Os logaritmos foram apresentados por Napier e Briggs no século XVII. 0,001 é uma potência de 10 de ordem...

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Módulo 6

LOGARITMOS

1. APRESENTAÇÃO

Os logaritmos foram apresentados por Napier e Briggs no século XVII.

Inicialmente serviam apenas para simplificar cálculos, uma vez que, com logaritmos, podemos substituir multiplicações e divisões por adições e subtrações, como veremos nas propriedades.

Vamos iniciar com alguns conceitos:

(1) 100 = 102 e 1000 = 103 são potências de 10 de ordens 2 e 3. 8 = 23 e 16 = 24 são potências de 2 de ordens 3 e 4.

0,001 é uma potência de 10 de ordem ...

(2) Em muitas situações não importa saber exatamente quantas unidades.

Queremos apenas uma medida que diga quão grande é. Queremos apenas ter uma ideia da sua magnitude, da sua ordem de grandeza (101, 102, 103).

Por exemplos, quando queremos saber quantos íons hidrogênio há em uma solução para conhecer a sua acidez.

(3) Em outras situações estamos interessados em saber quão pequeno é.

Por exemplo, qual o raio de uma determinada partícula subatômica, ou de algum comprimento de onda (10-1, 10-2, 10-3).

Logaritmo decimal de um número é a ordem da sua potência de 10.

O logaritmo decimal de x é representado por log(x).

132 EXEMPLOS:

1) log(1.000.000) = 2) log(0,0001) =

Observe o diálogo entre Ana e Paula:

Ana: Quanto custa o tratamento? Paula: Não sei ao certo.

Ana: Dá só uma ideia de valor. Paula: Pode variar.

Ana: Sim, mas quantos mil reais custa, 10=101,100=102, 1.000=103? É 10x para que x? Qual a ordem de grandeza do valor?

Qual o logaritmo decimal do custo do tratamento

2. DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

Logaritmo de a na base b é o expoente que, elevando-se b, obtém-se a

EXEMPLOS: a) log 2 (8) = , pois ...

b) log 1/2 (2) = , pois ...

Obs.:

(1) O número de Euler e=2,718281 ...é um número irracional assim como o  e parece em muitos modelos matemáticos.

Logaritmo na base e é chamado de logaritmo natural ou neperiano de a e é representado por ln(a).

133 EXERCÍCIO: Calcular os logaritmos caso seja possível:

1) 𝑙𝑜𝑔1

3(√27)

2) 𝑙𝑜𝑔_√8(√2)

3) log 3 ( 1 )

Obs.: O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a ...

5) 𝑙𝑜𝑔7(7) 6) 𝑙𝑜𝑔₂(−4) 7) 𝑙𝑜𝑔2(0) 8) 𝑙𝑜𝑔₋₂(8) 9) 𝑙𝑜𝑔₀(8) 10) 𝑙𝑜𝑔₁(2)

3. CONDIÇÕES PARA QUE O LOGARITMO SEJA UM NÚMERO REAL

Com base nos exercícios, observamos que há condições para que log b (a) seja um

número real:

a tem que ser positivo

134 EXERCÍCIOS:

1) Qual o domínio da função f de variáveis reais definida por f(x) = log(-x2+1)? 2) 𝑙𝑜𝑔₋₂(4) é (a) 2 (b) -2 (c) 0 (d) 1/2

(e) não definido

4. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

Com base nas propriedades da potenciação, temos as seguintes propriedades dos logaritmos, com x e y positivos.

1) 𝑙𝑜𝑔_𝑏(𝑥 × 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔_𝑏(𝑥) + 𝑙𝑜𝑔_𝑏(𝑦) 2) 𝑙𝑜𝑔𝑏( 𝑥 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥) − 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑦) 3) 𝑙𝑜𝑔_𝑏(𝑥𝑛_{) = 𝑛 × 𝑙𝑜𝑔} 𝑏(𝑥) 4)

𝑙𝑜𝑔

_𝑏

(𝑥) =

𝑙𝑜𝑔𝑐(𝑥) 𝑙𝑜𝑔_𝑐(𝑏) Obs.: (1) 108 1012 1020

A ordem de grandeza do produto é a soma das ordens de grandeza dos fatores. (2) log(a2) = log(a×a) = log(a) + log(a) = 2log(a).

