Equações diferenciais ordinárias: resumos teóricos, exercícios resolvidos e propostos

Resumos teóri os. Exer í ios resolvidos e propostos.

Tatiana T hemisova

Vera Kharlamova

Adelaide Freitas

Título

EquaçõesDiferen iais Ordinárias. Resumosteóri os. Exer í ios resolvidose propostos

Autores

Tatiana T hemisova, VeraKharlamova,AdelaideFreitas, Alexander Plakhov

Con eção Grá a da apa

Alexander Plakhov

Editora

UA Editora - Universidadede Aveiro

1. a

edição - julho2019

ISBN

O presente livro tem omo base uma publi ação interna da Universidade de Aveiro realizada

pelas primeiras três autoras na forma de uma sebenta om resumos teóri os e exer í ios

pro-postos de equações diferen iais ordinárias 1

. Neste livro,todos ostópi osabordados na sebenta

foram melhorados e novos exemplos, exer í ios resolvidos e exer í ios propostos,

a ompanha-dos das respetivas soluções, foram a res entados. Novos exemplos de apli ações de equações

diferen iaise asilustrações aram a argodo quarto autor.

Existem vários manuais, livros e ferramentas digitais dedi ados ao estudo das equações

di-feren iais, em geral, e das equações diferen iais ordinárias, em parti ular. Sem a pretensão

de os substituir, o presente livro tem omo objetivo propor ionar uminstrumento de trabalho

omplementaraoestudoini ial dasequaçõesdiferen iaisordinárias edestina-seaestudantesdo

primeiro i lodo ensinouniversitário epolité ni o ujos urri ula ontenham estestópi os.

Olivroé onstituídopor in o apítulosedoisapêndi es. Noprimeiro apítulosão

introduzi-dasalgumasnoçõesbási ase apresentadosexemplos deproblemas e fenómenosdeterminísti os

simples(físi os, biológi os e outros)que podemser modelados usando equações diferen iais. O

segundo apítulo é dedi ado às equações diferen iais de primeira ordem. Não tendo omo

ob-jetivo abordar todos os tipos de equações diferen iais de primeira ordem, foi onsiderado um

lequevariado deexer í ios que permite aprender um onjunto diverso de té ni as deresolução.

No ter eiro apítulo foram onsideradas as equações diferen iais lineares e alguns outros tipos

deequaçõesdiferen iaisdeordem superioraum. Oquarto apítuloédedi ado àsté ni as mais

simples de resolução de sistemas de equações lineares de primeira ordem. O último apítulo

ontémum onjunto dequestõesde es olhamúltiplae derespostaabertapara omplementara

autoavaliaçãodo estudorealizado. Por último, nosapêndi es, foifeita umabreveintrodução às

funçõesreaisde várias variáveise ao on eitode diferen ial, dado estestemasnão fazerem,por

vezes,parte doprogramade unidades urri ulares deprimeiros anos.

Osautoresgostariamdeendossarumespe ialagrade imentoatodososalunosquemotivaram

este trabalho e esperam que o presente livro sirva omo material didáti o útil numa primeira

abordagem àsequaçõesdiferen iais ordinárias e sistemasde equações.

PartedopresentetrabalhofoisuportadopelaFundaçãoparaaCiên iaeaTe nologia(FCT),

dentrodoprojetoUID/MAT/04106/2019 (CIDMA,Universidade deAveiro).

Aveiro,julhode 2019

Tatiana T hemisova, Vera Kharlamova, Adelaide Freitas e Alexander Plakhov

Departamento de Matemáti a - Universidade deAveiro

1

T hemisova,T,Kharlamova,V.,Freitas,A.(2006)CadernosdeMatemáti aCM06/D-05,Departamentode

Prefá io i

1 Introdução 1

1.1 Noçõesbási as . . . 1

1.2 Modelação de problemas usandoequaçõesdiferen iais . . . 5

1.3 Equaçãodiferen ial orrespondente auma famíliade urvas . . . 8

1.4 Exer í iosresolvidos . . . 11

1.5 Exer í ios . . . 14

1.6 Soluções . . . 16

2 Equações diferen iais de primeira ordem 17 2.1 Noçõesbási as . . . 17

2.2 Equaçãodiferen ial devariáveisseparadas . . . 19

2.3 Equaçãodiferen ial devariáveisseparáveis . . . 20

2.4 Equaçãodiferen ial redutívela equação de variáveis separáveis . . . 23

2.5 Equaçãodiferen ial homogénea . . . 24

2.6 Equaçãodiferen ial redutívela homogénea oua de variáveis separáveis . . . 27

2.7 Equaçãodiferen ial linearde 1. a ordem. . . 31

2.7.1 Métodode substituição (de Bernoulli) . . . 31

2.7.2 Métodode variação das onstantes . . . 34

2.8 Equaçãode Bernoulli . . . 36

2.8.1 Métodogeral . . . 37

2.8.2 Transformação da equação deBernoulli numaequação linear . . . 38

2.9 Equaçãodiferen ial exata . . . 41

2.9.1 Umpro esso de resolução . . . 41

2.9.2 Condiçãone essáriae su iente de umaequação exata . . . 42

2.10 Equaçãodiferen ial omfatorintegrante . . . 45

2.11 Exer í iosresolvidos . . . 47

2.12 Exer í ios . . . 63

2.13 Soluções . . . 68

3 Equações diferen iaisde ordemsuperior à primeira 73 3.1 Noçõesbási as . . . 73

de maiorordemda função des onhe ida . . . 74

3.2.2 Equação diferen ialnão ontendo afunção des onhe ida . . . 76

3.2.3 Equação diferen ialnão ontendoa função des onhe ida, nemassuas de-rivadas atéàordem

k − 1

in lusivamente . . . 77

3.2.4 Equação diferen ialnão ontendoa variávelindependente . . . 78

3.3 Equação diferen iallinearde ordem

n

. . . 79

3.3.1 Equação diferen iallinearhomogénea om oe ientes onstantes . . . 80

3.3.2 Equação diferen iallinearnão homogénea om oe ientes onstantes . . 83

3.3.3 Equação deEuler . . . 85

3.4 Exer í ios . . . 86

3.5 Soluções . . . 88

4 Sistemas deequações diferen iaislinearesde primeiraordem om oe ientes onstantes 91 4.1 Noçõesbási as . . . 91

4.2 Alguns métodosde resolução desistemas de equaçõesdiferen iais . . . 92

4.2.1 Resoluçãoimediata . . . 92

4.2.2 Método por eliminação . . . 93

4.3 Problemade Cau hyparasistemas de equaçõesdiferen iais lineares de 1. a ordem 98 4.4 Exer í ios . . . 101 4.5 Soluções . . . 103 5 Exer í ios de autoavaliação 107 Bibliograa 119 Apêndi es 121 Apêndi e A:Diferen ial deumafunção real de variávelreal . . . 123

Introdução

1.1 Noções bási as

Chama-se equação diferen ial ordinária 1

aumaequação

F (x, y, y

′

, y

′′

, ..., y

(n)

) = 0

(1.1) que rela iona uma variável real independente

x

, uma função des onhe ida

y = y(x)

, om

y : D ⊆ R → R

,e asderivadas de

y

de diferentesordens.

Chama-se ordem de uma equação diferen ial ordinária à maior ordem da derivada que entra

nessa equação. Assim,aequação diferen ial (1.1)é de ordem

n

.

Exemplo 1.1.1 (Ordem, função e variável independente de uma equação diferen ial)

(a)Aequação

y

′

= x

ou,deforma equivalente,

y

′

− x = 0

é uma equação diferen ial (ordinária) deprimeira ordem dafunção

y = y(x)

.

