Sumário
Apresentação da Coleção
... 23INTRODUÇÃO
... 25 O que é lógica? ... 25 Divisão da Filosofi a ... 29 – Lógica de Aristóteles ... 30 – Lógica Moderna ... 30Raciocínio lógico matemático ... 32
Objeto da lógica ... 33 Divisão da lógica ... 33 – Lógica formal ... 33 – Enunciados Categóricos ... 35 Tipos de lógica ... 38 Capítulo 1
NOÇÕES DE CONJUNTOS
... 41 Representação ... 41 – Por enumeração ... 41 – Por propriedade ... 41 – Por diagrama ... 41 Conjunto Vazio ... 41 Igualdade de Conjuntos ... 42Subconjuntos ou partes de um conjunto ... 42
Triângulo de Pascal ... 42
– Curiosidades do Triângulo de Pascal ... 47
Curiosidade Matemática ... 47
– Outra dica: podemos usá-lo na resolução de análise combinatória! ... 48
– Propriedades do Triângulo de Pascal ... 54
– Propriedades ... 56 – Números quadrados ... 57 Propriedades ... 58 – Números Figurados ... 58 Números triangulares ... 58 Números quadrados ... 59 Números pentagonais ... 59
Cálculo do número Φ ... 64
– Defi nição algébrica ... 64
– Série de frações ... 65
– Série de raízes ... 66
– Proporção áurea na natureza ... 67
Figuras geométricas ... 67 Vegetais ... 67 Animais ... 68 Corpo humano ... 69 – Aplicações ... 70 Arte ... 70 Música ... 70 Objetos atuais ... 71 Operações ... 71 – Interseção ... 71 Propriedades ... 72 – União ... 72 Propriedades ... 72 – Diferença ... 72 Propriedade ... 73
– Princípio das gavetas de Dirichlet ... 81
Capítulo 2
DESAFIOS
... 95Capítulo 3
ESTRUTURAS LÓGICAS
... 109Defi nição de Lógica ... 109
Divisão da Lógica ... 110
Resumo da estrutura lógica ... 113
– Defi nição ... 113 – Objeto da Lógica ... 113 – Divisão da Lógica... 114 Partes da lógica ... 114 Ideia ... 114 – Compreensão da ideia ... 114 – Extensão da ideia ... 115
– Divisão das ideias ... 115
Ideias quanto à perfeição ... 115
Ideia quanto à compreensão ... 116
Ideias quanto à extensão ... 116
Termo ... 116
– Termos quanto à perfeição na representação da ideia ... 116
Juízo ... 117
Premissa ... 117
Silogismo ... 117
Proposição ... 118
– Paradoxo do Mentiroso ... 121
– Um verdadeiro Paradoxo do Mentiroso ... 122
Capítulo 4
CONECTIVOS LÓGICOS
... 123As tabelas verdade ... 123
Conjunção ... 124
Disjunção ... 125
– O uso do “ou” (disjunção) ... 126
Condicional ou subjunção ... 134
Termo intermediário ... 144
Negação ... 149
Regras de Morgan ... 150
– I. Negação da conjunção ... 150
– II. Negação da disjunção ... 150
– III. Negação de uma condicional ... 151
– IV. Negação de uma bicondicional ... 152
– V. Negação do Maior ou menor ... 153
Capítulo 5
USO DE DIAGRAMAS
... 169Capítulo 6
BICONDICIONAL OU BIJUNÇÃO
... 175Dicas importantes ... 177
Valoração lógica em linguagem corrente ... 185
Valoração em linguagem simbólica (tabelas-verdade) ... 187
Valoração com uso exclusivo de tabelas ... 189
Condição sufi ciente e necessária ... 191
Capítulo 7
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
... 193Leis de Morgan ... 196
Equivalências e suas aplicações ... 197
Capítulo 8
TAUTOLOGIAS
... 211Redundâncias ... 212
Contradições ... 213
Capítulo 9
ARGUMENTAÇÃO
... 215Cálculo Proposicional - Conectivos ... 221
Capítulo 10
LÓGICA INDUTIVA E DEDUTIVA
... 237Tipos de lógica ... 237
Capítulo 11
SOFISMAS
... 255Espécies de sofi smas ... 255
Lei das oposições ... 256
Falácia da afi rmação da consequente ... 257
Falácia da negação da antecedente ... 257
Falácia da inconsistência ... 258
Pseudosilogismos ... 258
Falácia dos quatro termos ... 259
