2) Verifique se os pontos A (2, -1) e B (3,0) pertencem a circunferência de equação (x-2)²+(y-3)²=16.

(1)

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria Unidade I – ESTUDO DAS CÔNICAS

1) Equação da circunferência

De maneira geral, denominamos de uma curva a toda equação em x e y cujas soluções ( x,y) são as coordenadas dos pontos da curva.

No caso de um circunferência de centro C ( xC , yC ) e raio r dados, temos: y

r • P

P (x,y) ∈ curva ⇔ d (CP) = r C •

x Assim, usando a fórmula de distância entre dois pontos, obtemos:

d =

(x

−

x

_c

)

2

+

(y

−

y

_c

)

2 r =

(x

−

x

_c

)

2

+

(y

−

y

_c

)

2

r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ² que é denominada equação reduzida da circunferência.

Exemplos:

1) Determine a equação reduzida da circunferência de centro C ( 3, -1) e raio r = 2. Solução :

( x – 3 ) ² + (y – (-1))² = 2², ou seja, ( x – 3 )² + ( y +1)² = 4

2) Verifique se os pontos A (2, -1) e B (3,0) pertencem a circunferência de equação (x-2)²+(y-3)²=16.

3) Identifique o centro e o raio da circunferência de equação ( x+3)² + (y-1)² = 9

4) Determine a equação da circunferência de centro ( 0,0) e raio 5.

Já conhecemos a equação reduzida da circunferência, que é r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ².

Desenvolvendo esta equação, temos:

r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ²

r² = x² - 2xxc + xc ² + y² - 2yyc +yc²

Reorganizando, teremos:

x² - 2xxc + xc ² + y² - 2yyc +yc² - r² = 0

Pondo

-2xc = a , –2yc = b e xc ² + yc² - r² = c, teremos:

(2)

Observamos que: -2 xc = a ⇒ 2 a xc − = -2 yc = b ⇒ 2 b y_c = − xc² + yc² - r² = c ⇒ r x y c 2 c 2 c + − = Exemplos:

1) Determine a equação geral da circunferência de centro C(2,3) e raio 1.

2) Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + y²- 8x + 12y + 3 = 0.

2) O gráfico da circunferência

Dada a equação (x-1)² + (y-2)² = c, podemos observar os seguintes casos:

a) Se c > 0, então a equação representa uma circunferência de centro (1,2) e raio r =

c

. b) Se c = 0, então a equação representa o ponto (1,2)

c) Se c < 0, então ela representa o conjunto vazio. Faça o gráfico para visualizar melhor.

Exercícios:

1) Determine a equação da circunferência ( reduzida e geral) em cada caso: a) C ( 3,3) e r = 6

b) C(-1,-3) e r = 2

2) Sendo dado o ponto P(1,1) pertencente a circunferência e o centro C(3,3), determine a equação reduzida e geral da circunferência.

3) Determine o centro e o raio da circunferência em cada caso: a) x² + y² - 4x – 8y + 19 = 0 b) 2x² + 2y² + 4x – 8y – 8 = 0 c) 2x² - y² = 9 d) 4x² + 4y² + 8x – 4y – 3 = 0 Respostas: 1) a) (x-3)² + (y-3)² = 36 e x² + y² - 6x – 6y –18 = 0

(3)

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria

b) (x+1)² + (y+3)² = 4 e x² + y² + 2x + 6y + 6 = 0 2) (x-3)² + (y-3)² = 8 e x² + y² - 6x – 6y + 10 = 0

3) a) C (2,4) r = 1 b) C(-1,2) e r = 3 c) não é circunferência d) C(-1, ½ ) r=

2

3) A circunferência definida por três pontos

1) Determine a equação da circunferência de centro C(2,0) e que passa pelo ponto P(4,1). Solução:

Para obtermos o raio, basta usar a fórmula da distância:

r = 2 2 ) 0 1 ( ) 2 4 ( − + − r P r = 5 C •

A equação da circunferência fica então definida como ( x – 2) ² + y² = 5.

2) Vamos agora determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos M(2,0) e N(4,-2) e tem centro na reta s: y = 2x.

Solução:

Como o centro equidista de todos os pontos na circunferência, temos que N s

d(CM) = d(CN) M 2 c 2 c 2 c 2 c

)

(0

y

)

(4

x

)

(

2 y

)

x

(2

−

+

−

=

−

+

−

• Ficamos com 4xc – 4 yc = 16 ou xc – yc = 4. C

Como C(xc ,yc ) pertence a s: y = 2x, temos que yc = 2xc .

Substituindo esta equação na equação acima, vem: xc = -4 e yc = - 8.

Assim, o centro é C = ( -4, -8) e podemos obter o raio: r = (2+4)2+(0+8)2 =10

A equação da circunferência é ( x + 4 )² + ( y + 8 ) ² = 100

3) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos M(3, -1) , N(0,8) e P (0,0) . Situação:

N

C •

M P

(4)

Exercícios:

1) Encontre a equação da circunferência sabendo que os pontos A(4,-2) e B(2,0) pertencem a circunferência e cujo centro é o ponto médio de AB.

2) Determine a equação de um circunferência de raio igual a 3, tangente aos eixos coordenados e contida no 2º quadrante.

3) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(-1,0) e B(1,0) e tem raio igual a

10

.

4) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(7,10), B(-9,2) e D(9,-4)

Respostas: 1) (x-3)² +(y+1)² = 2 2) (x+3)² + (y-3)² = 9

3) x² + (y +3)² = 10 ou x² + ( y-3)² = 10 4) (x-1)²+(y-2)²=100

4) Posições relativas:

I ) Posição relativa entre ponto e circunferência:

Dado um ponto P qualquer e um circunferência, podemos ter três casos:

γ P • P • •P • C • C • C γ γ P ∈γ P ∈ interior de γ P ∈ exterior de γ Exemplos:

Verifique qual é a posição do ponto P dado em relação à circunferência de equação dada: a) P (5,-1) e x² + y² - 6x – 2y + 8 = 0

b) P ( 1, -2) e x² + y² - 2x + 4y – 3 = 0 c) P (1, -3) e x² + y² -2x + 4y – 3 = 0

Conclusão:

- Se d(CP) > r o ponto é exterior à circunferência - Se d (CP) = r o ponto pertence à circunferência - Se d(CP) < r o ponto é interior à circunferência.

