UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA BRUNO DE SOUSA FERREIRA EMPARELHAMENTOS DE ARESTAS DE POLÍGONOS ASSOCIADOS A GRAFOS REGULARES

BRUNO DE SOUSA FERREIRA

EMPARELHAMENTOS DE ARESTAS DE POLÍGONOS ASSOCIADOS A GRAFOS REGULARES

VIÇOSA - MINAS GERAIS 2020

EMPARELHAMENTOS DE ARESTAS DE POLÍGONOS ASSOCIADOS A GRAFOS REGULARES

Dissertação apresentada à Universidade Federal de Viçosa, como parte das exi-gências do Programa de Pós-Graduação em Matemática, para obtenção do título de Magister Scientiae.

Orientador: Mercio Botelho Faria

VIÇOSA - MINAS GERAIS 2020

T

Ferreira, Bruno de Sousa,

1995-F383e

2020

Emparelhamentos de arestas de polígonos associados a

grafos regulares / Bruno de Sousa Ferreira. – Viçosa, MG, 2020.

136 f. : il. (algumas color.) ; 29 cm.

Orientador: Mercio Botelho Faria.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Viçosa.

Referências bibliográficas: f. 135-136.

1. Geometria hiperbólica. 2. Polígonos. 3. Teoria dos

grafos. I. Universidade Federal de Viçosa. Departamento de

Matemática. Programa de Pós-Graduação em Matemática.

II. Título.

Agradeço a Deus por guiar-me nos momentos de incerteza e alimentar minhas esperanças de alcançar o final!

Aos meus familiares, a quem sempre pude buscar apoio durante toda minha formação acadêmica.

À minha namorada Nathalia, que esteve a meu lado nos momentos mais difíceis, com quem sempre pude desabafar e buscar consolo.

Aos meus professores de graduação Silvino e Jossara, pelo amizade construída no IFMG-SJE e pelo incentivo a enfrentar essa jornada.

Aos meus colegas de curso, pelo companheirismos e amizade ao longo do curso. Foram muitos momentos de estudos, tensões e até de descontração que passamos juntos e serão inesquecíveis, principalmente das conversas na salinha 306.

Agradeço a meu orientador Mercio, pela atenção, paciência, confiança e princi-palmente, pelas orientações e conhecimentos compartilhados.

Agradeço aos membros do corpo docente do DMA-UFV, pela cordialidade e disponibilidade em esclarecer dúvidas.

Finalmente, à CAPES pelo apoio financeiro de amparo a pesquisa. Graças a este apoio pude dedicar-me exclusivamente às atividades do curso.

FERREIRA, Bruno de Sousa, M.Sc., Universidade Federal de Viçosa, dezembro de 2020.

Emparelhamentos de arestas de polígonos associados a grafos regulares. Orientador: Mercio Botelho Faria.

Este trabalho tem como objetivo descrever emparelhamentos de arestas para polígonos hiperbólicos, associados a grafos regulares, mergulhados em superfícies compactas e orientáveis. Os emparelhamentos descritos determinam um conjunto de isometrias do espaço hiperbólico, que é um conjunto de geradores de um grupo Fuchsiano Γ em que o espaço orbital H2

Γ é uma superfície compacta e orientável. Explicitamos

todos os emparelhamentos de arestas associados a grafos regulares, mergulhados em uma superfície compacta e orientável de gênero 2. Construímos grafos com estrutura indutiva os quais utilizamos para obter novos grafos que geram emparelhamentos para polígonos da tesselação {8g−4, 4} e assim explicitamos emparelhamentos generalizados para polígonos da tesselação {8g − 4, 4}.

FERREIRA, Bruno de Sousa, M.Sc., Universidade Federal de Viçosa, December, 2020.

Side-pairings of polygons associated with regular graphs. Orientador: Mercio Bote-lho Faria.

This work aims to describe side-pairings for hyperbolic polygons, associated with regular graphs, imbedded on compact orientable surfaces. The side-pairings described determine a set of isometry of hyperbolic space, which is a set of generators of a Fuchsian groupΓ where the H

Γ orbital space is a compact orientable surface. We explain all

side-pairings associated with regular graphs, imbedded on a compact orientable surface of genus 2. We build graphs which inductively structured which we use to obtain new graphs that generate side-pairings for polygons of the tesselation {8g − 4, 4} and thus we explain generalized side-pairings for tesselation polygons {8g − 4, 4}.

Introdução 10

1 Topologia das Superfícies 12

1.1 Espaço Topológico e Variedades . . . 12

1.2 Estruturas Simpliciais . . . 15

1.2.1 Simplexos em Rn _{. . . . 16}

1.2.2 Complexos Simpliciais . . . 17

1.2.3 Complexos Simpliciais Abstratos . . . 20

1.3 Topologia Quociente e Superfícies Compactas . . . 22

1.3.1 Topologia Quociente . . . 22

1.3.2 Superfícies Compactas . . . 24

1.3.3 Característica de Euler . . . 31

2 Geometria Hiperbólica 34 2.1 Transformações de Möbius . . . 34

2.2 O Modelo H2para a Geometria Hiperbólica . . . 39

2.3 O Modelo D2_{para a Geometria Hiperbólica . . . . 45}

2.4 Grupos Fuchsianos . . . 48

3 Teoria de Grafos 54 3.1 Grafos . . . 54

3.1.1 Classes Especiais de Grafos . . . 55

3.1.2 Representações Matriciais . . . 59

3.1.3 Isomorfismos e Automorfismos de Grafos . . . 61

3.1.4 Representação Topológica de Grafos . . . 62

3.2 Grafos em Superfícies . . . 63

3.2.1 Mergulho de grafos em Superfícies . . . 63

4.1.1 Emparelhamentos para P12 . . . 77

4.1.2 Emparelhamentos para P10 . . . 97

4.1.3 Emparelhamentos para P8 . . . 109

4.2 Emparelhamentos Generalizados para P8g−4 . . . 111

Considerações Finais 134

Introdução

Este trabalho tem como objetivo descrever emparelhamentos de arestas para polígonos hiperbólicos, associados a grafos regulares. É conhecido na literatura que o emparelhamento de arestas de um polígono hiperbólico determina um grupo discreto Γ, de isometrias do espaço hiperbólico H2_{, também denominado grupo Fuchsiano. A}

ação de tal grupo tessela o espaço hiperbólico e sob determinadas condições, o espaço orbital H2

Γ é uma superfície compacta e orientável.

Iniciamos descrevendo, no Capítulo 1 aspectos topológicos das superfícies com-pactas, onde apresentamos os conceitos de Espaço Topológico, Variedades e Estruturas Simpliciais. Nesse contexto, damos atenção especial à Topologia Quociente e aos espa-ços quocientes, tratados na Seção 1.3.

No Capítulo 2 apresentamos o Modelos de Lobachevski e o Modelo de Poincaré para a Geometria Hiperbólica. Fazemos também uma breve discussão sobre o grupo de isometrias do Espaço Hiperbólico e damos um destaque especial aos subgrupos discretos de isometrias, conhecidos na literatura como Grupos Fuchsianos. Os conceitos tratados no capítulo culminam no teorema de Poincaré para polígonos.

No Capítulo 3, apresentamos as definições básicas e classes especiais de grafos. Fazemos o estudo de grafos em superfícies e sistemas de rotações para grafos. Esses conceitos serão as principais ferramentas para a construção dos emparelhamentos.

No Capítulo 4, apresentamos nossa contribuição a qual fazemos uso dos con-ceitos da Teoria de Grafos para determinar emparelhamentos de aresta para polígonos regulares com 8, 10 e 12 arestas e emparelhamentos generalizados. Primeiramente, na Seção 4.1 utilizamos o método do mergulho de grafos em superfícies para determinar todos os emparelhamentos para P8, P10 e P12. Esse método foi utilizado em [13] para

determinar os possíveis padrões de emparelhamento para um polígono hiperbólico com dezoito arestas. Salientamos que em [8] e em [23] são apresentados alguns desses emparelhamentos.

Já na Seção 4.2 construímos emparelhamentos generalizados para polígonos da tesselação hiperbólica {8g − 4, 4} associados a grafos 4-regulares. Em [23] são apresen-tados alguns emparelhamentos generalizados para polígonos dessa tesselação. Aqui

construímos novos emparelhamentos generalizados estabelecidos por meio da exten-são de grafos 4-regulares.

Capítulo 1

Topologia das Superfícies

Neste capítulo descreveremos aspectos básicos da teoria das superfícies. Nos baseamos, principalmente, nas obras [15], [16],[18], [19] e [20]. para este tratamento topológico.

1.1

Espaço Topológico e Variedades

Nesta seção descreveremos aspectos relacionados a espaços topológicos e defi-nimos variedades topológicas. Iniciemos definindo um espaço Topológico.

Definição 1.1(Espaço Topológico). Seja X é um conjunto não vazio, uma topologia em X é uma coleçãoτ de subconjuntos de X satisfazendo as seguintes condições:

1. X e ∅ são elementos deτ;

2. τ é fechado sob a interseção finita. Ou seja, se U1, U2, . . . , Unestão emτ, então a interseção

U1∩U2∩. . . ∩ Unestá emτ;

3. τ é fechado sob a união arbitrária. Ou seja, se (Uλ)λ∈Aé uma família (finita ou infinita)

de elementos deτ, então a união ∪_λ∈AU_λestá emτ.

