Fubini: por que dá certo e o que fazer quando dá errado

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Fubini: por que d ´a certo e

o que fazer quando d ´a errado

Marcelo Viana

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Teorema de Fubini

Comecemos por lembrar o que diz o teorema de Fubini, numa situac¸ ˜ao simples:

E Ex Ex x x Z

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Teorema de Fubini

Em particular,

comprimento(Ex) =0 para todo x

⇓ area(E) =0 E Ex Ex x x

comprimento(Ex) =0 paraquasetodo x

⇓ ⇑

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Teorema de Fubini

Em particular,

comprimento(Ex) =0 para todo x

⇓ area(E) =0 E Ex Ex x x

(5)

Teorema de Fubini

O teorema ´e v ´alido com muito maior generalidade:

para integrais de func¸ ˜oes:

Z E f(x,y)dx dy = Z Z Ex f(x,y)dy dx

para qualquer espac¸o euclideanoRd(integrais m ´ultiplas): volumed(E) =

Z

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Teorema de Fubini

Z E f(x,y)dx dy = Z Z Ex f(x,y)dy dx

para qualquer espac¸o euclideanoRd(integrais m ´ultiplas): volumed(E) =

Z

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Teorema de Fubini

Z E f(x,y)dx dy = Z Z Ex f(x,y)dy dx

para qualquer espac¸o euclideanoRd(integrais m ´ultiplas):

volumed(E) =

Z

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Medidas produto

Porqu ˆe o teorema de Fubini vale ?

Porque a ´area ´e o produto de duas medidas de comprimento:

area(A×B) =comprimento(A)·comprimento(B).

(9)

Medidas produto

Esta resposta ´ecorreta. De fato, o teorema de Fubini vale em

qualquer espac¸o produto(X ×Y, µ× ν)de medida.

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Medidas produto

Esta resposta ´ecorreta. De fato, o teorema de Fubini vale em

qualquer espac¸o produto(X ×Y, µ× ν)de medida.

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Probabilidades condicionais - Exemplo 1

Seja(X, µ)um espac¸o de medida (p. ex.: X _{= R}2eµ =area).

Dada uma partiç ão finitaP = {P1, . . . ,Pn}do espaço X ,

P1

Pj

E

definaµj = restriç ão normalizada deµa Pj, isto é, µj(E) = µ(E∩Pj)

µ(Pj)

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Probabilidades condicionais - Exemplo 1

Para qualquer E ⊂X tem-se a seguinte f ´ormula detipo Fubini:

µ(E) = n X

j=1

µj(E)pj onde pj = µ(Pj). Confira!

Cadaµj é chamadaprobabilidade condicionaldeµdado Pj. Esta construç ão se estende a partiç ões enumer áveis.

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Probabilidades condicionais - Exemplo 1

Para qualquer E ⊂X tem-se a seguinte f ´ormula detipo Fubini:

µ(E) = n X

j=1

µj(E)pj onde pj = µ(Pj). Confira!

Cadaµj ´e chamadaprobabilidade condicionaldeµdado Pj.

(14)

Probabilidades condicionais - Exemplo 2

Agora consideremos a seguinte situac¸ ˜ao:

x

Fx

Ex φ

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Probabilidades condicionais - Exemplo 2

Vale uma f ´ormula detipo Fubini:

area(E) = Z

λx(Ex)dx

onde cadaλx ´e um “comprimento ponderado” ao longo da

curvaFx, dado por

λx(B) = Z

B

|det Dφ| |∂yφ| ◦ φ

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Probabilidades condicionais - Exemplo 2

Neste caso a partiç ão én ão enumer ávele os seus elementos

t êm área zero(ao contr ário do Exemplo 1).

Continua valendo que

area(E) =0

m

comprimento(Ex) =0 para quase todo x .

O teorema da desintegrac¸ ˜ao de Rokhlin unifica estes e muitos outros exemplos.

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Teorema da desintegrac¸ ˜ao

Seja(X,X , µ)um espac¸o de medida finita e considere uma

partiç ãoP decentede X em conjuntos mensur áveis.

Teorema de Rokhlin

Existe uma medidaµˆemP e uma fam´ılia de probabilidades

{µP :P∈ P}tais queµP(P) =1 e

µ(E) = Z

P

µP(E)dµ(P)ˆ

para todo conjunto mensur ´avel E ⊂X .

No Exemplo 1: µ({ˆ Pj}) =pj e µPj = µj No Exemplo 2: µ =ˆ dx e µFx = λx

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Teorema da desintegrac¸ ˜ao

Seja(X,X , µ)um espac¸o de medida finita e considere uma

partiç ãoP decentede X em conjuntos mensur áveis.

