Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV)
Macroeconomia I / 2017
Professor: Rubens Penha Cysne
Lista de Exercícios 7
Inovações Horizontais: Modelo de "Equipamento de Laboratório"
1- Nesta lista teremos apenas um exercício, com vários itens. O exercício desenvolve um dos modelos de Inovações Horizontais. Dá-se usualmente ao mesmo o apelido de "Modelo de Equipamento de Laboratório"; em inglês, "Lab Equipment Model"1. A alcunha se deve ao fato de o modelo supor que
o setor de P&D (pesquisa e desenvolvimento) prescinde de mão de obra. O modelo se desenvolveu originalmente em Rivera Batiz e Romer (QJE, 1991) e em Barro e Sala-i-Martin (1992, Review of Economic Studies2).
I) Firmas produtoras do bem de consumo …nal
Uma economia apresenta, a cada ponto no tempo, um grande número de …rmas, com função de produção:
Yi = AL1 ai N
X
j=1
(Xij)a; 0 < a < 1 (1)
Xij representa a quantidade de insumo j usado na produção do produto i.
Tais …rmas (responsáveis pela produção do produto …nal Y =PiYi operam
de forma competitiva. Tal produto é usado para consumo, para a produção de bens intermediários X e, também, como o único insumo para a produção de pesquisa e desenvolvimento (setor responsável pelo aumento de N).
Observe que se todos os insumos j fossem usados na mesma quantidade Xi (o que vai ocorrer, em equilíbrio) teríamos:
Yi = AL1 ai X a
iN = AL 1 a
i (N Xi)aN(1 a)
1Por motivos didáticos, trata-se do primeiro modelo apresentado tanto em ACE quanto em BM.
2Este artigo foi publicado como trabalho da NBER antes da publicação de Rivera Batiz e Romer.
Dado N, teríamos, para cada …rma produtiva i, retornos constantes de escala em Li e N Xi;a quantidade total de insumos usados pela …rma i.
A maximização de lucro da …rma i, Gi; na produção de Yi; se dá em
concorrência perfeita tomando-se o preço do produto como dado (que, aqui, usamos como numerário, sendo igual a 1 em todos os pontos do tempo):
Gi = AL1 ai N
X
j=1
(Xija PjXij) wLi
Tal otimização determina a demanda (da …rma i) pelos insumos Xij em
função de seu respectivo preço Pj: Determina também a demanda (da …rma
i) por trabalho, Li;em função de w.
a) Encontre tais demandas Xij e Li e mostre que elas dependem
negati-vamente, respectinegati-vamente, de Pj e de w.
II - Firmas produtoras dos insumos intermediários X e também responsáveis pelos desenhos de novos insumos (uma …rma para cada insumo efetivamente produzido, totalizando N …rmas e N tipos de insumos X).
Uma …rma possivelmente entrante neste mercado (com um novo insumo X) calcula seu preço ótimo tendo como base seu poder monopolista. Depois, calcula o valor atual do lucro daí possivelmente advindo. Com base nestes dados, e nos custos envolvidos na criação do produto, este entrante potencial decide sob que condições vale ou não a pena entrar no negócio, produzindo um novo insumo X. Abaixo, detalhamos os cálculos efetuados.
Primeiro estágio: cálculo do preço ótimo.
b) Agregue (em i) as demandas Xij = hi(Pj)calculadas no item a (para
cada …rma i) para mostrar que a demanda total pelo insumo Xj se determina
em função do preço Pj de tal insumo como
Xj = L(Aa=Pj)1=(1 a) (2)
onde L =PiLi:
Admite-se que o custo para produzir um insumo uma vez descoberto seja uma unidade de produto (que tem preço igual a 1). Logo, o lucro j na
produção de Xj; função de Pj;será dado por:
onde Xj é dado por (2).
c) Agindo como monopolista (única produtora da variedade Xj);a …rma
j escolhe Pj de tal forma a maximizar seu lucro. Mostre que isto implica:
Pj = 1=a (4)
ou seja, o markup percentual M sobre o custo médio (e marginal) na produção de Xj é dado por M = 1 aa > 0; o preço de venda superando
o custo marginal: Isto implica, como sabemos, para cada insumo Xj; uma
oferta agregada inferior àquela socialmente ótima3.
d) Use (4) em (2) para calcular a demanda agregada Xj pelo insumo j
em fução dos parâmetros do modelo e de L.
