1
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA Capítulo 30 – Sears, Zamansky &Young, V.3 30-2: . 10 6 . 3 040 . 0 ) 10 2 . 1 )( 10 00 . 6 )( 200 ( 4 2 3 5 V x s m x T X t NBA t B
30-4: De acordo com o Ex. (30-3),
Q = 2.16 10 . 0 . 12 80 . 6 ) 10 20 . 2 )( 05 . 2 )( 90 ( 3 2 4 C x m x T R NBA 30-6: a) 4 3 5 ) / 10 00 . 3 ( ) / 0120 . 0 ( ) ( T st x T s t dt d NA B dt d NA dt Nd B = NA ((0.012 T/s) + (1.2 x 10-4 T/s)t3) = 0.0302 V + (3.02 x 10-4 V/s2)t3. b) Para t = 5.00 s = 0.0302 V + (3.02 x 10-4 V/s2)(5.00 s)3 = +0.0680V I =
1
.
13
10
.
600
0680
.
0
4A
x
V
R
30-8:a)dt
d
dt
d
B(NBA cos t) = NBA sen t e 1200 rev/min = 20 rev/s, logo:
max = NBA = (150)(0.060 T) (0.025 m)2(440 rev/min)(1
min/60 s)(2 rad/rev) = 0.814 V.
b) A fem média é dada por: =
.
518
.
0
814
.
0
2
2
maxV
V
30-10: = . / 4 . 10 ) 016 )(). 075 . 0 )( 120 10 40 . 2 sin ) cos ( 2 2 max max s rad m T V x NBA NBA t NBA t NBA dt d dt d B30-12: a) Quando o campo magnético cresce entrando na página, o campo magnético induzido deve se opor a esta variação. Logo, a corrente induzida possui sentido anti-horário.
b) Quando o campo magnético decresce entrando na página, o campo magnético induzido deve se opor a esta variação. Logo, a corrente induzida possui sentido horário.
c) Quando o campo magnético permanece constante, a variação do fluxo magnético é igual a zero. Logo não existe nenhuma corrente induzida.
30-14: a) Quando a corrente passa no sentido de a b e está aumentando, vemos que o fluxo magnético aumenta da direita para a esquerda, logo a corrente induzida deve produzir um fluxo magnético da esquerda para a direita. Donde se conclui que a corrente induzida deve passar no resistor da direita para a esquerda.
b) Quando a corrente passa no sentido de b a e está diminuindo, vemos que o fluxo magnético aumenta da direita para a esquerda, logo a corrente induzida deve produzir um fluxo magnético da esquerda para a direita. Donde se conclui que a corrente induzida deve passar no resistor da direita para a esquerda.
c) Quando a corrente passa no sentido de b a e está aumentando, vemos que o fluxo magnético aumenta da esquerda para a direita, logo a corrente induzida deve produzir um fluxo magnético da direita para a
esquerda. Donde se conclui que a corrente induzida deve passar no resistor da esquerda para a direita.
30-16: a) = vBL = (5.00 m/s)(0.450 T)(0.300 m) = 0.675 V.
b) A diferença de potencial entre as extremidades da barra é dada pela fem induzida pelo movimento, ou seja, V = 0.675 V.
c) As cargas positivas se deslocam para a extremidade b, logo b está a um potencial mais elevado.
d) E =
2
.
25
.
750
.
0
675
.
0
m
V
V
d
v
e) b 30-18: a) = vBL = (7.50 m/s)(0.800 T)(0.500 m) = 3.00 V.b) A corrente passa no sentido anti-horário visto que o campo magnético que ela produz deve se opor ao aumento do fluxo magnético na espira. c) F=ILB =
50
.
1
)
800
.
0
)(
500
.
0
)(
00
.
3
(
V
m
T
R
LB
= 0.800 N, da esquerda para a direita.d) Pmec = Fv = (0.800 N)(7.50 m/s) = 6.00 W. Pele =
50
.
1
)
00
.
3
(
2 2V
R
6.00 W. Logo as duas potências são iguais.
30-20: a) Usando a Equação (30-6): = vBL B =
.
833
.
0
)
120
.
0
)(
/
50
.
4
(
450
.
0
T
m
s
m
V
vL
b) O ponto a está a um potencial mais elevado do que o do ponto b, porque existem mais cargas positivas no ponto a do que no ponto b.
30-22: a) 2
.