Ainda com relação a posição entre ponto e circunferência, podemos observar algumas inequações e gráficos .

(5)

Considere a equação da circunferência de centro (2,3) e raio

2

. a) Se ( x-2)² + (y-3)² < 2, teremos pontos dentro da circunferência.

b) Se ( x-2)² + (y-3)² ≤ 2, teremos pontos dentro e sobre a circunferência.

c) Se ( x-2)² + (y-3)² = 2, teremos pontos sobre a circunferência.

d) Se ( x-2)² + (y-3)² > 2, teremos pontos fora da circunferência.

(6)

Exercícios:

1) Determine a posição de P em relação a γ nos casos: a) P (4,4) e γ : (x-3)² + (y-2)² - 4 = 0

b) P (3,1) e γ : x² + y² -4x – 2y + 4 = 0 c) P (5,3) e γ: x² + y² - 8x = 0

2) Determine k para que o ponto P(3,k) pertença ao interior da circunferência de equação x² + y² - 4x = 0.

3) Determine k para que a equação x² + y² - 2x + 4y + k = 0 represente uma circunferência. 4) Idem para x² + y² - 4x – 3y + m = 0.

5) Faça o gráfico que represente as relações abaixo:

a) x² + y² < 1 b) x² + y² > 4 c) 1 ≤ x² + y² ≤ 4

6) Represente graficamente as soluções do sistema:







<

+

≤

+

2 y

x

4 y

x

2 2 Respostas:

1) a) exterior b) pertence à circunferência c) interior 2) − 3<k< 3

3) k < 5 4) m < 25/4

II ) Posição relativa entre reta e circunferência:

Uma reta t e uma circunferência γ do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições relativas:

Secante Tangente Exterior

P P t t d Q d d • C t C • • C d < r e t ∩∩∩∩ γγγγ = { P, Q} d = r e t ∩∩∩∩ γγγγ = { P} d > r e t ∩∩∩∩ γγγγ = ∅∅∅∅

(7)

Dada a equação de t, ax + by + c = 0, o centro e o raio de γ, C ( xc, yc ) e r, podemos estabelecer a

posição relativa calculando a distância d entre o centro e a reta:

b

a

c

by

ax

d

2 2 c c

+

=

Comparando d com r, temos:

d < r ⇔⇔⇔ t e ⇔ γγγγ são secantes d = r ⇔⇔⇔ t e ⇔ γγγγ são tangentes d > r ⇔⇔⇔ t e ⇔ γγγγ são exteriores

Exemplos:

1) Considere a reta t: x + y – 4 = 0 e a circunferência γ: x² + y² = 16 e verifique a posição relativa entre t e γ.

Solução: 1º modo: centro e raio de γ: C ( 0, 0) e r = 4

Distância entre C e t:

2

4

1

1 )

4 (

0

0 d

2 2

+

=

−

+

=

Como

2

2 <

4

, temos d < r e concluímos que t e γ são secantes. 2º modo: vamos resolver o sistema das equações de t e γ :

S =







=

+

=

−

+

16 y

x

0

4 y

x

2 2

Teremos duas soluções: x = 0 ou 4.

Para x = 0 teremos y = 4 enquanto que para x = 4 termos y = 0. Logo, os pontos de intersecção são (4,0) e (0,4).

Ou seja, há dois pontos de intersecção, logo a reta e a circunferência são secantes.

III ) Posição relativa entre duas circunferências:

Duas circunferências γ1 e γ2 do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições relativas:

(8)

c) SECANTES d) UMA NO INTERIOR DA OUTRA

e) TANGENTES INTERIORMENTE f) CONCÊNTRICAS

Exemplo:

1) Verifique a posição relativa das circunferências: γ1 = ( x – 1 )² + ( y – 2 ) ² = 5

γ2 = ( x – 3 )² + ( y – 3 )² = 10

Exercícios

1) Determine a posição relativa entre a reta x + y – 3 = 0 e a circunferência x² + y² -2x –2y –3 = 0. 2) Idem para x + y = -3 e x² + y² - 4x –2y –13 = 0.

3) Idem para x = y + 1 e x² + y² - 2x + 2y – 3 = 0

4) Determine o valor de m para que o ponto P (-1,3) pertença a circunferência x²+y²-2x+3y + m = 0. 5) Quais os pontos de intersecção entre a reta x+y+15=0 e a circunferência x² + y² - 4x -10y - 35=0.

(9)

6) Calcule o comprimento da corda que a reta x + y - 3 = 0 determina na circunferência de equação (x+2)² + (y-1)² = 10.

7) Quais são os valores de k para que a reta t, de equação 4x + 3y + k = 0 e a circunferência de equação x² + y² - 12x + 6y + 9 = 0 sejam secantes?

8) Verifique a posição entre as circunferências: a) α: ( x-1)² + y² = 1 β: ( x-1)² + (y-4)² = 1 b) α: ( x-1)² + y² = 1 β: ( x-2)² + y² = 4 c) α: ( x-2)² + (y-2)² = 4 β: x² + y² = 25 d) α: ( x-4)² + y² = 4 β: ( x-2)² + y² = 1

9) As circunferências de equações x² + y² + 2x – 4y = 0 e x² + y² - x – y = 0 cortam-se nos pontos A e B. Obtenha a equação da reta AB.

