Prof. André Almeida | Prof. Marcos Diniz
Gabarito - Lista Semanal 06
Questão 1. Uma tempestade no mar dani cou uma plataforma do petróleo, produzindo uma vazamento de 60 m3/min que resultou numa mancha de forma circular com 25 centímetros de espessura.
(a) Qual a taxa de aumento do raio da mancha quando o raio é de 70 metros?
Solução: Sendo R o raio do círculo que varia de acordo com o tempo e h = 25 cm, a espessura da mancha , então o volume V do petróleo sobre o mar será dado por
V = πR2h = 25πR2. A taxa de variação, dV
dt , do volume em relação ao tempo é dV dt = 0, 25π · 2 · R dR dt = 0, 5πR dR dt em que RdR
dt é a taxa de variação do raio em relação ao tempo. Para dV dt =60 m 3/min e R = 70 m, temos 60 = 0, 5 · π · 70 ·dR dt . Logo, dR dt = 60 0, 5 · π · 70≈ 0, 55 m/min.
Assim, quando o raio é 70 metros, está aumentando à taxa de 0,55 m/min.
(b) Suponha que o defeito seja consertado de tal forma que o vazamento pare instantaneamente. Se o raio da mancha estava aumentando à taxa de 0,2 m/min quando o vazamento parou, qual foi o volume de petróleo derramado.
Solução: Sabemos que dV
dt = 60m
3/min. Então, para dR
dt = 0, 2m/min, teremos 60 = 0, 5 · π · R · 0, 2.
Então, R = 60 0, 5 · π · 0, 2.
Portanto, o volume de petróleo derramado foi V = 0, 25π 60 0, 5 · π · 0, 2 2 ≈ 28647m3.
Questão 2. Em um exame médico, o tamanho de um tumor aproximadamente esférico é estimado medindo-se o diâmetro do tumor e usando a expressão V = 4
3πR
3 para calcular o volume. Se o diâmetro medido é
2,5 cm com um erro máximo de 2%, qual é a precisão do volume medido?
Solução: Seja x o diâmetro em questão, então o volume do tumor, aproximadamente esférico, será dado por V = 4 3πR 3 = 4 3π x 2 3 = 1 6πx 3.
Temos que, o volume para x = 2, 5 cm é V (2, 5) = 1
6π(2, 5)
3≈ 8, 181 cm3.
Seja E a função que dá o erro cometido ao calcular o volume usando um diâmetro de x = 2, 5 cm, quando o diâmetro real é 2, 5 + ∆x, então
E = V (2, 5 + ∆x) − V (2, 5) ≈ V0(2, 5) · ∆x.
Como o erro máximo da medida do diâmetro é de 2%, então o erro pode ser no máximo de 0, 02·2, 5 = 0, 05 para mais ou para menos. Assim, ∆x = ±0, 05. Temos que
V0(x) = 1 2πx 2 e para x = 2, 5, teremos V0(2, 5) = 1 2π(2, 5) 2≈ 9, 817.
Substituindo V0(2, 5) e ∆x = ±0, 05 na equação que descreve o erro máximo do volume, temos
E = (9, 817) · (±0, 05) = ±0, 491.
Portanto, o erro cometido ao se calcular o volume correspondente a 8, 181 cm3 é 0, 491 cm3, então o
volume real V está no intervalo [7, 690; 8, 678].
Questão 3. Um avião caça descreve um círculo de 1 km de raio, como mostra a gura abaixo. Vamos assumir um sistema de coordenadas retangulares, de modo que a origem do sistema esteja no centro do círculo. A nave dispara um míssil que descreve uma trajetória retilínea tangente ao círculo e atinge um objeto sobre o solo cujas coordenadas são (2,-2).
Seja P = (x0, y0)o ponto sobre o círculo de onde foi disparado o míssil, então a reta que passa pelos
pontos P e Q é tangente à circunferência x2+ y2 = 1. Seja m a inclinação da reta que passa pelos
pontos P e Q, então
m = −2 − y0 2 − x0
.
Usamos derivação implícita para descobrirmos a inclinação de uma reta tangente à circunferência, isto é, d dx(x 2+ y2) = d dx(1) 2x + 2ydy dx = 0 Então, dy dx = − x0
y0 é a inclinação da reta tangente à circunferência de raio 1 no ponto P = (x0
, y0).
Logo, para a reta tangente ao grá co de x2+ y2 = 1 que passa pelos pontos P e Q, devemos ter
m = −2 − y0 2 − x0 = −x0 y0 = dy dx,
de onde temos que −2y0+ 2x0= x20+ y02= 1, pois P é um ponto da circunferência, logo x20+ y20 = 1.
Com essas informações temos o seguinte sistema
x20+ y02 = 1 2x0− 2y0 = 1
Resolvendo o sistema temos como solução os pontos P1 =
1 +√7 4 , −1 +√7 4 ! e P2 = 1 −√7 4 , −1 −√7 4 ! . Como nossa solução está no quarto quadrante, o ponto P = 1 −
√ 7 4 , −1 −√7 4 !
é ponto que pro-curávamos. Abaixo vemos o grá co
(b) Se o míssil for disparado do ponto −1 2, − √ 3 2 !
sobre o círculo, em que ponto se chocará com o solo?
Solução: A inclinação da reta tangente à circunfência no ponto P = −1 2, − √ 3 2 ! dado, será dy dx P = − 1 2 √ 3 2 = − √ 3 3 .
Logo, a equação da reta tangente à circunferência no ponto P será dada por y + √ 3 2 = − √ 3 3 x +1 2
Fazendo a intersecção com a reta y = −2, temos que x = −2 √
3 + 6 √
3 , logo se o míssil for disparado do ponto P = −1 2, − √ 3 2 !
, tocará o solo no ponto Q = −2 √ 3 + 6 √ 3 , −2 ! .
Questão 4. Considere a função f contínua de nida sobre [a, b], como na gura. Dado que de c1 a c10 são
números críticos:
(a) Enumere os números críticos nos quais f0
(x) = 0. Solução: Os números críticos nos quais f0
(x) = 0, são aqueles em que a reta tangente é paralela ao eixo x. De acordo com o grá co, vemos que os pontos em que a reta tangente é paralela ao eixo x são c1, c3, c4 e c10
(b) Enumere os números críticos nos quais f0
Questão 5. Considere a função f(x) = x4+ x3 − x − 1. Use esta função e o Teorema de Rolle para
mostrar que a equação 4x3+ 3x2− 1 = 0tem pelo menos uma raiz no intervalo [−1, 1].
Solução: A função f(x) = x4+ x3− x − 1 é uma função polinomial, que por sua vez é contínua em
[−1, 1] e diferenciável em (−1, 1). Temos também que f(−1) = f(1), de fato f (−1) = (−1)4+ (−1)3− (−1) − 1 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 e
f (1) = 14+ 13− 1 − 1 = 1 + 1 − 1 − 1 = 0.
Logo, f satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle, que garante a existência de um c ∈ (−1, 1), onde f0(c) = 0. Como f0(c) = 4c3+ 3c2− 1, temos que existe um c ∈ (−1, 1), tal que 4c3+ 3c2− 1 = 0, em