1dt
dB
r
dt
dB
A
dt
d
B b) E = . 2 2 2 1 1 1 2 1 1 dt dB r dt dB r r dt d r Bc) O flux magnético está inteiramente confinado na região r < R, logo fora do solenóide E =
.
2
2
2
1
2 2 1dt
dB
r
R
dt
dB
r
R
dt
d
r
Bd) Use os resultados dos itens (b) e (c) para fazer o gráfico solicitado. e) Para r = R/2:
.
4
)
2
/
(
2dt
dB
R
dt
dB
R
dt
d
B f) Para r = R = 2.
dt
dB
R
dt
d
B2
g) Para r = 2R = 2.
dt
dB
R
dt
d
BNote que a fem induzida não depende da distância r ao eixo central do cilindro para pontos fora do cilindro. 30-24: . / 21 . 9 ) 0110 . 0 ( ) 00 . 4 ( ) 0350 . 0 ( 2 )( / 10 00 . 8 ( 2 ) . ( ) ( 2 1 0 6 0 0 0 s A m m m V x dt dI nA r E dt dI dt dI nA nIA dt d BA dt d dt d B 30-26: =
-t
nI
NA
t
B
B
NA
t
N
B(
f i)
0 . 10 50 . 9 0400 . 0 ) 350 . 0 )( 9000 )( 10 00 . 8 )( 12 ( 4 1 2 4 V x s A m m x o30-28: Podemos fazer o seguinte modelo simples. Imagine um supercondutor do tipo II como se fosse um circuito contendo em paralelo uma região condutora (ou várias regiões) e uma região supercondutora (ou várias regiões). Caso haja uma ddp nos terminais de um fio supercondutor do tipo II, a corrente deve fluir pelas regiões supercondutoras (com resistência igual a zero) e não pelas regiões condutoras (com resistência diferente de zero). A corrente passará portanto como se a resistência total fosse igual a zero. Ou seja, podemos dizer que a resistência equivalente é igual a zero.
30-30: a) Imediatamente abaixo de
B
c1
(limite para o início da fase supercondutora), o campo magnético no material deve ser igual a zero, e
0 3 0
ˆ
10
55
x
T
i
B
M
cl
= -(4.38 x 104 A/m)ˆi
.
b) Imediatamente acima deB
c2
(limite para o início da fase condutora), a magnetização é igual a zero, e
2 c
B
B
=(15.0 T)ˆi
.
30-32: a) I = . sen ) cos ( 1 1 R t BA dt t BA d R dt d R R B b) P = I2R = R t A B2 2 2 2 sen c) = IA =R
t
BA
2sen
d) = B sen = B sen t = R t A B2 2 2 sen e) P = =R
t
A
B
2 2 2sen
2 , o mesmo resultado obtido na parte(b).
30-34: a) Girando em torno do eixo y:
max =
dt
d
B= BA = (35.0 rad/s)(0.450 T)(6.00 x 10-2 m) = 0.945 V.
b) Girando em torno do eixo x:
dt
d
B= 0 0. c) Girando em torno do eixo z:
max =
dt
d
B = BA = (35.0 rad/s)(0.450 T)(6.00 x 10-2 m) = 0.945 V. 30-36: a) Quando I = i B =r
i
2
0 , entrando na página. b) d B = BdA =r
i
2
0 Ldr. c) B = b a d B =2
2
0 0iL
r
dr
iL
b a ln(b/a). d) =ln(
/
)
.
2
0dt
di
a
b
L
dt
d
B e) =2
)
240
.
0
(
0m
ln(0.360/0.120)99.60 A/s) = 5.06 x 10-7 V. 30-38: a) B = BA = B0 r02(1-3(t/t0)2 + 2(t/t0)3). b) = -dt
d
B B0 r02d t
d
(1-3(t/t0)2 + 2(t/t0)3 = 0 2 0 0t
r
B
(-6(t/t 0) + 6(t/t0)2) = = 0 2 0 06
t
r
B
, logo para t = 5.0 x 10-3 s, = -s s x s s x s m B 010 . 0 10 0 . 5 010 . 0 10 0 . 5 010 . 0 ) 0420 . 0 ( 6 2 3 2 3 0 = 0.0665 V, anti-horário. c) . 2 . 10 12 10 0 . 3 0655 . 0 3 A x V r i R r R R i total totald) Calculando a fem para t = 1.21 x 10-2 s e usando as equações da
parte (b), obtemos: = -0.0676 V, e a corrente possui sentido horário, correspondendo ao sentido de b para a através do resistor.
