Os trechos em amarelo estavam gerando ambiguidade, acabei mudando para evitar duvidas, favor verificar se as mudanças estão corretas.

Professor Lotufo:

Os trechos marcados em azul, são trechos que fiquei com duvidas quanto a escrita, no xerox não está claro oque está escrito, por favor verificar se esta correto.

Os trechos em amarelo estavam gerando ambiguidade, acabei mudando para evitar duvidas, favor verificar se as mudanças estão corretas.

Os trechos em verde foram acrescentados por mim, achei que estavam faltando, favor verificar se o senhor concorda.

Conteúdo programático 1. Controle discreto

1.1- Introdução

1.2- Teoria de controle por computador 1.3- Sistemas de dados amostrados 1.4- Conversão de sinais

2. Representação domínio do tempo de sistemas lineares discretos 2.1- Equação à diferença linear

2.2- Representação com variáveis de estado 3. Transformada z

3.1- Introdução

3.2- Propriedades da transformada z 3.3- Inversão da transformada z

3.4- Relação entre a transformada z e transformada de Laplace 4. Estabilidade de sistema de controle digital

4.1- Analise de estabilidade 4.2- Critério Routh

4.3- Critério de Jury

5. Técnicas de projeto de compensadores digitais 5.1- Projeto através de root- locus 5.2- Projeto algébrico

5.3- Filtros digitais

Bibliografia

1. Castrucci, P; Sales, R. M. Controle Digital, Ed. Edgard Blücher, 1ª. Ed., 1990. 2. Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno, Prentice Hall, 1982.

3. Astrom, K. J.; Wittenmark, B. Computer Controlled System, Prentice Hall, 1984.

4. Franklin,. G. F.; Poweel, J.D. Digital Control of Dynamic Systems, Addison Wesley Publishing Company, 1980.

5. Cadzol, J. A. Discrete-Time Systems, Prentice Hall, 1973.

6. Hemerly, E. M. Controle por Computador de Sistemas Dinâmicos, Ed. Edgard Blücher, 1996.

1- Controle discreto

Controle discreto – controle por meio de computador.

- Metade da década de 50, custo final alto e baixa flexibilidade. - Inicio dos anos 60, aplicações restritas devido ao alto custo.

- Década de 70, desenvolvimento desta área sustentada por dois motivos:

a- Utilização de computadores possibilitou a melhoria da qualidade dos produtos e o aumento da produtividade.

b- Custo sempre decrescente do hardware. - Atualmente:

- vastíssimos recursos de software e hardware.

- Microcontroladores e processadores digitais de sinais que permitem a implementação em tempo real de sofisticados algoritmos de controle, a baixo custo.

Neste ponto tem uma FIGURA que não consegui entender por completo

1.1- Teoria de controle por computador

- Necessidade de teorias para analise e projeto de sistemas de controle com realimentação realizado por computador;

- Comportamento que se assemelha ao analógico e que inclua a novidade de transmissão do sinal periodicamente amostrado;

- A teoria deve explicar muito bem as consequências do período de amostragem sobre estabilidade e a dinâmica dos sistemas, a rigor trabalha se com 2 tipos diferentes de modelos, para o mesmo subsistema.

- Modelos discretos no tempo , que servem para verificação da estabilidade para o calculo do transitório e para o projeto de algoritmos de controle a serem executados pelo computador.

- Modelos contínuos no tempo, que tem sua utilidade em questão de ruído e de espectros de frequência.

1.2- Qualidade do controle discreto Vantagens

- Maio flexibilidade na implementação do controlador ou compensador dinâmico da malha de realimentação: no campo basta programar o computador;

- Maior facilidade para implementar controladores complexos, por exemplo, lineares multivariáveis, ou não lineares;

- Facilidade para incluir no computador as funções de alarme, de comando para partida e para desligamento de processo, bem como supervisão global de processos complexos.

Desvantagens

- Alto custo, especialmente dos conversores A/D no caso de controle de pequenos sinais SISO.

- Analise e projetos mais complexos;

- Perigos inerentes a engenharia de software em tempo real. 1.3- Sinais e sistemas

Funcionamento dos computadores

Transmissão de sinais em determinados instantes (transmissão de amostra de sinais)

O processo de amostragem de um sinal consiste em obter uma sequência (em sentido matemático) cujo os valores são iguais aos dos sinais analógicos original em instantes particulares, chamados em instantes de amostragem .

Quando os instantes de amostragem são igualmente espaçados, tem se , onde representa o período de amostragem.

A seguinte nomenclatura é empregada:

a- Sinais analógicos ou sinais contínuos no tempo

Sinais definidos para todo instante pertencente ao intervalo de tempo em que o sinal esta sendo observado matematicamente, um sinal analógico é representado por uma função , com um certo intervalo de tempo da reta real.

b- Sinais discretos no tempo

São sinais definidos em determinados instantes dentro do intervalo de tempo observado matematicamente, um sinal discreto no tempo é caracterizado como uma sequencia de números reais, , com k pertencente a um certo subconjunto dos números inteiros, sendo os instantes em que a sequencia e definida. Na prática, os sinais discretos no tempo podem ser originalmente discretos ou então resultantes de amostragem, em certos instantes , de um sinal analógico. Neste ultimo caso, o sinal discreto obtido é também chamado de sinal amostrado.

c- Sinais digitais ou sinais numéricos

São sinais resultantes da conversão da amplitude de sinais discretos, no tempo, por meio de algum tipo de código binário (0 e 1).

d- Sinais de controle digital ou numérico

São sistemas de controle formado de 2 subsistemas, um dinâmico e de sinais contínuos no tempo (planta ou processo a controlar) e o outro de sinais digitais.

Sistemas de tempo discreto (sistemas discretos no tempo)

Um sistema de tempo discreto é um sistema que trabalha com uma entrada discreta produzindo uma saída discreta no tempo de acordo com leis definidas.

y(k)

u(k)

conjunto de números ordenados por uma variável que só toma valores inteiros. Exemplo: u 2 , u 1 , u 0 , u 1 , … 2 1 1 1,5 1 2,1 2 0,7 3 2,3

Sequencia Delta de Kronecker.

