T
T
T
T
T
T
T
T
ÑÑÑÑ
ÑÑÑÑ
ÉÉÉÉ
ÉÉÉÉ
áááá
áááá
àààà
àààà
||||
||||
ÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ
tttt
tttt
wwww
wwww
xxxx
xxxx
`
`
`
`
`
`
`
`
tttt
tttt
àààà
àààà
xxxx
xxxx
Å
Å
Å
Å
Å
Å
Å
Å
öööö
öööö
àààà
àààà
||||
||||
vvvv
vvvv
tttt
tttt
U
U
U
U
U
U
U
U
öööö
öööö
áááá
áááá
||||
||||
vvvv
vvvv
tttt
tttt
Nome:...
Curso Técnico em ...
Período: ...
Cascavel – 2013/2014
1
A P O S T I L A D E M A T E M Á T I C A BÁSICAI – Operações matemáticas envolvendo apenas números: Há duas situações para considerarmos: 1º) Quando efetuamos uma adição (soma ou subtração):
I – Sinais iguais: Somamos e mantemos o sinal:
a) 1 + 5 = 6 b) – 5 – 7 = – 12 c) – 3 – 6 = – 9
Obs.: quando iniciamos uma equaçãonão há necessidade de escrever o sinal se o número for positivo.
II – Sinais Diferentes:
Verificamos qual a diferença entre os valores e mantemos o sinal do maior (em módulo): a) 5 – 3 = 2 b) – 4 + 7 = 3 c) 6 – 9 = – 3
2º) Quando efetuamos uma multiplicação ou divisão: I – Sinais iguais: o resultado sempre é positivo.
II – Sinais Diferentes: o resultado sempre é negativo.
20
4
5
)
×
=
a
b
)
−
5
×
4
=
−
20
c
)(
−
5
)
×
(
−
4
)
=
20
d
)
5
×
(
−
2
)
=
−
10
25
,
1
4
5
)
÷
=
e
f
)
−
5
:
4
=
−
1
,
25
g
)
−
15
/(
−
3
)
=
5
4
2
8
)
=
−
−
h
Lembre-se: A multiplicação pode ser indicada por:1 – um ponto entre os fatores (números que serão multiplicados); 2 – um × entre os fatores;
3 – um número antes ou depois de parênteses sem necessidade de sinal. A divisão pode ser indicada por: 1 – dois pontos entre o dividendo e o divisor;
2 – o símbolo ÷ entre dividendo e divisor; 3 – uma fração (representada por a/b ou
b
a
)
II – Operações matemáticas envolvendo incógnitas (termo desconhecido):
Na resolução de equações de 1º grau nunca trocamos sinal. O que fazemos é a troca de operação matemática usada.
Exemplo 1: para resolver a equação
3
x
−
2
=
4
temos: 3x – 2 = 4 3x = 4 + 2 3x = 63
6
=
x
x=2Onúmero 2 que estava sendo subtraído de 3x no primeiro membro agora esta sendo somado ao 4
2
Exemplo 2: Para determinar o valor de x em2
x
−
4
=
5
x
−
13
temos:2x – 4= 5x – 13 2x – 5x = –13 + 4 – 3x = – 9
3
9
−
−
=
x
x = 3Na Física, não procuramos o x. Procuramos por outras incógnitas como i (corrente elétrica) o U (tensão elétrica) o R (Resistência Elétrica). E ainda, devemos lembrar que vários professores usam o V (de Volt) para representar a tensão (voltagem do circuito). Assim, enquanto um professor de Física pode usar a equação de 1º grau U = R×i, um professor da área técnica poderá se utilizar da equação V = R×i com a mesma finalidade que é a de representar a relação matemática que existe entre estas três incógnitas. Para podermos entender como ocorre a influência de uma incógnita sobre as demais devemos atribuir valores a elas. Por exemplo, ao sabermos que um chuveiro tem uma Potência de 5.500W podemos determinar a corrente elétrica que circula por ele através da tensão da rede elétrica onde está instalado, 220 V.
