no casco. O escoamento no casco é modelado como uma rede hidráulica. A Figura 2.1 ilustra a ideia central do método. Ela representa um trecho do trocador composto por três chicanas consecutivas e traz os diversos caminhos dispon´ıveis ao fluido para sair do ponto P1 e chegar ao ponto P2. Cada caminho corresponde a uma corrente do escoamento do fluido no casco. A cada uma destas correntes é associada uma resistência ao escoamento, utilizada na de-termina¸cão da perda de pressão relacionada a cada uma delas. A vazão de cada corrente é obtida através do balan¸co hidráulico do sistema, modelo desenvolvido por Palen & Taborek (1969) e reproduzido na Figura 2.2.

Como muitos dos parâmetros obtidos durante a pesquisa de desenvolvimento do método das correntes são proprietários, a indústria faz uso de programas comerciais

(22)

Figura 2.1: Distribui¸c˜ao das correntes dentro do casco (adaptada de Hewitt (1994))

para projetar e avaliar seus equipamentos. Existe porém uma versão do método publicada por Wills & Johnson (1984) que, apesar de trazer algumas simplifica¸cões, apresenta todos os parâmetros necessários e permite o cálculo da perda de carga e das fra¸cões de escoamento no lado do casco. Este método tornou-se então uma ferramenta útil na verifica¸cão dos resultados fornecidos pelos programas comerciais.

Figura 2.2: Circuito hidráulico equivalente com resistências ao escoamento As correntes concebidas por Tinker estão representadas na Figura 2.3. Parte do fluido atravessa o feixe tubular (corrente B) e parte contorna o feixe (corrente de bypass C). Além disso, ocorrem vazamentos através das folgas entre os tubos e os furos de cada chicana (corrente A) e entre o casco e as chicanas (corrente E). As correntes de vazamento e a que atravessa o feixe se unem para formar a corrente que

(23)

Figura 2.3: Mapa das correntes de Tinker (extra´ıdo de Thome (2004))

cruza a janela da chicana. A Tabela 2.1 contém a descri¸cão completa das correntes. No método proposto por Wills & Johnson (1984) a corrente CF une a corrente de bypass entre o casco e o feixe (corrente C) ilustrada na Figura 2.4 e a corrente de vazamento através do espa¸co criado pelos divisores de passo dos tubos (corrente F).

Tabela 2.1: Correntes de fluxo no casco do permutador casco e tubos Corrente Descri¸c˜ao

A Vazamento atrav´es das aberturas entre os tubos e as chicanas

B Fluxo perpendicular ao feixe em constante contato com os tubos

CF Corrente de bypass do feixe de tubos E Vazamento entre o casco e as chicanas

A metodologia de Wills & Johnson (1984) estabeleceu correla¸cões simplificadas para as resistências ao escoamento de cada uma das correntes. O método é de solu¸cão direta quando são utilizados feixes de arranjo quadrado. No caso de feixes com arranjo de tubos triangulares algumas itera¸cões são necessárias, mas nada que penalize a praticidade do método ou que impe¸ca sua solu¸cão manual.

Kapale & Chand (2006) desenvolveram um modelo teórico para estimar a perda de carga no casco baseado no mesmo conceito de dividir o escoamento em se¸cões e atribuir resistências a cada uma delas. O modelo foca principalmente na modelagem das regiões da janela e do escoamento cruzado. As correntes de vazamento casco-chicana e tubo-casco-chicana e a corrente de bypass também foram consideradas neste modelo. O modelo abrange escoamentos com Reynolds de 103

a 105

, e os resultados foram comparados aos resultados experimentais de Bergelin (1958) e Halle & Che-noweth (1988), al´em de outros modelos presentes na literatura, tais como Gaddis

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Figura 2.4: Corrente de Bypass entre o feixe e o casco (extra´ıdo de Thome (2004)) (1997), Prithiviraj & Andrews (1999) e Kern (1950).

Alguns autores já avaliaram experimentalmente o impacto das correntes de va-zamento nos perfis de velocidade, pressão e temperatura do escoamento no casco do permutador de calor. Li & Kottke (1997) avaliaram o efeito da corrente de vaza-mento A, que é o foco principal desta disserta¸cão, realizando um experivaza-mento com um trocador com casco e tubos em acr´ılico. Nele foi poss´ıvel observar a influência do vazamento através da folga tubo-chicana na transferência de calor e de massa através da medi¸cão local do vazamento para diferentes diâmetros de furo. A partir dos dados obtidos, identificaram uma rela¸cão ótima entre a dimensão da folga e a perda de carga para o servi¸co estudado. Constataram também que esta varia¸cão de dimensão da folga praticamente não altera os coeficientes de troca de calor e de massa.

Em outro trabalho (1998), os mesmos autores avaliaram os efeitos da corrente de vazamento entre o casco e as chicanas. Esta corrente (E) reduz consideravelmente a troca térmica média por setor e a perda de carga do escoamento no casco. Roetzel & Lee (1994) também avaliaram experimentalmente o efeito desta corrente de va-zamento na troca térmica para diferentes espa¸camentos entre chicanas. Os autores verificaram que a corrente E reduz o desempenho térmico do trocador e o coeficiente global de troca térmica. Esta redu¸cão aumenta com o crescimento do número de Reynolds no casco e com a diminui¸cão do espa¸camento entre chicanas.

Gaddis & Gnielinski (1997) apresentam um procedimento te´orico para avaliar a perda de carga do escoamento no casco de um trocador casco e tubos com

(25)

chica-nas simplesmente segmentadas. Este procedimento é baseado chica-nas correla¸cões para cálculo de perda de carga de um banco de tubos ideal, unidas a fatores de corre¸cão que consideram as correntes de vazamento e de bypass e nas equa¸cões para cálculo de perda de carga na janela de Bell-Delaware. O modelo proposto foi comparado com resultados experimentais presentes na literatura.