1 0

0 1, 2, 3, …

1 0

Exemplo: Sequencia anterior expressa, usando delta de Kronecker

1 2 1,5 1 3 2,1 1 0,7 2 2,3 3 - Sequencia degrau unitário

0 1, 2, 3, …

1 0, 1, 2, 3, …

- Sequencia unitária alternante

0 1, 2, 3, …

1 ! _{0, 1, 2, 3, …}

- Sequencia rampa unitária

0 1, 2, 3, …

0, 1, 2, 3, …

Álgebra de sinais discretos

Como na álgebra de números reais ordinários, uma álgebra de sinais discretos será estruturada na teoria de sinais discretos. Esta álgebra será composta por três operações básicas, que são uma extensão das operações com números reais ordinários:

1- Soma de duas sequencia de números:

k u(k) 0 1 2 3 -3 -2 -1 -3 -2 -1 1 2 3 4 k u(k) 0 1 2 3 -3 -2 -1 -3 -2 -1 1 2 3 4 k u(k) 0 1 2 3 -3 -2 -1 -3 -2 -1 1 2 3 4

" #

1 " 1 # 2

2 " 2 # 2

2- Subtração de duas sequencias:

" " 1 , " 2 , " 3 , …

# # 1 , # 2 , # 3 , …

" #

3- Multiplicação de uma sequência de números por uma constante

" " 1 , " 2 , " 3 , …

" " 1 , " 2 , " 3 , …

"

Processo de amostragem de uma sequência continua no tempo

Um sinal discreto é frequentemente gerado através de um processo de amostragem de uma função continua no tempo:

Um modelo para o processo de amostragem de uma função continua no tempo, u(t), e dado por:

A chave de amostragem é analisada estando fechada nos instantes tk e aberta de outro modo:

u(t)

u(tk)

tk

t

t1 t2 t3 t0 u(t)

tk

t1 t2 t3 t0 u(t0) u(t1) u(t2) u(t3)

- Amostragem uniforme

Um processo de amostragem mais frequentemente usado é um no qual a chave de amostragem é fechada a cada T segundos. Este processo é conhecido como amostragem uniforme.

A sequência de amostragem de amostragem obtida depende muito do período de amostragem T. Neste exemplo, todas as informações podem ter sido perdidas, quando se seleciona T muito grande, como no caso T=15.

A sequência de amostragem obtida depende muito do período da amostragem T. Neste exemplo, todas as informações podem ter sido perdidas, quando se seleciona T muito grande, como no caso T = 1 [s]

- Sistema de tempo discreto

u(t)

u(kt) u(k)

T

Período de amostragem

k k -1 1 t [s] b) T=1/4 [s] d) T=1 [s] c) T=1/2 [s] a) k 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 0 -1 1

y(k)

u(k)

Sistema de tempo discreto

u(t)

Sinal contínuo Sinal amostrado

É um dispositivo que opera com um sinal discreto para gerar outro sinal discreto de acordo com regras bem definidas.

- Algoritmo para obter raiz quadrada de um número.

$ 1_{2 %$ 1 $ 1 &}

0 , ' 0

3 , ( 0

k u(k) y(k-1) y(k)

0 3 1 2 1 3 2 1,75 2 3 1,75 1,7321 3 3 1,7321 1,732

y(k)

u(k)

Sistema de tempo discreto

- Sistema discreto linear de 1° ordem.

Sistemas lineares possuem propriedades as quais fazem seu estudo mais simples que os sistemas não lineares. A principal propriedade é dada pelo “principio da superposição”: se a resposta de um sistema linear ás entradas 1 e 2 , aplicadas separadamente, são

$1 e $2 , respectivamente, então a resposta desse sistema á entrada

1 1 2 2 é $ 1$1 2$2 , onde 1 e 2 são constantes

arbitrarias.

$ *+ *" 1 "$ 1

(equação á diferença linear de 1° ordem)

onde *0, *1 e 1 são as constantes as constantes que determinam o acompanhamento dinâmico do sistema.

Neste sistema, a saída é calculada tornando se uma combinação linear da entrada mais seu valor anterior 1 e $ 1 .

Para implementar a equação o circuito terá de ser capaz de: 1- Armazenar os valores dos parâmetros a1, b0 e b1.

2- Armazenar os valores anteriores dos sinais de entrada e saída 1 e $

1 , respectivamente

3- Calcular o valor da combinação linear dada pela equação.

0 , '

0 , - (

$ *0 *1 1 – 1 $ 1 → vai determinar a regra na condição inicial.

- Sistema discreto linear geral

$ *0 *1 1 … */ / – 1 $ 1 – 2 $ 2 … 0 $ 0

onde *0, *1, … , */, 1, 2, . . . , 0 são constantes e m e n inteiros não negativos. A expressão acima é dita uma equação à diferença linear de ordem n, isto porque a saída depende de valores $ 1 . . . $ 0 até n unidades de tempos discretos anteriores.

$ _ $ 1 . . . $ 0

1 . . . /

1 . . . 0 *2 . . . *0

/ 0 1 324 53540 46 / 0 7 82 46 é7526 9 2 / 0 1 / 0 1 / 8 5 853 çõ46 / 0 <5çõ46 9 / 56 4/ 2 <4 32/ çã2 320<5çõ46 50535 56 0 , ' 0 , (

$ *0 – 1 $ 1 0 $ 0 são as n condições iniciais

- Sistemas discretos não lineares

Um sistema discreto é dito não linear se sua saída atual não é uma combinação linear dos sinais de entrada e saída passados

$ 1_{2 %$ 1 $ 1 &}

- Sistema variante no tempo

Um sistema é invariante no tempo se seus coeficientes 1, 2 , 3, . . . , *0, *1, . . . , *0

são constantes. Por outro lado se os coeficientes são funções discretas do tempo k então o sistema é dito variante no tempo.

- Unidades básicas do sistema linear discreto

Representação em diagrama de blocos de sistemas:

- Interpretação visual das características dinâmicas do sistema;

- Permite visualizar possíveis métodos de implementação da equação à diferença linear do sistema.

- Três unidades básicas - Unidade de atraso - Multiplicadora - Unidade de adição

Unidade de atraso

A unidade de atraso é um circuito que atua sobre um sinal discreto de entrada para gerar outro sinal discreto de saída idêntico ao sinal de entrada exceto que está atrasado por uma unidade de tempo discreto.

Unidade multiplicadora

É um circuito que atua sobre uma sequência de números para gerar uma outra sequência de saída idêntica a entrada só que multiplicada por uma constante

Unidade de adição

É um circuito que soma dois ou mais sinais discretos para gerar um novo sinal discreto.

- Unidade de atraso é uma memória no qual um número é armazenado no tempo discreto (k-1) e renomeado para o tempo discreto k.

- Unidade multiplicadora tem de ser capaz de realizar uma operação de multiplicação do sinal por uma constante, assim exige uma memória para armazenar a constantes.

- Unidade de adição não requer memória.

- Representação de um sistema discreto linear com unidades básicas.