A Física nos ensina que a Potência é o produto da tensão pela corrente, assim: P = U×i onde P é a potência e, então, temos: 5500 = 220×i, logo:
=
i
220
5500
, e i = 25A
Agora, usando este novo dado em: V = R×i poderemos determinar o valor da resistência elétrica do material do resistor desse chuveiro:
Se V = R×i, então, 220 = R×25 e,
=
R
25
220
, logo R = 8,8 Ω
Agora, vamos resolver alguns exercícios que nos ajudaram a entender como se isola a incógnita (termo desconhecido): 1 – Resolva: a) + (+ 2) + (- 3) = b) – ( + 7) + ( - 13) = c) + ( - 5) – ( - 8) = d) – ( - 9) – ( + 12) = e) – ( + 6) – ( - 15) = f) ( - 7) . ( - 4) = g) ( + 2) . ( - 8) = h) ( - 3 ). ( + 5) = i) ( - 1) . ( + 3) . ( - 4) = j) ( + 2) . ( - 5) . ( - 2) = k) ( + 45) / ( + 3) = l) ( - 90) / ( + 5) = m) ( - 72) / ( - 2) = n) ( + 63) / ( - 9) = o) ( + 700) / ( - 10) =
2 – Carlos tem R$ 3600,00 em sua conta corrente. Se ele fizer uma retirada de R$ 4000,00, como ficará o seu saldo bancário?
3 – Um termômetro marcava + 6 graus pela manhã, mas à tarde a temperatura baixou para – 3 graus. Qual a variação da temperatura?
Problemas – Operações com números decimais
O 5x que estava sendo somado a -13 passa a ser subtraído de 2x. E, o 4
que era subtraído de 2x agora é somado a -13.
3
1 – A altura de uma casa era de 4,78 metros. Construído um 2º andar, a altura da casa passou a ser de 7,4 metros. Em quantos metros a altura inicial da casa foi aumentada?
2 – Maria comprou uma calça por R$ 52,95 e pagou com duas notas de R$ 50,00. Qual o troco que ela deve ter recebido?
3 – Um metro de certo fio tem 0,78 Kg. Quantos quilogramas terão 5,5 m desse fio?
4 – Sabe-se que 124,5 litros de suco devem ser colocados, igualmente, em 15 tonéis. Quantos litros de suco serão colocados em cada tonel?
5 – Um caminhão pode transportar, no máximo, 3000 Kg de carga. Se ele deve levar 683,5 Kg de batata, 1256,25 Kg de cebola e 950 Kg de tomate, vai ser possível transportar toda essa carga de uma única vez? Se houver excesso de carga, de quantos quilos será esse excesso? Se não houver excesso de carga, quantos quilos faltaram para completar a carga?
6 – Uma fábrica de laticínios produziu 87,5 quilos de manteiga e deseja formar pacotes com 2,5 Kg cada um. Quantos pacotes serão feitos?
Exercícios – Equações 1 – Resolva: a) x + 3 = 10 b) x – 7 = 11 c) x + 4 = 5 d) 3x = 18 e) 2x = 10 f) 6x = 48 g) 2x + 5 = 25 h) x + 4x = 20 i) 4x = 1 + 3x j) 7x = 2x + 10 k) 4x + 8 = x + 14 l) 9x – 4 = 2 – 6x m) 8x – 6 = 7x + 5 n) 4x + 16 = – 2x + 4 o) 3x + 15 = 21 – x p) 4x – 5 = 13 + x q) 5 (x + 12) = x r) 2x = 3 (x + 4) s) 2. (x + 4) – 7 = 13 t) 4. (6 – x) = – 5x + 12 u) 2. ( x + 3) = 4. (x + 1) v) 12x – 5. (30 – x) = 190 w) 3. (x – 1) – 2. (x + 4) = 10 x) 4 (x – 1) = 2 (x – 4) y) 5 (x + 40) = 3 (x + 72) – 58 z) 8 (x – 5) + 2 x = 5 (x + 15) – 25 C Á L C U L O S Q U E E N V O L V E M F R A Ç Õ E S
Várias situações que encontraremos nas matérias de Química, Física, Biologia, Geografia envolvem o uso de frações nas questões. Às vezes, estas frações não estão na forma convencional que apreendemos, mas, aparecem como números decimais. Assim, vamos primeiro recordar como operacionalizar com frações e, após, vamos ver como transformar números decimais em frações e vice versa.
