O QUE ALUNOS DO ENSINO MÉDIO MOSTRAM SABER SOBRE
PROPORCIONALIDADE, PERANTE ANÁLISE DE SUAS PRODUÇÕES ESCRITAS
Diego Fogaça Carvalho1 – FECILCAM - diegofcarva@yahoo.com.br Willian Beline2 – FECILCAM/UEL - wbeline@gmail.com Resumo: O presente trabalho visa abordar o que os alunos de Ensino Médio mostram saber sobre
proporcionalidade, perante Análise de suas Produções Escritas. Como instrumento para este relato, utilizamos resultados provindos de outra pesquisa (CARVALHO, 2008), que teve o objetivo de aplicar a Análise da Produção Escrita como estratégia de ensino e aprendizagem em Matemática em uma sala de Ensino Médio. Perante os resultados desse primeiro trabalho, foi possível verificar que alguns alunos dessa turma não atribuíam sentido aos valores por eles obtidos em suas produções, aceitando como resposta valores desvinculadas do contexto apresentado pela questão. Diante desta situação, direcionamos a nossa atenção para essas produções, e em especial, para um dos exercícios, no qual foi possível identificar que ao operar com a proporcionalidade os alunos mostraram ter mecanizado os procedimentos, ao invés de ter atribuído significado para o conceito matemático.
Palavras Chave: Educação Matemática. Produção Escrita. Ensino e Aprendizagem em Matemática.
Introdução
Analisar a maneira com que os alunos pensam e a forma que os mesmos se apropriam de conhecimento matemático, são fatores indispensáveis para a prática docente, pois a partir destas informações o professor pode direcionar suas aulas. A Análise da Produção Escrita propicia ao professor essas informações, apresentando indícios de como os estudantes organizam seu pensamento.
Tendo o objetivo de aplicar a Análise da Produção Escrita como estratégia de ensino e aprendizagem em matemática, realizamos no ano de 2008 uma pesquisa em uma das escolas públicas do município de Campina da Lagoa – PR. A elaboração desta pesquisa foi para o primeiro autor deste relato, um dos requisitos para a conclusão do curso Licenciatura Plena em Matemática, ofertado pela Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão (FECILCAM).
Ao terminar este trabalho (CARVALHO, 2008), foi possível fazer várias considerações, entretanto, como o nosso objetivo neste relato difere dos objetivos daquela pesquisa inicial ,
1 Educador do Programa PROJOVEM URBANO em Campo Mourão – PR, pós-graduando em Ensino de Matemática nas Séries Iniciais e Ensino Fundamental pela FECILCAM – Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão.
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Professor do Depto de Matemática da FECILCAM – Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão. Coordenador do GEMTIC – Grupo de Educação Matemática e as Tecnologias de Informação e Comunicação <http://www.gemtic.fecilcam.br>. Doutorando em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela UEL.
iremos novamente analisar as produções escritas dos alunos, direcionando a nossa atenção para outra questão em especial, sendo: Analisar o que os educandos mostram saber acerca de cálculos
que envolvam proporcionalidade.
Utilizamos também os dados fornecidos por uma entrevista informal com os alunos, na qual eles relataram suas estratégias no momento em que estavam resolvendo a questão. Foi necessário realizar esta entrevista, pois em algumas produções foi difícil entender os passos trilhados pelos alunos.
Em relação à Análise de Conteúdo, segundo MORAES (1999), entendemos que pode ser concebida como uma metodologia de pesquisa, que visa perante a análise de fontes verbais ou não verbais, como por exemplo: jornais, desenhos, propagandas, vídeo, livros, entre outros recursos, obter uma interpretação superior, inferindo-se em relação ao posicionamento crítico e conhecimento do autor, fatos que uma simples leitura não pode propiciar.
Essa metodologia de pesquisa faz parte de uma busca teórica e prática, com um significado especial no campo das investigações sociais. Constitui-se em bem mais do que uma simples técnica de análise de dados, representando uma abordagem metodológica com características e possibilidades próprias. (MORAES, 1999, p. 9)
Para Moraes (1999), a Análise de Conteúdo possui características e possibilidades próprias. Essas características se manifestam na organização e na maneira que a metodologia é aplicada, pois em seus processos de aplicação, a Análise de Conteúdo se constitui de etapas e, são estas que a caracterizam. Para este mesmo autor, o processo de aplicação da Análise de Conteúdo se divide em cinco etapas, sendo:
1. Preparação das informações;
2. Unitarização ou transformação do conteúdo em unidades; 3. Categorização ou classificação das unidades em categorias; 4. Descrição;
5. Interpretação.
Na Preparação dos dados faz-se a escolha do material que deverá ser analisado, neste nosso caso, são as soluções dadas pelos alunos que não respondem a questão apresentada, pois perante as soluções que respondem a questão, não é possível identificar se o aluno sabe ou não o que ele expôs. É na preparação, que munido dos objetivos da pesquisa, que o pesquisador vai escolhendo o material que dá conta de responder a problemática levantada no trabalho.