(3) log b ( a ) =

135 (4) log(6) log(2) ) 2 log( ) 6 log(   log(6) log(2) 2 6 log        EXERCÍCIOS:

1) Determinar x real em 3 log(x) - log (2x) + 1 = 0.

2) Supondo que uma calculadora informe que log(2)=0,30 e log(3)=0,47, qual a alternativa que tem o valor mais próximo de log 2 (18) ?

(a) 4 (b) 4,13 (c) 4,92 (d) 5 (e) 5,54

5. CÁLCULOS ATRAVÉS DE LOGARITMOS

As propriedades dos logaritmos são utilizadas em cálculos. Se a=b, então log(a)=log(b).

O uso desta proposição será chamado de “aplicar logaritmos”. Vamos apresentar através de um exemplo:

EXERCÍCIO:

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6. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Função logarítmica básica é toda função f: (0, + )  R definida por

f(x) = log b (x)

(b>0 e b≠1)

EXERCÍCIOS:

1) Esboçar o gráfico da função f: (0, +)R, definida por f(x)= log 2 (x).

x y 1 0 2 1 4 2 1/2 -1 1/4 -2 X

2) Esboçar o gráfico da função f: (0, +)R, definida por f(x)= log 1/2 (x).

x y 1/4 2 1/2 1 1 0 2 -1 4 -2

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7. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Com base nos exercícios anteriores, observamos que há duas possibilidades para o gráfico de uma função logarítmica básica y = log b (x):

1 1

função crescente função decrescente

b > 1 0 < b < 1

EXERCÍCIO: Esboçar o gráfico das funções a) y = |log 0,7 (x)|

y = log0,7(x) y = |log0,7(x)|

b) y = log 0,7 (|x|)

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8. ESCALAS LOGARITMICAS

As escalas logarítmicas são formadas pelas ordens de grandeza, ou seja, pelos logaritmos dos valeres.

Ordens de Grandeza: log(x)

Um aumento de 1 unidade na escala logarítmica corresponde a um aumento de 10 vezes no valor.

EXEMPLOS:

(1) Escala Richter para terremotos.

A amplitude relativa da onda sísmica a 100 km do epicentro é 102, 103, 104? É uma potência de 10 de ordem 2, 3, 4?

Estas ordens de grandezas definem uma escala logarítmica.

Se um terremoto passa de grau 2 para 3, significa que o poder de destruição foi multiplicado por 10.

(2) Medição de Intensidade do Som

A pontuação na escala em decibéis é o logaritmo da pontuação da intensidade do som. Escala Richter Decibéis 10 100 Destruição 2 1 10 100 Intensidade do Som 2 1 10 100 Valores: 2 1

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(3) Relação Estímulo/Dor

A relação estímulo dor não é linear, mas logarítmica.

Dobrando-se o estímulo, a intensidade da dor não dobra. A dor aumenta, mas não de forma proporcional. Cresce de forma desacelerada, de forma logarítmica.

9. FUNÇÃO INVERSA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Vamos obter a inversa da função definida por f(x)=log 2 (x).

f f

-1 x log 2 (x) x 2x 1 0 0 1 2 1 1 2 4 2 2 4 8 3 3 8 16 4 4 16

A inversa da função logarítmica é a função exponencial, mantendo-se a base.

EXERCÍCIO: Esboçar o gráfico da inversa da função definida por f(x) = (0,8)x.

Quando se troca a posição das colunas, obtém-se a função inversa.

10 100 Estímulo Dor

2 1

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10. INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Seja f uma função logarítmica definida por f(x) = log b (x).

De forma semelhante às funções exponenciais temos o quadro:

x1< x2 , se b > 1 (f crescente)

Se log b (x1) < log b (x2) , então

x1> x2, se 0 < b < 1 (f decrescente)

f(x1) f(x2)

Assim, “corta-se” os “log”, invertendo-se o sinal apenas se a base for menor do que 1.

