VIGAS. Figura 1. Graus de liberdade de uma viga no plano

VIGAS

1 INTRODUÇÃO

A viga é um dos elementos estruturais mais utilizados em pontes, passarelas, edifícios principalmente pela facilidade de construção.

Qual a diferença entre a viga e a barra de treliça? Uma viga pode ser exemplificada por meio de uma barra horizontal que, apoiada em seus extremos e submetida a forças transversais, tem seu eixo deformado verticalmente, ou seja, a configuração geométrica de seu eixo se modifica. A forma de carregamento da viga faz com que ela seja solicitada, preponderantemente, pelo momento fletor e pela força cortante. Por outro lado, as barras de treliças são solicitadas apenas por forças normais de tração ou compressão, desde que atendidas as hipóteses que permitam considerar seus nós como ideais. Em alguns casos, as vigas também podem ser solicitadas axialmente.

2 DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS VIGAS

As vigas têm características geométricas semelhantes aos elementos que constituem as treliças (barras), pois uma das dimensões é muito superior às outras duas. Cada barra, analisada bidimensionalmente, tem três graus de liberdade para se movimentar no plano (duas translações e uma rotação). Esses deslocamentos podem ser evitados por meio de apoios externos e de ligações entre as barras.

Figura 1. Graus de liberdade de uma viga no plano

3 VÍNCULOS EXTERNOS (APOIOS)

Além dos tipos de apoios definidos anteriormente nas aulas sobre treliças (apoios móvel e fixo), as vigas também podem ser vinculadas externamente por meio de engastes. Enquanto o apoio móvel retira um grau de liberdade do elemento (um translação) e o apoio fixo retira dois graus de liberdade (duas translações), o engaste retira três graus de liberdade, pois, além de evitar os

Rv Rh Apoio móvel Rv Rh Apoio fixo

Rv

Rh

M

Engaste

Figura 2. Tipos de apoio e reações

4 ESFORÇOS SOLICITANTES EM VIGAS

As vigas são solicitadas, predominantemente, pelo momento fletor e pela força cortante. Em algumas situações, também poderão estar solicitadas pela força normal ou pelo momento fletor.

4.1 Cálculo das reações de apoio

Para avaliar os esforços solicitantes nas vigas, inicialmente é necessário determinar as reações de apoio, o que será feito de maneira análoga ao caso das treliças. Os apoios devem ser substituídos pelas reações que os mesmos podem proporcionar, sendo os valores das reações de apoio determinados por meio das três equações de equilíbrio:

∑

∑

∑

= = = 0 0 0 i y x M F F

Tomando-se, como exemplo, o caso de uma viga simplesmente apoiada com um carregamento constituído por uma viga uniformemente distribuída p, tem-se:

p L A B p L/2 pL L/2 RhA RvA RvB

Figura 3. Graus de liberdade de uma viga no plano

Após a substituição dos apoios pelas reações, em seu diagrama de corpo livre podem ser aplicadas as equações de equilíbrio:

+

∑

₌0⇒ ₌0 A x RH F + 2 0 2 0 _pLL _{RV L RV} pL MA = ⇒ − B = ⇒ B =

∑

+ 2 0 0 _{RV RV pL RV} pL F_y = ⇒ _A + _B − = ⇒ _A =

∑

4.2 Convenção de sinais para os esforços momento fletor e força cortante

O momento fletor (M) é considerado positivo quando traciona o lado de baixo da viga. A força cortante (V) é considerada positiva quando percorre o elemento no sentido horário. A Figura 4 mostra os sentidos adotados como positivos para esses esforços. A força normal (N) é considerada positiva se for de tração.

compressão tração

M

M

V

V

Figura 4. Sentidos positivos para o momento fletor (M) e a força cortante (V)

4.3 Determinação dos esforços solicitantes

Para se determinar o valor dos esforços solicitantes em uma determinada seção da viga, basta efetuar um “corte” nesta seção, separando a estrutura em duas partes. Na seção cortada estarão os esforços solicitantes, aos pares, devido ao efeito de ação e reação (3ª lei de Newton).