(b)Aequação

s

2

_t

′′

_{+ stt}

′

_{= s −2}

é umaequação diferen ialdesegundaordemdafunção

t = t(s)

. ( ) Aequação

d

3

_x

dy

3

= y

2

+ 1

é uma equação diferen ial deter eira ordem dafunção

x = x(y)

. Diz-se que a função

y = y(x)

é uma solução da equação diferen ial de ordem

n

(1.1) se substituindo naequação (1.1) a função

y

, juntamente om assuas derivadas atéa ordem

n

, se obtém umaidentidade. Por outraspalavras,a função

y = y(x)

satisfaz aequação diferen ial. Exemplo 1.1.2 (Soluções de uma equação equação diferen ial) Asfunções

y = −2x , y =

−2x + 3

e

y = −2x − 7

são soluções daequação diferen ial

y

′

+ 2 = 0.

Resolverumaequação diferen ial onsisteemobter o onjunto detodasassoluçõesdessa

equa-ção 2

.

As soluções obtidas por pro esso de integração de uma equação diferen ial são habitualmente

1

Apalavraordinária,nadesignação daequaçãodiferen ial(1.1), indi aqueafunção des onhe ida

y

éuma função deuma só variável. Em geral, sempre queé subentendido, simpli a-se alinguagem omitindoo termo

ordinária. Existem,ainda, as hamadasequações diferen iaisàsderivadas par iaisasquais envolvemfunções

des onhe idasdeváriasvariáveiseassuasderivadaspar iais.

2

que não pode ser deduzida por pro esso de integração da equação diferen ial é designada por

solução singular.

Asoluçãogeral deumaequaçãodiferen ialdeordem

n

érepresentadapelafamíliadefunções

y

, dependentes da variável

x

e de

n

onstantes arbitrárias

3

C

1

, C

2

, ..., C

n

e dadas, expli itamente, na forma

y = φ(x, C

1

, C

2

, ..., C

n

)

(1.2) ou,impli itamente, naforma

Φ(x, y, C

1

, C

2

, ..., C

n

) = 0,

(1.3) asquaissãosoluçõesdaequação(1.1) paravaloresde

C

1

, C

2

, ..., C

n

xos,sendo

φ

e

Φ

funções

4

n

vezes diferen iáveis emordem a

x

.

Exemplo 1.1.3(Solução geral na forma explí ita) O onjunto de funções

y = C

1

x

2

+ C

2

x + C

3

,

C

1

, C

2

, C

3

∈ R,

(1.4) é a soluçãogeral (na forma explí ita) daequação diferen ial de ter eira ordem

y

′′′

= 0.

(1.5)

Defa to, substituindo

y

por

C

1

x

2

_{+ C}

2

x + C

3

naequação (1.5)obtém-seaidentidade

0 = 0

,pelo que a função (1.4) é solução daequação (1.5). Por outro lado, na expressão (1.4) entram três

onstantes arbitrárias, tantas quanto a ordem da equação diferen ial (1.5). Assim sendo,(1.4)

representa o integral geral da equação diferen ial (1.5).

Exemplo 1.1.4(Solução geral na forma explí ita) A família de funções

y = Ce

−2x

,

_{C ∈ R,}

(1.6)

é a soluçãogeral da equação diferen ial de1. a

ordem

y

′

_{= −2y.}

(1.7)

De fa to, substituindo a função

y

dada por (1.6) na equação (1.7) obtém-se uma identidade, on retamente

−2Ce

−2x

= −2Ce

−2x

.

Exemplo 1.1.5(Solução geral na forma implí ita) O onjuntodefunções

y = y(x)

deni-das impli itamentepor

x

2

+ y

2

= C,

(1.8)

om

C ∈ R

+

0

, representa o integral geral da equação diferen ial de1. a

ordem

yy

′

+ x = 0.

(1.9)

3

Considera-seaqui

C

i

∈ R, i ∈ 1, 2, . . . , n

,embora,emgeral,as onstantespossamperten erao onjuntodos números omplexos.

4

Asfunções

φ

e

Φ

são funçõesreaisdeváriasvariáveisreais( onsulteoApêndi eIIparamaisdetalhepara o aso parti ulardeduasvariáveisreais).

Na realidade,derivando em ordem a

x

ambos os membros da equação (1.8), obtém-se

2x + 2yy

′

= 0,

donde

yy

′

_{= −x.}

(1.10)

Substituindooprimeirotermodoprimeiromembrode(1.9)pelaexpressãoen ontradaem(1.10),

obtém-se a identidade

0 = 0

. A equação (1.8) depende de uma onstantearbitrária e a equação diferen ial (1.9) é deordem 1.

Exemplo 1.1.6 (Família de funções omo solução de uma equação diferen ial)

Preten-de-se mostrar que a família de urvas

y = (x + C)e

x

,

_{C ∈ R,}

(1.11)

é solução daequação diferen ial

y

′

_{− y = e}

x

.

(1.12)

Para mostrar o pretendido basta veri ar que a equação (1.11) satisfaz a equação diferen ial

dada. Assim,derivando ambosos membros daequação (1.11) emordema

x

,supondo

y = y(x)

, obtém-se

y

′

= e

x

+ (x + C)e

x

.

Substituindo na equação diferen ial (1.12), vem

y

′

_{− y = e}

x

+ (x + C)e

x

_{− (x + C)e}

x

= e

x

,

omo se pretendia veri ar.

Dadaumaequação diferen ialde ordem

n

esuasolução geral naforma (1.2) ou(1.3),seem (1.2) ou (1.3) seatribuírem valoresreais xos às onstantes arbitrárias

C

1

, C

2

, ..., C

n

, obtém-se uma solução parti ular dessa equação diferen ial.

Exemplo 1.1.7 (Solução parti ular na formaexplí ita) Tendoem ontaoExemplo1.1.3,

observa-se que a função

y = x

2

_{− 2}

é uma solução parti ular da equação diferen ial

y

′′′

= 0

. Aquela solução parti ular resulta da solução geral

y = C

1

x

2

_{+ C}

2

x + C

3

quando os valores das onstantes

C

1

,

C

2

,

C

3

são substituídos por

C

1

= 1

,

C

2

= 0

,

C

3

= −2

.

Exemplo 1.1.8 (Solução parti ular na formaexplí ita) Tendoem ontaoExemplo1.1.4,

observa-seque a função

y = −3e

−2x

é umasoluçãoparti ulardaequação diferen ial (1.7). Esta

solução obtém-sequando se toma o valor da onstante

C = −3

na solução geral

y = Ce

−2x

.

Exemplo 1.1.9 (Solução parti ular na formaimplí ita) Tendoem ontaoExemplo1.1.5,

observa-se que a ir unferên ia

x

2

_{+ y}

2

_{= 4}

é uma solução parti ular da equação diferen ial

yy

′

+ x = 0

. Esta solução parti ular resulta da solução geral

x

2

_{+ y}

2

_{= C}

para o valor da

onstante

C = 4

.

Dada uma equação diferen ial de ordem

n

e sua solução geral na forma (1.2) ou (1.3), o on-junto dos grá os dessas funções (1.2) ou (1.3), para todosos possíveis valoresdas onstantes

x

y

Figura 1.1: Curvasintegraisda equação diferen ial

y

′

_{= −2y}

doExemplo 1.1.4.

x

y

Figura1.2: Curvasintegraisda equação diferen ial

y

′

_{y + x = 0}

do Exemplo1.1.5.

Exemplo 1.1.10 (Família de urvas integrais) NasFiguras2.1 e 2.2são ilustradas urvas

integrais perten entes às famílias de urvas integrais da equação diferen ial

y

′

_{= −2y}

onsi-derada no Exemplo 1.1.4 e da equação diferen ial

yy

′

_{+ x = 0}

onsiderada no Exemplo 1.1.5,

respetivamente.

Re orde-se que, para algumas equações diferen iais, pode a onte er que existam outras

so-luções, hamadas soluções singulares, as quais não podem ser obtidas atribuindo um valor

espe í o às onstantesarbitrárias em(1.2) ou (1.3).

