Equações Diferenciais e Equações às Diferenças

Instituto Superior de Economia e Gestão

Universidade Técnica de Lisboa

Equações Diferenciais

&

Equações às Diferenças

João Nicolau

Preparado para a cadeira de Equações Diferenciais (2

_{ano) da Licenciatura de}

Matemática Aplicada à Economia e Gestão

(versão 2)

2003

Conteúdo

I

Equações Diferenciais

6

1 Definições e Resolução de Equações Diferenciais 9

1.1 Definições . . . 9

1.2 Algumas Equações Diferenciais Univariadas de Primeira Ordem com Solução Fechada . . . 19

1.2.1 Equação Linear (Primeira Ordem) . . . 19

1.2.2 Equação Com Variáveis Separáveis . . . 22

1.2.3 Equação Homogénea . . . 23

1.2.4 Equação Total Exacta . . . 25

1.2.5 Equação Redutível a Total Exacta . . . 28

1.3 Equações Diferenciais Redutíveis a Equações Diferenciais de Primeira Ordem . . 31

1.3.1 Equações do Tipo x00= f (t, x0) . . . 31

1.3.2 Equações do Tipo x00= f (x, x0) . . . 32

1.4 Aplicação (Modelos Populacionais) . . . 33

1.4.1 Introdução . . . 33

1.4.2 Estimação dos Parâmetros . . . 36

1.4.3 Comentários Finais . . . 39

2 Existência, Unicidade e Prolongamento das Soluções 43 2.1 Existência e Unicidade das Soluções . . . 43

2.1.1 Introdução . . . 43

2.2 Prolongamento das Soluções . . . 55

2.3 Caso Multivariado . . . 60

3 Aproximações Numéricas 65 3.1 Método de Euler . . . 66

3.2 Outras Aproximações . . . 72

4 Sistemas de Equações Lineares 76 4.1 Introdução . . . 76

4.2 Sistema de Equações Diferenciais Homogéneas . . . 79

4.2.1 Primeiras Noções . . . 79

4.2.2 Matriz Fundamental de Soluções . . . 83

4.2.3 Resolução do Sistema x0 _{= Ax . . . 88}

4.3 Sistema de Equações Diferenciais Não Homogéneas . . . 103

5 Estabilidade 111 5.1 Definições . . . 111

5.2 Estabilidade de Sistemas Lineares . . . 119

5.3 Estabilidade de Sistemas Não Lineares . . . 123

5.3.1 Linearização . . . 123

5.3.2 Método Directo de Liapunov . . . 129

5.4 Métodos Gráficos . . . 133

5.4.1 Equações Univariadas de Primeira ordem . . . 134

5.4.2 Sistemas de Duas ED . . . 138

II

Equações às Diferenças

161

6.2 Equação Linear de ordem n Não homogénea Com Coeficientes Constantes . . . . 168

6.2.1 Equação Homogénea . . . 169

6.3 Equações Linearizáveis . . . 178

7 Sistemas de Equações Lineares Não Homogéneas Com Coeficientes Con-stante 185 7.1 Caso Homogéneo . . . 187

7.1.1 Caso Geral . . . 188

7.1.2 Sistema de Duas Equações (n = 2) . . . 192

7.2 Caso Não Homogéneo . . . 200

8 Estabilidade 202 8.1 Pontos Fixos . . . 202

8.1.1 Definições . . . 202

8.1.2 Estabilidade de Sistemas Lineares . . . 208

8.1.3 Estabilidade de Sistemas Não Lineares . . . 212

8.1.4 Bacia do Escoadouro . . . 217

8.2 Pontos Periódicos . . . 225

8.2.1 Definições . . . 225

8.2.2 Estabilidade dos Pontos Periódicos . . . 231

8.3 Aplicação I (Problema de Afectação de Turmas) . . . 234

Nota Introdutória

Apresentamos neste documento um conjunto de apontamentos que servem de base à cadeira Equações Diferenciais do 2oano da licenciatura de MAEG (Matemática Aplicada à Economia e Gestão/ISEG). Na exposição dos temas procurou-se um equilíbrio entre a abordagem quantita-tiva, baseada na resolução de equações diferenciais (e às diferenças) e a abordagem qualitativa das soluções, mais avançada, mas mais importante. O mundo é intrinsecamente não linear e complexo. Daí que, quando se analisa um fenómeno real através de equações diferenciais (ou equações às diferenças) não é geralmente possível obter expressões em "forma fechada"das soluções, i.e., expressões analíticas envolvendo funções simples e transcendentais que represen-tem a solução de uma equação diferencial (ou de uma equação às diferenças). Nestes casos a abordagem quantitativa é completamente inútil. Outros casos existem onde a solução, embora conhecida, é demasiadamente complicada para ser analisada. Mais uma vez, o estudo qual-itativo das soluções é preferível. A abordagem quantitativa tem, no entanto, a vantagem de ser mais pedagógica, sobretudo para quem inicia o estudo das equações diferenciais. Assim, apresentam-se alguns métodos de resolução de equações diferenciais mais importantes ou mais conhecidas, mas sempre que possível, simplifica-se ou abrevia-se a análise quantitativa. Por exemplo, não se apresenta a teoria das equações diferenciais lineares de ordem n de coeficientes constantes, dado que estas podem ser tratadas no âmbito dos sistemas lineares. Apenas a resolução de sistemas lineares é tratado com algum desenvolvimento, não só porque a teoria é suficientemente geral mas sobretudo porque vários resultados de sistemas lineares são usados no estudo (qualitativo) dos sistemas não lineares.

Parte I

Suponha-se que se pretende estudar um fenómeno (económico, físico, biológico, etc.) ao longo do tempo. Designamos o fenómeno pela letra x e, como x depende de t (tempo), usare-mos também a notação x (t). Na maioria dos casos, é possível estabelecer uma relação entre x0, t e x. Por exemplo, seja x (t) uma população de uma certa espécie (humana, de bactérias, de predadores, etc.) no instante t e suponhamos, numa situação ideal, que x (t) varia continua-mente. Seja r a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade por unidade de tempo. A variação da população num certo intervalo de tempo ∆ > 0 pode ser traduzida pela igualdade (x (t + ∆) − x (t)) /x (t) = r∆ ou seja (x (t + ∆) − x (t)) /∆ = rx (t) . Com ∆ → 0 tem-se a equação diferencia (ED) x0 = rx. A partir desta relação é fácil (como veremos) obter a fórmula matemática que estabelece o nível da população em cada instante t, x (t) = x (0) ert, onde x (0) é o valor da população no momento ou instante zero. Quer dizer, se a dinâmica infinitesimal de x é bem traduzida pela ED x0 = rx então a população evolui de acordo com a fórmula x (t) = x (0) ert. Iremos designar esta fórmula por solução. Na maioria dos problemas mais complicados (leia-se não lineares) não é possível obter a ”fórmula” x (t) . Felizmente, a teoria das ED está suficientemente desenvolvida para que todas as questões relevantes possam ser respondidas sem se recorrer à expressão analítica da solução da ED. Questões ”relevantes” podem ser, por exemplo, qual o comportamento de longo prazo das soluções? Serão periódi-cas? Tenderão para algum valor? Como reagem a pequenas perturbações? O estudo destas questões constitui a abordagem qualitativa das equações diferenciais, em oposição à abordagem quantitativa baseada na resolução das equações diferenciais.

Ao contrário do que sucede na área das ciências exactas, não é geralmente possível traduzir-se um fenómeno económico ou financeiro ao longo do tempo através de uma relação exacta (por exemplo, não há nenhuma ED que ajuste de forma perfeita o PIB, um índice da bolsa, etc.). Embora se admita que as variáveis económicas e financeiras evoluem ao longo do tempo de acordo com certo padrão, há desvios constantes face ao padrão. Esses desvios devem-se ao acaso ou, eventualmente, a um conjunto de regras que o investigador não conhece. Um dos problemas maiores na modelação dos fenómenos económicos consiste exactamente na procura do padrão subjacente que governa o fenómeno. Retomando o exemplo atrás citado, considerámos como apropriado a ED x0 _{= rx para descrever a dinâmica infinitesimal de uma população}

dinâmica de uma população humana no longo prazo. Para esta ED haveria que levar em conta outros factores, como por exemplo, recursos disponíveis, imigração, emigração, etc. Os factores que individualmente fossem pouco significativos, poderiam ser englobados numa variável erro, susceptível de ser descrita em termos probabilísticos.

Em econometria, seguem-se usualmente os seguintes passos na construção do modelo es-tatístico (modelo de regressão): 1) (a) estabelecer as principais relações a partir da teoria económica e (b) identificar as principais características do fenómeno em estudo; 2) especificar o modelo; 3) estimar o modelo (a partir dos dados disponíveis) e 4) avaliar os resultados obti-dos. Estes passos são também válidos na especificação da ED [sobretudo os passos 1) e 2)]. A rigor os fenómenos económicos e sociais não são susceptíveis de serem descritos de forma determinística. Em modelos mais realistas em tempo contínuo, introduz-se explicitamente uma componente aleatória que reflecte tudo aquilo que a relação determinística não explica. Estes modelos são representados por equações diferenciais estocásticas (EDE). Na especificação destas equações, são inteiramente válidos os passos [1) a 4)] acima referidos.

Embora as ED determinísticas não sejam apropriadas para modelarem fenómenos de na-tureza económica (pois como se disse, não contemplam a componente aleatória) são, no entanto, extremamente úteis no âmbito da teoria económica. Além disso, são um bom ponto de partida para o estudo das EDE, da estabilidade e do caos em sistemas dinâmicos.

