FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICAINVESTIGAÇÃO NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DO
ESCOAMENTO GRANULAR E DOS FENÔMENOS DE
SEGREGAÇÃO RADIAL E AXIAL EM TAMBOR ROTATÓRIO
Rodolfo Junqueira Brandão
Uberlândia – MG 2019
FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICAINVESTIGAÇÃO NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DO
ESCOAMENTO GRANULAR E DOS FENÔMENOS DE
SEGREGAÇÃO RADIAL E AXIAL EM TAMBOR ROTATÓRIO
Rodolfo Junqueira Brandão Orientadores:
Marcos Antonio de Souza Barrozo Claudio Roberto Duarte
Tese de doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química da Universidade Federal de Uberlândia como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Engenharia Química.
Uberlândia – MG 2019
Av. João Naves de Ávila, 2121, Bloco 1K, Sala 206 - Bairro Santa Mônica, Uberlândia-MG, CEP 38400-902 Telefone: (34)3239-4249 - www.ppgeq.feq.ufu.br - secppgeq@feq.ufu.br
ATA DE DEFESA - PÓS-GRADUAÇÃO Programa de
Pós-Graduação em: Engenharia Química
Defesa de: Tese de Doutorado, 16/2019, PPGEQ
Data: 16 de Dezembro de 2019 Hora de início: 08:30 Hora de
encerramento: 10:40 Matrícula do
Discente: 11723EQU006
Nome do Discente: Rodolfo Junqueira Brandão
Título do Trabalho: InvesBgação numérica e experimental do escoamento granular e dos fenômenos de segregação radial e axial em tambor rotatório
Área de
concentração: Desenvolvimento de processos químicos Linha de pesquisa: Processos de Separação
Projeto de Pesquisa
de vinculação: Estudo experimental e numérico da dinâmica de parGculas em um tambor rotatório Reuniu-se na sala 1K228, Campus Santa Mônica, da Universidade Federal de Uberlândia, a Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pós-graduação em Engenharia Química, assim composta: Professores Doutores: Ricardo de Andrade Medronho - DEQ/UFRJ; Dyrney Araújo dos Santos - IQ/UFG; Ubirajara CouBnho Filho - PPGEQ/UFU; Carlos Henrique Ataíde - PPGEQ/UFU, Claudio Roberto Duarte PPGEQ/UFU, coorientador e Marcos Antonio de Souza Barrozo -PPGEQ/UFU orientador do candidato. Ressalta-se que o Prof. Dr. Ricardo de Andrade Medronho parBcipou da defesa por meio de videoconferência desde a cidade do Rio de Janeiro/RJ e o Prof. Dr. Dyrney Araújo dos Santos desde a cidade de Goiânia/GO. Os demais membros da banca e o aluno parBciparam in loco.
Iniciando os trabalhos o presidente da mesa, Prof. Dr. Marcos Antonio de Souza Barrozo, apresentou a Comissão Examinadora e o candidato, agradeceu a presença do público, e concedeu ao Discente a palavra para a exposição do seu trabalho. A duração da apresentação do Discente e o tempo de arguição e resposta foram conforme as normas do Programa.
A seguir o senhor(a) presidente concedeu a palavra, pela ordem sucessivamente, aos(às) examinadores(as), que passaram a arguir o(a) candidato(a). UlBmada a arguição, que se desenvolveu dentro dos termos regimentais, a Banca, em sessão secreta, atribuiu o resultado final, considerando o(a) candidato(a):
Aprovado.
Esta defesa faz parte dos requisitos necessários à obtenção do Gtulo de Doutor.
O competente diploma será expedido após cumprimento dos demais requisitos, conforme as normas do Programa, a legislação perBnente e a regulamentação interna da UFU.
Nada mais havendo a tratar foram encerrados os trabalhos. Foi lavrada a presente ata que após lida e achada conforme foi assinada pela Banca Examinadora.
6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.
Documento assinado eletronicamente por Carlos Henrique Ataide, Professor(a) do Magistério Superior, em 16/12/2019, às 10:46, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.
Documento assinado eletronicamente por Ubirajara Cou.nho Filho, Presidente, em 16/12/2019, às 10:53, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.
Documento assinado eletronicamente por Marcos Antonio de Souza Barrozo, Professor(a) do Magistério Superior, em 16/12/2019, às 10:54, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.
Documento assinado eletronicamente por Dyrney Araújo dos Santos, Usuário Externo, em 16/12/2019, às 10:54, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do
Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.
Documento assinado eletronicamente por RICARDO DE ANDRADE MEDRONHO, Usuário Externo, em 16/12/2019, às 10:54, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.
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Dedico à minha mãe Eliana, ao meu pai Aguinaldo, à minha namorada Thais, aos meus orientadores e amigos que acompanharam esta jornada.
“Todas as vitórias ocultam uma abdicação” Simone de Beauvoir
Agradeço primeiramente a Deus pela força nos momentos difíceis e por ter me concedido a oportunidade de desenvolver este trabalho.
Aos meus pais, Aguinaldo e Eliana, pelo amor e pela paciência, pessoas que sempre incentivaram os estudos em minha vida e a quem sou eternamente grato.
À minha namorada Thais Logetto pelo carinho, compreensão, incentivo e paciência, por ser uma companheira que acredita nos meus sonhos e me apoia em cada decisão tomada.
Aos meus amigos do laboratório, Rondinelli, Jeniffer, Suellen, Marcela, Angélica, Priscilla, Geraldo, Neiton, Marielle, Marcio, Lidja, Gregori, Raissa, Janaína, Natália, Argileu, Grazielle, Raphael, Carlos, Larissa, Glaucia e o Massarani, pelos agradáveis momentos de convivência e incentivo.
Aos alunos de iniciação científica, Patrik e Iury que em diversos momentos me auxiliaram neste trabalho.
Aos meus amigos Felipe Freire, Igor Santos, Eduardo Virgili, Ismael Melo, Mattheus Matos, Edson Bento e Rogério Brito, que mesmo distantes, sempre me apoiaram e estiveram ao meu lado.
A todos os professores e colegas do PPGEQ/UFU pelo convívio e aprendizado. Um agradecimento especial aos meus orientadores e amigos, Prof. Marcos Barrozo e Prof. Cláudio Duarte. A vocês agradeço pela oportunidade de desenvolver este trabalho, pela confiança em mim depositada e pelos diversos ensinamentos transmitidos durante este tempo, que tanto contribuíram para minha formação pessoal e profissional.
Enfim, a todos amigos que estão longe ou perto que passaram, chegaram, e continuam na minha vida e acompanharam mais essa etapa da minha vida, serei eternamente grato a cada um de vocês!