- Representação alternativa 4 4 1 $ * 34 1 Sendo: 4 1 FG"₄ Assim: 4 FG"₄ 4 %_{1 F}1 _G"& Portanto: $ * 3FG"_% 1 1 FG"& Assim: $ %1 FG"_{& *%1 F}G"_{& 3F}G"

$ * * 3 1 $ 1

Solução da equação à diferença

Métodos análogos àqueles disponíveis para equações diferenciais a- Solução da equação homogênea

$ "$ 1 # 2 H 0 0 Admitindo-se $ I!_{, I J K, J F} Então: I! _"I!G" _HI!GH ₀ I!GH _IH "IHG" H 0 Equação característica $ L M5IN! N

Onde: I_N é a i-nésima raiz da equação característica. Exemplo: $ 2$ 1 8$ 2 0 $ I! _{$ 1 I}!G" _{$ 2 I}!G# I! _2I!G" _8I!G# ₀ I!G# _I# _{2I 8 0} I# _{2I 8 0} I_" 2

I# 4

$ M" 2 ! M# 4 !

Onde M_" e M_# $ 1

$ 2 Q_!R+ S G"S G#

b- Solução particular

- Métodos dos coeficientes a determinar ou variação de parâmetros;

- No caso de sistemas lineares e invariantes no tempo, a solução particular pode ser determinada de modo conveniente utilizando se a transformada z inversa.

T 6 U V W XU Y\ W 4GZ[_<

] ^ <W

\ +

O uso da transformada de Laplace implica que uma entrada x(t) = 0 para t < 0. Para um sistema físico, a resultante terá de ter a propriedade y(t) = 0 para t < 0, tal sistema é dito causal .

Para um sistema causal desde que 0 ' 0, a resposta Y 0 para ' 0.

Y W 0 W ' 0 2 ' W U Y W 4GZ[_{< U Y W 4}GZ[_{< U Y}\ _{W 4}GZ[_< ] ] + \ + T 6 U V XU Y\ W 4GZ[_< + ^ <W \ + T 6 U V XU V\ Y W 4GZ[_<W + ^ 4 GZ[_< \ + T 6 U $ 4\ GZ[_< + $ _ V Y₊\ W <W (Integral de convolução) $ U V\ W Y W <W +

Conceito similar á resposta ao impulso de sistemas contínuos é a sequencia de ponderação de sistemas discretos.

$ " $ 1 #" $ 2 *+

Admitindo o sistema relaxado em 0, isto é, $ 0 para todo ' 0 e que seja a função delta de Kronecker.

Exemplo:

8 1 ₀ 8₈

y(k-1) y(k-2) y(k)

0 1 $ 1 0 $ 2 0 $ 0 *₊

1 0 $ 0 *+ $ 1 0 $ 1 "*+

2 0 $ 1 "*+ $ 0 *+ $ 2 "#*+ #*+

A resposta ` , a 0 $ , a 0 e denominada sequencia de ponderação. Uma vez que o sistema é relaxado, temos ` 0, para todo ' 0.

Para uma entrada qualquer: , antes porem:

1- Caso se faça 3 $ 3`

2- Para função 8 , temos:

$ 0 $ 8 *+ $ 8 1 "*+ Podemos escrever: 0 1 1 / / Onde: 0 ` 1 ` 1 / ` / $ L 8 ` 8 \ bR+ $ L ` 5 5 \ bR+ 0,1,2,3,4 …

Para sistemas discretos não antecipatórios, ou fisicamente realizáveis devemos ter

$ L ` 8 !

bR+

8

Exemplo: Determinar a resposta ao degrau:

2 ( 0

0 ' 0c

De um sistema representado por:

$ 0.5$ 1

Determinar a sequência de ponderação;

$ 1 $ ` 0 1 0 1 1 0 1 0,5 2 0 0,5 0,25 3 0 0,25 0,125 4 0 0,125 0,0625 $ L ` 5 5 \ NR+ ` 0,5! $ L 0,5N ₂ ! NR+ 2 L 0,5N ! NR+ 6 "_{1 e}1 eH $ 2 X1 1 0,5_{1 0,5}!f" ^ $ 4 1 0.5!f" $ 4 1 0.5!f" _{$ 0.5$ 1} $ $ 1 $ 0 2 0 2 0 2 1 3 1 2 2 3 2 3,5 2 2 3 3,5

Transformada z

A transformada Z é o método de analise de sistema discreto análogo a transformada de Laplace para sistemas contínuos.

Hurewicz foi um dos primeiros a utiliza-la, 1947. A designação transformada z se deve a Ragazzini e Zodeh, em 1952.

Quanto ao seu aspecto qualitativo, podemos dizer que a transformada z transforma uma sequência de números em uma função de variável complexa z.

Para motivar a introdução da transformada z, considere o sinal discreto:

g h i h j k1_4l! , ( 0 k1_9lG! , ' 0

Esse sinal pode ser representado por uma sequencia infinita

n" … , k1_9l # W#_{, k}1 9l W", 1, k14l WG", k14l # WG#_{, …}

Onde a variável z pode ser encarada como um marcador. Usando a progressão geométrica:

6 "_{1 e}1 eH

Para e ' 0 e 0 ∞:

6 _{1 e}"

A utilidade de S2 para representar o sinal discreto $ está no fato de que, para

valores de z para os quais S2 converge, podemos obter uma representação compacta do

sinal $ . n# n#p n#pp 1 n#p 1 k1_{9l W k}1_9l # W# n#pp 1 k1_{4l W}G" k1_4l # WG# n_#p 1 1 W/9 |e| ' 1 |W/9| ' 1 |W| ' 9

n_#pp 1

1 1/4W |1/4W| ' 1 |W| a 1/4

n_#p 1

1 W/9 1 1/4W 11 9 W 4W 135W

A série dada é uma forma alternativa de representar o sinal discreto $ , e é denominada transformada z de $ , sendo representado por F%$ & T W

Definição: A transformada z de um sinal discreto $ é definida como sendo:

F%$ & L $ WG! \ G\ F%$ & L $ WG! \ G\ $ 4Gs|[|_{, M a 0} $ 4Gs|!t| $ 4Gs|!t| , ( 0 4s|!t| _{, ' 0}c

