Mini Curso: Simetrias e Grupos

(1)

Mini Curso:

∗

Simetrias e Grupos

Cristalogr´

aficos

†

Celso M. Doria

UFSC - Depto. de Matem´

atica

Fev/2012

Figura 1: Homem Vitruviano, quadro de Leonardo da Vinci

∗_{Escola de Ver˜}_{ao 2012- UFAM}

(2)

1 Introdu¸

c˜

ao

No plano R2, considere o produto interno euclideano < ., . >: R2× R2

→ R u = (u1, u2),

v = (v1, v2)

, ⇒ < u, v >= u1v1+ u2v2 (1)

Defini¸c˜ao 1.0.1. O espa¸_{co euclideano E}2 _´_{e o espa¸}_{co R}2 _{munido com a}

m´etrica euclideana;

E2 = (R2, < ., . >); onde para cada p ∈ E2_{, < ., . >: T}

pE2× TpE2 → E2 ´e o produto interno (1)

O produto interno permite-nos definir 1. o comprimento de um vetor_{u ∈ R}2_;

| u |=√< u, u >

2. ˆangulo _{entre vetores dois vetores u, v ∈ R}2_{; seja θ a medida do ˆ}_angulo

∠(u, v)

θ = arcos < u, v > | u || v |

(3)

p, q ∈ E2_{; seja}

Ω(p, q) = {γ : [0, 1] → E2 | γ ∈ C0_{, γ(0) = p, γ(1) = q}}

Seja γ : [a, b] → E2, γ = γ(t), uma curva diferenciável e γ0(t) o vetor tangente no instante t. O comprimento de γ é L : Ω(p, q) → R, L(γ) = Z b a | γ, _{| ds.} Defini¸cão

1. A distˆ_{ancia euclidena entre os pontos p, q ∈ E}2 _´_e

d_E2(p, q) = min

γ∈Ω(p,q)L(γ).

2. uma curva ligando p à q é umageodésica se

(4)

Proposi¸c˜_{ao 1.0.2. Sejam p e q pontos em E}2_{. A geod´}_{esica ligando p a q}

descreve uma reta. Al´em disto,

d_E2(p, q) =| q − p |. (2)

Demonstra¸c˜_{ao. Seja α : [0, 1] → E}2 uma curva ligando p = α(0) `a q = α(1). Assim,

q − p = Z 1

0

α,(t)dt.

Seja u ∈ E2 um vetor unit´ario qualquer. Desta forma, < q − p, u >= Z 1 0 < α,(t), u > dt ≤ Z 1 0 | α,_{(t) | dt} tomando u = _|q−p|q−p , ent˜ao | q − p |≤ L(α) e | q − p |≤ d_E2(p, q).

Uma aplica¸c˜_{ao f : E}2 _{→ E}2 _´_{e uma} _isometria _{se, ∀p ∈ E}2_{, ∀u, v ∈ T} pE2,

< dfp.u, dfp.v >=< u, v >

(5)

2 _{Isometrias de E}

2

2.1 Rota¸

c˜

oes

Defini¸cão 2.1.1. Uma rota¸cão de ângulo θ com centro na origem é uma transforma¸cão linear Rθ : E2 → E2 que satisfaz as seguintes propriedade:

para quaisquer θ ∈ R e u, v ∈ E2

< Rθ.u, Rθ.v >=< u, v >, det(Rθ) = 1

Decorrem da defini¸c˜ao as seguintes propriedades de uma rota¸c˜ao: 1. Rθ(0) = 0 para todo θ ∈ R.

2. Rθ.Rtθ = Rtθ.Rθ = I,

3. na base canonica β = {(1, 0), (0, 1)}, a matriz que representa Rθ ´e

[Rθ]β =

cosθ −senθ

senθ cosθ

.

• para quaisquer θ, φ ∈ R, valem as identidades

Rθ ◦ Rφ= Rθ+φ, R_θ−1= R−θ. (3)

(6)

Proposi¸c˜_{ao 2.1.2. Para todo θ ∈ R, a rota¸c˜ao R}θ ´e uma isometriade E2.

Demonstra¸c˜ao.

Rθ(x, y) = (cosθ.x + senθ.y, −senθ.x + cosθ.y).