Capítulo 12
SEQUÊNCIAS
... 261Capítulo 13
ANÁLISE COMBINATÓRIA
... 287FATORIAL ... 287
Princípio fundamental de contagem ... 288
Tabuleiro de Xadrez ... 291
Anagramas ... 294
Anagramas com repetição ... 295
Combinação e Pascal ... 297
Soluções inteiras não negativas de uma equação linear ... 305
Fatorial ... 306
Análise combinatória simples ... 306
Capítulo 14
PROBABILIDADES
... 319Espaço amostral ... 319
Probabilidade de um evento elementar ... 319
Probabilidade de um evento qualquer ... 320
Adição de Probabilidades ... 321
Eventos Complementares ... 322
Eventos Mutuamente Exclusivos ... 322
Probabilidade Amostrais Equiprováveis ... 322
Eventos Independentes ... 324
Lei de Murphy ... 324
Probabilidade de ocorrer a união de eventos ... 325
Probabilidade de não ocorrer um evento ... 325
Distribuição Binominal ... 326 Propriedades ... 329 Teorema de Bayes ... 330 Capítulo 15
CONJUNTOS NUMÉRICOS
... 345 Números Naturais ... 345 Números Inteiros (Z) ... 358 – Adição ... 359 – Subtração ... 359 – Valor absoluto ... 359 Defi nição ... 360 – Números simétricos ... 360– Operações com números inteiros (z) ... 361
– Adições e subtrações com números inteiros ... 361
– Multiplicação ... 362
Divisão inteira ... 363
Multiplicações e divisões com números inteiros ... 364
– Divisibilidade e números primos ... 368
Múltiplo de um número ... 368
Divisor de um número ... 369
Critérios de divisibilidade ... 369
Divisibilidade por 2 ... 369
Divisibilidade por 5 ... 369
Divisibilidade por 10, 100, 1000, etc ... 369
Divisibilidade por 4 ... 370 Divisibilidade por 8 ... 370 Divisibilidade por 25... 370 Divisibilidade por 3 ... 370 Divisibilidade por 9 ... 370 Divisibilidade por 6 ... 371 Divisibilidade por 12... 371 Divisibilidade por 7 ... 371 Divisibilidade por 11... 373 Divisibilidade por 13... 373
– Regra geral de divisibilidade ... 373
Números primos ... 382
Números compostos ... 383
Teorema fundamental da aritmética ... 383
Decomposição de um número em fatores primos... 384
– Número de divisores ... 385
Roteiro para obter todos os divisores naturais de um número ... 385
Roteiro para obtermos o número de divisores naturais de um número: nD(x) ... 386
– Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum ... 387
Múltiplos comuns e mínimo múltiplo comum ... 387
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) ... 388
Determinação do MMC pelo processo simplifi cado ... 389
Divisores comuns e máximo divisor comum ... 389
Determinação do MDC por decomposições em fatores primos ... 390
Máximo Divisor Comum (M.D.C) ... 390
Determinação do MDC pelo processo simplifi cado ... 391
– Propriedades do MMC e do MDC ... 404 Números racionais ... 406 – Operações e propriedades ... 406 Conceito ... 406 – Subconjuntos Importantes ... 407 – Representação fracionária ... 408
– Representação decimal de um número racional ... 409
Inteiro ... 409
Expansão Decimal Finita ... 409
Expansão Decimal Infi nita Periódica ... 409
– Determinação de uma fração geratriz ... 409
Como determinar uma fração geratriz ... 409
Números mistos... 412
– Adição e subtração de frações ... 412
Com Denominadores Iguais ... 412
Com Denominadores Diferentes ... 412
– Multiplicação de frações ... 412
– Divisão envolvendo frações ... 414
Potenciação e radiciação ... 417
– Potenciação ... 417
Propriedades Operatórias com Potências ... 417
Regras de sinais nas potenciações ... 418
RADICIAÇÃO ... 418
– Cálculo de Raízes quadradas Exatas de números entre 100 e 10.000 ... 419