EXERCÍCIO:

O conjunto solução em R da inequação: log 2/3 (x – 1) > log 2/3 (2) é

(a) (- , 3) (b) (3 , +) (c) (1 , 3) (d) (0 , 3) (e) R

141

Exercícios A

1) log(1) + log(10) + log (100) + log (106) vale (a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 9 (e) 10 2) 𝑙𝑜𝑔₂(512) + 𝑙𝑜𝑔1 2 (512) é igual a (a) -2 (b) -1 (c) 0 (d) 1 (e) 2 3) 𝑙𝑜𝑔9(√27) é igual a (a) 3 4 (b) 4 3 (c) 3 8 (d) 8 3 (e) 3 5 4) ) 𝑙𝑜𝑔0,1(1005) é igual a (a) 2 (b) 5 (c) 10 (d) -5 (e) -10 5) log⁡(1000×10−20 0,001 ) é igual a (a) -14 (b) -10 (c) -3 (d) 10 (e) 14

142 6) O real x, tal que log(𝑥 + 1) = log(𝑥) + log(2), é

(a) -2 (b) -1 (c) 0 (d) 1 (e) 2

7) O real x, tal que 2log(x) + log(x) = 2, é (a) 10

(b) √103 (c) √1003 (d) √10 (e) 10√10

8) Considerando log(2) = 0,3 e log(3) = 0,48 , o valor de x tal que 2x = 27, é (a) 3,6

(b) 4,8 (c) 5,2 (d) 5,6 (e) 6,2

9) Dentre as alternativas, a que contém o gráfico que melhor representa a função definida por 𝑦 = −𝑙𝑜𝑔₂(𝑥 + 1) é

(a) (b) (c) (d) (e) 1

143 10) Dentre as alternativas, a que contém a função que melhor se identifica com o gráfico y x (a) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(|𝑥| + 1) (b) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(|𝑥| − 1) (c) 𝑦 = |𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1)| (d) 𝑦 = |log(x)| -1 (e) 𝑦 = log(|𝑥 + 1)|) 11) 𝑙𝑜𝑔_𝑎(𝑎) + 𝑙𝑜𝑔_𝑎(𝑎2_{) + 𝑙𝑜𝑔} 1 𝑎 (𝑎3_{) vale} (a) -3 (b) -1 (c) 0 (d) 1 (e) 3 12) 𝑙𝑜𝑔₂₇−2(9−2)⁡é igual a (a) 3 2 (b) 2 3 (c) 5 3 (d) 3 5 (e) 2 5

13) log(0,0001−3_{) − log(0,01}3_{) é igual a}

(a) 18 (b) 6 (c) 0 (d) -6 (e) -18

144 14) O valor de x, tal que log(𝑥) + log(2𝑥) − log(2) − 2 = 0, é

(a) 0,01 (b) 0,1 (c) 1 (d) 5 (e) 10

15) O valor de x, tal que log(log(log(x))) = 0, é (a) 1

(b) 10 (c) 100 (d) 1000 (e) 1010

16) Considerando log(2)=0,3 e log(3)=0,48, o real x, tal que 3x = 8, é (a) 0,855

(b) 0,955 (c) 1.875 (d) 1,975 (e) 2,125

17) O conjunto dos reais x, tais que log(x2 + 8) < log(9x), é (a) (0, 1)

(b) (1, 9) (c) (8, 9) (d) (1, 8) (e) (0, 8)

18) O número de soluções reais que possui a equação log(x) + x – 2 = 0, é (a) 0

(b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

145 19) Dentre as alternativas, a que contém o gráfico que melhor representa a função definida por 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔0,7(𝑥 + 1), é

(a) (b) (c) (d) (e)

20) Dentre as alternativas, a que contém a função que melhor se identifica com o gráfico x (a) y = log(|x| + 1) (b) y = log |x + 1| (c) 𝑦 = |log(x)| +1 (d) 𝑦 = |log(x + 1)| (e) 𝑦 = log|𝑥 − 1| 1

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Exercícios B

1) Definimos cologaritmo como o oposto do logaritmo: colog(x) = - log(x). O número de soluções reais do sistema y = log(x) é

y = colog(x) (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

2) A tabela abaixo possibilita calcular aproximadamente o valor de 5

1000 . N log N 1,99 0,3 2,51 0,4 3,16 0,5 3,98 0,6 5,01 0,7

De acordo com os dados da tabela, esse valor aproximado é (a) 1,99.