Portanto, (dRθ)(x,y) : T(x,y)E2 → TRθ(x,y)E

2 _´_{e dada por}

(dRθ)(x,y).v = Rθ.v,

da onde

< (dRθ)(x,y).u, (dRθ)(x,y).v >=< Rθ.u, Rθ.v >=< u, v > .

2.2 Reflex˜

oes

a reflex˜ao sobre o eixo-x definida por

rx(x, y) = (x, −y)

Desta forma, rx : E2 → E2 ´e uma transforma¸c˜ao linear tal que rx2 = idE2 e

cuja matriz, em rela¸c˜ao a base canonica, ´e [rx]β = 1 0 0 −1 . para qualquer θ ∈ R, Rθrx = rxR−θ.

(7)

Seja l ⊂ E2 a reta y = tg(θ) passando pela origem. A reflexão em rela¸cão a l é a transforma¸cão linear rl : E2 → E2,

rl= Rθ◦ rx◦ R−1_θ .

Segue que

rl = Rθ.rx.R−θ = R2θ.rx. (4)

a matriz de rl na base canonica ´e

[rl]β =

cos2θ sen2θ

sen2θ −cos2θ

. (5)

Seja l uma reta passando pela origem em E2 _{. Ent˜}_ao;

1. Se p ∈ l, ent˜ao rl(p) = p.

2. r_l2 = id_E2

3. rl : E2 → E2 linear satisfaz

< rl.u, rl.v >=< u, v >, ∀u, v ∈ E2

(8)

Proposi¸c˜_{ao 2.2.1. Sejam l, r retas em E}2 _{passando pela origem que formam}

ˆ

angulos α, β com o eixo-x, respectivamente. Ent˜ao, rl◦ rs = R2(α−β), rs◦ rl= R−2(α−β).

Demonstra¸c˜ao.

rl◦ rs= Rα◦ rx◦ R−α◦ Rβ◦ rx◦ R−β = Rα◦ rx◦ Rβ−α◦ rx◦ R−β =

= Rα◦ r2x◦ Rα−β ◦ R−β = R2(α−β)

Analogamente, rs◦ rl= R−2(α−β).

Ogrupo ortogonal ´e o conjunto

O2 = {A ∈ M2(R) | A.At= At.A = I}

munido com a opera¸cão de multiplica¸cão de matrizes. Lema 2.2.2. Seja A ∈ O2. Então, há duas possibilidades;

(i) A = Rθ, A ∈ SO2 e det(A) = 1

(ii) A = Rθ◦ rx, A /∈ SO2 e det(A) = −1.

(9)

2.3 Transla¸

c˜

oes

Seja b ∈ R2_{. Uma} _transla¸c˜_ao _´_{e uma transforma¸c˜}_{ao T}

b : E2 → E2 definida

pela express˜ao

Tb(x) = x + b, b = T (0). (6)

As transla¸c˜oes satisfazem a seguintes propriedades; 1. Para todo b ∈ E2_{, T}

b : E2 → E2 ´e uma isometria.

2. Se b 6= 0 então as transforma¸cões Tb : E2 → E2 não são lineares.

3. Se b 6= 0, ent˜_{ao para todo x ∈ E}2 Tb(x) 6= x.

4. Sejam b1, b2 ∈ E2, ent˜ao

Tb1 ◦ Tb2 = Tb2 ◦ Tb1 = Tb1+b2.

5. Para todo b ∈ E2_{, T}−1

b = T−b.

6. T = {Tb | b ∈ E2}; (T , ◦) ' R2

A composi¸c˜ao de isometrias ´e uma isometria; sejam A ∈ O2 e b ∈ E2,

considere TA,b : E2 → E2 a isometria

(10)

Exemplos:

1. reflex˜ao sobre uma reta afim;

Se l = {(x, y) ∈ E2 _{| y = tg(θ)x − x}

0tg(θ)} ´e a reta com inclina¸c˜ao θ

passando pelo ponto (x0, 0), ent˜ao

rl(u) = rxR−2θ | {z } A (u) − 2x0.tg(θ) 1 + tg2_(θ)(−tg(θ), 1) | {z } b ⇒ rl = TA,b, (7)

2. Rota¸c˜ao com centro em P0 = (x0, y0); v0 = ~OP0;

RP0 θ (u) = Rθ |{z} A (u) + v0 − Rθ(v0) | {z } b ⇒ RP0 θ = TA,b. (8)

Proposi¸c˜_{ao 2.3.1. Sejam l, s retas em E}2 e rl, rs as respectivas reflex˜oes.

