E FORMAÇÃO DOCENTE TEACHER EDUCATION

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Giovani Cammarota Universidade Federal de Juiz de Fora – Brasil/ Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – Rio Claro – Brasil giovani.cammarota@gmail.com Margareth Ap. Sacramento Rotondo Universidade Federal de Juiz de Fora – Brasil margarethrotondo@gmail.com

Sônia Maria Clareto Universidade Federal de Juiz de Fora – Brasil sclareto@yahoo.com.br

RESUMO

O texto problematiza a pesquisa em educação matemática, trazendo à baila banalidades em sala de aula de matemática junto a uma oficina de formação docente. Coloca para funcionar uma maquinaria de produção com elementos comumente tratados na matemática escolar, como as operações aritméticas, em especial, a potenciação. A sala de aula de matemática é problematizada enquanto espaço que organiza e partilha aquilo sobre o que o pensamento opera de direito – a saber, a representação. A pesquisa com e na sala de aula de matemática, ocupando-se com banalidades, coloca em questão (micro)políticas que a instauram, desdobrando discussões junto à formação docente de matemática.

PALAVRAS-CHAVE: processos formativos; banalidades; invenção; matemáticas.

ABSTRACT

The article puts in question the research in mathematics education, bringing to light mathematics classroom banalities operating in a teacher education workshop. A production machinery is put to work with elements commonly treated in school mathematics, such as arithmetic operations, especially potentiation. The mathematics class is put in question as a space that organizes and shares what thought operates in principle - namely, representation. The research with and in a

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mathematics classroom, dealing with banalities, questions (micro) policies that establish it, unfolding discussions with the teacher education in mathematics.

KEYWORDS: educational process; banalities; invention; mathematics

PESQUISAR SALA DE AULA

Sala de aula de matemática: objeto privilegiado de diversas pesquisas, discussões e reflexões em educação matemática. Em algumas vertentes destas pesquisas, os aspectos didático-metodológicos da matemática escolar recobrem quase a totalidade daquilo que é produzido e pesquisado. Sobre a sala de aula de matemática também incidem questões que acompanham e engendram pesquisas que dão visibilidade à discussão (macro)política que envolve a educação e a educação matemática e que extrapolam o discurso acadêmico passando a dialogar com a proposição de políticas públicas, de diretrizes curriculares, de concepções de formação docente e discente.

Junto a estas vertentes, questões atravessam uma área de saber circundando um mesmo espaço – a sala de aula de matemática – estando pré-suposto às próprias pesquisas: como tornar o ensino de matemática mais eficiente e eficaz, a fim de dar um salto no desempenho de alunos e alunas da escola básica?; de que modos produzir intervenções da educação matemática no e para além do espaço escolar, tornando-a ferramenta de constituição de uma formação cidadã?

Ao largo das questões formuladas por estas vertentes – e de tantas outras que se possa formular numa variação e composição da pesquisa em sala de aula – pulsa uma instância problematizadora que não se deixa deter e interromper pelos estratos historicamente construídos pela educação matemática: o que acontece nas (micro)relações de uma sala de aula de matemática?; que máquinas de conexão funcionam nesse espaço?

Essas instâncias tornam-se campo problemático em pesquisas de um grupo1 _que

investiga a sala de aula de matemática desde outros elementos, distintos daqueles

1Trata-se do Travessia Grupo de Pesquisa, abrigado na Faculdade de Educação da UFJF, integrado ao

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colocados pela pesquisa focada em aspectos didático-metodológicos da matemática escolar e das (macro)políticas de uma educação matemática: como políticas cognitivas operam em discursos da educação matemática com a aprendizagem escolar? (CAMMAROTA, 2013); quanto de inusitado guarda uma sala de aula de matemática? (SILVA, 2016; CLARETO; SILVA, 2016); como matemática engendra uma formação e se engendra em uma formação? (AZEVEDO, 2016; ROTONDO, CAMMAROTA, 2016); o que acontece quando banalidades são trazidas à baila na formação e na sala de aula de matemática? (OLIVEIRA, 2017; 2018).

