MATRIZES E ALGUMAS APLICAÇÕES PARA USO EM SALA DE AULA

1

Câmpus de São José do Rio Preto IBILCE

FRANCIELI JORDÃO

MATRIZES E ALGUMAS APLICAÇÕES PARA USO EM SALA DE

AULA

São José do Rio Preto 2012

2

FRANCIELI JORDÃO

MATRIZES E ALGUMAS APLICAÇÕES PARA USO EM SALA DE

AULA

Monografia apresentada à Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, Curso de Graduação em Matemática, como requisito para a obtenção do título de Licenciado em Matemática, sob a orientação do Prof. Ms. Hermes Antonio Pedroso.

São José do Rio Preto 2012

3

Dedico esse trabalho aos meus pais, Irineu e Sonia, que tanto se empenharam, me ajudando assim a chegar onde estou nos dias de hoje, e que fizeram de mim um ser humano melhor.

4

Agradecimentos

Agradeço a Deus que me deu o dom da vida e me proporcionou a oportunidade de estar aqui hoje. Em seguida aos meus pais Irineu e Sonia e a minha irmã Danieli que tanto me apoiaram e me incentivaram nesses quatro anos de faculdade.

Também agradeço a todos os professores que me deram aula durante todos os meus anos de estudos desde os professores da pré-escola até os da faculdade, nesses últimos destacando o professor Hermes Antonio Pedroso que aceitou me orientar na elaboração deste trabalho e a professora Adriana de Bortoli que me auxiliou nas aulas.

5

RESUMO

Este trabalho tem como objetivo apresentar uma perspectiva diferente para as aulas de matemática principalmente para as relacionadas a matrizes, no contexto do ensino de matemática nota-se que esta não é a disciplina preferida dos alunos, questionamentos tais como “porque tenho que aprender isso?”, “para que isso serve?”, sempre ocorrem diante de um novo conteúdo. Para a elaboração deste trabalho foi analisado a apostila dos alunos, fornecida pelo Governo do Estado, percebemos que ela baseia-se nas aplicações e deixa lacunas na teoria, em contraposto notamos que alguns livros didáticos não trazem as aplicações, a teoria é seu enfoque principal. Sendo assim é proposto aqui uma junção de teoria e aplicações, primeiramente apresentar a teoria com o seu rigor necessário para assim tendo uma boa conceituação teórica entender as aplicações. Em seguida sanar os questionamentos frequentes mostrando para que serve, onde são encontradas e como podem ser aplicadas no nosso cotidiano. Portanto, o trabalho é composto por um embasamento teórico, alguns dados históricos e aplicações.

6

SUMÁRIO

Introdução ... 7

Embasamento teórico ... 8

O que é uma matriz? ... 8

Alguns dados históricos sobre as matrizes... 12

Aplicações ... 13

Sudoku ... 13

Quadrado mágico ... 16

Resolução de imagens: os pixels ... 21

Computação gráfica: rotação, escala e translação ... 22

Computação gráfica: composição de transformações geométricas ... 23

Considerações finais ... 24

7

INTRODUÇÃO

Durante as observações feitas no estágio supervisionado I e também com a regência do estágio supervisionado II foi possível perceber que as aulas de matemática não são as preferidas dos alunos. Pensando nisso trazer materiais que prendem a atenção dos alunos, que os chame a aula é sempre importante, mas sem deixar de lado o rigor da teoria.

Analisando o material fornecido pelo Governo do Estado, nota-se que este é baseado nas aplicações e deixa lacunas na teoria, em contraposto temos que alguns livros didáticos apresenta apenas a teoria.

Começamos com a ideia geral de matriz do tipo mxn ( lê-se m por n ) que é a de quadro retangular com mn elementos, dispostos em m linhas e n colunas. Na maioria das vezes esses elementos são números.

É comum encontrar em jornais e revistas exemplos tais como

Renda

Perfil da população pobre*, por cor/raça autodeclarada no Brasil e por região, em 2011 ( em % ) 100 2 , 5 5 , 10 6 , 27 49 7 , 7 64 9 , 67 9 , 25 5 , 53 6 , 75 8 , 78 36 9 , 30 6 , 73 46 1 , 24 21 Total Negra Branca Brasil Oeste Centro Sul Sudeste Nordeste Norte 

* com renda de até R$ 75,50 per capita, em valores de 2000 Dados IBGE/Pnad microdados

Fonte: Folha de S. Paulo, 17-11-2005

8

Aluno \ Disciplina Química Inglês Literatura Espanhol A 8 7 9 8 B 6 6 7 6 C 4 8 5 9

Em matemática, este tipo de tabela é denominado matriz, neste caso elas são usadas para organizar dados como podemos ver nas tabelas acima. Essas tabelas foram colocadas para exemplificar a ideia de matrizes.