Respostas: 1) secantes 2) tangentes 3) secantes 4) m = -21 5) ∅ 6)

2

7) k > -45 e k < 15

8) a) exteriores b) tangentes internamente

c) interiores não concêntricas d) secantes 9) x – y = 0

(10)

ELIPSE

Algumas aplicações das cônicas são:

• As órbitas dos planetas têm a forma de elipse;

• A hipérbole é utilizada no estudo descritivo da expansão de gases em motores a explosão;

• A parábola é a curva que descreve a trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar. Aparece ainda na construção de espelhos parabólicos, utilizados em faróis de automóveis, e de antenas parabólicas.

Neste capítulo, vamos estudar a elipse.

Uma maneira prática de desenhar a elipse é a seguinte: espetamos um alfinete em cada foco e amarramos neles as pontas de um pedaço de linha com comprimento 2a . Deslizando a ponta do lápis pela linha, de modo a mantê-la sempre bem esticada, faremos o desenho de uma elipse.

1) Definição:

A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano os quais a soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano, F1 e F2 é uma constante 2a (maior que a distância

F

1

F

2 ).

P •

F1• • F2

Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: d(P,F1 ) + d(P,F2 ) = 2a

ou

|PF1 | + | PF2 | = 2 a

dá-se o nome de ELIPSE.

(11)

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 2) Elementos da elipse: B2 • a a b A1 F1• c c • F2 A2 a a b B1

• F1 e F2 são ditos FOCOS;

• d( F1 , F2 ) = distância focal;

• C = centro

• A1 , A2 , B1 e B2 = vértices

• | A1 A2 | = 2 a ( eixo maior)

• | B1 B2 | = 2 b ( eixo menor)

• a = semi eixo maior

• b = semi eixo menor

Em toda a elipse vale a relação: a² = b² + c²

Excentricidade: e =

a

c

( 0 < e < 1 )

3) Equação da Elipse de centro na origem do sistema:

1º CASO: o eixo maior está sobre o eixo dos x.

B2 P ( x,y)

A1 F1(-c,0) F2(c,0) A2

b B1 a

Usando a definição, temos: d(P,F1 ) + d(P,F2 ) = 2a ou, em coordenadas:

2a

y

c)

(x

y

c)

(x

+

y

c)

(x

+

=

+

−

+

e elevando ao quadrado, temos:

Dividindo por a² ( a² - c²) fica

1 c

a

y

a

x

2 2 2 2 2

=

−

+

Como já sabemos que a² = b² + c², podemos escrever a² - c² = b² Logo, substituindo esta relação teremos:

1 b

y

a

x

2 2 2 2

=

+

que é a equação reduzida da elipse.

2º CASO: o eixo maior está sobre o eixo dos y. b A2 (0,c) a •F2 B1 0 B2 •F1 (0,-c) A1

Com um procedimento análogo ao 1º caso, obteremos a equação reduzida

1 a

y

b

x

2 2 2 2

=

+

(13)

Observação:

Tendo em vista que a² = b² + c², segue que a² > b² e daí a > b

Então, sempre o maior dos elementos na equação reduzida representa o número a², onde “a” é a

medida do semi-eixo maior.

Exemplos: 1) Dadas as elipses 3 a) b) 2 -2 2 -3 3 -3 -2

+

2) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizontal sendo 10 cm e a distância focal 6 cm.

Solução:

Se o eixo maior = 10, temos que 2a = 10 logo, a = 5. E se a distância focal = 6, temos que 2c = 6, logo, c = 3 Assim, a equação fica:

1 b

y

a

x

2 2 2 2

=

+

com a= 5, c = 3 e b = ???? Como achar b?

Da relação a² = b² + c² temos que b = 4 Logo, a equação da elipse fica

1

16 y

25 x

ou

1

4 y

5 x

2 2 2 2 2 2

=

+

=

+

3) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos, a excentricidade e o gráfico da elipse de equação x² + 4y ² = 16.

(14)

4) Idem para a equação 9x² + 25 y² = 225.

5) Idem para a equação 4x² + y² = 16

6) Idem para a equação x² + y² - 9 = 0

7) Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto ( 3,0) e a medida do eixo maior é 8. Determine sua equação.

A excentricidade

A excentricidade de uma elipse de eixo maior 2a e distância 2c é o número tal que e =

a

c

.

Imaginemos uma seqüência de elipses, todas com mesmo eixo maior, porém com distância focais cada vez menores: a a a • c1 • • c2 • • c3 • F1 F2 F1 F2 F1 F2 e1 =

a

c

1 e2 =

a

c

2 e3 =

a

c

3

Conforme os focos vão se aproximando, a excentricidade da elipse vai diminuindo ( e1 > e2 > e3 ). Veja

(15)

Como curiosidade, saiba que tanto a trajetória da Terra em torno do Sol, como a da Lua em torno da Terra, são elipses, porém muito próximas de circunferências, pois têm excentricidade próximas de zero: a primeira tem excentricidade e = 0,016, enquanto a segunda tem excentricidade e = 0,054.

4) Equação da Elipse com centro fora da origem do sistema:

1º CASO: o eixo maior é paralelo ao eixo dos x.

Considere a elipse de centro C ( xc , yc ) e seja P (x, y) um ponto qualquer da mesma.

• P (x,y) F1 F2

yc A1 • • A2

C

xc

A equação de uma elipse de centro C (0,0) e eixo maior sobre o eixo dos x dada por ₁

b y a x 2 2 2 2 = + passa agora, quando o eixo maior for paralelo ao eixo dos x e o centro for C( xc , yc ), para equação

1 b

)

y

-(y

a

)

x

-(x

2 2 c 2 2 c

+

=

2º CASO: o eixo maior é paralelos ao eixo dos y. A2 •F2 yc C •F1 A1 xc

De forma análoga, temos:

1 a

)

y

-(y

b

)

x

-(x

2 2 c 2 2 c

+

=

(16)

Exemplo:

1) Determine a equação da elipse de centro C(2,-1) e tangente aos eixos coordenados, sendo os eixos de simetria paralelos aos eixos x e y.