2.3 M´

etodos num´

ericos

Vários autores abordam o uso da simula¸cão em Dinâmica dos Fluidos Computa-cional (CFD) para analisar o escoamento do casco, como Campos (2007). A mo-delagem do feixe de tubos como um meio poroso facilitou consideravelmente este processo. Conhecer o comportamento do fluido dentro do casco é fundamental para a otimiza¸cão do desempenho dos permutadores casco e tubos. Institui¸cões como o HTRI, que desenvolve o programa comercial mais usado pela indústria para projeto termo-hidráulico de permutadores de calor, estão constantemente estudando este assunto para aprimorar suas correla¸cões.

Yang et al. (2014) realizam uma compara¸cão entre as quatro principais técnicas de modelagem numérica utilizadas para investigar o escoamento no casco: os mo-delos unitário, periódico, poroso e completo. Os momo-delos unitário e periódico repre-sentam apenas um canal de escoamento entre os tubos. O modelo poroso, adotado nesta disserta¸cão, considera que os tubos e internos do equipamento são representa-dos por um meio poroso equivalente. Já o modelo completo modela toda a estrutura interna do permutador: tubos, chicanas, tirantes e tiras de selagem. Este último é limitado pelos recursos computacionais dispon´ıveis, sendo utilizado na análise de trocadores pequenos como fizeram Ozden & Tari (2010). A proposta de Yang et al. foi comparar estes modelos, mostrando suas vantagens e desvantagens.

Conforme apresentado por He et al (2005), métodos numéricos para avalia¸cão do escoamento no casco vêm sendo desenvolvido por Patankar & Spalding (1974), But-terworth (1977), Prithiviraj & Andrews (1998), entre outros. O modelo numérico utilizado por Patankar & Spalding (1974) considera o uso de resistências distribu´ıdas e a presen¸ca dos tubos e chicanas é representada pela adi¸cão de porosidade vo-lumétrica e permeabilidade de superf´ıcie ao modelo.

2.3.1 Avalia¸c˜

ao do comportamento local do escoamento no

casco com aux´ılio de CFD

Bhutta et al (2012) publicaram uma revisão sobre as aplica¸cões da dinâmica com-putacional dos fluidos (CFD) presentes na literatura. Esta ferramenta é utilizada para estudar diversos problemas como má distribui¸cão do escoamento, incrusta¸cão,

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perda de carga, comuns a vários tipos de trocadores. Independente do tipo de per-mutador e do problema estudado, as solu¸cões obtidas apresentam boa concordância com outros modelos da literatura. Isto comprova que a análise em CFD é uma fer-ramenta eficiente para prever o comportamento e o desempenho dos diversos tipos de permutadores de calor.

Diversos autores utilizaram a metodologia de volumes finitos para estudar local-mente o fluxo no casco do trocador. Os resultados destas simula¸cões normallocal-mente são comparados com experimentos ou com modelos teóricos, como Bell-Delaware (1963) e o Método das Correntes. Ozden & Tari (2010) realizaram um estudo do es-coamento no casco com o aux´ılio de um programa de CFD comercial. Eles avaliaram como o diâmetro do casco, o espa¸camento entre as chicanas e seu corte influenciam a perda de carga e o coeficiente de troca térmica. Os autores verificaram que quanto mais próximas as chicanas, menores as zonas de recircula¸cão atrás das mesmas. Identificaram também que os resultados são dependentes do modelo de turbulência adotado. Através da compara¸cão dos resultados obtidos com o método de Bell-Delaware, os autores determinaram qual o modelo de turbulência mais adequado ao problema estudado. Como o trocador escolhido é pequeno, foi poss´ıvel usar a mo-delagem completa, onde todo o permutador, inclusive seus internos, são modelados com volumes finitos, sem que o tempo da simula¸cão se torne proibitivo.

No artigo de Hughes et al. (2005), são descritas simula¸cões numéricas e medi¸cões experimentais de escoamentos isotérmicos e não-isotérmicos de fluidos não-Newtonianos dentro do casco de um permutador. O equipamento estudado é um trocador multitubular utilizado no processo de pasteuriza¸cão de leite. Os dados experimentais comparados com a simula¸cão foram obtidos a partir da ins-trumenta¸cão de um dos passes deste permutador em opera¸cão. Os resultados da simula¸cão numérica, realizada com o programa comercial ANSYS CFX, mostram boa concordância com as medi¸cões em campo. O objetivo dos autores foi conhecer melhor o escoamento do casco deste equipamento para verificar a possibilidade de seu uso como recuperador de calor.

Em Mohammadi et al. (2009) , os pesquisadores utilizaram o programa de CFD comercial para investigar os efeitos da orienta¸cão das chicanas e da viscosidade do fluido na troca térmica e na perda de carga no escoamento no casco de um trocador casco e tubos com regime turbulento. O efeito das correntes de vazamento também foi considerado na análise. As simula¸cões consideraram chicanas verticais e horizon-tais, três fluidos com viscosidades distintas e diferentes vazões. O objetivo principal foi verificar o desempenho de permutadores com chicanas verticais e horizontais. Para os fluidos estudados, a chicana de corte vertical apresentou resultados mais interessantes. Foi constatado também que as correntes de vazamento entre os tubos e a chicana e a corrente de bypass têm um papel importante no desempenho dos

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equipamentos.