3
e) = 0 0 = 0 2 0 t t t t 1 = 0t
t
t = t 0 = 0.010 s. 30-40: Fio A:v
x
B
= 0 = 0.Fio C: = vBL sen = (0.350 m/s)(0.120 T)(0.500 m) sen 45o = 0.0148 V. Fio D: = vBL sen = (0.350 m/s)(0.120 T)
2
(0.500 m) sen 45o = 0.0210 V. 30-42: . 40 . 0 250 )) 0 . 3 )( 95 . 0 )( / 5 . 3 (( ) ( : logo , ) ( 2 2 2 2 2 W m T s m P vBL R R vBL R R V P méd ia efica z méd ia 30-44: a) =v
x
B
L
)
(
= (4.20 m/s)iˆ
x ((0.120 T)iˆ
- (0.220 T)jˆ
– (0.0900 T)kˆ
)L
= ((0.378 V/m)jˆ
– (0.924 V/m)kˆ
) ((0.250 m)(cos 36.9oiˆ
+ sen 36.9ojˆ
)) = (0.378)(0.250) sen 36.9o = 0.0567 V. 30-46:.
dt
d
l
d
E
B QuandoB
estiver em direção paralela a uma área, concluímos que
dt
d
B = 0, logoE
d
l
.
= 0. Na figura seguinte, temosl
d
E
a b cd a
= EabL – EdaL = 0, porém Eda = 0, logo EabL = 0.Visto que a hipótese inicial era que Eab 0, o resultado
anterior entra em contradição com a lei de Faraday. Donde se conclui que um
campo elétrico uniforme não pode cair abruptamente para zero em uma região onde existe um campo magnético paralelo.
30-48: a) A figura seguinte mostra o módulo (relativo), a direção e o sentido do campo elétrico nos pontos solicitados.
b) Para calcular o campo elétrico na direção da espira em uma posição genérica, usaremos a geometria indicada na figura abaixo.
Eespira = E cos porém E =
a a r 2 cos ) cos / ( 2 2 Eespira =
a
2
cos
2 porém = dt dB a dt dB r dt dB A dt d B 2 2 2 cos Eespira =dt
dB
a
dt
dB
a
a
2
2
2 2, que é exatamente igual ao resultado do caso de um anel, obtido no Ex. (30-23), e não depende da região da espira considerada. c) I = 90 . 1 ) / 075 . 0 ( ) 20 . 0 ( 2 2 m T s dt dB R L dt dB R A R = 1.58 x 10 -3 A. d) ab = 8 ) / 075 . 0 ( ) 20 . 0 ( 8 1 8 1 2 2 m T s dt dB L = 3.75 x 10-4 V.
Porém existe uma queda de potencial dada por: V = IR = -3.75 x 10-4 V,
portanto a diferença de potencial entre esses pontos é igual a zero.
30-50: a) Quando a barra começa a deslizar, o fluxo magnético começa a diminuir, logo surge uma corrente induzida orientada no sentido de
4
fazer aumentar o fluxo magnético, correspondendo ao sentido de a para b através da barra.
b) A força magnética sobre a barra deve ser igual à força da gravity. Obtemos:
FB = iLB = ( cos ) cos
2 2 2 R B vL vL R LB dt dA B R LB dt d R LB R LB B Portanto Fg = mg tan
.
cos
tan
logo
,
cos
2 2 2 2B
L
Rmg
v
R
B
L
v
t t c) . tan cos ) cos ( 1 1 LB mg R vLB vL R B dt dA B R dt d R R i B d) P = i2R = . tan 2 2 2 2 2 B L g Rm e) Pg = Fv cos(90o - ) = mg , tan sen cos tan 2 2 2 2 2 2 2 B L g Rm P B L Rmg gResultado igual ao obtido na parte (d).
5
INDUTÂNCIA Capítulo 31
31-2: Para um solenóide toroidal, M = N2 B2/i1, e B2 = 0N1i1A/2 r.
Logo, M = 0AN1N2/2 r. 31-4: a) M = 2/(di/dt) = 1.65 x 10-3 V/(-0.242 A/s) = 6.82 x 10-3 H. b) N2 = 25, i1 = 1.20 A, B2 = i1M/N2 = (1.20 A)(6.82 x 10-3 H)/25 = 3.27 x 10-4 Wb. c) di2/dt = 0.360 A/s e 1 = Mdi2/dt = (6.82 x 10-3 H)(0.360 A/s) = 2.45 mV.