Exemplo 1.1.11 (Solução singular) Todas as funções da família

y =

1

x + C

− 2,

C ∈ R,

(1.13)

são soluções daequação diferen ial

Porém,afunção

y = −2

tambémsatisfazestaequaçãodiferen ial,masnãopodeserrepresentada naforma(1.13),paraalgum

C ∈ R

. Consequentemente,afunção

y = −2

éumasoluçãosingular da equação diferen ial (1.14). O onjunto de todas as soluções da equação (1.14) é onstituído

pela solução geral:

y =

1

x + C

− 2,

C ∈ R,

e pelasolução singular

y = −2.

Na Figura 2.3estão representadosgrá os desoluções daequação (1.14).

y = −2

(soluçãosingular)

x

y

Figura1.3: Representaçãográ adealgumassoluções,in luindoasolução singular, daequação

diferen ial(1.14).

1.2 Modelação de problemas usando equações diferen iais

Variadospro essosdinâmi os observadosna Natureza ediferentesproblemas de Físi a,

Geome-tria, E onomia, et ., podem ser representados à usta de equaçõesdiferen iais. Consideram-se

aqui alguns exemplosde fenómenos (físi os, biológi os, et )e de problemas simples quepodem

sermodelados usando equaçõesdiferen iais ordinárias.

A lei do movimento. Suponha-se que é onhe ida, em ada instante de tempo

t

,a velo- idade om que umponto material se deslo a ao longo do eixo

OX

. Suponha-se também que essa velo idade pode ser des rita por uma função

v(t)

que é ontínua para

t ≥ 0

. Pretende-se en ontraraleidomovimento desseponto,i.e.,aleiquedeterminaovalor

x

daab issadoponto emfunção do tempo.

O problema formulado reduz-se ao problema de determinação da solução geral

x = x(t)

da equação diferen ialde primeira ordem

x

′

(t) = v(t),

umapartí ulademassa

m

semoveaolongodoeixo

Ox

sujeitaaduasforças: umapropor ional ao seudeslo amento a partirde umponto xo dasua traje tória e dirigida paraaorigem

O

,e uma outra, umaforça da resistên ia, propor ional à suavelo idade. Pretende-se exprimir a lei

do movimento da partí ula por meio de umaequação diferen ial.

A primeira força pode ser expressa por

−k

1

x(t)

e a segunda por

−k

2

x

′

_(t)

,onde

k

1

e

k

2

são oe ientesdepropor ionalidade(

k

1

, k

2

≥ 0

). Aforçatotalserádadapelasomadestasduas,ou seja,

−k

1

x(t) − k

2

x

′

_(t)

,onde afunção

x = x(t)

determina alei domovimento dapartí ula. Por outro lado, de a ordo om a segunda lei de Newton, a força total apli ada à partí ula é igual

à massa multipli ada pela a eleração e pode ser es rita na forma

mx

′′

_(t)

. Assim, igualando as

duas expressões que denem a força total, deduz-se a seguinte equação diferen ial de segunda

ordem

mx

′′

_{(t) = −k}

1

x(t) − k

2

x

′

(t),

ou,es rita de formasimpli ada,

mx

′′

= −k

1

x − k

2

x

′

.

A equação da queda livre de um orpo num meio gasoso. Considere-se um orpo

de massa

m

a air num meio gasoso. A oordenada verti al do orpo no instante

t

é

y(t)

. A força de gravitação é

F

g

= −mg

e a força de atrito do gás,

F

a

,é propor ional à velo idade do orpo, omo oe iente de propor ionalidade

k

,e temadireção ontráriaà velo idade,ouseja,

F

a

= −k y

′

(t)

. Aforçatotalapli adaao orpoé,porumlado,

F = F

g

+ F

a

e,poroutrolado,de a ordo om asegunda leide Newton,é dada por

F = my

′′

_(t)

,donde a oordenada

y(t)

satisfaz a equação diferen ialdesegunda ordem

my

′′

_{(t) = −mg − k y}

′

(t),

ou,simpli ando,

y

′′

_{= −g −}

k

m

y

′

.

A família das urvas denidas pelo de live das suas retas tangentes.

(i) As urvas ujasretas tangentes, em ada ponto

(x, y)

,têm de live igual a

y

satisfazema equação diferen ialde primeira ordem

y

′

(x) = y(x),

ou,na suaformamais urta,

y

′

_{= y}

.

A soluçãogeral destaequação diferen ialdetermina afamília detodasas urvasquesatisfazem

aquelapropriedade. Curvasdestafamília sãoilustradasna Figura1.4.

(ii) As urvas ujasretas tangentes, em ada ponto

(x, y)

, têm de live igual a

x

2

são

deter-minadaspelaequação diferen ialde primeira ordem

y

′

(x) = x

2

,

ou,na suaformamais urta,

y

′

_{= x}

2

.

A soluçãogeral destaequação diferen ialdetermina afamília detodasas urvasquesatisfazem

aquelapropriedade (Figura??).

A família das urvas denidas pela interseção das suas retas tangentes om o

x

y

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

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b

b

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b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Figura 1.4: Curvas ujas retas tangentes, em ada ponto

(x, y)

, têm de live

y

. Ilustram-se tambémretas tangentes emdiversospontosde ada urva.

retatangente orrespondenteinterse tao eixo

OY

no ponto uja ordenadaé ovalor simétri oà ordenadado ponto de tangên ia, ouseja,

−y

.

Umareta tangente à urva

y = y(x)

ontém o ponto de tangên ia

(x, y(x))

e, de a ordo om o pretendido, o seuponto de interse ção om o eixo das ordenadas será da forma

(0, −y(x))

. Se

x 6= 0

, o de live desta reta tangente será

2y(x)/x

e este de live é igual a derivada da função

y

no ponto

x

,donde

2y(x)

x

= y

′

_(x).

Multipli ando ambos os membros desta equação por

x

(que é assumido ser diferente de zero) obtém-se aequação diferen ialpretendida, ou seja,

xy

′

_{= 2y}

.

A taxarelativade variação. Em váriassituaçõesfala-seemtaxarelativadevariação. Por

exemplo,quandosedizqueumadadapopulação res eaumataxade

2%

por ano,talsigni a queafunção

P = P (t)

,quedetermina otamanho dapopulação emfunçãode tempo,satisfaza equação diferen ialde primeira ordem

P

′

(t)

P (t)

= 0.02,

ou,de modoequivalente,

P

′

_{(t) = 0.02P (t).}

O peso de uma substân ia ao desintegrar-se. É sabido que a velo idade om que

umasubstân ia radioativa sedesintegra é diretamente propor ional à suamassaini ial sendoo

oe iente dedesintegração

k ≥ 0

. Sabendo que, no instante detempo

t

0

,o pesoda substân ia era

R

0

, qualserá opeso

R

da substân iano instantede tempo

t ≥ t

0

?

Esteproblema reduz-seà determinaçãoda solução daequação diferen ialde primeira ordem

x

y

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Figura 1.5: Curvas ujas retas tangentes, em ada ponto

(x, y)

, têm de live

x

2

. Ilustram-se

tambémretas tangentes emdiversospontosde ada urva.

tal que, no instante de tempo ini ial

t = t

0

, o peso toma o valor

R

0

. Este tipo de problema é hamado problema de Cau hy, e orresponde à resolução de uma equação diferen ial sujeita a

ondiçõesini iais. 5

A evolução de uma espé ie biológi a. Considere-se a população de uma dada espé ie

biológi a numa dada região. Sabe-se que (i) a quantidade total de indivíduos dessa espé ie

na população no instante

t

é

x(t)

, (ii) a velo idade om que a população aumenta devido à natalidadeé diretamente propor ional àquantidade

x(t)

,(iii) ataxade natalidadeé

a > 0

,(iv) a mortalidade épropor ional ao quadrado da quantidade de indivíduos da população,

x

2

_(t)

, 6

e

(v)ataxade mortalidadeé

b > 0

. Destaforma,a dinâmi adapopulação podeserdes ritapela equação diferen ialde primeira ordem

x

′

_{(t) = a x(t) − b x(t)}

2

,

ou,na suaformamais urta,

x

′

_{= ax − bx}

2

.