Outros autores como Raj & Ganne (2012) realizaram um estudo, também com o programa comercial ANSYS CFX, para verificar a influência da varia¸cão do ângulo de inclina¸cão das chicanas no escoamento e na troca térmica no escoamento dentro do casco de um permutador casco e tubos. Foram avaliadas chicanas perpendiculares aos tubos e com ângulo de inclina¸cão de 10o _{e 20}o_{. Com os outros parâmetros}

da geometria fixos, foram variadas a vazão mássica e a inclina¸cão das chicanas. Como o permutador estudado é pequeno, foi poss´ıvel usar o modelo completo para reprodu¸cão do trocador.

Yang et al (2014) avaliaram o efeito das tiras de selagem no escoamento no lado do casco de um trocador casco e tubos com chicanas helicoidais. Foi utilizado o modelo periódico e foram avaliadas chicanas helicoidais cont´ınuas e descont´ınuas. Os autores identificaram que o uso das tiras de selagem é mais eficaz no aumento da troca térmica em trocadores com chicanas helicoidais cont´ınuas. Conclu´ıram também que quanto maior a largura das tiras selantes, maior a sua eficácia. You et al (2012) também simularam um trocador com a técnica CFD para avaliar o efeito de um tipo especifico de chicana, a chicana do tipo ”flower”.

Outros autores também utilizaram CFD para a análise do escoamento no casco de permutadores de calor. Adelaja (2012) desenvolveu um programa em Visual Studio para projetar permutadores casco e tubos. O programa utiliza um modelo baseado em Kern (1950) para cálculo do coeficiente de troca térmica da perda de carga. Mas-ter (2005) modelou um trocador de calor Helixchanger, com chicanas helicoidais em três dimensões usando um programa desenvolvido pelos autores para analisar local-mente o escoamento. Beale & Spalding (1999) estudaram o escoamento transiente através de um feixe de tubos com condi¸cões de contorno periódicas. O foco do estudo foi verificar os efeitos do escoamento no feixe, principalmente a indu¸cão de vibra¸cão nos tubos pelo escoamento. Chen (2011) realizou um estudo numérico-experimental do desempenho do escoamento do lado do casco com três op¸cões diferentes de chi-canas helicoidais. O modelo numérico considerou três configura¸cões diferentes de chicanas: chicanas helicoidais cont´ınuas, chicanas helicoidais combinadas e chicanas helicoidais descontinuadas. Já no experimento, foram testadas apenas as chicanas helicoidais cont´ınuas.

2.3.2 Feixe de tubos como meio poroso

Conforme ressaltado por Campos (2007), a simula¸cão do feixe do permutador de calor como um meio poroso tem sua origem na Indústria Nuclear, onde o alto risco dos equipamentos levou ao desenvolvimento de uma ferramenta espec´ıfica. Fez-se necessário um modelo que permitisFez-se a análiFez-se localizada do fluxo no casco, a

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identifica¸cão de regiões com baixa velocidade e de outras particularidades deste escoamento, as quais não são identificáveis pelas metodologia de análise global. A aproxima¸cão do feixe do permutador como um meio poroso orientado tornou isto poss´ıvel.

Shi et al. (2010) realizaram o estudo de um aquecedor de ar, cujo feixe de tubos é modelado de três formas diferentes para prever o fluxo de ar e a perda de carga através deste permutador. A análise foi realizada usando um programa de CFD comercial ANSYS Fluent, e foram comparadas três modelagens diferentes do feixe de tubos esparsos: meio semi-poroso, meio poroso convencional e modelagem de todos os tubos do feixe (modelo completo). O meio semi-poroso considera o feixe como um meio poroso orientado, exceto pelos limites do feixe que são representados por tubos. Os resultados obtidos com este modelo foram os que mais se aproximaram da simula¸cão com o modelo completo, porém com as vantagens de menor custo computacional e de implementa¸cão mais simples.

Butterworth (1977) sugere que um sistema heterogêneo composto de tubos e fluido seja modelado como um sistema homogêneo com propriedades de escoa-mento médias com a introdu¸cão do tensor de permeabilidade para meios porosos anisotrópicos. Com isso, as correla¸cões emp´ıricas existentes para o escoamento uni-dimensional através de feixes tubulares são expandidas para o escoamento tridi-mensional com a introdu¸cão de um tensor de condutividade hidráulica. Devido à turbulência gerada pelo feixe de tubos, este tensor dependeria da magnitude e da dire¸cão do vetor velocidade. Porém, o autor introduz a simplifica¸cão de que o tensor dependeria somente do módulo da velocidade. Assumir esta hipótese implica na isotropia das propriedades do escoamento no plano perpendicular aos tubos. Esta premissa mostra-se coerente quando comparamos os resultados com dados experi-mentais. Com esta propriedade do escoamento, é poss´ıvel calcular a perda de carga através do feixe com os dados do escoamento em outra dire¸cão.

Em um artigo posterior, Butterworth (1979) utiliza os resultados obtidos em seu trabalho anterior (1977) para resolver o sistema de equa¸cões de massa, momentum e energia de um permutador casco e tubos. O coeficiente de troca térmica do fluido para o tubo é solucionado como um equa¸cão semi-emp´ırica que é fun¸cão da dire¸cão do escoamento. Já o calor fornecido dos tubos para o fluido é computado no termo fonte das equa¸cões do problema. O autor também apresenta as correla¸cões obtidas para o cálculo da perda de carga de escoamentos através de feixes de tubos, dedu-zidas a partir da equa¸cão de cálculo de perda de carga para escoamentos em meios porosos. Estas equa¸cões são válidas somente para os arranjos de tubos mais comuns de tubos de permutadores casco e tubos, representados na Figura 2.5. A modelagem apresentou boa concordância com os dados experimentais dispon´ıveis.

