Formulação de modelo termodinâmico para previsão de liberação e absorção de gás em meios líquidos

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

Título do Projeto :

FORMULAÇÃO DE MODELO TERMODINÂMICO PARA

PREVISÃO DE LIBERAÇÃO E ABSORÇÃO DE GÁS EM

MEIOS LÍQUIDOS

Autor :

VÍTOR JOSÉ JERÔNIMO DE MORAES

Orientador :

FELIPE BASTOS DE FREITAS RACHID

VÍTOR JOSÉ JERÔNIMO DE MORAES

FORMULAÇÃO DE MODELO TERMODINÂMICO PARA

PREVISÃO DE LIBERAÇÃO E ABSORÇÃO DE GÁS EM

MEIOS LÍQUIDOS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

Orientador:

Prof. FELIPE BASTOS DE FREITAS RACHID

Niterói 2016

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO

Título do Trabalho:

FORMULAÇÃO DE MODELO TERMODINÂMICO PARA PREVISÃO DE

LIBERAÇÃO E ABSORÇÃO DE GÁS EM MEIOS LÍQUIDOS.

Parecer do Professor Orientador da Disciplina:

- Grau Final recebido pelos Relatórios de Acompanhamento:

- Grau atribuído ao aluno nos Seminários de Progresso:

Parecer do Professor Orientador:

Nome e assinatura do Prof. Orientador:

Prof.: FELIPE BASTOS DE FREITAS RACHID Assinatura:

Parecer Conclusivo da Banca Examinadora do Trabalho:

Projeto Aprovado sem restrições

Projeto Aprovado com restrições

Prazo concedido para cumprimento das exigências:

/

/

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO

(continuação)

Aluno :

Vítor José Jerônimo de Moraes

Grau :

Composição da Banca Examinadora :

Prof.: Felipe Bastos de Freitas Rachid

Assinatura :

Prof.: Maria Laura Martins Costa Assinatura :

Prof.: Daniel Rodriguez Alvarez Assinatura :

Data de Defesa do Trabalho : / / 2016

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho em especial ao meu pai Naldeir José e à minha mãe Rosana, que sempre me apoiaram para conseguir meus sonhos, e aos meus finados avós que certamente estariam muito felizes com esta conquista.

Dedico também a toda a minha família e amigos, que sempre esteve presente na minha vida e incentivaram meus estudos.

AGRADECIMENTOS

Agradeço à minha família e amigos pelo suporte e compreensão nos períodos difíceis desta caminhada.

Agradeço aos professores que tive durante a idade escolar, que contribuíram para que eu pudesse ingressar numa universidade com a Universidade Federal Fluminense e ajudaram na minha formação como pessoa e estudante, e aos professores da UFF que me deram conhecimento técnico para me tornar um Engenheiro. Agradeço também à Equipe Tuffão Baja SAE que me proporcionou uma experiência sem igual nos meus dois anos de participação.

Agradecimentos especialmente ao professor Felipe Bastos de Freitas Rachid por me orientar nos projetos de Iniciação Cientifica e no Projeto Final de Graduação.

RESUMO

Este trabalho desenvolve um modelo mecânico, com forte respaldo termodinâmico para descrever a liberação e absorção de gás em meio líquido quando submetidos a variações de pressão e deformações volumétricas. As hipóteses simplificadoras do modelo são: transformação isotérmica, mistura homogênea formada por líquido e gás inerte que coexistem em um mesmo ponto material e instante de tempo, condição de escoamento homogêneo sem deslizamento, e ausência de tensões superficiais na troca de fase. Os parâmetros do modelo são definidos para uma mistura de ar e óleo polimérico. Por fim o modelo é validado através da comparação com resultados experimentais.

ABSTRACT

The presented work presents a mechanic model, with strong thermodynamic basis for describing gas release and absorption in liquids media when the gas liquid mixture is submitted to changes of pressure and volume. The mixture is supposed to be comprised by a liquid with an inert gas dissolved in it, along with free gas dispersed throughout. The simplification assumptions are isothermal transformation, homogeneous mixture with no slip condition, and no surface stress between phases. The model parameters are determined with experimental data and then the model is validated through comparison with experimental results.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 3.1 – Vista simplificada do mecanismo de teste. ... 36

Figura 3.2 – Resultados para o teste de compressão e descompressão: a) pressão na câmara; b) pressão na câmara vs. deslocamento do pistão. ... 36

Figura 3.3 – Evolução dinâmica da fração mássica e da fração volumétrica de gás livre durante a simulação. ... 38

Figura 3.4 – Densidade de massa do experimento, do modelo dinâmico e do estático. ... 39

Figura 3.5 – Comparação do módulo de bulk do fluido do experimento, do modelo dinâmico. ... 40

Figura 4.1 – Ajuste das funções de transferência de massa para Γ e Rs... 48

Figura 4.2 – Resultados de simulação para fgl obtidos pelos diferentes modelos. ... 51

Figura 4.3 – Resultado de simulação para α obtidos pelos diferentes modelos. ... 51

Figura 4.4 – Resultados de simulação para ρ obtidos pelos diferentes modelos e o resultado experimental. ... 52

Figura 4.5 – Diferentes curvas das equações de estado para densidade de massa de gás usadas nos dois modelos. ... 53

Figura 4.6 – Diferentes curvas das equações de estado para densidade de massa do óleo usadas nos dois modelos. ... 53

Figura 4.7 – Resultado de simulação para α obtidos pelos diferentes modelos utilizando as equações (2.40) como equações de estado. ... 54

Figura 4.8 – Resultados de simulação para ρ obtidos pelos diferentes modelos utilizando as equações (2.40) como equações de estado e o resultado experimental. ... 54

Figura 4.9 – Resultados de simulação de compressão para α obtidos para o estado de equilíbrio (eq. 4.17), para Γ da eq.4.13 e para o Γ modificado da eq. 4.34 e para a pressão adimensionalizada e com escala modificada. ... 57

Figura 4.10 – Resultados de simulação de descompressão para α obtidos para o estado de equilíbrio (eq. 4.17), para Γ da eq.4.13 e para o Γ modificado da eq. 4.34 e para a pressão adimensionalizada e com escala modificada. ... 58

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1: Parâmetros de teste _____________________________________________________________ 37 Tabela 3.2: Parâmetros da simulação ________________________________________________________ 38 Tabela 4.1: Resultados do problema de minimização ____________________________________________ 48 Tabela 4.2: Constantes materiais ____________________________________________________________ 49

LISTA DE ABREVIATURAS. SIGLAS E SÍMBOLOS

ag – Velocidade de propagação de onda do gás

al – Velocidade de propagação de onda do líquido

Ap – Área do pistão do experimento

Bc – Lei de estado que relaciona a variação da energia livre de Helmholtz da mistura com a concentração de gás dissolvido