1º) ADIÇÃO COM FRAÇÕES:
4
Exemplos: 1)3
5
3
4
3
1
=
+
2)3
5
3
2
3
7
=
+
−
b) Frações com denominadores diferentes:
Exemplos: 1)
6
11
12
22
12
6
12
28
4
2
3
7
=
−
=
+
−
=
+
−
2)9
14
18
28
18
6
18
34
6
2
9
17
=
=
−
=
−
2º) MULTIPLICAÇÃO COM FRAÇÕES: Multiplicamos numerador com numerador e denominador com
denominador.
21
10
7
3
5
2
7
5
3
2
)
=
×
×
=
×
a
9
5
18
10
6
3
5
2
6
5
3
2
)
=
=
×
×
=
×
b
3
5
6
10
2
3
5
2
2
5
3
2
)
=
=
×
×
=
×
c
3º) DIVISÃO COM FRAÇÕES: Multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda.
15
14
5
3
7
2
7
5
3
2
)
=
×
×
=
÷
a
5
14
5
7
2
7
5
2
)
÷
=
×
=
a
15
2
5
1
3
2
5
3
2
)
÷
=
×
=
a
Exercícios: Calcule:=
+
8
4
10
5
)
a
−
=
8
4
10
5
)
b
−
+
=
8
4
9
1
)
c
×
=
8
4
10
5
)
d
÷
=
8
4
10
5
)
e
=
+
8
3
8
5
)
f
−
+
=
2
4
2
5
)
g
+
−
=
4
3
8
4
10
5
)
h
=
7
5
3
2
)
i
Problemas – Frações1 – Um terreno tem 3000 metros quadrados, dos quais
8
3
foram reservados para a plantação de laranjeiras. Sendo assim, quantos metros quadrados foram reservados para a plantação?
2
1125
8
9000
8
3000
3
3000
8
3
m
x
x
x
x
=
×
⇒
=
×
⇒
=
⇒
=
2 – Para pintar8
5
de uma parede, José utilizou 25 litros de tinta. Quantos litros de tinta são necessários para pintar a parede toda?
A regra é bastante simples: repetir o denominador (número que esta embaixo, e significa em quantas partes o objeto foi dividido) e adicionar os numeradores (número que fica em cima da fração e representa quantas partes estamos “pegando” desseobjeto).
A regra de sinais que vimos para números inteiros ou decimais é válida também para cálculos com frações.
5
L
x
x
x
x
x
40
5
8
25
5
8
25
8
5
25
25
8
5
×
=
⇒
=
⇒
=
×
⇒
=
×
⇒
=
3 – Roberto já leu5
3
de um livro e ainda faltam 80 páginas. Quantas páginas tem o livro?
páginas
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
40
5
200
2
5
80
5
2
80
5
3
5
5
80
5
3
80
80
5
3
=
⇒
×
=
⇒
=
×
⇒
=
⇒
−
=
⇒
−
=
⇒
=
+
4 – Um terço de uma estrada já tem asfalto, mas 160 quilômetros dessa estrada ainda não têm. Quantos quilômetros tem a estrada?
5 – A capacidade do tanque de um carro é de 40 litros de combustível. Numa viagem foram gastos
4
3
de tanque. Quantos litros de combustível foram gastos?
6 – João tem R$ 224,00. Pedro tem
7
5
dessa quantia. Quantos reais Pedro tem?
7 – Antônio já resolveu
5
2
das questões de uma prova, mas ainda faltam 12. Quantas questões há na prova?
8 – Minha escola disputou um campeonato de vôlei e ganhou
3
2
dos jogos. Sabendo-se que perdeu 4 partidas, quantos jogos teve o campeonato?
9 – Em uma caixa-d´água cabem 3000 litros. Já foram consumidos
3
2
para a limpeza e5
1
para alimentação. Quantos litros ainda restam na caixa?10 – Para uma festa de aniversário, foram encomendados 40 refrigerantes. Foram consumidos
4
2
dessa quantidade. Quantos refrigerantes foram consumidos?
11 – Qual a fração do litro que um quarto de meio litro representa? 12 – Um freguês comprou
6
1
de uma torta. Outro comprou
4
1
. O terceiro, que levou o restante, pagou R$ 14,00. Quanto custava a torta toda?
13 – Em uma sala, verificou-se que
3
2
dos alunos praticam esportes. Desses alunos que praticam esportes,
4
3
praticam vôlei. Qual a fração dos alunos da sala que praticam vôlei?
14 – Uma pessoa comprou 4 kg de carne moída. Essa quantidade foi colocada em pacotes de meio kg cada. Quantos pacotes foram feitos?
