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INTEGRAÇÃO TRIPLA
LUÍS ANTÓNIO DE ALMEIDA VIEIRA
CÁLCULO
CÁLCULO
INTEGRAL
INTEGRAL
AUTOR
Luís António de Almeida Vieira
TÍTULO
Cálculo Integral – Integração Tripla
EDIÇÃO
Quântica Editora – Conteúdos Especializados, Lda.
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Este livro encontra-se em conformidade com o novo Acordo Ortográfico de 1990, respeitando as suas indicações genéricas e assumindo algumas opções específicas.
CDU 51 Matemática 517 Análise Matemática ISBN Papel: 9789899017399 E-book: 9789899017405 Catalogação da publicação Família: Bases de Engenharia Subfamília: Matemática
Integração Tripla
Conteúdo
Dedicatória 7
Agradecimentos 9
Prefácio 11
1 Alguma Teoria sobre Integração Tripla 13
1.1 Integral triplo sobre um paralelepípedo. . . 15
1.2 Regiões elementares de R3 . . . 20
1.3 Mudança de variáveis . . . 27
1.4 Coordenadas cilíndricas . . . 28
1.5 Coordenadas esféricas . . . 30
2 Problemas sobre Integrais Triplos 43 2.1 Exercícios resolvidos . . . 45
Cálculo Integral
3 Exercícios e Soluções 103
3.1 Exercícios Propostos . . . 105
3.2 Soluções dos exercícios do capítulo 3 . . . 112
Integração Tripla
Nova pagina.
A integração tripla é muita parecida à integração dupla. Os Teoremas e as pro-priedades relativos à integração tripla são do mesmo género que os Teoremas e as propriedades da integração dupla.
1.1
Integral triplo sobre um paralelepípedo
Vamos começar por definir o integral triplo de uma função ao longo de um paralelepí-pedo P = [a1, b1] × [a2, b2] × [a3, b3]. Nós dividimos os 3 lados do paralelepípedo em n
partes iguais. Considerando os pontos Pijk= (xi, yj, zk) tais que xi= a1+ ib1−an 1, i =
0, 1, ··· ,n,yj= a2+ jb2−an 2, j = 0, 1, ··· ,n e zk= a3+ kb3−an 3, k = 0, 1, ··· ,n obtemos a
Cálculo Integral Sn = n−1 X i=0 n−1 X j=0 n−1 X k=0
f (x∗ijk, yijk∗ , zijk∗ )(xi+1− xi)(yj+1− yj)(zj+1− zj) (1.1)
onde (x∗
ijk, yijk∗ , zijk∗ ) ∈ [xi, xi+1] × [yj, yj+1] × [zj, zj+1] para i = 0, 1, ··· ,n − 1,j =
0, 1, ··· ,n − 1 e k = 0,1,··· ,n − 1. Se a função f for positiva podemos fazer a seguinte representação geométrica que se apresenta na figura1.1.
x y z O P∗ ijk Figura 1.1: Soma S3=P2i=0 P2 j=0 P2 k=0f (Pijk∗ )(xi+1− xi)(yj+1− yj)(zk+1− zk).
Cálculo Integral
b3e f uma função contínua limitada definida no paralelepípedo P = [a1, b1] × [a2, b2] ×
[a3, b3], então f é integrável em P.
Observação 1.1.1. Note-se queR R R
P1dzdydx = Volume(P).
Observação 1.1.2. Prova-se que se o conjunto D dos pontos de P onde f é descon-tinua estiver contido num conjunto de volume nulo, então f é integrável em P. Por exemplo, se D estiver contido na interseção de P com uma união finita de gráficos de funções contínuas do tipo x = x(y, z), y = y(x, z) ou z = z(x, y), então f é integrável em P.
Teorema 1.1.2. {Teorema de Fubini} Sejam a1, b1, a2, b2, a3, b3, números reais com
a1 < b1, a2< b2 e a3< b3 e f integrável em P = [a1, b1] × [a2, b2] × [a3, b3]. Então,
qualquer integral iterado existe e é igual ao integral triplo de f em P, isto é, tem-se:
Z Z Z P f (x, y, z)dV = Z Z Z P f (x, y, z)dzdydx = Z Z Z P f (x, y, z)dzdxdy = Z Z Z P f (x, y, z)dydzdx = Z Z Z P f (x, y, z)dydxdz = Z Z Z P f (x, y, z)dxdzdy = Z Z Z P f (x, y, z)dxdydz.