Um par (X, τ), constituído de um conjunto X não vazio e uma topologia τ sobre X é denominado Espaço Topológico.

Sendo X um conjunto dotado de uma topologiaτ diremos que os elementos de X são seus pontos e os subconjuntos de X que compõem a topologiaτ são chamados de subconjuntos abertos de X. Diremos que uma topologia τ1 é mais fina que uma

topologiaτ2se,τ1 ⊃τ2, ou seja, cada conjunto da coleçãoτ2é também um conjunto da

coleçãoτ1.

Com essas observações podemos expressar as três condições da Definição 1.1 da seguinte forma:

• X e ∅ são abertos de X;

• A interseção de uma família finita de subconjuntos abertos de X é também um subconjunto aberto de X;

• A união arbitrária de conjuntos abertos de X é também um conjunto aberto de X. Dizemos que um subconjunto Y, aberto de X, é uma vizinhança aberta de um ponto p ∈ X se p ∈ Y. De modo análogo dizemos que Y é vizinhança aberta de um subconjunto K se K ⊂ Y.

Além da noção de conjunto aberto, outro tipo de conjunto que desempenha papel relevante em um Espaço Topológico são os conjuntos fechados. Se X é um Espaço Topológico, um subconjunto F é dito subconjunto fechado de X se seu complementar X \ F é um subconjunto aberto de X.

Segue da definição de Espaço Topológico as seguintes propriedades: • X e ∅ são subconjuntos fechados de X;

• A interseção arbitrária de subconjuntos fechados de X é um subconjunto fechado de X;

• A união finita de subconjuntos fechados de X é um subconjunto fechado de X. Uma topologia de um conjunto X pode ser definida descrevendo a coleção de seus subconjuntos fechados, desde que ela satisfaça as três condições acima, pois os conjuntos abertos do Espaço X são exatamente os complementares dos conjuntos fechados de X.

Suponhamos que X seja um Espaço Topológico e Y um subconjunto de X. Defi-nimos o Fecho de Y em X, denotado como Y, por;

Y=\ nB ⊆ X | B ⊇ Y e B é fechado em Xo. Definimos o interior de Y em X, denotado por Int Y, como;

Int Y =[ nD ⊆ X | D ⊆ Y e D é aberto em Xo.

Segue das propriedades dos conjuntos abertos em um espaço topológico que Int Y é um subconjunto aberto do espaço. Decorre das propriedades dos conjuntos fechados que Y é um subconjunto fechado do espaço. O exterior de um subconjunto Y, denotado por Ext Y, de um espaço topológico X é o conjunto Ext Y = X \ Y e a fronteira de Y, denotado por∂Y é o conjunto ∂Y = X \ (Int Y ∪ Ext Y).

Se A e B são espaços topológicos, uma aplicação g : A −→ B é dita contínua se para cada subconjunto aberto U ⊆ B, a pré-imagem g−1_{(U) for um aberto de A.}

A continuidade de aplicações entre espaços topológicos também pode ser caracteri-zada pela pré-imagem de conjuntos fechados. A seguinte proposição fundamenta esta caracterização.

Proposição 1.1. Uma aplicação entre espaços topológicos é contínua se e somente se, a

pré-imagem de cada subconjunto fechado for também um subconjunto fechado.

Um homeomorfismo entre dois espaços topológicos é uma aplicação bijetiva, contínua e cuja a inversa é também contínua. Dados dois espaços topológicos X e Y tais que existe homeomorfismoφ : X −→ Y dizemos que X é homeomorfo a Y ou que X e Y são topologicamente equivalentes.

Uma coleção A de subconjuntos abertos de um espaço X é dita uma cobertura

abertade X (ou cobrindo X), se a união dos elementos de A é igual a X.

Definição 1.2. Um espaço X é dito compacto se toda cobertura aberta de X admitir uma

subcobertura finita de X.

Um espaço topológico X é dito ser Espaço de Hausdorff se para quaisquer dois de seus pontos p1 e p2, existir vizinhança U1 de p1 e U2 de p2 com U1 ∩U2 = ∅. A

condição de ser Hausdorff diz a grosso modo que quaisquer dois pontos desse espaço podem ser separados por conjuntos abertos.

Uma base para uma topologia em um conjunto X é uma coleção B de subcon-juntos abertos de X, chamados de elementos básicos, que satisfaz a seguinte condição:

todo subconjuntos aberto A ⊂ X se exprime como a união de elementos básicos de

B.

Se B satisfaz esta condição, definimos a topologiaτ gerada por B da seguinte maneira: um subconjunto U de X é dito aberto em X se para cada x ∈ U, existir um elemento básico B ∈ B tal que x ∈ B e B ⊂ U. Se existir uma correspondência biunívoca ψ : B −→ L ⊆ N diremos que B é uma base enumerável.

Definição 1.3. Um espaço topológico M é dito ser localmente Euclidiano de dimensão n se todo

ponto de M possuir vizinhança em M, homeomorfa a um subconjunto aberto de Rn_.

A seguinte proposição nos permite substituir os conjuntos abertos da definição acima por bolas abertas em Rn.

Proposição 1.2. Um espaço topológico M é localmente Euclidiano se, e somente se, uma das

duas condições abaixo é satisfeitas.

(b) Cada ponto de M possui vizinhança homeomorfa a Rn.

Definição 1.4. Uma variedade topológica n-dimensional M é um espaço topológico de Hausdorff

localmente euclidiano com base enumerável.

Diremos a partir daqui que uma 1-variedade C é uma curva e uma 2-variedade S

(ou variedade bidimensional) é uma superfície. Um exemplo de variedade

n-dimensional é o espaço euclidiano Rn_{. A esfera S}2 _{= {x ∈ R}3 _{| kxk = 1} é um}

exemplo de superfície. A seguinte proposição nos permite citar mais exemplos de variedades a partir de uma variedade conhecida.

Proposição 1.3. Cada subconjunto aberto de uma n-variedade é também uma n-variedade.

Uma variedade n-dimensional com bordo é um Espaço topológico de Haus-dorff, com base enumerável, tal que cada ponto tem vizinhança homeomorfa a um subconjunto aberto de Rnou ao subconjunto aberto de Hn = {(x

1, . . . , xn) ∈ Rn|xn≥ 0},

considerando Hn _{como um espaço topológico com a topologia Euclidiana. O bordo}

de uma n-variedade é o conjuntos de todos os seus pontos que têm vizinhança home-omorfa a Hn_{. Notemos que uma n-variedade com bordo satisfaz a Definição 1.4 se e}

somente se, seu bordo é vazio. Como exemplo de uma variedade bidimensional com bordo, citamos a faixa de Möbius.

Figura 1.1: Faixa de Möbius.

Entendemos por superfície fechada, uma superfície compacta cujo o bordo é vazio, tal como a Esfera S2_{, o Toro e a Garrafa de Klein.}

1.2

Estruturas Simpliciais

Nessa seção trataremos das estruturas básicas que utilizaremos para tratar su-perfícies. Os conceitos aqui apresentados podem se consultados pelo leitor em [15], [16] ou [19].

1.2.1

Simplexos em R

Consideremos W = {v0, . . . , vk} um subconjunto de ponto do espaço Euclidiano

Rn. Diremos que os pontos de W são geometricamente independentes (ou de maneira abreviada, independentes) se o conjunto {v1−v0, . . . , vk−v0} é linearmente independente.

Definição 1.5. Seja W = {v0, . . . , vk}um subconjunto de k+ 1 pontos do espaço Euclidiano

Rn, independentes. O k-simplexo, denotado por sk = hv0, . . . , vki, é o conjunto de todas as

combinações convexas dos pontos de W. Ou seja,

sk =        k X i=0 ti·vi |ti ≥ 0 e k X i=0 vi = 1        ,

com a topologia herdada do espaço Euclidiano Rn_{. Para cada ponto x = P}k

i=0ti · vi ∈ sk, os

números ti são chamados coordenadas baricêntricas de x com respeito a v0, . . . , vn. Cada ponto

vié chamado vértice do simplexo. O número k é dito a dimensão do simplexo.

Um k-simplexo geométrico é o menor invólucro convexo (fecho convexo) de k+1 pontos (ou vértices) independentes no espaço Euclidiano Rn.

Seja W = {v0, . . . , vk} um subconjunto de pontos independentes de Rn e sk =

h_v0, . . . , v_{ki o k-simplexo gerado por W. Cada simplexo gerado por um subconjunto} não-vazio de W é denominado uma face do simplexo sk. Os 0-simplexos são denominados

vérticesde ske correspondem a cada vi, os 1-simplexos são denominados arestas de sk

e os k − 1-simplexos são denominados faces de fronteira. Cada face de dimensão d< k é denominada face própria do simplexo sk. A união de todas as faces próprias de um

simplexo é denominado bordo do simplexo e será denotado por∂(sk). O interior de sk

é o conjunto Int sk = sk\∂(sk).

A seguinte proposição formaliza algumas propriedades dos simplexos.

