elt116 008 modulacao fm

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Técnico em eletrônica Segundo módulo

2018/1

Modulação angular

Filipe Andrade La-Gatta [email protected]

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Modulação angular Introdução

Introdução

Existem várias maneiras de se modular um sinal senoidal.

De uma forma geral esse sinal senoidal a ser modulado é chamado de portadora, e pode ser expresso por :

e0(t) = E0cos(θ0(t)) (1)

onde :

E0: amplitude da portadora

θ0(t) = ω0(t) + φ0: é um ângulo variável em função do tempo

ω0= 2πf : é a frequência angular da portadora

φ: é a fase em relação a uma referência arbitrária

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Se examinarmos a equação anterior podemos observar que as características da portadora podem ser variadas através da variação da amplitude E0ou do ângulo

θ0como função de outro sinal, chamado de sinal modulante.

Este é o processo da modulação, e o sinal resultante, obtido a partir da variação de um desses parâmetros da portadora, chama-se sinal modulado.

Como já visto, o processo de modulação em amplitude ocorre quando se faz a amplitude E0 variar em função do nível do sinal modulante.

Quando a variação é imposta ao ângulo θ0(t) ,obtemos a chamada modulação

angular.

Como esse ângulo pode ser alterado seja pela variação de frequência f0 ou da fase

φ, a modulação angular pode ser dividida em :

MODULAÇÃO EM FREQUÊNCIA ( FM - Frequency modulation) MODULAÇÃO EM FASE ( PM - Phase modulation)

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Considerando-se a portadora expressa por e0(t) = E0cos(θ0(t)), a modulação em

fase consiste em se fazer variar a fase φ da portadora de modo proporcional ao nível do sinal modulante em(t).

Desta forma:

φ(t) = kφem(t) (2)

Esta expressão define a modulação em fase, onde kφ é uma constante de

proporcionalidade, função do modulador.

Na modulação em frequência, a frequência da portadora é feita variar em torno do seu valor original f0de forma proporcional ao sinal modulante em(t).

Assim :

f (t) = f0+ kfem(t) (3)

Que define a modulação em frequência, onde kf também é uma constante de

proporcionalidade, função do modulador.

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Modulação angular Modulação em frequência

Considere, por simplicidade, um sinal modulante cossenoidal, com a seguinte expressão:

em(t) = Emcos(ωmt). (4)

Se consideramos o processo de modulação em frequência, devemos escrever o parâmetro frequência instantânea da seguinte forma:

f (t) = f0+ kfEmcos(ωmt). (5)

Que na forma de frequência angular vira:

ω(t) = 2π(f0+ kfEmcos(ωmt)). (6)

Nesta última equação percebe-se que quando cos(ωmt) = 1, tem-se o valor

máximo de afastamento da frequência instantânea da frequência da portadora. Este afastamento é chamado então de desvio de frequência, e é expresso por:

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Como a frequência angular é variável no tempo devido ao termo ωm(t), e ainda

que kf, f0 e Emsão constantes, a relação entre o ângulo θ(t) e ω0(t) pode ser

escrita como: θ(t) = 2πf0+ 2πkfEm ωm sen(ωmt) = ω0+ kfEm fm sen(ωmt) (8)

Sabendo agora como se comporta o ângulo θ(t), o sinal modulado em frequência e(t), passa ser:

e(t) = E0cos(θt) = E0cos(ω0t +

kfEm

fm

sen(ωmt)) (9)

Desta equação tira-se o máximo valor da defasagem, que passa ser chamado de índice de modulação, β: β = kfEm fm =∆f fm (10)

Assim o sinal modulado pode ser escrito:

e(t) = E0cos(ω0t + βsen(ωmt)) (11)

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Figura:Modulação FM por sinal aleatório.

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Modulação angular Modulação em fase

Considere pro simplicidade novamente um sinal modulante cossenoidal, da seguinte forma

em(t) = cos(ωmt). (12)

Para o processo de modulação em fase, o parâmetro fase deve ser escrito da seguinte forma

φ(t) = kφEmcos(ωmt). (13)

Desenvolvendo esta expressão, tem-se:

θ(t) = ω0t + φ(t) = ω0t + kφEmcos(ωmt) (14)

Que leva à expressão do sinal modulado:

e(t) = E0cos(θ(t)) = E0cos(ω0t + kφEmcos(ωmt)) (15)

Percebe-se então que o valor máximo de φ(t) ocorre quando cos(ωmt) = 1 e é

expresso pela expressão ∆φ, que é o desvio de fase, dado por:

∆φ= kφEm. (16)

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Podemos obter a frequência instantânea do sinal modulado em fase, considerando: ω(t) = ω0− ∆φωmsen(ωmt) (17)