Após preparar os materiais, inicia-se o processo de Categorização, que consiste em identificar as unidades de significados. Estas, por sua vez, são compostas por: frases, parte da resolução de alguma questão, temas, ou até mesmo o próprio documento. É necessário definir as unidades, pois iremos agrupá-las em categorias e, segundo Morais (1999) para agrupar algo é necessário identificar o elemento unitário.
Definidas as unidades, inicia-se o processo de Unitarização, que consiste em agrupar as unidades em classes. Porém, segundo Moraes (1999), as referidas classes devem possuir cinco características, sendo: Válidas, Exaustivas, Homogêneas, Exclusivas e, Objetivas. Ao caracterizar as categorias como Válidas, significa que as mesmas sejam “significativas e úteis em termos do trabalho proposto, sua problemática, seus objetivos e sua fundamentação teórica” (MORAES, 1999, p. 20).
Quando uma categoria é Exaustiva, entendemos que a mesma pode incluir em suas dependências, todas as unidades que foram identificadas, que relacionam com os objetivos do trabalho. Para que uma categoria seja definida como Homogênea, a mesma deve ser concebida perante um critério, ou seja, englobar somente um princípio de classificação. Neste nosso caso, pode ser definido como: O tratamento dos alunos em relação às operações com
proporcionalidade.
Uma categoria é qualificada Exclusiva, quando as unidades de conteúdo pertencem exclusivamente a uma categoria, ou seja, uma unidade não pode ser categorizada duas vezes.
E por fim, a Objetividade, refere-se às regras de categorização que serão utilizadas do início até o fim deste processo, que devem estar claras e objetivas, direcionando a categorização. Para Moraes (1999, p. 22) “é a objetividade que garante que a subjetividade do autor não interfira no resultado da pesquisa”.
Ao definir as categorias, as mesmas devem ser descritas, iniciando a etapa da Descrição, neste momento o pesquisador pode utilizar-se de tabelas e/ou textos sínteses, que descrevam o que pode ser encontrado na categoria.
Após descrever, inicia-se o processo de Interpretação, o momento mais criativo e delicado da Análise de Conteúdo. Neste caso, o analista busca nas categorias descritas os fatores que respondem ao trabalho proposto. A interpretação é uma busca, é o olhar entre linhas, no qual se procura inferir sobre a forma que o produtor do conteúdo pensou, e o que ele objetivou na elaboração desse material.
Breve relato sobre a aplicação da avaliação
A avaliação foi aplicada pelo primeiro autor deste texto no dia 24/10/2008 durante suas aulas de regência de Estágio Supervisionado II. Os quatorze alunos que compareceram neste dia não puderam consultar nenhuma fonte de pesquisa3, mas puderam utilizar sua calculadora.
A seguir apresentaremos a questão e a solução esperada.
Em uma cesta existem 5 variedades de frutas, sendo elas: Mamão, Laranja, Tangerina, Ameixa e Goiaba. Sabe-se que 20% das frutas são Laranjas, 30% Tangeria, 15% de Mamão, 15% Goiaba e existem 12 Ameixas. Assim, calcule: (a) A quantidade de cada fruta existente na cesta; (b) A porcentagem de Ameixa que está na cesta.
Esta questão exigia que os educandos identificassem que 20% das frutas correspondiam as 12 ameixas e que a partir desta relação, calculassem utilizando o conceito de proporcionalidade (por regra de três) ou pelo cálculo mental a quantidade das outras frutas. Sendo assim, existiam 12 laranjas, 18 tangerinas, 9 mamões e 9 goiabas, totalizando 60 frutas.
Iniciamos a aplicação distribuindo as avaliações e lendo com os alunos cada uma das questões, neste momento tivemos o objetivo de esclarecer alguma dúvida em relação à grafia da avaliação. Após, cada aluno em sua carteira, iniciaram a resolução. Durante a aplicação, percebemos que os alunos ainda possuíam dificuldades relacionadas ao conteúdo da avaliação, pois sempre requisitavam nossa presença em suas carteiras para esclarecer suas dúvidas. Neste sentido, como o objetivo da avaliação era analisar a aprendizagem dos conteúdos até aquele momento, nenhuma dúvida foi esclarecida, sendo aconselhado que lessem atentamente o enunciado de cada questão.