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Figura 2.5: T´ıpicos arranjos do feixe de tubos do permutador Thome (2004)) do escoamento bidimensional e da transferência de calor em permutadores casco e tubos com diversas configura¸cões. Outros obstáculos ao escoamento, tais como tiras de selagem e placas quebra jato, foram considerados no modelo através da abordagem do feixe como meio poroso. O objetivo foi simular o comportamento de condensadores e aprimorar o modelagem de reboilers.

Prithiviraj e Andrews (1999) apresentam um programa de simula¸cão tridimensi-onal em CFD por eles desenvolvido que utiliza o conceito de resistência distribu´ıda, porosidade volumétrica e permeabilidade de superf´ıcies. O programa foi validado através da compara¸cão com experimentos e com o método de Bell-Delaware. A abrangência do modelo engloba trocadores com casco tipo E com chicanas simples-mente segmentadas, feixe com ou sem tubos na janela, tubos lisos, e não considera incrusta¸cão e nem placa quebra jato.

Carlucci (1984) e Sha (1978) definem porosidade volumétrica como a razão entre o volume ocupado pelo fluido e o volume total do modelo computacional. No caso de um permutador uniformemente preenchido por tubos, esta razão também se aplica ao volume total do casco. Sha (1978) introduz também o conceito de permeabilidade de superf´ıcie como a razão entre a área da superf´ıcie ortogonal a uma dire¸cão n, dispon´ıvel para passagem do fluido, e a área total do modelo computacional na mesma dire¸cão. Ambos os artigos destacam que a porosidade volumétrica reflete o bloqueio sofrido pelo fluxo devido à presen¸ca de estruturas sólidas estacionárias. Por

(30)

isso, a porosidade de um feixe de tubos é na verdade um dos parâmetros geométricos do permutador, e não uma variável do sistema. Como demonstrou Carlucci (1984), a porosidade volumétrica de um feixe de tubos de um trocador de calor é uma constante proporcional às caracter´ısticas do feixe, diâmetro dos tubos e espa¸camento entre os tubos de troca térmica.

Como neste modelo o casco do permutador de calor com todos os seus inter-nos é representado por um meio poroso, pode-se utilizar malhas mais grosseiras do que as necessárias para uma modelagem completa do permutador, reduzindo as-sim o custo computacional, Conforme apresentou Yang et al (2014). Este modelo compensa a ausência dos tubos introduzindo a porosidade volumétrica e a permea-bilidade de superf´ıcie como parâmetros do problema e adicionando fontes de calor e resistências ao escoamento distribu´ıdas ao longo do meio. Estas são determinadas a partir de correla¸cões emp´ıricas que trazem em si os efeitos da intera¸cão fluido-estrutura no escoamento. Da´ı advém uma das desvantagens deste modelo, pois só é poss´ıvel aplicá-lo a permutadores casco e tubos cuja geometria interna já possua tais correla¸cões dispon´ıveis na literatura aberta. Atualmente, o conceito de modelar o feixe de tubos como um meio poroso já é aplicado inclusive para simula¸cão de escoamento de fluidos bifásicos em permutadores casco e tubos, como nos estudos de Stosic (2001).

Ozden & Tari (2010) analisam um permutador casco e tubos de pequenas di-mensões no qual os efeitos das correntes de vazamento são desprez´ıveis. Foi utilizado um programa de CFD comercial para realizar a modelagem completa do trocador. Os resultados encontrados para o coeficiente de troca térmica, temperatura de sa´ıda e perda de carga foram comparados com o método de Bell-Delaware (1963). O método de meios porosos também é útil na modelagem de internos de equipamen-tos, Robbe & Bliard (2006) utilizaram essa abordagem na análise da ruptura do núcleo de um reator de metal l´ıquido da indústria nuclear.

Em Carlucci (1984), são apresentadas as expressões para cálculo da porosidade equivalente ao feixe de tubos, considerando a redu¸cão de volume correspondente ao feixe. Apesar do feixe de tubos ter caracter´ısticas anisotrópicas, considera-se que o meio poroso equivalente ao mesmo é localmente isotrópico de forma que, se o volume de controle está localizado no interior do feixe, a porosidade e a permeabilidade de superf´ıcie correspondentes independem da dire¸cão do escoamento. A porosidade de um feixe de tubos de padrão regular é, então, constante.

He et al (2005) utilizaram um modelo numérico tridimensional de volumes fi-nitos totalmente impl´ıcito com malha defasada para estudar escoamentos laminar e turbulento e a troca térmica no casco de um permutador casco e tubos. Foram implementadas na simula¸cão o método de resistências distribu´ıdas com porosidade volumétrica e permeabilidade de superf´ıcie para contabilizar os efeitos dos internos

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do trocador. Para reproduzir os efeitos da turbulência, foi adicionado também um modelo k-ε com termos fontes adicionais para a gera¸cão de turbulência pelas estru-turas sólidas. Também foram inclu´ıdos no modelo os vazamentos tubo-chicana e casco-chicana com uma formula¸cão similar a Bernoulli. Os resultados da simula¸cão foram comparados com os experimentos conduzidos pelos autores no Argonne Nati-onal Labs e apresentaram boa aderência aos mesmos.

Esta disserta¸cão de mestrado também utiliza um modelo numérico tridimensi-onal de volumes finitos totalmente impl´ıcito e com malha defasada para simular o escoamento dentro do casco de um permutador casco e tubos, utilizando o método de meio poroso com resistências distribu´ıdas para representa¸cão dos internos. Na implementa¸cão do método foram utilizados os conceitos de Butterworth, Carlucci e Whitaker, apresentados nos artigos analisados anteriormente.