F%$ & L 4Gs|!t| \ G\ WG! _{L 4}Gs|!t| + G\ WG! _{L 4}Gs|!t| \ + WG! ₁ $ L 4Gs|!t| \ + W! _{L 4}Gs|!t| \ + WG! ₁ np _{L 4}Gs|!t| \ + W! 1 1 W4Gst npp _{L 4}Gs|!t| \ + WG! 1 1 W4Gst $ _{1 W4}1 _Gst 1 1 _W41_st 1 W 4Gst ₄st W 4st _{W 4}Gst np _|W4Gst_{| ' 1 |W| ' 4}st npp _Q 1 W4stQ ' 1 |W| a₄1st Exemplo: $ uk1_4l ! 9! _{, ( 0} 0 , ' 0 F%$ & L $ \ G\ WG! _{L Xk}1 4l ! 9! _^ \ + WG! _{L k}1 4l WG! L 9! WG! \ + \ + n" L k1_{4l W}G! L k_4Wl1 ! \ + 1 _4W 1 \ + k_4Wl1 # e _{4W Q}1 _{4WQ ' 1}1 n# L 9!WG! L k9_Wl ! \ + 1 9_W \ + k9_Wl# e 9_{W Q}9_{WQ ' 1} n" _{1 1/4W}1 n# _{1 9/W}1 F%$ & 1 1 1_4W 1 1 9W 4W 4W 1 W 9 W 4W # _{36W 4W}# _W 4W 1 W 9 4W 1 W 935W

F%$ & _{4W 1 W 9}35W |W| a 9

Exercício: Determinar a transformada z explicitando a região de convergência do seguinte sinal discreto:

$ 3₅ !_! , ( 0 _{, ' 0}

- Propriedades da transformada z

A partir de agora iremos considerar apenas a transformada z unilateral, que é apropriada para representar sinais discretos como $ 0, para todo ' v, com v finito. Este usualmente é o caso quando $ é gerado por sistemas invariantes no tempo e relaxado, caso em que podemos considerar v 0.

Como exemplo da relativa complexidade da transformada z unilateral, consideramos a seguinte transformada:

F%$ / & / ( 0, em função de F%$ &

- Transformada unilateral F Fw%$ / & L $ / WG" \ !R+ Wx_{L $ / W} !fx \ !R+

Fazendo: / 8 y 0 8 /_{∞ 8 0z} 8 / Resulta: Fw%$ / & WxL $ 8 WGb \ bRx Fw%$ / & WxL $ 8 WGb \ bR+ W L $ 8 WGb xG" bR+ Fw%$ / & WxL $ 8 WGb \ bR+ Wx _{L $ 8 W}Gb xG" bR+ F_w%$ / & Wx_$ w W Wx L $ WG! xG" bR+ - Transformada bilateral F_{ F|%$ / & L $ / WG" \ G\ Wx_{L $ / W} !fx \ G\ Fazendo: / 8 y _{∞ 8 ∞z}∞ 8 ∞ 8 / Resulta: F{%$ / & WxL $ 8 WGb \ G\ F{%$ / & Wx${

- As principais propriedades da transformada z são: -Linearidade Sejam e * J } F% $ * & L% $ * &WG! _{L $ W}G! _{L * W}G! \ !R+ \ !R+ \ !R+ F% $ * & L $ WG! _{* L W}G! \ !R+ \ !R+ T W *~ W F% $ * & T W *~ W -Translação / ( 0 -Caso forward shift

F%$ / & Wx_{T W W}x _{L $}

xG" !R+

WG!

-Caso backward shift

F%$ / & L $ / \ !R+ WG! _Wx _{L $ /} xG" !R+ WG !Gx _WGx _{L $ 8 W}Gb \ bRGx WGx_{L $ 8 W}Gb _{L $ 8 W}Gb G" bRGx F%$ 8 & WGb_{T W} \ bR+ Pois: L $ 8 WGb G" bRGx 0

Uma vez que $ 8 0, para 8 ' 0. Exemplo:

F%$ "$ 1 #$ 2 & F%*+ *" 1 & F%$ & "F%$ 1 & #F%$ 2 & *+F% & *"F% 1 &

T W "WG"T W #WG#T W *+~ W *"WG"~ W T W %1 "WG" #WG#& ~ W %*+ *"WG"& T W ~ W %*+ *"W G"_& %1 "WG" #WG#&

-Escalonamento no plano z (multiplicação por !)

F% !_{$ & L} !_$ \ !R+ WG! _{L $ •}W_€! \ !R+ T •W€

-Multiplicação por k (diferenciação)

< <W F%$ & <W L $< \ !R+ WG! _{L $ •}W_€G!G"_$ \ !R+ WG"_{L $} \ !R+ WG! _WG"_{F% $ &} < <W F%$ & W F% $ &1 F% $ & W_{<W T W}<

- Teorema do valor inicial

Se a função y(k) possuir Y(z) e o limite lim_{] \}T W existir, então:

$ 0 _{] \}limT W Verificação: lim ] \T W ] \lim L $ WG! \ !R+ lim ] \%$ 0 $ 1 W $ 2W# & $ 0

- Teorema do valor final

Se transformada z de $ for tal que 1 WG" $ W seja analítica em |W| ( 1, isto é, todos os pólos de 1 WG" $ W estejam dentro do circulo unitário, com possível exceção de um único pólo em W 1, então:

lim

! \$ lim] " 1 WG" T W

Verificação:

F%$ & T W F%$ 1 & WG"_$

Por outro lado:

lim ] "F %$ $ 1 & L%$ $ 1 &WG" \ !R+ lim b \L%$ $ 1 &WG" lim

] "F%$ $ 1 & lim] "b \limL%$ $ 1 &WG!

b !R+ - Convolução $ L ` 8 8 \ bR+ Então: W%$ & L L ` 8 8 WG! \ bR+ L 8 \ bR+ L ` 8 WG! \ !R+ \ !R+ L 8 WGb \ bR+ ƒ W ƒ W L 8 WGb \ bR+ ƒ W ~ W F „L ` 8 8 \ bR+ … ƒ W ~ W T W ƒ W ~ W Transformada z inversa - Integral de inversão $ _{2†‡ ˆ T W W}1 !G"_<W

Ou ainda do teorema dos resíduos:

$ ∑ }46%T W W_Š !G"_{, ‡&}

Onde o resíduo associado ao polo ‡ pode ser calculado por: }46%‹ W W!G"_{, ‡& lim} ] ŒŠ 1 / 1 ! < xG" <WxG"% W x‹ W & / / 8 5 8535< <4 <26 ó826 Exemplo1: Determinar a transformada z inversa de:

T W _{W 0,1 W 0,6}W 1 _# Temos: " 0,1 32/ / 1 # 0,6 32/ / 2 ‹ W T W W!G" _W!G" W 1 W 0,1 W 0,6 # $ FG"_{%T W & L }46%T W W}!G"_{, ‡&} Š " 0,1 32/ / 1 }46%‹ W ,0,1& _{] +,"}lim _{W 0,1 W 0,6}W 0,1 W 1 _#W!G" _{3,6 0,1} !G" # 0,6 32/ / 2

}46%‹ W ,0,6& _{] +,•}lim _{<W X}< _{W 0,1 W 0,6}W 0,6 # W 1 _#W!G"_{^ lim} ] +,• < <W • W 0,1 WW 1 !G"‘ lim ] +,•X W!G" W 0,1 W 1 W !G" W 0,6 # 1 W 1 !G# W 0,1 ^ }46%‹ W ,0,6& 2 0,6 !G" _{1,6 0,6} !G" 4 3 1 0,6 !G" 3,6 0,6 !G" 43 1 0,6 !G"

No presente caso T W W!G" possui um polo na origem para 0. Usualmente se evita este calculo, isto porque ele influencia apenas no valor de y(0) e escreve se.