2) Determine o centro, os focos, o eixo maior e o eixo menor da elipse 4x² + 9y² - 16x – 18y – 11 = 0. Exercícios:

1) Dê a equação e a excentricidade da elipse nos casos seguintes: a) O eixo menor mede 8 e os focos são F1 (-6,0) e F2 (6,0).

b) Um foco é F1 (0,4), o centro dela é C(0,0), ela passa em P(2,0).

c) O eixo maior mede 14 e os focos são F1 (0,-5) e F2 (0,5).

2) Determine o centro, os focos, o eixo maior e o eixo menor da elipse em cada caso: a) 25x² + 16y² + 50x + 64y – 311 = 0

b) 4x² + 9y² - 24x + 18y + 9 = 0 c) 16x² + y² + 64x – 4y + 52 = 0 d) 4x² + 9y² - 8x – 36y + 4 = 0

3) Determine a equação da elipse em cada caso: a) eixo maior = 10, focos (-4,0) e (4,0)

b) centro ( 0,0), um foco em F1 =( ¾ , 0) e um vértice em A1 = (1,0)

c) eixo menor = 4, Centro (0,0) e um foco em F1 = (0,− 5).

d) Centro C(2,4), um foco F(5,4) e excentricidade ¾. e) Eixo maior mede 10 e focos em F1 (2,-1) e F2 = (2,5).

4) Determine o centro, os vértices A1 e A2 , os focos F1 e F2 , e a excentricidade das elipses dadas:

a)

1

9 3)

(y

16 2)

(x

2 2

=

+

−

b)

1

100 y

36 x

2 2

=

+

c) 9x² + 25y² - 25 = 0 d) 9x² + 5y² = 45 Respostas: 1) a) 1 16 y 52 x2 ₊ 2 ₌ , e ≅ 0,83 b)

1

20 y

4 x

2

₊

2

₌

, e ≅ 0,89 c)

1

49 y

24 x

2 2

=

+

, e ≅ 0,71

2) a) C(-1,-2) , F1 (-1,1) e F2 (-1,-5), eixo maior = 10, eixo menor = 8

b) C(3,-1), F1 (

3 +

5 ,

−

1

) e F2 (

3 −

5 ,

−

1

), eixo maior = 6, eixo menor = 4

c) C(-2,2), F1 (

−

2 ,

2 +

15

) e F2 (

−

2 ,

2 −

15

d) C(1,2), F1 (

1 −

5 ,

2

) e F2 (

1 +

5 ,

2

3) a) 9x² + 25y² = 225 b) 7x² + 16y² = 7 c) 9x² + 4y² - 36 = 0 d) 7x² + 16y² - 28x – 128y + 172 = 0 e) 25x² + 16y² - 100x – 64y – 236 = 0 4) a) C(2,-3), A1 (-2,-3), A2 (6, -3), F( 2±

7

, -3), e =

4

7

(17)

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria b) C(0,0), A(0, ± 10), F ( 0, ±8) , e = 5 4 c) C(0,0), A (± 3 5 , 0 ) , F (± 3 4 , 0) , e = 5 4 d) C(0,0), A ( 0, ± 3) , F ( 0, ± 2) , e = 3 2

(18)

HIPÉRBOLE 1) Definição:

Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância d (F1, F2 ) = 2c.

Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que:

| d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a ou | PF1| - | PF2 | = 2a

dá-se o nome de hipérbole.

• P

• •

F1 F2

Na verdade, | d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a significa que d (P, F1) - d (P, F2) = ±±±± 2 a

Quando P estiver no ramo da direita, a diferença é + 2a e, em caso contrário, será – 2a . P3 • P1 F1 A1 A2 F2 C P4 • P2 2 a 2c

A hipérbole é uma curva simétrica em relação a estas duas retas, como também em relação ao ponto C. Se P1 é um ponto da hipérbole, existem os pontos P2 , P3 e P4 tais que: P2 é o simétrico de P1 em

relação à reta horizontal, P3 é o simétrico de P1 em relação à reta vertical, P4 é o simétrico de P1 em

relação à origem.

Ainda pela simetria, conclui-se que d (A1 , F1) = d (A2 , F2)

(19)

e da própria definição vem d (A1 , A2) = 2a 2) Elementos: B1 c b F1 A1 a A2 F2 B2 2 a 2c Focos: F1 e F2

Distância focal: 2 c entre os focos Centro: ponto médio do segmento F1F2

Vértices: A1 e A2

Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a

Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b

O valor de b é definido através da relação:

c² = a² + b²

onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo retângulo no desenho.

Excentricidade: e =

a

c

com c > a e e > 1 .

3) Equação da hipérbole com centro C ( 0,0) na origem do sistema:

1º CASO: eixo real sobre o eixo dos x: | d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a 2a | 0) (y c) (x 0) (y c) -(x | 2+ − 2 − − 2+ − 2 =

Com o mesmo procedimento da equação da elipse, chegamos a equação:

1 b

y

a

x

2 2 2 2

=

−

que é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo dos x.

(20)

1 b

x

a

y

2 2 2 2

=

−

que é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo dos y.

Exemplos:

1) A hipérbole da figura a seguir tem equação reduzida ...

2 -3 3 -2

1

2 y

3 x

2 2 2 2

=

−

ou

1

4 y

9 x

2

₋

2

₌

2) No exemplo anterior, determine os vértices A1 e A2 e os focos F1 e F2 .

Basta fazermos y = 0, encontrando na equação

1 ou x

3.