Observamos que quando os alunos concluíram a questão, não acreditam que a sua estratégia de resolução era correta, pois necessitavam da nossa confirmação, eles queriam que revisássemos as suas operações, pois tinham medo de errar. Verificamos também que alguns alunos resolviam o exercício por cálculo mental, assim consideramos essa estratégia, porém o aluno deveria descrever o seu raciocínio.
Analisando a Produção Escrita dos alunos
Após a aplicação da prova iniciamos a Análise de Conteúdo preparando os dados para o processo de unitarização. Sendo assim, as provas foram corrigidas atribuindo notas de 0,0 a 2,0 (zero a dois).
Para a primeira identificação dos dados, foram concedidas as seguintes siglas: C para as soluções corretas, E para as soluções erradas e B para as soluções em Branco. Neste sentido as provas dos alunos que acertaram a questão na íntegra, foram descartadas, pois perante essas produções não poderíamos fazer nenhuma afirmação referente à estratégia por eles utilizada4.
Para garantir o anonimato dos alunos, numeramos as provas seguindo a ordem que estas nos eram entregues, ou seja, o primeiro aluno que entregou a avaliação recebeu sigla A1, o
segundo A2, até o último recebeu a sigla A14.
Após a preparação e identificação das unidades de significado, iniciamos o processo de categorização seguindo os seguintes critérios: Cada avaliação só poderia pertencer a uma
categoria. As unidades só poderiam ser agrupadas se o tratamento dos alunos aos dados dos exercícios fosse semelhante. Neste sentido, em relação à questão 01, obtivemos quatro categorias,
sendo elas:
Categoria 01 Considera que 80% das frutas contidas na cesta, são as 12 ameixas. (Aluno: A8)
A produção que pertence a essa categoria, mostra que o aluno considerou que 80% das frutas da cesta são as 12 ameixas e a partir desta relação, calcula o total de frutas e a quantidade isolada de cada variedade. Ao responder o item b o aluno também reafirma que as 12 ameixas correspondem a 80% de frutas na cesta.
Neste caso o aluno conclui que ao somar as taxas que foram fornecidas pelo enunciado da questão, obteria a que corresponde à quantidade de ameixas. Assim, ele não conseguiu identificar que a taxa representa o percentual de frutas da cesta exceto o das ameixas, e que a diferença entre 100% e essa taxa corresponderia à taxa percentual das 12 ameixas (Figura 1).
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Não podemos afirmar neste momento que mesmo acertando toda a questão, o aluno tenha claramente os conceitos envolvidos, ou que saiba realmente o conteúdo que se fez necessário na resolução. Com isto, entendemos que mesmo acertando não podemos concluir que o aluno tenha aprendido o conteúdo.
Figura 1 - Resolução presente na prova do aluno A8
O cálculo por ele apresentado em relação à utilização do conceito de proporcionalidade está correto e bem organizado, porém os valores encontrados que se referem à quantidade das outras frutas foram arredondados devido ao fato de serem decimais. Assim, acreditamos que o aluno não aceita a existência de decimais para a representação da quantidade de frutas, pois o mesmo toma cuidado com o reflexo de seu resultado na realidade.
Categoria 02 Deduz um valor para o total de frutas e calcula as porcentagens, seguindo as taxas fornecidas pela questão. (Aluno: A9)
O aluno A9 deduz existir 32 frutas na cesta e perante esse valor calcula as porcentagens
requisitadas pela questão. Quando ele calcula as porcentagens das frutas e não obtêm um resultado exato, arredonda o valor numérico em alguns momentos para mais e em outros para menos.
A produção do aluno A9 mostra que ele utilizou cálculo mental ou uma calculadora para
produção tivemos que entrevistar o aluno para poder entender sua estratégia de resolução da questão.
O aluno afirma que teve dificuldades para identificar a quantidade de frutas, justificando que o exercício não trazia este dado, então ele teria estimado um valor para essa quantidade de frutas (no caso 32) e depois calculado com auxílio da calculadora a quantidade das outras frutas. Ao concluir o exercício o aluno também arredonda os valores decimais encontrados para descrever a quantidade de frutas de cada variedade (Figura 2).
Figura 2 - Resolução presente na prova do aluno A9
Esse caso mostra que o aluno teve dificuldades para interpretar o enunciado da questão, pois verificamos que ele utilizou-se de todos os artifícios que naquele momento possuía para identificar o valor total de frutas contidas na cesta, porém não obtendo sucesso utiliza uma estimativa, considera existir 32 frutas.