– Propriedades operatórias com radicais ... 420
Capítulo 16
EQUAÇÕES E SISTEMAS
... 439Equação do 1º grau ... 439
– Sistemas de equações de 1º grau com duas equações e duas incógnitas ... 441
2º Método – Adição ... 442
Equações do 2º grau ... 450
– Resolução das equações completas ... 450
Inequações envolvendo funções do 1º grau ... 456
Inequações envolvendo funções quadráticas ... 457
Função polinomial do 20 grau ou função quadrática ... 459
– Condição de existência das raízes ... 459
– Intersecção com os eixos ... 460
Intersecção com o eixo dos y ... 460
Intersecção com o eixo dos x ... 460
– Coordenadas do vértice ... 461
– Valor mínimo e valor máximo ... 462
Capítulo 17
SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
... 469Sistemas MKS ... 469 – Transformação de unidades ... 469 Notação científi ca ... 469 – Unidades de comprimento ... 470 – Unidades de superfície ... 470 – Unidades de volume ... 470
– Medida de volume (litro) ... 470
– Relação entre m3 e litro ... 471
– Unidades de massa... 471 – Sistema sexagesimal ... 471 – Sistema decimal ... 471 Capítulo 18
RAZÃO E PROPORÇÃO
... 479 RAZÃO ... 479 – Escala ... 482– Grandezas diretamente proporcionais ... 486
– Grandezas inversamente proporcionais ... 486
– Relação entre proporção inversa e proporção direta ... 487
– Divisão em partes diretamente proporcionais ... 487
1º caso: Divisão em partes diretamente proporcionais ... 487
2º caso: Divisão em partes inversamente proporcionais ... 488
3º caso: Divisão composta direta ... 489
4º caso: Divisão composta mista ... 490
Grandezas direta e inversamente proporcionais ... 491
Capítulo 19
REGRA DE TRÊS
... 503Relação de proporção direta ... 503
Grandezas proporcionais a várias outras ... 505
– Propriedade ... 506
Capítulo 20
PORCENTAGEM
... 517Variação percentual ... 518
– Operações com mercadorias ... 527
Acréscimos e descontos sucessivos ... 529
Capítulo 21
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
... 539Juros simples ... 540
– Cálculo de Juro simples ... 541
– Montante ... 542
Casos particulares: capital, taxas e prazo médios ... 542
Juro composto ou capitalizado ... 544
Análise comparativa entre juros simples, Juros compostos e desconto bancário ... 553
– Juros Compostos x Juros Simples ... 553
Capítulo 22
DESCONTOS E TAXAS
... 559Taxas proporcionais ... 559
– Taxas Equivalentes ... 560
Taxa Nominal e Efetiva ... 560
Taxa Real ... 561
Taxa Aparente ... 561
Taxa Interna de Retorno (TIR) ... 565
Descontos ... 568
Desconto composto ... 576
Desconto comercial composto ... 577
Desconto racional composto ... 578
Taxa efetiva para desconto comercial ... 580
Capítulo 23
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS
... 591Sequência numérica ... 591
Progressão Aritmética (PA) ... 591
– Defi nição ... 591
– Propriedades ... 591
– Fórmula do termo geral de uma PA ... 592
– Representações especiais ... 593
– Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A. ... 593
Progressão Geométrica (PG) ... 597
– Propriedades ... 597
– Fórmula do termo geral ... 598
Representações especiais ... 598
– Fórmulas da soma dos n termos de uma PG fi nita ... 598
– Soma dos termos de uma PG infi nita ... 599
Capítulo 24
ÁLGEBRA LINEAR
... 619 Matrizes ... 619 – Introdução ... 619 – Elementos ... 619 – Matriz quadrada ... 619– Matriz unidade ou matriz identidade ... 619
– Igualdade de matrizes ... 620
– Matriz transposta ... 620