1.3 Equação diferen ial orrespondente a uma família de urvas

Emgeral,dada umaequaçãodiferen ial, oobjetivoéresolvê-la,ouseja,en ontrarasuasolução

geral. Em outras situações, o objetivo é resolver o problema inverso: en ontrar uma equação

5

SobrearesoluçãodeproblemasdeCau hy,veja-seo apítuloseguinte.

6

Talo orre,porexemplo, quandoháfaltade omidatornando-semaisa entuadaessafaltaàmedidaquea

diferen ial de ordem

n

ujo integral geral é uma dada família de urvas, denida por (1.2) ou (1.3). Neste último asopro ede-sedoseguintemodo:

1. Deriva-se

n

vezesa equação 7

(1.2) ou(1.3) quedene afamília de urvas,supondo que

y

éfunção de

x

;

2. Resolve-se o sistema das

n

equações assim obtidas em ordem às onstantes arbitrárias

C

1

, C

2

, ..., C

n

;

3. Substituem-se,naequaçãoini ialquedeneafamíliaas urvas,asexpressõesobtidas para

as onstantes

C

1

, C

2

, ..., C

n

.

Deste modo, obtém-se uma equação da forma (1.1), i.e., obtém-se umaequação diferen ial,

omosepretendia.

Exemplo 1.3.1 (En ontrar a equação diferen ial uja solução é dada) Pretende-se

iden-ti ar a equação diferen ial uja solução é a famíliade urvas dadas por

C

1

x + (y − C

2

)

2

= 0,

C

1

, C

2

∈ R.

(1.15)

Uma vez que a equação (1.15) ontém duas onstantes arbitrárias,

C

1

e

C

2

, para onstruir a equação diferen ial ujo integral geral é dado por (1.15), é pre iso resolver duas equações em

ordem aessas onstantes. Derive-se, então,(1.15) duas vezes emordema

x

,supondo

y = y(x)

. Obtém-se o sistema



C

1

+

2(y − C

2

)y

′

= 0

2(y

′

₎

2

_{+ 2(y − C}

2

)y

′′

= 0

,

uja solução é

(

C

2

= y +

(y

′

₎

2

y

′′

C

1

=

2

(y

′

₎

3

y

′′

.

(1.16)

Substituindo, na equação ini ial (1.15), as onstantes

C

1

e

C

2

pelas expressões (1.16) e simpli- ando, resulta a equação diferen ial pretendida

2y

′′

x + y

′

= 0.

Observação. Por vezes é onveniente es reveraequação diferen ialusandodiferen iais 8

. Para

umafunção

y = y(x)

diferen iável, por denição,tem-se

dy = y

′

dx,

onde

dx

representa odiferen ialdavariávelindependente

x

e

dy

odiferen ialda variável depen-dente

y = y(x)

.

Exemplo 1.3.2 (En ontrar a equação diferen ial uja solução é dada) Pretende-se

ave-riguarseexiste algumaequaçãodiferen ialque determinaafamíliadetodasasretasque passam

7

Porabusodelinguagem,éditoapenasderivaraequaçãoparadizerderivarambososmembrosdaequação.

8

As equações das retasque passam pela origem são da forma

y = Cx, C ∈ R

(

retas nãoverti ais

)

(1.17) ou

x = 0

(

reta verti al

).

(1.18)

Derivando ambos os membros de(1.17) em ordem a

x

,obtém-se

y

′

= C.

Substituindo, na equação (1.17), a onstante

C

por

y

′

obtém-se a equação diferen ial

y = y

′

x.

(1.19)

Portanto, as urvas integrais dadas pelas retas não verti ais (1.17) satisfazem esta equação. A

reta verti al, deequação (1.18), nãoé soluçãoda equação diferen ial obtida (1.19)já que, sese

substituísse

x

por0 em(1.19), se teria

y = 0

,o que orresponderia ater apenas oponto(0,0) e não o onjunto de todos ospontosda reta

x = 0

.

Porém, a equação diferen ial (1.19) pode ser rees rita usando diferen iais. De fa to,

multipli- ando ambos osmembrosde (1.19) por

dx

e tendo em onta que

y

′

_{dx = dy}

, obtém-se

x dy − y dx = 0.

(1.20)

A equação diferen ial assim es rita tem omo solução a função

y = Cx

, para todo o

C ∈ R

, e também a reta

x = 0

, omo se veri a por substituição em (1.20)

9

. Assim, (1.20) é a equação

diferen ial pro urada.

Exemplo 1.3.3(En ontrara equação diferen ial uja solução é dada) Pretende-se

de-terminar a equação diferen ial orrespondente à famíliade ir unferên ias que passam pela

ori-gem doreferen ial e ujos entros estão situados na reta

x = y

(ver Figura 2.6).

Qualquer ponto da reta

x = y

é da forma

(C, C)

, om

CinR

, sendo que a distân ia deste ponto à origem é

r =

√

C

2

_{+ C}

2

₌

√

_2|C|

. Assim, a equação da ir unferên ia om entro no ponto

(C, C)

e que passa pela origem é

(x − C)

2

+ (y − C)

2

= 2C

2

,

ou, simpli ando,

x

2

+ y

2

_{− 2C(x + y) = 0.}

(1.21)

Derivando estaequação em ordem a

x

,vem

2x + 2yy

′

_{− 2C(1 + y}

′

) = 0,

donde

C =

x + yy

′

1 + y

′

.

Substituindo esta expressão na equação (1.21) e simpli ando, obtém-se a equação diferen ial

pretendida

(x

2

+ y

2

)(1 + y

′

)

2

= 2(x + y)(x + yy

′

)

2

.

9

Neste aso,areta

x

= 0

temqueser onsiderada omográ odafunção

x

= x(y) = 0

. Porisso,

x

y

x = y

Figura 1.6: Curvasde ir unferên ias que satisfazem a equação diferen ial obtida no Exemplo

1.3.3.

1.4 Exer í ios resolvidos

1. Para ada asoseguinte,mostrequeafunção

y = φ(x)

dadaésolução daequação diferen- ial indi ada.

(a) Função

φ(x) = ln(cos x)

; equação diferen ial

y

′

= − tan x

. Resolução . Derivando a função

φ(x)

emordem a

x

,obtém-se

y

′

=φ

′

(x) =

1

cos x

(− sin x).

Substituindo

φ(x)

por

y

,resulta

y

′

_{= − tan x.}

(b) Função

y = φ(x)

talque

x

2

_{+ 2xφ(x) = C}

; equação diferen ial

x + y + xy

′

= 0

. Resolução . Derivando ambos osmembros da equação

x

2

_{+ 2xφ(x) = C}

em ordem a

x

,obtém-se

2x + 2φ(x) + 2xφ

′

(x) = 0.

Substituindo

φ(x)

por

y

e dividindo ambososmembros destaequação por 2,vem

x + y + xy

′

= 0.

( ) Função

y = φ(x)

talque

φ(x)−x = C exp (φ(x))

; equaçãodiferen ial

(x−y+1)y

′

_{= 1}

.

Resolução . Partindo da equação

φ(x) − x = C exp (φ(x))

e multipli ando ambos os membros por

exp (−φ(x))

,vem

exp (−φ(x)) (φ(x) − x) = C.

Derivando estaequação, tem-se

e dividindoambososmembrospor

exp (−φ(x))

,vem

−φ

′

(x)φ(x) + φ

′

(x)x + φ

′

_{(x) − 1 = 0,}

ou seja,

φ

′

_{(x)(−φ(x) + x + 1) = 1.}

Substituindo

φ(x)

por

y

,obtém-seaequaçãodiferen ialpretendida

(x − y + 1)y

′

= 1

. (d) Função

φ(x) = −

2

x

2

; equação diferen ial

xy

2

_{dx − dy = 0}

.