Ent˜ao,

1. Se l//s, ent˜ao rl ◦ rs = Tb e rs ◦ rl = T−b, onde b ∈ E2 ´e um vetor

ortogonal as retas l, s e | b |= 2dist(l, s)

2. Se l, s são concorrentes em P , então rs◦ rl = RP2θ e rl◦ rs= R−2θP são

rota¸c˜_{oes com centro em P e θ ∈ R ´e o ˆangulo formado por l e s.}

(11)

Teorema 2.3.2. Se T : E2 _{→ E}2 _´_{e uma isometria, ent˜}_ao, _{existem A ∈ O}

2 e

b ∈ E2 tais que, para todo x ∈ E2,

T (x) = Ax + b (T = TA,b)

Corol´_{ario 2.3.3. O grupo Isom(E}2_{) goza das seguintes propriedades ao}

fi-xarmos a origem em E2;

1. O grupo Isom(E2_{) ´}_{e gerado pelas reflex˜}_oes.

2. Isom(E2_{) = R}2

o O2.

Demonstra¸c˜_{ao. considere sobre R}2 _{× O}

2 o seguinte produto (semi-direto)

(a, A).(b, B) = (a + Ab, AB)

1. o produto ´e associativo,

2. o elemento neutro do produto ´e (0, I).

3. o elemento inverso de um elemento (a, A) ´e (−A−1a, A−1). R2o O2 ´e um grupo,

(12)

3 Grupos Cristalogr´

aficos 2-D

Um subgrupo G < isom(E2) age

discreto

z }| {

descontinuamente _{sobre E}2 se, para todo conjunto compacto K ⊂ E2_,

G(K) ∩ K ´e um conjunto finito de pontos.

3.1 Subgrupos Discretos de O

2

Proposi¸c˜_{ao 3.1.1. Se θ ∈ 2π(R\Q), ent˜ao G =< R}θ > ´e infinito.

Demonstra¸c˜ao. Por absurdo, suponhamos que G ´_{e finito ⇒ existe k ∈ N tq.} Rk_θ = I. Isto implica na existˆ_{encia de n ∈ N tal que}

k.θ = 2πn ⇒ θ = 2πn

k ⇒ θ ∈ 2πQ,

Consequentemente, G tem que ser infinito.

Proposi¸c˜_{ao 3.1.2. Se θ ∈ 2π(R\Q), então A órbita de qualquer elemento} x0 ∈ S1 é densa em S1.

(13)

Exemplos: Grupo Diedral Dn

1. Simetrias de um Triˆangulo Equil´_{atero D}3.

uma simetria T ´e representada pela imagem dos seus v´ertices

T = A B C T (A) T (B) T (C) . (9)

As rota¸c˜oes centradas no ponto O com ˆangulos 0, 2π₃ e 4π₃ definem as simetrias I =A B C A B C , R2π 3 = A B C B C A , R4π 3 = A B C C A B ,

As reflex˜oes sobre as bissetrizes AD, BE e CF definem as simetrias

rAD = A B C A C B , rBE = A B C C B A , rCF = A B C B A C , Figura 4: D3

As simetrias do 4ABC definem o conjunto de transforma¸c˜oes

D3 = A B C A B C ,A B C B C A ,A B C C A B ,A B C A B C ,A B C C B A ,A B C B A C

(14)

A opera¸cão de composi¸cão de transforma¸cões induz uma opera¸cão sobre o conjunto D3, conforme ilustra os exemplos abaixos;

rAD◦ R2π 3 = A B C A C B ◦A B C B C A =A B C C B A = rBE, R4π 3 ◦ R 2π 3 = A B C C A B ◦A B C B C A =A B C A B C = I,

A tabela abaixo representa o elemento (x ◦ y); x na 1a_{-coluna e y na}

1a-linha ; I R2π 3 R 4π 3 rAD rBE rCD I I R2π 3 R 4π 3 rAD rBE rCF R2π 3 R 2π 3 R 4π 3 I rCF rAD rBE R4π 3 R 4π 3 I R 2π 3 rBE rCF rAD rAD rAD rBE rCF I R2π 3 R 4π 3 rBE rBE rCF rAD R4π 3 I R 2π 3 rCF rCF rAD rBE R2π 3 R 4π 3 I Tabela 1: tabela de D3.