LISTA DE FIGURAS ... i LISTA DE TABELAS ... iv LISTA DE SÍMBOLOS ... i RESUMO ... i ABSTRACT ... ii Capítulo 1 INTRODUÇÃO ... 1
Capítulo 2 PARÂMETROS DEM ... 3
2.1.Introdução ... 3
2.2.Revisão bibliográfica ... 4
Coeficiente de restituição ... 6
Coeficiente de atrito estático ... 10
Coeficiente de atrito de rolamento ... 13
Ângulo de repouso estático ... 15
2.3.Materiais e métodos ... 20
Coeficiente de restituição ... 21
Coeficiente de atrito estático ... 22
Coeficiente de atrito de rolamento ... 24
Ângulo de repouso estático ... 25
2.4.Resultados e discussão ... 28
Coeficiente de restituição ... 28
Coeficiente de atrito estático ... 33
Coeficiente de atrito de rolamento ... 36
Ângulo de repouso estático ... 39
2.5.Conclusão ... 43
Capítulo 3 REGIMES DE ESCOAMENTO ... 44
3.1.Introdução ... 44 3.2.Revisão bibliográfica ... 45 Regimes de escoamento ... 45 3.3.Materiais e métodos ... 54 Investigação experimental ... 54 Investigação numérica ... 56 3.4.Resultados e discussão ... 58
Investigação numérica ... 67
3.5.Conclusão ... 74
Capítulo 4 DIFUSIVIDADE GRANULAR ... 75
4.1.Introdução ... 75 4.2.Revisão bibliográfica ... 76 Difusão granular ... 76 Traçadores ... 77 4.3.Materiais e métodos ... 79 4.4.Resultados e discussão ... 82 4.5.Conclusão ... 87
Capítulo 5 SEGREGAÇÃO GRANULAR ... 88
5.1.Introdução ... 88
5.2.Revisão bibliográfica ... 89
Índice de Segregação ... 90
Fenômeno de segregação em tambores rotatórios ... 93
5.3.Materiais e métodos ... 95 Índice de Segregação ... 95 5.4.Resultados e discussão ... 101 Efeito da densidade ... 101 Efeito do tamanho ... 107 Efeito combinado ... 113 Disposição inicial ... 119 5.5.Conclusão ... 122 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 123 APÊNDICE ... 136
LISTA DE FIGURAS
Figura 2-1: (A) Colisão Perfeitamente inelástica; (B) Colisão perfeitamente elástica
(Adaptado de DIAS e BARROSO, 2006). ... 7
Figura 2-2: Impacto oblíquo de uma partícula (Adaptado de DIAS e BARROSO, 2006). ... 7
Figura 2-3: Esquema de plano inclinado (Adaptado de BLAU, 2001). ... 11
Figura 2-4: Dispositivo tipo "Trenó" (Adaptado de LUIZ, 2013). ... 12
Figura 2-5: Balanço de forças durante o rolamento. ... 13
Figura 2-6: Metodologias para determinação de ângulo de repouso ... 16
Figura 2-7: Avaliação do ângulo de repouso utilizando o método dos elementos discretos. (Adaptado de AL-HASHEMI e AL-AMOUDI, 2018). ... 18
Figura 2-8: Materiais granulares: (a) Soja; (b) Vidro; (c) Poliacetal; (d) Aço 6; (e) Aço 4. ... 20
Figura 2-9:Aparato experimental para a determinação do coeficiente de restituição. ... 21
Figura 2-10: Aparato experimental para determinação do coeficiente de atrito estático 23 Figura 2-11: Aparato experimental para determinação do coeficiente de atrito de rolamento. ... 24
Figura 2-12: Aparato experimental para determinação do ângulo de repouso estático. ... 25
Figura 2-13: Medida experimental do ângulo de repouso estático. ... 26
Figura 2-14: Coeficiente de restituição do Aço 4 (a); Vidro (b); Aço 6 (c) e do Poliacetal (d). . 28
Figura 2-15: Influência do material granular sobre o coeficiente de restituição em diferentes superfícies. ... 30
Figura 2-16: Comparação entre restituição experimental com o modelo proposto por Zener (1941). ... 32
Figura 2-17: Influência da rugosidade sobre o coeficiente de atrito estático. ... 33
Figura 2-18: Influência da rugosidade sobre o coeficiente de atrito de rolamento. ... 37
Figura 2-19: Representação esquemática do efeito do módulo de Young e da rugosidade relativa sobre o atrito de rolamento. ... 37
Figura 2-20: Ângulos de repouso estáticos medidos experimentalmente: (a) Aço 4; (b) Vidro; (c) Aço 6; (d) Poliacetal; (e) Soja ... 39
Figura 2-21: Procedimento de calibração de parâmetros DEM. ... 42
Figura 3-2: Obtenção do ângulo do segmento circular e do ângulo de repouso dinâmico.
... 48
Figura 3-3: Diagramas de comportamento granular no interior de tambores rotatórios 49 Figura 3-4: Regiões ativa e passiva do leito granular em um tambor rotatório operando em regime de rolamento. ... 51
Figura 3-5: Geometrias geradas a partir do planejamento 32. ... 54
Figura 3-6: Representação esquemática do tambor rotatório. ... 55
Figura 3-7: Medição do ângulo de repouso dinâmico. ... 56
Figura 3-8: Avaliação qualitativa do comprimento e velocidade do tambor na dinâmica no escoamento granular de partículas de poliacetal ... 58
Figura 3-9: Avaliação quantitativa do comprimento do tambor na dinâmica granular. . 59
Figura 3-10: Avaliação qualitativa do diâmetro e velocidade do tambor na dinâmica do escoamento granular de partículas de poliacetal ... 60
Figura 3-11: Avaliação quantitativa do diâmetro do tambor na dinâmica granular. ... 61
Figura 3-12: Comparação entre velocidades críticas de centrifugação obtidas experimentalmente com a relação proposta por Rose e Sullivan (1957). ... 64
Figura 3-13: Avaliação qualitativa da densidade da partícula na dinâmica granular ... 65
Figura 3-14: Avaliação qualitativa do tamanho da partícula na dinâmica granular. ... 66
Figura 3-15: Comparação qualitativa da dinâmica granular experimental e numérica .. 67
Figura 3-16: Perfil de velocidade média de todas as partículas em função da velocidade de rotação: verificação numérica. ... 70
Figura 3-17: Perfil de velocidade média de todas as partículas em função da velocidade de rotação: PCC. ... 72
Figura 4-1: Representação das partículas formadoras do leito granular (P1) e das partículas traçadoras (P2). ... 80
Figura 4-2: Distribuição de frequência da difusividade ao longo do tempo. ... 82
Figura 4-3: Comportamento transiente da difusividade granular. ... 83
Figura 4-4: Comparação de magnitude da difusividade granular radial e axial. ... 86
Figura 5-1: Etapas para determinação do índice de mistura. ... 95
Figura 5-2: Gradeamento das imagens para a obtenção do índice de segregação. ... 96
Figura 5-3: Disposição inicial do leito granular. ... 97
Figura 5-5: Efeito da RD sobre o índice de segregação estacionário(a) e sobre a
constante cinética de segregação (b). ... 102
Figura 5-6: Vista transversal do leito granular – Efeito da RD. ... 103
Figura 5-7: Cinéticas de segregação para RD de 0,1, 0,5 e 0,9. ... 104
Figura 5-8: Vista isométrica do leito granular –RD = 0,3. ... 104
Figura 5-9: Avaliação transiente do perfil de concentração volumétrica axial de partículas para RD de 0,1, 0,5 e 0,9. ... 106
Figura 5-10: Segregação axial no estado estacionário para RD de 0,1, 0,5, e 0,9... 106
Figura 5-11: Efeito da RT sobre o índice de segregação estacionário e na constante cinética de segregação. ... 108
Figura 5-12: Vista transversal do leito granular – Efeito da RT ... 108
Figura 5-13: Cinéticas de segregação para RT de 0,1, 0,5 e 0,9. ... 110
Figura 5-14: Vista isométrica do leito granular – Efeito da RT. ... 110
Figura 5-15: Avaliação transiente do perfil de concentração axial para RT de 0,1, 0,5 e 0,9. ... 111
Figura 5-16: Segregação axial no estado estacionário para RT de 0,1, 0,5, e 0,9. ... 112
Figura 5-17: Influência do efeito combinado das propriedades granulares sobre as cinéticas de segregação. ... 115
Figura 5-18: Influência do efeito combinado das propriedades granulares sobre o perfil de concentração axial ao longo do tempo. ... 117
Figura 5-19: Influência do efeito combinado das propriedades granulares o perfil de concentração axial em regime permanente. ... 118
Figura 5-20: Comparação da cinética de segregação avaliando a influência da disposição granular inicial. ... 120
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1: Formulação DEM. ... 5
Tabela 2.2: Modelos semi-empíricos de coeficiente de restituição ... 9
Tabela 2.3: Classificação de fluidez granular (Ai et al., 2011b). ... 16
Tabela 2.4: Propriedades físicas dos materiais granulares. ... 20
Tabela 2.5: Espessuras das chapas de aço e vidro para a avaliação da restituição. ... 22
Tabela 2.6: Rugosidade das superfícies para avaliação do atrito estático. ... 23
Tabela 2.7: Planejamento composto central para avaliação numérica do ângulo de repouso. ... 26