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Cap´ıtulo 3

Modelagem Matem´

atica do

Problema

3.1 Premissas

O problema estudado consistiu em modelar o escoamento do fluido localizado no casco um permutador de calor casco e tubo, como o ilustrado pela Figura 3.1, para verificar a influência da corrente de vazamento entre os tubos e a chicana nos campos de pressão e de velocidade do escoamento no casco. O permutador utilizado no estudo foi o modelo 10 descrito no relatório final de Bell (1963) no casco do qual escoa o óleo Gulf 896, o mesmo utilizado nos experimentos de Bell. Da simula¸cão, serão obtidos os campos de velocidade e de pressão e, a partir da análise destes, será verificada a sensibilidade do escoamento ao vazamento entre os tubos e a chicana. Admitiu-se que o fluido do casco e os tubos e outros internos do permutador estão em equil´ıbrio térmico, efeitos de troca térmica no escoamento não forma inclu´ıdos neste modelo. As propriedades do fluido do casco são consideradas constantes. Os efeitos da turbulência no escoamento foram considerados por meio de correla¸cões emp´ıricas embutidas no modelo de resistência distribu´ıda. A modelagem aqui apresentada baseia-se na utilizada por Campos (2007).

A modelagem de meios porosos consiste em tomar a média do comportamento do fluido que contorna as estruturas sólidas, dentro de cada volume de controle. Segundo Robbe & Bliard (2006), ela pode ser dividida em três etapas:

• Realizar a média espacial das leis de conserva¸cão do fluido no volume de con-trole para considerar sua ocupa¸cão parcial pelo fluido. Com isso aparecerem termos de fluido, de sólido e de volume. Porém, como os internos do permu-tador de calor são r´ıgidos, não há necessidade de considerar seus termos no modelo.

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Figura 3.1: Permutador casco e tubo com chicanas representadas

porosidade, o que permite substituir os termos de volume por termos de fluido. Com exce¸cão da for¸ca de intera¸cão fluido-sólido, as leis de conserva¸cão passam a depender somente das variáveis do fluido.

• Um fluido “poroso”equivalente, com propriedades próprias, é finalmente defi-nido no volume de controle. As leis de conserva¸cão para este novo meio são então equiparadas com as leis de conserva¸cão do fluido já obtidas.

3.2 Teorema da m´

edia volum´

etrica ou espacial

A origem dos estudos de escoamentos em meios porosos est´a na Lei de Darcy, re-produzida a seguir, de onde vem o conceito de permeabilidade.

∇P + µ_kv = 0 (3.1)

onde k é uma escalar definido como a permeabilidade do meio, v é o vetor velocidade e P a pressão média.

A Lei de Darcy para meios orientados pode ser escrita como:

∇P + µK−1_{· v = 0} _(3.2)

onde a permeabilidade torna-se um tensor de segunda ordem K, que ´e sim´etrico e invers´ıvel.

Conforme descrito em Whitaker (1986), o procedimento de média volumétrica tradicional aplicado a escoamento através de meios porosos leva a equa¸cões de mo-mentum e continuidade expressas em termos de pressão e velocidade médias. No modelo poroso, segundo Slattery (1972), a cada ponto do meio poroso é associado a média volumétrica local de uma equa¸cão diferencial, independente se este ponto

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Figura 3.2: Superf´ıcie S associada a um ponto z qualquer do meio poroso (reprodu-zido de Campos (2007))

está localizado na fase sólida ou na fase fluida. A Figura 3.2 representa um ponto qualquer dentro de um meio poroso genérico.

Considerando um meio poroso de geometria desconhecida, seja o ponto z loca-lizado numa posi¸cão qualquer deste meio. A este ponto está associada a superf´ıcie fechada S, de volume V , onde Vf é definido como a parcela de volume de V ocupada

pelo fluido. Vf e sua superf´ıcie de contorno variamde acordo com a posi¸c˜ao de z no

meio poroso.

Segundo Whitaker (1986), a m´edia de uma quantidade B presente no volume de fluido Vf ´e dada por:

¯ B = 1 V Z Vf B · dV (3.3)

onde B pode ser um escalar, um vetor ou um tensor de segunda ordem associado ao fluido.

Aplicando o teorema da média espacial ao gradiente da quantidade B é poss´ıvel obter o gradiente do valor médio de B no volume de controle:

∇B = 1 V Z Vf ∇B · dV = ∇ 1 V Z Vf B · dV ! + 1 V Z S Bn · dV = ∇B + 1 V Z S Bn · dS (3.4) Analogamente este teorema também pode ser usado para obter a divergência do valor médio de B, que é dado por:

∇ · B = _V1 Z Vf ∇ · BdV = ∇ · B + _V1 Z SB · ndV (3.5)

(35)

3.3 Dom´ınio do casco como meio poroso

O feixe de tubos de trocador casco e tubo será modelado como um meio poroso anisotrópico, como fizeram Shi (2010) e Zhang et al (1991), por exemplo. A ideia é substituir o fluido escoando no casco por um “fluido poroso equivalente”que absorva os efeitos do tubos, chicanas e outros internos do trocador. A modelagem apresen-tada aqui tem como referências Campos (2007), Robbe & Bliard (2006) e Slattery (1972).

As equa¸cões de conserva¸cão do fluido que escoa em um meio são dadas por: ∂ρ

∂t + ∇ · (ρv) = 0 (3.6)

∂ (ρv)

∂t + ∇ · ρvv − ∇ · T − ρf = 0 (3.7)

A figura 3.3 mostra em perspectiva o feixe de tubos que será modelado como meio poroso, desenho gerado com o aux´ılio do programa comercial HTRI. Conforme apresentado no in´ıcio deste cap´ıtulo, realizar a modelagem do escoamento em meios porosos consiste em encontrar a média espacial das leis de conserva¸cão do fluido no volume de controle, procedimento apresentado a seguir.