𝐵𝑐̇ – Lei de estado que relaciona a variação do pseudopotencial de dissipação com taxa de variação da concentração de gás dissolvido

Bα – Lei de estado que relaciona a variação da energia livre de Helmholtz da mistura com a fração volumétrica de gás livre

𝐵𝛼̇ – Lei de estado que relaciona a variação do pseudopotencial de dissipação com a taxa de variação da fração volumétrica de gás livre

BΓ – Lei de estado que relaciona a variação do pseudopotencial de dissipação com a taxa de transferência de gás

Bρg – Lei de estado que relaciona a variação da energia livre de Helmholtz da mistura com a densidade de massa do gás

Bρl – Lei de estado que relaciona a variação da energia livre de Helmholtz da mistura com a densidade de massa do líquido

c – Concentração de gás dissolvido

c0 – Concentração inicial de gás livre para

ce – Concentração de gás dissolvido no equilíbrio

ce0 – Concentração de gás dissolvido para situações de equilíbrio e pressão atmosférica

Cg – Calor especifico a volume constante do gás

Cl – Calor especifico a volume constante do líquido

D – Parcela simétrica do gradiente de velocidade

d – Taxa de dissipação por unidade de volume de fluido E – Módulo da mistura

E0 – Módulo de bulk do líquido

fa – Função para a liberação de gás para o modelo dinâmico

fgl – Fração mássica de gás livre

fglH – Fração mássica de gás livre prevista para o equilíbrio

fgt – Fração mássica total de gás na mistura

fr – Função para a liberação de gás para o modelo dinâmico

ga – Função para a absorção de gás para o modelo termodinâmico

gg – Energia livre de Gibbs do gás

gl – Energia livre de Gibbs do líquido

gr – Função para a liberação de gás para o modelo termodinâmico

I – Matriz identidade 3x3

K21 – Constante material associada ao aumento da fração mássica de gás livre

K22 – Constante material associada à diminuição da fração mássica de gás livre

KH – Constante de proporcionalidade da Lei de Henry para concentração de gás dissolvido

la – Erro entre as funções de absorção dos dois modelos

lr – Erro entre as funções de liberação dos dois modelos

m0 – Massa da mistura no experimento

na – Constante material associada a absorção de gás

nr – Constante material associada a liberação de gás

p – Pressão instantânea p0 – Pressão atmosférica

pe – Pressão de equilíbrio

pg – Pressão parcial do gás

pl – Pressão parcial do líquido

pv – Pressão de vapor do líquido

q – Fluxo de calor r – Geração de calor

Rs – Taxa de variação da fração mássica de gás livre

S – Constante de proporcionalidade da Lei de Henry para volumes s – Entropia por unidade de volume da mistura

S – Tensor das tensões devido ao escoamento

u – Vetor dos coeficientes para liberação de gás do modelo termodinâmico u1 – Primeiro coeficiente para liberação de gás do modelo termodinâmico

v – Vetor velocidade

V – Volume ocupado pela mistura

V0 – Volume inicial da câmara do experimento

Ve – Volume de gás dissolvido no equilíbrio

Vg – Volume ocupado pelo gás

VH – Volume da mistura previsto para o equilíbrio

Vl – Volume de líquido

w – Vetor dos coeficientes para absorção de gás do modelo termodinâmico w1 – Primeiro coeficiente para absorção de gás do modelo termodinâmico

w2 – Segundo coeficiente para absorção de gás do modelo termodinâmico

x – Posição instantânea do pistão x0 – Posição inicial do pistão

α – Fração volumétrica de gás livre

α0 – Fração volumétrica inicial de gás livre

αH – Fração volumétrica de gás livre previsto para o equilíbrio

βa – Função material da fração volumétrica de gás livre associada a absorção de gás

βa’ – Constante material associada à fração volumétrica de gás livre para a absorção de gás

βr – Função material da fração volumétrica de gás livre associada a liberação de gás

βr’ – Constante material associada à fração volumétrica de gás livre para a liberação de gás

Γ – Taxa de transferência de massa de gás θ – Temperatura absoluta da mistura

λ – Expoente politrópico para o ar (capitulo 3) λ – Viscosidade de bulk da mistura (capitulo 2) μ – Viscosidade dinâmica da mistura

ρ – Densidade de massa da mistura ρg – Densidade de massa do gasosa

ρg0 – Densidade de massa inicial do gás

ρH – Densidade de massa da mistura prevista para o equilíbrio

ρl – Densidade de massa do líquida

ρl0 – Densidade de massa inicial do líquido

𝜌_𝑙0 – Densidade de massa do líquido a pressão nula

τ – Tempo característico do processo de variação da fração mássica de gás livre Φ – Pseudopotencial de dissipação

Ψc – Energia livre de Helmholtz do gás dissolvido

Ψg – Energia livre de Helmholtz do gás livre

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 16 1.1 SITUAÇÃODOPROBLEMA16 1.2 OBJETO17 1.3 OBJETIVO18 1.4 METODOLOGIAEESTRUTURA18 2 BASE TEORICA 20

