Congruência e semelhança de triângulos

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e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal

Congruência e semelhança

de triângulos

Ricardo Ferreira Paraizor

Aula

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Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 317

Objetivos

Ao concluir esta aula, você deverá ser capaz de: 1. aplicar o conceito de congruência de triângulos; 2. resolver problemas utilizando semelhança de triângulos;

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Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 317

As estruturas triangulares dão sustentação aos

materiais das construções em geral

A geometria plana é muito importante para nosso dia-a-dia, pois ela se refere a figuras básicas presentes nos desenhos da planta de uma casa e nos projetos da construção de estradas e eletrodomésticos.

Uma das figuras a que daremos mais atenção é o triângulo, que é um polígono muito utilizado, tanto como base para estudo de outras figuras geométricas como em nosso cotidiano. Por exemplo, a rigidez proporcionada pelos triângulos é utilizada na sustentação das estruturas em construções de modo geral. Por esses motivos, precisamos dedicar bastante nossos estudos a essa figura.

Congruência de triângulos

Em primeiro lugar, você precisa ter a idéia de congruência. Então, vamos lá! Duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, ou seja, o mesmo tamanho. Veja o exemplo a seguir:

Figura 13.1: As três pontas, em forma de triângulos, do telhado dessa casa são congruentes. No caso dos triângulos, existe a congruência entre os lados e os ângulos. Quando um triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF, escrevemos da seguinte forma: Fonte: www.sxc.hu

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 318 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 319

Dois triângulos são congruentes quando os lados e os ângulos de um deles têm respectivamente as mesmas medidas dos lados e dos ângulos do outro.

Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer três elementos. Veja a seguir os casos de congruência.

1º Caso de congruência de triângulos

Dois triângulos que têm os três lados respectivamente congruentes são triângulos congruentes (Lado - Lado - Lado: LLL)

Exemplos:

O ∆ABC ≡ ∆DEF → Lê-se: O triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF (LLL). 2º Caso de congruência de triângulos

Dois triângulos que têm um lado e os ÂNGULOSADJACENTES a esse lado respectivamente

congruentes são triângulos congruentes. (Ângulo - Lado - Ângulo: ALA) Exemplo:

ÂNGULOSADJACENTES

Ângulos vizinhos um do outro. No 2º caso, os ângulos iguais estão no lado congruente. BCA → Lê-se: Ângulo BCA

FÊD → Lê-se: Ângulo FÊD

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 318 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 319 Lado AC é igual ao lado DE

BCA FED CAB FDE ABC DEF O O $ $ $ $ ≡ ≡ ≡ ≡ ∆ ≡ ∆ → 60 40

∆ABC ≡ ∆DEF → O triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF (ALA)

Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes são triângulos congruentes.

(Lado - Ângulo - Lado: LAL) Exemplo:

Lado AC é igual ao lado RM = 7 Lado CB é igual ao lado RP = 5

ACB MRP ABC MPR o $ _≡ $ _≡ ∆ ≡ ∆ → 60

O triângulo ABC é congruente ao triângulo MPR (LAL). Note que, neste caso, os ângulos iguais (60°) ficam entre os lados iguais.

Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruente são triângulos congruentes.

(Lado – Ângulo adjacente – Ângulo oposto: LAA_O)

Exemplo:

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 320 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 321 Lado BC é igual ao lado _PN = 7

ACB M P$ ≡ Nµ ≡45o_{(Este ângulo de 45° é adjacente ao lado}_BC_e_PN respec-tivamente)

BAC N Pµ ≡ Mµ ≡65o_{(Este ângulo de 65° é oposto ao lado} _BC_e _PN respecti-vamente)

∆ABC≡ ∆MNP→ O triângulo ABC é congruente ao triângulo MNP (LAA_O)

Você já sabe o que é congruência de triângulos e também conhece todos os casos de congruência. Vamos, então, fazer um exemplo.

Veja:

Um bloco de pedra tem a forma de um triângulo como no desenho abaixo. Calcular x, y e o comprimento de uma moldura para esse bloco.

Sabendo-se que AB = x, AD= 1, BC = 0,5 e CD = 0,3y +0,1 Observação: A unidade de medida usada é o metro.

Veja a solução:

Perceba que o traço em AD e em DC indica que AD = DC, ou seja, o tamanho de AD é o mesmo de DC.