Tais instâncias problematizadoras investem em relações micropolíticas de salas de aula de matemática colocando em jogo, na pesquisa, aquilo que é do âmbito do instituinte, do cambiante, da ordem do acontecimento contingente: implosão que libera fluxos represados pelas estratificações produzidas ao longo do tempo na pesquisa em sala de aula de matemática. É nesse ensejo que tomamos aqui, como disparadora das discussões, uma oficina com licenciandos em matemática na qual os participantes e proponentes se puseram a produzir a partir de algumas banalidades de salas de aula de matemática2 _e,

neste sentido, a banalidade é tomada como plano comum que conecta e agencia as investigações de um grupo de pesquisa.

Junto a essas questões, coloca-se ainda outra, relativa ao próprio pesquisar: como singularidades de um pesquisar ou os chamados resultados de pesquisa – nesse caso, a noção de banalidade e as singularidades banais que surgem no acontecimento sala de aula de matemática – operam para além e para aquém da investigação que as produziu, desdobrando, contaminando e invadindo outros territórios? Que novas terras se abrem como possíveis de existir? Enfim, como operar com banalidades precipita o pesquisar em

(http://dgp.cnpq.br/dgp/espelhogrupo/3722064041623822). Tem como líderes as professoras Dra. Sônia Maria Clareto e Dra. Margareth Ap. Sacramento Rotondo. Reúne pesquisadores, estudantes de pós-graduação e de pós-graduação de diferentes áreas de formação e interesse, como Pedagogia, História, Filosofia, Artes Visuais, Teatro, Artes Cênicas e Artes Performativas, Dança, Educação Matemática. Prioriza o estudo enquanto experimentação com leituras, escritas e pesquisas.

2_{As situações de sala de aula levadas para a referida oficina são tomadas em pesquisas realizadas pelo e no}

Travessia Grupo de Pesquisa, destacadamente, as dissertações de mestrado de Giovani Cammarota (2013),

Fernanda Azevedo (2016) e Aline Silva (2016); e a tese de doutorado de Marta Oliveira (2017). As investigações realizadas por Margareth Rotondo (2016) e Sônia Clareto (2016) também entram nesta composição.

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educação matemática e coloca em ação uma problematização da sala de aula de matemática e, em desdobra, da formação docente?

Sala de aula: espaço tempo de formações: de uma matemática, de um currículo, de uma formação docente, de uma vida... vidas...

UMA MATEMÁTICA: UM DENTRO, UM FORA

Em uma matemática...

Um dentro de uma matemática guarda seu modo de operar. Potência com expoente inteiro negativo: potenciação será realizada fazendo-se a potência do inverso daquela base, agora com expoente sendo o oposto aditivo do expoente anterior. Objetos e seus modos de funcionar produzindo uma interioridade de uma matemática: inverso de uma fração, potência, expoente, base, oposto aditivo. Uma ação numa matemática: potenciação. Dois elevado a menos três. Como seria fazer isso? Parte-se de dois e se chega a um meio. De menos três, a três. De potência como produto da base por ela mesma quantas vezes o expoente indicar, a uma potência com expoente inteiro negativo, não mais produto daquela base por ela mesma. Sentido postulado, de direito. Uma interioridade. Em sua universalidade, quase uma naturalidade, de direito. Uma matemática vai produzindo fronteiras para conservar uma interioridade: fazer a potência de expoente negativo solicita conservar o que já era válido para as potências de expoente natural. Conservam-se as propriedades, a consistência e a coerência de um sistema anterior: a sobrecodificação de um código reintroduz uma novidade no território do já conhecido, do já pensado, no dentro de uma matemática.