Resolução. Atendendo a que

dy = y

′

_dx

e

dx 6= 0

, a equação diferen ial pode ser es rita deoutra formapois

xy

2

_{dx − dy = 0 ⇔ (xy}

2

_{− y}

′

_{)dx = 0 ⇔ y}

′

= xy

2

.

Por outro lado, derivando emordem a

x

afunção

y = φ(x)

,obtém-se

y

′

=

4

x

3

.

Substituindo, na equação diferen ial, as expressões para a função

y

e

y

′

, observa-se que

4

x

3

= x



−

_x

2

₂



2

⇔

_x

4

₃

=

4

x

3

,

peloque

y = −

2

x

2

ésolução da equação diferen ial

xy

2

_{dx − dy = 0}

.

2. Diga quaisdasseguintesfunções

y = φ

i

(x)

,

i = 1, 2, 3, 4

,onde

φ

1

(x) = e

x+2

,

φ

2

(x) = 3e

x/3

,

φ

3

(x) = cos x,

φ

4

(x) = 5 ,

sãosoluções, em

R

,daequação diferen ial

y

′′′

_{− y}

′

= 0.

Resolução. Considere-se, em primeiro lugar, a função

φ

1

(x)

. Substituindo

y = e

x+2

na

equação diferen ialdada,tem-se

y

′′′

_{− y}

′

= (e

x+2

)

′′′

_{− (e}

x+2

)

′

= 0.

Como

(e

x+2

₎

′′′

_{= (e}

x+2

₎

′

_{= e}

x+2

,aequaçãodiferen ialétrivialmentesatisfeitapelafunção

y = e

x+2

.

Considere-se, seguidamente, a segunda função dada:

y = 3e

x/3

. Pro edendo de forma

análoga ao aso anterior, paraesta função

φ

2

(x)

observa-se que

y

′′′

_{− y}

′

= (3e

x/3

)

′′′

_{− (3e}

x/3

)

′

=

1

9

e

x/3

_{− e}

x/3

_{6= 0.}

Portanto,

y = 3e

x/3

nãoé solução da equação dada.

Considere-se agora a função

φ

3

(x)

. Veri a-se que a função

y = cos x

também não é solução da equaçãodiferen ial dada jáque

y

′′′

_{− y}

′

= (cos x)

′′′

_{− (cos x)}

′

_{= sin x + sin x 6= 0.}

Finalmente, para a função

y = 5

veri a-se trivialmente que

5

′′′

_{= 5}

′

_{= 0}

e, portanto,

y = 5

é solução daequação diferen ial

y

′′′

− y

′

= 0

. Con lusão: Apenasasfunções

y = e

x+2

3. Mostre que a equação

x

2

_{− xy + y}

2

_{= C, C ∈ R}

, é solução geral da equação diferen ial

(x − 2y)y

′

− 2x + y = 0

.

Resolução . Derivando ambososmembrosdaequação

x

2

_{− xy + y}

2

_{= C}

,supondo

y

função de

x

,tem-se

2x − (y + xy

′

) + 2yy

′

_{= 0 ⇔ 2x − y − xy}

′

+ 2yy

′

_{= 0 ⇔ (2x − y) − y}

′

_{(x − 2y) = 0 ⇔}

⇔ (x − 2y)y

′

− 2x + y = 0 ,

sendoesta últimaa equação diferen ialpedida.

4. Determine a equação diferen ial da família de urvas

y = C ln x, x > 0, C ∈ R

(Curvas destafamília sãoilustradas naFigura2.7).

x

y

Figura1.7: Curvas

y = C ln x

,para alguns valoresreaisda onstante

C

.

Resolução . Assumindo que

y = y(x)

e derivando a expressão

y = C ln x

em ordem a

x

, obtém-se

y

′

=

C

x

,

peloque

C = xy

′

. Substituindonaexpressãodada,resultaaequaçãodiferen ialpretendida

y = y

′

_{x ln x}

.

5. Determinea equação diferen ialdafamília de urvas

y = C

1

cos x + C

2

sin x, C

1

, C

2

∈ R

. Resolução . Assumindo que

y = y(x)

eobtendo a primeira e segundaderivadas emordem a

x

da expressãodada,obtém-se oseguintesistemalinearnas onstantes

C

1

e

C

2



y

′

_{= −C}

1

sin x + C

2

cos x

y

′′

_{= −C}

1

cos x − C

2

sin x

.

Resolvendo este sistemaemordem às onstantes

C

1

e

C

2

,obtém-se

 C

1

= −y

′

sin x − y

′′

cos x

y = (−y

′

sin x − y

′′

cos x) cos x + (y

′

_{cos x − y}

′′

sin x) sin x

= −y

′

sin x cos x − y

′′

cos

2

x + y

′

_{cos x sin x − y}

′′

sin

2

x

= −y

′′

cos

2

x + sin

2

x

= −y

′′

,

donde resultaa equação diferen ialpretendida

y

′′

+ y = 0

.

1.5 Exer í ios

1. Classique, quanto àsuaordem, asseguintes equaçõesdiferen iais.

(a)

dy + (xy − cos x)dx = 0

; (b)

L

d

2

_θ

dt

2

+ R

dθ

_dt

+

_C

θ

= 0

; ( )

y

′′′

_{+ xy}

′′

_{+ 2y(y}

′

₎

2

_{+ xy = 0}

; (d)

d

2

_v

dx

2

_dx

dv

+ x

dv

_dx

4

+ v = 0

; (e)

e

y

′′′

− xy

′′

+ y = 0

; (f)

y

′

_{+ x = (y − xy}

′

₎

−3

; (g)

y

′′

+ 3xy = sin x

; (h)

ty

′′

_{+ t}

2

_y

′

_{= sin t + 1}

; (i)

y

d

2

_x

dy

2

− y

2

= 3

.

2. Mostre quea função

y = φ(x)

dada é solução daequação diferen ialindi ada. (a)

φ(x) =

sin x

x

;

xy

′

+ y = cos x.

(b)

φ(x) = Cx

3

_,

_{C ∈ R;}

_xy

′

_{− 3y = 0.}

( )

φ(x) = x(

R

x

1

1

t

e

t

dt + C),

C ∈ R;

xy

′

− y = xe

x

. (d)

φ(x) = x(ln(x

2

_{) + C),}

_{C ∈ R;}

_xy

′

_{− y = 2x}

. (e)

φ(x) =

(x+1)

4

2

+ (x + 1)

2

;

y

′

−

x+1

2

y = (x + 1)

3

. (f)

φ(x) = Ce

x

_{sin x,}

_{C ∈ R;}

_y

′′

_{− 2y}

′

_{+ 2y = 0}

. (g)

φ(x) = C

1

sin(7x) + C

2

cos(7x),

C

1

, C

2

∈ R;

y

′′

_{+ 49y = 0}

.

3. Considere astrês seguintes funções:

f (x) = (x + C)e

x

_{, g(x) = −}

2

x

2

,e

y = h(x)

denida impli itamente pela equação

x

2

_{− xy + y}

2

_{= C}

,onde

C

é uma onstante. Para ada uma dasseguintesequaçõesdiferen iais,identique,entreastrêsfunçõesdadas,qualésolução,

em

R

,da equação. (a)

xy

2

_{dx − dy = 0;}

(b)

y

′

_{− y = e}

x

_;

( )

(x − 2y)y

′

_{− 2x + y = 0.}

4. Diga, justi ando, qual(s) das seguintes funções,

y = e

x/2

,

y = sin

x

2

e

y = e

x

_{+ 2}

, é

solução,em

R

,da equação diferen ial

2y

′

_{− y = 0}

.