Pensando nas dificuldades aqui relatadas, material didático e desinteresse por parte dos alunos, entre outros que aqui não foram relatados mas que vem prejudicando o ensino nos dias atuais é que foi elaborado esse trabalho.

Começamos com a teoria pois ela é muito importante e é a que dá a sustentação para que permita ser compreendida as atividades propostas e principalmente as aplicações que é outro ponto tratado neste trabalho e espera-se que seja um estímulo para os alunos, aqui foi relatado dois jogos ( sudoku e quadrado mágico ), que traz ao aluno a noção de posição dos números na matriz, e também como os alunos estão rodeados de tecnologias podemos nos valer dela para levar o conteúdo que o aluno aprende na escola até seu cotidiano, que aqui é tratado sob a forma de imagens ( pixels e computação gráfica ).

Concluímos assim este trabalho verificando se é realmente vantajoso essa abordagem em aula, se não o alcançarmos ao menos refletiremos sobre o assunto, e também poderemos auxiliar aqueles que buscam as mesmas respostas.

9

EMBASAMENTO TEÓRICO

O que é uma matriz?

Definição: Toda tabela de números dispostos em linhas ou colunas, representada sob a forma de um quadro mn m m n n a a a linha m a a a linha a a a linha coluna n coluna coluna          2 1 2 22 21 1 12 11 ª ª 2 ª 1 ª ª 2 ª 1

Cada elemento da matriz é indicado por dois índices:

aij =

Formando assim um conjunto mxn ( m por n ) elementos dispostos em m linhas e n colunas em que aij é o elemento associado a i-ésima linha e j-ésima coluna.

Exemplo: A = _      6 5 4 3 2 1

Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j].

Nesse exemplo, o elemento a12 é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do

10

As entradas ( símbolos ) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, aij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a

matriz 3x2 A =           5 4 4 3 3 2 Matrizes Especiais:

 Matriz linha: é uma matriz formada por uma única linha, A=



a11 a12  a1n



1xn

 Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna, B=

            1 21 11 n b b b  nx1

 Matriz nula: é uma matriz cujos elementos são todos iguais a zero,

A=             0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0      mxn

 Matriz quadrada: é uma matriz que possui o número de linhas igual ao número de

colunas, B =             nn n n n n a a a a a a a a a        2 1 2 22 21 1 12 11 nxn

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos de A cujo índice da linha é igual ao índice da coluna constituem a diagonal principal. Os elementos de A cuja soma dos índices da linha e da coluna é igual a n+1 constituem a diagonal secundária.

11

iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero, A=

            1 ... 0 0 0 ... 1 0 0 ... 0 1     nxn

 Matriz diagonal: é uma matriz que possui os elementos da diagonal principal

diferentes de zero e os demais elementos iguais a zero, B=

            nn a a a        0 0 0 0 0 0 22 11 nxn

 Matriz triangular: temos dois tipos de matrizes triangulares, as superiores e as inferiores,

 superior: é aquela em que os elementos abaixo da diagonal principal são iguais

a zero, A=             nn n n a a a a a a        0 0 0 22 2 1 12 11 nxn

 inferior: é aquela em que os elementos acima da diagonal principal são iguais

a zero, B=             nn n n a a a a a a        2 1 22 21 11 0 0 0 nxn

Operações entre matrizes

Para melhor entendimento e sem perder a generalidade serão consideradas matrizes quadradas de ordem 2. Sejam A= _

     d c b a , B= _      h g f e

, matrizes de coeficientes reais e k um número real, definimos:

12 A + B = _      d c b a + _      h g f e = _          h d g c f b e a

 a multiplicação de uma matriz por um escalar k, k . A = k . _      d c b a = _      kd kc kb ka  a multiplicação de matrizes, A . B = _      d c b a . _      h g f e = _          dh cf dg ce bh af bg ae

 a matriz oposta de A é representada por –A e é tal que A+(-A)=0, sendo 0 a matriz nula, A= _      d c b a ; -A= _          d c b a