$ }46%‹ W , 0,6& }46%‹ W ,0,1& 3,6 0,1 !G" _{3,6 0,6} !G" 4

3 1 0,6 !G", ( 1

-Expansão em frações parciais -Pólos distintos:

T W *HG"WHG"_∏H *HG#_W WHG#_{‡ xŠ} *+ ŠR" , 32/ /‡ 1 T W L _WK‡ _{‡ ,} ! ŠR" 20<4 K‡ _{] ŒŠ}lim W ‡ T W Exemplo: T W _W# 3W 1_{1,5W 0,5 W 0,5 W 1}3W 1 T W _{W 0.5} K" _{W 1}K# K" _{] +,“}lim W 0,5 3W 1_{W 0,5 W 1} 1 K# lim_{] " W 0,5 W 1}W 1 3W 1 4 T W _{W 0.5} 1 _{W 1 ” F}4 G" •W ‘ !G"_{, ( 1} $ 0,5!G" ₄

- Polos com multiplicidade

T W _∏H • W_{W ‡ xŠ} ŠR" , 32/ ` • W ' L /‡ H ŠR" T W _WK"" " K_"# W " # K_"x" W " x" K_#" W # K_## W # # K‡ /‡ _{] ŒŠ}lim 1_!<W<–_–— W ‡ xŠ_{T W ˜} Exemplo: T W _{W 0,1 W 0,6}W 1 _# T W _{W 0,1} K"" _{W 0,6} K#" _{W 0,6}K## _#

K"" _{] +,"}lim _{W 0,1 W 0,6}W 0,1 W 1 _# 3,6 K#" _{] +,•}lim _{<W X}< W 0,6 # _{W 1} W 0,1 W 0,6 #^ _{] +,•}lim _{W 0,1}1 _{W 0,1}W 1 # 3,6 K## _{] +,•}lim W 0,6 # _{W 1} W 0,1 W 0,6 # 0,8 T W _{W 0,1} 3,6 _{W 0,6} 3,6 _{W 0,6}0,8 _# $ 3,6 0,1 !G" _{3,6 0,6} !G" 0,8 0,6 1 0,6 !G"

-Método de expansão em série por divisão contínua

T W L $ WG! _{$ 0 $ 1} \ !R+ WG" _{$ 2 W}G# Exemplo: ‹ W _{W 0,36}W 1 W 1 | W 0,36 -W 0,36 1 1,36WG" 0,4896WG# 1,36 1,36 0,4896WG" 0,4896WG" 0,4896WG" _0,1763WG# 0,1763WG# {$ 1; 1,36WG"; 0,4896WG#; …

Sistemas amostrados

Até este ponto, tratamos de sistemas discretos, admitindo como ponto de partida sinais já discretizados. Considerando se que a maioria que a maioria das aplicações de controle por computador se referem a controle de sistemas dinâmicos e contínuos e que já desenvolvemos algumas ferramentas para analisar sinais discretos, é natural que discretizemos os sinais contínuos.

-Modelo de um amostrador segurador (Sample-hold)

Considerando que _še _Z (Tempo de estabelecimento do filtro) são da ordem de nanosegundos para a maioria das aplicações em controle por computador, podemos substituir o diagrama em blocos mostrado por:

Z , Œ ›

Neste modelo ideal temos:

v ₆ 6 L \ !R+ v _L \ !R+ v _L \ !R+

Modelo de um conversor A/D

Ignorando o efeito do quantizador

še Z ''

Modelo de um conversor œ •ž Os sinais típicos $ L %~G" ~G" & \Ÿ !R+ T 6 U uL %~G" ~G" & \Ÿ !R+ \ + 4GZ[_< T 6 L „ U 4GZ[_< \ !t U 4GZ[_< \ !tGt … \ !R+ T 6 L X4GZ!t₆ 4GZ !tft₆ ^ \ !R+ T 6 1 4₆GZtL 4GZ!t \ !R+ v _L \ !R+ ¡% v _{& U L} \ !R+ 4GZ[_{< U M < M} \ + \ + }v _{6 L 4}GZ!t \ !R+ T 6 1 4₆GZ!t}v ₆ - Determinação ƒ W dado ƒ 6 Considerando o circuito abaixo:

$ U `\ p v<sub><</sub> + , 32/ v <sub>0 1 81 8</sub> v <sub>L 8 8</sub> \ + $ U `\ p + L 8 8 \ + < $ L 8 `p <sub>8</sub> \ bR+ $ L 8 `p ₈ \ bR+ T W L L 8 `\ p <sub>8</sub> bR+ \ !R+ WG! T W L 8 L `p ₈ \ !R+ \ bR+ WG! _ƒp _{W L 8 W}Gb \ bR+ ƒp _{W } W} T W ƒp _{W } W}

Teorema 1: Seja uma função $ com transformada de Laplace T 6 e transformada z T W ,

denomina se de Tv 6 a transformada de Laplace de $v assumindo se que para algum

¢ a 0 tenhamos :