10000 1 10 1 10 25 1 5 1 5 8 1 2 1 2 4 4 2 2 3 3 = ÷ ø ö ç è æ = = ÷ ø ö ç è æ = = ÷ ø ö ç è æ =

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Numa sala de aula de matemática do sétimo ano, na lousa:

Efetue:

Alunos e alunas tomam seus cadernos. Silêncio de um fazer. Professor caminha no entre carteiras. Alunas e alunos caminham no entre da matemática.

Naquela aula de matemática, uma aluna registra:

Num fora de uma matemática uma banalidade como aquilo “que está o tempo todo demandando, o que está na superfície” (OLIVEIRA, 2018, p. 143). Um dentro ex-posto, aberto por um banal. “Banalidades, pura invenção. [...] A potência do acontecimento está na banalidade, no banal” (p. 11).

O que acontece quando a máquina que produz um dentro é aberta, exposta, expondo salas de aula, formação, matemática, bom senso e e e...? O que acontece quando o código pelo qual a máquina se põe a reproduzir um modo de funcionamento de direito é embaralhado? Que passa? Ex de exterior invandindo um dentro. Dentro atacado por estranhamentos que produzem outros modos de funcionar em outras máquinas, não mais

de direito, pois desnaturalizadas: o fora do pensamento e o fora da matemática

constituem-se um plano de acontecimento contingente que faz variar o habitual, o representável. 9996 10 23 5 5 2 4 2 3 = = = -= = = -4 2 3 10 5 2

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Pesquisar: atenção a um fora3. Um fora da máquina de direito. Escape ao bom senso e ao senso comum naturalizados, “tomados como determinação do pensamento puro” (DELEUZE, 2006, p. 194) e do pensamento reto. Um fora de um método explícito apaziguador do pensar. Modo de pesquisar em salas de aula de matemática, com suas desdobras em formação docente, abrindo máquinas ao ex da perimentação com um ex-terior.

Máquina aberta em salas de aula de matemática e em formação docente fazendo nascer outros possíveis, outros modos de compor matemáticas, de compor formações. O que acontece quando pesquisas em educação matemática exercitam o contato com a exterioridade, com o fora da formação, com o fora das salas de aula de matemática?

EX-PERIMENTAÇÕES COM FORMAÇÃO

Numa oficina4, um convite: experimentar com matemática, com processos formativos. A operação aritmética de potenciação é trazida para a oficina para ser experienciada. A sala de aula de matemática é trazida para a oficina como experimentação. Potenciação e sala de aula implicadas em uma formação. Como disparador vêm Luísa e uma banalidade, uma situação:

Luísa resolveu as potências a seguir:

3_{Operar com o pesquisar como atenção a um fora exercita o pesquisar como um passeio esquizo: “Um}

passeio esquizo, uma relação com o fora. Sem análises ou interpretações, uma invenção de sentidos com e no acontecimento. Fluxos que escorrem das formas, das metodologias, dos referenciais, das soluções de problemas e das invariâncias. Fluxos. Máquina hidráulica de uma ciência nômade. Pesquisa-maquinação. Máquina de guerra. Pesquisar em modo máquina de guerra, maquinando exterioridades, escapando ao aparelho de Estado, que trabalha para tudo normatizar e normalizar, interiorizar”. (CLARETO, ROTONDO, CAMMAROTA, 2018, no prelo).

4 _{Oficina intitulada “Experimentações com Matemática e matemáticas e Formação e formações e e e ...”}

oferecida a participantes do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) de Pedagogia, de Matemática e Interdisciplinar e outros que se interessassem, compondo-se como umas das atividades de pós-doutoramento da professora Dra. Margareth Rotondo em 2017 na UNESP/Rio Claro. A oficina teve como propositores a referida professora e o professor Ms. Giovani Cammarota, doutorando em Educação da mesma instituição. Participaram da oficina licenciandos em matemática e dois mestrandos em Educação, todos com vivência no ensino da matemática.