Proposição 1.4. Seja sk o simplexo determinado pelo conjunto de pontos geometricamente

independentes {v0, . . . , vk}. Se x ∈ sk, denotemos suas coordenadas baricêntricas por {ti(x)}, que

são determinadas unicamente pelas condições x= Pk_i=0ti·ai ePki=0ti = 1. Então as seguintes

propriedades seguem:

(a) As coordenadas baricêntricas ti(x), com respeito a v0, . . . , vk, são funções contínuas de x.

(b) ské a união de todos os segmentos de reta ligando v0a pontos do simplexo s= hv1, . . . , vni

e quaisquer dois desses segmentos se intersectam somente no ponto v0.

(c) sk é um subconjunto compacto e convexo de Rne é igual a interseção de todos os

subcon-juntos convexos de Rn_{contendo v}

(d) Dado um simplexo sk = hv0, . . . , vki = hc0, . . . , cki, então {v0, . . . , vk} = {c0, . . . , ck}. Em

outros termos, exite um e, somente um conjunto geometricamente independentes que gera sk.

(e) Int sk é um subconjunto convexo e aberto no plano P e seu fecho é sk. Além disso, Int sk

é igual a união de todos os segmentos de reta abertos ligando v0 pontos do interior de

s= hv1, . . . , vki.

(f) Existe um homeomorfismo de skcom a bola unitária Bkque leva∂(sk) sobre a esfera unitária

Sn−1.

Exemplo 1.1. Consideremos W = {v0, v1, v2, v3} em R3 onde v0 = (0, 0, 0), v1 = (0, 0, 1),

v2 = (0, 1, 0) e v3 = (1, 0, 0) e o simplexo gerado por W. Temos um simplexo de dimensão

3: hv0, v1, v2, v3i, o simplexo gerado por W. Quatro complexos de dimensão 2: hv0, v1, v2i,

h_v0, v₁, v₃i_{, hv0}, v₂, v₃i_{e hv1}, v₂, v₃i_{. Seis simplexos de dimensão 1: hv0}, v₁i_{, hv0}, v₂i_{, hv0}, v₃i_, h_v

1, v2i, hv1, v3ie hv2, v3i. Quatro simplexos de dimensão 0: hv0i, hv1i, hv2ie hv3i.

Figura 1.2: Representação geométrica do Exemplo 1.1.

1.2.2

Complexos Simpliciais

Definição 1.6. Um Complexo Simplicial Geométrico K é uma coleção de simplexos que

satisfaz as seguintes condições:

(a) Cada face de um simplexo em K também está em K; (b) A intercessão de dois simplexos é um simplexo de K.

Uma subcoleção de um complexo K que satisfaz a Definição 1.6 é chamado um subcomplexo de K. Um subcomplexo que é a coleção de todos os simplexos de

dimensão no máximo p é denominado p-complexo ou p-esqueleto de K e será denotado por K(p)_{. Um complexo K é finito se possui quantidade finita de simplexos.}

Figura 1.3: Complexo simplicial geométrico em R2_.

Consideremos K um complexo simplicial geométrico e |K| = Ss∈Ks, o

subcon-junto de Rn_{, união de todos os simplexos de K. Dando a cada simplexo s a topologia}

herdada de Rn_{, definimos uma topologiaτ para |K| afirmando que um subconjunto A}

de |K| é fechado de |K| se e somente se A ∩ s é fechado em s para cada s ∈ K. O espaço |K| com a topologiaτ é chamado de espaço subjacente de K, ou o politopo de K ou poliedro de K.

De acordo com [19], a topologiaτ definida acima é mais fina que a topologia de |_{K|, herdada como subespaço de R}n_{. De fato, se F é fechado em |K| com a topologia de}

subespaço, então F= A ∩ |K| para algum conjunto A fechado em Rn_{. Segue então que}

A ∩ s é fechado em s para cada simplexo s em K e assim F = A ∩ |K| é fechado em |K| pela topologiaτ.

As duas topologias de |K|, τ e a topologia herdada como subespaço de Rn, coincidem quando K é finito. Com efeito, suponhamos K finito e F ⊂ |K| fechado. Então, F ∩ s é fechado em s e em Rn _{para cada s ∈ K. Como F é a união finita de}

conjuntos F ∩ s e o conjunto F é fechado em Rn_.

Proposição 1.5. Uma aplicação f : |K| −→ X é contínua se, e somente se, a restrição de f a cada simplexo s ∈ K é contínua.

Se f é contínua, então a restrição f |sde f a cada simplexo s ∈ K é contínua uma

vez que cada simplexo s é um subespaço de K. Reciprocamente, suponha cada mapa f |s contínuo. Se F é fechado em X, então f−1(F) ∩ s = ( f |s)−1(F) é fechado em s pela

continuidade de f |s. Portanto f é contínua pela Proposição 1.1.

 Agora apresentaremos uma definição que nos fornecerá argumento para a demonstra-ção da Proposidemonstra-ção 1.6.

Definição 1.7. Se x é um ponto de um poliedro |K|, x é interior a exatamente um simplexo s de

vértice arbitrário de K, definimos a coordenada baricêntrica tv(x) de x com respeito a v por: tv(x)=          0, se v , vi; ti, se v = vi. para algum i.

Para v fixado, a função tv(x) é contínua quando restrita a um simplexo fixado s,

uma vez que tv(x) ≡ 0 ou igual a coordenada baricêntrica de x com respeito ao vértice

v de s, no sentido da Definição 1.5. Portanto tv(x) é contínua pela Proposição 1.5.

Proposição 1.6. |K| é Hausdorff.

Suponhamos x0 , x1 em |K|, então existe pelo menos um vértice v tal que

tv(x0) , tv(x1). Tomando r > 0 entre um desses números, digamos tv(x0), teremos que

os conjuntos {x | tv(x) < r} e {x | tv(x) > r} são subconjuntos abertos disjuntos que

satisfazem a condição de Hausdorff.



Proposição 1.7. Seja K e L complexos e f : K(0) _−→L(0)_{uma aplicação. Suponha que sempre}

que os vértices v0, . . . , vnde K geram um simplexo de K, os pontos f (v0), . . . , f (vn) são os vértices

de um simplexo de L. Então f pode ser estendido como um mapa contínuo g : |K| −→ |L| tal que: x= n X i=0 ti·vi 7−→g(x)= n X i=0 ti· f (vi).

Chamamos g mapa simplicial (linear) induzido pelo mapa de vértices f .

Proposição 1.8. Suponhamos f : K(0) _{−→ L}(0) _{uma correspondência tal que os vértices}

v0, . . . , vn são vértices de um simplexo em K se, e somente se, f (v0), . . . , f (vn) geram um

simplexo de L. Então o mapa simplicial induzido g : |K| −→ |L| é um homeomorfismo. Diremos que g é um homeomorfismo simplicial, ou isomorfismo entre K e L.

Definição 1.8. Um espaço C é dito uma célula (fechada) de dimensão n se é homeomorfo ao

disco n-dimensional Dn_{= {x ∈ R}n_{| kxk ≤ 1}. C é dito ser uma célula aberta se é homeomorfo a}

Int Dn.

Uma célula é uma estrutura mais geral que um simplexo. Notemos que um simplexo de dimensão n é uma célula de dimensão n.

Definição 1.9. Um Complexo Celular (ou complexo CW) é um espaço topológico X e uma

(a) X é Hausdorff;

(b) Para cada n-célula aberta C_αda coleção, existe uma aplicação contínua f_α : Dn−→_{X que} mapeia homeomorficamente Int Dnsobre Cαe mapeia∂Dnem uma união finita de células

abertas, cada uma de dimensão menor que n.

(c) Um conjunto F é fechado em X se, e somente se, F ∩ Cαé fechado em Cα, para cadaα.

Segundo [19], a condição de finitude da parte (b) é denominada pelo termo em inglês closure-finiteness, atribuido por J. H. C. Whitehead. A condição (c) expressa o fato de que o espaço X tem o que J. H. C. Whitehead chamou de weak topology, relativa a coleção {Cα}α∈L. Esses termos dão origem às letras C e W que compõe termo

em inglês CW complexes, cuja tradução para o português é Complexos CW. A coleção {_Cα}_{α∈Lé denominada decomposição celular do espaço X ou CW-decomposição de X.} O poliedro de complexo simplicial é evidentemente um complexo celular.

Definição 1.10. Uma triangulação de um espaço topológico X é um homeomorfismo h do

poliedro de um complexo simplicial K sobre X, se existir. Caso exista tal homeomorfismo h dizemos que X é triangulável.

A triangulação de um espaço X determina um decomposição celular de X. A imagem de cada 2-simplexo é dita um triângulo da triangulação e a imagem de cada 1-simplexo e 0-simplexo são ditas arestas e vértices. Um espaço X pode admitir triangulações distintas. Feitas estas observações, enunciamos o seguinte resultado, provado por Tibor Radó em 1925.

Teorema 1.9 (Triangulação de Superfícies). Toda superfície é homeomorfa ao poliedro de algum complexo simplicial bidimensional, de modo que cada 1-simplexo é aresta de exatamente dois simplexos.

1.2.3

Complexos Simpliciais Abstratos

Definição 1.11. Um Complexo Simplicial Abstrato é uma coleção S de conjuntos não vazios

finitos, tal que, se A é um elemento de S, então cada subconjunto não vazio de A também pertence a S.