Tabela 2.8: Coeficientes de restituição obtidos experimentalmente para aplicação da abordagem numérica Lagrangeana. ... 31
Tabela 2.9: Coeficientes de atrito estático mensurados experimentalmente. ... 34
Tabela 2.10: Coeficientes de atrito estático obtidos experimentalmente para aplicação da abordagem numérica Lagrangeana. ... 35
Tabela 2.11: Coeficientes de atrito de rolamento mensurados experimentalmente. ... 36
Tabela 2.12: Coeficientes de atrito estático obtidos experimentalmente para aplicação da abordagem numérica Lagrangeana. ... 38
Tabela 2.13: Avaliação quantitativa do ângulo de repouso estático... 40
Tabela 3.1: Condições de Fr, preenchimento e atrito estático para a obtenção dos regimes de escoamento granular no interior do tambor rotatório (Adaptado de Mellmann, 2001). ... 47
Tabela 3.2: Equações de velocidades críticas de centrifugação. ... 53
Tabela 3.3: Condições experimentais avaliadas na investigação dos regimes de escoamento. ... 55
Tabela 3.4: Planejamento composto central para investigação de variáveis independentes sobre o comportamento granular em tambores rotatórios. ... 57
Tabela 3.7: Efeito das dimensões do equipamento sobre a velocidade crítica de centrifugação. ... 63
Tabela 3.10: Velocidades críticas de centrifugação para diferentes materiais granulares. ... 67 Tabela 3.12: Comparação quantitativa da dinâmica granular experimental e numérica. 68
Tabela 3.13: Avaliação da velocidade crítica de centrifugação a partir das simulações
Lagrangeanas. ... 71
Tabela 4.1: Utilização de traçadores em sistemas granulares. ... 78
Tabela 4.2: Planejamento composto central: influência das propriedades granulares e de interação e da velocidade de rotação na difusividade granular. ... 79
Tabela 4.3: Parâmetros DEM aplicados às simulações Lagrangeanas. ... 81
Tabela 4.4: Influência das propriedades granulares, de interação e da velocidade de rotação sobre a difusividade radial e axial granular. ... 84
Tabela 5.1: Variáveis que influenciam na mistura granular. ... 90
Tabela 5.2: Índices de segregação. ... 91
Tabela 5.3: Avaliação da razão de densidade sobre a segregação granular utilizando partículas de diâmetro de 6 mm. ... 98
Tabela 5.4: Avaliação da razão de tamanho sobre a segregação granular utilizando partículas de densidade 2500 kg/m³. ... 98
Tabela 5.5: Níveis do planejamento composto central: efeito do tamanho e da densidade granular sobre a segregação granular. ... 99
Tabela 5.6: Avaliação da disposição inicial sobre a cinética de segregação. ... 100
Tabela 5.7: Índice de segregação – Efeito da razão de densidade. ... 101
Tabela 5.8: Índice de segregação – Efeito da razão de tamanho. ... 107
Tabela 5.9: Avaliação qualitativa do efeito combinado da densidade e tamanho granular. ... 114
Tabela 5.10: Comparação do índice de segregação estacionário avaliando a influência da disposição granular inicial. ... 120
LISTA DE SÍMBOLOS
a aceleração M0L1T-2
dij distância entre os centros de massa das partículas i e j M0L1T0
E* módulo de Young equivalente M1L-1T-2
Ec módulo de Young da chapa M1L-1T-2
Ei módulo de Young da partícula i M1L-1T-2
Ej módulo de Young da partícula j M1L-1T-2
Ep módulo de Young da partícula M1L-1T-2
ep coeficiente de restituição M0L0T0
en coeficiente normal restituição M0L0T0
et coeficiente tangencial restituição M0L0T0
epp coeficiente de restituição partícula-partícula M0L0T0
epw coeficiente de restituição partícula-parede M0L0T0
f grau de preenchimento M0L0T0
F força M1L1T-2
Fd
t,max força tangencial máxima de amortecimento M1L1T-2
Ff força de atrito M1L1T-2
FP força peso M1L1T-2
Fij força entre a partícula i e j M1L1T-2
Fn força normal M1L1T-2
Fnd força normal de amortecimento M1L1T-2
Fr número de froude M0L0T0
𝐹𝑖𝑗𝑁 força normal M1L1T-2
𝐹𝑖𝑗𝑇 força tangencial M1L1T-2
g gravidade M0L1T-2
G* módulo de cisalhamento equivalente M1L-1T-2
Gi módulo de cisalhamento da partícula i M1L-1T-2
Gj módulo de cisalhamento da partícula j M1L-1T-2
h altura M0L1T0
h2 altura de ricochete M0L1T0
Ii momento de inercia da partícula i M1L2T0
kn rigidez normal do modelo linear M1L0T-2
ksf troca de momento entre as fases sólida e fluida M1L0T-1
kt rigidez tangencial do modelo linear M1L0T-2
Ii momento de inercia da partícula i M1L2T0
L espessura da chapa M0L1T0 M índice de mistura M0L0T0 m massa M1L0T0 m* massa equivalente M1L0T0 mi massa da partícula i M1L0T0 mi massa da partícula i M1L0T0 mj massa da partícula j M1L0T0 P pressão M1L-1T-2 Ps pressão de sólidos M1L-1T-2 r raio da partícula M0L1T0 R raio do tambor M0L1T0 R* raio equivalente M0L1T0 ri raio da partícula i M0L1T0 rj raio da partícula j M0L1T0
s vetor unitário tangencial M0L0T0
Sn rigidez normal do modelo não linear M1L0T-2
St rigidez tangencial do modelo não linear M1L0T-2
t tempo M0L0T1
T tensor tensão M1L-1T-2
𝑇̿𝑓 tensor tensão da fase fluída M1L-1T-2
𝑇̿𝑠 tensor tensão da fase sólida M1L-1T-2
TR tempo critico de integração M0L0T1
v velocidade da partícula M0L1T-1
V velocidade característica M0L1T-1
V0 velocidade inicial M0L1T-1
V1 velocidade final M0L1T-1
𝑣𝑟𝑒𝑙𝑁 velocidade relativa normal M0L1T-1
𝑣𝑟𝑒𝑙𝑇 velocidade relativa tangencial M0L1T-1
s
v vetor velocidade da fase sólida M0L1T-1
f
v vetor velocidade da fase fluida M0L1T-1
vi velocidade linear da partícula i M0L1T-1
Vi velocidade de impacto M0L1T-1
vR velocidade de onda de Rayleigh M0L1T-1
Vr velocidade de ricochete M0L1T-1
vx velocidade linear direção x M0L1T-1
vy velocidade linear direção y M0L1T-1
vz velocidade linear direção z M0L1T-1
xj posição da partícula j M0L1T0
símbolos gregos
α ângulo de inclinação do plano M0L0T0
αf fração volumétrica da fase fluida M0L0T0
αi ângulo de impacto M0L0T0
αr ângulo de rechaço M0L0T0
αs fração volumétrica da fase sólida M0L0T0
β coeficiente de amortecimento M1L0T-1
ε metade do ângulo do segmento circular ocupado com sólidos M0L0T0
γ razão entre diâmetro da partícula com espessura da chapa M0L0T0
γn coeficiente normal de amortecimento M0L0T0
γt coeficiente tangencial de amortecimento M0L0T0
δn deformação viscoelástica normal M0L1T0
δt deformação viscoelástica tangencial M0L1T0
𝛿̇𝑛 velocidade de deformação viscoelástica normal M1L0T-1 𝛿̇𝑡 velocidade de deformação viscoelástica tangencial M1L0T-1
Θ ângulo de atrito estático M0L0T0
θD ângulo de repouso dinâmico M0L0T0
θi posição angular de partícula i M0L0T0
θL ângulo de repouso inferior M0L0T0
λn coeficiente de amortecimento normal M1L0T-1
λt coeficiente de amortecimento tangencial M1L0T-1
µ coeficiente de atrito M0L0T0
µk coeficiente de atrito cinético M0L0T0
μr coeficiente de atrito de rolamento M0L0T0
μrpp coeficiente de atrito de rolamento partícula-partícula M0L0T0
μRpw coeficiente de atrito de rolamento partícula-parede M0L0T0
μs coeficiente de atrito estático M0L0T0
μspp coeficiente de atrito estático partícula-partícula M0L0T0
μspw coeficiente de atrito estático partícula-parede M0L0T0
ρc densidade da chapa M1L-3T0
ρf densidade da fase fluída M1L-3T0
ρs densidade da fase sólida M1L-3T0
σ desvio padrão da composição da mistura M0L0T0
σ0 desvio padrão inicial da composição da mistura M0L0T0
σ02 variância inicial da composição da mistura M0L0T0
σ2 variância da composição da mistura M0L0T0
σp razão de Poisson M0L0T0
σr desvio padrão final da composição da mistura M0L0T0
σr2 variância final da composição da mistura M0L0T0
τij torque entre a partícula i e j M1L2T-2
Ω velocidade angular de rotação do tambor M0L0T-1
ωc velocidade angular crítica de rotação do tambor M0L0T-1
RESUMO