2.1 LEIDEHENRYPARAESTADOSDEEQUILÍBRIO20 2.2 EQUAÇÕESDEBALANÇO21

2.3 TEORIACONSTITUTIVA23

2.3.1 ENERGIA LIVRE DE HELMHOLTZ E LEIS DE ESTADO 23

2.3.2 PSEUDOPOTENCIAL DE DISSIPAÇÃO E LEIS DE ESTADO COMPLEMENTARES 25

2.3.3 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS 27

3 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES COM BASE EM RESULTADO

EXPERIMENTAL 32

3.1 MODELOPROPOSTOPARACAVITAÇÃOGASOSA32 3.2 EQUAÇÕESCONSTITUTIVASDOMODELO34

3.2.1 DENSIDADE 34

3.2.2 MÓDULO DE BULK 34

3.3 EXPERIMENTOEVALIDAÇÃO35

4 COMPARAÇÃO DOS MODELOS 42 4.1 COMPARAÇÃODOSMODELOS42

4.2 DETERMINAÇÃODOSCOEFICIENTES43

4.2.1 FORMULAÇÃO DOS PARÂMETROS Β 43

4.2.1.1 Formulação geral de αH 45

4.2.2 DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES MATERIAIS 46

4.3 COMPARAÇÃODOSRESULTADOSDESIMULAÇÃO49

4.3.1 MODIFICAÇÃO NO SISTEMA DE EQUAÇÕES DO MODELO TERMODINÂMICO 49

4.3.2 RESULTADOS DE SIMULAÇÃO 50

4.3.3 MÉTODOS NUMÉRICOS UTILIZADOS 55

4.3.4 APRIMORAMENTO DO MODELO TERMODINÂMICO 55

5 CONCLUSÕES 59

16

1 INTRODUÇÃO

1.1 SITUAÇÃO DO PROBLEMA

Líquidos podem absorver gás em contato com suas superfícies livres através de um processo difusivo. A quantidade de gás que um líquido pode absorver depende das características do gás, do líquido, da temperatura e da pressão sobre o líquido. Por exemplo, um recipiente cheio de líquido, aberto, em contato com o ar e em repouso tem uma certa quantidade de gás dissolvido. Caso a pressão sobre o líquido aumente ou a temperatura do líquido diminua, mais gás será absorvido pelo líquido, caso a pressão diminua ou a temperatura aumente, gás será liberado pelo líquido. Este processo é conhecido como cavitação gasosa, onde o gás é liberado da solução em forma de bolhas que migram para a superfície livre do líquido ou são transportadas pelo fluxo de fluido como gás livre. Gás também pode ser absorvido das bolhas para o líquido ou das superfícies livres para o líquido.

Cavitação gasosa acontece em escoamentos internos e externos, em regime permanente e transiente. Segundo Rachid (2013), “a curvatura do contorno de superfícies sólidas em contato com os líquidos, vórtices, turbulência e ondas de expansão transitórias são alguns exemplos típicos de fontes responsáveis pelo desencadeamento do fenômeno de liberação de gás”.

Devido a maior compressibilidade do gás em relação a do líquido, a presença de gás livre no líquido, mesmo que em pequenas quantidades, é responsável pela redução das velocidades de frente de onda e pela atenuação dos picos de pressão quando fenômenos de propagação de onda estão envolvidos. Kim (2012), Zhou et al. (2013) e Gholizadeh (2014) mostram que a presença de gás livre na mistura influencia drasticamente o módulo de bulk da mistura para situações de baixa pressão. Rachid (2013) mostra como que a presença de gás livre influencia a velocidade de propagação de onda da mistura. De acordo com Rachid (2013) “dependendo da quantidade de gás livre e dos níveis de pressão, a velocidade de onda pode atingir valores comparáveis com a velocidade de escoamento do fluido, dando origem à ocorrência de ondas de choque”.

Zhou et al. (2013) explica que “as propriedades de fluidos, em particular densidade, viscosidade e módulo de bulk do fluido, são parâmetros cruciais no estudo do comportamento de sistemas hidráulicos e na operação detalhada de seus componentes”. Um exemplo desta influência é mostrado por Lema, 2015, que estuda os efeitos da presença de gás em líquidos no golpe de aríete gerado pela abertura abrupta de válvula de controle de sistemas de injeção de combustível em satélites.

17 Os modelos que são geralmente empregados para fenômenos transientes em fluidos ou não consideram os fenômenos de absorção de gás ou usam a extensão da lei de Henry, para estados de equilíbrio termodinâmico, em situação de não equilíbrio termodinâmico. Estas abordagens não descrevem corretamente a dissipação de energia no processo, gerando resultados ruins na previsão do comportamento do fluido, como mostrado por Kim (2012), Zhou et al. (2013) e Gholizadeh (2014). Sendo assim, este trabalho tem como objetivo a elaboração de um modelo com forte respaldo termodinâmico para a previsão dos fenômenos de liberação e absorção de gases em meio líquidos, que seja capaz de retratar corretamente as mudanças causadas pela presença de gás livre no líquido.

1.2 OBJETO

O objeto de estudo deste trabalho é a cavitação gasosa, onde fenômenos de absorção e liberação de gás em líquidos acontecem, sendo que existem dois tipos de cavitação, a cavitação gasosa e a cavitação vaporosa. De acordo com Rachid (2014):

Cavitação é a formação de fase gasosa em líquidos devido a variação de pressão. Existem dois tipos de cavitação, a cavitação vaporosa e a cavitação gasosa. As duas ocorrem aproximadamente a temperatura constante. A cavitação vaporosa consiste na formação de vapor e a cavitação gasosa a liberação de gás dissolvido na fase líquida. Enquanto a cavitação vaporosa ocorre quando a pressão cai abaixo da pressão de vapor do líquido, a cavitação gasosa ocorre quando a pressão cai abaixo da pressão de saturação de gás no líquido.

Como este trabalho visa a elaboração de um modelo para os fenômenos envolvidos na cavitação gasosa a cavitação vaporosa não será considerada. Existem diversos modelos propostos para o estudo de fenômenos de cavitação, sendo que eles podem basicamente ser classificados entre dois tipos de abordagem, a abordagem para escoamento bifásico e a abordagem para escoamento homogêneo. Zhou et al. (2013) explica a diferença entre essas duas abordagens como:

A abordagem de escoamento bifásico é comumente usada em CFD e permite análises detalhadas do campo do escoamento dentro de alguns componentes hidráulicos. Nos métodos de escoamento bifásico, a fase gasosa e a fase líquida são governadas por equações de conservação de massa e momento de forma separadas, com uma notável troca de massa e energia na interface entre fases. Na abordagem monofásica, o pressuposto de mistura homogênea de fluido simplifica o modelo. De fato, modelos contínuos são geralmente aceitáveis para abordagens de parâmetros concentrados, que são comumente usados para estudos de características gerais de maquinas e componentes hidráulicos.

18 Por motivos de simplificação, a hipótese de escoamento homogêneo será assumida neste trabalho. Sendo que a hipótese de escoamento homogêneo são é hipótese consistente quando a fração mássica de gás dissolvido é pequena. Esta hipótese não é válida para escoamentos onde a fase gasosa é predominante. Com isso, o modelo proposto fica definido como a cavitação gasosa em escoamentos considerados como homogêneos, onde o fluido é considerado como uma mistura contínua formada por um líquido e por um gás inerte que coexistem em um mesmo ponto material e instante de tempo, sendo que o gás pode ser encontrado em duas formas: gás livre presente na fase gasosa, e gás dissolvido presente na fase líquida. Além disso, é assumido hipótese de escoamento isotérmico e sem resistência superficial para a troca de gás entre as fases (tensão superficial). Deste modo, o problema considera três equações de balaço de massa, uma para cada constituinte, apenas uma equação de balanço de momento e uma segunda lei da termodinâmica para a mistura como um todo. As três equações para o balaço de massa são dadas pela conservação de massa de líquido, e pelas equações de balanço de massa de gás nas duas fases.

O objetivo de estudo deste trabalho é a elaboração e a validação de uma equação para a taxa de troca de massa de gás entre a fase líquida e a fase gasosa, que retrate a irreversibilidade e a dissipação de energia do processo, baseada na termodinâmica dos processos irreversíveis.