No caso da subtração de matrizes, temos que a diferença A-B se dá como a soma de A com a oposta de B, ou seja,

A - B = A + (-B), ou ainda,       d c b a - _      h g f e = _      d c b a + _          h g f e = _          h d g c f b e a

Para todas essas operações citadas acima deve-se levar em consideração as ordens das matrizes. Para a adição e a subtração as matrizes devem ter necessariamente a mesma ordem, já para a multiplicação deve-se seguir o esquema abaixo:

A(mxn) . B(nxp) = C(mxp), o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de

B.

Sendo assim não existe a multiplicação: B(nxp) . A(mxn), ou seja a multiplicação pode

13

Alguns dados históricos sobre as matrizes

Pelos meados do século XIX os matemáticos alemães estavam acima dos de outras nacionalidades no que se referia à análise e à geometria, com as universidades de Berlim e Göttingen na liderança e com a publicação centrada no Journal de Crelle. A álgebra, por outro lado, foi durante algum tempo quase um monopólio britânico com Trinity College, Cambridge, à frente e a Cambridge Mathematical Journal como principal veículo de publicação. George Peacock ( 1791-1858 ) e Augustus De Morgan ( 1806-1871 ) eram ambos de Trinity, como também Arthur Cayley ( 1821-1895 ), que contribuiu fortemente tanto para a álgebra quanto para a geometria, e que se graduara como senior wrangler. Mencionamos a obra de Cayley em geometria analítica, especialmente quanto ao uso de determinantes; mas Cayley foi também um dos primeiros a estudar matrizes, outro exemplo da preocupação britânica com forma e estrutura em álgebra. Essa obra proveio de uma memória de 1858 sobre a teoria das transformações.

O início da teoria de matrizes se remonta a um artigo de Cayley em 1855. Diga-se de passagem, porém, que o termo matriz já fora usado, com o mesmo sentido, cinco anos antes por Sylvester. Neste artigo Cayley fez questão de salientar que, embora logicamente a ideia de matriz preceda a de determinante, historicamente ocorreu o contrário: de fato, os determinantes já eram usados há muito na resolução de sistemas lineares. Quanto às matrizes, Cayley introduziu-as para simplificar a notação de uma transformação linear. (DOMINGUES, apud IEZZI, 2004)

14

Cayley sobre as matrizes vista a partir de transformações lineares e invariantes algébricos. Eles investigavam expressões que permaneciam invariantes quando as variáveis eram transformadas por substituições.

Aplicações

1- Sudoku

Em 1979, o arquiteto e designer de puzzles norte-americano Howard Garns inventou o Sudoku como conhecemos hoje. Sua criação foi publicada na revista Dell Pencil Puzzles and World Games, da Dell Magazines ( editora especializada em jogos de raciocínio ), com o nome de Number Place, nos EUA, também é chamado de Nanpure.

Sem repercussão imediata, o passatempo foi levado para o Japão em 1984 pela Nikoli ( uma espécie de Coquetel oriental ) e recebeu o nome de "suuji wa dokushin ni kagiru", que significa "o número que deve aparecer uma só vez". O presidente da companhia fez pequenas alterações e renomeou o jogo para Sudoku. Em japonês, "su" quer dizer "número" e "doku" corresponde a "único".

Um juiz neozelandês aposentado em Hong Kong, Wayne Gould, teve contato com a diversão em 1997 e dedicou seis anos para montar um programa de computador que gerasse novos jogos rapidamente. Com o software em mãos, ele ofereceu a novidade aos jornais britânicos e, em 12 de novembro de 2004, The Times deu o pontapé inicial à mania.

Em abril de 2005, o jogo já havia conquistado muitos outros jornais. The Guardian chegou a imprimir um Sudoku em cada página do jornal e o passatempo ganhou até um programa de rádio e outro de TV. Aqui no Brasil, o Sudoku era divulgado desde 1994 pela Coquetel, mas com o nome "de 1 a 9". Somente quando a brincadeira explodiu na Europa, a empresa rebatizou seus jogos e começou a ganhar público.