31-6: Para um solenóide toroidal, L = N B/I = /(di/dt). Logo obtemos:
N = i/ B (di/dt)= ) / 0260 . 0 )( 00285 . 0 ( ) 40 . 1 )( 10 6 . 12 ( 3 s A Wb A V x = 238 espiras. 31-8: a) Lk = k 0N2A/2 r = ) 120 . 0 ( 2 ) 10 80 . 4 ( ) 1800 )( 500 ( 0 2 5 2 m m x = 0.130 H. b) Sem o material, L =
k
1
Lk =500
1
(0.130 H) = 2.60 x 10-4 H.31-10: [N /I] = s = Vs/A = V/(A/s) = [ /(di/dt)].
31-12: a) U =
2
1
LI2 = (12.0 H)(0.300 A)2/2 = 0.540 J.
b) P = I2R = (0.300 A)2 (180 ) = 16.2 W.
c) Não. A energia magnética e a energia térmica são independentes. Quando a corrente é constante, U = constante.
31-14: a) U = Pt = (200 W)(24 h/dia x 3600 s/h) = 1.73 x 107 J. b) U =
2
1
LI2 L = 2 7 2 ) 0 . 80 ( ) 10 73 . 1 ( 2 2 A J x I U = 5406 H. 31-16: a) vácuo: U = uV = 0 2 0 2 2 ) 560 . 0 ( 2 T V B (0.0290 m3) = 3619 J. b) material com k = 450 U = uV = 0 2 0 2)
450
(
2
)
560
.
0
(
2
T
V
k
B
(0.0290 m3) = 8.04 J. 31-18: a).
35
.
4
)
0690
.
0
(
2
)
50
.
2
)(
600
(
2
0 0mT
m
A
r
NI
B
b) Pela Eq. (31-10),.
/
53
.
7
2
)
10
35
.
4
(
2
3 0 2 3 0 2m
J
T
x
B
u
c) Volume V = 2 rA = 2 (0.0690 m)(3.50 x 10-6 m2) = 1.52 x 10-6 m3. d) U = uV = (7.53 J/m3)(1.52 x 10-6 m3) = 1.14 x 10-5 J. e))
0690
.
0
(
2
)
10
50
.
3
(
)
600
(
2
2 6 2 0 2 0m
m
x
r
A
N
L
= 3.65 x 10-6 H. U =2
1
2
1
2LI
(3.65 x 10-6 H)(2.50 A)2 = 1.14 x 10-5 J, o mesmoresultado obtido no item (d).
31-20: a)
.
256
)
120
)(
13
.
2
(
.
13
.
2
115
.
0
)
260
.
0
(
2
2
2
1
2V
A
IR
A
H
J
L
U
I
LI
U
b).
10
32
.
3
2
1
ln
)
120
(
2
115
.
0
2
1
ln
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4 ) / ( 2 2 0 ) / ( 2 2 2 ) / (s
x
H
R
L
t
e
LI
U
e
LI
Li
U
and
Ie
i
t L R t L R t L R 31-22: a) Para t = 0 vab = 0 e vbc = 60 V. b) Quando t vab 60 V e vbc 0. c) Quando I = 0.150 A vab = iR = 36.0 V e vbc = 60.0 V – 36.0 V = 24.0 V.6
31-24: Quando a chave 1 está fechada e a chave 2 está aberta:
.
)
/
ln(
0
) / ( 0 0 0 0 L R t t i Ie
I
i
t
L
R
I
i
t
d
L
R
i
i
d
L
R
i
dt
di
iR
dt
di
L
31-26: a).
10
37
.
2
)
10
18
.
4
(
)
10
6
.
1
(
4
1
4
1
2
1
3 1 2 2 6 2 2 2x
H
F
x
x
C
f
L
f
LC
b))
10
00
.
6
(
)
10
40
.
5
(
4
1
4
1
5 2 5 2 2 min 2 maxH
x
x
L
f
C
=3.67 x 10 -11 F. 31-28:F
x
H
)(
3
.
20
10
60850
.
0
(
1
= 1917 rad/s a)s
rad
A
x
i
Q
Q
i
/
1917
10
50
.
8
4 max max max max = 4.43 x 10-7 C b) Pela Eq. 31-26 . 1917 10 00 . 5 ) 10 43 . 4 ( 2 1 4 2 7 2 2 s A x C x LCi Q q 31-30: a) . 450 . 0 ) 10 50 . 2 ( 2 ) 10 50 . 1 ( 2 . 10 50 . 1 ) 10 50 . 2 )( 400 . 0 ( ) 50 . 1 ( 1 0 2 5 2 max max 5 1 0 max max max max max max J F x C x C Q U C x F x H a Q LC i i Q Q i b) 4 1 10 ) 3.1810 10 50 . 2 )( 400 . 0 ( 1 1 2 2 2 x s F x H LC f(a freqüência deve dobrar porque o período dobra).