(15)

Figura 5: D4 Figura 6: D5

Sejam l1, l2 duas retas;

(i) o ˆangulo entre elas ´e θ,

(ii) as reflex˜es sobre elas sejam r1, r2 (respect.)

r2◦ r1 = R2θ. O grupo G =< r1, r2 > age descontinuamente se

∃ p, q ∈ N tal que θ = p qπ

Teorema 3.1.3. Se G < O2 age descontinuamente sobre E2, ent˜ao G ´e

(16)

3.2 Subgrupos Discretos de T

Uma transla¸cão é o produto de duas reflexões sobre retas paralelas.

Proposi¸c˜ao 3.2.1. Seja G < T um subgrupo agindo descontinuamente sobre E2. Ent˜ao, ocorre uma das possibilidades abaixo;

1. G ' Z e existe v ∈ E2 _{tal que G =< T} v >.

2. G ' Z ⊕ Z e existem u, v ∈ E2 tal que G =< Tu, Tv >.

Figura 7: T = Z Figura 8: T Z

(17)

3.3 _{Subgrupos de Isom(E}

2

_{) = T o O}

2

que agem

descon-tinuamente sobre E

2

G < Isom(E2) (

OG, isotropia da origem

TG, transla¸c˜oes puras

Ao fixarmos a origem em E2 _{obtemos a sequˆ}_{encia exata}

• OG ´e o subgrupo de SO2 isomorfo ao grupo de isotropia da origem,

• TG ´e o subgrupo de transla¸c˜oes puras de G.

0 −→ TG −→ G −→ OG−→ 1,

Classes de grupos discretos: • Tipo I: Se TG' Z 1. OG = {e}, 2. OG ' Zn 3. OG ' Dn • Tipo II: Se TG' Z ⊕ Z 1. OG = {e} 2. OG ' Zn 3. OG ' Dn

(18)

GRUPOS CRISTALOGR ´AFICOS

(19)

As proposi¸cões a seguir são importantes para a classifica¸cão dos grupos que agem descontinuamente sobre E2;

Proposi¸c˜ao 3.3.1. Sejam lb ⊂ E2 a reta definida pela equa¸c˜ao vetorial

r(t) = tu1+ u0, u1 é unitário e u0 = r(0). Se rl e Tv ∈ G, então existe um

vetor w tal que [Tv, rl] = T2w.

w = v− < v, u1 > u1

Corolário 3.3.2. Se < v, u1 >6= 0 (não forem ortogonais) na proposi¸cão

anterior, ent˜ao G ´e do tipo II.

Proposi¸c˜_{ao 3.3.3. Seja P ∈ E}2 um ponto qualquer e suponhamos que a rota¸c˜ao RP

θ : E2 → E2, de centro em P e ˆangulo θ, pertence a G. Se Q ´e

um ponto na órbita de P , então a rota¸cão RQ_θ _{: E}2 _{→ E}2 _{com centro em Q e}

ˆ

angulo θ tamb´em pertence a G.

Proposi¸c˜ao 3.3.4. Se RP

θ e Tv pertencem a G, então G contém a transla¸cão

Tw, onde w = v − RPθ(v).

Corol´ario 3.3.5. Se o grupo G cont´em a isometrias RP

θ (θ 6= π) e Tv, ent˜ao

G ´e um grupo do tipo II.

Proposi¸c˜ao 3.3.6. Sejam u0 = OP e v0 = OQ. Se RPθ, R Q

φ ∈ G, ent˜ao G ´e

um grupo do tipo II, pois [RP θ, R

Q

φ] : E2 → E2 é igual à transla¸cão Tw0, onde

(20)

4 Grupos Triangulares

4ABC ´e formado pelos segmentos l1 = AB, l2 = BC e l3 = CA.

v´ertices: A = l1∩ l3, B = l1∩ l2 e C = l2∩ l3

medida dos ˆangulos internos: ˆA = α, ˆB = β e ˆC = γ nota¸c˜_{ao: 4ABC} 4(α, β, γ);.

Sejam r1, r2, r3 as reflex˜oes sobre os lados l1, l2, l3, respectivamente.

Quest˜ao Sobre que condi¸c˜oes o grupo G =< r1, r2, r3 > age

descontinua-mente sobre E2 _?

Observe que

(i) os vértices do triângulo são centros de rota¸cão: RA_2α, RB_2β, RC_2γ ∈ G.