E a frequência instantânea será:

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Comparação FM x PM

Item FM PM

Portadora E0cos(ω0t + φ) E0cos(ω0t + φ)

Modulante cos(ωmt) cos(ωmt)

Parâmetro f0+ kfEmcos(ωmt) kφfEmcos(ωmt)

Fase kfEm

fm sen(ωmt) kφEmcos(ωmt)

Freq. f0+ kfEmfmsen(ωmt) f0− kφEmfmsen(ωmt)

Desvio de fase β = kfEm

fm ∆φ= kφEm

Desvio de freq. ∆f = kfEm ∆f = fm

Modulado E0cos(ω0t + βsen(ωmt)) E0cos(ω0t + ∆φcos(ωmt))

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Modulação angular Espectro do sinal FM

Espectro do sinal FM

Considerando a expressão do sinal modulado em frequência, conforme já visto anteriormente , onde:

e(t) = E0cos(ω0t + βsen(ωmt)) (19)

onde β = kfEm fm =∆f fm (20) é o índice de modulação.

Desenvolvendo esta expressão, a fim de escreve-la como uma soma de várias componentes senoidais, da mesma forma que no processo de AM escreve-se o sinal modulado como soma das componentes:

e(t) = E0· cos(ω0t) | {z } portadora + mE0 2 · cos(ω0+ ωm)t | {z } BLS + mE0 2 · cos(ω0− ωm)t | {z } BLI (21)

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Para a modulação FM o desenvolvimento é mais complexo, e a expressão de e(t) desenvolvida a partir da série trigonométrica de Fourier tem o seguinte aspecto :

e(t) = + J0E0cos(ω0t) (22)

+ J1E0cos(ω0+ ωmt) + J2E0cos(ω0+ 2ωmt) + J3E0cos(ω0+ 3ωmt)...

+ J1E0cos(ω0− ωmt) + J2E0cos(ω0− 2ωmt) + J3E0cos(ω0− 3ωmt)...

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Cabe observar que no espectro FM, ao invés de apenas duas raias laterais , teremos infinitas raias laterais distanciadas entre si de uma frequência fm, a partir

da portadora, sendo que as componentes equidistantes de f0 têm o mesmo valor

absoluto.

Entretanto, na faixa de frequência inferior à portadora as componentes de ordem ímpar têm o sinal inverso em relação as componentes de ordem ímpar

correspondentes na faixa de frequência superior.

Este fato pode ser constatado pela análise da expressão desenvolvida de e(t) e pode ser interpretado como uma inversão de fase.

Por outro lado no processo de AM a amplitude da componente na frequência da portadora é constante e as amplitudes das raias laterais variam em função do índice de modulação m.

Para o cálculo dos coeficientes J0, J1; J2, ..., Jn que definem as amplitudes das

componentes do sinal modulado em frequência é utilizada uma função que define o índice de modulação β , definida pela chamada função de BESSEL.

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Modulação angular Largura de banda do sinal FM

Largura de banda do sinal FM

O sinal modulado em frequência tem um espectro.

Desta forma a geração e transmissão de sinais FM ideais exigiriam uma largura de faixa infinita.

Entretanto existem sistemas FM com largura de faixa finita com bom desempenho. Isto se justifica pelo fato que as componentes espectrais suficientemente afastadas da portadora tem amplitude “pequena” e portanto podem ser desprezadas. Na verdade, este fato implica em distorção do sinal, mas que pode ser

minimizada, se considerarmos todas as componentes significativas do espectro. Desta forma a determinação da largura de faixa para transmissão de um sinal em FM reside em estabelecer que parte do espectro do sinal modulado é suficiente. Cabe ressaltar que isto será função da parcela de distorção que pode ser tolerada em cada aplicação específica.

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Tem-se então duas situações distintas que são consideradas por profissionais que lidam com modulações FM:

β ≥ 0, 3: B = 2βfm= 2∆f

β < 0, 3: B = 2fm

O primeiro caso é chamado normalmente de FM faixa larga, sendo que a banda necessária se mostra independente da frequência do sinal modulante fm.

Quando β <<< 1, tem-se o processo conhecido como FM faixa estreita, onde a banda necessária é o dobro da frequência do sinal modulante.

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Olhando com mais atenção o caso em que β <<< 1.

Para β = 0, 1 e β = 0, 2, todas as componentes laterais são pequenas quando comparadas com a portadora.

Nesta situação devemos considerar pelo menos as duas primeiras componentes laterais, caso contrário não há modulação (teríamos apenas a portadora). Desta forma para β << 1 as únicas componentes significativas vem a ser f0± fm

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