A compreensão acerca do comportamento de escoamentos granulares e da dinâmica de partículas é de fundamental importância no que diz respeito à concepção de projetos e otimização de equipamentos industriais. Dentre eles, os tambores rotatórios têm ganhado destaque devido à sua geometria relativamente simples, que consiste em uma estrutura cilíndrica horizontal que gira em torno do próprio eixo. Entretanto, a segregação de partículas tem se tornado um dos recorrentes problemas na utilização deste equipamento, podendo afetar negativamente a eficiência do processo de mistura. Neste contexto, o presente trabalho teve como objetivo estudar o fenômeno de segregação de partículas em um tambor rotatório por meio de técnicas numéricas e experimentais. No estudo numérico, foi utilizada a abordagem Lagrangeana, na qual cada partícula é acompanhada, individualmente, com a consequente aplicação do balanço de forças, levando em consideração as interações com as demais partículas através de leis de contato. Experimentalmente, foram mensurados os coeficientes de restituição, atrito estático e atrito de rolamento, baseado nas normas da ASTM G194-08, além da determinação do ângulo de repouso estático e da velocidade crítica de centrifugação, avaliando o efeito das variáveis de projeto do equipamento e das propriedades físicas granulares. Quanto à abordagem Lagrangeana, realizou-se a utilização dos parâmetros DEM obtidos experimentalmente para quantificação da difusividade granular e da cinética de segregação no interior do tambor rotatório, avaliando a influência das propriedades físicas granulares como diâmetro e densidade. Para isto, foram empregadas razões de tamanho e densidade variando de 0,1 a 1,0, com o tambor operando nas velocidades de rotação de 1,0 rad/s e grau de preenchimento de 25%. Tanto as diferenças de diâmetro quanto as diferenças de densidade promoveram o fenômeno de segregação nas direções radial e axial. Uma análise mais aprofundada foi realizada em relação à constante cinética de segregação e o índice de segregação estacionário, para os quais foi avaliado a influência das propriedades granulares. Ao comparar as imagens do leito granular no estudo dos regimes de escoamento obtidas experimentalmente com as geradas pelo resolvedor numérico, foi observada a similaridade entre as mesmas, permitindo afirmar que a ferramenta numérica se mostrou promissora na análise do fenômeno.
Palavras-chave: Tambor rotatório, abordagem Lagrangeana, segregação de partículas, dinâmica de partículas, simulação numérica.
ABSTRACT
Understanding the behavior of granular flows and particle dynamics is of fundamental importance with regard to project design and optimization of industrial equipment. Among them, the rotating drums have gained prominence due to their relatively simple geometry, which consists of a horizontal cylindrical structure that rotates around the axis itself. However, particle segregation has become one of the recurring problems in the use of this equipment, which may negatively affect the efficiency of the mixing process. In this context, the present work aimed to study the phenomenon of particle segregation in a rotating drum by numerical and experimental techniques. In the numerical study, the Lagrangian approach was used, in which each particle is accompanied individually, with the consequent application of the balance of forces, taking into account the interactions with the other particles through contact laws. Experimentally, the coefficients of restitution, static friction and rolling friction were measured, based on ASTM G194-08 norms, as well as the determination of the static angle of repose and the critical speed of centrifugation, evaluating the effect of equipment design variables and of granular physical properties. As for the Lagrangian approach, the experimentally obtained DEM parameters were used to quantify the granular diffusivity and segregation kinetics inside the rotating drum, evaluating the influence of granular physical properties such as diameter and density. For this, size and density ratios ranging from 0.1 to 1.0 were employed, with the drum operating at rotational speeds of 1.0 rad / s and 25% fill degree. Both diameter differences and density differences promoted the phenomenon of segregation in the radial and axial directions. Further analysis was performed in relation to the segregation kinetic constant and the stationary segregation index, for which the influence of granular properties was evaluated. When comparing the granular bed images in the study of the experimentally obtained flow regimes with those generated by the numerical resolver, the similarity between them was observed, allowing to affirm that the numerical tool was promising in the analysis of the phenomenon
Keywords: Rotary drum, Lagrangian approach, particle segregation, particle dynamics, numerical simulation.
1
INTRODUÇÃO
Os tambores rotatórios são largamente utilizados em diversos processos industriais devido à sua versatilidade, que permite a operação de materiais granulares com diferentes propriedades físicas. Além disso, estes equipamentos possibilitam elevadas taxas de transferência de calor, massa e quantidade de movimento, sendo aplicados em diversas operações, como na secagem, calcinação, moagem, granulação, dentre outros.
Um dos motivos da utilização de tambores rotatórios em operações industriais está associado à sua geometria relativamente simples, que consiste em uma estrutura cilíndrica horizontal que gira em torno do seu próprio eixo. Apesar das amplas aplicações com materiais particulados na indústria, o conhecimento sobre a dinâmica e segregação de partículas sólidas o interior deste equipamento ainda encontra-se como oportunidade de aprofundamento cientifico (ALCHIKH-SULAIMAN et al., 2016).
Dentre as problemáticas recorrentes apresentadas na utilização do tambor rotatório, pode-se destacar a segregação ou ineficiência de mistura granular que ocorre em processos em que há a necessidade de utilização de partículas de diferentes tamanhos e densidades (KUO et al., 2005; PIRKER et al., 2010; SANTOS et al., 2013), promovendo uma redução da eficiência e da qualidade do produto final. Essa diminuição de eficiência é atribuída à redução do número de colisões entre as partículas e à migração para regiões preferenciais (ALIAN et al., 2015; CHO et al., 2012; GRAJALES et al., 2012; LOMMEN et al., 2014).
A modelagem e a simulação numérica de tambores rotatórios ainda são, juntamente com os trabalhos experimentais, um grande desafio devido à complexa dinâmica granular no interior do equipamento. No entanto, como uma ferramenta complementar, as simulações numéricas surgem como um auxílio à compreensão do escoamento dos materiais granulares, superando as limitações impostas por questões de segurança de operação e de custo na confecção de plantas piloto, além de possibilitar, com maior nível de detalhamento, a visualização de fenômenos que ocorrem em nível granular, como o fenômeno de segregação.
Em princípio, a modelagem numérica para tratar este tipo de problema pode ser abordada de duas diferentes formas, a Euleriana e a Lagrangeana. Na primeira abordagem, a fase particulada é tratada como continua sendo o conceito de fração de volume aplicado à cada uma das fases presentes. Neste caso, um conjunto de equações diferenciais parciais de conservação de massa, energia e momentum para cada uma das fases presentes. Na segunda
2 abordagem, as partículas individuais ou grupos representativos de partículas são rastreados por meio da aplicação de um balanço de forças na posição real da partícula ou grupos de partículas (ALCHIKH-SULAIMAN et al., 2016; ZHENG e YU, 2015).
Para aprofundar no conhecimento da fluidodinâmica neste equipamento torna-se necessário o estudo experimental e numérico da dinâmica de partículas no interior de tambores rotatórios e do fenômeno de segregação. Neste contexto, as simulações numéricas foram realizadas através da aplicação da abordagem Lagrangeana, mensurando experimentalmente os parâmetros inerentes à abordagem, com posterior verificação, recorrendo aos dados experimentais. Nesta tese isso foi realizado utilizando o software livre LIGGGHTS para o estudo numérico, que foram comparados com os resultados obtidos experimentalmente no Laboratório de Sistemas Particulados (LSP) do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química da Universidade Federal de Uberlândia (PPGEQ-UFU), permitindo assim, a determinação de parâmetros físicos, como os coeficientes de atrito estático, rolamento e restituição.