(ii) para que a a¸cão das rota¸cões seja descont´ınua os ângulos internos do triângulo devem ser da forma

π m, π n, π p m, n, p ∈ N.

(iii) A soma dos ângulos internos de um triângulo euclideano é π, ou seja, 1 m + 1 n + 1 p = 1. (11)

Proposi¸cão 4.0.7. As únicas solu¸c˜_{oes (m, n, p) ∈ N × N × N da equa¸cão} (11) são as triplas

(2, 4, 4), (2, 3, 6) e (3, 3, 3)

(21)

Uma abordagem geom´etrica

o ˆangulo interno de um pol´ıgono regular de n-lados medeπn−2_n . Para azulejar o plano com este pol´ıgono deve existir k ∈ N tal que

k. n − 2 n

= 2. as únicas solu¸cões são

(i) n = 3 (triˆangulo equil´atero) e k = 6, (ii) n = 4 (quadrado) e k = 4,

(iii) n = 6 (hex´agono) e k = 3.

Figura 11: triˆangulo equil´atero Figura 12: quadrado

Figura 13: pent´agono Figura 14: hex´agono

Ao considerarmos as retas bissetrizes obtemos uma decomposi¸cão do inte-rior do pol´ıgono em triângulos congruentes. No caso do triângulo equilátero,

(22)

o triângulo obtido é o 4(2, 3, 6); no quadrado é o triângulo 4(4, 4, 2); e no hexágono é o triângulo 4(3, 3, 3). Reciprocamente, o cada pol´ıgono poder ser constru´ıdo a partir destes triângulos.

Defini¸c˜_{ao 4.0.8. Dados (m, n, p) ∈ N × N × N, G(m, n, p) =< r}1, r2, r3 > ´e

um grupos triangular euclideano quando a tripla (m, n, p) é uma solu¸cão da equa¸cão (11).

Portanto, existem apenas trˆes grupos triangulares euclideanos G(2, 4, 4), G(2, 3, 6), G(3, 3, 3).

Todos _{os grupos que agem descontinuamente sobre E}2 _s˜_ao _subgrupos _de

al-gum destes subgrupos triangulares; isto porque s˜ao todos gerados por re-flex˜oes ou produtos delas.

1. G0 =< r1r2, r1r3, r2r3 > ´e um subgrupo de ´ındice 2 de G =< r1, r2, r3 >.

2. Considere o triˆangulo 4(2, 3, 6). Ao fixarmos a origem no v´ertice com ˆ

angulo interno π/2 obtemos a sequˆencia exata

0 −→ Z ⊕ Z −→ G −→ Z2 −→ 1.

Se a origem nos outros v´ertices teriamos uma das seguintes sequˆencias exatas;

0 −→ Z ⊕ Z −→ G −→ Z3 −→ 1

(23)

3. LEMBREM-SE ! Os comutadores [RA

2α, RB2β], [RB2β, R2γC] e [RC2γ, RA2α] s˜ao

transla¸c˜oes;

u0 = OA e v0 = OB; ent˜ao existe w0 tal que

Tw0 = [R A 2α, R B 2β] : E 2 → E2 w0 = (R2α+ R2β − R−2γ− I) (v0− u0). (12)

Seja 4(m, n, p) um triˆangulo onde m ≤ n ≤ p e _m1 + _n1 + 1_p = 1. Considere a matriz M (m, n) = R2π m + R 2π n − R2π(m+n)mn − I (13)

Usando as identidades trigonom´etricas M (m, n) = 4.sen(π

m)sen( π

n)Rπ(p−1)p

. (14)

Os comutadores [RA_2α, R_2βB], [RB_2β, RC_2γ] e [RC_2γ, RA_2α] geram as transla¸cões na dire¸cão dos vetores decorrentes dos comutadores das rota¸cões centradas nos vértices do triângulo 4(M, n, p), conforme a proposi¸cão 3.3.6. Para este fim, consideramos a tabela 2 abaixo;

m n M (m, n) 2 3 2√3.R5π 6 2 6 2.R2π 3 3 6 √3.Rπ 2 2 4 _√4 2.R3π4 4 4 2.Rπ 2 3 3 3.R2π 3 Tabela 2: R(m, n)

Também vamos fixar os seguintes elementos: Sejam A, B e C os vértices do triângulo 4(m, n, p), assim como mostra a figura ??. Consideramos os seguintes vetores

