Métodos Estatísticos Módulo 2 2 o. Semestre de 2007 Exercício Programado 6 Versão para o Tutor Profa. Ana Maria Farias (UFF)

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Métodos Estatísticos –Módulo 2 2o. Semestre de 2007

Exercício Programado 6 –Versão para o Tutor Profa. Ana Maria Farias (UFF)

1. (Continuação do EP5 ) A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada à chave é 3=5: Em um chaveiro há 25 chaves, das quais três abrem essa porta. Sabendo que um indivíduo acabou de entrar na casa, qual é a probabilidade de que a porta estivesse destrancada?

2. (Continuação do EP5 ) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questão de um exame de múltipla escolha é p: Há m respostas possíveis para cada questão, das quais apenas uma é correta. Se o aluno não sabe a resposta para uma dada questão, ele escolhe ao acaso uma das m respostas possíveis. Se o aluno respondeu corretamente à questão, qual é a probabilidade de que tenha “chutado” a resposta?

3. Um gerente de banco tem que decidir se concede ou não empréstimo aos clientes que o solicitam. Ele analisa diversos dados para estudar a possibilidade de o cliente vir a …car inadimplente. Com base em dados passados, ele estima em 15% a taxa de inadimplência. Dentre os inadimplentes, ele tem 80% de chance de tomar a decisão certa, enquanto que essa chance aumenta para 95% entre os clientes adimplentes. Esse gerente acaba de recusar um empréstimo. Qual é a probabilidade de ele ter tomado a decisão correta?

4. Os circuitos A e B emitem independentemente traços e pontos da seguinte forma: dos sinais emitidos por A; 2=3 são traços, enquanto para o circuito B; os pontos são duas vezes mais prováveis que os traços. A escolha do circuito a operar é feita no início, completamente ao acaso. Sabendo-se que foram emitidos dois traços, qual é a probabilidade de que o terceiro sinal também seja um traço? 5. A probabilidade de que pelo menos duas de três pessoas, A; B; C; estejam vivas daqui a 8 anos é

54/125. A probabilidade de que apenas A; dentro desse grupo, esteja viva daqui a 8 anos é 3/125 e a probabilidade de que apenas C morra dentro de 8 anos é 2/125. Admitindo que os acontecimentos de…nidos pela sobrevivência de A; B; C sejam independentes, calcule a probabilidade de sobrevivência de cada uma das pessoas ao …nal de 8 anos.

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Solução dos Exercícios 1. Usando os eventos de…nidos no Exercício Programado 5, temos:

T = porta trancada à chave T = porta destrancada C = chave abre a porta C = chave não abre a porta

E = pessoa consegue entrar na casa O diagrama de árvore a seguir ilustra a situação descrita no problema.

Figura 1: Diagrama de árvore para o Exercício 1

Como visto, se a porta estiver destrancada, a pessoa entra dentro de casa, ou seja, T E. Por outro lado se a porta estiver trancada, ela tem que sortear uma chave e há 3 possibilidades em 25 de pegar uma chave que abre a porta. Logo, Pr(CjT ) = ₂₅3 e, pela regra do complementar, Pr(CjT ) =22₂₅: No Exercício Programado 5, calculamos Pr(E) como

Pr(E) = _{Pr(T ) + Pr(T \ C)} = _{Pr(T ) + Pr(T ) Pr(CjT )} = 2 5+ 3 5 3 25 = 50 125+ 9 125 = 59 125 O problema, agora, pede Pr(T jE): Por de…nição:

Pr(T jE) = Pr(T \ E)_Pr(E) = Pr(T ) Pr(E) = 2 5 59 125 =2 5 125 59 = 50 59 2. Usando os eventos de…nidos no Exercício Programado 5, temos:

S = Aluno sabe a resposta S = Aluno não sabe a resposta C = Resposta certa

C = Resposta errada A = aluno acerta a questão

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O diagrama de árvore a seguir ilustra a situação descrita no problema.

Figura 2: Diagrama de árvore para o espaço amostral do Exercício 2

Como visto, se o aluno sabe a resposta, ele escolhe a resposta certa e acerta a questão; logo, S A, Pr(CjS) = 1 e Pr(CjS) = 0: Por outro lado, se ele não sabe a resposta, ele “chuta” e tem 1 chance em m de acertar; logo, Pr(CjS) = _m1 e Pr(CjS) = m_m1: Ainda segundo dados do problema, Pr(S) = p e, portanto, Pr(S) = 1 p:

No Exercício Programado 5, calculamos Pr(A) como

Pr(A) = _{Pr(S \ C) + Pr(S \ C)} = _{Pr(S) Pr(CjS) + Pr(S) Pr(CjS)} = p 1 + (1 p) 1 m = p + 1 p m O problema agora pede Pr(SjA) :

Pr(SjA) = Pr(S \ A)_Pr(A) =Pr(A) Pr(A \ S)

Pr(A) = Pr(A) Pr(S) Pr(A) = 1 Pr(S) Pr(A) = 1 p p + 1 p_m 3. Vamos de…nir os seguintes eventos:

I = cliente …cará inadimplente I = cliente não …cará inadimplente C = gerente concede empréstimo C = gerente não concede empréstimo

Note que não podemos de…nir as probabilidades dadas em termos de decisão certa ou errada, pois “certa” depende do cliente, conforme ilustrado no quadro a seguir:

Cliente

Inadimplente Adimplente

Gerente Concede empréstimo Erro Acerto

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Pelos dados do problema e pela regra do complementar, temos que Pr(I) = _{0; 15 =) Pr(I) = 0; 85} Pr(CjI) = 0; 80 =) Pr(CjI) = 0; 20 Pr(CjI) = 0; 95 =) Pr(CjI) = 0; 05

O problema pede Pr(IjC); uma vez que, se o gerente recusou o empréstimo, sua decisão só será acertada se o cliente for inadimplente.