OBJETIVO GERAL
Este trabalho tem como objetivo geral estudar, experimentalmente e por meio de técnicas numéricas, a dinâmica de partículas e o fenômeno de segregação no interior de tambores rotatórios.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Investigar experimental e numericamente os coeficientes de restituição, de atrito estático e de atrito de rolamento;
• Verificar a influência das propriedades físicas granulares, tamanho e densidade, bem como das características geométricas do tambor como diâmetro e comprimento sobre a dinâmica de partículas;
• Investigar a difusividade granular, as variáveis que a influenciam e seus efeitos sobre o fenômeno de segregação;
• Avaliar o efeito da variação das condições operacionais e das propriedades granulares sobre o fenômeno de segregação radial e axial.
3
PARÂMETROS DEM
2.1. Introdução
Nos últimos anos, o método dos elementos discretos (DEM) tem sido amplamente utilizado para descrever o fluxo granular em diversas aplicações, tais como: escoamento em tambores rotatórios (Cunha et al., 2016; Kumar et al., 2015; Pezo et al., 2016; Santos et al., 2016), processos de mistura e segregação (Alchikh-Sulaiman et al., 2016; Liu, Yang e Yu, 2012; Remy, 2010; Xu et al., 2010), processos farmacêuticos (Freireich et al., 2015; Toschkoff et al., 2013), dentre outras.
Na abordagem DEM, as interações entre partículas e entre as partículas e as superfícies são modeladas com o intuito de prever o comportamento do leito granular no interior de diversos equipamentos. A viabilidade da aplicação do DEM depende da qualidade do modelo de contato escolhido, bem como dos respectivos parâmetros de entrada. Os parâmetros de entrada estão relacionados às propriedades de partículas e às propriedades de interação entre elas. Medições confiáveis desses parâmetros ainda são um desafio. De acordo com Cunha et al. (2016), uma abordagem comumente usada na literatura seria escolher os parâmetros de entrada do DEM, calibrando o modelo em relação às medições experimentais, ou seja, os resultados numéricos são confrontados com as observações experimentais até que haja uma correspondência entre elas. No entanto, essas calibrações podem apresentar como resultado parâmetros obtidos com ausência de significados físicos (AI et al., 2011a). A abordagem de calibração é mais usual na escolha dos parâmetros de entrada do DEM devido às dificuldades associadas às suas medidas diretas (GONZÁLEZ-MONTELLANO et al., 2011), principalmente devido à falta de procedimentos confiáveis para representar o parâmetro real. Assim, é necessário o estudo de metodologias para medir experimentalmente e também analisar numericamente os parâmetros de entrada do DEM, como os coeficientes de restituição, de atrito estático e de rolamento.
4 2.2. Revisão bibliográfica
Na abordagem DEM, todas as trajetórias das partículas são rastreadas e uma integração temporal é aplicada em cada uma delas usando a segunda lei de Newton, levando em consideração as interações partícula-partícula e partícula-parede. A segunda lei de Newton fornece o movimento da partícula como resultado das forças que atuam sobre ela (Equações 2.1 e 2.2). Esta lei pode ser também avaliada para encontrar as forças de contato que promoverão o deslocamento granular (SANTOS et al., 2016).
(
ij ij)
i i n t i j dv m F F m g dt =
+ + (2.1) ( ij) i i i t rij j d I R F dt =
+ (2.2)sendo mi, vi, Ii,
i e Ri a massa, a velocidade linear, o momento de inércia, a velocidadeangular e o raio da partícula
i
, respectivamente, enquanto ij nF , ij
t
F e são as forças rij normais e tangenciais e o torque entre as partículas
i
e j.Em geral, os modelos DEM são classificados em duas categorias: modelos de esfera rígida e modelos de esfera macia. Em simulações usando a abordagem de esfera rígida, as colisões são consideradas binárias e instantâneas. Essas suposições são válidas para sistemas de baixa concentração granular. Já os modelos de esferas macias, também chamados de modelo não-linear de Hertz-Mindlin, são modelos adequados para sistemas com alta concentração granular e longos períodos de contato entre as partículas (KLOSS et al., 2012). A Tabela 2.1 apresenta as equações fundamentais da formulação não-linear de Hertz-Mindlin aplicada neste estudo.
Das equações apresentadas na Tabela 1, tem-se que: é a razão de Poisson, ep é o
coeficiente de restituição,
né a sobreposição normal,
té a sobreposição tangencial, rel nv
é a velocidade normal relativa e rel t
5 Tabela 2.1: Formulação DEM.
Para aplicações em que o atrito de rolamento tem um papel importante, é possível contabilizá-lo aplicando um torque às superfícies de contato, Equação 2.14 (KLOSS et al., 2012). R n i i rij i F R − = (2.14)
sendo R o coeficiente de atrito de rolamento e
i a velocidade angular no ponto de contato.Força normal 4 * * 3 2
3
n n
F = E R (2.3)
Força normal de amortecimento 2 5 *
6
d rel
n n n
F = − S m v (2.4)
Raio equivalente de contato *
1 1 1 i j R =R +R (2.5) Massa equivalente * 1 1 1 i j m = m +m (2.6)
Modulo de Young equivalente
2 2 * 1 1 1 i j i j E E E
− − = + (2.7) Rigidez normal 2 * * n n S = E R
(2.8) Coeficiente de amortecimento 2 2 ln ln p p e e = + (2.9) Força tangencial Ft = −tSt (2.10)Força tangencial de amortecimento 2 5 *
6 d rel t t t F = − S m v (2.11) Rigidez tangencial 8 * * t n S = G R (2.12)
Modulo de cisalhamento equivalente 1* 2 i 2 j
i j G G G
− − = + (2.13)6 Coeficiente de restituição
O coeficiente de restituição (ep), é um parâmetro relacionado à energia mecânica
conservada após o choque entre partículas ou entre partículas e superfícies, podendo ser obtido pela razão entre as velocidades depois e antes do impacto, como mostrado na Equação 2.15:
sendo Vr e Vi são as velocidades de rebote e impacto respectivamente.
Para corpos de prova, submetidos a condições experimentais de queda livre, e desprezando a resistência do ar, podemos também, a partir da Equação 2.15 e da lei de conservação de energia, transcrever a equação na forma:
em que h1 e h2 são a altura inicial e altura atingida após o choque, respectivamente (WANG
et al., 2015).
O valor do coeficiente de restituição pode variar entre 0 e 1 (Figura 2-1). Em uma colisão perfeitamente inelástica (ep=0), uma partícula solta a uma altura h1, ao se chocar com
a superfície, dissipa toda a energia durante choque. Já numa colisão perfeitamente elástica (ep=1), a partícula solta a uma altura h1 se choca com a superfície e volta a sua altura inicial
(h2=h1), indicando que não houve nenhuma perda de energia. Assim, no caso de choques
naturais entre corpos ou entre corpos e superfícies, o coeficiente de restituição apresenta valores variando de 0 a 1, havendo perda parcial de energia durante o choque.
r p i V e V = (2.15) 2 1 p h e h = (2.16)
7 Figura 2-1: (A) Colisão Perfeitamente inelástica; (B) Colisão perfeitamente elástica
(Adaptado de DIAS e BARROSO, 2006).
Segundo Imre et al. (2008), toda a energia absorvida em uma deformação elástica não é completamente recuperada quando ocorre a descarga de energia. Assim, os autores sugerem uma definição para o coeficiente de restituição baseada na própria deformação elástica, na qual este parâmetro seria a razão entre a energia elástica investida durante uma carga (absorção de energia) e a recuperada durante uma descarga (liberação de energia).
Para a determinação do coeficiente de restituição, diversas metodologias são apresentadas na literatura, como a que foi proposta por Zhu et al. (2008), na qual se efetua o lançamento de partículas sobre superfícies inclinadas, sendo aplicada preferencialmente para materiais com superfícies irregulares. Há também o método da queda livre, “drop test”, no qual as partículas colidem com a superfície horizontal plana, sendo preferencialmente aplicado às partículas com elevada esfericidade. Neste caso, o coeficiente de restituição é calculado conforme a Equação 2.16.