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 320 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 321 Como AD DC= ⇒ 0,3y +0,1 = 1

Resolvendo a equação, temos: 0,3y = 1 – 0,1 0,3y = 0,9 _y₌0 9₌ 0 3 3 , ,

∆ABC≡ ∆DBC por LAL (terceiro caso de congruência de triângulo)

Como ABC é congruente ao triângulo DBC _⇒AB BC₌ . Então, x = 0,5. AC = 1 • Para se calcular o comprimento da moldura do bloco, devemos calcular o perímetro desse triângulo, ou seja: AD DC+ +AC = 1 + 1 + 1.

Portanto, x= 0,5; y = 3 e o comprimento da moldura: 3 metros.

Agora é com você! Chegou o momento de praticar um pouco para fixar os conceitos.

Atende ao Objetivo 1

Atividade

1

Considere as afirmações:

I. Se dois ângulos Â e B de um triângulo são congruentes aos ângulos C e D, respectivamente, de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes. II. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

III. Dois triângulos que têm dois lados e um ângulo respectivamente congruentes são triângulos congruentes.

IV. Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são triângulos congruentes.

Assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas, a alternativa que apresenta a seqüência CORRETA é:

a. VFFV b. VVFF c. VVVF d. FVFV e. FFVV Lado → AD= DC Ângulo → ADB = BDC

Lado→ DB (comum aos dois triângulos ABD e DBC)

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Semelhança de triângulos

Ao estudar semelhança de triângulo, veremos a importância da matemática na vida prática. Por exemplo, se um dia formos construir uma ponte de madeira e precisarmos saber quanto de material precisaremos comprar para fazer essa ponte, podemos fazer os cálculos utilizando semelhança de triângulo, sem precisar atravessar o rio.

Figura 13.2: Usando a semelhança de triângulos é possível descobrir a que

distância está o barco inimigo.

Fonte: www.sxc.hu

Novamente, você precisa ter a idéia de semelhança. Veja que duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não têm necessariamente o mesmo tamanho. Se duas figuras S e T são semelhantes, denotamos:

S ~ T. Observe:

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 322 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 323 Dois triângulos são semelhantes, se, e somente se, possuem os três ângulos

ordenadamente congruentes e os ladosHOMÓLOGOS proporcionais.

Se os homólogos são proporcionais, então a razão entre os lados homólogos é uma constante. (Reveja a Aula 7 sobre Regra de três simples).

Assim, a d b e c f = =

O homólogo do lado b (do triângulo ABC) é o lado e (do triângulo DEF). Veja que os ângulos Â e C correspondem aos ângulos D F$ $e respectivamente.

Agora pense um pouco!

HOMÓLOGOS

Elementos que, em figuras semelhantes, estão dispostos da mesma maneira.

Seguindo o raciocínio análogo ao anterior, responda: i. Qual é o lado homólogo do lado a (do triângulo ABC)? ii. Qual é o lado homólogo do lado c (do triângulo ABC)? ••• Pensou? Agora veja a resposta:

i. O homólogo do lado a (do triângulo ABC) é o lado d (do triângulo DEF). ii. O homólogo do lado c (do triângulo ABC) é o lado f (do triângulo DEF).

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 324 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 325 Atenção!

CUIDADO: Não confunda congruência com semelhança de triângulos. • Dois triângulos são congruentes quando são iguais.

• Dois triângulos são semelhantes quando têm os lados homólogos proporcionais. Os triângulos semelhantes podem ter lados com tamanhos diferentes.

Vamos fazer mais um exemplo:

Observe os dois triângulos semelhantes na figura a seguir. Você sabe dizer qual o valor de x?

A partir da semelhança, podemos determinar o valor de x. Identificando os lados homólogos e montando a proporção, temos:

3 6 4 = x 3 6 4 3 24 24 3 8 x= . ⇒ x= ⇒ =x ⇒ =x Resolvendo a proporção, temos:

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 324 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 325 Saiba mais...

Medindo através das sombras

Conta a lenda que, quando o matemático e filósofo grego Tales (século VI a.C.) chegou ao Egito, os sacerdotes pediram-lhe que averiguasse a altura da pirâmide de Quéops, construída por volta de 2500 a.C., e considerada uma das grandes maravilhas do mundo antigo. Tales traçou uma linha no solo, marcando nela sua altura e esperou que sua sombra, projetada pelo sol, ficasse igual à sua altura; nesse momento, mediu a sombra projetada pela pirâmide.