Figura 3.3: Feixe de tubos do permutador de Bell

3.3.1 Equa¸c˜

ao da continuidade

Tomando então a média espacial da equa¸cão de conserva¸cão de massa tem-se: 1 V Z ∂ρ ∂t + ∇ · (ρv) dV = 0 (3.8)

(36)

1 V Z Vf ∂ρ ∂tdV + 1 V Z Vf ∇ · (ρv) dV = 0 (3.9)

Aplicando então a defini¸cão da média volumétrica e o postulado na equa¸cão (3.5) tem-se: ∂ρ ∂t + 1 V Z Vf ∇ · (ρv) dV = 0 (3.10) ∂ρ ∂t + ∇ · (ρv) + 1 V Z Vf ρv · n dS = 0 (3.11)

O termo com a integral na equa¸cão (3.11) é nulo pois, como a velocidade do fluido é zero na parede do sólido, o produto escalar entre esta e o vetor normal à superf´ıcie também é nulo. A equa¸cão da continuidade para um meio poroso é dada por:

∂ρ

∂t + ∇ · (ρv) = 0 (3.12)

3.3.2 Equa¸c˜

ao de conserva¸c˜

ao de quantidade de movimento

A equa¸cão de conserva¸cão de quantidade de movimento linear é obtida a partir da aplica¸cão da média volumétrica local à 1a Lei de Cauchy (3.7), integrando-a em rela¸cão ao volume de fluido Vf contido em S.

1 V Z Vf ∂(ρv) ∂t + ∇ · (ρvv) − ∇ · T − ρf dV = 0 (3.13)

Resolvendo cada termo da integral separadamente: • 1o termo: 1 V Z Vf ∂ (ρv) ∂t dV = ∂ ∂t(ρv) (3.14) • 2o termo: 1 V Z Vf ∇ · (ρvv) dV = ∇ · (ρvv) + 1 V Z Sw ρvv · n dS (3.15)

O termo com a integral no lado direito da equa¸cão (3.15) também é nulo, pois o produto escalar presente neste também é nulo.

• 3o _termo: 1 V Z Vf ∇ · TdV = ∇ · T + 1 V Z Sw T · n dS (3.16)

(37)

Com os resultados acima, a equa¸cão (3.13) fica: ∂ ∂t (ρv) + ∇ · (ρvv) = ∇ · T + ρf + 1 V Z Sw T · n dS (3.17) Definindo um tensor tensão extra S conforme (3.18) e aplicando esta defini¸cão na equa¸cão (3.17) tem-se: S ≡ T + ρI (3.18) ∂ ∂t (ρv) + ∇ · (ρvv) = ∇ · S − ∇ · (pI) + ρf + 1 V Z Sw T · n dS (3.19) Fezando uso da identidade definida em (3.20), a média volumétrica da 1a Lei de Cauchy fica: ∇ · (pI) = ∇p (3.20) ∂ (ρv) ∂t + ∇ · (ρvv) = ∇ · S − ∇p + ρf + 1 V Z Sw T · n dS (3.21) O termo com a integral é a for¸ca resultante da intera¸cão fluido-sólido por unidade de volume, definido como g:

g ≡ −_V1 Z

Sw

T · n dS (3.22)

Para um fluido Newtoniano incompress´ıvel, que o caso deste estudo, o valor médio do tensor tensão extra S é dado por:

S = µh_{∇v + (∇v)}Ti (3.23)

Onde os valores dos gradientes de v podem são obtidos aplicando (3.4) a cada termo da expressão (3.23), que passa então à forma:

S = µh_{∇v + (∇v)}Ti (3.24)

∇ · S = µ∇ · (∇v) (3.25)

Aplicando estes resultados na (3.21), a 1a Lei de Cauchy com média volumétrica aplicada é finalmente dada por:

∂

(38)

3.3.3 Intera¸c˜

ao fluido-estrutura

Como já visto no cap´ıtulo anterior, a maioria dos métodos anal´ıticos desenvolvidos para análise do escoamento no casco de permutadores de calor fazem uso de cor-rela¸cões emp´ıricas. Isto só é poss´ıvel porque o feixe do permutador possui geometria regular e conhecida, o que permite extrapolar correla¸cões obtidas experimentalmente e utilizá-las na modelagem numérica. A ideia então é utilizar as mesmas correla¸cões para obter g.

Slattery (1972) demonstra que, para um meio poroso anisotr´opico, g pode ser representado como uma rela¸c˜ao linear da forma:

g = ˆ_{g (v − u, L)} (3.27)

onde v é a velocidade média local do fluido, u a velocidade média local da estrutura sólida e L um comprimento caracter´ıstico que represente a geometria do meio.

O autor demonstra que g ´e dado por:

g = a1(v− u) + a2L (3.28)

onde a1 e a2 s˜ao escalares. Para o caso de feixes tubulares Slattery demonstra

que o vetor g pode ser escrito da forma:

g = R · v (3.29)

onde R ´e o tensor resistˆencia e v a velocidade do fluido.