1º CASO: eixo real sobre o eixo dos x:

1 b

)

y

-(y

a

)

x

-(x

2 2 c 2 2 c

−

=

2º CASO: eixo real sobre o eixo dos y:

1 b

)

x

-(x

a

)

y

-(y

2 2 c 2 2 c

−

=

(21)

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 5) Hipérbole Equilátera:

Os semi eixos real e imaginário são iguais: Logo, a = b

Exemplos:

Em cada caso ( 1 até 5) , determine: - a equação reduzida;

- a medida dos semi-eixos; - um esboço do gráfico; - os vértices; - os focos; - a excentricidade. 1) 9x² - 7y² - 63 = 0 Solução: 9x² - 7y² - 63 = 0 ou

1

9 y

7 x

ou

63

63 7y

63 9x

2 2 2 2

=

−

=

−

2) x² - 4y² + 16 = 0

(22)

4) 16x² - 25y² - 1600 = 0

5) x² - y² = 1 Exercícios:

6) Determine a equação de uma hipérbole de Focos (-5, 0) e (5,0) e a medida do eixo real é igual a 6.

7) Sendo dados os vértices A1 ( 5,5) e A2 (5, -1), e a excentricidade e = 2, determine a, b e c,

grafique a hipérbole e determine sua equação.

8) Ídem ao exercícios 7, sendo dados os focos F1 (3,4) e F2 (3, -2), e a excentricidade e = 2.

9) Sendo F1 ( -1,-5) e F2 (5, -5), determine a equação da hipérbole equilátera. Faça também um

esboço do gráfico.

10)Determine a equação da hipérbole de vértices A1 ( 1,-2) e A2 (5, -2), sabendo que F(6,-2) é um de

seus focos.

11)Determine o centro, um esboço do gráfico, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles de equação: a) 9x² - 4y² - 18x – 16y – 43 = 0 b) 9x² - 4y² - 54x + 8y +113 = 0 c) 4x² - y² - 32x + 4y + 24 = 0 d) x² - 4y² + 6x + 24y – 31 = 0 Respostas: 6)

1

16 y

9 x

2 2

=

−

7) a=3, b= 3

3

e c = 6,

1

27 5)

-(x

9 2)

-(y

2

₋

2

₌

8) 4x² - 12y² - 24x + 24y + 51 = 0 9) 2x² - 2y² - 8x – 20y – 51 = 0 10)5x² - 4y² - 30x - 16y + 9 = 0 11)a)C(1,-2) , A1 (-1,-2), A2 (3, -2) , F ( 1

±

13

, -2) , e =

13 ₂

b) C(3,1) , A1 (3,-2), A2 (3, 4) , F (3, 1

±

(23)

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria PARÁBOLA:

Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d.

Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes de F e d.

F• F• = _ _ = • P • = _ _ = V d A P’ Elementos:

F = ponto fixo ( FOCO) d = diretriz ( reta)

eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo. Por definição, temos que

d(PF) = d(PP’)

1) Equação da Parábola de Vértice na origem do sistema: 1º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos y:

• F • P 2 p 2 p x d P’

Da definição de parábola, temos que: d(PF) = d(PP’) Como, F ( 0, 2 p ) e P’( x, -2 p ) temos: | (x 0, y -2 p )| = | (x - x, y + 2 p )|

(24)

ou 2 2 2 2

)

2 p

(y

x)

(x

)

2 p

(y

0)

(x

−

+

−

=

−

+

Elevando ambos os membros ao quadrado, obteremos: (x 0)² + ( y -2p )² = ( x – x ) ² + ( y + 2p )² . ou x² + y² - py + 4 2 p _{= y² + py +} 4 2 p ou, simplesmente: x² = 2 py

Esta equação é chamada equação reduzida da parábola e constitui a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem tendo para eixo o eixo dos y.

Da análise desta equação conclui-se que, tendo em vista ser 2py sempre positivo (pois é igual a x²>0), os sinais de p e de y são sempre iguais. Consequentemente, se p > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima e , se p < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo.

Este número real p ≠ 0 é conhecido como parâmetro da parábola.

2º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos x:

y P’ • • P(x,y) A V • F( 2 p_{, 0)} _x 2 p 2 p d

Sendo P(x,y) um ponto qualquer da parábola de foco F(

2

p_{,0), obteremos de forma análoga ao 1º caso a}

equação reduzida:

(25)

Conforme o sinal de p termos: se p > 0, a parábola tem concavidade voltada para a direita e , se p < 0 a parábola tem concavidade voltada para a esquerda.

Exemplos:

1) Determine o foco e a equação da diretriz das parábolas x² = 8y e y² = -2x. Construir o gráfico:

Solução: a) x² = 8y

A equação é da forma x² = 2py, logo:

2p = 8 p = 4 2 p_{= 2} Portanto, foco : F ( 0, 2) Diretriz = y = -2 y F •2 x 0 4 diretriz -2 b) y² = -2x

A equação é da forma y² = 2px, logo: 2p = -2 p = -1 2 p₌ -2 1 Portanto, foco: F = (-2 1_{, 0)} _{d: x = ½} diretriz: x = 2 1 • ₂ F • -2 -2

3) Determine a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: a) vértice ( 0,0) e foco ( 1,0) ;

b) vértice ( 0,0) e diretriz y = 3;

c) vértice (0,0), passa pelo ponto P (-2,5) e concavidade voltada para cima. d) Vértice ( 0,0) e foco ( 0, -3) ;

(26)

3) Translação de eixos:

Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O’(h,k) arbitrário.

Usando um novo sistema x’O’y’ tal que os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Assim, podemos obter este novo sistema pela translação de eixos. y y’

• P y’ x’ O’ y x’ k x h x

Podemos observar que x = x’+ h e y = y’+ k Logo, teremos: x’= x – h e y’= y – k Estas são as fórmulas de translação.

A principal finalidade da transformação de coordenadas é modificar a forma de equações. Por exemplo, seja a parábola de equação

x’² = 4y’ no novo sistema.