(24)

u0 = OA, v0 = OB, w0 = OC, eAB = v0− u0, eBC = w0− v0, eCA = u0− w0. 1 - 4(2, 3, 6): Sejam ν1 = 2 √ 3.R5π 6 (eAB), ν2 = 2.R 2π 3 (eAC), ν3 = √ 3.Rπ 2(eBC)

Ao aplicarmos os dados na tabela 2, segue que

[RA_π, RB2π 3 ] = Tν1, [R A π, R C π 3] = Tν2, [R B 2π 3 , RCπ 3] = Tν3. (15) Se os vértices de 4(2, 3, 6) são A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (0,√3), então ν1 = (−3, √ 3), ν2 = (3, √ 3), ν3 = −ν2. 2 - 4(2, 4, 4): Da mesma maneira, ν1 = 4 √ 2.R 3π 4 (eAB), ν2 = 4 √ 2.R 3π 4 (eAC), ν3 = 2.R π 2(eBC), da onde, [RA_π, RBπ 2] = Tν1, [R A π, R C π 2] = Tν2, [R B π 2, R C π 2] = Tν3. (16) Se os vértices de 4(2, 4, 4) são A = (1/2, 1/2), B = (0, 0) e C = (1, 0), então ν1 = (2, 0), ν2 = (0, −2), ν3 = −ν2.

(25)

3 - 4(3, 3, 3): Analogamente, ν1 = 3.R2π 3 (eAB), ν2 = 3.R 2π 3 (eAC), ν3 = 3.R 2π 3 (eBC) obtemos [RA2π 3 , RB2π 3 ] = Tν1, [R A 2π 3 , RC2π 3 ] = Tν2, [R B 2π 3 , RC2π 3 ] = Tν3. (17) Se os vértices de 4(3, 3, 3) são A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (1/2,√3/2), então ν1 = 3.(− 1 2, √ 3 2 ), ν2 = 3(− 1 2, − √ 3 2 ), ν3 = −ν2.

Segue da discuss˜ao acima que os vetores ν1, ν2, ν3 s˜ao linearmente

depen-dentes sobre Z; isto implica que o ret´ıculo gerado por um par deles independe do par escolhido.

4.1 Classifica¸

c˜

_{ao dos Subgrupos Discretos de Isom(E}

2

)

Agora, aplicaremos os resultados obtidos para classificarmos os subgrupos discretos G de Isom(E2_). _{Vamos considerar os seguintes casos: (1) G}0

quando TG = {0}, (2) GI ´e do tipo I; TG ' Z e (3) GII ´e do tipo II;

TG ' Z ⊕ Z. A cada grupo G agindo discontinuamente sobre E2 temos,

associada a G, a regi˜ao fundamental PG.

1. TG = {0}. Sejam l1 e l2 retas que formam um ˆangulo θ entre si e sejam

r1, r2 : E2 → E2 as respectivas reflex˜oes. Segue que r1r2 = R2θ;

(a) Go _{=< r}

1, r2 >=< r1, R2θ >' Dk

(b) Go _{=< r}

1r2 >=< R2θ >' Zk

(26)

2. TG = Z, G ´e do tipo I.

Todos os grupos nesta categoria tem ordem infinita. Sejam l1, l2 e l3

retas distintas tais que l1 k l2 e l1 ⊥ l3 (considere l3 como sendo o

eixo-x). Sejam ri : E2 → E2, i ∈ {1, 2, 3} as respectivas reflex˜oes. Se

l1∩ l3 = {P } e l2∩ l3 = {Q}, segue que

r1r3 = RPπ, r2r3 = RQπ, r1r2 = T2u.

A transforma¸cão M2u;3 = r3T2u é denominada reflexão por

desliza-mento. Decorre de r3(u) = u que r3T2u = T2ur3 e M2u;32 = T4u.