4º) TRANSFORMANDO NÚMEROS DECIMAIS EM FRAÇÕES:
6
10
7
7
,
0
)
=
a
50
7
100
14
14
,
0
)
=
=
b
500
127
1000
254
254
,
0
)
=
=
c
4
3
100
25
25
,
0
)
=
=
d
Para praticar efetue:
=
+
4
3
37
,
0
)
a
−
+
=
4
1
37
,
0
)
b
−
×
=
4
3
37
,
0
)
c
÷
=
8
3
25
,
0
)
d
=
+
5
3
3
,
0
)
e
÷
=
4
3
21
,
0
)
f
5º) TRANSFORMANDO PORCENTAGENS EM FRAÇÕES:
Usamos a transformação de decimais em frações para resolver. Pois 5% (cinco por cento) são tão somente
100
5
(cinco por cem, cinco por cento, cinco centésimos ou ainda cinco centavos).
Então, ao pedirmos 20% de 200 transformamos 20% em
100
20
e a preposição de em multiplicação. Logo, 20% de 200 é igual a100
20
×200. E, fazemos40
100
4000
100
200
20
200
100
20
×
=
×
=
=
Podemos fazer também: 20% =
100
20
= 0,2 e 20% de 200 será dado por 0,2×200 = 40.
Para praticar, calcule:
a) 20% de 500= b) 35% de 250 = c) 7% de 140 =
d) 15% de 45 = e) 62% de 40 = f) 18% de 70 =
Problemas – Porcentagem
1 – Em um jogo de basquete, Marcos cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65%. Quantos lances livres ele acertou?
2 – Em um determinado ano, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual é a taxa de porcentagem correspondente aos jogos que essa equipe venceu?
3 – Em um colégio, 1400 alunos estudam no período da manhã. Esse número representa 56% do número de alunos que estudam no colégio. Quantos alunos estudam, ao todo, nesse colégio?
4 – Carla comprou um objeto e obteve um desconto de 15%. Se ela pagou R$ 76,50 pelo objeto, qual era o preço “original” do objeto?
Como o catorze e o cem são pares simplificamos por 2 (divide numerador e denominador por 2)
Como o 254 e o 1000 são pares simplificamos por 2 (dividimos numerador e denominador por 2)
Como o 25 e o cem são múltiplos de 25 simplificamos por 25 (divide numerador e denominador por 25)
7
EQUAÇÕES DE 2º GRAUSão todas as equações escritas na forma
ax
2+
bx
+
c
=
0
. Para resolvê-las usamos a Fórmula Resolutiva da Equação de Segundo Grau, ou como é conhecida no Brasil: Fórmula de Bhaskara (viveu de 1114 a 1185) :a
c
a
b
b
x
×
×
×
−
±
−
=
2
4
2Na equação
x
2−
2
x
−
3
=
0
, temos a = 1, b =−
2 e c =−
3 , e trocamos esses valores na fórmula:1
2
)
3
(
1
4
)
2
(
)
2
(
2×
−
×
×
−
−
±
−
−
=
x
2
12
4
2
±
+
=
x
2
16
2
±
=
x
2
4
2
±
=
x
aí temos duas possibilidades:
3
2
6
2
4
2
´
=
+
=
=
x
1
2
2
2
4
2
´´
=
−
=
−
=
−
x
Uma maneira de verificarmos se as respostas estão corretas é:
* ao multiplicarmos as raízes e esse resultado por a temos que encontrar o valor de c.
No caso, 3×(
−
1) =−
3 e,−
3 ×1 =−
3* ao somarmos as raízes e multiplicarmos esse valor por a, encontraremos o valor de b:
Neste caso,
−
3 + 1 =−
2 e,−
2 ×1 =−
2Essa matéria é usada pela Física para determinar a relação entre espaço, tempo, velocidade e aceleração de objetos que se movimentam em MRUV (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado) e teoricamente não sofrem a ação do atrito. Exemplo1: Um móvel parte da posição 30m, com velocidade inicial de 20m/s e aceleração constante de 4m/s², determine sua posição após 10s. A equação Física é dada por S = S0 + v0 t + onde: S = posição final S0 = posição inicial v0 = velocidade inicial t = tempo a = aceleração
Exemplo 2: Um objeto é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30m/s a partir do
solo. Quanto tempo é necessário para que atinja o solo novamente?