Integração Tripla
Exercício 1.1.1. Calcule o integral I =R R R
Pxyz2dV onde P = [−1,1]×[0,1]×[1,2].
Resolução 1.1.1. Vamos calcular o integral I na ordem de integração dxdydz. Assim, temos que: Z 2 1 Z 1 0 Z 1 −1 xyz2dxdydz = Z 2 1 Z 1 0 yz2 Z 1 −1 xdx dy dz = = Z 2 1 Z 1 0 yz2x 2 2 | 1 −1dy dz = Z 2 1 Z 1 0 yz2 1 2 2 − (−1)2 2 dy dz = Z 2 1 Z 1 0 yz20dy dx = Z 2 1 0dx = 0.
Mas, se calculamos na ordem dzdydx o integral I então obtemos os seguintes cálculos:
Z 1 1 Z 1 0 Z 2 1 xyz2dzdydx = Z 1 −1 Z 1 0 xyz 3 3 |21dydx = Z 1 −1 Z 1 0 xy 8 3− 1 3 dydx = Z 1 −1 Z 1 0 xy7 3dydx =7 3 Z 1 −1 Z 1 0 xydydx = 7 3 Z 1 −1 xy 2 2 | 1 0dx =7 3 Z 1 −1 x 1 2 2 − 02 2 dx = 7 3 Z 1 −1 x1 2dx =7 3 1 2 Z 1 −1 xdx = 7 6 x2 2 | 1 −1 =7 6 12 2 − (−1)2 2 = 7 60 = 0.
Integração Tripla x y z O a b (x, y1(x)) (x, y2(x)) x (x, y, z1(x, y)) (x, y, z2(x, y)) y
Cálculo Integral
Definição 1.2.2. {Região do tipo 2} Diz-se que uma região W de R3 é uma região
do tipo 2 se:
W = {(x,y,z) ∈ R3: ((y, z) ∈ D) ∧ (x1(y, z) ≤ x ≤ x2(y, z))}
onde D é uma região elementar do plano Oyz e x1: D 7→ R, x2: D 7→ R são funções
contínuas em D, ou então funções cujos conjuntos dos seus pontos de descontinuidades são subconjuntos de área nula de D.
Exemplo 1.2.2. Apresenta-se na figura 1.3. uma região do tipo 1.
x y z O a2 b2 y (0, y, z1(y)) (0, y, z2(y)) (x1(y, z), y, z) (x2(y, z), y, z)
Integração Tripla
Definição 1.2.3. {Região do tipo 3} Diz-se que uma região W de R3 é uma região
do tipo 3 se:
W = {(x,y,z) ∈ R3: ((x, z) ∈ D) ∧ (y1(x, z) ≤ y ≤ y2(x, z))}.
onde D é uma região elementar do plano Oxz e y1: D 7→ R, y2: D 7→ R são funções
contínuas em D, ou então funções cujos conjuntos dos seus pontos de descontinuidades são subconjuntos de área nula de D.
Exemplo 1.2.3. Apresenta-se na figura 1.4. uma região do tipo 3.
11 4 x y z O (x, 0, z1(x)) (x, 0, z2(x)) x (x, y1(x, z), z) (x, y2(x, z), z)
Cálculo Integral
Definição 1.2.4. {Região do tipo 4} Uma região W de R3 é do tipo 4 se for uma
região do tipo 1, do tipo 2 e do tipo 3.
Exemplo 1.2.4. Uma região W que é do tipo 4 é apresentada na figura 1.5.
x y
z
O
Figura 1.5: Região W do tipo 4.
Definição 1.2.5. {Região elementar de R3} Diz-se que uma região W de R3 é uma região elementar de R3 se for uma região do tipo 1, ou do tipo 2, ou do tipo 3 ou do tipo 4.