(b) 2,51. (c) 3,16. (d) 3,98. (e) 5,01.

3) (UFRGS) Dez bactérias são cultivadas para uma experiência, e o número de bactérias dobra a cada 12 horas. Tomando como aproximação para log 2 o valor 0,3, decorrida exatamente uma semana, o número de bactérias está entre

(a) 104,5 e 105 (b) 105 _{e 10}5,5

(c) 105,5 e 106 (d) 106 e 106,5 (e) 106,5 e 107

4) (UFRGS) Atribuindo para log(2) o valor 0,3, então os valores de log(0,2) e log(20) são, respectivamente, (a) -0,7 e 3. (b) -0,7 e 1,3. (c) 0,3 e 1,3. (d) 0,7 e 2,3. (e) 0,7 e 3.

148 5) (UFRGS) Representando no mesmo sistema de coordenadas os gráficos das funções reais de variável real f(x)=log|x| e g(x)=x(x2-4), verificamos que o número de soluções da equação f(x)=g(x) é (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

6) (UFRGS) O número 𝑙𝑜𝑔₂7 está entre (a) 0 e 1. (b) 1 e 2. (c) 2 e 3. (d) 3 e 4. (e) 4 e 5. log a x

7) (UFPA) A expressão mais simples para a é (a) a

(b) x (c) log a x

(d) log x a

(e) ax

8) (UFRGS) A solução da equação (0,01)x _{= 50 é}

(a) −1 + log √2 (b) 1 + log √2 (c) −1 + log 2 (d) 1 + log 2 (e) 2 log 2

9) (UFRGS/2017) Se log 5 (x) = 2 e log 10 (y) = 4, então 𝑙𝑜𝑔₂₀( 𝑦 𝑥) é (a) 2. (b) 4. (c) 6. (d) 8. (e) 10.

10) (UFRGS) A soma log(2/3) + log(3/4) + log(4/5) + ... + log(19/20) é igual a (a) –log(20)

(b) –1 (c) log(2) (d) 1 (e) 2

149 11) (UFRGS/2018) Se 𝑙𝑜𝑔₃𝑥 + 𝑙𝑜𝑔₉𝑥 = 1, então o valor de x é

(a) √23 . (b) √2. (c) √33 . (d) √3. (e) √93 .

12) (UFRGS/2018) Leia o texto abaixo, sobre terremotos.

Magnitude é uma medida quantitativa do tamanho do terremoto. Ela está relacionada com a energia sísmica liberada no foco e também com a amplitude das ondas registradas pelos sismógrafos.

Para cobrir todos os tamanhos de terremotos, desde os microtremores de magnitudes negativas até os grandes terremotos com magnitudes superiores a 8.0, foi idealizada uma escala logarítmicas, sem limites.

No entretanto, a própria natureza impõe um limite superior a esta escala, já que está condicionada ao próprio limite de resistência das rochas da crosta terrestre. Magnitude e energia podem ser relacionadas pela fórmula descrita por Gutemberg e Richter em 1935: log(E) = 11,8 + 1,5M onde: E=energia liberada em Erg; M=magnitude do terremoto.

(Disponível em <http://ww.iag.usp.br/siae98/terremoto/terremotos.htm>. Aceso em: 20 set, 2017.)

Sabendo que o terremoto que atingiu o México em setembro de 2017 teve magnitude 8,2, assinale a alternativa que representa a melhor aproximação para a energia liberada por esse terremoto, em Erg,

(a) 13,3. (b) 20. (c) 24. (d) 1024. (e) 1028_.

13) (UFRGS) Definindo funções convenientes e traçando seus gráficos num mesmo sistema de coordenadas, verifica-se que o número de soluções da equação

x x x 1) 3 log(   2  é (a) 0. (b) 1 . (c) 2. (d) 3. (e) 4.