Cada elemento A ∈ S é chamado simplexo abstrato de S. Definimos a dimensão de A, denotada por dim (A), como a maior dimensão de um seus subconjuntos, tomado dentre todos seus subconjuntos não vazios, dada por dim(A) = #A − 1, onde #A é a cardinalidade de A. Os subconjuntos não vazios de A são chamados faces de A.

A dimensão de S é a maior dimensão de um de seus simplexos e infinito, se não tem uma tal maior dimensão. O conjunto V dos vértices de S é a união de todos os

subconjuntos unitários de S. Não faremos distinção entre o vértice v ∈ V e o 0-simplexo abstrato {v} ∈ S.

Exemplo 1.2. Consideremos a coleção;

S = n{_a1, a₂, a₃}, {a₂, a₃, a₄}, {a₁, a₂}, {a₁, a₃}, {a₂, a₃}, {a₂, a₄}, {a₃, a₄}, {a₄, a₅}, {a₅, a₆}, {_a6, a₇}, {a₆, a₈}, {a₁}, {a₂}, {a₃}, {a₄}, {a₅}, {a₆}, {a₇}, {a₈}o.

Pela definição 1.11, S é um complexo simplicial abstrato tal que dim(S)= 2.

Notemos que S é um subconjunto do conjunto PVdas partes de V = {a₁, . . . , a₈}.

De modo mais geral, um Complexo Simplial Abstrato é um par (V, C), onde V é um conjunto finito não vazio e C é uma coleção de subconjuntos finitos e não vazios de V de modo que a união dos elementos de C é V e cada subconjunto de um membro de C é também um membro de C.

Dois Complexos Simpliciais Abstratos S e S0

são ditos isomorfos se existe uma correspondência biunívoca f , entre o conjunto de vértices V de S e o conjunto de vértices V0

de S0

tal que, {v0, . . . , vn} ∈ S se, e somente se, { f (v0), . . . , f (vn)} ∈ S0.

Definição 1.12. Seja K um complexo simplicial geométrico e V seu conjunto de vértices.

Definamos K a coleção de todos os subconjuntos {v0, . . . , vn}de V tal que os vértices v1, . . . , vn

geram algum simplexo de K. A coleção K é chamada esquema de vértices de K.

Notemos que das Definições 1.6 e 1.11 conclui-se que K é um Complexo Simpli-cial Abstrato.

O seguinte teorema deixa essa afirmação mais precisa.

Teorema 1.10. (a) Todo Complexo Simplicial Abstrato S é isomorfo ao esquema de vértice de algum complexo simplicial K.

(b) Dois complexos simpliciais geométricos são lineamente isomorfos se, e somente se, seus esquemas de vértices são isomorfos como complexos simpliciais abstratos.

Definição 1.13. Se um complexo simplicial S é isomorfo ao esquema de vértices de um complexo

simplicial geométrico K, dizemos que K é uma realização geométrica de S. Esta realização é determinada unicamente por um isomorfismo linear.

O complexo da Figura 1.3 é uma realização geométrica do complexo simplicial abstrato do Exemplo 1.2.

Notemos que pela parte (b) do Teorema 1.10, se dois complexos simpliciais abstratos S1e S2 são isomorfos, suas realizações geométricas K1 e K2, respectivamente,

também são isomorfas e pela Proposição 1.8 o poliedro de K1é homeomorfo ao poliedro

de K2.

Agora digamos que para dois complexos simpliciais K e L tenhamos |K| home-omorfo a |L|. Os complexos simpliciais abstratos associados a K e L são ishome-omorfos? A resposta é não! Através da operação de subdivisão, que definimos a seguir, é possível construir exemplos que corroboram esta afirmação.

Definição 1.14. Se K é um complexo simplicial, uma subdivisão de K é um complexo simplicial

K0tal que, cada simplexo de K0está contido em um simplexo de K e cada simplexo de K é a união de simplexos de K0

.

Segue que |K| = |K0

|. Notemos ainda que K não é isomorfo qualquer uma de suas subdivisões não trivial, assim como seus complexos simpliciais abstratos associ-ados. Dizemos que dois complexos simpliciais são combinatóriamente equivalentes se eles têm uma subdivisão comum. Segundo [12] e [16], Ernest Steinitz e Heinrich Tietzeem conjecturaram em 1908 que se dois complexos simpliciais têm poliedros

homeomorfos eles são combinatóriamente equivalentes. Esta conjectura é conhecida como Hauptvermutung, da Topologia Combinatória. A conjectura segue para comple-xos de dimensão 2 e 3. Para complecomple-xos simpliciais de dimensão d ≥ 4 a conjectura não procede.

Na Subseção anterior mencionamos que uma dada superfície triangulável pode admitir mais de uma triangulação distinta. Uma questão que se levanta é se existe alguma relação entre os poliedros de duas determinadas triangulações de uma mesma superfície? Hauptvermutung garante que tais poliedros são homeomorfos.

1.3

Topologia Quociente e Superfícies Compactas

Na Subseção 1.2.1 definimos o objeto simplexo, bem como algumas de suas pro-priedades e na Subseção 1.2.2 uma estrutura constituída por estes objetos. Nesta seção trataremos de propriedades das superfícies compactas e orientáveis, e de representa-ções poligonais para estas. Comecemos descrevendo a topologia Quociente.

1.3.1

Topologia Quociente

Seja X um espaço topológico e Y um conjunto não vazio e q : X −→ Y uma aplicação sobrejetiva. Definimos uma topologia em Y declarando que um conjunto U ⊆ Y é aberto se, e somente se, a sua pré-imagem q−1(U), é aberto em X. Esta topologia é chamada topologia Quociente induzida pela aplicação q.

Se X e Y são espaços topológicos, uma aplicação q : X −→ Y é chamada aplicação

quociente se é sobrejetiva e a topologia de Y é a topologia quociente induzida pela aplicação q. Fica claro pela definição que a aplicação quociente é contínua uma vez que, para cada aberto A ⊂ Y a pré-imagem q−1_{(A) é aberto em X.}

Seja X um espaço topológico e ∼ uma relação de equivalência em X. Denotemos por [p] a classe de equivalência de p, para cada p ∈ X e o conjunto das classes de equivalência por X/ ∼. Notemos que a coleção X/ ∼ é uma partição de X. Seja,

φ : X −→ X_∼

p 7−→ [p]

a projeção canônica que associa cada elemento de X a sua classe de equivalência. Então, X/ ∼ juntamente com a topologia quociente induzida por φ é chamado Espaço

Quociente(ou Espaço de identificação) de X pela relação de equivalência ∼.

O espaço quociente também pode ser definido explicitando uma dada partição de X.

Exemplo 1.3 (Exemplo 3.49 de [16]). Consideremos I = [0, 1] e o quadrado definido por

P= I × I. Definamos a relação de equivalência em P dada por, (x, 0) ∼ (x, 1), para todo x ∈ I e (0, y) ∼ (1, y) para todo y ∈ I. O espaço quociente resultante é homeomorfo ao toro T2_.

Figura 1.4: Toro obtido pela topologia quociente.

Proposição 1.11. Suponhamos P um espaço topológico com base enumerável e M é um espaço

quociente de P. Se M é localmente Euclidiano, então também tem base enumerável. Assim, se M é localmente Euclidiano e Hausdorff, é portanto uma variedade.

Teorema 1.12. Suponha que X e Y são espaços topológicos e q: X −→ Y é um mapa quociente. Para qualquer espaço topológico Z, um mapa f : Y −→ Z é contínuo se e somente se a composição

f ◦ q é contínua: X Y Z

↓

−→

&

Este resultado segue imediatamente do fato de que para qualquer U ⊆ Z, f−1(U) é aberto em Y se, e somente se q−1_{( f}−1_{(U))= ( f ◦ g)}−1_{(U) é aberto em X.}

 A teoria dos espaços quocientes nos permite construir novos espaços a partir de outros por um processo denominado adjunção de espaços. Suponhamos X e Y espaços topológicos, A um subespaço fechado de Y e f : A −→ X uma aplicação contínua. Seja ∼ a relação de equivalência definida por a ∼ f (a), para todo a ∈ A, sobre a união disjunta X q Y. O espaço de adjunção de X com Y é o espaço,

X ∪f Y=

X q Y

∼ .

A aplicação f é chamada aplicação de adjunção.

Exemplo 1.4 (Exemplo 3.78 − b de [16]). Consideremos A = S1 _{⊆ B}2 _{e f : A} ,→ B2 _a

aplicação inclusão. Então o espaço de adjunção B2∪_{f B}2_{é homeomorfo a esfera S}2_.

1.3.2

Superfícies Compactas

Nesta Subseção buscamos representar as superfícies compactas por polígonos (complexos celulares) através da identificação de lados (topologia quociente). Come-cemos com a definição de superfície mencionada anteriormente.

Definição 1.15. Uma superfície compacta é uma variedade topológica bidimensional S,

com-pacta.

Como exemplos de superfícies compactas citamos o toro do Exemplo 1.3 e a esfera S2_{do Exemplo 1.4. A adjunção de espaços nos permite construir novas superfícies}

com a soma conexa de superfícies. Dadas duas superfícies compactas M e N, com BM ⊂ M e Bn ⊂ N, abertos em M e N, respectivamente, os espaços M0 = M \ BM e

N0 = N \ BN são superfícies com bordo ∂M 0

S1. Se f : ∂M0 −→∂N0 é a aplicação de adjunção, o espaço M0∪f N 0

, é chamado soma conexa entre duas superfícies compactas M e N e será denotado por M#N.