Solo significa posição 0 m (zero metro), ou seja, altura zero. Ao ser lançado para cima, sofrerá a ação da gravidade que o “puxará” em direção ao centro da Terra. Essa força é a aceleração da gravidade e mede
m
S
S
430
200
200
30
2
10
4
10
20
30
2=
+
+
=
×
+
×
+
=
8
aproximadamente 10 m/s² (Este efeito atinge valores que variam de 9,789 m/s² no equador, até 9,823 nos polos).
Teremos S = 0m (posição final: solo (0m)) e S0 = 0m (posição inicial: solo (0m)).
A gravidade (a) ficará negativa, uma vez que o objeto é lançado para cima e a gravidade o “puxa” no sentido contrário.
Nossa fórmula S = S0 + v0 t + assumirá os valores:
2
10
30
0
0
2t
t
+
−
×
×
+
=
,ou seja,0
=
30
t
−
5
t
2Aqui, a =
−
5
, b = 30 e c = 0, pois a equação esta igualada a zero e assim podemos fazer uma analogia com a equação matemática – 5 x² +30 x = 0 (com a troca de posição dos membros e organizando os expoentes da equação em ordem decrescente).Aplicando na Fórmula de Bhaskara:
a
c
a
b
b
t
×
×
×
−
±
−
=
2
4
2)
5
(
2
0
)
5
(
4
30
30
2−
×
×
−
×
−
±
−
=
t
10
30
30
10
900
30
−
±
−
=
−
±
−
=
t
s
t
0
10
0
10
30
30
´
=
−
=
−
+
−
=
et
6
s
10
60
10
30
30
´´
=
−
−
=
−
−
−
=
O tempo 0s indica o lançamento e o tempo 6s indica o momento e que o objeto toca o solo no retorno. Esse conteúdo será tratado pelo professor de Física em momento oportuno. Por enquanto, treinaremos a resolução dessas equações.
Exercícios: Encontre as soluções das equações abaixo:
0
9
6
3
)
x
2−
x
−
=
a
b
)
x
2−
4
x
+
3
=
0
c
)
2
x
2−
4
x
−
16
=
0
0
7
6
)
x
2−
x
−
=
d
e
)
−
x
2+
2
x
+
3
=
0
f
)
−
3
x
2+
6
x
+
9
=
0
OBS: Para equações incompletas não é necessário aplicar a Fórmula de Bhaskara. 1º) Para equações onde c = 0, podemos isolar um x, pondo-o em evidência.
1 – Se
x
2+
4
x
=
0
, entãox
(
x
+
4
)
=
0
, ou seja, precisamos que x = 0 (x seja igual à zero) (primeira raiz) ou x + 4 = 0 (x + 4 seja igual à zero ) (segunda raiz).
9
2 – Se 2
x
2+
4
x
=
0
, colocamos 2x em evidência. E assim, 2x( x + 2) = 0 A primeira raiz é zero e a segunda raiz é –2 .2º) Para equações onde b = 0 e c < 0 , é só isolar x.
Se
x
2−
4
=
0
, entãox
2=
4
ex
=
4
. As raízes serãox
´
=
+
4
ex
´´
=
−
4
x
´
=
+
2
ex
´´
=
−
2
Exercícios: Encontre as raízes de:
0
6
3
)
x
2−
x
=
a
b
)
3
x
2−
9
=
0
c
)
x
2−
6
x
=
0
0
36
)
2−
=
x
a
)
2+
5
=
0
x
x
e
)
4
2−
64
=
0
x
x
a
P O T Ê N C I A e R A D I C I A Ç Ã O A potência usa algumas propriedades básicas:1º Na multiplicação com bases iguais, repetimos a base e somamos os expoentes.
10 7 3 7 3
2
2
2
2
:
.
×
=
+=
ex
ex
.
:
3
4.
3
2=
3
4+2=
3
62º Na divisão com bases iguais, repetimos a base e diminuímos os expoentes.
4 7 3 7 3
2
2
2
2
:
.
÷
=
−=
−ex
13 5 13 8 53
3
3
3
:
.
=
−=
−ex
ex
.
:
4
8:
4
−6=
4
8−(−6)=
4
8+6=
4
143º Na potência de uma potência, multiplicamos os expoentes.