O matemático respondeu aos sacerdotes: “Agora que minha sombra é igual à minha altura, o comprimento da sombra da pirâmide deve coincidir com o comprimento de sua altura”. Esse é o conceito de semelhança e, com ele, podemos medir a altura de edifícios, árvores, postes telefônicos usando apenas a sombra que projetam no solo.

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Um edifício projeta uma sombra de 30m, ao mesmo tempo que um poste de 12m projeta uma sombra de 4m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo?

Na seqüência, tem duas atividades para você praticar. Faça as atividades com atenção e se for necessário volte ao início desta seção para reforçar o estudo.

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 326 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 327 Atende ao Objetivo 2 Atividade 3

Se você pretende construir uma ponte ⇒AB BC, para atravessar uma lagoa com as medidas = da figura a seguir, sabendo-se que será usada uma tábua retangular de 1 metro de largura, a área total de tábua necessária para se fazer essa ponte será de:

Ri car do Ferr eir a P ar aizo Dados: AC = 20 m AD= 6 m AE = 5m DE//BC a. 10 m² b. 24 m² c. 30 m² d. 45 m² e. 50 m²

A

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Teorema de Tales

Você ficará surpreso com tantas aplicações diferentes para este teorema: Desde o cálculo da altura de prédios, distâncias de navios ou aviões até o modo certo de aumentar o almoço de domingo! Você vai ver que tudo isso trata de proporcionalidade de números (ou regra de três).

Observe, na figura a seguir, uma vassoura caída sobre uma escada.

Veja que o cabo da vassoura forma ângulos iguais com todos os degraus. Isso só acontece porque os degraus são todos horizontais, ou seja, paralelos.

Observe que, quando retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos formados numa das retas paralelas são correspondentes e iguais aos ângulos da outra. E quando as retas paralelas são cortadas por duas retas transversais? Sabe o que acontece?

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 328 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 329 Essas retas paralelas e transversais geram segmentos proporcionais. Quando um

feixe de retas (um conjunto de três ou mais retas) paralelas é cortado por duas transversais, se os segmentos numa das retas forem iguais (AB BC= = 1), então os segmentos na outra reta também serão (A B’ ’=B C’ ’= 1 5 1,5).,

Ou seja: ₁ 1 1 5 1 5 = , ⇒ = , x x

Mas, e quando os segmentos da primeira reta não forem iguais? Como mostra a figura a seguir, onde AB= 1 e BD= 2.

Dizemos que estes quatro números são proporcionais, ou seja, 1 está para 2, assim como 1,5 está para x = ?. Montamos, assim, a proporção:

1 2 1 5 3 = , ⇒ = x x E concluímos que _{B C}_{’ ’}_{= 3} .

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Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos de retas proporcionais.

De acordo com a inflação, os valores em reais para o próximo mês ficarão 5% mais caros. Montando a proporção, temos:

100 105 231 x =

Atenção!

Veja um exemplo do dia-a-dia onde podemos aplicar o teorema de Tales.

Tereza quer saber qual entre dois crediários é o mais vantajoso. Na Loja MARQUITO MÓVEIS um armário custa R$ 410,00 à vista. Já na Loja MÓVEIS GRAJAÚ, o mesmo armário sai por duas parcelas: a primeira de R$ 200,00 e a segunda, no próximo mês, de R$ 231,00. Considerando que a inflação prevista é de 5% no próximo mês, qual dos dois crediários sai mais “em conta” para a Tereza?

Para resolver esse problema, vamos analisar as informações num gráfico. Veja: x y = z t = p q

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 330 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 331 Logo, para achar o valor x, basta fazer o produto dos meios (x e 105) pelos

extremos (100 e 231). Assim, 105x = 23100 e, então, x = 220. Isso significa que, em valores de hoje, os R$231,00 que a Tereza pagaria no próximo mês equivalem a R$220,00.

Dessa forma, a loja MÓVEIS GRAJAÚ estaria cobrando R$200,00 + R$220,00 = R$420,00 pelo armário, enquanto a loja MARQUITO MÓVEIS cobra R$410,00 que é, portanto, a melhor opção de compra.

Agora, é a sua vez de colocar a mão na massa. Faça a próxima atividade para verificar seu aprendizado e depois leia o resumo da aula.

Atividade 4

A figura a seguir mostra um mapa com três estradas paralelas (r//s//t) que são cortadas por duas vias transversais. Determine a distância x entre os cruzamentos dessas vias e estradas indicadas no mapa (em km).