A seguir, utilizando essa relação identifica a quantidade de cada variedade de frutas que pertence à cesta, também verificamos que o aluno se preocupa com o reflexo de sua resposta na realidade, pois toma o cuidado de arredondar os valores que representam a quantidade de cada variedade de frutas.
Categoria 03 Considera que na cesta existem 20 frutas e calcula 100% do total de frutas. (Aluno: A3)
A estratégia de resolução apresentada pelo aluno A3 consiste em considerar 20 frutas
como sendo o total de frutas da cesta, e após, calcula 100% desse valor, obtendo como resposta 21 frutas. Ele reconsidera as 21 frutas como sendo 80% de frutas da cesta, e a partir dessa relação calcula a porcentagem referente às 12 ameixas, porém não respeita as grandezas5 ao utilizar uma regra de três. Para responder a questão o algoritmo da regra de três simples (diretamente
5 O aluno mistura as grandezas envolvidas ao utilizar o algoritmo da regra de três ao utilizar o algoritmo da regra de três.
proporcional), exige que os termos semelhantes devam ficar juntos, um em cima do outro, caso contrário, obtêm-se como resposta uma constante proporcional, que ao ser comparado com o contexto da questão, mostra-se sem sentido, não condizendo com a realidade (Figura 3).
Figura 3 - Resolução presente na prova do aluno A3
Podemos inquirir que o aluno A3 apresentou dificuldades para identificar a quantidade
total de frutas da cesta, mostrando em sua produção que a taxa percentual de ameixa (20%) equivale ao total de frutas. Neste caso o aluno não conseguiu diferenciar que ele estava relacionando taxa com taxa e não taxa com número de frutas.
Verificamos também que o aluno utiliza de todos os artifícios por ele identificados, com o objetivo de resolver a questão, traçando estratégias que não possui sentido se levarmos em consideração o contexto da questão, mas naquele momento para ele foi a lógica traçada na resolução do exercício. Isto leva a afirmarmos que o aluno não testa o impacto de sua resposta com o contexto da questão, ele não se importa se sua resposta faz, ou não sentido com a realidade, pois não relaciona seus resultados com o contexto.
Categoria 04 Deduz que 60% de frutas da cesta correspondem as 12 ameixas. (Alunos: A11 e
A5)
Os alunos pertencentes a essa categoria utilizaram o mesmo raciocínio para calcular o total de frutas da cesta. Iniciaram o cálculo multiplicando a quantidade de variedades de frutas e o número de ameixas, obtendo o valor 60. Após deduziram que as 12 ameixas correspondem a 60% das frutas da cesta.
As duas produções que compõe a categoria só divergem no cálculo do percentual de ameixas existentes na cesta, pois o aluno A5, soma a quantidade de frutas por ele encontrada na
questão anterior, resultando em 52 frutas, e calcula a taxa percentual que 12 ameixas correspondem a esse valor. Em relação ao aluno A11, este conclui que a taxa percentual de
ameixas na cesta é de 20% do total de frutas.
Podemos verificar que os alunos também trilharam muitas estratégias para calcular a quantidade total das frutas utilizando-se de todas as relações por eles identificadas, devido ao fato da resolução ter sida apagada muitas vezes. Porém, observa-se que a taxa por eles aceita refere-se ao número de variedades multiplicado por 12. Para determinar a quantidade das outras frutas, os alunos utilizam a taxa percentual correspondente a elas, afirmando ser também a taxa das 12 ameixas, e que a quantidade das demais frutas são 12.
Os alunos mostram saber operar com a regra de três e sabem que a determinação da porcentagem também é obtida por essa operação, porém possuem dificuldades para encontrar os dados, tomando os valores numéricos visíveis na questão, desconsiderando o sentido atribuído a eles pelo enunciado.
Em relação à produção do aluno A11, este mostra saber que a taxa percentual
correspondente as ameixas, refere-se a 20%, porém não aplica essa relação no item a, desvinculado do item b, do restante da questão (Figura 4).
Figura 4 - Resolução presente na prova do aluno A11
Para obter a taxa percentual o aluno A4 soma os valores encontrados no item a, obtendo
como resultado para a soma 52 frutas, a seguir verifica qual taxa representa as 12 ameixas, concluindo ser 23%. Neste caso podemos afirmar que a estratégia apresentada pelo aluno está correta, porque naquele momento ele procura encontrar o total de frutas e calcular qual a taxa
correspondente as 12 ameixas. O aluno mostra ter interpretado a situação proposta, porém utiliza de resultados do item a, que por sua vez foi obtido por uma estratégia que não resolvia a questão e neste sentido o item b apresentou resultado que não responde a questão (Figura 5).