Ao analisar partículas processadas industrialmente, as quais apresentam formas irregulares em sua grande maioria, Zhu et al. (2008) utilizaram a metodologia de colisão numa superfície inclinada (Figura 2-2). Deste modo, o vetor coeficiente de restituição e o vetor velocidade, se dividem em duas componentes: a normal e a tangencial.
8 As velocidades da partícula antes e após o impacto podem ser determinadas a partir das Equações 2.17 e 2.18, respectivamente, e os ângulos de impacto e rechaço são definidos como αi e αr respectivamente. 0 2 v = gH (2.17) 2 2 2 x y z v= v + +v v (2.18) 2 2 2 0 2 x y z p v v v v e v gH + + = = (2.19)
Labous et al. (1997) avaliaram a dependência do coeficiente de restituição com o tamanho e a massa das partículas. Os autores notaram que o aumento do tamanho das partículas promoveu o aumento deste coeficiente. Entretanto, no trabalho de Sondergaard et al. (2008), foi observada uma redução do coeficiente de restituição com o aumento da razão do diâmetro da esfera em relação à espessura da placa. Este fenômeno também foi observado por Aryaei et al. (2010), que ao medir o ep e a perda de energia durante o impacto de esferas
de diferentes tamanhos, verificaram que o aumento no tamanho da esfera levou à uma diminuição no valor do ep.
Diversos modelos de predição de coeficiente de restituição vêm sendo desenvolvidos baseados em diferentes mecanismos de dissipação de energia, elástica ou plástica, que ocorrem devido à diferença de características dos materiais envolvidos durante os choques. Johnson e Jackson (1987) aplicaram o modelo proposto por Kuwabara e Kono (1987), verificando uma boa concordância quando comparado aos resultados obtidos experimentalmente. González-Montellano et al. (2011) e Wu et al. (2003) avaliaram algumas propriedades de grãos, incluindo densidade, tamanho, módulo de Young e velocidade de impacto. Nos trabalhos, constatou-se que apenas a velocidade apresentou influência significativa sobre o coeficiente de restituição, obtendo-se assim um modelo empírico independente do diâmetro das esferas utilizadas.
A Tabela 2.2 apresenta quatro dos principais modelos semi-empíricos para o cálculo do coeficiente de restituição, embasados nos princípios da mecânica estatística e em observações experimentais, que avaliam a influência da velocidade de impacto bem como as propriedades dos materiais, como a geometria, o tamanho e a densidade.
9 Tabela 2.2: Modelos semi-empíricos de coeficiente de restituição
Autor (ep) Zener (1941)
(
(
1 0,84)
)
1 0,84 e
− = + (2.20) Kuwabara e Kono (1987) ep = −1 vi1/5 (2.21) Labous et al. (1997) 1/4 1,185 i p r v e v − = (2.22) Lu et al. (2015) exp 4 p e
= − − (2.23)O modelo proposto por Kuwabara e Kono (1987) como método de predição do coeficiente de restituição aplica o modelo de choque viscoelástico, que se baseia na teoria de Hertz.
Labous et al. (1997) propuseram em seu modelo a inclusão da dissipação de energia devido à deformação plástica durante o impacto, verificando que a dimensão da partícula não apresenta influência significativa sobre o coeficiente de restituição. Por outro lado, notou-se a influência da velocidade sobre este parâmetro.
Considerando que a energia durante o impacto é dividida entre tensões hertzianas e ondas elásticas, Zener (1941) definiu o parâmetro de inelasticidade (
), Equação 2.24, permitindo que o ep pudesse ser calculado para diferentes combinações de materiais e razõesde diâmetro de esfera e espessura da superfície.
3/5 2 2 2 1/10 2 2/5 2 (1 ) (1 ) 1 1 (1 ) 4 3 i S S S P P S S P S V E r l E E
− − − = + − (2.24)sendo: ρ a densidade, υ a razão de Poisson, E o módulo de Young, Vi a velocidade de impacto
da partícula, r o raio da partícula e l a espessura da superfície de impacto. Os subscritos p e s se referem à partícula e à superfície, respectivamente.
Lu et al. (2015) propuseram uma nova expressão para a determinação do coeficiente de restituição, entretanto, mantiveram a utilização do parâmetro de inelasticidade. Os autores concluíram que a razão diâmetro da partícula/espessura da superfície não é o único fator que influencia consideravelmente na dissipação da energia de impacto. Logo, as diferenças entre os coeficientes de restituição experimentais e teóricos foram oriundas de mecanismos dissipativos não contabilizados pelo modelo.
10 Coeficiente de atrito estático
O coeficiente de atrito estático de um corpo é definido como a força de resistência ao movimento relativo entre corpos ou entre corpos e superfícies. Esta força atua ao longo dos pontos de contato entre as duas superfícies em direção oposta ao movimento. Existem ainda outras definições, leis empíricas e teorias que são usadas para descrever os coeficientes de atrito (DUNKIN e KIM, 1996).
Um grande número de diferentes mecanismos de dissipação de energia, referente ao movimento relativo entre corpos, foi proposto, e algumas leis foram formuladas para o atrito proveniente da observação fenomenológica (HUTCHINGS, 2016). Historicamente, tais formulações foram inicialmente estabelecidas por Leonardo da Vinci, Guillaume Amontons e Charles Augustin Coulomb, sendo elas:
• 1° lei de atrito: Coeficientes de atrito estático ou de deslizamento são independentes da carga ou força normal aplicada sobre o corpo.
• 2° lei de atrito: Coeficientes de atrito estático ou de deslizamento são independentes da área de contato.
• 3° lei de atrito: Coeficiente de atrito de deslizamento independente da velocidade relativa entre corpos.
Segundo Maegawa et al. (2015), em contatos entre superfícies planas com movimento relativo entre elas, o atrito pode ser modelado como forças de deformação elástica e plástica das rugosidades presentes no material, que são responsáveis pelo contato interfacial. Para cada contato, a deformação tangencial é denominada elástica até que a força tangencial aplicada exceda o limite de resistência superficial do material, tornando-se assim uma deformação do tipo plástica.
Hutchings (2016) estudou o deslizamento entre placas de aço e alumínio polido para avaliar a influência da intensidade da força normal aplicada nas placas sobre o coeficiente de atrito. Com isso, foi verificado que o coeficiente de atrito permaneceu constante, mesmo após o aumento na ordem de 106 N na força normal, corroborando com o enunciado da 1°
lei de atrito.
Assim como realizado com a força normal, Hutchings (2016) também apresenta resultados experimentais onde foi avaliada a influência da área de contato entre superfícies de madeira e aço sobre o coeficiente de atrito. Neste caso, conforme apresentado na 2° lei
11 de atrito, variações na área de contato entre as superfícies também não promoveram mudanças significativas no coeficiente de atrito.
Diversas metodologias foram propostas e empregadas para a determinação do coeficiente de atrito estático, sendo estas agrupadas em categorias baseadas nas geometrias e no modo de contato. Um dos dispositivos mais comumente aplicados na medição do coeficiente de atrito estático utiliza o sistema de plano inclinado (Figura 2-3), que é de construção simples e de baixo custo. Este tipo de dispositivo tem como principal característica a distribuição de carga, que irá se deslocar para frente conforme ocorre o aumento do ângulo de inclinação do plano móvel (BLAU, 2001). A força de atrito estático é proporcional à força normal, como mostrado na Equação 2.25, e é definida como a força necessária para um objeto iniciar o deslizamento.
Figura 2-3: Esquema de plano inclinado (Adaptado de BLAU, 2001).
Blau (2001) afirma também que antes do movimento relativo entre o corpo de prova e o plano inclinado, a força de atrito apresenta magnitude superior à componente da força peso. Entretanto, ao aumentar o ângulo de inclinação do plano, θ, as forças paralelas ao plano horizontal atuantes no corpo de prova se igualam, Fs = FP, fazendo com que o corpo
se encontre na eminência do movimento, sendo este ponto referente à definição de atrito estático, em que o ângulo de inclinação do plano é denominado ângulo de atrito ou ângulo de repouso, o qual pode ser expresso a partir da Equação 2.25.