31-32: A Equação (31-20) fornece
1
0
.
2 2q
LC
dt
q
d
Resolveremos esta equação usando:
. 1 1 0 ) cos( ) cos( 1 ). cos( ) sen( ) cos( 2 2 2 2 2 2 2 LC LC t LC Q t Q q LC dt q d t Q dt q d t Q dt dq t Q q 31-34: a)
q
Ae
( R/2L)tcos(
t
)
. 4 1 0 1 2 2 ). cos( ) sen( 2 2 ) cos( 2 ). sen( ) cos( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 / ( 2 ) 2 / ( ) 2 / ( 2 2 2 ) 2 / ( ) 2 / ( L R LC LC L R L R q LC q dt dq L R dt q d t Ae t e L R A t e L R A dt q d t Ae t e L R A dt dq t L R t L R t L R t L R t L R b) Para0
,
,
0
:
dt
dq
i
Q
q
t
. 4 / / 1 2 2 tan 0 tan 2 ; cos 0 sen cos 2 ; cos 2 2 L R LC L R L R q l QR Q A A A L R dt dq Q a Q 31-36:.
/
2C
L
A
V
V
C
s
F
H
C
L
31-38: a) Quando R = 0, 0 =)
10
50
.
2
)(
450
.
0
(
1
1
5F
x
H
LC
= 298 rad/s. b) Desejamos 0 = 0.95L
C
R
LC
L
R
LC
4
1
/
1
)
4
/
/
1
(
2 2 2 = (0.95)2 R = ) 10 50 . 2 ( ) 0975 . 0 )( 450 . 0 ( 4 ) ) 95 . 0 ( 1 ( 4 5 2 F x H C L = 83.8 . 31-40: a) = -L dt d L dt di ((0.124 A) cos [(240 /s)t] = +(0.250 H)(0.124 A)(240 )sen(240 /s)t) = +(23.4 V)sen((240 /s)t).7
b) max = 23.4 V; I = 0, porque a diferença de fase entre a fem e a
corrente é igual a 90º.
c) Imax = 0.124 A; = 0, porque a diferença de fase entre a fem e a
corrente é igual a 90º. 31-42: a) 1 2 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 1 1 0 1 2 2 1 2 2 2 1 2 l r N N l A N N l IA N IA A N A A I N I N M B B b) 1. 1 2 2 2 1 0 1 1 2 1 0 2 2 2 2 dt di l r N N dt di l A N N dt d N B c) 2
.
1 2 2 2 1 0 2 2 2 1dt
di
l
r
N
N
dt
di
M
dt
di
M
31-44: a) = Ld t
d i
= (3.50 x 10-3 H)d t
d
((0.680 A)cos( t/0.0250 s)) max = (3.50 x 10-3 H)(0.680 A)s
0250
.
0
= 0.299 V. b) Bmax =400
)
680
.
0
)(
10
50
.
3
(
3 maxx
H
A
N
Li
= 5.95 x 10-6 Wb. c) (t) = -Ld t
d i
= -(3.50 x 10-3 H)(0.680 A)( /0.0250 s)sen( /0.0250 s) (t) = -(0.299 V)sen((125.6 s-1)t) (0.0180 s) = -(0.299 V)sen((125.6 s-1)(0.0180 s)) (t) = 0.230 V. 31-46: a).
2
2
0 0 nterna 0r
i
B
i
r
B
I
l
d
B
i b).
2
0ldr
r
i
BdA
d
B c) ln( / ). 2 2 0 0 a b il r dr il d b a B b a B d) L=ln(
/
).
2
0b
a
l
i
N
B e) U = ln( / ). 4 ) / ln( 2 2 1 2 1 2 0 2 0 2 a b li i a b l Li 31-48: a).