15 5 3 5 3
4
4
)
4
(
:
.
=
×=
ex
4º Expoente negativo indica o inverso do número.
2 2
3
1
3
:
.
−=
ex
5
1
5
:
.
−1=
ex
27
5
3
1
5
3
1
.
5
3
.
5
:
.
−3=
3=
×
3=
ex
2x0(0+2)=0
0(2)=0
2x(-2)(-2+2)=0
-4x0=0
10
5º Quando os expoentes, de duas bases diferentes, são iguais podemos colocá-los em evidência, casoestas bases estejam envolvidas numa multiplicação ou divisão entre si.
3 3 3 3
20
)
4
.
5
(
4
.
5
:
.
=
=
ex
ex
.
:
7
2÷
5
2=
(
7
÷
5
)
2 7 7 72
3
2
3
=
Obs.: o contrário também é válido.
A radiciação também tem algumas propriedades que podemos usar: 1º
a
.
a
=
a
3
3
.
3
:
.
=
ex
.
:
37
.
37
.
37
=
7
ex
2ºa
.
b
=
a
.
b
6
3
.
2
:
.
=
ex
ex
.
:
7
.
5
=
35
3ºa
÷
b
=
a
÷
b
2
4
2
.
8
:
.
=
=
ex
16
4
5
80
5
80
=
=
=
4º n m n ma
a
=
2 3 35
5
:
.
=
ex
3 7 3 75
5
:
.
=
ex
4 5 4 58
8
:
.
=
ex
Estas são as mais usuais no ensino médio.
Exercícios: Resolva os itens abaixo, utilizando as propriedades apresentadas acima:
=
4 57
.
7
)
a
b
)
3
5÷
3
4=
c
)
3
5×
3
4=
d
)
2
5÷
2
4=
=
÷
4 53
3
)
e
f
)
3
5÷
3
−4=
f
)(
3
5)
4=
h
)
5
5.
5
4.
5
−2=
=
8
.
7
)
i
j
)
7
÷
8
=
=
8
24
)
k
l
)
7
.
6
=
F U N Ç Õ E S D O 1º G R A UUma função representa uma dependência entre variáveis. Ou seja, existe uma relação matemática que as une. E, essa relação pode ser descrita por equações ou por gráficos, dependendo de nossa necessidade. Para a Física, podemos citar a Função U = r i (tensão elétrica é igual à resistência elétrica multiplicado pela corrente elétrica), já trabalhada na página 2 e tratada como uma equação. A diferença é que agora iremos manter uma incógnita fixa, por exemplo r, e variarmos i para ver como se comporta U. Ou, variarmos U para ver como se comporta i.
11
Se r = 20 , então vamos variar i de 0A a 5ª (de zero a 5 amperes), para sabermos a variação de tensão no circuito. U = R×i U = 20 . 0 = 0 V U = 20 . 1 = 20 V U = 20 . 2 = 40 V U = 20 . 3 = 60 V U = 20 . 4 = 80 V
Estas informações podem ser condensadas em pares ordenados: (0,0), (1,20), (2,40), (3,60) e (4,80).
O primeiro número representa a abscissa e o segundo a ordenada de um ponto no espaço bidimensional.
A abscissa é uma reta numerada na posição horizontal.
A ordenada é uma reta numerada na posição vertical.
As duas são ortogonais entre si (ou seja, formam um ângulo de 90º entre elas).
ordenada
abscissa
O lado direito da abscissa é positivo e lado esquerdo negativo.
A parte superior da ordenada é positivo e a parte inferior negativa.
Todos tem como origem o cruzamento das retas (ponto de intersecção).
Vamos representar o exemplo acima num Plano Cartesiano (que é o resultado da intersecção
mostrada na figura acima).
Essa função também é conhecida como função afim. Funções de 1º grau sempre irão gerar retas como gráficos.
Para a matemática a representação dela é: f(x) = ax + b. a ocupa o lugar da resistência elétrica, x faz o papel da corrente elétrica e f(x) esta no lugar da Voltagem. b indica um valor inicial independente marcando um valor para f(x) quando x é zero.
Corrente(amperes)
Tensão (Volts))
0
0
1
20
2
40
3
60
4
80
i
V
i
12
Chamamos a de coeficiente angular, pois seu valor corresponde a tangente entre o eixo das abscissas (na matemática o x) e a reta originada pela equação. E, chamamos b de coeficiente linear pois ele determina qual ordenada (valor de y na matemática) será “cortada” pela reta.