5. Veriquesea função dadaé solução da equação diferen ialindi ada.

(a)

y =

1

3(x+1)

;

y

′

= 3y

2

. (b)

y =

3

x

−

x

2

;

x + y + xy

′

= 0

. ( )

y = 3 − e

−x

2

;

xy

′

_{− 2y = e}

−x

2

. (d)

y

2

_{+ x}

2

_{− 2x = 5;}

_yy

′

_{+ x = 1}

.

6. Formalize,emtermosmatemáti os,asseguintes ondiçõesutilizandoequaçõesdiferen iais

ordinárias.

(a) Para uma erta substân ia, a razão de variação da pressãodo vapor (

P

) emrelação àtemperatura(

T

)é propor ionalàpressãodo vapor einversamentepropor ionalao quadrado datemperatura.

(b) Ataxadedensidadepopula ional

H

deuma idadeaumenta(emfunção dotempo

t

) propor ionalmenteaoprodutodadensidadepopula ionalpelodesviodessadensidade

dovalor dereferên ia

200000

.

( ) A velo idade de arrefe imento de um erto orpo exposto ao ar é propor ional à

diferençaentrea temperatura

T

ini ial do orpo ea temperatura

T

0

doar. (d) Massa

×

a eleração

=

força.

7. Determinea equação diferen ialdafamília de ir unferên ias entradas naorigem.

8. Determineaequação diferen ialdetodasas ir unferên ias situadasnoIe IIIquadrantes

doplano

R

2

e tangentes, simultaneamente, àsretas

x = 0

e

y = 0

.

9. Determine a equação diferen ial orrespondenteà família de urvasplanas denidas pela

seguinte ondição:

as retas tangentes, em ada ponto

(x, y)

,têm de live

y

′

igual ao dobrodasoma das

oordenadas desseponto.

10. Exprima,sobaformadeequaçãodiferen ial,adistân ia

S

per orridaporum orpodurante otempo

t

,sabendoque asuavelo idadeé propor ionala estadistân ia.

11. Determineaequaçãodiferen ial orrespondentea adaumadasseguintesfamíliasde urvas

planas (a)

y = Cx

2

, om

C ∈ R

; (b)

y

2

_{= −1 + Cx}

2

, om

C ∈ R

; ( )

y = C

1

e

−x

_{+ C}

2

xe

−x

, om

C

1

, C

2

∈ R

; (d)

y = C

1

x + C

2

, om

C

1

, C

2

∈ R

; (e)

y = e

cx

, om

C ∈ R

; (f)

y = ax

2

_{+ be}

x

, om

a, b ∈ R

; (g)

y = sin(x + C)

, om

C ∈ R

;

1. (a) primeira ordem;

(b) segundaordem;

( ) ter eira ordem;

(d) segundaordem;

(e) ter eira ordem;

(f) primeira ordem;

(g) segundaordem;

(h) segundaordem;

(i) segundaordem.

2. 3. (a) função

g

; (b) função

f

; ( ) função

h

. 4. função

y = e

x/2

. 5. (a) não. (b) sim. ( ) não. (d) sim. 6. (a)

P

′

_{(T ) = k}

P (T )

T

2

,onde

k

é o oe ientede propor ionalidade. (b)

H

′

_{(t) = kH(t)(200000 − H(t))}

. ( )

dT

dt

= k(T − T

0

)

, onde

T = T (t)

. (d)

m

dv

dt

= F

, onde

v = v(t)

é a velo idade em função do tempo, ou

m

d

2

s

dt

2

= F,

onde

s = s(t)

é odeslo amento emfunção do tempo. 7.

x + yy

′

_{= 0}

. 8.

(y − xy

′

₎

2

_{= 2xy((y}

′

₎

2

_{+ 1)}

. 9.

y

′

= 2(x + y)

. 10.

dS

dt

= kS

,onde

k

éo oe iente de propor ionalidade. 11. (a)

y

′

_{= 2}

y

x

; (b)

xyy

′

_{− y}

2

_{= 1}

; ( )

y

′′

_{+ 2y}

′

_{+ y = 0}

; (d)

y

′′

_{= 0}

; (e)

xy

′

_{− y ln y = 0}

; (f)

y

′

_(x

2

_{− 2) − xy}

′′

_{(x − 2) = 2y(x − 1)}

; (g)

y

′

₌

p

_{1 − y}

2

.

Equações diferen iais de primeira

ordem

2.1 Noções bási as

Umaequação diferen ialordináriade1. a

ordem,nasuaformageral,édadapelaexpressão

F (x, y, y

′

) = 0

(2.1)

onde

y = y(x)

é uma função des onhe ida om derivada

y

′

_{= y}

′

_{(x) =}

dy

dx

. Esta equação (2.1) poderátambémsurgir es ritana suaformanormal

y

′

= f (x, y).

(2.2)

No aso de

f (x, y) = −

M (x,y)

N (x,y)

, para algumas funções

M (x, y)

e

N (x, y) 6= 0

, a equação (2.2) pode aindaserrees ritausando diferen iais, nomeadamente

dy

dx

= −

M (x, y)

N (x, y)

ou ainda

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.

(2.3)

Noteque, nasformas(2.1)-(2.3),asfunções

F

,

f

,

M

e

N

sãofunçõesreaisdemaisdoqueuma variável real.

Exemplo 2.1.1 (Equações diferen iais ordinárias de 1. a

ordem) As equações

diferen i-ais de1. a

ordem

x + y + x

2

yy

′

= 0

e

y

′

_{= x}

estão es ritas na forma geral e na forma normal, respetivamente. Usando diferen iais, aquelas

equações  amna forma:

(x + y)dx + x

2

ydy = 0

e

dy − xdx = 0

A solução geral de uma equação diferen ial de 1. ordem é a família uni-paramétri a de

funções

y = φ(x, C)

(ou, na forma implí ita

Φ(x, y, C) = 0

) que transforma essa equação dife-ren ial numaidentidade, sendo

C ∈ R

uma onstantearbitrária.

Quando na solução geral de uma equação diferen ial da 1. a

ordem se atribui um valor

parti- ular à onstante

C

,

C = C

0

,obtém-se uma solução parti ular,

y = φ(x, C

0

)

(ou, na forma implí ita

Φ(x, y, C

0

) = 0

),dessa equação diferen ial.

Designa-se por problema de Cau hy, de uma equação diferen ial de 1 a

ordem, ao

proble-ma que onsiste em en ontrar a solução parti ular

y = φ(x, C

0

)

,dessa equação diferen ial, que satisfaz uma ondição ini ialda forma

y(x

0

) = y

0

.

A ondição

y(x

0

) = y

0

tambémpode ser representada por

y|

x=x

0

= y

0

.

Exemplo 2.1.2(Problema de Cau hy) Sabendo que a família de funções denidas

impli i-tamente por

y(1 − Cx) = 1, C ∈ R ,

(2.4)

é a solução geral de uma erta equação diferen ial, então para obter a solução parti ular dessa

equação diferen ial sujeita à ondição ini ial

y(2) =

1

3

, é ne essário obter o valor da onstante

C

de modo que o grá o da função

y(1 − Cx) = 1

passe pelo ponto

(x

0

, y

0

) = 2,

1

3

. Assim, substituindo

x = x

0

:= 2

e

y = y

0

:=

1

3

em (2.4),obtém-se a equação em termosde onstante

C

1

3

(1 − 2C) = 1.

Desta última equação resulta o valor de onstante,

C = −1

. Substituindo este valor em (2.4), obtém-se a solução

y(1 + x) = 1

doproblema deCau hy dado.

Nota. Geometri amente, o problemade Cau hy,para equaçõesdiferen iais de 1. a

ordem,

or-responde ao problema de determinação, em

R

2

, da urva integral, dessa equação diferen ial,

que passa pelo ponto de oordenadas

(x

0

, y

0

)

. Assim, no Exemplo 2.1.2, a solução parti ular

y(1 + x) = 1

dene a urva quepassa peloponto

(2,

1

3

)

.