2
2
,
2
2
2 2 0 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 21 1r
A
N
r
i
N
i
A
N
i
N
L
r
A
N
r
i
N
i
A
N
i
N
L
B B b) M2 = . 2 . 2 2 1 2 2 2 0 2 1 0 2 2 1 0 LL r A N r A N r A N N 31-50: a) . 1860 10 45 . 6 0 . 12 3A x V i V R f b) . 963 . 0 )) 45 . 6 / 86 . 4 ( 1 ln( ) 10 25 . 7 )( 1860 ( ) / 1 ln( ) / 1 ln( ) 1 ( 4 ) / ( H s x L i i Rt L i i L Rt e i i f f t L R f 31-52: a) U = 2 2 2 0 240 60 ) 160 . 0 ( 2 1 2 1 2 1 V H R L Li = 5.00 x 10-3 J. b) . 52 . 4 240 ) 60 ( 2(2 4 0/0.1 6 0)(4.0 01 0 ) 2 ) / ( 2 2 2 ) / ( 4 W e V dt dU e R Ri dt di iL dt dU i L R dt di e R i x L t L R L t L R c) No resistor: . 52 . 4 240 ) 60 ( 2(2 4 0/0.1 6 0)(4.0 01 0 ) 2 ) / ( 2 2 2 4 W e V e R R i dt dUR RLt x d) PR(T) = i2R =e
R LtR
) / ( 2 2 2 2 2 ) / ( 2 0 2 ) 240 ( 2 ) 160 . 0 ( ) 60 ( 2 H V R L R dt e R U R Lt R = 5.00 x 10-3 J,8
31-54: a) Para t = . 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 / 1 1 2 4 3 cos 8 3 2 cos ) cos( 8 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B E U C q C Q LC Q L Li U LC Q Q Q LC q Q LC i Q Q T T Q t Q q Tb) As duas energias são quase iguais quando
.
8
5
8
5
2
T
t
t
Q
q
31-56: a) Vmax = F x C x C Q 4 6 10 50 . 2 10 00 . 6 = 0.0240 V. b))
10
50
.
2
)(
0600
.
0
(
10
00
.
6
2
2
1
4 6 max 2 2 maxF
x
H
C
x
LC
Q
i
C
Q
Li
= 1.55 x 10-3 A. c) Umax =2
1
2
1
2 maxLi
(0.0600 H)(1.55 x 10-3 A)2 = 7.21 x 10-8 J. d) If . 10 20 . 5 4 3 2 2 4 3 4 3 10 80 . 1 4 1 2 1 6 2 2 max 8 max max C x Q q C q C Q U U J x U U i i L C Umax =C
q
Li
2 22
1
2
1
para qualquer instante.31-58: a) Quando a chave está fechada, então em um instante posterior:
d t
d i
= 50.0 A/s v cd = L d t d i = (0.300 H)(50 A/s) = 15.0 V.Para a malha superior: 60.0 V = i1R1 i1 =
0
.
40
0
.
60 V
= 1.50 A.Para a malha inferior: 60 V – i2R2 – 15.0 V = 0 i2 =
0
.
25
0
.
45 V
= 1.80 A.b) Depois de um tempo muito longo: i2 = 0 . 25 0 . 60 V= 2.40 A, e imediatamente depois de abrir a chave, o indutor mantém esta corrente, logo i1
= i2 = 2.40 A.
31-60: a) Imediatamente depois de fechar S2, o indutor mantém a
corrente i = 0.180 A através de R. Usando as leis de Kirchoff na malha externa, obtemos:
+ L – iR – i0R0 = 36.0 V + (0.18)(150) – (0.18)(150) –
i0(50) = 0
i0 = = 0.720 A, vac = (0.72 A)(50 V) = 36.0 V e vcb = 0.
b) Depois de um tempo muito longo, vac = 36.0 V, e vcb = 0. Logo
i0 =
50
36V
= 0.720 A, IR = 0, e is2 = 0.720 A. c) i0 = 0.720 A, IR(t) = t L R to tale
R
) / ( IR(t) = (0.180 A)e-50t, e is2(t) = (0.720 A) = (0.180 A)e-50t, = (0.180 A)(4 – e-50t)Os gráficos das correntes são indicados na figura abaixo.
31-62: Série: 2
.
1 2 1 2 1 2 2 1 1dt
di
L
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
L
dt
di
L
eq Porém I = i1 + i2 dt di dt di dt di 1 2, também M12 = M21 M. Logo (L1 + L2 + 2M),
dt
di
L
dt
di
eq Ou seja Leq = L1 + L2 + 2M. Paralelo: Temos L1 2,
1 2 1dt
di
L
dt
di
M
dt
di
eq Também L2 1,
2 1 2dt
di
L
dt
di
M
dt
di
eq Ondedt
di
dt
di
dt
di
1 2 e M 12 = M21 M.Para simplificar faça A = 1
,
2,
e
.
dt
di
C
dt
di
B
dt
di
Logo L1A + MB = LeqC, L2B + MA = LeqC, A + B = C.9
Explicitando A e B em termos de C: (L1 – M)A + (M – L2)B = 0 usando A = C – B (L1 – M)(C-B) + (M – L2)B = 0 (L1 – M)C – (L1 – M)B + (M – L2)B = 0 (2M – L1 – L2)B = M – L1)C B =.