Ex 1: f(x) = 3x + 1 Ex 2: f(x) = 2x – 1
No primeiro gráfico podemos ver que a reta passa por y = 1 (valor de b) e que para cada unidade
que avançamos em x ele aumenta 3 (valor de a) unidades em y. No segundo gráfico observamos que ele passa por y = – 1 e para cada unidade que avançamos em x ele sobe 2 (valor de a) unidades em y.
Construa os gráficos de:
a) f( x ) = 5x – 3 b) f( x ) = – 2 x + 2 c) f( x ) = – 3 x +1 d) f( x ) = 2 x + 4 e) f( x ) = 3 x – 2 f) f( x ) = – 4 x + 3
Repostas dos Exercícios
:Página 2 Exercício1) Resolva:
a) -1 b) -20 c) 3 d) -3 e) 9 f) 28 g) -16 h)-15 i)12 j) 20 k) 15 l) -18 m) 36 n) -7 o) -70
Página 2 - Exercício 2) R$ - 400,00 (quatrocentos reais negativo) Exercício 3) 9 graus Página 3 – Operações com números decimais:
1) 2,62m 2)R$47,05 3)4,29kg 4) 8,3l 5) Faltam 110,25g 6) 35 pacotes Página 3 – Exercícios – Equações
a) x=7 b) x=4 c)x=1 d)x=6 e) x=5 f)x=8 g) x=10 h) x=4 i)x=1 j) x=2 k)x=2 l) x=2/5 m) x=11 n) x=-2 o) x=3/2 p) x=6 q)x=-15 r)x=-12
13
s) x=6 t)x=-12 u)x=1 v)x=20 w) x=21 x) x=-2 y) x= -24 z) x=18 Página 4 – Exercícios:
a) 1 b) 0 c)7/18 d)1/4 e)1 f) 1 g) -1/2 h) 1/4 i)14/15 Página 4 - Problemas – Frações
4) 240 quilômetros 5) 30 litros 6) Pedro tem R$160,00 7) 20 questões 8) 12 jogos 9) 200l 10) 20 refrigerantes
11) 1/8 12) R$ 24,00 13) ½ 14) 8 pacotes Página 6 – Para Praticar Efetue
a) 28/25 b) 11/50 c) -111/400 d) 2/3 e) 9/10 f) 7/25 Página 6 – Para Praticar, Calcule
a) 100 b) 87,50 c) 9,8 d) 6,75 e) 24,8 f) 12,6 Página 6 – Problemas de Porcentagem
1) 13 lances 2) venceu 84% 3) 2500 alunos 4) R$510,00 Página 8 – Exercícios:
a) x’= 3 x”= 4 b) x’= 3 x”= 1 c) x’= 4 x”= 2 d) x’= 7 x”= 1 e) x’= 3 x”= -1 f) x’= 3 x”= -1
Página 9 – Exercícios: Encontre as raízes de:
a) x’= 0 x”= 2 b) x’=V3 c) x’= 0 x”= 2 d) x=6 e) x=-5 f) x’= 0 x”= 16 Página 10 - Exercícios
a) 79 b) 33 c) 94 d) 21 e) 31 f) 39 g) 320 h) 57 i) 8 j) 1
17
ESCREVA OS NÚMEROS ABAIXO EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1) Um número mais a sua metade é igual a 150.
Qual é esse número?
Solução:
n + n/2 = 150
(2n + n)/2 = 150
2n + n = 150 * 2
3n = 300
n = 300/3
n = 100
2) A diferença entre um número e sua quinta parte
é igual a 36. Qual é esse número?
Solução:
x - x/5 = 36
(5x - x)/5 = 36
4x/5 = 36
4x = 36 * 5
4x = 180
x = 180/4
x = 45
18
3) O triplo de um número é igual a sua metade
mais 20. Qual é esse número?
Solução:
3m = m/2 + 20
6m/2 = (m + 40)/2
6m = m + 40
6m - m = 40
5m = 40
m = 40/5
m = 8
4) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254.
Qual é esse número?
Solução:
3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83
5) O quádruplo de um número, diminuído de três,
é igual a 99. Qual é esse número ?