1.3 OBJETIVO

Para elaborar as equações para taxa de transferência de massa de gás dentro do contexto da termodinâmica dos processos irreversíveis, dois potenciais termodinâmicos serão usados: a energia livre de Helmholtz e um pseudopotencial de dissipação. Essa abordagem permite além de propor equações constitutivas para o problema, estimar a quantidade de energia dissipada nos processos.

A validação do modelo proposto será feita através da comparação com resultados experimentais presentes na literatura. Os resultados experimentais foram obtidos através de ensaios de compressão e descompressão de óleos hidráulicos com presença de gás.

1.4 METODOLOGIA E ESTRUTURA

Primeiramente foram elaboradas as equações constitutivas do problema, baseado no trabalho de Rachid (2013), obtendo-se um sistema de equações diferenciais com cinco equações, que incluem as equações para o balaço de massa de líquido, de gás livre e de gás

19 dissolvido, além do balanço de quantidade de movimento e a segunda lei da termodinâmica para a mistura. A partir das equações de balanço de massa se definiu um parâmetro Γ, que é a taxa de transferência de massa.

O sistema de equações proposto permite solucionar para parâmetros concentrados além de problemas uni, bi e tridimensionais envolvendo escoamentos internos e externos. Contudo, como o foco deste trabalho é a elaboração de um modelo para a taxa de transferência de massa de gás entre as fases, uma abordagem para parâmetros concentrados será utilizada. Sendo assim, o sistema de equações é simplificado deforma que a equação de balanço de quantidade de movimento não será utilizada. Sendo assim, o sistema resultante permite a princípio resolver problemas adimensionais, onde são conhecidas as condições iniciais do problema e a taxa de variação de volume pelo volume da mistura. Sendo que as condições iniciais são a fração volumétrica de gás livre, a concentração de gás dissolvido e a pressão do sistema no início da simulação. Com um pouco de manipulações matemáticas foi mostrado que o mesmo sistema pode ser resolvido para um pulso de pressão conhecido.

Conhecendo-se o sistema de equações a ser resolvido, partiu-se para a determinação da taxa de transferência de massa de gás utilizando os dois potenciais termodinâmicos: a energia livre de Helmholtz e um pseudopotencial de dissipação. Os resultados obtidos por essa dedução formam uma equação para a etapa de liberação de gás e outra para etapa de absorção de gás em que a taxa de transferência de massa é proporcional a diferença entre a energia livre de gás dissolvido no líquido e a energia livre de Gibbs de gás livre. Essas equações têm dois coeficientes cada uma. Estes coeficientes foram determinados utilizando resultados obtidos com base em dados experimentas, apresentados por Zhou et al. (2013).

Os coeficientes foram ajustados através da resolução de um problema de minimização descrito por Rachid (2013). Após a determinação dos coeficientes, uma análise funcional do resultado foi feita e melhorias foram propostas ao modelo.

20

2 BASE TEORICA

2.1 LEI DE HENRY PARA ESTADOS DE EQUILÍBRIO

Segundo SCHWEITZER (1950):

O caso de equilíbrio obedece a conhecida lei de Henry (Lei de Henry e Dalton) que diz que se nenhuma mudança ocorrer na estrutura molecular durante os processos de solubilização ou evolução, então o volume de gás dissolvido no líquido é diretamente proporcional a pressão absoluta.

l e e

V

p

p

S

V

0



_(2.1)

onde Ve é o volume de gás dissolvido, pe é a pressão de equilíbrio, p0 é uma pressão de referência

tida como a pressão atmosférica, Vl é o volume de líquido e S é uma constate de

proporcionalidade que varia com a temperatura. Esta formula pode ser reescrita da seguinte forma:

e H

e

K

c

p 

(2.2)

onde ce é a concentração de gás dissolvido no líquido para o equilíbrio, KH é uma nova constate

de proporcionalidade que também é função da temperatura e pe é a pressão para o estado de

equilíbrio. A concentração de gás dissolvido é definida como a massa de gás dissolvido dividida pelo volume da fase líquida. Esta formulação mostra que para casos isotérmicos e em equilíbrio, a quantidade de gás dissolvido é função apenas da pressão. Contudo, quando mudanças são aplicadas ao fluido, o sistema não entra em equilíbrio instantaneamente, e a lei de Henry não pode ser usada.

21 2.2 EQUAÇÕES DE BALANÇO

Assumindo a hipótese de mistura homogênea formada por dois componentes e duas fases, onde o gás livre está disperso em forma de pequenas bolhas em suspensão no líquido ou dissolvido neste e sua fração volumétrica é consideravelmente menor do que a fração volumétrica da fase líquida. O sistema de equações mostrado abaixo em suas formas locais é válido. O sistema consiste nas equações de balanço de massa, balanço da quantidade de movimento, balanço de energia e a segunda lei da termodinâmica aplicadas à mistura como um todo, respectivamente.

,

0











v





(2.3)

,

g

S

v











p









(2.4)

,

r

p

e

e









v









v



S



D







q



(2.5)



s



s





v





q











q



r

,









_(2.6)

onde ρ é a massa especifica, v o vetor velocidade, g a gravidade local, p a pressão do fluido, S é o tensor das tensões devido ao escoamento, D é a parcela simétrica do gradiente de velocidade, e é a energia interna por unidade de volume, q o fluxo de calor, r a geração de calor, s a entropia por unidade de volume, e θ a temperatura absoluta da mistura.

Definindo a energia livre de Helmholtz Ψ como:

,

:



e





s



(2.7)

Substituindo a equação (2.5) na equação (2.6), a Segunda Lei da Termodinâmica pode ser escrita como a desigualdade de Clausis-Duhen:





0

,

:





































S

D

q

v

s

p

d





(2.8)

A desigualdade de Clausis-Duhen é a taxa de dissipação de energia por unidade de volume de fluido, d, e distingue processos possíveis onde d é igual ou maior que zero e processos impossíveis, onde d é menor que zero. Além disso, quando d for igual à zero, o

22 processo é tido como reversível e quando d for maior que zero, o processo é tido como irreversível.

Levando em conta a liberação e absorção de gás, a concentração de gás dissolvido na mistura c e a fração volumétrica de gás livre α são considerados como varáveis internas. A fração volumétrica de gás livre α, é definida como o volume de gás livre dividido pelo volume da mistura.