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Os participantes investigam a produção de Luísa, encontram a regularidade com a qual ela produz a potência de expoente negativo. Parece um tanto consensual o que acontece quando se trata de uma potência de base natural e expoente inteiro negativo. Afinal, Luísa toma a potenciação dada, porém com expoente natural e, dela, subtrai o

expoente. e e e e e ... Aquela

máquina inventa outro modo de uma ação de potenciar: potenciação. A professora, proponente da oficina, está em pé com as mãos no quadro branco colhendo os modos como os participantes vão operando as tais potências. Oficinar: ação e produção. Modo que abre outro possível5.

De tanto experimentar, outro problema se instaura: o que acontece quando uma potência é posta a funcionar, neste modo de operar, com um expoente natural? Modos se apresentam num experimentar com matemática, misturando elementos, misturando conceitos, produzindo dobras, embaralhando códigos. Num deles vem a sugestão de que se mantenha o modo de fazer da matemática escolar, uma interioridade que considera que as potências de base positiva e expoente natural expressam um produto da base por ela mesma tantas vezes quanto o expoente natural indicar. Já em outro, numa mudança de modo, numa dobra, vem que agora o expoente natural faça funcionar uma potenciação tal qual o expoente negativo o faz. E daí vem para o quadro, em produção coletiva, modos de operar com o que inventavam. Agora já um rastro de Luísa, um resto de Luísa faz produzir outros modos com potência de expoente natural. Uma banalidade, pura invenção

5“Deleuze inverte a relação habitual entre o possível e o acontecimento. O possível é o que pode acontecer,

efetiva ou logicamente. Solicita-se a não-resignação porque a situação é cheia de possibilidades e porque ainda não se tentou tudo: aposta-se, então, em uma alternativa atual. Na esteira de Bergson, Deleuze diz o contrário: quanto ao possível, você não o tem previamente, você não o tem antes de tê-lo criado. O que é possível é criar o possível. Passa-se, aqui, a um outro regime de possibilidade, que nada mais tem a ver com a disponibilidade atual de um projeto por realizar, ou com a acepção vulgar da palavra ‘utopia’ (a imagem de uma nova situação pela qual se pretende, brutalmente, substituir a atual, esperando alcançar o real a partir do imaginário: operação, sobre o real, e não do próprio real)” (ZOURABICHVILI, 2000, p. 333).

9996 10 23 5 5 2 4 2 3 = = = -5 3 2 2-3 ₌ 3_{- = 5}-2 ₌₅2 _{-2=23 10}-4 ₌₁₀4 _-4=9996

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e motor da invenção, faz acontecimento em formação. Tateiam potências. Potenciam. Potenciar: ação de inventar com potências.

Para a lousa vem a produção coletiva:

E aquilo se ex-põe, fica à espera de outra dobra, numa ex-perimentação. De um dos participantes vem: Esse modo de pensar tem um problema, né? Não um problema no

raciocínio, mas um problema matemático. Dois elevado a menos um e dois elevado a zero não podem ser iguais.

A produção de uma matemática em uma oficina ameaça ruir. Um modo de operar colocado em xeque em sua expansão, em sua generalização. Método Luísa de operar com potências funciona, é ação e produção numa certa lógica. Já para potências de base positiva e expoente natural, falha.

A proponente vai para a lousa, lança: 0! = 1 e 1! = 1, são iguais, dentro da

matemática da escola têm o mesmo valor. E, então, por que aqui não seria possível ter dois valores iguais? Por que dois elevado a menos um e dois elevado a zero não podem ser iguais?

Um modo de operar solicitando o que lhe era de direito, afinal, noutra invenção, na matemática que funciona na escola, dois cálculos distintos são aceitos com mesmo valor, afinal 0! = 1!. Experimentar com banalidade faz tornar problema aquilo que é de direito na matemática escolar. Silêncio. Como decidir o que pode ou não em um modo de produção de matemática? Com que critérios decidir? Com que critérios algo se torna de

direito?

De uma das participantes da oficina vem: Pode! Se a gente disser que pode, então

pode! Se na matemática escolar pode, por que a gente não pode?