Teorema 2.1 (Existên ia e uni idade de solução do problema de Cau hy) Sejaa

equa-ção diferen ial na forma normal

y

′

= f (x, y).

(2.5)

Sea função

f

,deduasvariáveis, easuaderivadapar ial

∂f

∂y

sãofunções ontínuasnumdomínio

D ⊆ R

2

, então, para ada ponto

(x

0

, y

0

) ∈ D

, existe e é úni a em

D

a solução da equação diferen ial (2.5) que satisfaz a ondição ini ial

y(x

0

) = y

0

.

1

Exemplo 2.1.3(Interpretação geométri a do problema de Cau hy) NoExemplo1.1.4,

veri ou-se que a famíliadefunçõesdenidas pela equação

y = Ce

−2x

,

C ∈ R,

é a soluçãogeral daequação diferen ial

y

′

= −2y

. Esta solução representa a família defunções exponen iais. A solução doproblema de Cau hy

y

′

_{= −2y,}

y(1) = 1,

1

Note-sequeoTeorema2.1representauma ondiçãosu ientedeexistên iaeuni idadedesoluçãodoproblema

deCau hy. Outras ondições, eventualmentemenosrestritivas,que tambémgarantema existên iae uni idade

é

y = e

2

_e

−2x

_{= e}

2(1−x)

e orresponde a uma função exponen ial ujo grá o passa pelo ponto

(1, 1)

. Esta função é úni a, o que estáde a ordo om o Teorema 2.1. Observa-se que a função de duas variáveis

f (x, y) = −2y

e a sua derivada par ial,

∂f

∂y

(x, y) = −2

, são ontínuas em

R

2

,peloque as ondições doTeorema 2.1sãosatisfeitas. Assim,pode-se on luir,pelo Teorema 2.1,que

y(x) = e

2(1−x)

é a úni a solução doproblema de Cau hy dado.

2.2 Equação diferen ial de variáveis separadas

Umaequação diferen ialordinária da1. a

ordemna forma

P (x)dx = Q(y)dy

(2.6)

é hamada equação diferen ial de variáveis separadas.

Nota. A equação (2.6) é o aso parti ular de equação (2.3) om

M (x, y) = P (x)

e

N (x, y) =

−Q(y)

. Integrando ambosos membros da equação (2.6) em relação àsrespetivas variáveis

x

e

y

,obtém-se

Z

P (x)dx =

Z

Q(y)dy .

(2.7)

Exemplo 2.2.1 (Resolução de uma equação diferen ial de variáveis separadas) Para

resolver a equação diferen ial de variáveis separadas

y

2

dy = e

−x

dx,

omeça-se por integrar ambos os membros dessa equação em ordem às respetivas variáveis

y

e

x

. Tem-se

Z

y

2

dy =

Z

e

−x

_{dx ⇔}

y

3

3

= −e

−x

_{+ C, C ∈ R,}

donde

y =

p

3

_{3C − 3e}

−x

_{, C ∈ R.}

A onstante arbitrária

C

surge no passo do ál ulo dos integrais, nomeadamente,

R

y

2

_dy

e

R

e

−x

dx

, quando estes serem substituídos pelas orrespondentes famíliasde primitivas. Embora ada uma dessas famílias envolva uma onstante arbitrária, ou seja,

Z

y

2

dy =

y

3

3

+ C

1

, C

1

∈ R

e

Z

e

−x

_{dx = −e}

−x

+ C

2

, C

2

∈ R,

na equação a ima, em vez de se es rever

y

3

3

+ C

1

= −e

−x

+ C

2

simpli a-se, omo se fez, es revendo

y

3

3

= −e

−x

_{+ C}

e onde se supõe que

C := C

2

− C

1

.

Maisainda, sendo

C

uma onstantearbitrária, o valor

C

∗

_{:= 3C}

forma

y =

p

3

C

∗

_{− 3e}

−x

_,

_C

∗

_{∈ R,}

(ver Figura 2.1).

C

∗

_{= 0}

C

∗

_{= −2}

C

∗

_{= 2}

C

∗

= 4

x

y

Figura2.1: Curvasintegraisda equação diferen ialdo Exemplo2.2.1.

2.3 Equação diferen ial de variáveis separáveis

Umaequação diferen ialna forma

y

′

= f (x)g(y)

(2.8)

ou,generi amente, na forma

M

1

(x)N

1

(y)dx = M

2

(x)N

2

(y)dy,

(2.9) é hamada equação diferen ial de variáveis separáveis.

2

Para resolveruma equação diferen ial de variáveis separáveis na forma (2.9) dividem-se ambos

osmembrosdessaequação por

N

1

(y)M

2

(x)

,nopressupostodeque

N

1

(y)M

2

(x) 6= 0

,resultando a equação devariáveis separadas

M

1

(x)

M

2

(x)

dx =

N

2

(y)

N

1

(y)

dy,

ujo integralgeral é

Z M

1

(x)

M

2

(x)

dx =

Z N

2

(y)

N

1

(y)

dy.

(2.10)

Nota. Após a obtenção do integral geral (2.10) deverá veri ar-se se existem outras soluções

da equação diferen ial de variáveis separáveis (2.9), entre oszeros das funções assumidas omo

2

Note que (2.8) pode ser es rita na forma (2.9) se se assumir

M

1

(x) = f (x)

,

M

2

(x) = 1

e

N

1

(y) = 1

,

ondições

N

1

(y) = 0

e

M

2

(x) = 0

onduzem a outras soluções daequação diferen ial, podendo elas ser ou não da forma (2.10). Às soluções obtidas neste aso que não são de forma (2.10)

hamam-se soluções singulares.

Exemplo 2.3.1 (Resolução de uma equação diferen ial de variáveis separáveis)

Con-sidere a equação diferen ial

xydx − (1 + x

2

) ln y dy = 0.

(2.11) Esta pode ser transformada na forma (2.9) tomando

M

1

(x) = x

,

N

1

(y) = y

,

M

2

(x) = 1 + x

2

,

N

2

(y) = ln y

.

Dado que a equação (2.11) ontém a expressão numéri a

ln y

, a equação (2.11) só tem sentido para funções

y = y(x)

positivas(

y > 0

).

Sendo

y 6= 0

e

1 + x

2

_{6= 0}

,pode dividir-seambosos membros de(2.11) por

y(1 + x

2

₎

, resultando

uma nova equação

x

1 + x

2

dx =

ln y

y

dy .

Por integração desta,e simpli ando, vem

Z

_x

1 + x

2

dx =

Z ln y

y

dy ⇔

1

2

ln(1 + x

2

_{) =}

ln

2

y

2

+ C

⇔ ln(1 + x

2

) = ln

2

y + C

∗

,

om

C

∗

_{:= 2C.}

Donde, o integral geral da equação diferen ial devariáveis separáveis dada é

ln(1 + x

2

) = ln

2

y + C

∗

,

C

∗

_{∈ R}

(ver Figura 2.2).

C

∗

= 1

C

∗

= 1

C

∗

= 2

C

∗

= 2

C

∗

= 0

C

∗

= 0

C

∗

_{= −1}

x

y

quação diferen ial

y

′

= x cos

2

y

(2.12)

é uma equação de variáveis separáveis na forma (2.8). Usando diferen iais, (2.12) pode ser

es rita na forma

dy = x cos

2

ydx.

Se

cos

2

_{y 6= 0}

, então esta última equação é equivalente a ter

dy

cos

2

_y

= xdx

. Integrando, vem

R

₁

cos

2

_y

dy =

R

xdx

, donde o integral geral de (2.12) é

tan y =

x

2

2

+ C,

C ∈ R.