Se tivermos h = 3 e k = 2, isto é, O’( 3,2) e sabendo que x’= x – h e y’ = y – k, temos x’= x – 3 e y’= y – 2

Logo, a equação da parábola em relação ao sistema xOy é: (x-3)² = 4 (y-2) ou x² - 6x + 9 = 4y – 8 ou x² - 6x – 4y + 17 = 0 Gráfico:

(27)

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 4) Equação da Parábola de Vértice fora da origem do sistema:

1º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos y:

y y’ • P y’ y O’ = V x’ k x’ x h x

Seja P(x,y) um ponto qualquer desta parábola.

Sabe-se que a equação da parábola referida ao sistema x’O’y’ é: x’² = 2py’

mas

x’= x – h e y’= y – k, logo:

( x – h )² = 2 p ( y – k )

que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y.

2º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos x:

De modo análogo ao caso anterior, teremos:

( y – k )² = 2 p ( x – h )

Observamos que se V(h,k) = (0,0) voltamos a ter o caso inicial de vértice na origem. Exemplos:

1) Determine a equação da parábola de vértice V(3,-1) sabendo que y-1=0 é a equação de sua diretriz.

Solução:

Vejamos o gráfico para facilitar

y 1 y = 1 diretriz 2 p 3 x -1 V

(28)

A equação da parábola é da forma : ( x-h)² = 2p(y-k) Mas

h=3 k= - 1 e p/2 = -2 , p = -4 substituindo na equação , vem: (x-3)² = 2 . (-4) ( y+1)

ou

x² - 6x + 9 = -8y – 8 ou melhor:

x² - 6x + 8y + 17 = 0

2) Determine a equação da parábola de vértice V(4,1) e equação de diretriz x + 4 = 0

3) Determine a equação da parábola de foco em F(1,2), sendo x=5 a equação da diretriz:

4) Determine o vértice, o foco, a equação da reta diretriz e o gráfico de cada uma das parábolas: a) x² + 4x + 8y + 12 = 0

b) y² - 12x – 12 = 0 c) y² + 2y – 16x – 31 = 0 d) x² - 2x – 20y – 39 = 0

(29)

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 5) Equação da parábola na forma explícita:

Sabemos que a equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma padrão :

(x-h)² = 2p(y-k)

Por exemplo, para V(2,-1) e p = 1/8, teríamos: (x-2)² = ¼ (y+1)

Como o objetivo é escrever a forma explícita, vamos explicitar y na equação: x² - 4x + 4 = ¼ y + ¼

ou

4x² - 16x + 16 = y + 1 de onde vem:

y = 4x² - 16x + 15

que é a forma explícita mais conhecida por nós, ou seja, está na forma: y = ax² + bx + c.

Reciprocamente, dada uma equação na forma explícita, podemos sempre conduzi-la à forma padrão. Assim, se a equação é : y= 4x² - 16x + 15 temos: 4x² - 16x = y – 15 4 ( x² - 4x ) = y – 15 Completando quadrados: 4 ( x² - 4x + 4 ) = y – 15 + 16 4(x-2)² = y + 1 ( x – 2 )² = ¼ (y+1) Logo, o vértice é V ( 2, -1) e 2p = ¼ portanto p = 1/8 .

OBS.: Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma explícita é x = ay² + by + c, correspondente a forma padrão ( y – k )² = 2p(x - h) Exemplos:

1) Determine a equação da parábola que passa pelos pontos ( 0,1), (1,0) e (3,0) conforme a figura:

1

(30)

Exercícios:

1) Em cada caso estabeleça a equação de cada uma das parábolas sabendo que: a) vértice V(0,0) e diretriz d: y = -2

b) vértice V(0,0) e foco F(0,-3) c) foco F(0,-1) e diretriz d: y – 1 = 0 d) vértice V(-2,3) e foco F(-2,1)

e) vértice V(0,0), eixo y = 0 e passa por (4,5). f) Foco F(6,4) e diretriz y = -2

g) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e a parábola, passa pelos pontos A(0,0), B(1,1) e C (3,1).

2) Em cada caso, determine o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboce o gráfico:

a) x² = -12 y b) y² = -3x c) y² + 4y + 16x – 44 = 0 d) 6y = x² - 8x + 14 e) y² - 16x + 12y + 49 = 0 Respostas: 1) a) x² = 8y b) x² = - 12y c) x² = - 4y d) x² + 4x + 8y – 20 = 0 e) 5x² - 16y = 0 f) (x-6)² = 12 (y-1) g) y =

x

3

4 x

3

1

2

+

−

2) a) V(0,0), F(0,-3) , y = 3 e x =0 b) V(0,0), F(- ¾ , 0), x = ¾ e y =0 c) V(3,-2), F(-1,-2), x=7 e y =-2 d) V(4, -1/3 ), F(4, 7/6), 6y + 11 = 0 e x-4=0 e) V( 16 13 ,-6), F( 16 77 ,-6), x = 16 51 − e y = -6

(31)

Aplique seus conhecimentos e descubra as equações das cônicas e retas das embalagens representadas em seu corte transversal longitudinal:

(32)

Unidade II - ESPAÇOS VETORIAIS

Relembrando vetores e suas operações ( Geometria Analítica): Sejam

u

r

= (x1 , y1 , z1) e

v

r

= (x2 , y2 , z2) vetores no R³ e α número real, então:

=

x

₁2

+

y

₁2

+

z

₁2 f) proj v

u

r

=

|

v

|

v

u

r

r

∈ V

(33)

M4 1 .

u

r

=

u

r

∀

u

r

∈ V

Obs.: Os elementos do Espaço Vetorial V serão chamados vetores, independentes de sua natureza.

Exemplo:

r

Outros exemplos de Espaços Vetoriais: 2) R³

3) Rn

(34)

5) Pn = { a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn } dos polinômios de grau n

6) O conjunto V = { (x, x²) / x ∈ R } com as operações de adição e multiplicação por número real definidas por: (x1 , x12 ) ⊕ (x2 , x22 ) = (x1 +x2 , x1 ² + x2 ² )

α * (x, x² ) = ( αx, αx² ) Exercícios:

1) Verifique se o conjunto R² = {(a, b) / a,b ∈ R} com as operações ( a,b) + ( c,d) = (a+c, b+d) e k ( a,b) = (ka, b) é um espaço vetorial, mostrando os axiomas.