L/4

pL/2

3L/4

S

pL/2

L/4

pL/2

L/8

pL/4

Ms

Vs

p

3L/4

pL/2

3L/8

3pL/4

Vs

Ms

Figura 5. Momento fletor e força cortante na seção S

Analisando o equilíbrio de um dos lados, por exemplo, a parte à esquerda, podem ser obtidos os valores de Ms e de Vs, conforme segue:

+

∑

= ⇒ − − = ⇒ = 4 0 4 2 0 pL pL _{V V} pL Fy s s +

∑

= ⇒ ∗ − ∗ − = ⇒ = 32 3 0 8 4 4 2 0 2 pL M M L pL L pL M_{s s s}

A força normal foi omitida do desenho, tendo em vista que seu valor é nulo, pois não existem forças aplicadas na direção do comprimento da barra.

4.4 Diagramas de esforços solicitantes

Os diagramas de esforços solicitantes são gráficos que apresentam uma visão global dos esforços para todas as seções do elemento estrutural. Uma das maneiras de serem desenhados é por meio da análise de uma seção transversal situada em uma posição genérica do elemento. Por exemplo, adotando uma coordenada “x” a partir do apoio esquerdo da viga, e analisando a parte à esquerda de uma seção situada distante “x” desse apoio, como mostra Figura 4, podem ser obtidas as equações dos esforços:

p

x

pL/2

S

pL/2

x

pL/2

x/2

px

M(x)

V(x)

Figura 6. Momento fletor e força cortante na seção S distante “x” do apoio à esquerda

+

∑

F_y = ⇒ pL− px−V

( )

x = ⇒V

( )

x = pL− px 2 0 2 0 Ou seja:

( )

      − = p L x x V 2 +

( )

( )

2 2 0 2 2 0 2 px x pL x M x M x px x pL M_s = ⇒ − − = ⇒ = −

∑

Que pode ser simplificado em:

( )

(

2

)

2 Lx x

p x

M = −

A Figura 7 ilustra a representação gráfica dessas equações. No caso da força cortante, indica-se o sinal do esforço. No caso do momento fletor, isto não indica-será necessário, pois é usual deindica-senhar o diagrama da região tracionada da viga.

É importante observar que as equações para os esforços devem ser definidas por trechos, nos quais o carregamento pode ser descrito por uma única função. A análise de viga da Figura 8 ilustra o procedimento a ser seguido.

Nesse caso, existem 3 trechos a serem analisados. No primeiro, (“x” variando no intervalo entre A e B), o carregamento pode ser descrito pela função constante p(x) = p. No trecho seguinte (BC), o carregamento pode ser descrito pela função p(x) = 0. No último trecho (CD), teremos a mesma função p(x) = 0.

L pL/2 pL/2 + − V M pL²/8

Figura 7. Diagrama de esforços para duas situações de carregamento

p x A F B C D p A V(x) M(x) p A B _V(x)M(x) x p A F B C _V(x) M(x) x

Neste item serão estudadas as tensões normais (

σ

) e as tensões tangenciais (

τ

), também denominadas de tensões de cisalhamento, que ocorrem nas vigas sujeitas a um carregamento. Apenas os casos de elementos que apresentam seção transversal simétrica serão analisados.

Pode-se classificar a flexão, em relação aos esforços atuantes, da seguinte maneira:

• Flexão pura: quando só existe a atuação do momento fletor (o esforço normal e o esforço cortante são nulos);

• Flexão simples: quando ocorre a atuação simultânea do momento fletor e do esforço cortante (o esforço normal é nulo);

• Flexão composta: quando ocorre a atuação simultânea do momento fletor e do esforço normal.

Pode-se também classificar a flexão de acordo com a direção de aplicação dos esforços em relação ao eixo de simetria de viga (Figura 9):

• Flexão normal: quando o plano de atuação do momento fletor contém um dos eixos principais de inércia da seção transversal;

• Flexão oblíqua: quando o plano de atuação do momento fletor não contém um dos eixos principais de inércia da seção transversal.