Teorema de Rokhlin

Existe uma medidaµˆemP e uma fam´ılia de probabilidades

{µP :P∈ P}tais queµP(P) =1 e

µ(E) = Z

P

µP(E)dµ(P)ˆ

para todo conjunto mensur ´avel E ⊂X .

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Partic¸ ˜

oes decentes

Dizemos que a partiç ãoP édecentese ela pode ser obtida por

uma sequ ência enumer ável de bisseç ões do espaço X em conjuntos mensur áveis.

No Exemplo 1:

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Partic¸ ˜

oes decentes

Dizemos que a partiç ãoP édecentese ela pode ser obtida por

uma sequ ência enumer ável de bisseç ões do espaço X em conjuntos mensur áveis.

No Exemplo 1:

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Partic¸ ˜

oes decentes

A partiç ão do quadrado em segmentos verticais é decente: basta usar os racionais para definir as bisseç ões.

x1 x2 q

Da´ı segue que a partiç ão do Exemplo 2 tamb ém é decente.

Partiç ões n ão-decentes existem.

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Partic¸ ˜

oes decentes

A partiç ão do quadrado em segmentos verticais é decente: basta usar os racionais para definir as bisseç ões.

x1 x2 q

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Desconstruindo Fubini

O teorema de Rokhlin diz que uma f órmula de tipo Fubini é totalmente geral, n ão tem nada que ver com espaços produto. Por outro lado, coisas muito estranhas podem acontecer:

Teorema

Existem partiç ões do quadrado Q em curvas suavesFx e existem conjuntos mensur áveis Z ⊂Q tais que

(a) area(Z) =1 e, no entanto,

(b) cardinal(Z ∩ Fx) =1 para todo x .

O comprimento de Z ∩ Fx é sempre zero, no entanto, a área do conjunto Z n ão é zero!

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Desconstruindo Fubini

O teorema de Rokhlin diz que uma f órmula de tipo Fubini é totalmente geral, n ão tem nada que ver com espaços produto. Por outro lado, coisas muito estranhas podem acontecer:

Teorema

Existem partic¸ ˜oes do quadrado Q em curvas suavesFx e

existem conjuntos mensur ´aveis Z ⊂Q tais que

(a) area(Z) =1 e, no entanto,

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Desconstruindo Fubini

(26)

Desconstruindo Fubini

Quem s ˜ao as probabilidadesµx neste tipo de exemplo ?

1= µ(Z) = Z 1 0 µx(Z)dx = Z 1 0 µx(Z ∩ Fx)dx implicaµx =medidadelta de Diracno ´unico ponto de Z∩ Fx

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Desconstruindo Fubini

Quem s ˜ao as probabilidadesµx neste tipo de exemplo ?

1= µ(Z) = Z 1 0 µx(Z)dx = Z 1 0 µx(Z ∩ Fx)dx

implicaµx =medidadelta de Diracno ´unico ponto de Z∩ Fx

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Desintegrac¸ ˜ao at ˆ

omica em Din ˆamica

Na última d écada foi descoberto que situaç ões como esta s ão muito comuns em Din âmica. Vamos apresentar um exemplo.

f0: T2×S1→ T2×S1, f0(z,w) = (g(z),w) onde g: T2→ T2, g([x,y]) = 2 1 1 1 x y lembrando que_T2= R2_/Z2

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Desintegrac¸ ˜ao at ˆ

omica em Din ˆamica

Teorema

Para todo difeomorfismo f _{: T}2_×_S→

T2×S1_{pr ´oximo de f} 0

existe uma partic¸ ˜ao deT2×S1em curvas fechadas suaves

(chamadasfolhas centrais) tal que f(Fp) =Ff(p)para todo p.

S1

T2 p

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Desintegrac¸ ˜ao at ˆ

omica em Din ˆamica

Suponha que f :M→M preserva volume e satisfaz uma

propriedade t ´ecnica (fraca) chamada acessibilidade.

Teorema (Avila, Viana, Wilkinson)

Ent ão a medida de volume tem desintegraç ão at ômica, a menos que a transformaç ão seja da forma

f _{: T}2×S1→ T2×S1, f(z,w) = (g(z),w + α(z))

m ´odulo alguma mudanc¸a suave de coordenadas.

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µ(E) = n X j=1 µ(E∩Pj) = n X j=1 µ(E∩Pj) µ(Pj) pj = n X j=1 µj(E)pj Voltar

(32)

area(E) = Z Z E 1dx dy denotando D= φ−1₍_E₎ = Z Z D

|det Dφ|dx dy (mudanc¸a de vari ´avel)

= Z

dx Z

Dx

|det Dφ|dy (teorema de Fubini)

= Z dx Z Ex |det Dφ| |∂yφ| ◦ φ

−1_ds _{(mudanc¸a de vari ´avel)}