6 2 2 2 3 1 2 2 1 0 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 5 3 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 = + = = + = = -= = -= = -= = -=

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Seria só porque a matemática escolar pode que nós podemos também? Não seria isso uma submissão àquilo que pode a própria matemática escolar? Por outro lado, poder assumir o que vale e o que não vale, o como funciona, não seria inventar com o que se apresenta num acontecimento? E ainda, num outro modo, uma banalidade de uma sala de aula não estaria agora fazendo desconfiar do que é de direito, desconfiar de um dentro de uma máquina, de sua interioridade? Não seria ele, aquilo que se apresenta como de

direito, um dos tantos possíveis em invenção? Ecos de problemas de uma oficina.

E a oficina segue, agora assumindo que dois elevado a menos um e dois elevado

a zero podem ser iguais. Naquele momento, inventava-se o como operar e o que era válido

naquele campo de representação, o que lhe era de direito.

Com a máquina de potenciação exposta em experimentação, o oficinar continua. E vem do outro proponente: Gente, e como vocês pensam que aconteceria com uma

potência de expoente não-inteiro. E se a gente tivesse um expoente decimal, por exemplo? E se fosse dois elevado a três vírgula cinco?

Algum silêncio se faz. E, de uma das participantes, vem: Ah! Nós sabemos que

dois elevado ao cubo seria oito mais três, ou seja, onze. E também sabemos que dois elevado a quatro seria dezesseis mais quatro: vinte. Então dois elevado a três vírgula cinco seria assim: de onze para vinte, a diferença é de nove. Então, a gente poderia pegar o dois elevado a três e somar a metade da diferença entre o onze e o vinte. Daí ficaríamos com onze mais quatro vírgula cinco: quinze vírgula cinco. Isso seria fazer a primeira parte do dois elevado a três vírgula cinco. Só que para a gente seguir a lógica das anteriores, precisa somar o valor do expoente no resultado. Então, quinze vírgula cinco mais três vírgula cinco daria dezenove.

E na lousa: 19 5 , 3 5 , 15 2 20 4 2 2 11 3 2 2 5 , 3 4 4 3 3 = + = = + = = + =

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Mais uma vez, fez-se silêncio. Então, como seria isso? Naquela construção, uma produção com potenciação se fazia. Operar com expoentes decimais nada tinha a ver com operar com expoentes decimais na matemática escolar.

E dois elevado a três vírgula sete, como funcionaria isso? A participante que havia

produzido o modo de fazer dois elevado a três vírgula cinco retorna em seu potenciar em experimentação: Para fazermos dois elevado a três vírgula sete é preciso calcular dois

elevado a três, onze. Dois elevado a quatro, vinte. Novamente, a diferença entre as duas potências era nove. Só que desta vez, nós queríamos zero vírgula sete da diferença, seis vírgula três. Então, dois elevado a três vírgula sete é igual a onze mais seis vírgula três mais três vírgula sete: vinte e um. E na lousa é sinalizado:

O grupo produzia-se com potenciar experimentado com formação. Até que vem de um participante: Espera aí: o dois elevado a três vírgula sete está com um resultado

maior que o dois elevado a quatro. Pode isso? Em eco, vem: Se a gente disser que pode, então pode!

Tomar posse de um fazer matemático, estranhá-lo, inventar e inventar-se com ele, fazer da formação processo com matemática inventando e inventando-se no que acontece. Um pensar com aquele de direito sendo arrastado e rasurado e dobrado por uma banalidade, por aquilo que é abandonado nas salas de aula de matemática. Um sem direito abre uma máquina, em sua interioridade, mexe em suas entranhas, no seu funcionamento silencioso, solicitando seu lugar como produção e não como representação fazendo formação produzir-se.