Desconsiderando a presença de vapor na fase gasosa, e considerando a mistura como um pseudofluido que compartilha as médias das propriedades termodinâmicas das duas fases, com α como fator de peso, onde os constituintes coexistem em todos os pontos materiais e instantes de tempo, a densidade de massa total da mistura é definida como:



1





,

:





_l

c



_g











(2.9)

onde ρl e ρg são respectivamente as densidades de massa de líquido e de gás livre, sendo ambos

assumidos como fluidos compressíveis.

Na definição acima, admite-se implicitamente que o gás dissolvido e o líquido ocupam o mesmo volume na fase líquida. Por outro lado, como o gás livre é o único constituinte da fase gasosa, o volume ocupado por ele na mistura é complementar ao da fase líquida.

Como o pseudofluido é uma mistura de gás livre, líquido e gás dissolvido e como o gás é transferido entra as fases, as equações (2.3) a (2.8) não são suficientes para descrever o comportamento da mistura sendo necessário introduzir uma equação de balaço de massa para cada constituinte de forma que a equação (2.9) seja verdadeira. Sendo assim, o seguinte sistema de equações descreve o problema de forma satisfatória.



1











_l









_l





1









_l





v



0

,

(2.10)



1







c









c





1







c





v







,

(2.11)

,













_{g g}

v

g















(2.12)









1







_l



c





_g



v







p







S







1









_l



c







_g



g

,

(2.13)





0

,

:





p









v









S



D



d

(2.14)

23 onde a equação (2.10) é a conservação de massa do líquido, a equação (2.11) é a equação de balanço de massa do gás dissolvido, a equação (2.12) é a equação de balanço de massa de gás livre e Γ é a taxa de transferência de massa de gás por unidade de volume de fluido.

Na formulação mostrada acima, sempre que Γ > 0, gás dissolvido no líquido evolui (é liberado), Γ < 0 o gás livre é absorvido e se Γ = 0 não haverá troca de massa. Para completar a descrição do problema, relações constitutivas têm que ser propostas para descrever a taxa de transferência de massa. Elas englobam expressões para p, S e Γ e devem sempre respeitar a Segunda Lei da Termodinâmica.

2.3 TEORIA CONSTITUTIVA

A partir da abordagem utilizada por Rachid (2005), (2013) e (2014), as relações constitutivas usadas para descrever o comportamento do pseudofluido são derivadas no contexto da termodinâmica dos processos irreversíveis. As variáveis de estado usadas nesta abordagem serão a densidade de massa do líquido ρl e do gás ρg, a concentração de gás

dissolvido c, a fração volumétrica de gás livre α e a temperatura absoluta do fluido θ. Devido à física do problema, uma restrição é imposta à fração volumétrica de gás livre onde 0 ≤ α ≤ 1. Além das variáveis de estado, dois potenciais termodinâmicos são usados, a energia livre de Helmholtz e um pseudopotencial de dissipação para o pseudofluido, como mostrado nas seções abaixo.

2.3.1 Energia Livre de Helmholtz e leis de estado

A energia livre por unidade de volume do fluido Ψ é tida como uma função das variáveis de estado ρl, ρg, c, α e θ. Como o fluido é tido como uma mistura de dois constituintes, seu

comportamento é assumido como uma combinação das propriedades termomecânicas do líquido e do gás tendo α como um fator de peso. Sendo assim, a definição para a energia livre da mistura é:



,

,

,

,





1







,



 





,



,

:







_l



_g

c













_l



_l



_l





c



_c







_g



_g



_g





(2.15)

onde os termos Ψl e Ψg representam a energia livre por unidade de massa do líquido e do gás

24 e do gás como se eles fossem componentes únicos. O termo Ψc é a energia livre por unidade de

massa de gás dissolvido que é incorporada na energia livre da mistura para levar em conta a liberação e absorção de gás. Por simplificação, Ψc é assumido como sendo apenas função da

temperatura θ.

As leis de estado para o pseudofluido que relacionam as componentes irreversíveis das forças termodinâmicas com as variáveis de estado são obtidas a partir do potencial de energias livres e definidas como:



1





1



,

:

_l l l l l

g

p

B

l











_

_





























_(2.16)

,

:

_g g g g g g

g

p

B











_































_(2.17)



1



,

:

_c c

c

B

















(2.18)

,

:

_{g g l l}

c

_c

B



























 (2.19) em que:

,

:

e

:

2 2 g g g g l l l l

p

p

























_(2.20)

e gl e gg são as energias livres de Gibbs para o liquido e o gás respectivamente.

A derivada material da energia livre por unidade de volume do fluido Ψ, pode ser computada partir da definição de Ψ apresentada na equação (2.15) como:

,

























































c

c

g g l l (2.21)

Então, aplicando as equações (2.16) a (2.19) na equação (2.21) e a equação (2.21) na equação (2.14) e, tem-se que a desigualdade de Clausis-Duhen pode ser escrita como:

25





0

:





p















B









B









B

c





B









d

_v

_S

_D

l _l g _g c

(2.22) Para se obter um conjunto completo de equações para o problema proposto, leis complementares, onde a versão local da Segunda Lei da Termodinâmica apresentada pela equação (2.14) ou equação (2.22) será sempre válida, serão derivadas a partir do pseudopotencial de dissipação para o pseudofluido da mistura na seção abaixo.

2.3.2 Pseudopotencial de dissipação e leis de estado complementares

Para introduzir o comportamento irreversível do pseudofluido e assegurar que a segunda lei da termodinâmica será sempre obedecida, é assumido que existe um pseudopotencial de dissipação Φ, que é uma função objetiva, convexa e diferenciável de D, 𝑐̇, 𝛼̇ e 𝐵Γ_{. Além disso,}

é assumido que o pseudopotencial tem as seguintes propriedades para qualquer D, 𝑐̇, 𝛼̇ e 𝐵Γ, 𝛼, c e 𝜃:



,

,

,

;

,

,





0

e





,

0

,

0

,

0

;

,

,





0



_



_

_

_

_

c

c

B

c

0

D





(2.23)

Então define-se as seguintes leis de estado que fornecem as informações adicionais associadas ao comportamento do pseudopotencial de dissipação:

,

:

D

S









(2.24)

,

:

c

B

c













(2.25)

,

:

















B

(2.26)

,

:

_











B

(2.27)

Analisando a equação (2.14), tem-se que os dois primeiros termos são devido a mudanças internas na mistura e o ultimo termo é devido à efeitos viscosos do pseudofluido. Enquanto isso, as leis de estado fornecidas pelas equações (2.25) a (2.27) representam a

26 variação do pseudopotencial de dissipação em função das variáveis internas do pseudofluido e a equação (2.24) representa a variação do pseudopotencial devido à efeitos viscosos.