Tv _{6 T W |} ]R¦§¨1 L T 6 ‡ ©Z \ !RG\ 1º Verificação Tv _{6 U $}v ₄GZ[_{< U L $ 4}GZ[_< \ !R+ \ + \ + Tv _{6 L $ 4}GZ[ \ !R+ L $ 4Z[ G! _{L $ W}G! _{” T W T} \ !R+ \ !R+ 4Z[ 2º Verificação ªt U 4GZ[ \ + L < L 4 GZ!t 1 1 4GZ!t \ !R+ \ !R+ $v _{$ 6 ” $}v _{6 $ 6 ªt 6} $v ₆ 1 2†‡ U $ 7 «fŠ «GŠ ªt 6 7 <7 $v ₆ 1 2†‡ U 1 4$ 7Gt ZG¬ «fŠ «GŠ <7 $v ₆ 1 2†‡ ˆ1 4$ 7Gt ZG¬ <7 _{2†‡ U}1 _{- 1 4}$ 7Gt ZG¬ ® <7 $v _{6 L }46 •} $ 7 1 4Gt ZG¬ , 7!‘ _{2†‡ U}1 _{- 1 4}$ 7Gt ZG¬ ® <7 \ !RG\

onde 7_! são os zeros de 1 4Gt ZG¬ 0

4Gt ZG¬ _{1 6 7 ‡2†} 7! 6 ‡2† 20<4 , 1, 0, 1, … e podemos escrever: $v _{6 L }46 •} $ 7 1 4Gt ZG¬ , 6 ‡©Z ‘ _{2†‡ U}1 _{- 1 4}$ 7Gt ZG¬ ® <7 \ !RG\

a curva K_# pode ser parametrizada, 7 * 4Š¯ 1 2†‡ U_- 1 4$ 7Gt ZG¬ ® <7 _{– \}lim U $ 7 1 4GtZ₄t–¦°±_4²t ‡ 4Š¯<³ G´/# ´/# onde: <7 ‡ 4Š¯_<³ $v _{6 L }46 •} $ 7 1 4Gt ZG¬ , !‘ \ !RG\ $v _{6 L lim} – ¬µX 7 7! $ 7 1 4Gt ZG¬ ^ \ G\ $v _{6 L lim} ¬ ¬µ 7 7! 1 4Gt ZG¬ _{¬ ¬}lim_µ$ 7 \ G\ $v _{6 L} $ 7 < <7 %1 4Gt ZG¬ & \ G\ ¶ ¬R¬µ $v ₆ 1 _L $ ! 4Gt ZG¬µ 1 L $ ! \ G\ \ G\ $v ₆ 1 _{L $ 6 ‡©}\ _Z G\

Teorema 2:Sob as mesmas condições do teorema , a transformada z do sinal y(t), da sua transformada y(s), é obtida com base na relação:

$v _{6 T W L }46 •} T W W W 4GZ[, ‡‘ , 26 ‡ 6ã2 26 ó826 $ 6 Š $v ₆ 1 2†‡ U 1 4$ 7Gt ZG¬ «fŠ\ «GŠ\ <7 $v ₆ 1 2†‡ ˆ1 4$ 7Gt ZG¬ <7 _{2†‡ U}1 _{1 4}$ 7Gt ZG¬ -® <7 $v _{6 L }46 •} $ 1 4GZ[₄¬[, ‡‘ , 26 ‡ é 2 40é65/2 ó82 <4 $ Š

T W |_]R¦§· $v 6 L }46 • $

1 4GZ[₄¬[, ‡‘ Š

T W L }46 •_{W 4}W$ _¬[, ‡‘ Š

Teorema 3: Sejam e ` funções transformáveis segundo Laplace e _t

∑\ !RG\ , então: %` v v <sub>&</sub>v <sub>`</sub>v _v v _{%ƒ 6 ~}v _{6 & ƒ}v _{6 ~}v ₆ 1 4 24 1 100/6 W T W_{} W} 6 L \ !R+ g h i h jT 6 v _{T W |} ]R¦§¨ 1 L T 6 ‡ ©Z \ !RG\ T W L }46 •_{W 4}T 6 W_Z[, ‡‘ Š

T 6 X1 4₆ Z[ƒ 6 ^ ~v ₆ T 6 v _X1 4Z[ 6 ƒ 6 ^ v ~v ₆ Onde: 1 4Z[ 6 ƒ 6 ƒp 6 T 6 v _ƒp ₆ v_~v _{6 T W ƒ}p _W v_~v _W 4 $ 4v v _$v _¢v _{6 }}v _{6 T}v _{6 ¢ W } W T W} Quanto ao computador: 1 4 24 1 ~ W WG"_{~ W ¢ W 2W}G"_{¢ W} ~ W ¢ W 1 2W G" 1 WG" K W Função de transferência W ¸ ] ¹ ] T W ƒp _{W ~ W ƒ}p _{W K W ¢ W} T W ƒp _{W K W %º W T W &} T W } W ƒ p _{W K W} 1 ƒp _{W K W} ƒp _{W L }46 X}ƒp 6 W W 4Z[, ‡^ Š ƒp _W ƒ 6 6 4Z[ƒ 66 Onde `» ƒ 6<sub>6</sub> `p _{`» `»} `p <sub>`» `»</sub> `p _{`» `» 1} ƒp _{W ƒ» W W}G"_{ƒ» W}

ƒp _{W 1 W}G" _{ƒ» W} ƒ» W L }46 X ƒ 6 6 W_{W 4}⁄_Z[ , ‡^ Š ƒ 6 6 6 6 1 6 105 " 0, # 1, ½ 10 " 0 }46%… ,0& lim_{Z +}6_{6 6 1 6 10}5 _{W 4}W _{Zt 2 W 1} W # 1 }46%… , 1& lim_{Z G"} 6 1 _{6 6 1 6 10}5 _{W 4}W _{Zt 9 W 4}5W _Gt ½ 10 }46%… , 10& lim_{Z G"+} 6 10 _{6 6 1 6 10}5 _{W 4}W _{Zt 90 W 4}5W_G"+t ƒ» W 1_{2 W 1}W 5_{9 W 4}W _{Gt 90}5 _{W 4}W_G"+t 100/6 ƒp _W W 1 W ƒ» W 90 W 0,368 W 1051,590W 1112 W _90W½ 1590W_202,980W# _#2,068W 2,224 _{142,472W 32,194}

Transformada z modificada

Em alguns casos pode ser conveniente determinar o valor de um sinal continuo entre os instantes de amostragem; por exemplo, para verificar a existência de oscilações escondidas.