)
2
(
)
(
2 1 1C
L
L
M
L
M
Porém A = C – B = C - , ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2 1 1 2 1 2 1 1 C L L M L M L L M L L M C L M Ou seja, A = . 2 ) ( 2 1 2 C L L M L M Substituindo na equação original, obtemos: . 2 ) 2 ( ) ( 2 ( ) ( 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 C L C L L M L L M C L C L L M L M M L L M C L M L eq eq Finalmente, Leq = . 2 2 1 2 2 1 M L L M L L31-64: a) Usando as leis de Kirchoff nas malhas da esquerda e da direita, obtemos: Esquerda: - (i1 + i2)R – L
dt
di
1 = 0 R(i1 + i2) + Ldt
di
1 = . Direita: - (i1 + i2)R –C
q
2 = 0 R(i1 + i2) +C
q
2 = .b) Inicialmente, imediatamente depois da chave ser fechada, i1 = 0, i2 =
R
e q2 = 0.c) A substituição direta é fácil porém muito longa. Deixamos esta tarefa para o leitor.
Mostraremos que as condições iniciais são satisfeitas:
Para t = 0, q2=
sen(
)
sen(
0
)
R
t
e
R
t = 0, . 0 )] 0 [cos( 1 ( ) 0 ( ) cos( ) sen( ) 2 ( ) sen( 1 ) ( 1 1 1 R i t t RC R t e R t i td) Quando i2 se torna igual a zero, ´ =
2 ) 2 ( 1 1 RC LC = 625 rad/s 0 1 ) tan( ) 2 ( ) cos( ) sen( ) 2 ( 0 ) ( 1 1 2 e RC t t RC t R t i bt
.
00
.
1
)
10
00
.
2
)(
400
)(
/
625
(
2
2
)
tan(
t
RC
rad
s
x
6F
. 10 256 . 1 / 625 785 . 0 785 . 0 ) 00 . 1 arctan( 3 s x s rad t t10
Circuitos AC - Corrente alternada Capítulo 32
32-2: a) A corrente eficaz (ou corrente quadrática média Iq-m) é
relacionada com a amplitude da corrente pela Equação (32-5). Portanto a amplitude da corrente é dada por:
I =
2I
q m =2
(2.10 A) = 2.97 A.b) A corrente retificada média Ir.m. é relacionada com a
amplitude da corrente pela Equação (32-3). Portanto a corrente retificada média é dada por:
Ir.m. =
2
I =
2
(2.97 A) = 1.89 A.c) A corrente eficaz (ou corrente quadrática média Iq-m) é
sempre maior do que a corrente retificada média Ir.m. porque elevar ao
quadrado e depois calcular a média do quadrado (e a seguir extrair a raiz quadrada) fornece sempre um valor maior do que simplesmente obter a média da função considerada (sem elevar a função ao quadrado).
32-4: a) V = IXC =
C
I
I = V C = (60.0 V)(100 rad/s)(2.20 x 10-6 F) = 0.0132 A . b) I = V C = (60.0 V)(1000 rad/s)(2.20 x 10-6 F) = 0.132 A. c) I = V C = (60.0 V)(10,000 rad/s)(2.20 x 10-6 F) = 1.32 A. d) 32-6: a) XL = L = 2 fL = 2 (60 Hz)(0.450 H) = 170 . If f = 600 Hz, XL = 1700 . b) XC =)
10
50
.
2
)(
60
(
2
1
2
1
1
6F
x
Hz
fC
C
= 1061 . If f = 600 Hz, XC = 106.1 . c) XC = XLC
1
= L =)
10
50
.
2
)(
450
.
0
(
1
1
6Hz
x
H
LC
= 943 Hz. 32-8: VL = I L f =)
10
50
.
4
)(
10
60
.
2
(
2
)
0
.
12
(
2
x
3A
x
4H
V
IL
V
L = 1.63 x 106 Hz. 32-10: a) XC =)
10
80
.