Agora descreveremos outra forma de representar uma superfície, a representa-ção por regiões poligonais, já empregada anteriormente em exemplos. Um polígono é um subconjunto de R2_{homeomorfo a S}1_{e é a união de 1-simplexos que se intersectam}

somente em seus extremos. Os 0-simplexos são denominados vértices e os 1-simplexos são chamados arestas. Uma região poligonal (2-célula) é um subconjunto compacto R2 cujo interior é homeomorfo a um disco aberto e seu bordo é um polígono.

Ressaltamos que a orientação de um segmento de reta no plano é uma ordenação de seus extremos. Dizemos que um segmento l1 = [a, b] está orientado de a para b, e

representamos este fato desenhando uma seta apontando no sentido de b. O ponto a é dito ponto inicial e o ponto b ponto final. De forma paramétrica, l1 = {x = (1−t)·a+t·b |

0 ≤ t ≤ 1}.

Dado um segundo segmento l2 = [c, d], orientado de c para d, definimos o mapa

linear positivo h : l1 −→ l2 que associa cada x = (1 − t) · a + t · b em l1 ao ponto

h(x)= (1 − t) · c + t · d em l2.

Seja P uma região poligonal no plano. Uma rotulação de P é uma mapa do con-junto de arestas de P sobre um concon-junto S denominado concon-junto de rótulos. Dada uma orientação a cada aresta de P e uma rotulação, definimos uma relação de equivalência em P da seguinte forma;

a) cada ponto em Int P é equivalente a si próprio;

b) dadas quaisquer duas arestas de P com mesmo rótulo e orientadas, tomemos h o homeomorfismo linear positivo de uma aresta sobre a outra e defina cada ponto x da primeira como equivalente ao ponto h(x) da segunda.

O espaço quociente X obtido dessa relação de equivalência é dito ser obtido

colandoas arestas de P de acordo com a rotulação e a orientação das arestas.

Definição 1.16. Seja P uma região poligonal com vértices p0, . . . , pncom p0 = pn. Dando uma

orientação e uma rotulação das arestas de P, seja a1, . . . , amos rótulos distintos que são atribuídos

às arestas de P. Para cada k, deixe aik ser o rótulo atribuído a aresta [pk−1, pk], e seja k = +1

ou −1 de acordo com a orientação atribuída a esta aresta de pk−1 para pk ou reverso. Então o

número de arestas de P, a orientação das arestas e a rotulação são completamente especificadas pelo símbolo (ou palavra),

w= (ai1) 1_(a i2) 2. . . (a in) n.

Chamamos este símbolo de um esquema de rotulagem de comprimento n para as arestas de P e é simplesmente uma sequência de rótulos com expoentes+1 ou −1. A

Definição 1.16 nos permite tratar a representação poligonal de um determinado espaço X apenas com seu esquema de rotulagem, dispensando-se a representação geométrica. Note que dado um esquema de rotulagem

w= (ai1) 1_(a i2) 2. . . (a in) n

podemos determinar uma região poligonal em R2 _{que tenha w como esquema de}

rotulagem. Esta região é denominada uma realização geométrica de w.

Figura 1.5: Rotulações do quadrado.

Na Figura acima temos três rotulações para um quadrado, bem como uma orientação de suas arestas. No primeiro, temos o esquema de rotulagem w1 = aa−1bb−1

– o espaço quociente resultante é homeomorfo à esfera S2_{. No segundo temos o símbolo}

w2 = aba−1b−1 – o espaço quociente resultante é homeomorfo ao toro T2. E no terceiro

quadrado, temos o símbolo w3 = abab - o espaço resultante é homeomorfo ao plano

projetivo P2_.

Seja P uma região poligonal em R2_{, com vértices sucessivos p}

0, p1, . . . , pn = p0,

convencionamos estas disposição no sentido anti-horário. Tome k de modo que que 1< k < n−1 e consideremos as regiões P1, cujos os vértices sucessivos são p0, p1, . . . , pk, p0

e P2cujos vértices são p0, pk, . . . , pn = p0. A aresta [p0, pk] é comum a essas duas regiões.

Notemos que P é a união dessas duas regiões.

Aplicando uma translação apropriada t : P1 −→ R2 obtemos uma região P0₁

disjunta de P2, cujos vértices são t(p0), t(p1), . . . , t(pk), t(p0). Dizemos que P0₁ e P2 são

obtidas por corte de P ao longo da aresta [p0, pk]. A região P é homeomorfa ao espaço

quociente de P0

1 e P2obtido colando a aresta orientada de p0 para pkde P2 com a aresta

orientada de t(p0) a t(pk) de P 0

1, de acordo com o mapa linear positivo. O processo

inverso também pode ser realizado, ou seja, dadas regiões Q1e Q2disjuntas, podemos

aresta orientada [p0, pk] de Q1a aresta orientada [q0, qk] pelo mapa linear positivo.

Figura 1.6: Corte de P.

Dado um número finito de regiões poligonais disjuntas, com uma orientação e rotulação das arestas de cada região, podemos obter o espaço quociente da mesma forma a empregada a uma única região.

Suponhamos que se tenha uma coleção finita de regiões poligonais disjuntas P1, P2, . . . , Pm e esquema de rotulagem w1, w2, . . . , wn, onde wi é o esquema de

rotula-gem das arestas de Pi e X o espaço quociente obtido desse esquema de rotulagem.

Cortando P1 ao longo da aresta [p0, pk], orientada de p0 para pk, obtemos n + 1

re-giões Q1, Q2, P2, . . . , Pm, onde Q1 corresponde a traslação da região determinada pelas

sequência de vértices p0, . . . , pk, p0. Indicamos a colagem de Q1com Q2, atribuindo um

rótulo, distinto dos presentes em cada wi (digamos d) a aresta [p0, pk], com expoente

+1. Atribuímos este mesmo rótulo a aresta [t(p0), t(pk)] de Q1, mas com expoente −1.

Dessa forma obtemos um esquema de rotulagem para Q1e outro para Q2. Com efeito,

suponhamos w1 = y1y2 onde y1 é a lista dos k primeiros termos de w1 e y2 os demais

termos de w1. Dessa forma constrói-se os esquemas de rotulagem w1₁ = y1d−1 de Q1 e

w2

1= d+1y2de Q2.

Obtemos o espaço X dessas regiões com estes esquemas de rotulagem uma vez que a composição de mapas quocientes é também mapa quociente. Em outras palavras o espaço obtido pelo quociente não depende da escolha de se colar as arestas [p0, pk] e [t(p0), t(pk)] primeiro para só depois colar as demais ou a escolha de tomar

a colagem simultânea das arestas de cada região. Cada região é denominada face da representação poligonal, as arestas e vértices da região são denominadas arestas e vértices da representação poligonal. Diremos que uma determinada representação é de superfície fechada se cada rótulo ocorrer exatamente duas vezes no esquema de rotulagem.

Figura 1.7: Corte do quadrado.

No quadrado a esquerda da Figura 1.7 temos o esquema de rotulação w1 =

aba−1_b−1_{cujo espaço quociente resultante é homeomorfo ao toro T}2_{. O triângulo Q} 1tem

sistema de rotulação w1

1= abd−1e o triângulo Q2o sistema w21 = da−1b−1. Note que cada

rótulo aparece duas vezes no esquema de rotulagem.

Agora apresentaremos algumas Operações elementares sobre esquemas de

rotulagem que deixam o espaço quociente resultante inalterado. As operação, aqui citadas, podem ser consultadas com mais detalhes pelo leitor em [16], no capítulo 6 ou em [20], no capítulo 12.

Definição 1.17(Operações Elementares). Seja w1, . . . , wnum esquema de rotulagem e X o

espaço quociente resultante. As seguintes operações são chamadas operações elementares. (i) - Corte - Substituir o esquema wi = y1y2 pelos esquemas w1_i = y1c−1 e w2_i = cy2 desde

que y1e y2tenha comprimento pelo menos 2 e c não apareça em nenhum wj, 1 ≤ j ≤ n;

(ii) - Colagem - Se wi = y0c−1e wk = cy2, substituir wi e wkpor wik= y1y2, desde que c não

apareça em nenhum wj, 1 ≤ j ≤ n;

(iii) - Renomear - Substituir todas as ocorrências de um dado rótulo por algum outro que não apareça em outro lugar no esquema. Substituir o expoente de todas as ocorrências de um dado rótulo a, esta operação reverte a orientação da aresta que recebe este rótulo;

(iv) - Permutação - Substituir qualquer dos esquemas wi por uma permutação cíclica de

seus termos. Esta operação resulta na renumeração dos vértices da região poligonal Pi

correspondente ao esquema wi;

(v) - Reflexão - Substituir o esquema wi = (ai1)1(ai2)2. . . (ain)n pelo esquema (wi)

−1 ₌ (ain) −_{n. . . (a} i2) −₂ (ai1) −₁

. Esta operação consiste em "virar"a região poligonal correspon-dente a wi invertendo a ordem dos vértices e a orientação das arestas;

(vi) - Cancelamento - Se wi = y1cc−1y2, substituir wi pelo esquema y1y2 desde que c não

(vii) - Desdobrar - Substituir o esquema wi = y1y2pelo esquema y1cc−1y2, desde que o rótulo

c não apareça em nenhum wj, 1 ≤ j ≤ n.