(2.13) Se

cos

2

_{y = 0}

então,

y =

π

2

+ kπ,

om

k ∈ Z

. Substituindo, na equação (2.12),

y

por

π

2

+ kπ

, obtém-se uma identidade. Logo,

y =

π

2

+ kπ

, para qualquer

k ∈ Z

, é também solução da equação (2.12). Note que as soluções na forma

y =

π

2

+ kπ, k ∈ Z

, nãofazem parte da solução anteriormente en ontrada (2.13) pelo que são soluções singulares. Efetivamente, basta ter em

atenção que a função

tan y

, em (2.13), não está denida para

y =

π

2

+ kπ

, qualquer que seja

k ∈ Z

. Assim,a soluçãodaequação diferen ialdada (2.12)é onstituída pelafamíliade funções

tan y =

x

2

2

+ C, C ∈ R,

e

y =

π

2

+ kπ, k ∈ Z

(ver Figura 2.3).

C = 0

C = 1

C = −1

C = −2

C = 0

C = 1

C = −1

C = −2

C = 0

C = 1

C = −1

C = −2

x

y

Figura2.3: Representaçãográ adealgumassoluções,in luindosoluçõessingulares,daequação

separáveis

Umaequação diferen ialna forma

y

′

= f (ax + by + c),

om

a, b, c ∈ R,

tais que

a, b 6= 0 ,

(2.14) pode ser reduzida a uma equação diferen ial de variáveis separáveis através de uma mudança

de variável onveniente. De fa to, onsiderando

z = ax + by + c

, sendo

z

função de

x

, i.e.,

z = z(x)

,tem-se

z

′

_{= a + by}

′

_{= a + bf (z)}

. Assim,(2.14)podeserreduzidaàequaçãodevariáveis

separáveis

dz = (a + bf (z))dx.

(2.15)

Tendo determinadoo integralgeraldestaúltima, esubstituindonesse integral

z

por

ax + by + c

obtém-se ointegral geralde (2.14).

Exemplo 2.4.1 (Resolução de uma equação diferen ial redutívela variáveis separáveis)

Considere a equação diferen ial

y

′

= tan

2

_{(x + y − 6) ,}

(2.16)

a qual está es rita na forma (2.14) om

f (z) = tan

2

_(z)

,

a = b = 1

e

c = −6

. Para resolvê-la efetua-se a substituição

z = x + y − 6,

(2.17)

tomando

z

omo uma função de

x

,

z = z(x)

. Nesse aso,

z

′

= 1 + y

′

e, por (2.16) e (2.17),

z

′

= 1 + tan

2

(z) ,

que é umaequação devariáveis separáveis om variávelindependente

x

evariável dependente

z

. Para a resolução desta equação, usa-se o pro edimento des rito na Se ção 2.3. Ora,

z

′

= 1 + tan

2

_{(z) ⇔ dz = (1 + tan}

2

_{(z))dx ⇔}

⇔

_{1 + tan}

dz

2

_(z)

= dx (

note-se que

1 + tan

2

_{(z) 6= 0 ∀z) ⇔}

⇔ cos

2

(z)dz = dx ⇔

Z

cos

2

(z)dz =

Z

dx ⇔

Z 1 + cos(2z)

₂

dz =

Z

dx ⇔

⇔

1

₂



z +

sin(2z)

2



= x + C,

_{C ∈ R .}

Lembrandoque, de(2.17),

z = x+y −6

,daúltimaigualdadeobtém-seointegral geral daequação diferen ial (2.16), ou seja,

1

2



x + y − 6 +

sin(2(x + y − 6))

₂



= x + C,

_{C ∈ R.}

Simpli ando,tem-se

2(x − y) − sin(2(x + y − 6)) = C

∗

,

C

∗

_{∈ R,}

om

C

∗

:= −4C − 12

(verique).

Diz-se que uma função

f : R ⊂ R

2

_{−→ R}

é homogénea, om grau de homogeneidade igual a

α

,

α ∈ R

,se,paratodo

(x, y) ∈ R

etodo

t 6= 0

,talque

(tx, ty) ∈ R

,setem

f (tx, ty) = t

α

_{f (x, y)}

.

Exemplo 2.5.1(Função homogénea de grau 0) A função

f (x, y) =

x+2y

3x−y

é uma função homogénea de grau 0 uma vez que para todo

t 6= 0

, se tem

f (tx, ty) =

tx + 2ty

3tx − ty

=

t(x + 2y)

t(3x − y)

=

x + 2y

3x − y

= t

0

_{f (x, y) = f (x, y).}

Exemplo 2.5.2(Função homogénea de grau 1) A função

ϕ(x, y) =

2x

2

_+y

2

x−2y

é uma função homogénea de grau 1. Defa to, para todo

t 6= 0

, setem

f (tx, ty) =

2(tx)

2

_{+ (ty)}

2

tx − 2ty

=

t

2

(2x

2

+ y

2

)

t(x − 2y)

=

t(2x

2

+ y

2

)

(x − 2y)

= tf (x, y).

Umaequação diferen ialna forma

y

′

= ϕ

 y

x



,

(2.18)

onde

ϕ

é umafunção real devariável real,ou naforma

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ,

(2.19)

onde

M

e

N

sãofunçõeshomogéneas omomesmograudehomogeneidade,é hamadaequação diferen ial homogénea.

Nota. A equação (2.19) podeser semprerees ritana forma(2.18).

Pararesolverumaequaçãodiferen ialhomogénea efetua-seamudança devariável

y = ux,

onde

u = u(x)

é umafunçãodes onhe ida. Nesse aso,

y

′

_{= u}

′

_{x + u}

e,portanto,

dy = (u

′

_{x + u)dx}

. A

mudança de variável proposta transforma a equação diferen ial homogénea ini ial, om função

des onhe ida

y

, numa equação diferen ial de variáveis separáveis, om função des onhe ida

u

. Resolvendo esta última e substituindo

u

por

y/x

na solução obtida, resulta o integral geral da equação diferen ialhomogénea.

Exemplo 2.5.3(Resolução de uma equação diferen ial homogénea) Considere a

equa-ção diferen ial

(y

2

_{− 2xy)dx − xydy = 0 .}

(2.20)

Comparando-a om (2.19), tome-se

M (x, y) = y

2

_{− 2xy}

e

N (x, y) = −xy

. Para todo o

t > 0

, observa-se que

M (tx, ty) = (ty)

2

_{− 2txty = t}

2

y

2

_{− 2t}

2

xy = t

2

M (x, y)

e

Logo,

M

e

N

são duas funções homogéneas, om grau de homogeneidade

α = 2

. A equação (2.20) é então uma equação diferen ial homogénea. Para resolvê-la onsidera-se a substituição

y = ux

, om

u = u(x)

. Assim,

y

′

_{= u}

′

_{x + u}

e

dy = (u

′

_{x + u)dx}

. Substituindo, em (2.20),

y

e

dy

pelas respetivas expressões emtermos de

u

, vem

((ux)

2

_{− 2ux}

2

_{)dx − ux}

2

(u

′

x + u)dx = 0,

ou, demodoequivalente,

−(2 + u

′

x)ux

2

dx = 0.

(2.21)

Se

u 6= 0

e

x 6= 0

, (2.21) é equivalente à equação diferen ial

2 + u

′

x = 0.

Resolvendo esta última,obtém-se

2 + u

′

_{x = 0 ⇔ xdu = −2dx ⇔ du = −2}

1

x

dx ⇔

Z

du = −2

Z

1

x

dx ⇔

⇔ u = −2 ln |x| + C .

Logo,

y = ux = −2x ln |x| + Cx ,

C ∈ R.

(2.22) Se

y = 0

ou

x = 0

, a equação diferen ial (2.20) transforma-se numa identidade,pelo que

y = 0

e

x = 0

são também soluções desta equação, sendo que ambas não perten em ao onjunto das soluções denidas por (2.22). Assim,a solução de(2.20) é

y = −2x ln |x| + Cx, C ∈ R,

y = 0

e

x = 0 ,

(ver Figura 2.4).

C = 0

C = 1

C = −1

C = 2

x

y