Xj = A1=(1 a)a2=(1 a)L (5)
Observe que tal demanda não depende de j: Como a quantidade demandada de cada insumo j é igual, a quantidade total X de insumos intermediários produzidos na economia representa-se por:
X = N Xj = A1=(1 a)a2=(1 a)N L (6)
e)Use (1), sua resposta do item ’a’e a equação (4) para achar Yi: Faça
Y =PiYi para obter:
Y = A1=(1 a)a2a=(1 a)N L (7)
Note que as duas últimas equações acima implicam
X = a2Y (8)
f) Substitua (4) e (5) em (3) para obter o lucro instantâneo tem função
dos parâmetros do modelo:
t = LA1=(1 a)
1 a a a
2=(1 a) (9)
Observe que o lucro não depende de t, podendo-se fazer t= :
3A solução do planejador central, desta forma, deverá diferir desta solução descentral-izada.
g) De…na a taxa de desconto do tempo t ao tempo v; com juro variável (no presente modelo, não há crescimento demográ…co):
Rt;v = exp(
Z v t
rxdx) (10)
Admita que uma vez incorrido o custo de se ter mais um insumo X, a …rma produtora tem uma patente perpétua de proteção de sua tecnologia. Conclua que, neste caso, tem-se o lucro em valor atual no instante t:
Vt=
Z 1 t
vRt;vdv (11)
Segundo Estágio: Decisão sobre Entrar e Produzir mais um tipo de Insumo X
h) Suponha que o custo para entrar no negócio de produção de X seja constante e igual a b, em unidades de produto Y4. Suponha também que
há livre entrada, tornando o lucro em termos de valor atual igual a zero. Conclua que, neste caso, tem-se Vt= b:Diferencie esta equação com relação
ao tempo para obter: _ Vt = tRt;t+ Z 1 t v @Rt;v @t dv = tRt;t+ Z 1 t vRt;vrtdv = t+ rtVt
A primeira linha usa o teorema fundamental do cálculo, a regra da cadeia e, assumindo (informalmente) que a troca de limites seja válida, iguala a derivada da integral à integral da derivada (observe que a regra de Leibniz não pode ser usada aqui porque o domínio de integração não é compacto). A segunda linha usa a de…nição de Rt;v em (10), a regra da cadeia (na função
exp) e (novamente) o teorema fundamental do cálculo. A terceira linha usa a de…nição de Vt dada por (11):
Conclua daí que nesta economia a taxa de juros deve obedecer a5:
rt= _ Vt Vt + t Vt
4É aqui que tal modelo ganha o nome de "equipamento de laboratório". A produção de novos insumos não demanda mão de obra, mas apenas n unidades do produto …nal.
5Para uma obtenção alternativa desta mesma equação como aplicação do Teorema de Hamilton-Jacobi-Bellman, veja Acemoglu (2009, p. 244-246 e p. 436).
i) Como _V = 0 (livre entrada e custo de entrada constante e igual a b) tem-se rt= Vtt =b: Ou seja, a taxa de juros nesta economia deve ser tal que
iguale o valor descontado dos lucros futuros de se entrar no mercado com uma inovação (de insumos) ao seu custo b. Usando-se o fato que b = Vt e
(9):
r = (L=b)A1=(1 a)1 a a a
2=(1 a) (12)
Use (7) para obter:
rt= r = t Vt = t b = (Y =bN )a(1 a) (13) Consumidores:
Faça D representar os ativos da economia bN: bN representa os ativos desta economia porque dá direito a um ‡uxo de rendimentos futuros cujo valor atual na data t corresponde a tal montante.
Os exercícios a-i tratam apenas da produção nesta economia. Supõe-se, como de costume, que os consumidores maximizem:
Z 1 0 c(t)1 1 e tdt (onde C = cL) sujeito a _ D = rD + wL C (14)
e à condição NPG ("não haver jogo de Ponzi"). j) Mostre que nesta economia deve valer:
_ C C = 1 (r ) (15) e lim t!1atRt = 0 Equilíbrio Geral
Visto o comportamento das …rmas e das famílias, podemos passar agora à análise de como tal economia se equilibra. Nesta economia os ativos D são iguais bN e sua variação se expressa por dD/dt=b ·N. Do item (a) sabemos que w = (1 a)(Y =L). A renda da economia é
P N B = Re nda = wL + rbN (13)= (1 a)Y + (Y =bN )a(1 a)bN = ((1 a) + (1 a)a)Y = (1 a2)Y (8)= Y X
Observe que Y não é o PNB da economia, mas sim Y-X=Y-Produção Intermediária. A restrição orçamentária (14) pode então ser escrita como
b _N = Y X C
Mostre, usando (12) e (15), que a taxa de crescimento do consumo nesta economia é dada por:
_ C C = 1 ((L=b)A1=(1 a)1 a a a 2=(1 a) )
Note que c=C/L e que como L é constante a taxa de crescimento de c é igual a de C.
k) Prove que N, X e Y crescem à mesma taxa que C. _________________
Solução do Planejador Central
Nesta economia o planejador central otimiza R01c(t)11 e tdt sujeito à
restrição:
b _N = Y Lc X
Observe que tal restrição já incorpora: i) o custo instantâneo da invenção de novos insumos (que toma b _N unidades de produto) e; ii) o custo da produção do total de insumos X (igual a 1.X em unidades de produto).
Ao mesmo tempo, o planejador central visualiza a função de produção agregada
Y = AL1 aXaN1 a
l) Mostre que, dados L e N, Y e X terão valores superiores àqueles obti-dos no caso da economia descentralizada. Mostre também que a taxa de crescimento na economia descentralizada é inferior àquela da economia cen-tralizada.
m) Explique economicamente porque se dá o que se descreve no item anterior e se o governo poderia de alguma forma interferir na economia de-scentralizada de forma a tentar aproximar a economia da taxa de crescimento da economia centralizada.