C x z y C x z y a) b)

Na maioria das situações usuais de vigas, a solicitação é to tipo flexão normal simples, objeto de estudo neste texto.

Os eixos x, y e z estão posicionados no centróide C da seção transversal, de modo que o eixo x está orientado na direção do comprimento da viga.

5.1 Estudo das tensões normais

Considere a viga submetida à flexão em torno do eixo z (observe que o momento fletor Mz atua no plano xy). A viga apresenta deformações devido à ação de forças externas e pode intuir que sua face inferior sofre alongamentos, enquanto que a face superior sofre encurtamentos. Isto sugere que a parte inferior da barra se encontra tracionada e parte superior comprimida, ou seja, na parte inferior ocorrem tensões normais de tração e na parte superior ocorrem tensões normais de compressão.

dx

y

Figura 10. Barra solicitada por flexão simples

Isolando um trecho com comprimento dx da viga, conforme mostrado na Figura 11 e, considerando que as seções transversais permanecem planas após a deformação, observa-se que as deformações das fibras são proporcionais à sua distância ao eixo y, bem como as tensões normais (como conseqüência da Lei de Hooke: σ _=E.ε_).

Pode-se concluir que as tensões normais são proporcionais à cota y do ponto onde atuam, isto é, ocorre uma distribuição linear de tensões na seção transversal (Figura 11). O local da seção transversal onde as tensões normais são nulas é conhecido por linha neutra (LN). No caso da flexão simples, a linha neutra é coincidente com os pontos onde y=0.

As forças Fc e Ft são as resultantes das tensões normais de compressão e tração, respectivamente, e “d” a distância entre elas.

y dx y dx dx x y d Ft

Figura 11. Distribuição linear de tensões normais Na forma de equação a distribuição linear de tensões é equivalente a:

y c.

=

σ (c é uma constante)

Para se obterem os valores das tensões normais é necessário determinar o valor da constante c e a origem do eixo y e, conseqüentemente, dos eixos x e z. Para essa finalidade serão feitas duas deduções, a partir de condições de equilíbrio:

a) A força resultante das tensões normais que atuam na seção deve ser nula, ou seja, N=0:

∫

∫

∫

= = = = − = A A A c t F dA c y dA c y dA F N

_σ

. . . 0

Como a constante c deve ser diferente de zero, conclui-se que

∫

=

A

dA

y. 0_{, o que só ocorre}

quando a origem do eixo y for o centróide da seção transversal. Assim, a origem do sistema de coordenadas será o centróide da seção transversal (Figura 9).

b) O momento resultante das tensões normais que atuam na seção deve estar em equilíbrio com o momento fletor atuante (Mz):

∫

∫

∫

= = = = = A A A t c z F d F d y dA c y y dA c y dA M . .

_σ

. . . 2.

O momento de inércia da seção transversal, em relação ao eixo z (Iz) é uma característica geométrica e seu valor depende da forma e das dimensões da seção:

∫

=

A

z y dA

I 2.

Pode-se obter o valor da constante c:

z z z z I M c I c M = . ⇒ =

Conclui-se que o valor da tensão normal em um ponto qualquer da seção (com ordenada y) será dado pela equação:

y I M y c z z _. . ⇒ ₌ =

σ

σ

Pode-se observar que os pontos mais solicitados da seção transversal são aqueles mais distantes da linha neutra, isto é, os que apresentam os maiores valores de y.

Para efeito de dimensionamento da seção transversal, o objetivo é determinar a máxima tensão atuante. z z z z W M y I M = = max max

σ

Define-se, então, outra característica geométrica da seção transversal chamada de módulo de resistência à flexão em relação ao eixo z (Wz):

max y

I Wz = z

Cabe ressaltar que ao se analisar a flexão em torno do eixo z, aparece no equacionamento apresentado o parâmetro Iz, denominado momento de inércia à flexão (em torno em z), e de fundamental importância para a obtenção dos níveis de tensões normais ao longo da seção. De modo análogo, também pode ser calculado o Iy, quando se considera a flexão em torno do eixo y.