$p _{$ Δ} T 6 ƒ 6 ~v _{6 T}v _{6 %ƒ 6 ~}v _{6 &}v _{T ƒ}v _{6 ~}v _{6 T W ƒ W ~ W} T W ƒ W ~ W Introduzindo a atraso4G∆tZ, 32/ ∆ 1 / 0 £ / £ 1 Então, Tp _{6 ƒ}p ₆ v_~v _{6 T}p _{6 ƒ}p _{W ~ W} Por definição T W L $ WG! \ !R+

Tp _{W L $ÀÁÂÁÃ}p S !tG∆t WG! \ !R+ L $ / WG! _WG"_{L $ / W}G! \ !R+ \ !R+ Tp _{W W}G"_{L $ / W}G! \ !R+ Ä T W, /

Exemplo: / 0,5, obtêm se a sequência:

T W T 0 , T , T 2 … T W p _{T 0 , T 0,5 , T 1,5 …} Temos também: ƒp _{W ƒ W; ∆ F%ƒ 6 4}∆tZ ƒ W, / Fx%ƒ& F%ƒ 6 4GZt4xZt ƒ W, / WG"_{F%ƒ 6 4}xZt_& Portanto: ƒ W, / WG"_{L }46 X}ƒ 6 4xZt W 4Z[ W, 5^ Š Finalmente: T W, / ƒ W, / ~ W) Mapeamento de Diferenciais < < Å 4 4 ~ 6 6¢ 6 ~ W 1 WG"¢ W ƒÆÇ W ƒÆ 6 |_ZR"G]ÈÉ t Integração Retangular L 4 ‡ U 4 <!Gt + !G" ŠR+ 4 ~ W _WG"¢ W ƒÆÇ W ƒÆ 6 |_ZR]G" t

~ 6 1_{6 ¢ 6}

Transformada Bilateral

ƒÆÇ W ƒÆ 6 |_ZR#t ]G"

]f"

Transformação Bilateral com Prewarping

2

` k 2 l ƒÆÇ W ƒÆp 6 |_ZR#t ]G" ]f"

-Filtro passa baixa

6 _{6 ©}

+

-Filtro passa alta

6 _{6 ©}"6 +

4. Estabilidade de sistemas de controle digital 4.1 Analise de estabilidade

Teorema: Um sistema discreto linear e invariante no tempo é BIBO (entrada limitada / saída limitada) estável se e somente se a sua sequencia de ponderação satisfizer a relação.

L|` | ' ∞ \

!R+

Seja um sinal de entrada tal que tal que:

| | ' Ê ' ∞

Então pela somatória de convolução:

$ L `\ 8 !R+ 8 L ` 8 \ bR+ 8 $ £ L |` |\ !R+ | 8 | £ Ê L |` | \ !R+

Um sistema com função de transferência G(z) é estável se e somente se todos os pólos de G(z) estão dentro do circulo unitário:

W 4Zt _{6 Ë ‡© W 4}«t₄ŠÌt |W| 4«t _{Í W ©} Ë a 0 |W| a 1 Ë 0 |W| 1 Ë ' 0 |W| ' 1 Î8 02 6 Plano z

n4/5 8 02 46e 4 <2 Ñ0 4 52 <2 35 3 82 05 á 52 ¢5V2 5/ `50á 52 K5 3 4 ê035 <2 35 3 82 05 á 52 n4/5 8 02 <5 45 2 ¢V 4 52 <2 35 3 82 05 á 52 |W| 4«t Î8 02 6 Plano z Ë 0 W 4ŠÌ[ ₄ŠÌ#´Ì§ © 0 W 1 Exemplo: º W _W * * !G"_{, ( 1}

(1) a > 1

(2) a = 1

4 0 a a 1

5 a 1

a ' 1

Critério de estabilidade Jury Seja:

Constrói se a tabela: k=0 Ô₊ Ô₊ … Ô₊ Ô₊ Õ₊ ÔH ÔHG" … Ô" Ô+ k=1 Ô_",+ Ô_"," … Ô_",HG" Õ_" ÔHG" ÔHG# … Ô",+ Ö Ö k=n-1 Ô_HG",+ Ô_HG"," Õ_HG" ÔHG"," ÔHG",+ k=n Ô_H,+ Õ_H Onde: Õ! <!, 0_< !,+ ; 0,1,2, … , 0 1; <+Š <Š

A linha 2 3 resulta da subtração ‡ × 850Y 2 2, da linha 2 1. A linha 2 2 é obtida da 2 1, trocando a ordem de seus elementos.

O critério de Jury: “O polinômio œ W é estável se e se somente se |‡ | ' 1;

0,1,2, … , 0 1 . Se a tabela terminar ou se ocorrer divisão por zero, em ' 0 , o polinômio é

instável ” Exemplo: ƒ W _{W# 1,2W 0,33}W 1 _{1 1,2WÀÁÁÁÁÁÁÂÁÁÁÁÁÁÃ}WG"_G" W _0,33WG# _G# š ] œ W 1 1,2WG" _0,33WG# k=0 1 1,2 0,33 Õ₊=0,33 0,33 1,2 1 k=1 1 1,2 0,33 Õ" 0,902 0,1089 0,396 0,33 0,891 -0,804 0 -0,804 0,891 k=2 0,891 0,804 0,7255 0,804 k=n 0,1658 0 Critério de Routh-Hurwitz 7 W 1_{W 1} 06 2 / çã2 *58504 W 7 1_{7 1 7 W ‡© W ' 0 |W 1| ' |W 1|}

|W| X W 1_{W 1} #_# © _©#_#^#

Assim, dado um polinômio œ W , quando se substitui W por ¬f"

¬G", obtêm se uma função

racional Ø ¬

¬G"Ù, onde n é a ordem do polinômio D(z).

Logo, chega se agora um conjunto de condições necessárias e suficientes que permite montar a seguinte cadeia:

OGATA

1º Escreve-se o polinômio na forma:

+6H "6HG" HG"6 H 0

Todos coeficientes são reais e _H 0

2º Se algum coeficiente é nulo ou negativo na presença do ultimo coeficiente anterior, há uma raiz ou raízes que imaginarias ou que possuem parte real positiva sistema não é estável.

Se todos coeficientes são negativos eles podem ser multiplicados por (-1). Condição necessária Todos os coeficientes positivos e diferentes de zero.

3º Se todos os coeficientes são positivos, faz se o seguinte arranjo:

nH _{+ # Ú …} nHG" _{" ½ “ …} nHG# _{*" *# *½ …} nHG½ _{3" 3# 3½ …} nHGÚ _{<" <# <½ …} Ö n# _{4" ½} n" _" n+ _`"

Onde: *" " # + ½ " *# " Ú + “ " 3" *" ½_* "*# " 3# *" “ "*½ *" <" 3"*#₃ 3#*" " <# 3"*½ 3½*# 3"

Critério de Routh para estabilidade: A condição necessária e suficiente para que todas as raízes estejam no semiplano esquerdo aberto é que todos os coeficientes do polinômio sejam positivos e todos termos na primeira coluna tenham sinais positivos.

