Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Departamento de Matemática MTM 151 – Estatística e Probabilidade – Turma 76
Professor: Rodrigo Luiz Pereira Lara
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Questão 1 – Uma variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidade:
. 0 ; 15 1 , 0 ; 2 3 , 0 ; 6 5 1 2 , 0 ) ( valores outros para x se x se x ou x ou x se x P Determine:
a) A função de distribuição acumulada de X .
b) P(X 2). d) P(3 X 12). c) P(X 2). e) P(X 14).
Questão 2 – Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição acumulada: . 25 1 ; 25 13 9 , 0 ; 13 12 5 , 0 ; 12 10 2 , 0 ; 10 0 ) ( x se x se x se x se x se x F Determine: a) A função de probabilidade de X . b) P(X 12). d) P(12 X 20). c) P(X 12). e) P(X 18).
Questão 3 – Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória X :
número de caras obtidas no experimento. Obtenha:
a) A distribuição de probabilidade. e) O gráfico da FDA. b) A função de probabilidade. f) E( X).
c) O gráfico da função de probabilidade. g) Interprete o valor E( X). d) A função de distribuição acumulada. h) V( X).
Questão 4 – Um caminho para chegar a uma festa pode ser dividido em três etapas. Sem enganos o trajeto é feito em 1 hora. Se enganos acontecem na primeira etapa, acrescente 10 minutos ao tempo do trajeto. Para enganos na segunda etapa, o acréscimo é 20 e, para a terceira, 30 minutos. Admita que a probabilidade de engano é 0,1; 0,2 e 0,3 para a primeira, segunda e terceira etapas, respectivamente.
a) É provável haver atraso na chegada à festa? b) Determine a probabilidade de haver atraso.
c) Determine a probabilidade do atraso não passar de 40 minutos.
Questão 5 – Seja X uma variável segundo o modelo Uniforme Discreto, com valores no conjunto {1, 2, 3, ... , 10}. Pede-se:
a) P(X 7). d) P(X 5 ou X 8). b) P(3 X 7). e) P(X 3 e X 6). c) P(X 2 ou X 8). f) P(X 9|X 6).
Questão 6 – Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender. Após alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,05 e, nesse caso, ela é escolhida para ser recuperada com probabilidade 0,5. Admita que o processo de recuperação é infalível. O custo de cada muda produzida é R$ 1,00; acrescido de R$ 0,50 se precisar ser recuperada. Cada muda é vendida a R$ 3,00 e são descartadas as mudas não recuperadas de ataque de fungos. Seja X a variável aleatória ganho por muda produzida.
Obtenha:
a) A distribuição de probabilidade. e) O gráfico da FDA. b) A função de probabilidade. f) E( X).
c) O gráfico da função de probabilidade. g) Interprete o valor E( X). d) A função de distribuição acumulada. h) V( X).
Questão 7 – Uma agência de turismo apresenta aos clientes o orçamento de uma certa viagem em duas partes. A primeira é o transporte aéreo que têm três opções com preços 3; 3,5 e 4 mil reais e preferências de escolha de 0,5; 0,3 e 0,2 para as companhias TWA, TWB e TWC, respectivamente. A segunda parte do orçamento é a escolha de estada. Existem quatro opções de hotéis que custam 2; 2,5, 3 e 3,5 mil reais e são escolhidos pelos clientes com a mesma preferência, independentemente da companhia aérea. Seja X a variável aleatória orçamento da viagem. Calcule a função de probabilidade e função de distribuição acumulada da variável X .
Questão 8 – Um equipamento consiste de duas peças A e B que têm 0,10 e 0,15 de probabilidade de serem de qualidade inferior. Um operário escolhe ao acaso uma peça do tipo A e uma do tipo B para construir o equipamento. Na passagem pelo controle de qualidade o equipamento vai ser classificado. Será considerado como nível I se as peças A e B forem de qualidade inferior. Será nível II se apenas uma delas for de qualidade inferior e, nível III, no outro caso. O lucro na venda é de R$ 10,00; R$ 20,00 e R$ 30,00 para os níveis I, II e III respectivamente. Faça um estudo da variável lucro.
Seja X a variável aleatória lucro para uma peça produzida. E seja W a variável aleatória lucro para duas peças produzidas.
a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X . b) Obtenha a distribuição de probabilidade de W.
c) Para duas peças produzidas, qual a probabilidade de pelo menos R$ 30,00 de lucro?
Questão 9 – Na verificação de máquinas, observam-se as partes elétrica, mecânica e estrutural. A probabilidade de aparecer uma falha em cada uma das partes é 0,01; independente das demais. Ocorrendo falha, o tempo de conserto é 10, 20 ou 50 minutos para falha elétrica, mecânica ou estrutural, respectivamente. Para uma máquina escolhida ao acaso, qual a probabilidade do tempo de interrupção (se não há falha, esse tempo é zero):
a) Durar menos de 25 minutos? b) Ultrapassar 40 minutos?
Questão 10 – Uma empresa paga a seus estagiários de engenharia de acordo com o ano de curso do estudante. Para se obter o salário mensal pago por 30 horas semanais, multiplica-se o salário mínimo pelo ano de curso do estagiário. Dessa forma, o estudante do primeiro ano ganha um salário mínimo, o do segundo recebe dois e assim por diante até o quinto ano. A empresa vai empregar dois novos estagiários e admitimos que todos os anos têm igual número de estudantes interessados no estágio (considere a população de candidatos muito grande de modo a não haver diferença entre escolher com ou sem reposição). Pergunta-se a probabilidade de:
a) Os dois serem do primeiro ano.
b) A empresa gastar no máximo 3 salários mínimos com os estágios.
ALGUMAS RESPOSTAS OU AUXÍLIO DE SOLUÇÃO: Questão 1 b) 0 c) 0,2 d) 0,4 e) 0,1 Questão 2 b) 0,5 c) 0,2 d) 0,7 e) 0,1 Questão 3 a) x 0 1 2 f) 0,8. p(x) 0,36 0,48 0,16 h) 0,48.
Questão 4 – Seja A a variável aleatória atraso (minutos) para chegar à festa. a 0 10 20 30 40 50 60 p(a) 0,504 0,056 0,126 0,23 0,024 0,054 0,006 a) P(A0)0,496 b) P(0 A40)0,436 Questão 5 a) 0,4 b) 0,4 c) 0,4 d) 0,6 e) 0,2 f) 0,8 Questão 6 a) x –1 1,5 2,0 f) R$ 1,91. p(x) 0,025 0,025 0,95 h) 0,23315 reais2. Questão 7 Distribuição de probabilidade: x 5000 5500 6000 6500 7000 7500 p(x) 0,125 0,2 0,25 0,25 0,125 0,05 Questão 8 a) x 10 20 30 p(x) 0,015 0,22 0,765 b) w 20 30 40 50 60 p(w) 0,000225 0,0066 0,07135 0,3366 0,585225
c) P(W30)0,999775
Questão 9 – Seja T a variável aleatória tempo de interrupção.
t 0 10 20 50 60 70 80
p(t) 0,970299 0,009801 0,009801 0,009801 0,000099 0,000198 0,000001
a) P(T 25)0,989901 b) P(T40)0,010099
Questão 10 – Seja S a variável aleatória quantidade de salários mínimos que a empresa irá gastar. a) 25 1 b) 25 3 ) 3 (S P c) 11 6 ) 4 | 7 (S S P s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p(s) 25 1 25 2 25 3 25 4 25 5 25 4 25 3 25 2 25 1