O tensor R se relaciona com o tensor permeabilidade K atrav´es da equa¸c˜ao:

KijRij = δij (3.30)

Butterworth (1979) verificou através de seus experimentos que os arranjos mais comuns do feixe de tubos, quadrado e triangular, são isotrópicos em rela¸cão ao escoamento cruzado. Com isso pode-se falar em um vetor permeabilidade r, cu-jas componentes são as resistências ao escoamento em cada uma das suas dire¸cões principais do escoamento. O vetor g passa então a ser representado como:

g = r (3.31)

3.4 Equa¸c˜

oes governantes do problema

Como este estudo n˜ao considera troca de calor e o fluido utilizado possui com proprie-dades constantes, apenas a equa¸c˜ao da continuidade e a 1a Lei de Cauchy, tomando

(39)

a defini¸cão de g apresentada acima, compõem o sistema de equa¸cões diferenciais parciais na forma conservativa que rege o comportamento do fluido dentro da ma-triz porosa. Caso posteriormente deseje-se avaliar a varia¸cão da viscosidade com a temperatura, por exemplo, deve-se acrescentar a equa¸cão da energia ao sistema de equa¸cões do problema. Abaixo as equa¸cões governantes na forma conservativa:

∂ρ ∂t + ∂ρu ∂x + ∂ρv ∂y + ∂ρw ∂z = 0 (3.32) ∂ ∂t(ρv) +∇ · (ρvv) = −∇p + µ∇ · (∇v) + ρf − r (3.33) O problema será modelado em coordenadas cartesianas. Separando as compo-nentes da equa¸cão de conserva¸cão de momentum em cada dire¸cão, tem-se:

• dire¸cão x ∂ (ρu) ∂t + ∂ρuu ∂x + ∂ρuv ∂y + ∂ρuw ∂z = − ∂p ∂x + µ ∂2_u ∂x2 + ∂2_u ∂y2 + ∂2_u ∂z2 + ρfx− rx (3.34) • dire¸cão y ∂ (ρv) ∂t + ∂ρvu ∂x + ∂ρvv ∂y + ∂ρvw ∂z = − ∂p ∂y + µ ∂2_v ∂x2 + ∂2_v ∂y2 + ∂2_v ∂z2 + ρfy− ry (3.35) • dire¸cão z ∂ (ρw) ∂t + ∂ρwu ∂x + ∂ρwv ∂y + ∂ρww ∂z = − ∂p ∂z + µ ∂2 w ∂x2 + ∂2 w ∂y2 + ∂2 w ∂z2 + ρfz− rz (3.36)

Estas equa¸cões serão discretizadas e aplicadas a cada um dos volumes de controle que irão compor o modelo do permutador.

(40)

Cap´ıtulo 4

Modelagem

num´

erico-computacional

4.1 M´

etodo de Volumes Finitos

Com o sistema de equa¸cões do problema já definido, é necessário discretizar as equa¸cões diferenciais convertendo-as em um sistema de equa¸cões algébricas para resolvê-las numericamente. O sistema será discretizado com o Método de Volumes Finitos, aproximando os valores das fun¸cões nas faces do volume de controle pelo método WUDS (Weighted Upstream Differencing Scheme) e acoplando os campos de pressão e de velocidade com ao aux´ılio do algoritmo SIMPLEC (Semi Implicit Linked Equations Consistent). A solu¸cão deste sistema será obtida através de um programa desenvolvido em Fortran 90, baseado no programa utilizado por Campos (2007) em sua disserta¸cão.

Segundo Maliska (2004) a tarefa dos métodos numéricos é transformar um sis-tema de equa¸cões diferenciais, definido em um dom´ınio cont´ınuo, em um sissis-tema de equa¸cões algébricas resolvido em pontos discretos do dom´ınio, como ilustrado na Figura 4.1. Para tal é preciso substituir as derivadas da fun¸cão existente na equa¸cão diferencial por valores discretos da fun¸cão, e isso é obtido integrando as equa¸cões diferenciais. O método dos volumes finitos, empregado neste estudo, é uma das diversas maneiras de realizar esta integra¸cão.

4.1.1 Sobre o m´

etodo

No Método de Volumes Finitos as leis de conserva¸cão das propriedades são satisfeitas em volumes elementares, gerados a partir da divisão do dom´ınio. Os volumes de controle são caracterizados por uma malha onde são definidas as fronteiras destes, ao contrário do método de Diferen¸cas Finitas, onde o dom´ınio passa a ser representado por pontos nodais. A conserva¸cão das leis em cada volume elementar é poss´ıvel

(41)

Figura 4.1: Tarefa do m´etodo num´erico (extra´ıdo de Maliska (2004))

pois o método trabalha com a forma integral das equa¸cões de conserva¸cão sobre os volumes, ao invés de apenas substituir derivadas por expressões algébricas, como é feito no método de Diferen¸cas Finitas. É esta a principal vantagem do método, que as leis de conserva¸cão válidas para o dom´ınio global do sistema continuam válidas e são atendidas em cada volume de controle. No centro de cada um destes volumes há um nó computacional onde as variáveis são avaliadas. Quando é preciso conhecer o valor da variável nas faces dos volumes, este é interpolado a partir dos valores nos pontos nodais.

Maliska (2004) ressalta que existem duas maneiras de se obter as equa¸cões apro-ximadas no método de volumes finitos. A primeira é a realiza¸cão de balan¸co das propriedades de interesse nos volumes elementares, e a segunda é integrar sobre o volume finito, no espa¸co e no tempo, as equa¸cões na forma conservativa. Forma conservativa, ou divergente, é aquela em que na equa¸cão diferencial os fluxos estão dentro das derivadas e, ao realizar a primeira integra¸cão, fornece os fluxos através das faces do volume de controle, equivalentes ao balan¸co. A prova desta equivalência encontra-se no Maliska (2004) para o volume de controle em coordenadas cartesia-nas, ilustrado pela Figura 4.2.

Para demostrar o método de discretiza¸cão por volumes finitos, tomemos por exemplo a condu¸cão de calor unidimensional transiente em um corpo representado na Figura 4.3, como fizeram Maliska (2004) e Campos (2007).