150 14) (FUVEST) A curva da figura que se segue representa o gráfico da função

y = log 10 (x), para x>0. Assim sendo, a área da região hachurada, formada pelos dois

retângulos, é: (a) log 10 (2) (b) log 10 (3) (c) log 10 (4) (d) log 10 (5) (e) log 10 (6) 0 1 2 3 4

15) (UFRGS/2019) Dadas as funções reais de variável real f e g, definidas por

f(x) = - log 2 (x) e g(x) = x2 – 4, pode-se afirmar que f(x) = g(x) é verdadeiro para um

valor de x localizado no intervalo (a) [0; 1].

(b) [1; 2]. (c) [2; 3]. (d) [3; 4]. (e) [4; 5].

16) (UFRGS) Aproximando log(2) por 0,301, verificamos que o número 1610 está entre (a) 109 _{e 10}10_.

(b) 1010 e 1011. (c) 1011 e 1012. (d) 1012 e 1013. (e) 1013 e 1014.

17) (UFRGS) Após tomar dois cálices de vinho, um motorista verificou que o índice de álcool em seu sangue era de 0,5 g/ℓ. Ele foi informado de que esse índice decresceria de acordo com a seguinte igualdade:

I (t) = k . 2 -t

(Onde k = índice constatado quando foi feita a medida; t = tempo, medido em horas, a partir do momento dessa medida.)

Sabendo-se que o limite do índice permitido pela lei seca é de 0,2 g/ℓ, para dirigir mantendo-se dentro da lei, o motorista deverá esperar, pelo menos,

(Use 0,3 para log102.)

(a) 50 min (b) 1 h

(c) 1 h 20 min (d) 1 h 30 min (e) 2 h

151 18) Atribuindo para log 2 o valor 0,3, então o valor de 1000,3 é

(a) 3. (b) 4. (c) 8. (d) 10. (e) 33.

19) (UFRGS) Se 10x _{= 20}y_{, atribuindo 0,3 para log 2, então o valor de x/y é}

(a) 0,3. (b) 0,5. (c) 0,7. (d) 1. (e) 1,3.

20) (UFRGS/2019) O valor de E = log (1

2) + log ( 2 3) + ⋯ + log⁡( 999 1000) é (a) -3. (b) -2. (c) -1. (d) 0. (e) 1.

153

Resolução dos Exercícios A

1) log(1) + log(10) + log (100) + log (106)

log(1) = 0 log(10) = 1 log(100) = 2 log(106) = 6 log(10) = 6×1 = 6 log(1) + log(10) + log (100) + log (106) = 0 + 1 + 2 + 6 = 9

2) 𝑙𝑜𝑔2(512) + 𝑙𝑜𝑔1 2 (512) 𝑙𝑜𝑔₂(512) = 𝑥 2x = 512 2x = 29 x = 9 𝑙𝑜𝑔1 2 (512) = 𝑥 (1 2) 𝑥 = 512 2-x = 29 -x = 9 x=-9 𝑙𝑜𝑔₂(512) + 𝑙𝑜𝑔1 2 (512) = 9 − 9 = 0 3) 𝑙𝑜𝑔9(√27) = 𝑙𝑜𝑔9(27 1 2) = 𝑙𝑜𝑔₉(33) 1 2 = 𝑙𝑜𝑔₉(3 3 2) =3 2𝑙𝑜𝑔9(3) 𝑙𝑜𝑔₉(3) = 𝑥 9x = 3 (32)x = 3 32x = 31 2x = 1 x=1/2 𝑙𝑜𝑔₉(√27) =3 2× 1 2= 3 4 4) 𝑙𝑜𝑔_0,1(1005_{) = 5 × 𝑙𝑜𝑔} 0,1(100) 𝑙𝑜𝑔0,1(100) = 𝑥 0,1x = 100 ( 1 10) 𝑥 _{= 100 10}-x _{= 10}2 -x = 2 x = -2 𝑙𝑜𝑔_0,1(1005_{) = 5 × 𝑙𝑜𝑔} 0,1(100) = 5 × (−2) = −10 5) log (1.000×10−20