Consi-deramos as seguintes possibilidades; (a) GI

1 =< r1, r2 >=< r1, T2u >,

(b) GI₂ =< r1r2 >=< T2u >' Z, (age livremente)

(c) GI

3 =< r1, r2, r3 >,

Abaixo esta a tabela produto dos geradores de GI₃:

I r1 r2 r3

I I r1 r2 r3

r1 r1 I T2u RPπ

r2 r2 T−2u I R_πQ

r3 r3 RPπ RQπ I

Tabela 3: tabela dos geradores de GI 3 (d) GI 4 =< r1r2, r3 >=< T2u, r3 >; I T2u r3 I I T2u r3 T2u T2u T4u G2u;3 r3 r3 G2u;3 I

Tabela 4: tabela dos geradores de GI 4

(27)

I M2u;3

I I M2u;3

M2u;3 M2u;3 T4u

Tabela 5: tabela dos geradores de GI₅ (e) GI

5 =< r1r2r3 >=< M2u;3>.

GI₅ _{' Z e age livremente sobre E}2; (f) GI₆ =< r1r3, r2r3 >=< RPπ, RQπ >;

De acordo com a proposi¸c˜ao 3.3.6, GI

6 ´e do tipo I; [RP_π, RQ_π] = T4v0, onde v0 = P Q. I RP π RQπ I I RP π RQπ RP π RPπ I RPπ.RQπ RQ_π RQ_π RQ_π.RP_π I

Tabela 6: tabela dos geradores de GI 6 (g) GI₇ =< R_πP, Tu >; I RP π Tu I I R_πP Tu RP_π RP_π I RP_π.Tu Tu Tu Tu.RPπ T2u

Tabela 7: tabela dos geradores de GI 7

Por exaust˜ao, temos o seguinte resultado; Teorema 4.1.1. Os grupos GI

i, i = 1, . . . , 7 s˜ao, a menos de

isomor-fismos, os ´unicos grupos do tipo I. 3. TG = Z ⊕ Z, G ´e do tipo II.

(28)

(a) Grupos gerados pelas reflex˜oes sobre os lados do triˆangulo 4(2, 3, 6) (figura ??).

Sejam l1, l2, l3 os lados de 4(2, 3, 6) e r1, r2, r3 as respectivas

re-flex˜oes. Considere que os v´ertices de 4(2, 3, 6) sejam A = l1∩ l3, B = l1∩ l2, C = l2∩ l3,

cujos ˆangulos internos medem

ˆ A = ](l1, l3) = π 2, ˆ B = ](l1, l2) = π 6 ˆ C = ](l2, l3) = π 3. Desta maneira, as seguintes rota¸cões resultam da composi¸cão das reflexões r1, r2, r3; r3r1 = RπA, r1r2 = RBπ 3, r1r3 = R C 2π 3 . Como visto na equa¸cão 15,

[RA_π, RB2π 3 ] = Tν1, [R A π, R C π 3] = Tν2, [R B 2π 3 , RCπ 3] = Tν3.

Há também as reflexões por deslizamento Ki,νj = riTνj, onde 1 ≤

i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3. A seguir, vamos descrever os subgrupos do tipo II apresentando um conjunto de geradores e, em alguns casos, a tabela operacional deles.

(a.1) GII 1 =< r1, r2, r3 > (a.2) GII 2 =< RAπ, RB2π 3 , RC π 3 >; (a.3) GII 3 =< [RAπ, RB2π 3 ], [RA π, RCπ 3] >=< Tν1, Tν2 >; (a.4) GII 4 =< r1, [RAπ, RB2π 3 ] >=< r1, Tν1 >; a classe de

isomor-fismo independe da escolha da reflex˜ao ri, i = 1, 2, 3 e da

escolha da transla¸c˜ao. Observamos que o lado l1 e a dire¸c˜ao

(29)

I r1 r2 r3 I I r1 r2 r3 r1 r1 I RAπ RC2π 3 r2 r2 RAπ I RB5π 3 r3 r3 RC4π 3 RBπ 3 I

Tabela 8: tabela dos geradores de GII 1 I RA π RB2π 3 RC π 3 I I RA_π RB2π 3 RCπ 3 RA π RAπ I RAπRB2π 3 RA πRCπ₃ RB2π 3 RB2π 3 RB2π 3 RA_π RB4π 3 RB2π 3 RCπ 3 RC π 3 R C π 3 R C π 3R A π RCπ₃RB2π 3 RC π 3

Tabela 9: tabela dos geradores de GII 2 (a.5) GII₅ =< RB2π 3 , [R_πA, RB2π 3 ] >=< RB2π 3 , Tν1 >; (a.6) GII 6 =< RCπ 3, [R A π, RB2π 3 ] >=< RC π 3, Tν1 >; (a.7) GII 7 =< [RAπ, RB2π 3 ], Ki;νj >=< Tν1, Ki;νj >; (a.8) GII 8 =< RAπ, Ki;νj >; (a.9) GII 9 =< RB2π 3 , Ki;νj >; (a.10) GII 10 =< RCπ₃, Ki,νj >; (a.11) GII 11 =< Ki,νj, Kk,νl >;

a classe de isomorfismo deste grupo independe da escolha das transforma¸c˜oes de deslizamento e refle˜ao usadas, desde ambas sejam distintas.