15

Origens do jogo

O Sudoku é, na verdade, a evolução de vários jogos bem mais antigos. No século XVIII, quando o suíço Leonhard Euler ( 1707-1783 ) inventou o Quadrado Latino, uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas, em que os elementos não se repetem nas linhas e colunas. Contudo, era só uma invenção para estudos de álgebra.

Antes do Quadrado Latino, porém, houve alguns predecessores, os Quadrados Mágicos, com cerca de 4 mil anos de história. Nesses quadriculados, um mesmo número corresponde à soma dos algarismos de cada linha, coluna e diagonal.

O mais antigo quadrado mágico que se tem notícia é o Lo Shu Square, encontrado em manuscritos chineses de 2.800 A.C., que faziam parte da lenda sobre como acalmar a fúria do rio Lo. No Egito e na Índia, os quadrados mágicos apareceram gravados em pedra ou metal, como forma de talismã e tinham lugar na astrologia e na religião.

No final do século XIX, passatempos com números começaram a ser veiculados nos jornais franceses. O Sudoku atual estava quase pronto em 1892, quando o diário parisiense Le Siècle publicou o primeiro quadrado mágico de 9x9, dividido em quadrantes de 3x3.

A matemática do jogo

O problema geral de solucionar enigmas Sudoku em tabuleiros n2 x n2 de blocos n x n é conhecido como NP-completo. Isto dá algumas indicações de porque o Sudoku é difícil de resolver. Contudo, em tabuleiros de tamanhos finitos o problema é finito e pode ser solucionado através de um autômato finito probabilístico que conhece toda a árvore do jogo. Solucionar enigmas Sudoku ( assim como qualquer outro problema NP-difícil ) pode ser expresso como um problema de preenchimento gráfico de cores. O objetivo do enigma em sua forma padrão é construir gráfico apropriado de nove

16

colorações, informando parcialmente essas nove colorações. O gráfico em questão tem 81 vértices, uma interpolação em cada célula d a grade. Os vértices podem ser rotulados com os pares ordenados (x,y), onde x e y são números inteiros entre 1 e 9. Neste caso, dois vértices distintos rotulados por (x,y) e (x',y') são conectados por uma borda se, e somente se, xx'yy'(



x/3

 

 x'/3

 

 y/3

 

 y'/3



)

O enigma é então completado designando-se um número inteiro entre 1 e 9 para cada interpolação, de tal maneira que os vértices que são unidos através de uma borda não tenham nenhum número inteiro igual designado neles. Uma grade de solução válida para o Sudoku é também um quadrado latino. Há significativamente menos soluções de grades de Sudoku válidas do que os quadrados latinos, porque o Sudoku impõe restrições de região adicionais. Apesar disso, o número de solução de Sudoku para uma grade padrão de 9×9 foram calculados em 2005 por Bertram Felgenhauer como sendo 6.670.903.752.021.072.936.960. Este número é igual a 9!x722x27x27.704.267.971, o último fator é um número primo. A derivação deste resultado foi simplificada consideravelmente por análises fornecidas por Frazer Jarvis e o número foi confirmado independentemente por Ed Russell. Russell e Jarvis também demonstraram de que quando as simetrias são levadas em conta, havia 5.472.730.538 soluções. O número de soluções válidas para a variação do Sudoku de uma grade 16×16 é desconhecido.

17

2- Quadrado mágico

Quadrado Mágico é uma matriz quadrada de lado ( ou ordem ) n, em que a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante, sendo que nenhum destes números se repete.

Sua origem não é bem definida, mas há registros de sua existência em épocas anteriores a nossa era na China e na Índia. O quadrado de lado 3 foi encontrado pela primeira vez num manuscrito árabe, no fim do Século VIII, e atribuído a Apolônio de Tiana ( I Século ) por Marcellin Berthelot.

Na Idade Média os quadrados mágicos se tornaram muito populares pelo seu uso em Pantáculos e Talismãs, onde eram associados a Planetas que atribuíam a esses o poder de atrair o influxo astral para proteção de seus detentores.