A Figura 1.8 ilustra como cada operação atua sobre o esquema de rotulagem apresentado para o toro T2.

Figura 1.8: Operações elementares sobre o Toro.

Dizemos que dois esquema de rotulagem são equivalentes se um pode ser obtido do outro por uma sequência de operações elementares.

Proposição 1.13. Cada operação elementar sobre uma representação poligonal produz

repre-sentações topologicamente equivalentes.

Teorema 1.14. Seja X o espaço obtido de uma coleção finita de regiões poligonais colando arestas

de acordo com algum esquema de rotulação. Então X é um espaço de Hausdorff compacto. Com as operações elementares apresentadas na Definição 1.17 podemos caracte-rizar a soma conexa de superfícies compactas através de suas representações poligonais e exibir representação poligonal para a superfície resultante. Apresentemos a seguir esta caracterização para a soma conexa de toros.

Exemplo 1.5. Consideremos os esquema de rotulagem w1 = a1b1a−1₁ b−1₁ e w2 = a2b2a−1₂ b−1₂ ,

ambos com espaço quociente associado homeomorfo ao toro T2_{. Definamos o esquema w} 3 =

(a1b1a−1₁ b−1₁ )(a2b2a−1₂ b−1₂ ), obtido concatenando os esquemas de rotulagem w1 e w2. w3 tem

como realização geométrica uma região poligonal octogonal. O espaço quociente resultante é homeomorfo a soma conexa T2#T2( bi-toro).

Note que aplicando a operação (vii) sobre w3obtemos, o esquema (a1b1a−1₁ b−1₁ )cc−1(a2b2a−1₂ b−1₂ )

e pela operação (i), os esquemas w1

3 = (a1b1a−11 b−11 )c = w1c e w23 = c−1(a2b2a−12 b−12 )= c−1w2.

Figura 1.9: Obtenção de uma representação poligonal para o bi-toro. A seguinte proposição generaliza este procedimento.

Proposição 1.15. Seja S1 e S2 superfícies que admitem representações poligonais (com face

única) disjuntas P1 e P2 respetivamente. Suponhamos w1 o esquema de rotulagem associado

a P1 e w2 o esquema de rotulagem associado a P2. Então w3 = w1w2, obtido concatenando os

esquemas w1 e w2, é o esquema de rotulagem de uma representação poligonal da soma conexa

S1#S2.

Proposição 1.16. Toda superfície compacta admite uma representação poligonal.

Inspirados no Exemplo 1.5 e na Proposição 1.15 citamos a seguinte definição.

Definição 1.18. Uma superfície S que tem esquema de rotulagem de uma de suas representações

poligonais da forma,

w= (a1b1a−11 b−11 )(a2b2a−12 b−12 ). . . (anbna−1n b−1n )

é dita soma conexa de n cópias do toro. Se S tem esquema de rotulagem associado da forma, w= (a1b1)(a2b2). . . (anbn),

Teorema 1.17(Classificação de Superfícies Compactas). Cada superfícies compacta conexa é homeomorfa a um dos seguintes espaços:

a) a esfera S2_;

b) a soma conexa de um ou mais cópias do toro T2_;

c) a soma conexa de um ou mais cópias do plano projetivo P2_.

Aqui estamos assumindo o fato que essas três classes de superfícies são topolo-gicamente distintas.

1.3.3

Característica de Euler

Nesta Subseção apresentaremos a generalização da fórmula de Euler, assunto presente nos currículos da educação básica. Nesse contexto estuda-se que todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler V − A+ F = 2, onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F o número de faces do poliedro.

No contexto dessa dissertação, um poliedro P ⊂ R3 _{é uma superfície poliédrica}

(complexo celular) que é o bordo de um conjunto aberto convexo de R3_{. A relação de}

Euler tem a seguinte generalização para Complexos celulares.

Definição 1.19. Se X é um complexo celular finito de dimensão n, definimos a Característica de Euler, a qual denotamos por X(X), por,

X(X)=

n

X

k=0

(−1)k·_nk,

onde nké o número de células de dimensão k de X.

Proposição 1.18(Característica de Euler de superfícies compactas). A característica de Euler para uma superfície compacta S é,

(a) 2, se S é homeomorfa a esfera;

(b) 2 − 2n, se S é homeomorfa a soma conexa de n toros;

(c) 2 − n, se S é homeomorfa a soma conexa de n planos projetivos.

Cabe mencionarmos que a característica de Euler é um invariante topológico. Para sermos mais precisos, se dois espaços X e Y são homeomorfos, então X(X)= X(Y). Não demonstraremos este fato, pois foge do objetivo dessa dissertação. Ressaltamos que a recíproca desse resultado não é verdadeira. A exemplo, segue da Proposição 1.18

que se X é a soma conexa de k toros e Y a soma conexa de 2k planos projetivos, então X(X)= X(Y) mas pode-se demonstrar que X e Y são topologicamente distintos.

Um fato que distingue essas duas classes de superfícies é a chamada orientabi-lidade. Na verdade, as superfícies fechadas podem ser classificadas em dois grupos — das superfícies orientáveis e das superfícies não-orientáveis. Não discutiremos nessa dissertação com detalhes os aspectos teóricos referentes a esse assunto mas apresenta-remos alguns pontos de interesse e relevância a continuidade deste trabalho.

Definição 1.20. Seja sn um simplexo (geométrico ou abstrato) de dimensão n ≤ 0. Duas

ordenações no conjunto de vértices de snsão ditas equivalentes se diferem uma da outra apenas

por uma permutação par. Dessa forma, as ordenações dos vértices de snresultam em apenas duas

classes de equivalência denominadas orientações do simplexo sn. O simplexo sné dito simplexo

orientado se é designada uma das orientações possíveis a este.

A orientação de um simplexo induz uma orientação para cada uma de suas faces. Notemos ainda que um 0-simplexo possui somente uma orientação.

Exemplo 1.6. Consideremos o complexo simplicial abstrato

S=n{_v1, v₂, v₃}, {v₁, v₂}, {v₁, v₃}, {v₂, v₃}, {v₁}, {v₂}, {v₃}o,

que tem uma região triangular como realização geométrica. As ordenações dos vértices de S podem ser organizadas em duas classes c1 e c2, de acordo com a Definição 1.20. Assim,

c1 = n (v1v2v3), (v2v3v1), (v3v1v2) o e c2= n (v1v3v2), (v3v2v1), (v2v1v3) o

Na Figura 1.10 o triângulo da esquerda representa o simplexo S com a orientação c1 onde a orientação é representada com uma seta curva no sentido anti-horário. O

triângulo da direita S com a orientação c2com seta curva indicando o sentido horário.

A orientação induzida em cada aresta é indicada por uma seta. v1 v2 v3



Figura 1.10: Orientações de um 2-simplexo.

Seja K um complexo simplicial, dando a cada simplexo um orientação obte-mos um complexo orientado. Dizeobte-mos que um complexo tem orientação coerente se quaisquer dois simplexos adjacentes induzem orientações opostas a sua face comum.

v1 v2 v3 v4



Figura 1.11: Complexos orientados.

Na Figura 1.11 o complexo da esquerda tem orientação coerente enquanto o complexo da direita não. Com a noção de orientação de simplexos citamos a seguinte definição.

Definição 1.21. Uma superfície fechada S é dita orientável se todas suas triangulações admitem

uma orientação coerente. Se S não admite triangulação orientada coerentemente dizemos que S é não orientável.

Como exemplo de superfícies orientáveis temos a esfera S2_{, o toro T}2 _{e a soma}

conexa de n toros. Um exemplo clássico de superfície não-orientável é a faixa de Möbius.

Para finalizar essa breve discussão sobre orientabilidade apresentamos a se-guinte proposição que nos permite estabelecer mais aspectos das superfícies compactas. A demostração dessa proposição pode ser consultada pelo leitor em [16]. Aqui estamos assumindo que a soma conexa de um ou mais planos projetivos é não-orientável.

Proposição 1.19 (Proposição 6.20 em [16]). Uma superfície compacta S é orientável se, e somente se, é homeomorfa a esfera S2_{ou a soma conexa de um ou mais Toros.}

Decorre da Proposição 1.19 juntamente com a Proposição 1.18 que superfícies compactas orientáveis S1 e S2 que possuam mesma característica de Euler são

ho-meomorfas. Munidos dessa classificação de superfícies fechadas em orientáveis e não-orientáveis definimos o gênero de uma superfície S.

Definição 1.22(Gênero de uma superfície fechada). O gênero de uma superfície fechada S é,

(a) 0 , S é homeomorfa a esfera S2_{(orientável);}

(b) n, se S é homeomorfa a soma conexa de n toros (orientável);

Capítulo 2

Geometria Hiperbólica

Neste capítulo descreveremos tópicos da Geometria Hiperbólica essenciais ao tratamento de superfícies compactas e orientáveis de gênero g ≥ 2, como espaço orbital pela ação de grupos de isometrias do espaço hiperbólico. Para isso, trataremos dos modelos euclidianos para a Geometria Hiperbólica — o modelo do semi-plano H2 _{e o}

modelo do disco de Poincaré D2_{. Cabe observar que a Geometria Hiperbórica pode}

ser desenvolvida sobre um conjunto de axiomas, assim como a Geometria Euclidiana e que os modelos aqui citados são consistentes com essa construção axiomática.