Aplicando as equações (2.24) a (2.27) à equação (2.14) obrem-se uma outra forma para a desigualdade de Clausis-Duhen:















B

B

c

B

d

:

S

D

c









(2.28)

Usando a convexidade de Φ, Rachid (2013) mostra que para qualquer situação a desigualdade de Clausis-Duhen pode ser escrita da forma abaixo:















,

,

;

,

,

,

:

B

c

B

B

c

B

c

d



S



D



c



















D





 (2.29)

Como resultado, as equações (2.22) e (2.29) podem ser igualadas:









































B

B

c

B

B

c

B

B

B

p

_v

_S

_D

l



_

_l g



_

_g c

_





_

_S

_D

c

_





_

(2.30)

Como as equações de balanço dadas pelas equações (2.10) a (2.12) definem um subespaço linear formado por v, 𝜌̇𝑙, 𝜌̇𝑔, 𝑐̇ e 𝛼̇, as seguintes relações podem ser encontradas

levando em conta que os termos multiplicados por v, 𝜌̇_𝑙, 𝜌̇_𝑔, 𝑐̇ e 𝛼̇ de um lada da equação são iguais aos de outro lado:

,

0













B

p



_g

,

0





_B

l

,

0









B

B

g



,

0











B

B

B

 



_g

,

0







c c

B

B

 (2.31)

Aplicando-se as equações (2.16) a (2.19) ao conjunto das equações (2.31), as seguintes relações podem ser encontradas.

27



1



p

_l

p

_g

cB

c

,

p













 (2.32)





,

1













p

_g

p

_l

cB

c

B

  (2.33)





,

1













 c g

B

g

c

B

 (2.34)

As relações não triviais estabelecidas pelas equações (2.32), (2.33) e (2.34) só foram possíveis graça a abordagem que utiliza as leis de estado e os dois potenciais termodinâmicos utilizados nas subseções 2.3.1 e 2.3.2.

Se o termo 𝐵𝑐̇, que é a força termodinâmica associada à taxa de variação da concentração de gás dissolvido sem contar com a massa transferida, for igualado à zero, as equações acima mostram que a pressão da mistura é a média da pressão de seus constituintes, que a força termodinâmica associada à taxa de aumento da fração volumétrica de gás livre, B

, é dada pela diferença de pressão do gás e do líquido e que as forças termodinâmicas associadas a taxa de transferência de massa de gás entre as fases, B, é dada pela diferença da energia livre de Helmholts do gás dissolvido e da energia livre de Gibbs do gás livre.

2.3.3 Equações constitutivas

As restrições impostas à energia livre e ao pseudopotencial de dissipação feitas nas subseções 2.3.1 e 2.3.2 garantem que a segunda lei da termodinâmica seja respeitada, sendo esta a condição é necessária para que a o modelo desenvolvido tenha coerência termodinâmica. Contudo ela não é suficiente para garantir fidelidade aos fenômenos de cavitação gasosa. Para finalizar esse procedimento, é necessário conhecimento sobre a física do problema adquirido com observações experimentais.

Definido os potenciais termodinâmicos Ψ_𝑙, Ψ_𝑔, Ψ_𝑐 e Φ, e usando as equações (2.16) a (2.19), (2.24) a (2.27) e (2.32) a (2.34), um conjunto completo de equações constitutivas pode ser formado.

Levando em conta o comportamento reversível do líquido e do gás livre como constituintes independentes e assumindo que o líquido e o gás livre são substâncias simples e compressíveis, Rachid (2013) define Ψ_𝑙 e Ψ_𝑔 como:

28



,



:

log

log

,

0 2

























_l l l l l l l l

C

a

_













(2.35)



_g

,



:

_g

log

_g2

log

_g

,

g g











C







a





(2.36)

onde Cl e Cg são os calores específicos a volume constante do líquido e do gás livre,

respectivamente, e são assumidos constantes. Os parâmetros materiais 𝜌_𝑙0, 𝑎_𝑙2 _{e 𝑎}

𝑔2 são

dependentes somente da temperatura, sendo os dois últimos, o quadrado da velocidade de propagação de onda no líquido e no gás respectivamente.

Assumindo que ambos os fluidos têm comportamento de fluido Newtoniano, uma escolha simples e apropriada para Φ é:







 



,

2

2

tr

2

:

,

,

;

,

,

,

2 2 r 2na a a n r r

_B

n

B

n

c

B

c





















D













D



D

D





(2.37)

onde 𝛽_𝑘 = 𝛽_𝑘(𝛼, 𝜃) e 𝑛_𝑘 = 𝑛_𝑘(𝜃), com 𝑘 ∈ {𝑎, 𝑟}, são constantes materiais positivas, com 𝑛𝑘 > 1/2. (𝑘 = 𝑟) está associada à liberação de gás e (𝑘 = 𝑎) à absorção de gás. 𝜆 = 𝜆(𝛼) e

𝜇 = 𝜇(𝛼) são respectivamente as viscosidades de bulk e dinâmica da mistura e são dadas pela média das propriedades do líquido e do gás livre, com 𝛼 como o fator de peso, sendo que 𝜇 ≥ 0 e 𝜆 + (2/3)𝜇 ≥ 0. Os termos B e  B representam o maior valor entre zero e Bou



 B respectivamente. Sendo assim, a equação proposta para Φ sempre satisfaz a equação (2.23) e a segunda lei da termodinâmica proposta pela equação (2.14).

Os dois primeiros termos da equação (2.37) são expressões clássicas para o comportamento de fluidos newtonianos e são assumidas como a média das propriedades do líquido e do gás livre, sendo que o gás dissolvido não muda as propriedades do líquido. Os dois últimos termos da equação (2.37) estão associados à irreversibilidade dos fenômenos de liberação e absorção de gás que acontecem internamente na mistura. Assumindo que Φ não depende de 𝑐̇, 𝛼̇ e utilizando as equações (2.25) e (2.26), 𝐵𝑐̇ e 𝐵𝛼̇ são igualados a zero.