0,001 ) = log(1.000) − 20 × log(10) − log(0,001)

log(1.000) = 3 log(10) = 1 log(0,001) = log(10-3_{) = -3×log(10) = -3}

log (1.000 × 10

−20

154 6) log(𝑥 + 1) = log(𝑥) + log(2) log(𝑥 + 1) = log(2𝑥) x + 1 = 2x

1 = x x = 1

7) 2log(x) + log(x) = 2 log(x2) + log(x) = 2 log(x2x)) = 2

𝑙𝑜𝑔10(𝑥3) = 2 102 = 𝑥3 x3 = 100 𝑥 = √1003

8) log(2) = 0,3 e log(3) = 0,48 , o valor de x tal que 2x = 27, é

2x = 27 log(2x) = log(27) x log(2) = log(27) 𝑥 =log(27)

log(2)

log(27) = log(33) = 3log(3) = 3×0,48 = 1,44 𝑥 =log(27) log(2) = 1,44 0,3 = 4,8 9) 𝑦 = −𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 1) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2(𝑥) 𝑦 = −𝑙𝑜𝑔2(𝑥) 𝑦 = −𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 1) 10)

𝑦 = log(𝑥) 𝑦 = log(𝑥 + 1) 𝑦 = log⁡(|𝑥| + 1) 1 1

155 11) 𝑙𝑜𝑔_𝑎(𝑎) + 𝑙𝑜𝑔_𝑎(𝑎2_{) + 𝑙𝑜𝑔1} 𝑎 (𝑎3_{) vale} 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎) = 1 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎2) = 2𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎) = 2 × 1 = 2 𝑙𝑜𝑔1 𝑎 (𝑎3_{) = 3𝑙𝑜𝑔1} 𝑎 (𝑎) = 3 × (−1) = −3 Obs.: 𝑙𝑜𝑔1 𝑎 (𝑎) = 𝑥 (1 𝑎) 𝑥_{= 𝑎 𝑎}−𝑥_{= 𝑎}1 _{-x = 1 x = -1} 𝑙𝑜𝑔_𝑎(𝑎) + 𝑙𝑜𝑔_𝑎(𝑎2_{) + 𝑙𝑜𝑔1} 𝑎 (𝑎3_{) = 1 + 2 − 3 = 0} 12) 𝑙𝑜𝑔₂₇−2(9−2) = 𝑥⁡ (27−2)𝑥 = 9−2 27−2𝑥 = 9−2 (33)−2𝑥 = (32)−2 ₃−6𝑥 _{= 3}−4 _{-6x = -4 𝑥 =}4 6 = 2 3

13) log(0,0001−3) − log(0,013_{) = −3 log(0,0001) − 3 log(0,01)}

−3 × (−4) − 3 × (−2) = 12 + 6 = 18

14) log(𝑥) + log(2𝑥) − log(2) − 2 = 0 Log (𝑥×2𝑥 2 ) = 2 10 2 ₌ 2𝑥2 2 100 = x 2 _{x = 10} 15) log(log(log(x))) = 0

100 = log(log(x)) 1 = log(log(x)) log(log(x)) = 1

101 _{= log(x) log(x) = 10 10}10 _{= x x = 10}10

16) 3x = 8

log(3x) = log(8) x log(3) = log(8) 𝑥 = log(8)

log(3)= 0,9

0,48= 1,875

156 17) log(x2 + 8) < log(9x),

x2 + 8 < 9x x2 – 9x + 8 < 0 Raízes: 1 e 8

x esta em (1, 8)

18) log(x) + x – 2 = 0 log(x) = - x + 2

Vamos fazer os gráficos das funções y = log(x) e y = - x + 2 e procurar os pontos de interseção.

2

Há apenas 1 ponto de interseção. Logo, há uma única solução.

19) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_0,7(𝑥 + 1) é 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_0,7(𝑥) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_0,7(𝑥 + 1) 20)

y = log(x) y = |log(x)| 𝑦 = |log(x + 1)| 1 1 8 - - - 1 2 1 1

157

RESPOSTAS

Exercícios A

Exercícios B

1) B

2) D

3) B

4) B

5) D

6) C

7) B

8) A

9) A

10) B

11) E

12) D

13) C

14) A

15) B

16) D

17) C

18) B

19) E

20) A

1) D

2) C

3) A

4) E

5) A

6) D

7) C

8) B

9) C

10) A

11) C

12) B

13) A

14) E

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18) B

19) C

20) D