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 332 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 333 Resumindo...

• Reconhecer se um triângulo é congruente ao outro é muito simples, pois basta verifi car se são iguais. Mas quando o assunto for semelhança de triângulo é importante dedicar bastante atenção ao mesmo, pois você verá muita aplicação em algumas disciplinas técnicas do seu curso.

• Casos de congruência de triângulos:

1º Caso de congruência de triângulos: Lado - Lado – Lado: LLL 2º Caso de congruência de triângulos: Ângulo – Lado - Ângulo: ALA 3º Caso de congruência de triângulos: Lado – Ângulo – Lado : LAL

4º Caso de congruência de triângulos: Lado – Ângulo adjacente – Ângulo oposto : LAA_O

• Semelhança de triângulos: Duas fi guras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não têm necessariamente o mesmo tamanho. Se duas fi guras S e T são semelhantes, denotamos: S ~ T.

• Dois triângulos são semelhantes, se e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Se os homólogos são proporcionais, então a razão entre os lados homólogos é uma constante.

• Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais, segmentos de retas proporcionais.

x y = z t = p q

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Atividade 1

• A afirmação I é FALSA, pois os casos de congruências são: LAL – ALA – LLL – LAAo. Dois triângulos com 3 ângulos iguais são semelhantes, mas podem não ser congruentes.

• A afirmativa II é VERDADEIRA, pois as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. Veja:

Informação sobre a próxima aula

Na próxima aula, vamos para o espaço. É isso mesmo, estou falando da geometria espacial. Até lá!

Respostas das Atividades

Podemos ver que o ∆ABD é congruente ao ∆ABC (3º caso de congruência de triângulos – LAL). Se os triângulos são congruentes, os lados de um têm as mesmas dimensões do outro. Assim sendo, a diagonal BD é igual à diagonal AC. • A afirmativa III é FALSA, o certo é: “Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo compreendido por esses lados respectivamente congruentes são triângulos congruentes – LAL”.

• A afirmativa IV é VERDADEIRA, veja o 4º caso de congruência LAAo. Portanto, a resposta é a alternativa d.

Atividade 2

Para resolver este problema, vamos esboçar os triângulos semelhantes no desenho a seguir.

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 334 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 335 Como podemos ver, o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF, pois Â = F

= 90° e, como os raios solares se propagam em linha reta e são paralelos, BC é paralela a DE , isto quer dizer que B = E , conseqüentemente C = D .

Os lados homólogos são proporcionais: x x x m 12 30 4 4 360 90 = ⇒ = ⇒ =

Logo, a altura do edifício é 90 metros.

Atividade 3

Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, pois B D C$ $ $ $ µ $≡ , ≡E e A A≡ Então, os lados homólogos são proporcionais:

x x x m 6 20 5 5 6 20 20 6 5 4 6 24 = = = = = . . . Área do retângulo b.h = 24.1 = 24 m² Vamos separar o ∆ABC e ∆ADE

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e-T ec Br asil - M atemáti ca In strum en tal 334 Aula 13 – Con gruên ci a e sem elhança d e triân gulos 335 Assim, a área total de tábua necessária para se fazer essa ponte será de 24 m²

(letra b)

Atividade 4

Podemos desmembrar a figura assim:

Aplicando o Teorema de Tales, teremos: x x x x − = − + 3 2 2 (x - 3)(x + 2) = x(x - 2)

Aplicando a propriedade distributiva, temos: x² + 2x -3x – 6 = x² - 2x

Vamos passar tudo para o 1º membro (não podemos nos esquecer de trocar o sinal dos termos ao passá-los do 2º membro para o 1º membro)

x² + 2x -3x – 6 – x² +2x = 0 x – 6 = 0

x = 6

Logo, a distância x é igual a seis 6 (letra c).

A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

Multiplica cada um dos termos de uma expressão por todos os termos da outra expressão.

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Referências bibliográficas

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamento de Matemática Elementar. Geometria Plana v.9. 6. ed. São Paulo: Atual, 1985.

Referências complementares

GIOVANNI, José Ruy. et al. A Conquista da Matemática: 8ª série. São Paulo: FTD, 2002.

IEZZI Gelson. et al. Matemática e Realidade: 8. série. 5. ed. São Paulo. Atual, 2005.

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática, idéias e desafios: 8ª série. São Paulo: Saraiva, 2006.

Congruência e semelhança de triângulos