2.1

Transformações de Möbius

Para descrevermos os modelos para a Geometria Hiperbólica trabalharemos com o plano complexos C = {z = a + b · i | a, b ∈ R} o qual identificamos com o plano Euclidiano R2_{= {x = (x}

1, x2) | x1, x2 ∈ R} através da aplicação,

s : C −→ R2

z= x1+ x2·i 7−→ x = (x1, x2)

(2.1.1)

e o plano complexo estendido ˆC = C ∪ {∞} também conhecido com esfera de Riemann. O subconjunto ˆR = R ∪ {∞}, eixo real estendido, é um círculo em ˆC.

Convém descrevermos sobre C um conjunto de aplicações que serão de nosso interesse quanto ao estudo das isometrias hiperbólicas.

Definição 2.1. Uma aplicação da forma

T(z)= a · z+ b c · z+ d

então T(z) é chamada uma transformação de Möbius.

Observemos que se T é uma transformação de Möbius então a transformação de Möbius

T−1(z)= ₋d · z − b c · z+ a satisfaz

T(T−1(z))= T−1(T(z))= z,

ou seja, T−1 _{é a aplicação inversa de T. Além disso, se T e S são transformações de}

Möbius, então T ◦ S também é uma transformação de Möbius. Portanto o conjunto de transformações de Möbius constitui um grupo sob a operação de composição de transformações.

Seja δ ∈ C um número complexo não nulo e T uma transformação de Möbius

expressa por T(z)= a · z+ b c · z+ d, então, T(z)= δ · (a · z + b) δ · (c · z + d) = (δ · a) · z + (δ · b) (δ · c) · z + (δ · d), o que evidencia que os coeficientes a, b, c e d não são únicos.

Pode-se considerar cada transformação de Möbius definida continuamente em ˆ

C = C ∪ ∞ colocando T(∞) = a_c, T(−d_c) = ∞ se c , 0 e T(∞) = ∞ caso c = 0. Verifica-se que T mapeia ˆC sobre ˆC.

Dentre as transformações de Möbius destacamos as aplicações da forma T(z)= z+ b, b , 0 denominadas translação, D(z) = a · z chamada dilatação, R(z) = ei·θ · _{z a}

rotaçãoe as transformaçoes da forma I(z)= 1_z denominada a inversão.

Um fato relevante ao nosso estudo é que uma dada transformação de Möbius T, diferente da identidade, possui no máximo dois pontos fixos. Com efeito, suponha

T(z)= a · z+ b c · z+ d = z, então z é raiz da equação

c · z2+ (d − a) · z − b = 0

que possui no máximo duas raízes. Agora suponha z1, z2e z3três pontos distintos em ˆC

e T uma transformação de Möbius tal que T(z1)= w1, T(z2)= w2e T(z3)= w3. Suponha

S uma outra transformação de Möbius com essa mesma propriedade. Dai, (S−1◦_T)(z1)= z₁, (S−1◦_T)(z2)= z₂, (S−1◦_T)(z3)= z₃,

ou seja, z1, z2 e z3 são pontos fixos da transformação S−1◦T. Assim, S−1◦T deve ser

a transformação identidade e daí T = S. Portanto uma transformação de Möbius é unicamente determinada por sua ação em quaisquer três pontos distintos em ˆC.

Agora consideraremos z2, z3e z4pontos distintos em ˆC. Definamos R : ˆC −→ ˆC por, R(z)= z − z3 z − z4 , se z2 = ∞; R(z)= z2−z4 z − z4 , se z3= ∞; R(z)= z − z3 z2−z3 , se z4= ∞; R(z)= _z−z 3 z−z4  _z 2−z3 z2−z4  , se z2, z3, z4 ∈ C.

Em todos os casos R(z2) = 1, R(z3) = 0 e R(z4) = ∞ e R é a única transformação

com essa propriedade.

Motivados por essa observação, passemos a seguinte definição.

Definição 2.2(Razão Cruzada). Seja z1 ∈C então (zˆ 1, z2, z3, z4), a Razão Cruzada de z1, z2,

z3e z4, é a imagem de z1sob a única transformação de Möbius T que mapeia z2sobre 1, z3sobre

0 e z4 sobre ∞.

Uma das propriedades da razão cruzada é que ela é invariante sob a ação de transformações de Möbius como mostrado na seguinte proposição.

Proposição 2.1. Se z2, z3 e z4são pontos distintos em ˆC e T é uma transformação de Möbius

qualquer então,

(z1, z2, z3, z4)= (T(z1), T(z2), T(z3), T(z4)),

para qualquer ponto z1.

Suponha R(z) = (z, z2, z3, z4) a única transformação de Möbius que mapeia z2

sobre 1, z3 sobre 0 e z4 sobre ∞. Se M = R ◦ T−1 então M(T(z2)) = 1, M(T(z3)) = 0 e

M(T(z4))= ∞, portanto,

M(z)= R ◦ T−1(z)= (z, T(z2), T(z3), T(z4))

para todo z ∈ ˆC. Em particular se z = T(z1) e assim o resultado segue.

Com a Proposição 2.1 temos ferramentas para mostrar a seguinte proposição.

Proposição 2.2. Se z2, z3 e z4 são pontos distintos em ˆC e w2, w3 e w4 são também pontos

distintos de ˆC, então existe uma, e somente uma, transformação de Möbius T tal que T(z2)= w2,

T(z3)= w3 e T(z4)= w4.

Seja R(z) = (z, z2, z3, z4) e S(z) = (z, w2, w3, w4), então tomando T = S−1 ◦ R é

tal que, T(z2) = w2, T(z3) = w3 e T(z4) = w4. Para mostrar a unicidade, suponha

K outra transformação tal que, K(z2) = w2, K(z3) = w3 e K(z4) = w4. Dessa forma,

(K−1◦_T)(z2)= z_{2, (K}−1◦_T)(z3)= z_{3e (K}−1◦_T)(z4)= z_{4, ou seja, K}−1◦_{T possui três pontos} fixos. Daí, K−1_{◦T= I}

d, onde Id é a transformação identidade. Portanto, K= T.

 Em outros termos, a Proposição 2.2, nos diz que a ação do grupo de transforma-ções de Möbius é transitiva no conjunto de triplas de pontos distintos de ˆC.

Agora enunciamos uma proposição que nos servirá de ferramenta na demos-tração do Teorema 2.4. Omitiremos sua demosdemos-tração a qual pode ser consultada pelo leitor em [5].

Proposição 2.3. Sejam z1, z2, z3 é z4quatro pontos distintos em ˆC. Então (z1, z2, z3, z4) é um

número real se, e somente se, estes quatro pontos estão sobre um mesmo círculo. Com esse resultado em mãos enunciamos e mostramos o Teorema 2.4.

Teorema 2.4. Toda transformação de Möbius leva círculos em círculos.

Seja C um círculo em ˆC e T uma transformação de Möbius genérica. Tome z2, z3

e z4três pontos distintos de C. Sejam w2 = T(z2), w3 = T(z3) e w4 = T(z4). Note que w2,

w3 e w4 determinam um um círculo C 0

em ˆC. Afirmamos que T(C) = C0. Com efeito, pela Proposição 2.1,

(z, z2, z3, z4)= (T(z), w2, w3, w4).

Agora pela Proposição 2.3, ambos os lados da igualdade são números reais. Portanto T(z) ∈ C0

e assim T(C) = C0

.

 Destacamos que dados dois círculos C e C0

em ˆC, existe uma transformação de Möbius T que mapeia C sobre C0

. A existência de T não é única uma vez que pode-se tomar quaisquer três potos distintos em C de modo a mapeá-los sobre quaisquer três pontos distintos em C0

distintos w2, w3 e w4 em C 0

, se especificarmos previamente T(z2) = w2, T(z3) = w3,

T(z4)= w4 a transformação T é única em decorrência da Proposição 2.2.

Finalizamos essa Subseção descrevendo condições necessárias e suficientes para que uma dada transformação de Möbius T, seja de tal sorte que T( ˆR) = ˆR.

Proposição 2.5. Seja T uma transformação de Möbius, então para que T( ˆR) = ˆR é necessário e suficiente que se possa determinar números reais r1, r2 r3e r4tais que,

T(z)= r1·z+ r2 r3·z+ r4.

Suponha, T( ˆR) = ˆR. Sejam k2, k3e k4números reais distintos tais que, T(k2)= w2,

T(k3)= w3 e T(k4)= w4são também números reais distintos. Tomando,

R(z)= (z, k2, k3, k4); S(z)= (z, w2, w3, w4). Note que, R(z)= z − k3 z − k4 · k2−k4 k2−k3 = (k2−k4) · z − k3· (k2−k4) (k2−k3) · z − k4· (k2−k3) S(z)= z − w3 z − w4 · w2−w4 w2−w3 = (w2−w4) · z − w3· (w2−w4) (w2−w3) · z − w4· (w2−w3)

possuem coeficientes reais assim como suas inversas. Pela Proposição 2.2 T(z)= (S−1◦_R)(z)

que tem coeficientes reais.