ENTRE BANALIDADES: SALA DE AULAS DE MATEMÁTICA E FORMAÇÃO DOCENTE

Um fora invade uma formação docente embaralhando códigos. Um de fora que é um de dentro da sala de aula de matemática: banalidades capturadas em singularidades de um pesquisar. Um pesquisar atento ao que acontece em uma sala de aula, sensível às naturalizações: daquilo que é certo, do modo correto de pensar e de operar, daquilo que é

de direito no pensamento e que molda um pensar. Naturalizações habituadas que habitam

uma sala de aula, uma matemática. O que acontece quando naturalizações são 21 7 , 3 3 , 17 23,7 _{= + =}

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problematizadas e banalidades são colocadas no centro da cena de uma formação docente de matemática?

Embaralhamento de códigos. E nele, um dentro arrombado por um fora pede passagem e torce um de direito, desapropria uma representação, uma verdade, um o modo. invenções, aprendizagem... formação. Uma matemática vai sendo inventada. Um docente vai sendo inventado. Uma educação matemática. Uma vida, um aprender.

Invenções com e em banalidades. Uma educação matemática banal, vaga, nômade...

Noutra sala de aula de matemática... Banalidade em maquinação...

5 = 11? O que pode uma banalidade? REFERÊNCIAS

AZEVEDO, Fernanda de O. matemática quaresmar formação. Dissertação de

Mestrado. Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade Federal de Juiz de Fora, 2016.

CAMMAROTA, Giovani. Fabulações e modelos ou como políticas cognitivas operam

em educação matemática. Dissertação de Mestrado. Programa de Pós-graduação em

Educação da Universidade Federal de Juiz de Fora, 2013.

CLARETO, Sônia Maria. Por uma educação matemática menor: currículo e formação de professores junto à sala de aula de matemática. Belo Horizonte: Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais, 2016. Relatório de pesquisa. CLARETO, Sônia M.; ROTONDO, Margareth A. S.; CAMMAROTA, Giovani. Pesquisar em travessias: entre modos e fluxos esquizos, educações matemáticas. In PEREIRA, Andréia M. O.; ORTIGÃO, Maria Isabel R. (editoras). Abordagens teóricas

e metodológicas utilizadas nas pesquisas em educação matemática. SBEM, 2018, no

prelo.

CLARETO, Sônia M.; SILVA, Aline A. Quanto de Inusitado Guarda uma Sala de Aula de Matemática? Aprendizagens e erro. Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), Rio Claro, UNESP, v. 30, n. 56, 2016, p. 926 – 938.

3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 = -+ = -=

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DELEUZE, Gilles. Diferença e Repetição. Rio de Janeiro: Graal, 2006.

OLIVEIRA, Marta Elaine de. Aprender enquanto travessia: entre banalidades e

formações e matemáticas e línguas e peles e escritas... uma vida. Tese de Doutorado.

Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade Federal de Juiz de Fora. 2018

OLIVEIRA, Marta Elaine de. Palavra de Ordem em Aula de Matemática: o erro e a besteira. Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), Rio Claro, UNESP, v. 31, n. 58, p. 629-641, 2017.

ROTONDO, Margareth A. Sacramento. Formação de professores que ensinam

matemática: produção do conhecimento matemático através do dispositivo-oficina e

seus efeitos no ensino e na aprendizagem da matemática na escola. Belo Horizonte: Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais Pesquisa do Estado de Minas Gerais, 2016. Relatório de pesquisa.

ROTONDO, Margareth A. Sacramento; CAMMAROTA, Giovani. Subtrair: escola-pesquisar produzindo formação. In: XII Encontro Nacional de Educação Matemática. São Paulo, 2016.

SILVA, Aline A. Aprendizagens em uma sala de aula de matemática. Dissertação de Mestrado. Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade Federal de Juiz de Fora, 2016.

ZOURABICHVILI, François. Deleuze e o possível (sobre o involuntarismo na política). In: ALLIEZ, Éric. Gilles Deleuze: uma vida filosófica. São Paulo: Editora 34, 2000. p. 333-355.