Cálculo Integral
Exemplo 1.5.5. Calcule o volume do elipsóide W = {(x,y,z) ∈ R3: x12+y42+z92},
utilizando a mudança de coordenadas:
T (ρ, θ, φ) = (x(ρ, θ, φ), y(ρ, θ, φ), z(ρ, θ, φ)
= (ρsen(φ) cos(θ), 2ρsen(φ)sen(θ), 3ρ cos(φ))
Apresenta-se de seguida um esboço do elipsóide na figura1.11.
x y z
Figura 1.11: Elipsóide.
Após alguns cálculos concluímos que:
∂(ρ, θ, φ) ∂(ρ, θ, φ) = ∂x ∂ρ ∂x ∂θ ∂x ∂φ ∂y ∂ρ ∂y ∂θ ∂y ∂φ ∂z ∂ρ ∂z ∂θ ∂z ∂φ = 6ρ2sen(φ)
Integração Tripla
Que vida.
Neste capítulo vamos apresentar exercícios resolvidos sobre integrais triplos, envol-vendo o cálculo de volumes de regiões de R3, cálculo de integrais triplos de funções
contínuas. Apresentam-se ainda exercícios resolvidos sobre o cálculo do centro de massa de uma região elementar de R3 e os momentos de inércia relativamente aos
eixos coordenados quando R3 está munido de uma função densidade pontual. Na
resolução de cada exercício apresenta-se uma figura 3-D para tornar mais explicita a resolução de cada exercício.
2.1
Exercícios resolvidos
Exercício 2.1.1. Calcule o volume da região Ω = {(x,y,z) ∈ R3: (0 ≤ x ≤ 3) ∧ (0 ≤
Cálculo Integral
Observação 2.1.1. Apresenta-se na figura2.1. a região Ω.
x y z O 3 3 3 x2+ z2= 9 (x, y,√9 − x2) (x, y, 0) x y Figura 2.1: Região Ω of R3.
Integração Tripla
Resolução 2.1.1. Tem-se analisando a figura2.1. Volume(Ω) = Z 3 0 Z 3 0 Z √ 9−x2 0 1dzdxdy = Z 3 0 Z 3 0 z| √ 9−x2 0 dxdy = Z 3 0 Z 3 0 p 9 − x2dxdy = Z 3 0 9π 4 dy = 9π 4 Z 3 0 dy =9π 4 y| 3 0 = 9π 4 (3 − 0) = 27π 4 .
Exercício 2.1.2. Obtenha o valor do integral I tal que I =R R R
Dxdzdydx, onde D =
{(x,y,z) ∈ R3: (0 ≤ x ≤ 1) ∧ (0 ≤ y ≤ 1 − x) ∧ (0 ≤ z ≤ 1 − x − y)} e está representado
na figura2.2. x y z O 1 1 1 (x, y, 1 − x − y) (x, y, 0) Figura 2.2: Sólido D de R3.
Resolução 2.1.2. Facilmente vemos que a projeção da região D no plano Oxy é o triângulo representado na figura2.3.
Cálculo Integral x y z O 1 1 1 (x, y, y) (x, y, 0) (x, y, y − 1) 2 (x, y, 1) (x, y, 0) Figura 2.5: Sólido D de R3.
Integração Tripla b) Considere-se a figura2.19. x y O (y3, y) (3y, y) (y 3, y) (4 − y,y) y y 1 3 1 3
Figura 2.19: Projeção da região W no plano Oxy.
Logo: I =R1 0 R3y y 3 R1 0(y − 2x)dzdxdy + R3 1 R4−y y 3 R1 0(y − 2x)dzdxdy.
Cálculo Integral
c) Considere-se o esboço da projeção da região W no plano Oyz na figura2.20.
y z
O 3
1
y y
Figura 2.20: Projeção no plano Oyz.
Assim, analisando a figura2.21.
x y z O 3 3 (y3, y, z) (0, y, z) (3y, y, z) (4 − y,y,z) 1 Figura 2.21: Região W .
Integração Tripla
b) Apresenta-se na figura2.28. a região R.
x y z O 1 1 1 (x, 0, 0) (x, 1 − x,0) (0, y, 0) z = 0 z = x + y − 1 Figura 2.28: Região R.