Capítulo 1

Definições e Resolução de Equações

Diferenciais

1.1

Definições

Seja t ∈ I ⊂ R onde I é aberto. Uma equação da forma

F³t, x (t) , x0(t) , x00(t) , ..., x(n)(t)´= 0 (1.1) é designada por equação diferencial (ED) ordinária de ordem n. A equação (1.1) estabelece uma relação entre a função incógnita x (t), a variável independente t e as derivadas de x. Dado que (1.1) se apresenta numa forma implícita esta equação pode representar de facto uma colecção de ED. Por exemplo, a ED (x0(t))2_{− x (t) − 1 = 0 conduz a duas equações, x}0(t) =px (t) + 1 e x0_{(t) = −}px (t) + 1. Para evitar ambiguidades que a equação (1.1) pode levantar, vai admitir-se que (1.1) é resolúvel em ordem a x(n)_{(t); nestas circunstâncias, a equação (1.1) escreve-se na}

forma

x(n)(t) = f³t, x (t) , x0(t) , x00(t) , ..., x(n−1)(t)´ (1.2) onde f é definida em I × Rn_{. A equação (1.2) pode-se escrever equivalentemente na forma}

x(n)= f¡t, x, x0, x00, ..., x(n−1)¢, estando implícita a dependência de x e das suas derivadas face a t. Um caso particular importante é quando n = 1 (ED de ordem um), i.e., x0_{(t) = f (t, x (t))}

ou x0 = f (t, x) .

Estudam-se também as chamadas ED parciais. Nestas equações, x depende de várias va-riáveis independentes (para além de t), e estabelece-se uma relação entre x, as vava-riáveis inde-pendentes e as respectivas derivadas parciais de x (por exemplo, z −∂x (t, z) /∂t = z∂x (t, z) /∂z é uma ED parcial). As ED parciais não são objecto do presente texto. Doravante a designação ”ED” quer dizer equação ou equações diferenciais ordinárias.

É importante distinguir ED lineares das ED não lineares. Diz-se que a ED (1.2) é linear se f¡t, x, x0, x00, ..., x(n−1)¢ é linear em x, x0, x00, ..., x(n−1) e não linear no caso contrário. Na situação n = 1 (ordem um), a ED linear é do tipo x0 = a (t) x + b (t) (a (t) e b (t) podem ser funções não lineares). Exemplos de ED lineares de primeira ordem: x0 = tx+1, x0 = (sen t) x+t2, etc. Exemplos de ED não lineares: x0 = x2+ t, x0=√tx + 1.

Uma ED (ou um sistema de ED) do tipo x0 = f (x) (f não depende de t) designa-se por ED homogénea ou autónoma.

Suponha-se que certo fenómeno x evolui de acordo com a função (a) x (t) = e3t. Como x0(t) = 3e3t = 3x (t) podemos estabelecer (b) x0 = 3x. Nos problemas que iremos tratar a equação (a) a prior não é conhecida. Normalmente conhece-se a dinâmica infinitesimal dada por uma equação do tipo (b) e o objectivo consiste em obter uma função do tipo (a), designada por solução.

Definição 1 (Solução) 1Uma função x (t) é designada uma solução da ED x(n)₌

f¡t, x, x0, x00, ..., x(n−1)¢num intervalo I se (a) x(n)_{(t) existe em I;}

(b) x (t) satisfaz x(n)_{(t) = f}¡_{t, x (t) , x}0_{(t) , x}00_{(t) , ..., x}(n−1)_(t)¢_.

Exemplo 1 A função x (t) = ce− sen t_{, c ∈ R, t ∈ R é solução da ED x}0 _{= −x cos t em R} (note-se f (t, x) = −x cos t). Com efeito,

x0(t) = ce− sen t_{(− cos t) = −x (t) cos t = f (t, x (t)) ,}

1

De igual forma, uma função x (t) é designada uma solução da ED F t, x, x0, x00, ..., x(n) = 0 num intervalo I se (a) x(n)(t) existe em I e (b) x (t) satisfaz F t, x (t) , x0(t) , x00(t) , ..., x(n)(t) = 0.

i.e., a solução satisfaz a ED; por outro lado, x0(t) = ce− sen t_{(− cos t) existe em R.}

Exemplo 2 As funções x1(t) = e−2t, x2(t) = et para t ∈ R são soluções da ED de segunda

ordem x00 _{= −x}0 _{+ 2x em R (note-se que f (t, x, x}0_{) = −x}0 + 2x). Por exemplo, em relação a x1(t), tem-se x01(t) = −2e−2t e x100(t) = 4e−2t. Resulta 4e−2t = 2e−2t+ 2e−2t [i.e.,

verifica-se a alínea b) da definição anterior, x00_{1(t) = −x}0₁(t) + 2x1(t) = f (t, x (t) , x0(t))]. O mesmo

raciocínio se aplica a x2(t).

As soluções destes últimos exemplos foram escritas de forma explícita. Poderíamos também escrever a solução na forma implícita Φ (t, x, c) = 0. Por exemplo, Φ (t, x, c) = x (t)−ce− sen t = 0 é a solução implícita da ED x0 _{= −x cos t (ver exemplo 1). É sempre preferível apresentar a} solução na forma explícita, por razões óbvias. No entanto, por vezes não se consegue ou não é fácil escrever a solução explicitamente. Por exemplo, log |t + 1| − x (t) + log¯¯ex(t)_{+ 1}¯¯ + c = 0

é solução implícita da ED x0 = (ex_{+ 1) / (t + 1) , t 6= −1 (ver exercícios) e não é possível} explicitar x (t) .

No exemplo 1 vimos que x (t) = ce− sen t_{, c ∈ R é solução da ED x}0 _{= −x cos t. Como} a constante c pode assumir qualquer valor em R, qualquer das seguintes expressões e− sen t_,

−50e− sen t, πe− sen t, 101000e− sen t é uma solução da ED x0 _{= −x cos t. A definição seguinte} esclarece a natureza destas soluções.

Definição 2 (Solução Geral & Solução Particular) Uma solução de uma ED é designada por solução geral se inclui todas as soluções da ED. Uma solução particular é uma solução deduzida a partir da solução geral.

Exemplo 3 Retomando o exemplo 1, pode-se estabelecer que x (t) = ce− sen t_{, c ∈ R é a} solução geral da ED x0 _{= −x cos t e, expressões como, e}− sen t_{, −50e}− sen t, πe− sen t, 101000e− sen t são soluções particulares, dado que são deduzidas a partir da solução geral. Na figura 1-1 apresentam-se três soluções particulares2 _{para t ∈ [0, 10] e, na figura 1-2, apresentam-se 64} soluções particulares, também no mesmo intervalo (a constante c assume agora 64 valores).

Em geral não é fácil resolver-se uma ED, i.e., obter-se a sua solução. Considere-se, por exemplo, a ED x0_{(t) = f (t, x (t)) ou dx (t) = f (t, x (t)) dt (note-se x}0_{(t) := dx (t) /dt)}3 _e

2_{Quais são os valores que a constante c assume?} 3_{a := bsignifica a é igual a b por definição.}

Figura 1-1: Três Soluções Particulares da ED x0 _{= −x cos t} 2 4 6 8 10 t 2 4 6 8 x

Figura 1-2: Sessenta e Quatro Soluções Particulares da ED x0_{= −x cos t}

2 4 6 8 10t -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 x

suponha-se que f é contínua nos seus argumentos. Integrando ambos os termos vem x (t) = R

f (t, x (t)) dt + const. A dificuldade inicial não está na resolução do integral mas no seguinte facto: para se obter x (t) (lado esquerdo da equação) é necessário resolver-se o lado direito da equação; mas o lado direito depende de x (t) que é precisamente o que procuramos obter. Iremos estudar oportunamente técnicas para resolver certos tipos de ED.

O tipo mais simples de ED de primeira ordem corresponde à ED x0 = f (t) . Integrando ambos os termos resulta que a solução geral é x (t) = Pt(f (t)) + c, onde Pt designa a primitiva

de f (t). Por exemplo, a solução geral de x0 = t é x (t) = t2_{/2 + c, c ∈ R. Qualquer que} seja o valor atribuído a c, a função x (t) é sempre uma solução. Suponha-se que c = 1 então x (t) = t2/2 + 1 é uma solução particular pois foi deduzida a partir da solução geral.

É evidente que para cada valor da constante c definida na solução geral se obtém uma curva no plano (t, x) . A solução geral representa de facto uma família de curvas planas indexadas ao parâmetro c. A esta família dá-se o nome de família de curvas integrais (dependente de um parâmetro). Faremos no entanto a distinção entre a família de curvas integrais e solução geral (ver observação 3).

Exemplo 4 Considere-se a ED não linear de primeira ordem x0 = ³_{−t +}√t2_{+ 4x}´_{/2 (*).}

Não existe a prior um método para resolver esta ED. No entanto, considere-se o artifício mu-dança de variável y (t) = y = √t2_{+ 4x. Esta equação expressa em x é x =} ¡_y2

− t2¢/4. Derivando esta equação em ordem a t, resulta x0 _{= (2yy}0_{− 2t) /4 = (yy}0_{− t) /2 (**). Logo}

igualando as equações (*) e (**) vem

(−t + y) /2 =¡yy0_{− t}¢/2 ou seja y0 = 1 ou ainda y = t + c1. Como x =

¡ y2_{− t}2¢/4 resulta x (t) = ³ (t + c1)2− t2 ´ 4 = 1 2tc1+ 1 4c 2 1 = tc + c2

(para simplificar fizemos c = c1/2). Na figura 1-3 traçam-se algumas soluções particulares

Figura 1-3: Soluções Particulares da ED x0 =³_{−t +}√t2_{+ 4x}´_/2 -10 -5 5 10 -20 20 40 60