Reciprocamente se T(z)= a · z+ b

c · z+ d com a, b, c e d números reais, temos que T(z)= a · z+ b c · z+ d = (a · z+ b)(c · z + b) |_{c · z}+ d|2 = a|z|2_{+ ad · z + bc · z + bd} |_{c · z}+ d|2 . Segue que, =(T(z)) = T(z) − T(z) 2 · i = (a|z|2_{+ ad · z + bc · z + bd) − (a|z|}2_{+ ad · z + bc · z + bd)} 2i · |c · z+ d|2 = (ad − bc) · (z − z) 2i · |c · z+ d|2 = (ad − bc) · =(z) |_{c · z}+ d|2 .

Logo, se z ∈ ˆR então T(z) ∈ ˆR, o que conclui a demonstração.

2.2

O Modelo H

para a Geometria Hiperbólica

Consideremos o conjunto H2_{= {z = x+y·i ∈ C | y > 0} e T} z0H

2_{o espaço tangente}

a H2_{no ponto z}

0. Para cada ponto z0 ∈ H2está definido o produto interno,

gH2 : Tz0H 2_×T z0H 2 _−→ R (u, v) 7−→ hu, vi H2 = hu, vi =2_(z 0) , ∀ u, v ∈ Tz0H 2 _(2.2.1)

onde, hu, vi expressa o produto interno usual do espaço Euclidiano. Associada a esse produto temos a norma k · kH2 em Tz0H

2 _{que, para cada vetor}

w= (w1, w2) ∈ Tz0H 2_tem-se, k_wk H2 = p hw, wi H2 = r hw, wi =2_(z 0) = q w2 1+ w 2 2 =(z0) = kwk =(z0) . Além disso g_H2 define uma métrica Riemanniana em H2.

Definição 2.3 (Modelo H2). O conjunto H2 = {z = x + y · i ∈ C | y > 0}, o semi-plano superior, equipado com a métrica,

gH2 =

dx2_{+ dy}2

y2 (2.2.2)

é chamado espaço hiperbólico, também conhecido como plano de Lobachevski.

A métrica definida em (2.2.2) é denominada métrica hiperbólica. O conjunto ∂∞_H2= {z ∈ C | =(z) = 0} ∪ {∞} = R ∪ {∞}

é denominado bordo assintótico de H2 e conjunto ˆH2 = H2∪∂∞H2 é chamado plano

complexo fechado.

Seja γ : [t0, t1] −→ H2 uma curva parametrizada, onde, γ(t) = x(t) + i · y(t), o

comprimento hiperbólico deγ denotado por kγk_H2 é dado por,

kγk H2 = Z t1 t0 |γ0 (t)| y(t) dt= Z t1 t0 q  x0 (t)2+y0 (t)2 y(t) dt. (2.2.3)

Define-se a distância hiperbólica entre dois pontos p e q em H2_como,

d(p, q) = inf

ondeΩ é o conjunto de todas aos curvas diferenciáveis por partes que ligam p a q. Para expressarmos a distância d(p, q) em função de p e q necessitamos explicitar as geodésicas de H2_{, ou seja, as curvas que minimizam distâncias. Para isso precisamos expressar as}

isometrias de H2_.

Definição 2.4. Uma transformação T : H2 _{−→ H}2 _{é uma isometria se ela preserva distância}

em H2_.

A composição de isometrias é também uma isometria e pode-se mostrar que o conjunto de isometrias de H2 _{munido com a operação de composição é um grupo o}

qual denotaremos por Isom (H2_).

Proposição 2.6. Seja a ∈ R e l = {z ∈ H2 | <(z)= a} a semi-reta vertical em H2_∪∂

∞_H2. A

transformação rl : H2 −→ H2induzida pela reflexão Euclidiana sobre l é uma isometria de H2.

Através da identificação dada em (2.1.1) podemos tomar H2 _{= {(x, y) ∈ R}2 _{| y>}

0}= R2

+, munido com a métrica gH2. A reflexão sobre l é dada por,

rl : R2+ −→ R2+ (x, y) 7−→ (−x + 2a, y) . Sua diferencial é, drl =        −1 0 0 1        .

Mostraremos que hu, viH2 = hdrl·u, drl·viH2 para todo z0 = (x, y) e para todo u e

v em Tz0H 2_{. De fato, suponha u= (u} 1, u2) e v = (v1, v2) em Tz0H 2_{. Então,} h_drl·u, dr_l·_vi H2 = h(−u1, u2), (−v1, v2)iH2 = u1·v1+ u2·v2 y2 = hu, viH2

e portanto, rl é uma isometria de H2.

 Para descrevemos mais isometrias de H2_{descreveremos um grupo de}

transfor-mações que mantém H2 _{invariante e que podem ser estendias continuamente sobre}

ˆ

H2= H2∪∂∞_H2.

Consideremos o grupo SL(2, R) das matrizes G2×2, de entradas reais, tais que

det(G)= 1. De maneira explicita,

SL(2, R) =        G=        a b c d        ; a, b, c, d ∈ R, det(G) = a · d − c · b = 1        .

Agora consideremos o conjunto das transformações de Möbius, T : ˆC −→ ˆC da forma PSL(2, R) = ( T(z)= a · z+ b c · z+ d; a, b, c, d ∈ R, a · d − c · b = 1 ) .

Este conjunto é um grupo com a operação de composição de aplicação. A composição de duas transformações corresponde ao produto de suas matrizes corres-pondentes. Com efeito, sejam

T1(z)= a · z+ b c · z+ d, T2(z)= k · z+ l m · z+ n, temos que, (T1◦T2)(z)= (ak+ bm) · z + (al + bn) (ck+ dm) · z + (cl + dn).

Agora fazendo a correspondência entre as matrizes obtemos as matrizes G1 e G2

cor-respondente a transformações T1é T2respectivamente onde,

G1 =        a b c d        , G2 =        k l m n       

Tomando o produto dessas duas matrizes obtemos,

G1×G2 =        a b c d        ×        k l m n        =        ak+ bm al + bn ck+ dn cl + dn        ,

que é exatamente a matriz correspondente a transfonação T1◦T2. Note que as matrizes G

e −G de SL(2, R) representam uma mesma transformação T. Assim cada transformação T pode ser representada por um par matrizes ±G ∈ SL(2, R). Portanto PSL(2, R) é isomorfo ao grupo quociente,

SL(2, R) {Id, −Id}; Id =        1 0 0 1        .

Note que PSL(2, R) contém todas as transformações de Möbius da forma, T(z)= a · z+ b

c · z+ d |a, b, c, d ∈ R, ad − bc = k > 0, pois dividindo-se o numerador e o denominador de T(z) por

√

k obtemos uma nova matriz cujo determinante é 1. Em particular PSL(2, R) contém todas as transformações da forma, T(z)= a · z + b; a > 0 e a transformação T(z) = −1_z.

Teorema 2.7. PSL(2, R) age em H2por homeomorfismos.

Primeiro vejamos que cada transformação T ∈ PSL(2, R) mapeia H2 _{sobre si}

mesmo. Suponha w= T(z) = a·z+b_c·z+d, z= x + y · i. Mostraremos que =(w) > 0. De fato,

w = T(z) = a · z+ b c · z+ d = (a · z+ b)(c · z + b) |_{c · z}+ d|2 = a|z|2_{+ ad · z + bcz + bd} |_{c · z}+ d|2

= a(x2+ y2)+ ad(x + yi) + bc(x − yi) + bd_|

c · z+ d|2 . Logo, =(w)= (ad − bc)y_| c · z+ d|2 = y |_{c · z}+ d|2 = =_z |_{c · z}+ d|2. (2.2.5)

Dessa forma, se =(z)> 0 então, =(w) > 0. O Teorema segue da continuidade de T(z) e de sua inversa.

 O Teorema 2.7 nos garante que cada transformação T ∈ PSL(2, R) é um ho-meomorfismo de H2 _{sobre si mesmo. Mostraremos que além disso cada uma dessas}

transformações é uma isometria de H2.

Teorema 2.8. PSL(2, R) ⊂ Isom (H2).

Mostraremos que, se γ : [a, b] −→ H2 _{é uma curva diferenciável por partes,}

então T preserva o comprimento hiperbólico deγ, para toda T ∈ PSL(2, R). Suponha γ(t) = x(t) + i · y(t), e T(z) = a·z+b

c·z+d.

Tome (T ◦γ)(t). Pela Equação (2.2.5),

=(T(γ(t))) = _| =(γ(t)) c ·γ(t) + d|2.

Pela regra da cadeia, (T ◦γ)0

(t)= T0_{(γ(t)) · γ}0 (t) onde, T0(γ(t)) = a · (c ·γ(t) + d) − c · (a · γ(t) + b) (c ·γ(t) + d)2 = ad − cb (c ·γ(t) + d)2 = 1 (c ·γ(t) + d)2. Dai, aplicando (2.2.3), k_{T ◦}γk H2 = Z b a |(T ◦γ)0 (t)| =(T(γ(t)))dt= Z b a |_T0_{(γ(t)) · γ}0 (t)| =(T(γ(t))) dt = Z b a |γ0 (t)| |(c ·γ(t) + d)2| · |_{c ·}γ(t) + d|2 =(γ(t)) dt= Z b a |γ0 (t)| =(γ(t))dt= kγkH2. (2.2.6)