Classificações

Existem certos modelos de quadrados mágicos que recebem uma classificação especial devido a suas singularidades. São eles:

 Imperfeito ou Defeituoso

O que não obedece a todas as regras de um quadrado mágico. Por exemplo, um quadrado mágico onde a soma das linhas e colunas são iguais, mas a das diagonais não;

18 Exemplo de um quadrado imperfeito:

Nesse quadrado nota-se que a soma das linhas e das colunas são todas diferentes, mas a das diagonais são iguais a 34

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

 Hipermágico

O que tem certas propriedades adicionais, além de obedecer às regras básicas. Por exemplo, um quadrado mágico onde, trocando-se duas colunas de lugar, forma-se um outro quadrado mágico;

Exemplo de um quadrado hipermágico:

Nesses dois quadrados apenas foi permutada duas colunas e ele continua com a soma das linhas, colunas e diagonais iguais a 15

4 9 2 3 5 7 8 1 6 2 9 4 7 5 3

19

6 1 8

 Diabólico

É um quadrado hipermágico com muitas propriedades ou com propriedades muito complexas. O nome diabólico tem sua provável origem na dificuldade em se formá- lo. Exemplo de um quadrado diabólico:

Um quadrado mágico famoso é o Quadrado de Dürer

O chamado “Quadrado de Dürer” é um Quadrado Mágico representado no canto superior direito da gravura Melancholia, obra do pintor e ilustrador alemão Albrecht Dürer, que também teve interesse em matemática, geometria, geografia e arquitetura. Aqui se apresenta a disposição dos números no quadrado:

























1

14

15

4

12

7

6

9

8

11

10

5

13

2

3

16

Trata-se de um quadrado mágico 4 x 4 com os números de 1 a 16, o qual apresenta as seguintes particularidades:

Na linha inferior, nas duas casas centrais, estão lado a lado os números 15 e 14 formando 1514, data da confecção da obra.

20 1 ( a 1ª letra é A ), de “Dürer, Albrecht”.

 A soma dos números de qualquer das linhas e colunas é sempre 34

 A soma dos números de qualquer das duas diagonais do quadro é também 34  A soma dos 4 números que ficam nos cantos do quadrado é 34

 A soma dos 4 números que ficam nas 4 casas centrais é 34

 A soma dos 2 números centrais da linha do alto com os 2 centrais da linha de baixo é 34

 A soma dos 2 números centrais da coluna direita com os 2 centrais da coluna esquerda é 34

 A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema esquerda em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema direita em baixo é 34

 A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema direita em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema esquerda em baixo é 34. ( ver abaixo estas 2 últimas somas )

Temos 3 + 5 + 12 + 14 = 34; e 2 + 8 + 9 + 15 = 34             1 14 ) 15 ( 4 12 7 6 ) 9 ( ) 8 ( 11 10 5 13 ) 2 ( 3 16

Curiosidade: O quadrado de Dürer foi usado no livro de Dan Brown "O símbolo perdido".

21 Eis a relação entre as casas e os planetas:

 Quadrado de 3, compreendendo 9 casas: Saturno;  Quadrado de 4, compreendendo 16 casas: Júpiter;  Quadrado de 5, compreendendo 25 casas: Marte;  Quadrado de 6, compreendendo 36 casas: Sol;  Quadrado de 7, compreendendo 49 casas: Vênus;  Quadrado de 8, compreendendo 64 casas: Mercúrio;

22

3- Resolução de imagens : os pixels

O registro de uma foto no papel ou em uma tela de computador é obtido com base na reunião de várias unidades de imagem justapostas. Cada uma dessas unidades tem apenas uma cor e é denominada pixel ( picture element ). O conjunto dos pixels dá a quem vê a impressão de algo contínuo, muito embora a ampliação da foto mostre claramente a descontinuidade da gradação de cores, como se pode observar na figura a seguir.

Não há dimensão fixa para um pixel, mas é possível inferir que, em uma mesma área, quanto menor for um pixel, maior poderá ser a quantidade deles, implicando em uma foto de melhor qualidade ou de maior resolução.

23

Um pixel não precisa representar obrigatoriamente um pequeno quadrado. As imagens mostram maneiras alternativas de se reconstruir uma imagem usando: um conjunto de pixels, pontos, linhas e filtragem, respectivamente.

4- Computação gráfica: rotação, escala e translação

As imagens em uma tela de computador são na verdade formados por pequenos pontos ( pixels ) que são elementos de uma matriz. Uma imagem de resolução 800x600 tem 800x600=480000 pixels em 800 colunas e 600 linhas. Quando um programa gráfico altera a posição da imagem, na verdade está mudando a posição dos pixels que a formam. Isso tudo é feito por operações de matrizes, e em computação gráfica é o que se chama de transformação geométrica.