Figura 5 - Resolução presente na prova do aluno A4
De modo geral os alunos possuíram dificuldades para interpretar a questão, formulando várias estratégias interessantes, porém não responderam corretamente o exercício. Verificamos também que os alunos sabem que a regra de três é a ferramenta matemática aplicada para o cálculo de porcentagem e que o todo é representado por 100%, pois na resolução dos exercícios tinham por objetivo identificar esse valor.
Perante esses resultados podemos levantar a seguinte hipótese: Os alunos estariam
acostumados a receber os dados dos exercícios prontos, não necessitando de uma reflexão do problema para obter esses valores. Desta forma, direcionar o trabalho para a leitura, reflexão e
escrita nas aulas de matemática seria interessante, pois estaria estimulando a interpretação por parte dos alunos.
Considerações Finais
Tendo o objetivo de analisar a produção escrita de alunos do Ensino Médio, verificando o que eles mostram saber quanto ao conceito de proporcionalidade, detectamos que os mesmos possuem dificuldades para diferenciar o valor percentual da quantidade de frutas.
Percebemos que os educandos não haviam identificado que a porcentagem é uma comparação, que o valor numérico que acompanha o símbolo de porcentagem (%) não é a
quantidade de frutas, e por conta disto, não faz sentido tratar este valor como sendo número de frutas.
Foi possível perceber também que os alunos estão acostumados a resolver exercícios que apresentam uma solução evidente, e que os números utilizados para a formulação dessas respostas estão explícitos e são utilizados na ordem em que esses são apresentados pelo enunciado da questão. Percebemos isto ao analisarmos a produção do aluno A8, pois este soma as
taxas percentuais das outras frutas e, relaciona essa soma com as 12 ameixas.
Identificamos também este fato, na produção apresentada pelo aluno A9, na qual o
mesmo não encontra o valor total de frutas, e o estima, após calcula com auxílio das taxas percentuais as quantidades de cada variedade de fruta. Semelhante a estas considerações, aconteceu com os alunos A11 e A4 que multiplicaram o número de variedades de frutas pelo
número de ameixas na cesta, e concluiu ser esse o valor total de frutas, após os alunos operam com esse valor e calculam a quantidade das outras variedades.
Em relação ao aluno A3, vemos que o mesmo ainda não atribui sentido às operações com
proporcionalidade, o mesmo opera com os valores do enunciado sem respeitar as quantidades, almejando obter um valor numérico como resultado.
Estas considerações supracitadas levam a afirmar que: Os alunos estão acostumados a aprender matemática seguindo o seguinte esquema: “explicação oral, apresentação de fórmulas e/ou exemplos e em seguida, resolução de vários exercícios semelhantes entre si” (PEREGO, 2006, p. 95).
Neste sentido, acreditamos que os alunos estão condicionados em resolver exercícios repetitivos, não aprendendo a pensar matematicamente, mas sim, em memorizar algoritmos. E o que, de certa forma os condicionou a agirem assim, relaciona-se com a postura do professor regente6, que ao ministrar as suas aulas, trabalhou restritamente com exercícios repetitivos.
Ao finalizar, gostaríamos de comentar que a experiência foi muito válida tanto para o professor regente, quanto para o aluno, pois ambos puderam discutir sobre suas práticas em sala
6 As considerações foram apresentadas ao professor regente e, o mesmo em uma entrevista, pode mostrar a sua opinião sobre o uso da Análise da Produção Escrita. Ele afirmou que a realidade da escola não a comporta, pois para a aplicação da estratégia é necessário um número de aulas maior do que normalmente ele utilizaria, e como durante o período do estágio perdemos muitas aulas por conta de fatores climáticos, a estratégia deveria ser repensada. Porém, a experiência serviu para que ele pudesse repensar a sua prática, pois em alguns momentos percebeu na prática do estagiário, e a maneira que ele abordava os erros dos alunos, fatores que contribuíram para a sua bagagem teórica metodológica.
de aula e as refinaram, obtendo considerações relevantes quanto às mesmas bem como para trabalhos futuros.
Referências
CARVALHO, D. F. Análise de Erros aplicada como metodologia de ensino e aprendizagem em matemática no Ensino Médio. 2008. 67f. Trabalho de Conclusão de Curso. (Graduação em Matemática). Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão/ FECILCAM, Campo Mourão, 2008.
MORAES, R.. Análise de conteúdo. Educação, Porto Alegre, v. 22, n. 37, p. 7-32, 1999.
PEREGO, F. O que a produção escrita pode revelar?: uma análise de questões de matemática. 126 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina/UEL, Londrina, PR.