Aplicando 𝐵𝑐̇ e 𝐵𝛼̇ iguais à zero à equação (2.33) tem-se que a pressão parcial do gás livre é igual a pressão do líquido, pl = pg. Sendo que aplicando pl = pg à equação (2.32) tem-se

29

,

g l

p

p

p





(2.38)

Sendo assim, aplicando a equação (2.37) na equação (2.24), S é definido como:

 

2

,

tr

D

I

D

S









(2.39)

Além disso, aplicando-se a equação (2.34) na equação (2.37) e aplicando a equação (2.36) à equação (2.27), tem-se que a taxa de transferência de massa por unidade de volume da mistura Γ é dada por:

,

1 2 1 2  















r na c g a n g c r

g



g



(2.40)

Aplicando-se as equações (2.35) e (2.36) para Ψ𝑙 e Ψ𝑔 nas definições de pl e pg

apresentada nas equações (2.20) tem-se que as equações de estado para as densidades de massa do líquido e do gás livre são dadas por:

,

e

₂ 0 2 g g l l l

a

p

a

p

_

_









(2.41)

o resultado obtido para Γ na equação (2.40) pode ter valor positivo, nulo e negativo. O resultado obtido permite englobar em uma mesma abordagem tempos característicos diferentes para as etapas de liberação e absorção de gás, sendo que “é conhecido que os tempos característicos de absorção são consideravelmente maiores do que os tempos de liberação” (Zhou et al. (2013)). A equação (2.40) diz que sempre que a energia livre do gás dissolvido for maior que a energia livre de Gibbs do gás livre, gás será liberado e sempre que a energia livre de Gibbs de gás livre for maior que a energia livre de gás dissolvido, gás será absorvido. Quando as duas energias livres são iguais, não haverá troca de gás entre as duas fases, o que significa que a mistura está em equilíbrio termodinâmico e que a pressão do fluido é igual a pressão de equilíbrio pe. Quando esse resultado, a pressão do fluido ser igual a pressão de equilíbrio, é

30 para a energia livre de Gibbs do gás livre apresentada na equação (2.17), Ψ_𝑐 é definido como sendo igual a energia livre de Gibbs do gás livre na pressão de equilíbrio:

,

log

log

2 _{2 g}2 g e g g c

a

a

p

a

C















_(2.42)

Aplicando a equação (2.42) na equação (2.40), tem-se que a taxa de transferência de massa por volume de mistura entre as fases é dada por:

 

 

₂ 2 1 2 1 1 2 1 2 2

log

log

   







a a r r n e n g a n e n g r

p

p

a

p

p

a





_(2.43)

A pressão de equilíbrio pe é dada pela lei de Henry para estados de equilíbrio. Como

explicado na seção 2.1, a lei de Henry diz que quando o sistema está em equilíbrio, a pressão de equilíbrio é proporcional quantidade de gás dissolvido no líquido, onde a constante de proporcionalidade é função da temperatura absoluta da mistura.

A determinação de pe não é trivial porque este valor varia com o valor da concentração

de gás dissolvido ce, sendo que quando o sistema não está em equilíbrio a pressão instantânea

e a concentração de gás dissolvido instantânea não são os valores o equilíbrio pe e ce. Por

exemplo, considerando uma mistura homogênea em um sistema fechado, com um volume específico V1 e com uma determinada quantidade de gás total presente no sistema. Esse sistema

estará em equilíbrio de uma forma que ce1 e pe1 respeitem a lei de Henry. Caso esse sistema seja

expandido para um volume V2 > V1, a pressão sobre o líquido será reduzida e somente após o

período necessário para o sistema entrar em equilíbrio novamente, a concentração de gás dissolvido e a pressão do sistema chegarão à ce2 e à pe2. Entretanto, antes do tempo necessário

para se chegar ao equilíbrio, a concentração de gás dissolvido será maior do que a prevista para o estado de equilíbrio e a pressão será menor. Isto acontece porque a liberação de gás não é instantânea. Por essa razão é difícil se determinar pe na equação (2.43).

A determinação de como a pressão de equilíbrio será aplicada e dos parâmetros βr(c,θ),

βa(c,θ), na(θ) e nr(θ) serão feitas nas seções seguintes utilizando o resultado apresentada no

trabalho de Zhou et al. (2013).

Após a determinação dos parâmetros especificados no parágrafo anterior, as equações de balanço, equações (2.10) a (2.14), e as equações constitutivas, equações (2.39), (2.41) e (2.43), serão suficientes para descrever consistentemente os fenômenos de liberação e absorção

31 de gás em escoamentos considerados isotérmicos e homogêneos formados por uma mistura de líquido e gás inerte considerados como fluidos newtonianos. A partir deste ponto, considerando que o sistema de equações especificado neste parágrafo constituí completamente o modelo proposto neste trabalho, o modelo que utiliza estas equações será tratado como modelo termodinâmico, enquanto o modelo demostrado no próximo capitulo, que será utilizado para a determinação dos coeficientes, será tratado como modelo dinâmico. Essa nomenclatura foi escolhida porque o modelo desenvolvido neste trabalho retrata a dinâmica de escoamentos transientes e foi deduzido com respaldo termodinâmico, enquanto o modelo descrito no próximo capitulo retrata a dinâmica de processos transientes, mas não foi deduzido com respaldo termodinâmico.

32

3 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES COM BASE EM RESULTADO EXPERIMENTAL

Zhou et al. (2013), propõe um modelo para descrever os fenômenos de cavitação vaporosa e gasosa que introduz uma formulação simplificada para parâmetros concentrados aplicados à mistura homogênea. Esta formulação é baseada na equação de Rayleigh-Plesset para dinâmica de bolhas. Ele também apresenta uma formulação para a previsão de densidade de massa e módulo do bulk da mistura, levando em conta a fração mássica de gás livre na mistura. Por último ele descreve o aparato experimental utilizado para verificar o modelo e compara os resultados experimentais com os resultados obtidos por simulação utilizando óleo mineral.

3.1 MODELO PROPOSTO PARA CAVITAÇÃO GASOSA

Zhou et al. (2013) propõe uma equação para a taxa de liberação de gás baseada na equação de Rayleugh-Plesset para dinâmica de bolhas. Além disso, ele considera que a pressão de equilíbrio pe é a pressão atmosférica p0 e que o potencial associado aos fenômenos de

liberação de gás é proporcional à diferença entre a fração mássica instantânea de gás livre, fgl,

e a fração mássica de gás livre para estados de equilíbrio prevista pela lei de Henry, fglH.

Enquanto isso, potencial associada ao fenômeno de absorção de gás é somente associada à fração mássica de gás livre fgl. A fração mássica de gás livre é definida como a massa de gás

livre dividida pela massa da mistura. Abaixo segue a formulação proposta por Zhou et al. (2013) para a taxa de transferência de massa de gás, este é o modelo que será tratado como modelo dinâmico.

33



























0 22 0 21

p

p

f

k

p

p

f

f

k

R

dt

df

gl gl glH s gl











gl glH



glH gl f f f f   (3.1)

nesta formulação, a diferença entre fgl e fglH determina se gás será liberado ou absorvido. Se fgl

> fglH gás será absorvido, se fgl < fglH, gás será liberado e se fgl = fglH nada acontecerá. O valor

dos dois coeficientes k21 e k22, que expressam a taxa de liberação e absorção de gás, não podem

ser facilmente determinados analiticamente e têm que ser determinados empiricamente baseando-se em observações experimentais. τ é uma constante temporal assumida como sendo igual a um segundo. Esta formulação apresentada é solucionada quando o pulso de pressão que atuará sobre o fluido é conhecido.