Basicamente, as transformações geométricas no plano são três: rotação, escala e translação.

 Rotação: Uma rotação de



graus de um ponto (x,y), no sentido anti- horário e em torno da origem, é feita a partir da multiplicação da matriz

R= _           cos cos sen sen pela matriz P= _      y x

, gerando uma matriz P'= _      ' ' y x , com a nova posição (x',y') dos pontos após a rotação: P'=PR.

 Escala: Uma mudança de escala de um ponto (x,y) em relação à origem, usando um fator multiplicativo Sx para a coordenada x e um fator Sy para a coordenada

24 y, é feita usando-se a matriz E= _

     Sy Sx 0 0 e a matriz P= _      y x

de forma que P'=EP.

 Translação: Já uma translação de um ponto (x,y) de Tx unidades para a direita na coordenada x e Ty unidades para cima na coordenada y é feita pela soma da matriz T= _      Ty Tx com a matriz P= _      y x

, gerando uma matriz P'= _      ' ' y x , com a nova posição (x',y') dos pontos após a translação: P'=T+P.

5- Computação gráfica: composição de transformações geométricas

Uma operação de translação no plano, em princípio não é uma operação de multiplicação de matrizes, o que dificulta a composição de transformações geométricas. Para facilitar a composição das transformações geométricas ( rotação, escala e translação ) tornando todas essas operações de multiplicações de matrizes, é necessário usar

coordenadas homogêneas, em que um ponto (x,y) do plano é descrito pela matriz

          1 y x .

Usando-se coordenadas homogêneas, as matrizes R de rotação, E de escala e T de translação são respectivamente,

R=            1 0 0 0 cos 0 cos     sen sen , E=           1 0 0 0 0 0 0 Sy Sx e T=           1 0 0 1 0 0 1 Ty Tx .

Na composição de transformações geométricas usando-se coordenadas homogêneas, basta multiplicar o ponto original pela sequencia inversa das transformações que afetarão

25

o(s) ponto(s). Por exemplo, para rotacionar, escalar e transladar um ponto P, nessa ordem obtém-se o ponto P' fazendo as seguintes multiplicações: P'=TERP.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

De acordo com o que foi relatado neste trabalho temos várias aplicações que podem interessar aos alunos e deixar as aulas de matemática um pouco mais atrativa, e como não fugimos a regra temos toda a teoria tratada com rigor.

Sabe-se que os alunos da atualidade estão rodeados por tecnologias e que é difícil competir com tão poucas armas então foi pensando nisso que foi desenvolvido este trabalho para as aulas terem um atrativo que chame a atenção dos alunos.

Outra consideração importante a se fazer é que podemos aplicar essa estrutura de aula a outros conteúdos, não só as matrizes, isso só requer que o professor pesquise um pouco mais e elabore um pouco mais sua aula.

Para finalizar notamos que não dá para fugir totalmente das aulas expositivas mas, dá para incrementá- las usando poucos recursos que podem trazer um benefício a mais aos alunos.

26

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BAUMGART, J K. História da álgebra, tradução: Hygino H. Domingues, São Paulo: Atual, 1992

BOYER, Carl B. História da matemática, 2ª ed, tradução: Elza F. Gomide, São Paulo: Edgar Blücher, 1996

Caderno do aluno: matemática, ensino médio - 2ª série, volume 2

DANTE, Luiz R. Matemática: contexto e aplicações, vol único, São Paulo: Editora Ática, 2007

EVES, H. Introdução à história da matemática, tradução: Hygino H. Domingues, Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004

IEZZI, G. Matemática: Ciência e aplicações, vol 2 - 4. ed - São Paulo: Atual, 2006

IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar, vol 4: sequências, matrizes, determinantes, sistemas. – 7. Ed – São Paulo: Atual, 2004

27

<http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3b.html> ( acessado em 7/11/12 )

( Guilherme Massa, 2006 )<http://www.abril.com.br/noticia/diversao/no_168200.shtml> ( acessado em 7/11/12 )

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Sudoku> ( acessado em 7/11/12 )

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_m%C3%A1gico> ( acessado em 7/11/12 ) <http://pt.wikipedia.org/wiki/Pixel> ( acessado em 7/11/12 )