Observação 1 (Envolventes de Curvas Integrais) A envolvente de uma família de curvas

integrais Φ (t, x, c) = 0 (caso exista) é uma curva g (t, x) = 0 tal que a) em cada ponto da curva g (t, x) = 0 passa (sendo tangente) um elemento da família Φ (t, x, c) = 0 e b) g (t, x) = 0 é tangente a todas a todas as curvas integrais. Assim, g (t, x) = 0 é uma curva envolvente se existir uma função c (t, x) tal que a)

g (t, x) = Φ (t, x, c (t, x)) = 0

e b) os declives de g (t, x) = 0 e Φ (t, x, c) = 0 são iguais em todos os pontos (t, x) . Mostra-se a seguir que a alínea b) traduz-se na condição Φ0_c= 0. Suponha-se que Φ0_{x 6= 0 e Φ}0_{t6= 0. Então} g (t, x) = 0 define implicitamente x como função de t através (digamos) de uma expressão do tipo x = φ (t) . O declive da tangente à curva g (t, x) = 0 é x0 = φ0(t) e obtém-se a partir da equação Φ0_t+ Φ0_xx0+ Φ0_c∂c ∂t + Φ 0 c ∂c ∂xx 0 _{= 0 ⇒ x}0 _{= −}Φ0t+ Φ0c∂c∂t Φ0 x+ Φ0c∂x∂c (1.3) (pela fórmula de derivação da função implícita). Encarando Φ (t, x, c) = 0 como a família de curvas integrais (e não como a envolvente) então c é uma constante. Neste caso o declive da tangente à curva Φ (t, x, c) = 0 obtém-se a partir da equação

Φ0_t+ Φ0_xx0 _{= 0 ⇒ x}0 _{= −}Φ

0 t

Figura 1-4: Envolvente (traço grosso) e Curvas Particulares da ED x0=³_{−t +}√t2_{+ 4x}´_/2 -10 -5 5 10 -20 20 40 60

Para que g (t, x) = 0 seja a curva envolvente é necessário que os declives (1.3) e (1.4) sejam iguais, pelo que deve-se exigir Φ0_c= 0. Para exemplificar retome-se o exemplo 4. Determine-se a envolvente (caso exista) da família de curvas integrais Φ (t, x, c) = x − tc − c2_{= 0. Considere-se}

Φ (t, x, c (t, x)) = 0 e determine-se uma função c (t, x) que satisfaça as condições expressas nas alíneas a) e b). Vem

Φ0_{c= 0 ⇒ −t − 2c = 0 ⇔ c = −}t 2. Por outro lado,

Φ (t, x, c (t, x)) = 0 ⇔ x − tc (t, x) − c2(t, x) = 0. Com c = −2t vem Φ (t, x, c (t, x)) = Φ µ t, x, −₂t ¶ = 0 ⇔ x − t µ −₂t ¶ − µ −₂t ¶2 = 0 ⇒ x = −1₄t2. Assim x (t) = −14t

2 _{é a expressão (explícita) da curva envolvente da família de curvas}

inte-grais. Na figura 1-4 representa-se a envolvente (a traço grosso) assim como algumas curvas particulares.

Observação 2 (Soluções Singulares) Designamos soluções singulares de uma ED às soluções da ED que não podem ser obtidas a partir da família de curvas integrais. Toda a curva envol-vente que não pode ser obtida a partir da família de curvas integrais é naturalmente uma solução

singular. Com efeito, a curva envolvente é uma solução da ED pois em cada ponto da envolvente Φ (t, x, c (t, x)) = 0 as quantidades t, x e x0 são as mesmas para a envolvente e para a curva da família. Mas a envolvente pode ser ou não uma curva da família. Se não for é óbvio que tam-bém não pode ser deduzida a partir da família das curvas integrais e, neste caso, a envolvente é uma solução singular da ED. Resulta claro também que a existência de soluções singulares implica a violação da unicidade das soluções (este aspecto será discutido com mais detalhe no ponto 2.1). Para exemplificar retome-se o exemplo 4. Vimos na observação 1 que −14t

2 _{é a}

envolvente da família de curvas integrais associadas à ED não linear x0 =³_{−t +}√t2_{+ 4x}´_/2.

Por isso φ (t) = −14t2 é também solução (de facto φ0=

³

−t +pt2_{+ 4φ}´_{/2) e, como φ (t) não}

pode ser deduzida a partir da solução x (t) = tc + c2 _{resulta que φ (t) = −}1₄t2 é uma solução singular.

Observação 3 Iremos mostrar que uma ED linear tem apenas uma única solução geral. Por

seu lado, uma ED não linear, como vimos na observação 2, pode ter uma solução "geral"e soluções singulares. Para evitar ambiguidades, reservamos o termo solução geral apenas para ED lineares. Assim, no caso de ED não lineares utilizaremos preferencialmente a designação família de curvas integrais (dependente de um parâmetro) para designar soluções do tipo x (t) = tc + c2 (ver observação anterior).

Na generalidade dos problemas não estamos interessados na solução geral (ou na família de curvas integrais) mas apenas numa solução particular que satisfaz uma condição inicial. A determinação de uma solução particular corresponde a seleccionar uma particular função da família de curvas integrais.

Exemplo 5 Suponha-se que no momento t = 0 dispomos de 1000 Euros para investir a uma

taxa fixa de 5% ao ano capitalizável continuamente. Para determinarmos o valor do capi-tal no momento t, x (t) (podemos convencionar: t = 1 representa um ano), começamos por formular o problema a partir de uma ED. Se o capital se valorizasse em tempo discreto, a variação do capital num certo intervalo de tempo ∆ > 0 poderia ser traduzida pela igual-dade (x (t + ∆) − x (t)) /x (t) = r∆, onde r = 0.05, ou seja (x (t + ∆) − x (t)) /∆ = rx (t) . Como, por hipótese, o capital se valoriza continuamente tem-se, com ∆ → 0 a ED x0 = rx, ou x0 _{= 0.05x. Pode-se provar que a solução geral da ED é x (t) = ce}0.05t_{, c ∈ R. Como}

x (0) = 1000 (no momento t = 0 o capital é 1000 Euros) a constante c determina-se univoca-mente. Com efeito, x (0) = ce0.05×0= c = 1000. Por exemplo, o valor do capital ao fim de 10 anos e 6 meses é x (10.5) = 1000e0.05×10.5= 1690. 5 (Euros).

Definição 3 (PVI) Uma ED x0 = f (t, x) equipada com uma condição do tipo x (t0) = x0

forma um problema de valor inicial (PVI).

No exemplo 5 o PVI corresponde a x0 = 0.05x, x (0) = 1000.

Definição 4 (Solução do PVI) Uma função real x (t) definida em I é designada por solução do PVI

x0 = f (t, x) , x (t0) = x0, t ∈ I

se,

(i) x0_{(t) existe para t ∈ I;} (ii) x0_{(t) = f (t, x (t)) , t ∈ I e}

(iii) x (t0) = x0, t0∈ I.

Exemplo 6 A solução do PVI x0 _{= −x cos t, x (π) = 3 é x (t) = 3e}− sen t_{. Com efeito,}

suponha-se que já suponha-se conhece a solução geral x (t) = ce− sen t_{, c ∈ R, t ∈ R [ver exemplo 1]. Basta verificar} que x (π) = 3 ⇔ ce− sen π_{= 3 ⇔ c = 3.}

Observação 4 Temos vindo a assumir que a ED é escalar (ou univariada). Os sistemas de

ED de primeira ordem, x0₁ = f1(t, x1, x2, ..., xn) x0₂ = f2(t, x1, x2, ..., xn) .. . x0_n = fn(t, x1, x2, ..., xn)

também se podem escrever na forma x0 _{= f (t, x) onde, obviamente, x = (x1, x2, ..., xn)}T _e

f = (f1, f2, ..., fn)T é uma função definida em I × Rn. As principais definições apresentadas

função x (t) = (x1(t) , x2(t) , ..., xn(t))T definida em I é designada por solução do PVI se as

alíneas (i)-(iii) são válidas. Por exemplo, no caso (iii) x (t0) = x0, t0 ∈ I a condição

interpreta-se da interpreta-seguinte forma:

x (t0) = x0 ⇔ (x1(t0) , x2(t0) , ..., xn(t0))T = (x10, x20, ..., xn0)T .

Também os sistemas de ED de ordem superior a um podem ser escritos na forma x0 = f (t, x) mediante uma substituição apropriada das variáveis. Voltaremos a esta questão.

Exemplo 7 Mostre-se que

x (t) =   x1(t) x2(t)   =   e2−2e 1−t 2e1−t   é solução do PVI   x1 x2   0 =   x1x2 −x2   ,   x1(1) x2(1)   =   1 2   em R (note-se que x0= f (x) onde

f (x) =   f1(x) f2(x)   =   f1(x1, x2) f2(x1, x2)   =   x1x2 −x2   ).

É imediato verificar-se (i), (ii) e (iii). Com efeito,

x0₁(t) = 2e1−te2−2e1−t= x1(t) x2(t) x0_{2(t) = −2e}1−t_{= −x}2(t) e x (1) =   x1(1) x2(1)   =   e2−2e 1−1 2e1−1   =   1 2   .

1.2

Algumas Equações Diferenciais Univariadas de Primeira

Ordem com Solução Fechada

1.2.1

Equação Linear (Primeira Ordem)

A ED x0 = f (t, x) designa-se por equação linear de primeira ordem não autónoma (ou não homogénea) se f (t, x) = a (t) x + b (t). Tem-se,

Teorema 1 Considere-se a ED x0 = a (t) x + b (t) onde a (t) e b (t) são funções contínuas em I. Então a solução geral em I é

x (t) = eξ(t) µZ b (t) e−ξ(t)dt + c ¶ , _{t ∈ I} (1.5) onde ξ (t) =R a (t) dt.

Dem. Em primeiro lugar note-se que as expressões ξ (t) eRb (t) e−ξ(t)dt estão bem definidas em I dado que a (t) e b (t) são funções contínuas nesse intervalo. Seja x (t) uma solução de

x0(t) = a (t) x (t) + b (t) .