Pr(IjC) = Pr(I \ C) Pr(C) Veja o diagrama de árvore na Figura 3:

Figura 3: Espaço amostral para o Exercício 3

Daí podemos ver que

Pr(C) = _{Pr(C \ I) + Pr(C \ I)}

= _{Pr(I) Pr(CjI) + Pr(I) Pr(CjI)} = 0:15 0:80 + 0:85 0:05 = 0; 1625 Logo, Pr(IjC) = Pr(I \ C) Pr(C) = Pr(I) Pr(CjI) Pr(C) = 0:15 0:80 0:1625 = 0; 7385

4. A probabilidade de traço no circuito A é 2/3 e no circuito B; 1/3. Vamos indicar por Ti e Pi a

ocorrência de ponto e traço, respectivamente, na i ésima transmissão, i = 1; 2; 3: O problema pede Pr(T3jT1\ T2): Por de…nição

Pr(T3jT1\ T2) =

Pr(T3\ T1\ T2)

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Por outro lado, a probabilidade de obtermos 2 ou 3 traços depende de qual circuito foi escolhido. Logo, Pr(T1\ T2) = Pr(A \ T1\ T2) + Pr(B \ T1\ T2) = Pr(A) Pr(T1\ T2jA) + Pr(B) Pr(T1\ T2jB) = 1 2 2 3 2 3 + 1 2 1 3 1 3 = 5 18

Note que as transmissões são independentes; por isso, multiplicamos as probabilidades! Pr(T1\ T2\ T3) = Pr(A \ T1\ T2\ T3) + Pr(B \ T1\ T2\ T3) = Pr(A) Pr(T1\ T2\ T3jA) + Pr(B) Pr(T1\ T2\ T3jB) = 1 2 2 3 2 3 2 3 + 1 2 1 3 1 3 1 3 = 9 54 Logo, Pr(T3jT1\ T2) = Pr(T3\ T1\ T2) Pr(T1\ T2) = 9 54 5 18 = 9 54 18 5 = 3 5

5. Vamos indicar por A; B; C os eventos relativos à sobrevivência de cada uma das três pessoas ao …nal de 8 anos. Pelos dados do problema, esses eventos são independentes. Na …gura a seguir, a parte sombreada corresponde ao evento “pelo menos duas pessoas estarão vivas ao …nal dos 8 anos”, cuja probabilidade é 54

125. Note que esse evento pode ser decomposto como a união de A \ B (parte

sombreada mais clara), A \ C \ B (parte sobreada mais escura à esquerda) e B \ C \ A (parte sombreada mais escura à direita).

Figura 4: Ilustração do evento “pelo menos 2 pessoas estarão vivas depois de 8 anos” para o Exercício 5

Como esses eventos são mutuamente exlusivos, podemos escrever

Pr(A \ B) + Pr(A \ C \ B) + Pr(B \ C \ A) = 54 125 e pela independência, resulta que

Pr(A) Pr(B) + Pr(A) Pr(C) Pr(B) + Pr(B) Pr(C) Pr(A) = 54

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O problema dá também que Pr(A \ B \ C) = ₁₂₅3 e pela independência, Pr(A) Pr(B) Pr(C) = 3 125 (2) A última relação é Pr(A \ B \ C) = ₁₂₅2 o que implica que

Pr(A) Pr(B) Pr(C) = 2

125 (3)

Dividindo (2) por (3) termo a termo, obtemos que Pr(A) Pr(B) Pr(C) Pr(A) Pr(B) Pr(C) = 3 125 2 125 =) Pr(B)_Pr(B) = 3 2 =) 2 Pr(B) = 3 Pr(B) =) 2[1 Pr(B)] = _{3 Pr(B) =) Pr(B) =} 2 5 Substituindo este valor em (3) resulta

2 5Pr(A) Pr(C) = 2 125 =) Pr(A) Pr(C) = 1 25 =) Pr(A) = 1 25[1 Pr(C)]

Substituindo esta expressão, assim como o valor de Pr(B); em (1) e fazendo p = Pr(C); obtemos o seguinte: 2 5 1 25(1 p)+ 3 5 1 25(1 p)p + 2 5 p 1 1 25(1 p) = 54 125 =) 2 25(1 p) + 3p 25(1 p)+ 2p 1 1 25(1 p) = 54 25 =) 2 + 3p 25(1 p)+ 2p 2p 25(1 p) 54 25 = 0 =) 2 + 3p + 50p(1 p) 2p 54(1 p) 25(1 p) = 0 =) 2 + 3p + 50p 50p2 _2p _{54 + 54p} 25(1 p) = 0 =) 50p2+ 105p _{52 = 0 =)} 50p2 _{105p + 52 = 0 =)} p = 105 p 1052 ₄ ₅₀ ₅₂ 100 =) p = 105 p 625 100 =) p = 105 25 100 =) p = 1; 3 ou p = 0; 80 Como p é uma probabilidade, resulta que o valor válido é

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ou seja, Pr(C) = 4 5 e, portanto, Pr(A) = 1 25(1 0:8)= 0; 2 ou seja Pr(A) = 1 5