12 ( ) ( ) cos( ) P s F sen mg tg N mg = = = (2.25)
Alguns autores, tais como Hutchings (2016), apontam que, usualmente, valores de coeficiente de atrito estático em superfícies não lubrificadas estão na faixa de 0,10 a 2,00 e que precauções devem ser tomadas durante as medidas, tais como a limpeza da superfície a ser analisada, tipo de acabamento superficial e características vibracionais da máquina de teste.
Outra metodologia também bastante aplicada para a obtenção do coeficiente de atrito estático, é dada pelo sistema “trenó”, proposta por Leonardo da Vinci, Figura 2-4, (LUIZ, 2013). A força normal é determinada a partir da massa do corpo de prova, e a força tangencial é aplicada horizontalmente, a qual pode ser aplicada de diversas formas, por exemplo, a partir do auxílio de uma polia, sendo controlada a partir da utilização de células de carga ou com um motor de acionamento. Assim, o coeficiente de atrito, na eminencia de movimento, pode ser obtido a partir da aplicação da Equação 2.29.
Figura 2-4: Dispositivo tipo "Trenó" (Adaptado de LUIZ, 2013).
1 S S P F = F (2.26) 2 T P F =F (2.27) S T F =F (2.28) 2 2 1 1 P S P F m F m = = (2.29)
13 Coeficiente de atrito de rolamento
O atrito de rolamento é definido como a força que resiste ao movimento de uma partícula rolando em uma superfície ou sobre outras partículas (MOHAMED e GUTIERREZ, 2010), conforme apresentado na Figura 2-5. O coeficiente de atrito de rolamento é muito menor que o coeficiente de atrito estático ou de deslizamento (WEIZMAN, et al., 2013) e pode ser expresso por meio da Equação 2.30 como um parâmetro adimensional. No entanto, diferentes modelos e equações são apresentados na literatura para condições e aplicações específicas (HUTCHINGS, 2016; MOHAMED e GUTIERREZ, 2010).
Figura 2-5: Balanço de forças durante o rolamento.
R R N
F = F (2.30)
A resistência ao rolamento é chamada de atrito de rolamento e geralmente se apresenta em ordens de grandeza extremamente baixas, como para materiais de dureza elevada, em que são encontrados na literatura valores da ordem de 0,001 (ZHOU, 1999). De acordo com o autor, um sólido que rola sem escorregar num plano horizontal vai progressivamente ceder energia ao meio no qual se encontra em contato. Além da resistência do ar, verifica-se também o atrito de rolamento causado pelas deformações plásticas sofridas pela superfície e pelo material granular, e de forças de adesão, que podem surgir a depender dos materiais envolvidos no contato. Desta forma, a principal diferença entre o atrito estático
14 e o atrito de rolamento é que, quando o atrito é estático, ocorre a dissipação de energia mecânica em calor, enquanto que no atrito de rolamento é observada a presença de deformações plásticas no material (ZHOU, 1999).
Em sistemas físicos reais, a perda de energia devido ao rolamento é dada por dois tipos de mecanismos de dissipação. No primeiro mecanismo, a dissipação de energia ocorre no ponto de contato (microdeslizamento, viscoelasticidade, plasticidade, adesão superficial, etc.). Já no segundo mecanismo, os efeitos da forma promovem o aparecimento da força resistiva. A primeira dessas fontes de dissipação é de grande preocupação em uma ampla gama de aplicações de engenharia, tais como transporte rodoviário e ferroviário, transporte através de correias transportadoras e elementos de rolamento. Em um material granular, esses mecanismos podem ser significativos, no entanto, em uma situação prática, os efeitos de dissipação energética devido à forma das partículas exercem influência mais significativa sobre o atrito de rolamento.
O uso do princípio de rolamento em detrimento do deslizamento tem como finalidade a obtenção de baixos coeficientes de atrito, sendo assim amplamente aplicado em diversas situações praticas, como pode ser verificado em rodas e em mancais de rolamento (LI et al., 2016).
Segundo Balevičius et al. (2012), o comportamento de rolamento pode ser descrito por uma abordagem padrão que combina o torque de rolamento com o ângulo de rotação. Realisticamente, a dinâmica do rolamento puro de corpos deformáveis é muito complexa e não é claramente compreendida, apesar desse comportamento ter sido extensivamente estudado tanto por abordagens teóricas quanto experimentais.
Fukumoto et al., (2013) realizaram simulações de DEM para investigar os efeitos do coeficiente de rolamento no comportamento de materiais granulares. Os autores verificaram que o coeficiente de atrito de rolamento afeta o arranjo das partículas durante o empacotamento. Além disso, foi também observado que o atrito de rolamento afetou significativamente a distribuição de tensões entre as partículas, alterando a estabilidade do leito granular.
Markauskas e Kačianauskas (2006) modelaram grãos de arroz elipsoidais em uma simulação de DEM que incluiu o atrito de rolamento. A partir deste trabalho, eles provaram que, se o atrito de rolamento for ignorado ou ajustado a zero, mesmo com um elevado coeficiente de atrito estático, o modelo não pode prever corretamente o ângulo de repouso, mas produz um ângulo de repouso inferior ao medido. Além disso, observou-se que à
15 medida que os coeficientes de atrito estático e de rolamento aumentavam, o ângulo de repouso também aumentava, devido ao incremento da taxa de dissipação da energia cinética e às modificações na distribuição das tensões intergranulares (ZHU e YU, 2006).
Geralmente, o atrito de rolamento é acoplado ao atrito de deslizamento, sendo um fenômeno muito complexo, no qual o papel dos parâmetros de rolamento ainda se apresenta em discussão na literatura (BALEVIČIUS et al., 2012). Por conseguinte, é necessária a calibração dos parâmetros dos modelos de contato, através de trabalhos experimentais e a partir de simulações numéricas, a fim de descrever os fenômenos exibidos pelos materiais granulares em nível macroscópico.
Ângulo de repouso estático
O ângulo de repouso é um importante parâmetro macroscópico que reflete a estabilidade do empacotamento granular, sendo assim, relacionado a muitos fenômenos, incluindo avalanche (HUANG et al., 2013; NOROUZI et al., 2015), estratificação (BOAC et al., 2010; SANTOMASO et al., 2004) e segregação (KHAN, 2006; LIAO, 2019), e é, portanto, um importante tema de pesquisa.
Diversas metodologias para a obtenção do ângulo de repouso são encontradas na literatura (Al-HASHEMI e AL-AMOUDI, 2018). Os diferentes tipos (estático e dinâmico) e as descrições do ângulo de repouso estão associados a aplicações específicas e ao comportamento correspondente, ou seja, fluidez, atrito, etc. Portanto, os objetivos de estudar e determinar o ângulo de repouso de qualquer material granular deve ser predeterminados para que uma definição apropriada e relevante possa ser adotada.
Fisicamente, o ângulo de repouso pode ser definido como o ângulo que diferencia a transição entre o material granular e o meio que o circunda (ROESSLER e KATTERFELD, 2018). A partir desta definição, uma das metodologias mais utilizadas na determinação do ângulo de repouso é o declive acentuado do material granular não confinado medido a partir do plano horizontal, no qual o material pode ser amontoado sem colapso (Al-HASHEMI e AL-AMOUDI, 2018).
Numerosos fatores, como o ângulo de atrito interno, tamanho e forma do grão, densidade, teor de umidade, rugosidade da base na qual o material é amontoado, velocidade de execução da metodologia de medição, massa e morfologia do material, podem afetar o ângulo de repouso. Deste modo, por ser uma resposta de relativa fácil obtenção, o ângulo de repouso é utilizado como indicador de coesão dos materiais granulares e afeta a
16 escoabilidade dos mesmos (Al-HASHEMI e Al-AMOUDI, 2018), sendo relacionado à fluidez conforme mostra a Tabela 2.3.
Tabela 2.3: Classificação de fluidez granular (Ai et al., 2011b).