Este exercício é um bom exercício para explicar o cálculo de um integral utili-zando coordenadas cartesianas. Vamos passar a descrever como é que se integra triplamente. Assim, devemos em primeiro lugar decidir em que plano é que pro-jetamos a região R. Neste caso optamos por projetar o sólido R no plano Oxy segundo a direção do eixo Oz. Mas então para cada ponto (x, y, 0) da projeção
Integração Tripla x y z 1 −1 4 5 2 (x, 0, x2) (x, 0, 2 − x2) x Figura 2.41: Região W .
Assim, traçando retas verticais ao plano Oxy passando por um ponto (x, y, 0) intersetamos a região W de uma forma diferente conforme o ponto pertence à região da projeção de W não sombreada ou pertence à região sombreada. Então devemos partir o integral em dois integrais triplos - um cuja região de integração projetada no plano Oxy cai na região não sombreada da projeção e outro em que a região de integração de I cai na região sombreada da projeção. Assim, para determinar os dois primeiros índices dos integrais da alínea b) considere-se a figura2.42.
Integração Tripla
Ca vai.
3.1
Exercícios Propostos
Exercício 3.1.1. Desenhe o sólido:
S = {(x,y,z) ∈ R3: (0 ≤ x ≤ 2) ∧ ∧(x ≤ y ≤ 2) ∧ (0 ≤ z ≤ 2 − y)}.
Exercício 3.1.2. Desenhe o sólido S tal que:
Cálculo Integral
Exercício 3.1.3. Descreva por compreensão o sólido S representado na figura
3.1. x y z O 4 4 10 Figura 3.1: Sólido S.
inte-Cálculo Integral x y z O 4 4 8 Figura 3.6: Região D. • Exercício3.1.5. a) I =R6 0 R1 0 R1+z 1−z dxdzdy. x y z O (1 − z,y,z) (1 + z, y, z) (0, y, z) 6
TAMBÉM DISPONÍVEL
DO MESMO AUTOR
LUÍS ANTÓNIO DE ALMEIDA VIEIRA
CÁLCULO
INTEGRAL
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CÁLCULO
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SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES
E POR COMPLEXIFICAÇÃO
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Sobre a obraEste é o terceiro livro do autor no âmbito do Cálculo Integral, constituindo uma obra cujos objetivos principais são contribuir para que as matérias lecionadas nas disciplinas de Matemática se tornem mais atrativas e demonstrar ao leitor a necessidade da Matemática no desenvolvimento científico dos alunos de Engenharia. Em particular, neste caso, sobre a temática dos Integrais Triplos.
Neste livro pretende-se apresentá-la de um modo apelativo e baseado em exercícios e exemplos, apresentando desse modo os conceitos necessários para o encadeamento da matéria, que conta neste âmbito com figuras com objetivos pedagógicos no âmbito da Integração Tripla.
Este livro consiste assim numa primeira parte com alguma teoria sobre a matéria, e depois são expostos problemas e exercícios, com propostas de resolução.
Sobre o autor
Luís António de Almeida Vieira
Professor Auxiliar do Departamento de Engenharia Civil, licenciou-se em Matemática Aplicada no Ramo Científico na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto em 1985, tendo obtido o grau de Doutor em Matemática pela Universidade de Aveiro em 2004.
Começou, a partir de 1985, por ser Professor na Escola Secundária Clara Resende, lecionando Matemática. Continua a sua carreira como Professor de Matemática no Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro, onde leciona as aulas teóricas das unidades curriculares de Análise Matemática I, Análise Matemática II, Análise Matemática VI, Introdução à Topologia, Introdução à Lógica, Álgebra Linear, e as aulas práticas das unidades curriculares de Investigação Operacional e de Análise Numérica. Em 1990, inicia a sua carreira como Professor no Departamento de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, na Secção de Matemática, onde assume as regências das unidades de Análise Matemática I, Análise Matemática II e Álgebra Linear, e leciona as aulas práticas destas unidades e da unidade de Estatística.
Ao longo da sua carreira letiva produziu várias monografias sobre Álgebra de Jordan. Na vertente de investigação publica artigos em que pretende estabelecer uma interligação entre análise, álgebra e combinatória.
Pertence atualmente ao Centro de Matemática da Universidade do Porto (CMUP).
CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRAÇÃO TRIPLA
LUÍS ANTÓNIO DE ALMEIDA VIEIRA
Também disponível em formato e-book
ISBN: 978-989-901-739-9
