Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 1 O USO DE TABELAS DE UNIDADES BÁSICAS E TECNOLOGIAS COMO ALTERNATIVA PARA O ESTUDO DE ESBOÇO DE CURVAS NO ENSINO
SUPERIOR
Méricles Thadeu Moretti1 Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
learluiz@yahoo.com.br Learcino dos Lantos Luiz2 Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial de Santa Catarina - SENAI
mthmoretti@gmail.com
Resumo: O esboço de curvas é um conteúdo matemático de extrema importância no ensino de Cálculo. Propomos neste trabalho uma alternativa para o ensino deste conteúdo auxiliado com o uso de tecnologias e baseado na interpretação global de propriedades figurais. Para tanto propomos em uma turma de cálculo para engenharia uma seqüência didática investigativa onde invertemos a seqüência tradicional, optando primeiramente pela análise do gráfico da função em um software e usando os cálculos algébricos (cálculo de limites, pontos de máximo e de mínimo, etc) para a investigação matemática. Na análise dos gráficos usamos as tabelas de unidades básicas propostas por Moretti et al. (2010) que baseou seu trabalho na teoria de registros de representações semióticas de Duval.
Palavras-chave: Esboço de curvas; Registros de Representação Semiótica; Ensino de Cálculo; Tecnologias educacionais.
Introdução
Os gráficos de funções são importantes ferramentas para a interpretação de fenômenos físicos, químicos e biológicos, bem como de fenômenos sociais e econômicos. Nesta fase da formação matemática, são estudadas ferramentas poderosas para o esboço de curvas onde podemos ressaltar os tratamentos matemáticos do Cálculo, tais como cálculo de limites, determinação de intervalos de crescimento e decrescimento da função, pontos de inflexão, pontos de máximo e de mínimos relativos e absolutos, tratamento estes realizados através da análise da derivada de primeira e de segunda ordem da função estudada.
1 Professor Titular do departamento de Matemática da UFSC
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 2 Esboço de curvas através da interpretação global de propriedades figurais
O trabalho de Duval (1988b) aponta três possibilidades para o esboço de gráficos no ensino formal, mais precisamente, faz referência a dois tipos diferentes de procedimentos para a conversão entre as representações de uma mesma função:
1. Procedimento de obtenção, a partir de forma de representação simbólica
(algébrica), da forma gráfica por meio de alguns pontos que são determinados por substituição na expressão analítica da função. Estes pontos são “plotados” em um sistema de eixos cartesianos e em seguida é traçada uma curva pela união desses pontos;
2. Procedimento de interpretação global das propriedades figurais, em que o conjunto traçado/eixo forma uma imagem que representa um objeto descrito por uma expressão analítica que permite a identificação das modificações possíveis conjuntamente na imagem e na expressão analítica.
No primeiro procedimento. Notamos que não há ligação direta entre o gráfico e a expressão analítica da função correspondente, e como afirma Moretti (2003, pg.151), diversos problemas podem surgir desta forma de proceder devido ao fato de que se há
congruência semântica3 entre um par ordenado e a sua representação cartesiana, o mesmo
não se pode dizer de um conjunto de pontos no plano cartesiano e uma regra matemática (expressão analítica) a ele equivalente. Já, no segundo tipo de procedimento, temos uma associação da variável visual da representação à unidade significativa da escrita algébrica que, neste caso, facilita a conversão das representações em ambos os sentidos.
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As representações são congruentes quando há correspondência semântica (significado) entre suas unidades significantes, unicidade semântica terminal e a mesma ordem de apreensão. Caso contrário, são ditas não-congruentes.
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Segundo Moretti et al. (2010), podemos considerar o modo informático em que a representação gráfica da função é obtida com o uso de programas computacionais que a cada dia estão mais disponíveis para o uso em sala de aula. Este mesmo autor acrescenta que em alguns países, como por exemplo, Portugal, o uso da calculadora gráfica é obrigatório no estudo de funções presente ao longo de três anos do ensino secundário. Ao usar um software gráfico para a criação de um esboço de uma curva relacionada á uma função, valemo-nos de procedimento por pontos. Porém as vantagens neste modo de conversão são: a rapidez na visualização da curva e na mudança de escalas e parâmetros. Moretti (2003) e Silva (2008) trataram em seus trabalhos da possibilidade de conversões entre representações de funções estudadas no ensino médio através do procedimento de interpretação global das propriedades figurais já antes relatadas por Duval (1988b).
Moretti et al. (2010, p.4), baseado na Teoria dos Registros de Representações Semióticas, aponta para a importância do procedimento de conversão que permita acompanhar modificações simultâneas entre os registros de representação simbólica e gráfica, e ainda atenta para o fato de que este tipo de procedimento é “praticamente inexistente no ensino universitário”. Este fato se daria pela variedade e complexidade das funções estudadas, por exemplo, em um curso de Cálculo.
Como Moretti et al. (2010, p.5) mesmo nos mostra, no ensino de cálculo ao trabalharmos com funções de maior grau de complexidade (funções polinomiais de grau maior do que dois, funções racionais, funções hiperbólicas, etc.), não é evidente a mudança da característica da curva ao mudarmos a escrita matemática. Por exemplo, podemos verificar o que acontece com as funções
1 2 1 x x y e 1 2 1 x x y .
Mesmo com suas escritas algébricas sendo muito parecidas, as representações gráficas de ambas possuem características totalmente diferentes.
Na grande maioria dos cursos de Cálculo I, disciplina obrigatória em cursos de Engenharia, após o estudo da derivada de uma função, é estudado o esboço de gráficos. Grande parte dos livros tradicionais de Cálculo, tais como Cálculo A (Flemming 2007), Cálculo I (Kuelkamp, 1999), Cálculo e Geometria analítica (Leithold, 2000), para realizar este trabalho partem da representação algébrica de uma função, e, através de ferramentas
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do cálculo, é obtido pontos de inflexão, pontos de máximo e mínimo, assíntotas verticais e horizontais e etc., e logo em seguida é realizado o esboço do gráfico. Neste caso é realizada uma conversão (1 →2) de uma representação algébrica para uma representação gráfica, conforme descrito na ilustração :
Ilustração 1: Esquema de conversão no trabalho tradicional de esboço de curvas no ensino de Cálculo Fonte: Elaborado pelo autor (2010).
A conversão no sentido contrário, ou seja, registro gráfico para registro algébrico (2 →1), via de regra, não é trabalhada. Um dos motivos para não haver este trabalho duplo de conversão é a dificuldade inerente das funções estudadas neste nível de estudo. O próprio Duval (1988b, p.235) aponta para fato de que as maiores dificuldades são observadas na conversão que vai da representação gráfica para a algébrica, mesmo em funções básicas como as funções linear e quadrática. Lembramos que segundo a teoria dos Registros de Representações Semióticas, o processo de conversão em “mão-dupla” é de extrema importância para a aprendizagem de conceitos matemáticos.
No caso da maioria das funções estudadas em um curso de Cálculo, devido ao maior grau de complexidade, percebe-se que a relação entre a expressão analítica da função e o seu gráfico no plano cartesiano não são prontamente percebidas. Pra solucionar este problema, Moretti et al. (2010), propuseram a utilização de um conjunto de tabelas de unidades básicas, que permitem a conversão entre representações gráficas e algébricas para funções estudadas no ensino superior.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 5 No artigo “Estudo da conversão de funções entre registros simbólico e gráfico no ensino universitário”, Moretti et al. (2010) apresentam a elaboração de um conjunto de elementos chamada unidades básicas que têm como objetivo orientar as conversões entre as formas simbólicas e gráficas das funções estudadas no ensino superior, mais especificamente no ensino de Cálculo. Estes elementos orientadores, que a partir de agora chamaremos Unidades básicas são divididos em dois grupos: unidades simbólicas e unidades gráficas.
Um exemplo de tabela de unidades básicas é apresentado na figura a seguir, onde é exemplificado a identificação das características de um ponto de mínimo de uma função:
Unidade básica gráfica Unidade básica linguística Unidade básica simbólica Mínimo relativo
Derivada primeira de y muda de sinal negativo para positivo na vizinhança de x0 ) ( , 0 ) ´( ) ( , 0 ) ´( 0 ) ´( 0 0 0 x V x x y x V x x y x y
Tabela2: Tabela 13 de unidades básicas. Fonte: Moretti et al. (2010).
O trabalho matemático consiste basicamente em identificar uma parte significativa4 da curva (representação gráfica – primeira coluna da tabela 2) e associa-la às suas unidades básicas simbólicas (terceira coluna da tabela 2). Deste modo estaremos realizando uma conversão entre representações gráficas e representações algébricas da função.
As conversões neste caso acontecem de duas formas conforme a ilustração 2:
4 Referimos-nos aqui às partes da curva associada a uma função que nos permite uma interpretação física e/ou matemática através de seu traçado. Como nos referimos no texto, estamos tratando principalmente dos componentes mais usuais no estudo de Cálculo I, tais como Pontos de máximo e de mínimo, pontos de inflexão, retas tangentes e Assíntotas verticais e horizontais
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 6 Ilustração 2: Esquema de conversão entre representações simbólicas e gráficas propostas
Fonte: Moretti et al. (2010).
Caminho 1 → 2: Função (representação simbólica) é convertida em representação gráfica que pode ser realizada facilmente com o auxílio de um software gráfico Caminho 2 → 1: Representação gráfica é convertida em unidades básicas simbólicas.
No caso do caminho 2 → 1 não é possível, para a maioria das funções estudadas no ensino superior, chegar à uma representação algébrica exata da função. O que temos é uma descrição (unidades básicas simbólicas) que descrevem algebricamente a função. Esta é a solução apresentada por Moretti et al. (2010) para a conversão de representações gráficas para representações simbólicas de funções estudadas no ensino superior.
Aplicação da seqüência didática
Luiz (2010), em seu trabalho de pesquisa, aplicou uma seqüência didática com o objetivo de verificar a aplicabilidade das tabelas de unidades básicas para o ensino de esboços de curvas. Neste trabalho foi proposto o uso de um software gráfico para a conversão da representação algébrica da função em representação gráfica. Para o caminho inverso foi proposto o uso das tabelas de unidades básicas. A pesquisa buscou verificar se realmente as tabelas de unidades básicas possibilitavam a conversão de uma representação gráfica para algébrica de funções com um maior grau de dificuldade. A atividade foi desenvolvida em duas aulas subseqüentes de uma turma de Cálculo I da Universidade Federal de Santa Catarina. Os alunos foram divididos em pares e usaram laptops para o uso do software gráfico.
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Em uma das atividades foi proposta o esboço do gráfico da
função () 500(25 20)
t
te t
f , que representa o crescimento populacional de uma colônia de
bactérias. O trabalho foi desenvolvido através de três etapas, conforme descreveremos a seguir:
Etapa 1: criação do gráfico da função através do software gráfico
Nesta etapa foi solicitado a plotagem do gráfico da função com o software gráfico. Ao realizar a ação de plotagem da função no software, inicialmente visualizamos uma tela vazia devido à escala original. Em um primeiro momento, muitas duplas tiveram dificuldades de achar uma escala que permitisse a visualização da curva, e por tentativas sucessivas na mudança de escalas as duplas chegaram a uma primeira visualização (ilustração 3):
Ilustração 3: Gráfico da função do problema Fonte: Elaborado pelo autor (2010).
Etapa 2: Identificação das unidades básicas
De posse do gráfico da função, foi solicitado que os alunos identificassem as partes significativas da curva e as suas respectivas unidades básicas. Foram três as tabelas de unidades básicas identificadas pelos alunos:
Unidade básica gráfica Unidade básica linguística Unidade básica simbólica Máximo relativo
Derivada primeira de y muda de sinal positivo para negativo na vizinhança de x0
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 8 ) ( , 0 ) ´( ) ( , 0 ) ´( 0 ) ´( 0 0 0 x V x x y x V x x y x y
Unidade básica gráfica Unidade básica linguística Unidade básica simbólica
Assíntota horizontal b x y x ( ) lim y = b
Unidade básica gráfica Unidade básica linguística Unidade básica simbólica Ponto de inflexão
Derivada primeira de y não muda de sinal na vizinhança de x0. Derivada segunda de y muda de sinal positivo para negativo.
) ( , 0 ) ´´( ) ( , 0 ) ´´( ) ( , 0 ) ´( 0 ) ´( 0 0 0 0 x V x x y x V x x y x V x x y x y
3ª etapa: Retroalimentação das informações nas tabelas
Para análise do entendimento das tabelas pelos alunos, propomos questões relacionadas com o fato de a função representar o crescimento de uma população, a fim de possibilitar a significância dos dados nas tabelas. As questões propostas foram
a) Qual é o maior número de bactérias no intervalo de tempo 0 t 100? Justifique sua resposta. b) O número de bactérias tende a estacionar em um valor? Qual? Como você pode representar esta
informação de modo matemático?
c) Em que momento, no intervalo de tempo de (c), o número de bactérias decresce mais rapidamente?Justifique sua resposta.
Estas questões exigiam dos alunos o cálculo dos pontos de máximo da função, o limite relativo à reta assíntota horizontal e ao ponto de inflexão. Um dos pontos em que os alunos mais encontraram dificuldade foi relacionado com o conceito de ponto de inflexão.
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Neste ponto há o maior decrescimento da população de bactérias, porém a derivada de primeira ordem apresenta um ponto de mínimo e a de segunda ordem corta o eixo das abscissas (ilustração 4). Esta dificuldade é denominada “não congruência semântica”. A dificuldade está no fato de que o enunciado apresenta uma característica superlativa da função (“maior”), enquanto que os gráficos apresentam características com significados contrários.
Como afirma Duval (1988a, p.2) “[...] duas expressões podem ser sinônimos ou referencialmente equivalentes (elas podem “dizer a mesma coisa”, elas podem ser verdadeiras ou falsas juntas) e não serem semanticamente congruentes: neste caso, há um custo cognitivo importante para a compreensão do conceito matemático.”
Ilustração 4: Gráficos das Derivadas de 1ª e segunda ordem Considerações finais
De qualquer forma, em todos os casos apresentados acima, os alunos realizaram a conversão no caminho 1→2 (representação simbólica → representação gráfica – ver esquema ilustração 2) através do software gráfico Derive (modo informático), conseguindo observar a curva em diferentes escalas, possibilitando a sua visualização correta e precisa, e também a conversão no sentido contrário caminho 2→1 (representação gráfica → representação simbólica) através das unidades básicas, completando o ciclo proposto por Moretti et al. (2010) conforme o esquema descrito na ilustração 2.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 10 Referências
DUVAL, R. Ecarts sémantiques et cohérence mathématique. Annales de didactique et de sciences cognitives. Strasbourg: Irem, 1988A. v.1.
DUVAL, R. Graphiques e équations: l'articulation de deux régistres. Annales de didactique et de sciences cognitives. Strasbourg: Irem,1988B. v.1.
LUIZ, L. dos Santos. Esboço de curvas no ensino superior: uma proposta baseada na interpretação global de propriedades figurais e uso de tecnologias. 2010. Dissertação (Mestrado em Educação Científica e Tecnológica) – Universidade Federal de Santa Catarina.
MORETTI, Méricles T. . A Translação como recurso no esboço de curvas por meio da interpretação global de propriedades figurais. In: Sílvia Dias Alcântara Machado. (Org.). Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. 1 ed. Campinas: Papirus, 2003, v. 1, p. 149-160.
MORETTI, M.T.; FERRAZ, G. A.; FERREIRA, V.G. G. Estudo da conversão de funções entre registros simbólico e gráfico no ensino universitário. 2010 (a ser publicado na revista quadrante).
SILVA, M. O. Esboço de curvas: uma análise sob a perspectiva dos registros de representação
semiótica. 2008. Dissertação (Mestrado em Educação Científica e Tecnológica) – Universidade