Descrição Ângulo de repouso
Muito fluído <30°
Fluído 30-38°
Razoavelmente fluído 38-45°
Coesivo 45-55°
Muito Coesivo >55°
Analogamente à definição do ângulo de repouso, o método de medição deve ser selecionado com base em objetivos predefinidos e para um material de aplicação específica. Embora existam diferentes métodos e diretrizes disponíveis na literatura, estes não são padronizados (COETZEE, 2016). A seguir, são apresentados alguns métodos relevantes na obtenção do ângulo de repouso de materiais granulares (Figura 2-6).
Figura 2-6: Metodologias para determinação de ângulo de repouso (Adaptado de COETZEE, 2016).
i) Método do plano inclinado
O método do plano inclinado é adequado para materiais com diâmetros superiores a 10 mm, sem que haja forças de coesão significativas. O plano deve conter abas laterais
17 transparentes. Assim, o material granular é inserido sobre o plano, que é inclinado gradualmente a uma taxa de 18°/min. O ângulo de repouso é então medido como o ângulo de inclinação em que o material começa a deslizar (AL-HASHEMI e AL-AMOUDI, 2018).
ii) Método de funil fixo
No método do funil fixo, os materiais granulares são inseridos em um funil a uma altura especificada sobre uma base selecionada com propriedades de rugosidade conhecidas. O funil é fixo ou levantado lentamente enquanto a forma cônica do monte de material está se formando, para minimizar o efeito das partículas em queda. Após cessar o escoamento das partículas, o ângulo de repouso formado pode ser então mensurado (AL-HASHEMI e AL-AMOUDI, 2018).
iii) Método do cilindro/tambor rotatório
O método do cilindro/tambor rotatório é usado para determinar o ângulo de repouso dinâmico, que geralmente é cerca de 3 a 10° superior ao ângulo de repouso estático e, frequentemente, está relacionado aos fenômenos de segregação de materiais granulares. Neste método, os materiais granulares são colocados em um cilindro que tem um lado transparente. Em seguida, o cilindro é rotacionado em uma velocidade fixa fazendo com que ocorra a movimentação dos materiais granulares, até que seja atingido um ângulo máximo, denominado ângulo de repouso dinâmico (AL-HASHEMI e AL-AMOUDI, 2018).
Segundo Dury et al. (1998), o ângulo de repouso dinâmico nas extremidades do cilindro rotatório é 5° maior que o ângulo dinâmico de repouso no centro do equipamento, devido ao efeito das paredes terminais. Além disto, Yang et al. (2003) notaram um aumento linear no ângulo de repouso dinâmico à medida que a velocidade de rotação do cilindro aumentava. Os autores verificaram também que o ângulo de repouso dinâmico aumentou quando a relação entre o tamanho da partícula e o tamanho do tambor foi intensificada, enquanto que a velocidade de rotação e o grau de enchimento tiveram efeitos menos expressivos nos resultados.
Além dos métodos clássicos anteriormente descritos para determinação do ângulo de repouso, métodos numéricos como o DEM (SOLTANBEIGI et al., 2018), Figura 2-7, e metodologias mais avançadas, tais como, tomografia de capacitância elétrica (ECT) e a ressonância magnética (MRI) vêm sendo aplicadas no estudo do ângulo de repouso.
18 Figura 2-7: Avaliação do ângulo de repouso utilizando o método dos elementos discretos.
(Adaptado de AL-HASHEMI e AL-AMOUDI, 2018).
ZHANG et al.(2018) estudaram numericamente o ângulo de repouso de partículas de vidro esféricas utilizando o DEM e experimentalmente usando o método de funil. A partir dos resultados obtidos, os autores desenvolveram uma correlação empírica para o ângulo de repouso e a validaram com os resultados de seus experimentos. Eles discorrem que o ângulo de repouso é afetado pelo atrito de rolamento das partículas, pelo diâmetro do recipiente e pelo tamanho da partícula, enquanto não é afetado pela razão de Poisson, módulo de Young ou coeficiente de restituição. Os autores também apresentam também uma correlação preditiva para o ângulo de repouso a partir do tamanho da partícula que foi empregada em uma equação de correção para obter o ângulo de repouso com um erro máximo de estimativa de 3°. Os autores concluíram que, o ângulo de repouso estático está positivamente correlacionado com os coeficientes de atrito estático e de rolamento, tanto partícula-partícula quanto partícula-partícula-parede, enquanto é influenciado negativamente com o tamanho da partícula.
Estudos a respeito do ângulo de repouso indicam uma forte dependência com as propriedades dos materiais e com a interação entre eles, como o coeficiente de atrito de deslizamento (AI et al., 2011), o coeficiente de atrito de rolamento (AI et al., 2011; WANG et al., 2018), a densidade das partículas (LIAO, 2019) e outras características de partículas como o tamanho (GRASSELLI e HERRMANN, 1997) e a forma (HÖHNER et al., 2014; FRIEDMAN e ROBINSON, 2002).
De acordo com Roessler e Katterfeld (2018), o comportamento de um conjunto de partículas (comportamento bulk) é dependente não apenas da forma e tamanho, como também das propriedades de interações entre as partículas, ou seja, os parâmetros de interação, como os coeficientes de atrito, desempenham um papel crítico sobre
19 comportamento granular. No passado, várias técnicas de modelagem foram usadas para investigar o comportamento de partículas em meios granulares, incluindo o método de Monte Carlo (MC) e o método dos elementos discretos (DEM) (HASHEMI e AL-AMOUDI, 2018). Entre essas técnicas, o DEM é provavelmente o mais realista, uma vez que leva em conta não apenas os fatores geométricos, mas também as forças envolvidas na formação do ângulo de repouso.
Rotação e translação são os estados primários de movimento de uma partícula. As fricções de deslizamento e de rolamento fornecem um mecanismo efetivo para controlar os dois movimentos e determinar a estabilidade de contato em um leito granular. Portanto, estes têm efeitos significativos no ângulo de repouso ao avaliar o efeito do aumento do coeficiente de atrito de rolamento (HÖHNER et al., 2014).
20 2.3. Materiais e métodos
Neste tópico serão apresentados os aparatos e as metodologias utilizadas para a determinação experimental e calibração dos parâmetros de interação do material particulado (parâmetros numéricos). Essas propriedades correspondem à parâmetros do modelo matemático, aplicando a abordagem Lagrangeana, que foi utilizado nesse estudo.
Os materiais utilizados nesse trabalho foram os grãos de soja e esferas de vidro, de poliacetal e de aço (Figura 2-8) e suas propriedades físicas são descritas na Tabela 2.4.
Figura 2-8: Materiais granulares: (a) Soja; (b) Vidro; (c) Poliacetal; (d) Aço 6; (e) Aço 4.
Tabela 2.4: Propriedades físicas dos materiais granulares.
Material Diâmetro (mm) Densidade (kg/m3)
(a) Soja 6,64±0,07 1157,46±2,68
(b) Vidro 6,51±0,10 2371,27±70,12
(c) Poliacetal 6,14±0,05 1640,62±43,85
(d) Aço 6 6,04±0,03 7576,21±91,00
(e) Aço 4 4,58±0,01 7130,30±58,31
Todos os experimentos foram realizados no Laboratório de Sistemas Particulados (LSP) da Faculdade de Engenharia Química da Universidade Federal de Uberlândia (FEQUI/UFU).
21 Coeficiente de restituição
Para a determinação do coeficiente de restituição, foi utilizado o aparato experimental apresentado na Figura 2-9, o qual era composto por uma chapa de teste (1), um dispositivo de soltura, composto por uma haste metálica com base quadrada (2) e na parte superior do dispositivo, uma bomba de vácuo (3) foi interligada com o intuito de evitar perturbações do sistema durante o lançamento das partículas.
Figura 2-9:Aparato experimental para a determinação do coeficiente de restituição.
Deste modo, ao desligar a bomba de vácuo, a partícula de vidro era abandonada em queda livre a uma altura fixa de 50 mm (h1), colidindo diretamente com chapas de aço inox
e chapas de vidro com diferentes espessuras, conforme apresentado na Tabela 2.5. A altura de soltura de 50 mm foi selecionada com a finalidade de evitar o deslocamento lateral das partículas durante o trajeto, e minimizar os efeitos dissipativos promovidos pela força de arraste.