Solução:
4n - 3 = 99
4n = 99 + 3
4n = 102
n = 102/4
n = 25,5
6) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a
quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?
Solução:
(15 + a) + (17 + a) = 72
32 + 2a = 72
2a = 72 - 32
2a = 40
a = 40/2
a = 20
7) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20
veículos e 56 rodas. Determine o número de
bicicletas e de carros.
Solução:
(b * 2) + (c * 4) = 56
b + c = 20
b = 20 - c
((20 - c) * 2) + 4c = 56
40 - 2c + 4c = 56
2c = 56 - 40
2c = 16
c = 16 / 2
c = 8
b = 20 - 8
b = 12
Resposta: Existem 12 bicicletas e 8 carros.
8) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça
parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos
há na caixa?
Solução:
n/2 + n/3 = 75
(3n + 2n)/6 = 75
5n = 75 * 6
5n = 450
n = 450/5
n = 90
9) Em uma fábrica, um terço dos empregados são
estrangeiros e 90 empregados são brasileiros.
Quantos são os empregados da fábrica?
Solução:
2 * (e/3) = 90
2e = 90 * 3
2e = 270
e = 270/2
e = 135
outro exemplo,
2 * (e/3) = 90
e/3 = 90/2
e/3 = 45
e = 45 * 3
e = 135.
10) Numa caixa, o número de bolas pretas é o
triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24
pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual.
Qual a quantidade de bolas brancas?
Solução:
p = 3b
b - 4 = p – 24
b - 4 = 3b - 24
3b - b = 24 - 4
2b = 20
b = 20/2
b = 10
11) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três
pessoas, de modo que as duas primeiras recebam
quantias iguais e a terceira receba o dobro do que
receber as duas primeiras juntas?
Solucão:
19
2p + 2p + 2p = 438
6p = 438
p = 438/6
p = 73
Resposta: R$ 73,00 para cada uma das duas
primeiras e R$ 292,00 para a terceira pessoa.
12) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O
resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é
esse número?
Solução:
3n + 40 = 5n
5n - 3n = 40
2n = 40
n = 40/2
n = 20
13) Existem três números inteiros consecutivos
com soma igual a 393. Que números são esses?
Solução:
x + (x + 1) + (x + 2) = 393
3x + 3 = 393
3x = 390
x = 130
Resposta: Os números procurados são: 130, 131 e
132.
14) A soma das idades de André e Carlos é 22 anos.
Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se
que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução:
c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 9 anos.
1) Resolva as equações abaixo:
a) 2x - 6 = - x + 15
b) 2(x - 3) - 4x = - 3x - 8
2x + x = 15 + 6 2x - 6 - 4x = - 3x - 8
3x = 21 2x - 4x + 3x = - 8 + 6
x = 21/3 x = - 2
x = 7 x = - 2
S = {7} S = {-2}
---
c) 8x - (x + 3) = 11 d) 100x + 80 = 120x - (40x - 300)
8x - x - 3 = 11 100x + 80 = 120x -40x + 300
8x - x = 11 + 3 100x - 120x + 40x = 300 - 80
7x = 14 140x -120x = 220
x = 14/7 20x = 220
x = 14/7 x = 220/20
x = 2 → S = [2} x = 11 S = {11}
e) 9 - 3(2x - 8) + 2(4 - 5x) = 20 - (5 + 2x) f) 50x + 200 = 20(x - 4) + 100
9 - 6x + 24 + 8 -10x = 20 - 5 - 2x 50x + 200 = 20x - 80 + 100
-6x - 10x + 2x = 20 - 5 - 9 - 24 - 8 50x - 20x = - 80 + 100 -200
- 16x + 2x = 20 - 46 30x = -280 + 100
- 14x = - 26 . (-1) 30x = - 180
14x = 26 x = -180/30
x = 26/14 x = - 6
x = 13/7 → S = {13/7} S = {- 6}
---
g) 14t - 9 - 3t = 2t + 36 h) 6m + 3(10 - 4m) = 25 + 8m
14t - 3t - 2t = 36 + 9 6m + 30 - 12m = 25 + 8m
14t - 5t = 45 6m - 12m - 8m = 25 - 30
9t = 45 6m - 20m = - 5
t = 45/9 - 14m = -5
t = 5 14m = 5
S = {5} m = 5/14 → S = {5/14}
--.---