Para a determinação de fglH, ele considera que a pressão sobre a fase líquida p é a pressão

do gás livre mais a pressão de vapor do óleo mineral pv, que é tida como constante. A pressão

de vapor de um líquido é a pressão que o vapor de líquido exerce sobre o líquido em estados de equilíbrio. Sendo assim, a pressão de gás sobre o líquido é igual a p-pv. Como consequência,

ele considera que para estados de equilíbrio, quando a pressão sobre o líquido p for igual pv,

todo o gás presente na mistura estará em forma de gás livre e fglH é igual a fração mássica total

de gás na mistura fgt. Além disso ele considera que para casos de equilíbrio, quando a pressão

sobre o líquido p for igual ou maior que a pressão atmosférica p0, não existirá gás livre e

consequentemente fglH será zero. Isso é equivalente a dizer que o óleo considerado no sistema

analisado estava em contato com o ar ambiente sob pressão atmosférica e em equilíbrio antes de entra na câmara de teste. Este óleo foi introduzido em um sistema fechado sem a presença de gás livre, ou seja, ele estaria em equilíbrio, completamente saturado de gás, sob pressão atmosférica e sem presença de gás livre. A formulação proposta por Zhou et al. (2013) para fglH

segue abaixo:

































0

1

0 v v gt gt glH

p

p

p

p

f

f

f











0



0 p p p p p p p v v     (3.2)

34 3.2 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS DO MODELO

3.2.1 Densidade

Enquanto a equação (2.9) apresenta uma definição para a densidade de massa da mistura onde a fração volumétrica de gás livre, α, é tida como fator de peso, Zhou et al. (2013) apresenta uma relação que leva em conta as frações mássicas de gás livre e de vapor como fatores de peso. Como neste trabalho e nos resultados de simulação apresentados por ele a presença de vapor não é considerada, a formulação apresentada abaixo não considera a presença de vapor.

l gl g gl

f

f













1

1

(3.3) 





1 0 0















p

p

g g (3.4)  0 0 0 E p p l l

e









(3.5) g gl

f









_(3.6)

Ao contrário do que foi feito na seção 2.3.3, onde por simplificação optou-se por linearizar as equações de estado tanto para o gás como para o líquido, Zhou et al. optou por trabalhar com equações de estado não lineares. Na seção abaixo é apresentado a formulação de Zhou et al. (2013) para o módulo de bulk da mistura.

3.2.2 Módulo de bulk

A partir da formula geral para o módulo de bulk, E, de um fluido:

dp

dV

V

dV

dp

V

E























_(3.7)

35 considerando que o volume do fluido é a soma dos volumes das fases líquida e gasosa:

dp

dV

dp

dV

V

V

E

g l g l









_(3.8)

e levando em conta que:





V

V

V

V

p

V

dp

dV

E

V

dp

dV

g l g g l l





















,

,

1

e

0 (3.9)

Zhou et al. propõe a seguinte formulação para o módulo de bulk da mistura:

0

1

1

E

p

E

_





_





_(3.10) 3.3 EXPERIMENTO E VALIDAÇÃO

Para validar o modelo dinâmico proposto, Zhou et al. (2013) utiliza um mecanismo de teste em que a ideia básica é mostrada na figura 3.1. O mecanismo consiste em uma câmara selada, com um sensor de pressão, um sensor de temperatura e o fluido a ser testado. O fluido utilizado foi o óleo Shell Tellus S ISO 32. A câmara tem seu volume variado devido a atuação de um atuador servo hidráulico com um medidor de posição que move um pistão de 12 mm de diâmetro.

O teste começa com o reservatório 1 cheio de óleo que ficou em repouso um logo período de tempo para que chegasse a condição de equilíbrio com o ar atmosférico. O óleo é bombeado para a câmara de teste e depois para o reservatório 2. Quando a câmara estiver completamente cheia e sem a presença de volumes vazios, ela é selada.

36

Figura 3.1 – Vista simplificada do mecanismo de teste. Fonte: (Zhou et al. (2013), 4)

O experimento aconteceu de modo que a trajetória de pressão mostrada na figura 3.2 a) fosse seguida. A figura 3.2 a) mostra um sinal de pressão triangular, simétrico, onde a pressão mínima é de 0,3 bar e a pressão máxima é de 32 bar e tem duração de um segundo. A figura 3.2 b) mostra a curva de pressão pelo deslocamento do pistão medido no experimento. É importante notar em uma primeira análise o fenômeno de histerese, mostrando os efeitos de histerese discutidos nas seções anteriores deste trabalho.

Figura 3.2 – Resultados para o teste de compressão e descompressão: a) pressão na câmara; b) pressão na câmara vs. deslocamento do pistão.

37 A partir do deslocamento do pistão, x, apresentado na figura 3.2 b) é possível determinar o volume ocupado pela mistura V através da equação (3.11), e a partir da massa de fluido na câmara de teste m0 é possível determinar a densidade de massa da mistura, ρ, com a equação

(3.12).



0



0

A

x

x

V

V





_p



(3.11)

V

m

₀





(3.12)

Na equação (3.11), x0 é uma posição de referencia, V0 é o volume da câmara quandox =

x0 e Ap é a área do pistão. Os valores de V0, Ap, x0, m0, assim como os valores para densidade de

massa ρl0 e módulo de bulk E0 do óleo usado e a densidade de massa ρg0 do ar para a pressão

ambiente são encontrados na tabela 3.1.

Tabela 3.1: Parâmetros de teste

x0(mm) Ap(mm2) V0 (cm3) ρl0(kg/m3) E0(bar) ρg0(kg/m3) m0(g)

104 113,1 13,52 840 13200 1,2 11,3

Fonte: (Zhou et al. (2013), 5)

Para a validação do modelo uma simulação foi realizada utilizando o pulso de pressão da figura 3.2 a). Para a simulação, o processo foi assumido como adiabático, sendo assim λ=1,4. Os valores dos coeficientes k21, k22 e τ da equação (3.1) assim como a condição inicial para a

fração mássica de gás livre, fgl0, e os valores de pv, p0, fgt da equação (3.2) são encontrados na

tabela 3.2. Sendo que a fração mássica de gás total fgt é encontrada aplicando a lei de Henry

para o gás e assumindo que o líquido dentro da câmara de teste, quando sob pressão atmosférica, estará em equilíbrio e sem presença de gás livre. Então, assumindo que o líquido está em equilíbrio no começo da simulação, quando p=pv, e utilizando a equação (3.2), tem-se que a