Nos casos acima, havendo um centro de rota¸cão, a classe de iso-morfismo depende do ângulo de rota¸cão.

(30)

(b) Grupos obtidos pela reflex˜ao sobre os lados do triˆangulo 4(3, 3, 3) (figura ??).

re-flex˜oes. Consideramos

ˆ A = ](l3, l1) = π 3, ˆ B = ](l1, l2) = π 3 ˆ C = ](l2, l3) = π 3. De maneira análoga ao caso do triângulo 4((2, 3, 6), as seguintes isometrias são obtidas pela composi¸cão das reflexões r1, r2, r3;

rota¸c˜oes: r1r2 = RAπ 3, r3r2 = R B π 3, r1r3 = R C π 3. transla¸c˜oes: Tν1 = [R A π 3, R B π 3], Tν2 = [R A π 3, R C 2π 3 ].

reflex˜oes-deslizamento: Ki,νj = riTνj, i = 1, 2 e j = 1, 2.

Dentre os grupos discretos obtidos a partir do grupo triangular 4(3, 3, 3), somente os grupos abaixo acrescentam novas classes de isomorfismo a lista grupos;

(b.1) GII 12 =< RA2π 3 , RB 2π 3 , RC 2π 3 >; (b.2) GII 13 =< RA2π 3 , [RA 2π 3 , RB 2π 3 ] >=< RB 2π 3 , Tν1 >; (b.3) GII 14 =< RA2π 3 , Ki;νj >.

(c) Grupos obtidos pela reflex˜ao sobre os lados do triˆangulo 4(2, 4, 4). (figura ??)

re-flex˜oes. Considere que os ˆangulos internos medem

ˆ A = ](l1, l2) = π 2, ˆ B = ](l2, l3) = π 4 ˆ C = ](l3, l1) = π 4. Como anteriormente, temos as seguintes isometrias:

rota¸c˜oes: r1r3 = RAπ, r2r3 = RBπ 2 e r3r1 = R C π 2, transla¸c˜oes: Tν1 = [R A π, RBπ 2] e Tν2 = [R A π, RCπ 2],

(31)

Os grupos abaixo somam-se as listas dos grupos (a.1)-(a.11) e (b.1)-(b.3); (c.1) GII 15 =< RAπ, RBπ 2 , RC π 2 >; (c.2) GII₁₆ =< RBπ 2, [R A π, RBπ 2] >=< R B π 2, Tν1 >; (c.3) GII₁₇ =< RBπ 2, Ki;νj >;

Por exaust˜ao, chegamos ao seguinte resultado;

Teorema 4.1.2. Os grupos GII_i , i = 1, . . . , 17 s˜ao, a menos de isomorfismos, os ´unicos grupos do tipo II.

4.2 Superf´ıcies e Orbitais Euclideanos

Defini¸cão 4.2.1. Se G é um grupo agindo discretamente sobre a superf´ıcie X, a região fundamental associada a a¸cão de G é o conjunto fechado P ⊂ X tal que

1. X =S

g∈Gg.P,

2. int(P) ∩ g.int(P) = ∅, (int(P)=interior de P).

A a¸cão de G restrita ao bordo ∂P = P − int(P) possue pontos que pertencem a uma mesma órbita, o que induz uma rela¸cão de equivalência sobre P;

x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G tal que y = g.x.

Defini¸cão 4.2.2. Seja X uma superf´ıcie e G um grupo agindo descontinua-mente sobre X. Se a a¸cão não é livre dizemos que X/G é um orbital . Defini¸cão 4.2.3. Seja X uma superf´ıcie compacta. A caracter´ıstica de Euler de uma triangula¸cão T é

(32)

χ(X) = d.(VT − AT + FT) − n X i=1 ki.(νi − 1). χ(X) = d " VT − AT + FT − n X i=1 1 − 1 νi # = d.χ(X/G)