Exemplo: W _W0,09 W 0,71_{# 1,2W 0,33} • W_{œ W} œ W W# _{1,2W 0,33 W} 7 1 7 1 œ 7 k7 1_{7 1l}# 1,2 k7 1_{7 1l 0,33} œ 7 7 1 # 1,2 7 1 7 1 0,33 7 1_{7 1 #} # 7# _{27 1 1,27}# _{1,2 0,337}# _{0,667 0,33} 7 1 # œ 7 0,137# 1,347 2,53_{7 1 # 7 1}• 7 _# • 7 0,137# _{1,347 2,53} 7# _{0,13 2,53} 7" _1,34 7+ _2,53

Logo sistema estável. Técnicas de discretização

ƒ W 1 WG" _{F •}ƒ 6 6 ‘ F X1 4₆GZtƒ 6 ^ F •1 4GZtƒ 6 6 ‘ %1 4GZtƒp 6 & ¡G"_%ƒp _{6 4}GZ[_ƒp _{6 & `</sub>p <sub>`}p `p <sub>`</sub>p _{`</sub>p <sub>`}p ₁ F%`p <sub>`</sub>p _{1 & 1 W}G" _ƒp _{W 1 W}G" _{F •}ƒ 6 6 ‘ 2- Mapeamento de diferenciais Seja < < 4 Û 4 4 Resulta: ~ 6 6¢ 6 Ü 4 4 ~ W 1 WG"¢ W ƒ W ƒ 6 |_ZR"G]ÈÉ t

Exemplo: ƒ 6 9 6 2_{6 3} ~ 6_{¢ 6} 6~ 6 3~ 6 96¢ 6 18¢ 6 9_{< 4}< 184 _<< 3 9 Ý1 WG"Þ ¢ W 18¢ W Ý1 WG"Þ ~ W 3~ W ~ W ¢ W 9 1 W G" ₁₈ 1 WG" ₃ ƒ W ƒ W |_ZR"G]ÈÉ t 9 k1 WG" 2l 1 WG" 3 9 1 WG" ₁₈ 1 WG" ₃ 9 9W G" ₁₈ 1 WG" ₃ 18 9 W 9_{3 1 W 1} 3- Integração Retangular

Suponhamos que o controlador analógico possua função de transferência:

ƒ 6 ß_{1 M}+ ß"WG" ßHWGH "WG" MHWGH

~ L 4 ‡ !G" ŠR+ ÀÁÁÁÁÁÂÁÁÁÁÁà b¦à[ ZN]¦ ጖âãNxá[NâH Para a integral: U 4 <!t + 4 1 4 1 ~ W WG"_{~ W W}G"_{¢ W} ~ W _{1 W 1 ¢ W}WG" ~ W _{W 1 ¢ W} ~ 6 1_{6 ¢ 6} ƒ W ƒ 6 |_ZR]G" t Exemplo: ƒ 6 9 6 2_{6 3} ƒ W ƒ 6 |_ZR]G" t ƒ W 9 k1 W G" 2l W 1 3 9 W 1 2 18W 1 3 0,16 ƒ W 9 7,2W_{1 0,7W}G"_G" ~ W_{¢ W} ~ W 0,7WG"_{~ W 9¢ W 7,2W}G"_{¢ W} 0,7 1 94 7,24 1

4- Transformada Bilinear (ou transformada de Tustin)

Admitindo agora que a aproximação trapezoidal seja utilizada para integral:

2 L%4 ‡ 4 ‡ &, <20<4 !G"

ŠR+

2 %4 4 &

~ W WG"_{~ W} 2 %WG"¢ W ¢ W & ~ W ¢ W 2 ÝW G" ₁ WG" _{1Þ 2 k}W 1_{W 1l} ~ W _{2 k}W 1_{W 1l ¢ W} ~ 6 1_{6 ƒ 6} ƒ W ƒ 6 |_ZR#t ]G" ]f" OBS: A transformação 6 # t ]G"

]f" mapeará o semiplano complexo esquerdo do plano s, dentro

do circulo unitário no plano z. Logo se a função de transferência ƒ 6 for estável, ƒ 6 também será estável, para qualquer período de amostragem.

Exemplo:

ƒ 6 9 6 2_{6 3} ƒ W ƒ 6 |_ZR#t ]G" ]f"

ƒ W 9 2 W 1W 1 2

2 W 1_{W 1 3} 9%2 W 1 2 W 1 &2 W 1 3 W 1 18 18 W 182 3 W 3 218

4.1- Transformação Bilinear com prewarping

6 2 W 1_{W 1 6 ‡©}Æ 4 W 4ŠÌÇt ‡©Æ 2 4 ŠÌÇt ₁ 4ŠÌÇt ₁ 2 4 ŠÌÇt # 4GŠÌÇt# 4ŠÌÇt# 4GŠÌÇt# ‡2 640 ©< 2 cos ©<2 ‡ ©Æ 2 ‡ tan k©<2 l

©_Æ 2tan k©<_{2 l}

Relação entre a frequência no domínio continuo e discreto havendo portanto uma distorção (warping) de frequência.

Por exemplo, se a função de transferência apresenta alguma particularidade na frequência na frequência ©_Ç 4 </6. Obviamente quanto maior T maior a distorção.

Para corrigir essa distorção devemos fazer um prewarping das frequências críticas de

ƒÆ 6 , ou seja substituímos cada termo da forma 6 em ƒÆ 6 por 6 » , onde: » 2_{tan k 2 l}

Caso tenhamos termos da forma 6# 2å©_H6 ©_H# em ƒ 6 , então ©_H é considerada a frequência crítica.

Exemplo:

ƒ 6 9 6 2_{6 3} 0,2

ƒ 6 9 6 2,027_{6 3,093}

5- Mapeamento de pólos e zeros

ƒÆ 6 ∏ 6 ߇ ∏ % 6 ‡ # xæ ŠR" x ŠR" *Š#& ∏ 6 M5 ∏ % 6 35Hæ # NR" H NR" <N#& ƒ 6 ç W 1 Œè∏ W 4 GéŠt _{∏ %W}x_ŠR"æ # _W4Gá°tcos ß_Š x ŠR" 24G#á°t& ∏H_NR" W 4GsNt _{∏ %WNR"}Hæ # _W4Gáètcos M_N 24G#áèt& Onde: _N 20p 0 2/p / 0 /4 26 <4 W4 26 02 50 505 2

O valor ç e determinado de modo a se preservar o ganho em alguma frequência de interesse.

ƒ 6 9 6 2_{6 3} ƒÆÇ W ç W 1 + W 24 G#t W 34G½t Para 0,16: ƒ W ç W 0,819_{W 0,741} |ƒ 6 |ZR+ |ƒ W |]R" Ë ç 1 0,819_{1 0,741} ç 8,856 K20 0 4 <4 ƒ 0Y2 ƒÆÇ W 8,586 7,032W G" 1 0,741WG"

E o computador deve efetuar as seguintes operações