Multipliquemos ambos os termos desta equação por e−ξ(t). Temos

x0(t) e−ξ(t) = a (t) x (t) e−ξ(t)+ b (t) e−ξ(t) x0(t) e−ξ(t)_{− a (t) x (t) e}−ξ(t) = b (t) e−ξ(t) ³ x (t) e−ξ(t)´0 = b (t) e−ξ(t) x (t) e−ξ(t) = Z b (t) e−ξ(t)dt + c x (t) = eξ(t) µZ b (t) e−ξ(t)dt + c ¶ .

Provámos que qualquer solução x (t) tem a forma (1.5). Reciprocamente, qualquer função da forma (1.5) é solução de x0 = a (t) x + b (t) . Com efeito, por derivação e considerando o teorema

fundamental do cálculo integral, dx (t) dt = d¡eξ(t)£R b (t) e−ξ(t)dt + c¤¢ dt = d ¡ eξ(t)¢ dt µZ b (t) e−ξ(t)dt + c ¶ + eξ(t)d ¡R b (t) e−ξ(t)dt + c¢ dt = a (t) eξ(t) µZ b (t) e−ξ(t)dt + c ¶ | {z } x(t) + eξ(t)b (t) e−ξ(t) = a (t) x (t) + b (t) .¥

Observação 5 É fácil verificar que a solução do PVI x0 = a (t) x+b (t) , x (t0) = x0 com t0 ∈ I

é x (t) = eξ(t) µZ t t0 b (s) e−ξ(s)ds + c ¶ , c = x0e−ξ(t0). (1.6)

Exemplo 8 Resolva-se o PVI x0 = (sen t) x + sen t, x (0) = 1. Como a (t) = sen t e b (t) = sen t são funções contínuas em R, a solução está definida em R. Considere-se em primeiro lugar,

ξ (t) = Z (sen t) dt = − cos t, Z b (t) e−ξ(t)dt = Z (sen t) e−ξ(t)dt = Z (sen t) ecos tdt = −ecos t.

A solução geral vem então,

x (t) = eξ(t) µZ

b (t) e−ξ(t)dt + c ¶ = e− cos t¡_−ecos t+ c¢

= −1 + e− cos tc

Considerando agora x (0) = 1, tem-se

Figura 1-5: Curva x (t) = −1 + 2e1−cos t, t ∈ [0, 10] 2 4 6 8 10 t 2 4 6 8 10 12 14 x

Figura 1-6: Curva x (t) = −1 + 2e1−cos t, t ∈ [0, 200]

50 100 150 200 t 2 4 6 8 10 12 14 x

Assim, a solução do PVI é x (t) = −1 + 2e1−cos t, t ∈ R [poderíamos também ter considerado a equação (1.6)]. A representação gráfica de x (t) no intervalo t ∈ [0, 10] é dada na figura 1-5; a mesma representação mas no intervalo t ∈ [0, 200] é dada na figura 1-6. Observe-se que a solução é periódica.

Exemplo 9 Considere-se a ED x0 _{= −x/t + 2, t > 0. A solução geral é x (t) = t + c/t, t > 0.}

O facto de x (t) não estar definido para t = 0 não causa surpresa pois a (t) = −1/t não é contínua no ponto t = 0. Com efeito, o teorema 1 só garante a existência de uma única solução de x0 _{= −x/t + 2 no intervalo onde a (t) = −1/t e b (t) = 2 são contínuas. É no entanto} interessante observar que a ED com a condição inicial x (1) = 1 tem por solução particular

x (t) = t e esta solução está definida para t ∈ R. Conclusão: se a (t) e b (t) forem contínuas em I a solução de um PVI está necessariamente bem definida em I. Pode no entanto suceder que a solução exista para outros pontos não contidos em I. Mas, se a solução não está definida para certos valores de t é porque nesses mesmos pontos a (t) e/ou b (t) não são contínuas.

1.2.2

Equação Com Variáveis Separáveis

A ED x0 = f (t, x) designa-se por equação com variáveis separáveis se f (t, x) = f1(t) f2(x) . Ou

seja, nestas condições, f (t, x) pode decompor-se no produto de duas funções, uma dependendo apenas de t e a outra dependendo apenas de x. Suponha-se que f1(t) e f2(x) são contínuas em

I1 e I2, respectivamente, e f2(x) 6= 0 em I2. Tem-se x0 = f1(t) f2(x) ⇔ dx/dt = f1(t) f2(x) e, portanto, com f2(x) 6= 0 em I2, dx f2(x) = f1(t) dt ou dx (t) f2(x (t)) = f1(t) dt (1.7)

Integrando ambos os termos da última equação com respeito a t, obtém-se a solução da ED em

I1 _Z t ₁ f2(x (s)) dx (s) = Z t f1(s) ds + c

onde c é uma constante arbitrária. A equação anterior pode-se escrever na forma

Z x(t) ₁ f2(y) dy = Z t f1(s) ds + c, (1.8) ou ainda Z 1 f2(x) dx = Z f1(t) dt + c. (1.9)

Mostre-se que (1.8) é solução da ED. Definindo

F (t) = Φ (t, x (t) , c) =

Z x(t) ₁

f2(y)dy −

Z t

vem, pela fórmula da derivação da função implícita, dF (t) /dt = ∂Φ (t, x, c) /∂t+∂Φ (t, x, c) /∂x dx/dt = 0 e pelo teorema fundamental do cálculo integral,

−f1(t) +

1 f2(x)

x0 = 0

isto é, x0 = f1(t) f2(x) . Resulta imediato que o PVI x0 = f1(t) f2(x) , x (t0) = x0 tem por

solução4 Z x(t) x0 1 f2(y) dy = Z t t0 f1(t) dt. (1.10)

Observação 6 Suponha-se que f2(x) se anula no ponto a, i.e. f2(a) = 0. Então x (t) ≡ a é

também solução da equação pois a0 _{= 0 e f (t, a) = 0. Se a solução obtida em (1.8) [ou (1.9)] não}

contemplar como solução particular x (t) ≡ a então esta solução foi perdida no processo formal de separação de variáveis (note-se que a equação (1.7) apenas está definida para f2(x) 6= 0).

Exemplo 10 Considere-se x0 = t√x. A função f (t, x) pode decompor-se no produto f1(t) f2(x)

onde f1(t) = t e f2(x) =√x, x ≥ 0. Aplicando a fórmula (1.9) vem

R ₁

√ xdx =

R

tdt + c i.e. 2√x = 1₂t2 + c . A solução na forma explícita é x (t) = ₁₆1t4 + 1₄t2c + 1₄c2. Observa-se que x (t) ≡ 0 é também solução pois f2(0) =

√ 0 = 0.

Exemplo 11 Considere-se o PVI x0 = x2, x (0) = 1. Aplicando a fórmula (1.9) vemR _x12dx = R

dt + c ou seja −1x = t + c ou ainda x (t) = −1/ (t + c) . Para determinar c faz-se x (0) =

−1/ (0 + c) = 1 o que implica c = −1. A solução do PVI é portanto x (t) = 1/ (1 − t) para −∞ < t < 1. Observe-se que a solução ”explode” em tempo finito, i.e. limt↑1x (t) = +∞.

ED com soluções deste tipo, geralmente não servem para modelarem fenómenos naturais e económicos. Uma discussão mais ampla sobre esta problemática é apresentada no ponto 2.1.

1.2.3

Equação Homogénea

A ED x0 _{= f (t, x) (com f contínua, como habitualmente) designa-se por equação homogénea}

se f (t, x) é uma função homogénea de grau zero (em relação a t e x). Recorda-se que f (t, x) é uma função homogénea de grau n em relação às variáveis t e x se se tiver para todo o

4_{Com efeito, seja F a primitiva de 1/f}

2. A solução (1.10) pode-se escrever na forma F (x (t)) = F (x0) + t

λ, f (λt, λx) = λnf (t, x) . As funções homogéneas de grau zero possuem a particularidade de f (t, x) ser igual a f (1, x/t) (t 6= 0). Basta considerar n = 0 e λ = 1/t na expressão f (λt, λx) = λnf (t, x) . Assim, se f é homogénea de grau zero vem

f (t, x) = f³1,x t ´

. (1.11)

Sob a hipótese (1.11) a ED inicial pode-se escrever na forma x0 = f (1, x/t) . Considere-se a mudança de variável y = x/t. A partir das relações x = yt e x0 = y0t + y obtemos uma nova ED y0t + y = f (1, y) que é uma ED com variáveis separáveis. Ponha-se y0t + y = f (1, y) na forma

y0

f (1, y) − y = 1 t. Depois de se integrar ambos os termos da equação vem

Z ₁ f (1, y) − ydy = Z ₁ tdt + c ou ainda Z ₁ f (1, y) − ydy = log |t| + c. (1.12)

Esta equação fornece a solução da ED y0t + y = f (1, y) . Para obter a solução da ED original basta substituir na solução obtida em (1.12) y por x/t.

Exemplo 12 Considere-se x0 = f (t, x) = ¡x + 2te−x/t¢/t, t > 0. Verifique-se em primeiro lugar que f (t, x) é homogénea de grau zero:

f (λt, λx) = λx + 2 (λt) e

−(λx)/(λt)

λt = λ

0x + 2te−x/t

t = f (t, x) .

Logo com λ = 1/t e y = x/t fica

f³1,x t ´ = x/t + 2 (t/t) e −(x/t)/1 1 = y + 2e −y _{= f (1, y) .}

Figura 1-7: x (t) = (log (2 log t + 1)) t para t > e−12 1 2 3 4 5 6 -4 -2 2 4 6 8

Aplicando a fórmula (1.12) resulta

Z ₁

y + 2e−y_{− y}dy = log t + c ⇔

Z ₁

2e−ydy = log |t| + c

e a solução na forma implícita é

1 2e

y _{= log t + c.}

A solução da ED original na forma implícita é 1 2e

x/t _{= log t + c.}

Resolvendo em ordem a x vem x (t) = (log (2 log t + 2c)) t com t tal que 2 log t + 2c > 0. Suponha-se agora que a condição inicial é x (1) = 0. Assim x (1) = (log (2 log 1 + 2c)) 1 = (log (2c)) = 0 ⇒ 2c = 1, i.e. c = 1/2. Assim a solução do PVI é x (t) = (log (2 log t + 1)) t para t > e−12. O intervalo

³

e−12, +∞ ´

designa-se por intervalo de existência da solução e, como veremos oportunamente, o intervalo é maximal. Na figura 1-7 representa-se a solução do PVI.

1.2.4

Equação Total Exacta

Assuma-se que as funções M (t, x) e N (t, x) são contínuas num certo rectângulo R e têm derivadas parciais com respeito a t e x contínuas no mesmo rectângulo R.

Definição 5 A ED M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 designa-se por ED total exacta se existe uma função F : R ⊆ R2→ R tal que

dF (t, x) = M (t, x) dt + N (t, x) dx.

A solução na forma implícita é naturalmente F (t, x) = c. Colocam-se duas questões: primeiro, em que condições existe esta função F ?; segundo, como determinar F , ou seja, como determinar a solução? O teorema seguinte e a respectiva demonstração esclarecem estas questões.

Teorema 2 Assuma-se que as funções M (t, x) e N (t, x) são contínuas num certo rectângulo R e têm derivadas parciais com respeito a t e x contínuas no mesmo rectângulo R. Então a condição

∂M (t, x)

∂x =

∂N (t, x)

∂t . (1.13)

implica a existência de uma função F : R ⊆ R2 → R (designada primitiva da diferencial) tal que

dF (t, x) = M (t, x) dt + N (t, x) dx, _{(t, x) ∈ R.} (1.14)

Reciprocamente, se existe F nas condições de (1.14) então verifica-se (1.13).

Dem. Suponha-se que (1.14) é um diferencial total de F . Então dF (t, x) = F0

tdt + Fx0dx

e, como se sabe do cálculo diferencial, necessariamente F_tx00 = F_xt00 se F_tx00 e F_xt00 são funções contínuas. Mas F00

tx≡

∂M (t,x)

∂x e Fxt00 ≡ ∂N (t,x)

∂t são funções contínuas, por hipótese. Logo (1.13)

é uma condição necessária para que M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 seja um diferencial total. Falta mostrar o recíproco, i.e. que (1.13) é suficiente para que exista uma função F nas condições do teorema. Em particular dever-se-á ter F_t0 = M e F_x0 = N. Suponha-se válida a condição (1.13). Considere-se uma função F tal que F0

t(t, x) = M (t, x) . Tem-se, integrando em ordem

à variável t,

F (t, x) = Z t

t1

M (u, x) du + φ (x)

onde t1 é a abcissa dum ponto arbitrário no domínio de existência da solução e φ (x) é uma

∂F (t, x) ∂x = Z t t1 ∂M (u, x) ∂x du + φ 0_{(x) .} A derivada parcial F0 x é igual a N se e só se ∂F (t, x) ∂x = N (t, x) ⇔ Z t t1 ∂M (u, x) ∂x du + φ 0_{(x) = N (t, x)}

mas como ∂M_∂x = ∂N_∂t vem R_tt 1 ∂N (u,x) ∂t du + φ0(x) = N (t, x) i.e. [N (u, x)] t t1 + φ 0_{(x) = N (t, x) ou}

ainda N (t, x) − N (t1, x) + φ0(x) = N (t, x) e, portanto, φ0(x) = N (t1, x) . Resulta

φ (x) = Z x

x1

N (t1, z) dz

(x1 é uma constante arbitrária). Consequentemente,

F (t, x) = Z t t1 M (u, x) du + φ (x) = Z t t1 M (u, x) du + Z x x1 N (t1, z) dz (1.15)

Se tomarmos o diferencial desta última expressão juntamente com a equação (1.13) chega-se a (1.14)5, isto é, provámos que sob a hipótese (1.13) existe uma função F , dada pela expressão (1.15), tal que o diferencial é dF (t, x) = M (t, x) dt + N (t, x) dx.¥

O teorema anterior e a respectiva demonstração permite estabelecer o seguinte: 1) a ED M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 é exacta sse a condição (1.13) se verifica; 2) a solução da ED é definida implicitamente por F (t, x) = c, c ∈ R i.e.

Z t t1 M (u, x) du + Z x x1 N (t1, z) dz = c. (1.16)

Exemplo 13 Considere-se o PVI¡et+ 2x¢dx + etxdt = 0, x (0) = 1. A ED não é de variáveis separáveis nem homogénea. No entanto, com N = et_{+ 2x, M = e}t_{x tem-se}

∂M

∂x =

∂N ∂t = e

t

5_{Note-se que a derivada de} t

t1M (u, x) du + x x1N (t1, z) dz em ordem a t é M (t, x) e em ordem a x é t t1(∂M (u, x) /∂x) du + N (t1, x) = t

t1(∂N (u, x) /∂t) du + N (t1, x) = N (t, x) .Logo o diferencial da expressão

e, portanto, a ED é total exacta (i.e. a igualdade ∂M/∂x = ∂N/∂t garante a existência de uma função F nos termos da definição 5). Aplicando a fórmula (1.16), a solução (ou família de curvas integrais) na forma implícita é

Z t t1 euxdu + Z x x1 ¡ et1_{+ 2z}¢ dz = c ⇔ etx − et1_{x + e}t1_{x + x}2 − x1et1 − x21 = c

ou etx (t) + x (t)2 = c (note-se que x1et1 e x21 são constantes arbitrárias; podemos fazer x1 = 0).

Atendendo a x (0) = 1 ⇔ e0_{+ 1 = c a solução do PVI na forma implícita é e}t_{x (t) + x (t)}2_{= 2.}

1.2.5

Equação Redutível a Total Exacta

Considere-se a ED M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 onde M (t, x) e N (t, x) são contínuas num certo rectângulo R e têm derivadas parciais com respeito a t e x contínuas no mesmo rectângulo R. Vimos no ponto anterior que a condição (1.13) é necessária e suficiente para que a ED M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 seja uma ED total exacta. Suponha-se agora que

∂M (t, x)

∂x 6=

∂N (t, x)

∂t .

Definição 6 Uma ED M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 diz-se redutível a uma ED total exacta se existir uma função não nula µ (t, x) tal que

µ (t, x) M (t, x) dt + µ (t, x) N (t, x) dx = 0 (1.17)

é uma ED total exacta. A função µ (t, x) designa-se factor integrante.

A situação é, portanto, a seguinte: a ED M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 não é uma ED total exacta e não se sabe resolver; por outro lado (1.17) é uma ED total exacta e sabe-se resolver. De facto, com ˜M (t, x) = µ (t, x) M (t, x) e ˜N (t, x) = µ (t, x) N (t, x) a solução de (1.17) é, pela fórmula (1.16), Z t t1 ˜ M (u, x) du + Z x x1 ˜ N (t1, z) dz = c. (1.18)

Deixa-se como exercício mostrar que (1.18) é solução da ED (1.17). Impõem-se as seguintes questões: a) a solução de (1.17), i.e. (1.18), é também solução da ED inicial M (t, x) dt +

N (t, x) dx = 0? b) como determinar µ? A resposta a a) é positiva. Com efeito, seja x (t) a solução da ED (1.17) (considere-se Φ (t, x, c) = 0, no caso de não ser possível obter uma solução explícita). Logo x (t) satisfaz a ED µ (t, x) M (t, x) dt + µ (t, x) N (t, x) dx = 0 ou seja µ (t, x) (M (t, x) dt + N (t, x) dx) = 0. Como µ é uma função não nula, resulta que x (t) satisfaz também a ED M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 e, portanto, x (t) é solução da ED M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0.6

Relativamente à alínea b) iremos mostrar como determinar µ nos casos em que µ depende apenas de t ou apenas de x (outros casos são possíveis - ver exercícios). Para que a ED (1.17) seja uma ED total exacta é necessário e suficiente que

∂ (µ (t, x) M (t, x)) ∂x = ∂ (µ (t, x) N (t, x)) ∂t , ou seja µ∂M ∂x + ∂µ ∂xM = µ ∂N ∂t + ∂µ ∂tN. (1.19)

A equação (1.19) é uma ED parcial com função desconhecida µ. A solução de (1.19) é, em geral, difícil de obter. No entanto, se µ = µ (t) (µ depende apenas de t) ou µ = µ (x) (depende apenas de x) então (1.19) é uma ED ordinária com solução conhecida. Formule-se a hipótese Ht: µ = µ (t). Nestas circunstâncias, a equação (1.19) pode escrever-se na forma

µ∂M ∂x = µ ∂N ∂t + dµ dtN ou ainda na forma 1 µdµ = h1(t) dt, h1(t) = ∂M ∂x − ∂N ∂t N (1.20)

A equação (1.20) é uma ED com variáveis separáveis (com função incógnita µ) com solução

µ = eUh1(t)dt_.

6

No entanto, algumas soluções podem perder-se. Por exemplo, se o factor integrante for µ = 1/x, x 6= 0 e uma das soluções da ED M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 for x (t) ≡ 0, pode suceder que a solução da ED (1.17) não revele a solução x (t) ≡ 0.

No caso Hx: µ = µ (x) pode-se mostrar que µ = eUh2(x)dx_{, h} 2(x) = ∂N ∂t − ∂M ∂x M .

Existem outras hipóteses simplificadoras. Por exemplo, µ = µ (xy) ou µ = (x + y) .

Num exercício concreto, µ é desconhecido pelo que não se sabe de que forma µ depende de t e/ou x (ou mesmo se µ existe nas condições da definição 6). Nestas circunstâncias, pode-se pode-seguir o pode-seguinte procedimento quando pode-se procura determinar µ: 1) formular a hipótepode-se Ht: µ = µ (t) ; 2) calcular h1; 3) se h1 depender apenas de t, aceita-se a hipótese Ht e o factor

integrante é µ = exp¡R h1(t) dt

¢

. A solução da ED é dada pela expressão (1.18). Se h1depende

de x rejeita-se Hte passa-se ao passo 4): formular a hipótese Hx: µ = µ (x) ; 5) calcular h2; 6)

se h2 depender apenas de x, aceita-se a hipótese Hx e o factor integrante é µ = exp (h2(x) dx) .

A solução da ED é dada pela expressão (1.18). Se h2 depende de t deve-se procurar outro

método de resolução (ou, eventualmente, investigar outras hipóteses relativas a µ).

Exemplo 14 Considere-se a ED¡x + tx2¢_{dt − tdx = 0. Tem-se M = x + tx}2 _{e N = −t. Como} ∂M/∂x = 1 + 2tx 6= ∂N/∂t = −1 a ED não é total exacta. Analise-se a hipótese Ht: µ = µ (t) .

Tem-se h1 = ∂M ∂x − ∂N ∂t N = 1 + 2tx − (−1) −t = −2 1 + tx t .

Como h1 depende explicitamente de t e x (devia depender apenas da variável t) a hipótese Ht

não é válida. Investigue-se a hipótese Hx: µ = µ (x) . Tem-se

h2 = ∂N ∂t − ∂M ∂x M = −1 − 1 − 2tx x + tx2 = −2 (1 + tx) x (1 + tx) = − 2 x e a hipótese Hx é válida, pelo que o factor integrante é

µ = eUh2(x)dx_{= e}U−_x2dx_{= e}−2 log x₌ 1 x2.

Assim, multiplicando a ED inicial por 1/x2 obtém-se a ED total exacta ¡ x + tx2¢ x2 dt − t x2dx = 0 ou µ 1 x + t ¶ | {z } ˜ M dt−_xt₂ |{z} ˜ N dx = 0, cuja solução é Z t t1 ˜ M (u, x) du + Z x x1 ˜ N (t1, z) dz = c i.e. Z t t1 µ 1 x + u ¶ du + Z x x1 µ −t1 z2 ¶ dz = c ou ainda 2t+t2x−2t1−t21x 2x − t1x−x 1 xx1 = c. Com t1 = 0 vem 2t+t2x

2x = c ou seja (na forma explícita)

x (t) = 2t

2c−t2.

1.3

Equações Diferenciais Redutíveis a Equações Diferenciais

de Primeira Ordem

Certas ED de ordem superior à primeira podem ser transformadas numa ED de primeira ordem através de uma mudança de variáveis. As ED lineares de ordem superior a um são abordadas no ponto 4.1.

1.3.1

Equações do Tipo

x

_{= f (t, x}

₎

Trata-se de uma ED de segunda ordem que não depende explicitamente de x. Considerando a mudança de variável y (t) = x0(t) tem-se y0 = f (t, y) que é uma ED de primeira ordem. Resolvendo a ED y0 = f (t, y) obtém-se y (t) que, por integração dá x (t) .

Exemplo 15 Considere-se a ED tx00_{− x}0 = t2et_{que verifica as condições x (1) = −1 e x}0(1) = 0. Considerando a mudança de variável y = x0 vem ty0_{− y = t}2et, i.e.,

y0= 1 ty + te

t_{, y (1) = 0}

Aplicando a fórmula (1.6) vem ξ (t) = Z a (t) dt = Z ₁ tdt = log t y (t) = eξ(t) = t µZ t 1 sese− log sds + 0 ¶ = t µZ t 1 esds ¶ = t¡et_{− e}¢. Assim x (t) = Z y (t) dt, _{x (1) = −1} = Z t¡et_{− e}¢dt = tet_{− e}t₋1 2t 2_{e + c} e, portanto, x (1) = −1 ⇒ c = 12e − 1.

Observação 7 A ED x(n) = f¡t, x(n−1)¢ sem x resolve-se de forma similar, considerando a mudança de variável y (t) = x(n−1)(t) .

1.3.2

Equações do Tipo

x

_{= f (x, x}

₎

Trata-se de uma ED de segunda ordem que não depende explicitamente de t. Considerando a mudança de variável y (x) = x0_{(t) tem-se}

x00(t) = d (y (x (t))) dt = dy dx dx dt = y 0_{(x) y (x) .}

Logo a ED x00= f (x, x0) pode escrever-se na forma

que é uma ED de primeira ordem (com variável independente x). Resolvendo esta ED obtém-se y (x). Dada a relação y (x) = x0(t) , obtém-se x (t) resolvendo

1

y (x)dx = dt que é uma ED de variáveis separáveis.

Exemplo 16 Resolva-se a ED x00= 2x0x. Com a mudança de variável y (x) = x0(t) obtém-se y0y = 2yx, i.e. y0 = 2x (ED com variável independente x) cuja solução é y = x2 + c1. Para

obter x (t) resolve-se agora a ED

1 x2_{+ c}

1

dx = dt cuja solução, na forma implícita é

arctg³√x_c 1 ´ √_c 1 = t + c2.

1.4

Aplicação (Modelos Populacionais)

1.4.1

Introdução

Seja x (t) uma população de uma certa espécie (humana, de bactérias, de predadores, etc.) no in-stante t e suponhamos, numa situação ideal, que x (t) varia continuamente7. Seja r (t, x) a difer-ença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade (por unidade de tempo) no momento t. A variação da população num certo intervalo de tempo ∆ > 0 pode ser traduzida pela igual-dade (x (t + ∆) − x (t)) /x (t) = r (t, x (t)) ∆ ou seja (x (t + ∆) − x (t)) /∆ = r (t, x (t)) x (t) . Com ∆ → 0 tem-se a ED x0 = r (t, x) x. No caso r (t, x) = r (constante) a equação x0 = rx é conhecia como a equação de Malthus. Sabendo-se o valor da população x0 num dado

mo-mento t0, é imediato concluir-se que a solução (do PVI) é x (t) = x0er(t−t0). Toda a espécie

que satisfaça a lei de Malthus cresce exponencialmente no tempo. O modelo, apesar de atrac-tivo (pela sua simplicidade) é pouco realista. Se tomarmos para r o valor 0.02 para dados 7_{Na verdade x (t) varia discretamente com t pelo que x (t) não é uma função diferenciável (nem mesmo}

con-tínua) com respeito a t. No entanto, se o valor da população é alto a variação de uma unidade tem pouca expressão comparada com o valor da população. Nestas circunstâncias pode-se admitir, com um erro negligenciável, que x (t)é uma função contínua e mesmo diferenciável.

anuais (estimativa obtida a partir de dados da população dos EUA) qualquer previsão a longo prazo é desprovida de significado8. Mesmo assim, o modelo de Malthus pode aproximar ra-zoavelmente o crescimento de populações de dimensão reduzida (ver Braun, 1993). Todavia, quando o valor da população excede certo limiar os indivíduos passam a competir entre si pelos recursos disponíveis (espaço, recursos naturais e alimentação). Esta competição abranda ou trava o crescimento da população. Para contemplar este efeito é necessário definir na ED um termo (função) tal que, quando x é alto ou muito alto, x0 deve abrandar ou diminuir. Uma possibilidade consiste em adicionar o termo −bx2 (b > 0) na equação de Malthus, ficando

x0= r1x − bx2, r, b > 0.

Esta equação, designada por equação logística, foi proposta pelo matemático e biologista Ver-hulst em 1837. Normalmente o parâmetro b é pequeno, comparado com o de r1. Assim, quando

o valor da população é baixo a quantidade −bx2 é negligenciável e a população evolui aproxi-madamente de acordo com a regra x0 = r1x. À medida que x aumenta, o termo −bx2 passa a

exercer um efeito de contracção no crescimento da população. A resolução da equação logística, embora fácil é trabalhosa. Trata-se de uma ED com variáveis separáveis,

1 r1x − bx2

dx = dt

cuja família de curvas integrais é

Z ₁

r1x − bx2

dx = Z

dt + c.

Para primitivar a função _r 1

1x−bx2 em ordem a x é necessário decompor a função em fracções simples. Deixa-se como exercício verificar que

1 r1x − bx2 = −1 r1 b bx − r1 + 1 r1 1 x 8_{Por exemplo, se a população mundial crescer de acordo com o modelo x}

0er(t−t0), r = 0.02,no ano de 2515 a

área disponível para cada habitante no planeta, incluindo mares, rios e lagos será inferior a um metro quadrado (ver Braun, 1993, pp. 26-27).

Figura 1-8: Cronograma da População dos EUA (em milhões de Hab.) 0 50 100 150 200 250 300 18 00 18 10 18 20 18 30 18 40 18 50 18 60 18 70 18 80 18 90 19 00 19 10 19 20 19 30 19 40 19 50 19 60 19 70 19 80 19 90 20 00 e Z µ −1 r1 b bx − r1 + 1 r1 1 x ¶ dx = ... = −_r1 1 log ¯ ¯ ¯ ¯bx − rx 1 ¯ ¯ ¯ ¯ . A família de curvas integrais na forma explícita é

x (t) = r1

b − e−r1t_c1, (c1 é uma constante).

Dada a condição inicial x (0) = x0, a solução do PVI é

x (t) = x0r1

bx0+ e−tr1(r1− bx0)

.

Vai analisar-se a qualidade dos modelos x0 = rx e x0 _{= rx − bx}2 com base nos dados da população dos EUA. Na figura 1-8 apresenta-se a evolução da população dos EUA desde 1800. Existe claramente uma tendência crescente, porém a ritmos decrescentes, como se pode observar na figura 1-9, onde se apresenta a variação relativa da população ao longo do tempo (log (x (t + ∆) /x (t)) ≈ (x (t + ∆) − x (t)) /x (t)). Se o modelo de Malthus fosse correcto a expressão r = log (x (t + ∆) /x (t)) /∆ deveria ser (aproximadamente) constante ao longo dos anos.

Figura 1-9: Variação Relativa da População (log (x (t + ∆) /x (t))) 0.09 0.14 0.19 0.24 0.29 0.34 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

1.4.2

Estimação dos Parâmetros

Uma das fases mais importantes em qualquer estudo empírico consiste na estimação dos parâmet-ros dos modelos especificados. Esta tarefa apenas pode ser resolvida cabalmente no contexto de um modelo probabilístico, que exigiria, no nosso caso, acrescentar-se às ED um termo es-tocástico construído a partir dos chamados processos de Wiener (ou movimentos Brownianos). Como não pode entrar-se nessa área, vai apresentar-se um procedimento mecânico de estimação dos parâmetros9.

Convencione-se: t = 0 ⇔ ano 1800; t = 1 ⇔ ano 1810 e assim sucessivamente. Em qualquer dos modelos a condição inicial pode ser fixada como x (0) = 5.3. O modelo de Mathus vem então

xM(t) = 5.3ert.

A questão é estimar o parâmetro desconhecido r. Devemos escolher r de tal forma que a diferença entre os valores efectivamente observados x (t) e o modelo xM(t) seja mínima. Trata-se então

9_{Poderá provar-se que os resultados que se obtêm por este método mecânico são idênticos aos que se}

al-cançariam se se usasse o método de estimação dos Mínimos Quadrados Condicionados, o qual fornece estimadores consistentes em sentido probabilístico.

de um problema de minimização em ordem a r, i.e., min r>0d                 x (1) x (2) ... x (n)         ,         xM(1) xM(2) ... xM(n)                

onde d (a, b) representa uma distância entre os vectores a e b e n representa o número de obser-vações disponíveis. Considerando o critério habitual (minimização das diferenças quadráticas10) d (a, b) = (a − b)T (a − b) =Pt(at− bt)2 o problema de optimização é então

min r>0 20 X t=1 (x (t) − xM(t))2 = min r>0 20 X t=1 ¡ x (t) − 5.3ert¢2.

Qualquer programa de estatística (por ex., GAUSS, TSP, EXCEL11) resolve facilmente este problema de optimização. A solução é ˆr = 0.20712 (taxa de crescimento na unidade 10 anos -note-se que t = 1 representa 10 anos; numa base anual a taxa de crescimento é de 0.020712)12. Uma medida do erro associado ao modelo é

20 X t=1 ³ x (t) − 5.3ertˆ ´2 = 908.9.

Relativamente ao modelo logístico o problema de minimização é

min r1,b>0 20 X t=1 (x (t) − xL(t))2= min r1,b>0 20 X t=1 µ x (t) − 5.3r1 b5.3 + e−tr1_{(r1− b5.3)} ¶2

1 0_{O estimador dos mínimos quadrados do modelo de regressão clássico (para modelos discretos) baseia-se neste}

princípio, como se verá na cadeira de econometria.

1 1_{Opção Solver em Tools (escolher Add-Ins caso a opção não esteja disponível).} 1 2

Uma estimativa alternativa pode-se obter tendo em conta que log xM(t) = log 5.3 + rt.O problema de

opti-mização é agora minr>0 20_t=1(log x (t) − log xM(t))2 = minr>0 20_t=1(log x (t) − log 5.3 − rt)2.É fácil deduzir,

aplicando a condição de primeira ordem do problema de optimização, que ˆ r = 20 t=1log xM− n log 5.3 20 t=1ti = 0.23.

Esta estimativa não coincide com a anterior. A estimativa "correcta"dependeria do modelo probabilístico que se considerasse. Por exemplo, se o modelo fosse log xM(t) = log 5.3 + rt + e (t)sendo e (t) uma variável aleatória

com "boas propriedades"então a estimativa "correcta"seria ˆr = 0.23.Se o modelo fosse xM(t) = 5.3ert+ e (t)a

Figura 1-10: Ajustamento: Modelo de Malthus vs. Modelo Logístico 0 50 100 150 200 250 300 350 400 18 00 18 10 18 20 18 30 18 40 18 50 18 60 18 70 18 80 18 90 19 00 19 10 19 20 19 30 19 40 19 50 19 60 19 70 19 80 19 90 20 00 Pop.

Pop. Est (Malthus) Pop. Est (Logis.)

cuja solução é ˆr1 = 0.2754 e ˆb = 0.000823. Os erros de ajustamentos são agora

20 X t=1  x (t) − 5.3ˆr1 ˆ_{b5.3 + e}−tˆr1 ³ ˆ r1− ˆb5.3 ´   2 = 31.23.

Observa-se com o modelo logístico uma redução muito forte dos erros de ajustamento. Também a figura 1-10, na qual se compara o valor observado x (t) com os valores estimados pelos dois modelos, corrobora essa ideia.

Os modelos podem também servir para prever o valor futuro de x (t) . Por exemplo, a previsão do modelo de Malthus para o ano 2140 é xM(34) = 5.3er×34ˆ = 6062 (milhões)13. Na

figura 1-11 mostram-se as previsões dos dois modelos até ao ano 2140. Enquanto o modelo logístico estabelece uma estabilização da população dos EUA em torno do valor 334 (milhões), o modelo de Malthus prevê valores arbitrariamente altos à medida que t → +∞.

1 3

Note-se que se convencionou que t = 0 corresponde ao ano 1800, t = 1 ao ano 1810 e assim sucessivamente. Procedendo assim t = 34 corresponde ao ano 2140.

Figura 1-11: Previsão: Modelo de Malthus vs. Modelo Logístico 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 18 00 18 30 18 60 18 90 19 20 19 50 19 80 20 10 20 40 20 70 21 00 21 30 Pop.

Pop. Est (Malthus) Pop. Est (Logis.)

1.4.3

Comentários Finais

Retomando o modelo logístico, é interessante verificar que

lim t→+∞x (t) = limt→+∞ x0r1 bx0+ e−tr1(r1− bx0) = r1 b , r1, b > 0

Assim a população tende para o valor r1/b quando t → +∞. Observe-se também que no ponto

x = r1/b a função f (t, x) = f (x) = r1x − bx2 é nula pelo que, nesse ponto, a população não

cresce nem decresce (digamos, está em equilíbrio). No capítulo Estabilidade designaremos o valor r1/b como um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável. No contexto do exemplo

anterior, obteve-se ˆr1 = 0.2754 e ˆb = 0.000823. Assim, a previsão de (muito) longo prazo para

o valor da população é 0.2754/0.000823 = 334. 63 (milhões de indivíduos), valor que a figura 1-11 também confirma.

Exercícios

1. Classifique as ED (ordem, linearidade e autonomia) apresentadas nos restantes exercícios do Cap. 1.

2. Mostre que x (t) = cecos t_{, c ∈ R é solução da ED x}0_{= −x sen t = 0 em R.}

3. Mostre que x (t) = c1et+ c2tet+ 2 + t, c1, c2 ∈ R é solução da ED x00− 2x0+ x = t em R.

4. Mostre que log (t + 1) − x (t) + log¡ex(t)_{+ 1}¢_{+ c = 0, c ∈ R é solução (implícita) da ED}

x0 = (ex_{+ 1) / (t + 1) em t > −1.}

5. Mostre que x (t) = 2t/¡_{3 − t}2¢é solução do PVI x0 = x/t + x2, x (1) = 1 em I =£1,√3¢. 6. Mostre que x (t) = log¡t2_{/2 − 2}¢é solução do PVI x0 = te−x, x¡√6¢_{= 0 em I = ]2, +∞[ .} 7. Obtenha a solução geral da ED x0 _{= −x/t + 2, t > 0.}

8. Obtenha a solução geral da ED x0_{− (n/t) x = e}ttn_{, n ∈ R, t > 0.}

9. Resolva x2¡_{1 + x}02¢ _{= k}2_{, obtenha as curvas envolventes à família de curvas integrais e}

mostre que estas curvas são soluções singulares. 10. Resolva o PVI t2 x0

x + 2t log x = 0, x (1) = e1.

11. Resolva x0+_tx21+x_(1+t32₎ = 0.

12. Resolva o PVI x0 = x_t¡1 + logx_t¢, x (1) = e. 13. Resolva x0 _{= tx/}¡_t2_{− x}2¢_.

14. Resolva _x2t3 + x

2_−3t2

x4 x0 = 0.

15. Resolva o PVI x0 _{= −x + g (t) , x (0) = 0 onde}

g (t) =    2 0 ≤ t ≤ 1 0 t > 1.

16. Dada a ED x0 _{= a (t) x + b (t) com a e b contínuas e a e f tais que a (t) ≤ −k < 0 e} lim_{t→+∞b (t) = 0, mostre que qualquer solução tende para zero quando t → +∞.}

17. Mostre que uma ED com variáveis separáveis pode sempre se escrever como uma ED total exacta (suponha verificadas certas condições de regularidade).

18. Mostre que uma ED do tipo M (t, x) dt + N (t, x) dx = 0 onde M e N são funções ho-mogéneas do mesmo grau é uma ED homogénea.

19. (Exame) Resolva o seguinte PVI ¡

t3+ 3x2t + 5¢dx +¡3t2x + x3+ 2¢dt = 0, x (1) = 1.

20. Mostre que a ED (de Bernoulli) x0+P (t) x = Q (t) xn_{, n 6= 1, n 6= 0, onde P (t) e Q (t) são} funções contínuas pode-se transformar-se através de mudança de variável z (t) = x (t)1−n na ED linear z0_{+ (1 − n) P (t) z = (1 − n) Q (t) . Como aplicação resolva x}0+ tx = t3x3.

21. (Exame) Resolva o PVI

x0 = x t ³ 1 + logx t ´ , x (1) = e.

22. Considere a ED M (t, x) dt+N (t, x) dx = 0 com M e N funções reais de classe C1definidas em D =©_{(t, x) ∈ R}2_{: t > 0, x > 0}ª_.

(a) Considere a hipótese de o factor integrante µ depender apenas do produto tx, i.e. µ = µ (tx) com µ definido em D e de classe C1. Fazendo a substituição z = tx, mostre que esta hipótese é válida se dado

h3 = ∂N ∂t − ∂M ∂x tM − xN

a função h3 depender apenas de z = tx. Conclua, nesse caso, que o factor integrante

é µ (z) = eUh3(z)dz_.

(b) Como aplicação resolva x2t + 1/t +¡_{1/x − t}2x¢x0 = 0. 23. (Exame) Considere a equação diferencial linear posta na forma

onde a e b são funções contínuas em R.

(a) Mostre que esta equação é redutível a uma equação diferencial total exacta (para o efeito determine o factor integrante).

(b) Encarando a equação linear como uma equação redutível a uma equação diferen-cial total exacta, obtenha a solução geral para o caso a (t) = b (t) = 2t e calcule lim_t→+∞x (t) . 24. Resolva o PVI x00 = (x0)2/x, x0_{(0) = 1, x (0) = −1.} 25. Resolva a ED x00₌ x0 t ³ 1 + logx_t0´. 26. (Exame) Considere o PVI

x0 _{= −ax + g (t, x) , x (0) = x}0, a: constante positiva.

(a) Mostre que

x (t) = e−atx0+ e−at

Z t 0

easg (s, x (s)) ds

é solução do PVI.

(b) Admita as seguintes hipóteses: H1: |g (t, x)| ≤ b (t) |x| , b (t) ≥ 0 H2: R_t+∞

0 b (t) dt < +∞, t0 ∈ R.

Mostre que |x (t)| tende para zero quando t → +∞. Considere o seguinte lema: seja c uma constante não negativa e z (t) e v (s) funções não negativas. Se

z (t) ≤ c + Z t 0 z (s) v (s) ds então z (t) ≤ ceU0tv(s)ds.

Capítulo 2

Existência, Unicidade e

Prolongamento das Soluções

2.1

Existência e Unicidade das Soluções

2.1.1

Introdução

Um PVI pode não ter solução, ter uma única solução ou ter mais do que uma solução (por exemplo, uma infinidade delas).

Exemplo 17 a) Se f é a função Dirichlet,

f (t, x) =    1 se t é racional 0 se t é irracional

não é naturalmente possível encontrar uma função x (t) que satisfaça x0 = f (t, x) . b) Considere-se a ED x02+ x2 _{= 0. A única solução real é x (t) ≡ 0. Assim o PVI x}02+ x2 = 0, x (0) = 1 não tem solução. c) O PVI x0 = √_{x, x (0) = 0 tem mais do que uma solução: x (t) ≡ 0 e} x (t) = t2/4. d) O PVI x0 = ex_{, x (0) = 0 tem uma única solução x (t) = − log (1 − t) em} t ∈ (−∞, 1) . e) O PVI x0+ x = 0, x (0) = 1 tem uma única solução, x (t) = e−t _{em R.}

Modelos sem soluções não têm obviamente interesse. Problemas de valores iniciais com várias soluções colocam o problema de se saber qual é a solução que efectivamente traduz o

comportamento do fenómeno. Modelos deste tipo geralmente estão mal especificados (i.e., a função f (t, x) não está bem definida).

Estes problemas não ocorrem com ED lineares, as quais possuem, como vimos no teorema 1, uma única solução. Além disso, a solução é conhecida (i.e. é sempre possível obter uma solução fechada). Com as ED não lineares a situação é diferente. Se a solução é conhecida é possível discutir-se a questão da existência da solução directamente a partir da respectiva expressão analítica. Por exemplo, considere-se o PVI x0 = x2, x (0) = 1. A solução deste PVI é x (t) = 1/ (1 − t) e claramente se verifica que a solução existe para −∞ < t < 11. Mas, se for impossível obter uma solução fechada para o PVI x0 = f (t, x) , x (t0) = x0 como poderemos

garantir que o PVI admite uma solução única? E será esta questão relevante? Afinal de contas, mesmo que a solução exista e seja única é impossível obtê-la. É importante verificar que, na prática, mesmo desconhecendo-se a solução, é possível, através de métodos numéricos (fazendo-se uso da função f (t, x)), obter-(fazendo-se aproximações tão precisas quanto (fazendo-se de(fazendo-seje. Por outro lado, as propriedades limites (assimptóticas) da solução podem também ser estudadas apenas a partir da função f (t, x) e sem o conhecimento da solução fechada. No entanto, a aplicação de métodos numéricos e o estudo das propriedades limites da solução só fazem sentido no caso em que a solução existe e é única. Assim, é fundamental estudarmos a questão da existência e unicidade das soluções.

2.1.2

Teorema de Existência e Unicidade das Soluções

O caso linear x0 _{= a (t) x + b (t), onde a (t) e b (t) são funções contínuas em I, foi abordado no}

teorema 1 e observação 5. Vimos que a solução do PVI x0= a (t) x + b (t) , x (t0) = x0 existe e

é única em I.

O caso não linear é tratado a seguir (até ao final do corrente ponto). A demonstração do teorema de existência e unicidade para o PVI

x0 = f (t, x) , x (t0) = x0 (2.1)

1

É incorrecto dizer-se que a solução existe para t 6= 1, embora a função 1/ (1 − t) esteja definida para t 6= 1. De facto, a solução passa no ponto (t, x) = (0, 1) e ”explode” ou "extingue-se"quando t ↑ 1. Não se admite, portanto, que a solução possa continuar para valores de t tais que t > 1.

consiste em mostrar que, sob as condições do teorema, que iremos especificar, existe uma sequência de funções {xn(t) , n ≥ 1} construídas a partir do PVI tal que, a) xn(t) converge

para x (t), b) x (t) é a solução do PVI, c) x (t) é uma função contínua e d) x (t) é solução única. Para demonstrarmos o teorema de existência e unicidade é necessário estabelecer alguns resultados preliminares.

Considere-se o conjunto compacto

Ra,b= {(t, x) : |t − t0| ≤ a, |x − x0| ≤ b} . (2.2)

Lema 1 Se a função f (t, x) é contínua em Ra,b então o PVI (2.1) é equivalente à equação

integral

x (t) = x0+

Z t t0

f (s, x (s)) ds (2.3)

para t tal que |t − t0| ≤ a.

Dem. Devido à continuidade de f em Ra,b tem-se o seguinte. Se x (t) é uma solução

de (2.1) então integrando (2.1) no intervalo [t0, t] obtemos (2.3). Reciprocamente, derivando

(2.3) obtém-se x0 = f (t, x (t)). Além disso, considerando t = t0 na expressão (2.3) obtém-se

x (t0) = x0+ 0 = x0.¥

Nas condições do lema anterior uma equação integral é uma forma de escrever uma ED e vice-versa, i.e. as duas representações são equivalentes.

Definição 7 (Condição de Lipschitz) Diz-se que a função f (t, x) satisfaz a condição de Lipschitz com respeito a x no conjunto Ra,bse existe um K > 0 tal que para todo o (t, x) , (t, y) ∈

Ra,b se tem

|f (t, x) − f (t, y)| ≤ K |x − y| . (2.4)

(K designa-se por constante de Lipschitz).

A condição de Lipschitz (com respeito a x) pode ser entendida como uma condição forte de continuidade (com respeito a x). Com efeito, veja-se, por exemplo em Agudo (1989), a seguinte relação: f satisfaz a condição Lipschitz em Ra,b⇒ f é uniformemente é contínua2 em Ra,b ⇒

2

f é contínua em Ra,b. É imediato verificar que

Observação 8 a) Se ∂f /∂x é contínua Ra,b então f satisfaz a condição de Lipschitz com

respeito a x no mesmo conjunto. Com efeito, pelo teorema do valor médio,

f (t, x) = f (t, y) + ∂f (t, ξ) ∂x (x − y) , ξ = θx + (1 − θ) y, 0 ≤ θ ≤ 1 e, portanto, |f (t, x) − f (t, y)| = ¯ ¯ ¯ ¯ ∂f (t, ξ) ∂x (x − y) ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ∂f (t, ξ) ∂x ¯ ¯ ¯ ¯ |x − y| .

Ora, como ∂f /∂x é contínua no conjunto compacto Ra,b (logo limitada) segue-se que existe um

K < +∞ tal que |∂f (t, x) /∂x| ≤ K para (t, x) ∈ Ra,b. Logo

|f (t, x) − f (t, y)| ≤ K |x − y| .

Se o conjunto de referência é R2 então é necessário exigir que ∂f /∂x seja contínua e limitada (só assim se garante a existência de um K < +∞ tal que |∂f (t, x) /∂x| ≤ K). b) O recíproco de a) não é verdade. Isto é, existem certas funções que satisfazem a condição de Lipschitz em certo conjunto mas não possuem derivadas contínuas com respeito a x nesse mesmo conjunto. Por exemplo, f (t, x) = |x| satisfaz a condição de Lipschitz num intervalo que contenha o ponto 0, pois

|f (t, x) − f (t, y)| = ||x| − |y|| ≤ |x − y| mas ∂f (x) /∂x não existe no ponto 0.

Exemplo 18 a) A função f (t, x) = f (x) = √x definida em S = [0, c] , c > 0 (embora uniformemente contínua em S) não satisfaz a condição de Lipschitz em S. Com efeito, tomando y = 0 na equação (2.4), vem: ∀K > 0 ∃x0 ∈ ]0, ε] , ε > 0 : 0 < x < x0 ⇒ √x > Kx. b) A

|g (x) − g (y)| < δ sempre que |x − y| < ε (x, y ∈ S). Analiticamente:

∀δ > 0, ∃ ε > 0 : ∀x, y ∈ S, |x − y| < ε ⇒ |g (x) − g (y)| < δ. Por outro lado, g não é uniformemente contínua em S se