A condu¸cão de calor unidimensional transiente com termo fonte em um meio com propriedades constantes é descrita pela seguinte equa¸cão:

∂ ∂t (ρT ) = ∂ ∂x κ cp ∂T ∂x + S (4.1)

A Figura 4.3 tamb´em mostra a malha adotada neste problema, como volumes inteiros e uniformes em todo o dom´ınio. Integrando (4.1) no espa¸co e no tempo tem-se:

(42)

Figura 4.2: Volume elementar com fluxo de massa atrav´es das faces (extra´ıdo de Maliska (2004))

Figura 4.3: Corpo unidimensional sujeito a condu¸c˜ao de calor transiente (adaptado de Maliska (2004)) Z t+∆t t Z e w ∂ ∂t(ρT ) dxdt = Z t+∆t t Z e w ∂ ∂x κ cp ∂T ∂x dxdt + Z t+∆t t Z e w Sdxdt (4.2) Que resulta em:

Z e w ρT − ρ 0 T0_{dx =} Z t+∆t t κ cp ∂T ∂x e − _cκ p ∂T ∂x w dt + Z t+∆t t (SpTP + Sc) ∆xdt (4.3) O último termo da expressão acima foi obtida após a lineariza¸cão do termo fonte em fun¸cão da temperatura, necessário para evitar a instabilidade numérica durante a solu¸cão, como já destacado por Campos (2007).

Adotando-se a mesma conven¸cão de Maliska (2004) para representar os termos temporais, não utiliza-se ´ındice sobrescrito para variáveis avaliadas no tempo t + ∆t e utilizar o sobrescrito “0”para variáveis no instante “t”. Com isso, a expressão (4.3) fica:

(43)

∆x ρpTP − ρ 0 pT 0 P = Z t+∆t t κ cp ∂T ∂x e − _cκ p ∂T ∂x w dt + Z t+∆t t (SpTP + Sc) ∆xdt (4.4) Assumiu-se também que, na integral temporal da expressão (4.3), o integrando representa a massa média do volume de controle. Logo, em (4.4), ρP · ∆x é a massa

dentro do volume elementar no instante de tempo t + ∆t e ρ0

P·∆x a massa no tempo

t.

As derivadas de temperatura na equa¸cão (4.4) ainda precisam ser avaliadas no tempo e no espa¸co, para conhecer o valor das mesmas nas faces do volume de controle. Utilizando o sobrescrito θ para indicar a avalia¸cão temporal, a equa¸cão da condu¸cão fica: ∆x ρpTP − ρ0pT 0 P = " κ cp ∂T ∂x θ e − _cκ p ∂T ∂x θ w # ∆t + SpTPθ + Sc ∆x∆t (4.5)

Para avaliar a derivada da temperatura nas faces do volume, é razoável considerar a aproxima¸cão por diferen¸cas centradas. Logo, as derivadas presentes em (4.5) podem ser substitu´ıdas por:

∂T ∂x θ e = T θ E − TPθ ∆xe (4.6) ∂T ∂x θ w = T θ P − TWθ ∆xw (4.7) E a fun¸cão de interpola¸cão temporal pode ser representada pela expressão abaixo, que engloba três formula¸cões poss´ıveis: expl´ıcita, impl´ıcita e totalmente impl´ıcita.

Tθ

= θT + (1 − θ)T0

(4.8) Neste trabalho foi adotada a formula¸cão totalmente impl´ıcita, que implica em θ = 1. Com isso a fun¸cão de interpola¸cão no tempo é dada por:

Tθ _{= T} _(4.9)

Aplicando as fun¸cões de interpola¸cão espacial (4.6) e (4.7) e a fun¸cão de inter-pola¸cão temporal (4.9), a equa¸cão (4.5) torna-se:

TP ∆x ∆tρp+ 2κ cp∆x− S p∆x = κ cp∆x TE + κ cp∆x TW + SC∆x + ∆x ∆tρ 0 pT 0 P (4.10) Que pode ser representada pela formula¸c˜ao geral:

(44)

aPTP = aETE + aWTW + bP (4.11)

Aplicando-se a equa¸cão (4.11) a cada volume do controle do dom´ınio, obtém-se um sistema linear da forma A · T = b, onde os coeficientes da matriz e o termo independente são dados por:

aE = aW = κ cp∆x (4.12) a0 P = ∆x ∆tρ 0 p (4.13) bp = SC∆x + a0PT 0 P (4.14) aP = aE+ aW + ∆x ∆tρp− SP∆x (4.15)

4.1.2 Fun¸c˜

ao de interpola¸c˜

ao espacial

No desenvolvimento do método de volumes finitos, utilizamos a aproxima¸cão por diferen¸cas centrais como fun¸cão de interpola¸cão espacial. Porém, como bem desta-cado por Campos (2007), para o escoamento estudado é mais interessante utilizar a fun¸cão de interpola¸cão WUDS, proposta por Raithby & Torrance (1974). Nesta formula¸cão, tomando por exemplo a face leste do volume de controle, o valor de uma variável qualquer φ na face do volume de controle e sua derivada, também avaliada na face, são dados por:

φe = 1 2+ αe φP + 1 2 − αe φE (4.16) ∂φ ∂x e = βe φE − φP ∆xe (4.17) Segundo os autores os coeficientes α e β possuem a forma:

αe= ρ2 e 10 + 2P e2 sign(P e) (4.18) βe = 1 + 0, 005P e2 1 + 0, 05P e2 (4.19)

onde P e é o número de Peclet de malha, definido a seguir e sign(x) é a fun¸cão sinal de x, dada por: