Lista de Exercícios da Unidade VII

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EXERCÍCIO – UNIDADE 7

1. Consulte nas tabelas as probabilidades para os seguintes valores de Z: (z=-0,33; z=0,00; z=3,00 e z=1,12). a) 0,37070, 0,50000, 0,99865 e 0,86864 b) 0,25700, 0,50000, 0,78956 e 0,86864 c) 0,34570, 0,45674, 0,34564 e 0,98567 d) 0,23450, 0,68743, 0,99865 e 0,23476 e) 0,12364, 0,98765, 0,26777 e 0,12966

2. Consulte nas tabelas o valor de z para as seguintes probabilidades: ( Pr=0,23576, Pr=0,42858 e Pr=0,85543). a) z=-0,45, z=-0,24 e z=2,06 b) z=-0,57, z=-0,45 e z=1,76 c) z=-0,72, z=-0,18 e z=1,06 d) z=-0,68, z=-0,35 e z=2,08 e) z=-0,45, z=-0,56 e z=1,06

3. Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na universidade se formar é de 12,5%. Determine a probabilidade de que dentre seis estudantes escolhidos aleatoriamente, nenhum se forme.

a) 0,4390 b) 0,4689 c) 0,4488 d) 0,6388 e) 0,6773

4. Se uma variável aleatória tem distribuição normal com média µ=70 e desvio padrão σ=4,8. Determine a probabilidade de ela assumir um valor superior a 66,4. a) 0,7734 b) 0,7844 c) 0,7964 d) 0,8734 e) 0,8994

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5. Na manufatura de certo artigo, é sabido que 2 entre dez dos artigos são defeituosos. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha exatamente um defeituoso?

a) 0,3105 b) 0,3405 c) 0,4100 d) 0,4096 e) 0,4356

6. No bairro de Buriti, a probabilidade de um carro furtado ser recuperado é de 0,40. Dentre 10 carros furtados, qual a probabilidade de 3 carros serem

recuperados? a) 0,034 b) 0,304 c) 0,382 d) 0,413 e) 0,423

7. Em um tratamento para alergia em crianças, é ministrado um remédio. Observou-se que 20% das crianças que tomam tal medicamento ficam

sonolentas em 5 minutos. Determine a probabilidade de que, dentre 20 crianças que tomam o remédio, no máximo duas ficarem sonolentas dentro de 5 minutos. a) 0,207

b) 0,227 c) 0,277 d) 0,287 e) 0,297

8. Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de aparecer face cara em pelo menos 3 lançamentos?

a) 0,452 b) 0,500 c) 0,620 d) 0,660 e) 0,683

9. Em um grupo de 1000 pacientes com idade acima de 60 anos, todos com diabetes, verificou-se que a glicose média dos pacientes era de 175 mg/dl de sangue com um desvio padrão de 15 mg/dl. Quantos pacientes possuem glicose acima de 180 mg/dl?

10. O enfermeiro chefe de um hospital de emergência verificou que 60% de todos os pacientes que procuram a emergência nos fins de semana não estão em condições emergenciais. Determine as probabilidades de que, dentre oito

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pacientes que dão entrada na sala de emergência, 0, 1, 2, …, 7, 8 não estejam em condições de emergência.

(4)

GABARITOS COMENTADOS

1. Consulte nas tabelas as probabilidades para os seguintes valores de Z: (z=-0,33; z=0,00; z=3,00 e z=1,12). a) 0,37070, 0,50000, 0,99865 e 0,86864 b) 0,25700, 0,50000, 0,78956 e 0,86864 c) 0,34570, 0,45674, 0,34564 e 0,98567 d) 0,23450, 0,68743, 0,99865 e 0,23476 e) 0,12364, 0,98765, 0,26777 e 0,12966

¾ Buscamos na tabela da normal as probabilidades correspondentes aos valores de z.

Z= -0,33

Distribuição Normal Padrão - Valores Negativos de Z

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

-0,3 -0,38209 -0,37828 -0,37448 -0,37070 -0,36693 -0,36317 -0,35942 -0,35569 -0,35197 -0,34827 Z=0,00

Distribuição Normal Padrão - Valores Positivos de Z

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586

Z=3,00

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 Z=1,12

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298

2. Consulte nas tabelas o valor de z para as seguintes probabilidades: ( Pr=0,23576, Pr=0,42858 e Pr=0,85543). a) z=-0,45, z=-0,24 e z=2,06 b) z=-0,57, z=-0,45 e z=1,76 c) z=-0,72, z=-0,18 e z=1,06 d) z=-0,68, z=-0,35 e z=2,08 e) z=-0,45, z=-0,56 e z=1,06

¾ Fazemos agora, o contrário, a partir da probabilidade buscamos na tabela o valor de z correspondente.

(5)

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

-0,7 0,24196 0,23885 0,23576 0,23270 0,22965 0,22663 0,22363 0,22065 0,21770 0,21476 Pr=0,42858

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

-0,1 0,46017 0,45620 0,45224 0,44828 0,44433 0,44038 0,43644 0,43251 0,42858 0,42465 Pr=0,85543

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214

3. Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na universidade se formar é de 12,5%. Determine a probabilidade de que dentre seis estudantes escolhidos aleatoriamente, nenhum se forme.

a) 0,4390 b) 0,4689 c) 0,4488 d) 0,6388 e) 0,6773 Distribuição Binomial p=0,125 (12,5%) q=0,875 (1-p=1-0,125=0,875) n=6 • Teorema:

Seja X uma variável aleatória binomial, então:

Pr{X = k} = Cn,k . pk . (1 – p)n-k k= 0, 1, 2, ..., n. - Cn,k =

)!

(

!

k

n

k

n

−

A probabilidade de nenhum estudante se formar é k=0, ou seja, Pr{X=0}. Pr{X=0}= 0,1250 0,8756 1 1 0,4488 0,4488 0 , 6 × × = × × = C Pr{X=0}=0,4488 Para o cálculo de

!

6 !

0 !

6

0 , 6

×

=

C

, pode-se consultar a tabela de binomial e buscar o resultado.

(6)

Coeficientes Binomiais - Cn,k

=

)!

(

!

k

n

k

n

−

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0 n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1 n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2 n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

3 n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

4 n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

5 n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

6 n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

7 n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

8 n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

9 n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

19 n

0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1

4. Se uma variável aleatória tem distribuição normal com média µ=70 e desvio padrão σ=4,8. Determine a probabilidade de ela assumir um valor superior a 66,4. a) 0,7734 b) 0,7844 c) 0,7964 d) 0,8734 e) 0,8994

Sempre que estamos trabalhando com a probabilidade do valor estar acima (superior a 66,4), temos que levar em consideração que:

¾ O espaço amostral possui 100% ou 1;

¾ Buscamos o valor da probabilidade que está a partir do valor especificado; ¾ Subtraímos 1 - a probabilidade calculada.

z =

σ

µ

−

x

Pr{X>66,4) = 1- Pr{Z<z) Pr{X>66,4) = 1- Φ(z) Pr{X>66,4) = 1- Pr{X≤66,4) =

1 (

0 ,

75 )

1

0 ,

22663

0 ,

7734

8 ,

4

70

4 ,

66

1 _⎥

=

−

=

−

=

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

φ

Pr{X>66,4) = 0,7734

(7)

5. Na manufatura de certo artigo, é sabido que 2 entre dez dos artigos são defeituosos. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha exatamente um defeituoso?

a) 0,3105 b) 0,3405 c) 0,4100 d) 0,4096 e) 0,4356 p=0,2 q=0,8 n=4 k=1 Pr{X=1}=

0 ,

2

0 ,

512

4

0 ,

2

0 ,

512

0 ,

4096

!

3 !

1 !

4

8 ,

0

2 ,

0

1 3 1 , 4

×

=

_×

×

=

×

=

C

Pr{X=1}= 0,4096

6. No bairro de Buriti, a probabilidade de um carro furtado ser recuperado é de 0,40. Dentre 10 carros furtados, qual a probabilidade de 3 carros serem

recuperados? a) 0,034 b) 0,304 c) 0,382 d) 0,413 e) 0,423 p=0,40 q=0,60 n=10 k=0 k=1 k=2 k=3 Pr{X≤3} = Pr{X=0} + Pr{X=1} + Pr{X=2} + Pr{X=3} Pr{X=0}= C₁₀_,₀ ×0,400 ×0,6010 =0,00605 Pr{X=1}= C₁₀_,₁×0,401×0,609 =0,04031 Pr{X=2}= C₁₀_,₂ ×0,402 ×0,608 =0,12093 Pr{X=3}= C₁₀_,₃ ×0,403 ×0,607 =0,21499 Pr{X≤3}= 0,38228 ou 0,382

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7. Em um tratamento para alergia em crianças, é ministrado um remédio. Observou-se que 20% das crianças que tomam tal medicamento ficam

sonolentas em 5 minutos. Determine a probabilidade de que, dentre 20 crianças que tomam o remédio, no máximo duas ficarem sonolentas dentro de 5 minutos. a) 0,207 b) 0,227 c) 0,277 d) 0,287 e) 0,297 p=0,20 q=0,80 n=20 k=0 k=1 k=2 Pr{X≤2} = Pr{X=0} + Pr{X=1} + Pr{X=2} Pr{X=0}= C₂₀_,₀ ×0,200 ×0,8020 =0,01153 Pr{X=1}= C20,1×0,201×0,8019 =0,05765 Pr{X=2}= C₂₀_,₂ ×0,202 ×0,8018 =0,13691 Pr{X≤2} = 0,20609 ou 0,207

8. Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de aparecer face cara em pelo menos 3 lançamentos?

a) 0,452 b) 0,500 c) 0,620 d) 0,660 e) 0,683

¾ Uma moeda possui dois lados, logo a probabilidade de ocorrência de qualquer face é de

0 ,

50

2 1 =

. p=0,50 q=0,50 n=5 k=0 k=1 k=2 Pr{X≥3} = 1- Pr{X<3} = 1- [Pr{X=0} + Pr{X=1} + Pr{X=2}] Pr{X=0}= C5,0 ×0,50 ×0,55 =0,03125 Pr{X=1}= C5,1×0,51×0,54 =0,15625 Pr{X=2}= C₅_,₂ ×0,52 ×0,53 =0,3125 Pr{X≥3} = 1- Pr{X<3}= 1-0,500=0,500

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9. Em um grupo de 1000 pacientes com idade acima de 60 anos, todos com diabetes, verificou-se que a glicose média dos pacientes era de 175 mg/dl de sangue com um desvio padrão de 15 mg/dl. Quantos pacientes possuem glicose acima de 180 mg/dl? z =

σ

µ

−

x

P(X>180) = 1- P(Z<z) z=

0 ,

33

15

175

180 =

−

P(X>180) = 1 –Φ(0,33) = 1-0,6293 = 0,37

No total de 1000 pacientes = 1000 x 0,37

≅

371 pacientes

10. O enfermeiro chefe de um hospital de emergência verificou que 60% de todos os pacientes que procuram a emergência nos fins de semana não estão em condições emergenciais. Determine as probabilidades de que, dentre oito pacientes que dão entrada na sala de emergência, 0, 1, 2, …, 7, 8 não estejam em condições de emergência.

¾ Dentre os 8 pacientes que deram entrada na sala de emergência, os 8 não estejam em condições de emergência.

p=0,6 q=0,4 n=8 Pr{X≤8} = Pr{X=0} + Pr{X=1} + Pr{X=2} + Pr{X=3} + Pr{X=4} + Pr{X=5} + Pr{X=6} + Pr{X=7} + Pr{X=8} = = = 0 8 0 , 8 .0,6 .0,4 } 0 {X C P 0,001 = = = 1 7 1 , 8 .0,6.0,4 } 1 {X C P 0,008 = = = 2 6 2 , 8 .0,6 .0,4 } 2 {X C P 0,041 = = = 3 5 3 , 8 .0,6 .0,4 } 3 {X C P 0,124 = = = 4 4 4 , 8 .0,6 .0,4 } 4 {X C P 0,232 = = = 5 3 5 , 8 .0,6 .0,4 } 5 {X C P 0,279 = = = 6 2 6 , 8 .0,6 .0,4 } 6 {X C P 0,209 = = = 7 1 7 , 8 .0,6 .0,4 } 7 {X C P 0,090 = = = 8 0 8 , 8 .0,6 .0,4 } 8 {X C P 0,017 Pr{X≤8} = 1 ou 100%

Obs: Como já dito anteriormente, o espaço amostral tem uma probabilidade de 1 ou 100%. No caso do problema, como pegamos uma amostra de tamanho 8 e

verificamos a probabilidade de todos os 8 pacientes, a soma dessas probabilidades só poderia ser igual a 1 ou 100%, pois verificamos todo o espaço amostral.