2) Verifique se o conjunto M 2x2 =













d

c

b

a

e as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é um Espaço Vetorial .

3) Verifique se o conjunto V = { (x, x²) / x ∈ R } com as operações de adição e multiplicação por número real definidas por: (x1 , x12 ) ⊕ (x2 , x22 ) = (x1 +x2 , x1 ² + x2 ² )

α * (x, x² ) = ( αx, αx² ) é um espaço vetorial.

3. Subespaços Vetoriais

Seja V um Espaço Vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um Subespaço Vetorial de V se S é um Espaço Vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V.

Teorema:

r

∈ S .

Obs.: todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {0}, chamado subespaço zero ou nulo, e o próprio espaço vetorial V. Estes dois são os subespaços triviais. Os demais subespaços são denominados próprios.

Exemplos:

1) Sejam V = R² e S = {(x,y) ∈ R² / y = 2x} ou S = {(x, 2x) / x∈ R}, isto é, S é o conjunto de vetores do plano que tem a segunda componente igual ao dobro da primeira. Mostre que S é subespaço de V.

(35)











∈













R

d

c,

b,

a,

,

d

c

b

a

e S =













∈













R

b

a,

,

0

0 b

a

. Verifique se S é subespaço de V. Solução: Para qualquer

_











=

0

0 b

a

u

r

1 1 ∈ S e

_











=

0

0 b

a

v

v

r

∈ V da forma :

v

r

= a1

v

r

1 + a2

v

r

2 + ... + an

v







=

−

=

+

−

=

+

7 a

2a

18 4a

3a

4 2a

a

2 1 2 1 2 1

Resolvendo o sistema, temos: a1 = 2 e a2 = -3.

Logo,

v

r

= 2

v

r

1 – 3

v











=

−

=

+

−

=

+

-6

a

2a

3 4a

3a

4 2a

a

2 1 2 1 2 1

Resolvendo o sistema, não conseguimos encontrar uma solução que valha para as três equações. Logo, não tem solução, ou seja, não é possível escrever

v

r

como combinação linear de

v

r

1 e

v

(37)











=

−

=

+

−

=

+

-7

a

2a

4a

3a

v

r

n 7x² +11x – 26 = a1 (5x² -3x +2) + a2 ( -2x² +5x–8 )











=

−

=

+

−

=

−

-26

a

8 2a

11 a

5 3a

7 2a

5a

2 1 2 1 2 1

Resolvendo o sistema, encontramos a1 = 3 e a2 =4, portanto

v

r

= 3

v

r

1 + 4

v

r

2

3) Mostre que o vetor

v

r

= ( 3, 4 ) ∈ R² pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação linear de

v

r

1 = ( 1,0) ,

v

r

2 = ( 0,1) e

v

r

3 = ( 2,-1) . 5. Subespaços Gerados

Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A = {

v

r

1,

v

r

2 , ...,

v

v

n

, conclui-se que S é um subespaço vetorial de V.

Simbolicamente, o subespaço S é S = {

v

r

∈ V /

v

r

= a1

v

r

1 + a2

v

r

2 + ... + an

v

r

n , a1 , a2 , ..., an ∈ R } Observações:

(38)

1) O subespaço S diz-se GERADO pelos vetores

v

r

1,

v

r

2 , ...,

v

v

r

n são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é o

r

n ].

4) Todo conjunto A ⊂ V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V. Nesse caso, A é o conjunto gerador de V.

Exemplos:

1) Os vetores

i

=

(1,0)

r

e

j

=

(0,1)

i

r

+ y

j

r

= x ( 1,0, 0) + y ( 0,1,0) = ( x,0,0 ) + ( 0, y, 0 ) = ( x, y, 0) Assim, [

i

r

,

j

r

] = S é um subespaço próprio do R³ e representa geometricamente o plano xOy . z

k

r

j

r

y

i

r

x

(39)

Exercícios:

1) Mostre que o conjunto A = { (3,1), (5,2) } gera o R².

2) Seja V = R³. Determine o subespaço gerado pelo vetor

v

v

r

.

4) Verifique se

v

r

1 = ( 1, 1, 2 ),

v

r

2 = ( 1, 0, 1) e

v

v

r

3 = (0, 1, 1).

(40)

7) Determine se os seguintes polinômios geram P2 : p1 = 1 – x + 2x²

p2 = 3 + x

p3 = 5 – x + 4x²

p4 = -2 – 2x + 2x²

8) Seja M2x2 o espaço vetorial das matrizes de ordem 2. Encontre quatro matrizes que

geram M2x2 .

9) Sejam

v

r

1 = ( 2, 1, 0, 3 ),

v

r

2 = ( 3, -1, 5, 2) e

v

v

r

n = 0

Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução: a1 = 0 , a2 = 0, ..., an = 0,

chamada solução trivial.

O conjunto A diz-se linearmente independente ( LI ) ou os vetores

v

r

1 ,

v

r

2 , ...,

v

r

n são LI

caso a equação admita apenas a solução trivial.

Se existirem soluções ai ≠ 0, diz- se que o conjunto A é linearmente dependente ( LD) ou

que os vetores

v

r

1 ,

v

r

2 , ...,

v

r

(41)

r

3 = (0, 0, 4, -2). c) no espaço V = R³ e os vetores e1 = ( 1, 0, 0 ), e2 = ( 0, 1, 0 ) e e3 = (0, 0, 1). d) no espaço V = M2x2 e o conjunto A =

















































−

1

3

4

3 ,

0

3

2 ,

1

3

2

v

r

1 e

v

v

r

2 } são LI.

Obs.: quando tivermos espaço vetorial V = R³ devemos usar a idéia de coplanaridade vista em Geometria Analítica ou Álgebra Analítica e Linear I .

Para tanto, cabe lembrar que três vetores estão no mesmo plano ( são coplanares) se o produto misto entre eles for igual a zero. Se isto ocorrer, os vetores são LD.

7. Base de um Espaço Vetorial

Um conjunto B = { v1, v2, ..., vn } ⊂ V é uma base do espaço vetorial V se:

- B é LI; - B gera V. Ex.:

1) Seja B = { (1,1) , ( -1, 0)}. Verifique se B é base do R². Solução:

B é LI, pois a1 ( 1,1) + a2 ( -1,0) = (0,0) somente se a1 = 0 e a2 = 0.

B gera R² pois ( x, y) = a1 ( 1,1) + a2 ( -1,0) . Teremos a1 = y e a2 = y – x.

Logo, ( x, y ) = y ( 1,1) + (y-x) ( -1,0) e portanto, B gera R². Logo, B é base do R².

2) O conjunto B = { ( 1,0) , ( 0,1)} é uma base do R² pois B é LI e gera R². B é conhecida como BASE CANÔNICA DO R².

(43)

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 3) O conjunto B =





























































1

0

0 ,

0

1

0

0 ,

0

1

0 ,

0

1

é dita base canônica de M2x2.

4) O conjunto B = { 1, x, x², x³, ..., xn } é uma base do espaço vetorial dos polinômios Pn .

5) O conjunto B = { ( 1,2) , ( 2, 4)} não é uma base do R² pois B é LD.

6) O conjunto B = { ( 1,0) , ( 0, 1), ( 3,4) } não é uma base do R² pois B é LD. 7) O conjunto B = { ( 2, -1)} não é uma base do R² pois B é LI mas não gera R².

8) O conjunto B = { ( 1,2, 1) , (-1, -3, 0)} não é uma base do R³ pois B é LI mas não gera R³.

Teorema:

Se B = { v1, v2, ..., vn } for uma base de um espaço vetorial V, então todo conjunto com mais

de n vetores será linearmente dependente. Corolário:

Duas bases quaisquer de um espaço vetorial tem o mesmo número de vetores.

Ex.:

1) A base canônica do R³ tem três vetores. Logo, qualquer outra base do R³ também terá três vetores.

2) A base canônica das matrizes M 3x3 tem nove vetores. Logo, toda base de M 3x3 terá 9

vetores.

8. Dimensão

Seja V um espaço vetorial. Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e escrevemos dim V = n Ex.: 1) dim R² = 2 2) dim R³ = 3 3) dim M2x2 = 4 4) dim Mmxn = m x n 5) dim Pn = n+1 6) dim {0} = 0 Obs.:

1) Se dim S = 0, então S = {0} é a origem.

2) Se dim S = 1, então S é uma reta que passa pela origem. 3) Se dim S = 2, então S é um plano que passa pela origem.

(44)

Ex.: B = { (2,1),(-1,3)} é uma base do R² pois dim B = 2 e os vetores são LI.

em M 2x2

2) Quais dos seguintes conjuntos de vetores são base de R²? a) ( 2,1 ) e ( 3, 0)

b) ( 4,1 ) e ( 1, 3) c) ( 0,0 ) e ( 1, 3) d) ( 3,9 ) e (-4, -12)

3) Mostre que o conjunto de vetores dados é uma base de M2x2 :













6

3

6

3

,

_











0

1 -1

0

,

_











4

12 -8

0

,

_











2

1 -0

1

(45)

Exercícios – Espaços Vetoriais

1) Expresse os seguintes vetores como combinações lineares de u = ( 2 , 1 , 4 ), v =(1, -1, 3) e w = (3, 2, 5):

a) ( -9, -7, -15) b) ( 6, 11, 6 ) c) ( 0, 0, 0)

2) Expresse os seguintes polinômios como combinações lineares de p1 = 2 + x + 4 x² ,

p2 = 1 – x + 3x² e p3 = 3 + 2x + 5x² :

a) –9 – 7x – 15x² b) 0 c) 7 + 8x + 9x²

3) Verifique se são LI ou LD os seguintes conjuntos: a)

























−













−

12

9

6

3 ,

3

4

2

1

⊂ M 2x2 b) { ( 2, -1), ( 1, 3) } ⊂ R². c) { ( -1, -1, 0, 3) , ( 2, -1, 0, 0) , ( 1, 0, 0, 0) } ⊂ R4. d) { 1 + 2x – x², 2 – x + 3x² , 3 – 4x + 7x² } ⊂ P2 .

4) Determine o valor de k para que o conjunto { ( 1, 0, -1), ( 1, 1, 0) , ( k, 1, -1) } seja LI.

5) Suponha que v1 , v2 e v3 são vetores em R³ com pontos iniciais na origem. Em cada caso,

determine se os três vetores estão num mesmo plano, ou seja, se isto ocorrer, eles são LD. Faça o desenho no plano cartesiano.

a) v1 = ( 2, -2, 0), v2 = ( 6, 1, 4 ) e v3 = ( 2, 0, -4)

b) v1 = ( -6, 7, 2), v2 = ( 3, 2, 4 ) e v3 = ( 4, -1, 2)

6) Para quais valores reais de “k” os vetores v1 = ( k, - ½ , - ½ ) , v2 = ( -½ , k, -½ ) e

v3 = (-½ , -½ , k) formam um conjunto linearmente dependente em R³ ?

Respostas: 1) a) –2u + v – 2w b) 4u – 5v + w c) 0u + 0v + 0w 2) a) –2p1 + p2 – 2p3 b) 0p1 + 0p2 + 0p3 c ) 0p1 - 2 p2 + 3p3 3) a) LD b) LI c) LI d) LD 4) k ≠ 2 5) a) não b) sim 6) k = – ½ e k = 1