– Matriz simétrica ... 620
Operações com matrizes ... 620
– a) Adição ... 620
– b) Multiplicação de matriz por escalar ... 621
– c) Produto de matrizes ... 621
Inversa de uma matriz ... 622
Determinantes ... 622
– Introdução ... 622
– Determinantes de 2ª ordem ... 622
– Determinantes de 3ª ordem ... 623
– Propriedades dos determinantes ... 623
Sistemas lineares ... 642
– Classifi cação dos sistemas quanto ao número de soluções ... 642
– Matriz escalonada ou sistema escalonado ... 642
– Princípios de equivalência de sistemas ... 642
Capítulo 25
GEOMETRIA BÁSICA
... 651Introdução à geometria plana ... 651
– Ponto reta, plano, semi-reta, segmento, ângulo ... 651
– Segmentos consecutivos, colineares, adjacentes ... 651
– Ponto médio de um segmento ... 652
– Mediatriz de um segmento ... 652
– Ângulos reto, raso, agudo, obtuso ... 652
– Ângulos complementares e ângulos suplementares ... 653
Triângulos e polígonos ... 655
– Elementos de um polígono ... 655
– Nº de diagonais de um polígono ... 655
– Classifi cação dos triângulos ... 655
– Ângulos formados por duas paralelas e uma transversal... 656
– Classifi cação dos triângulos ... 656
– Segmentos e pontos notáveis do triângulo ... 657
1. Medianas ... 657
2. Alturas ... 657
3. Bissetriz internas e externas... 657
4. Mediatrizes ... 658
Desigualdades entre os elementos de um triângulo ... 658
– Soma dos ângulos internos de um triângulo ... 658
– Teorema do ângulo externo de um triângulo ... 659
– Ângulo interno e ângulo externo de um polígono regular ... 659
– Quadriláteros ... 659
Defi nição e classifi cação ... 659
Paralelogramo ... 660 Base média ... 661 1. Do triângulo ... 661 2. Do trapézio ... 662 Circunferência e disco ... 662 – Defi nição ... 662 – Retas e Circunferências ... 663 – Ângulos em um disco ... 663
1. Ângulo central: vértice no centro ... 663
2. Ângulo inscrito: vértice no círculo, 2 lados secantes ... 664
– Quadrilátero inscritível ... 664
– Quadrilátero circunscritível ... 665
Segmentos proporcionais ... 665
Teoria de Tales ... 665
Teorema da bissetriz interna ... 665
– Teorema de bissetriz externa ... 666
Semelhança de triângulos e polígonos ... 666
Triângulos semelhantes ... 666
Relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo ... 667
– Elementos do triângulo retângulo ... 667
– Principais relações métricas ... 667
– Razões trigonométricas ... 667
Seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis ... 668
Lei dos co-senos ... 668
Lei dos senos ... 668
Relações métricas no círculo ... 669
– Relações métricas ... 669
Polígonos regulares ... 669
– Elementos principais de um polígono regular ... 670
– Comprimento... 670
– Áreas das fi guras planas ... 670
– Paralelepípedo reto retângulo ... 672
– Cubo ... 673
– Cilindro circular reto ... 673
– Cone reto ... 673
– Esfera ... 673
Capítulo 26
ESTATÍSTICA
... 711População ... 711
Gráfi cos estatísticos ... 711
– Características ... 711
– Gráfi cos de informação ... 711
– Gráfi cos de análise... 712
– Classifi cação dos gráfi cos ... 712
Média... 719
Medidas separatrizes ... 720
– Mediana ... 720
– Relação entre a mediana e as demais medidas separatrizes ... 720
– Propriedades da Mediana ... 721
Capítulo 27
DICAS E MACETES
... 737Conectivos lógicos: “não”, “e”, “ou”, “se ...então “ e “se e somente se “ ... 737
Equivalências Tautológicas ... 738
Simbologia ... 739
Alfabeto grego ... 740
Dicas de Raciocínio Lógico ... 740
Dicas de Matemática ... 753 Capítulo 28