4
)(
/
120
(
1
1
6F
x
s
rad
C
=1736 .b) Para achar a voltagem nos terminais de um resistor precisamos conhecer a corrente, que pode ser obtida pela corrente do capacitor (lembrando que ela está defasada de 90o da voltagem do capacitor).
i = 1736 ) ) / 120 cos(( ) 60 . 7 ( ) cos( V rad s t X t v X v C C C = (4.38 x 10 -3 A) cos((120 rad/s)t)
vR = iR = (4.38 x 10-3 A)(250 ) cos((120 rad/s)t) = (1.10 V) cos((120
rad/s)t). 32-12: a) Z =
R
2(
L
)
2(
200
)
2((
250
rad
/
s
)(
0
.
400
H
))
2 = 224 b) I =224
0
.
30 V
Z
V
= 0.134 A. c) VR = IR = (0.134 A)(200 ) = 26.8 V; VL = I L = (0.134 A)(250 rad/s)(0.400 H) VL = 13.4 V. d) = arctan R Lv
v
= arctanV
V
8
.
26
4
.
13
= 26.6º, e a voltagem está avançada em relação à corrente.e) 32-14: a) Z = ( L – 1/ C) = (250 rad/s)(0.400 H)
-)
10
00
.
6
)(
/
250
(
1
6F
x
s
rad
= 567 c) I =567
0
.
30 V
Z
V
= 0.0529 A.11
c) VL = I L = (0.0529 A)(250 rad/s)(0.400 H) = 5.29 V VC =)
10
00
.
6
)(
/
250
(
)
0529
.
0
(
6F
x
s
rad
A
C
I
= 35.3 V. d) = arctan R C LV
V
V
= arctan(
)
= -90.0º, e a voltagem está atrasada em relação à corrente.e)
32-16: a)
b) As diferentes voltagens são:
v = (30.0 V) cos(250t – 73.3º), vR = (8.62 V) cos(250t), vC = (28.7 V) cos(250t – 90º) Para t = 20 ms: v = -25.1 V, vR = 2.45 V, vC = -27.5 V. Note: vR + vC = v. c) Para t = 40 ms: v = -22.9 V, vR = -7.23 V, vC = -15.6 V. Note: vR + vC = v.
Tome cuidado com radianos vs. graus!
32-18: a)
As diferentes voltagens da figura acima são: v = (30 V) cos(250t – 70.6º), vR = (9.98 V) cos(250t), vL = (4.99 V) cos(250t – 90º) vC = (33.3 V) cos(250t – 90º). b) Para t = 20 ms: v = -24.3 V, vR = 2.83 V, vL = 4.79 V, vC = -31.9 V. c) Para t = 40 ms: v = -23.8 V, vR = -8.37 V, vL = 2.71 V, vC = -18.1 V.
Nas partes (b) e (c), note que a voltagem total é dada pela soma das outras voltagens para um dado instante. Tome cuidado com radianos vs. graus!
32-20: Usando Z = 2 2 1 C L R e = arctan
,
)
/(
1
R
C
L
e os valores R = 200 , L = 0.400 H, e C = 6.00 x 10-6 F, obtemos: a) = 1000 rad/s: Z = 307 , = 49.4º; = 600 rad/s: Z = 204 , = -10.7º; = 200 rad/s: Z = 779 , = 75.1º.b) A corrente inicialmente cresce e depois diminui.
c) O ângulo de fase foi calculado na parte (a) para todas as freqüências.
12
32-22:.
5
.
43
)
0
.
75
(
)
105
(
)
0
.
80
(
cos
2 2 2 2 2W
V
R
Z
V
Z
R
Z
V
Z
V
P
m q m q m q méd ia32-24: a) O fator de potência é dado por:
cos = 2 2 2 2
))
20
.
5
)(
/
60
)
2
(((
)
360
(
)
360
(
)
(
L
rad
s
H
R
R
Z
R
= 0.181. b) Pmédia = c) ) 181 . 0 ( )) 20 . 5 )( / 60 ) 2 ((( ) 360 ( ) 240 ( 2 1 cos 2 1 2 2 2 H s rad Z V = 2.62 W. 32-26: a) 0 = ) 10 20 . 1 )( 350 . 0 ( 1 1 8 F x H LC = 15.4 x 103 rad/s. b) VC =C
I
I = VC C = (550 V) (15.4 x 103 rad/s)(1.20 x 10-8 F) = 0.102 A Vmax(fonte) = IR = (0.102 A)(400 ) = 40.8 V. 32-38: a) 0 =)
10
00
.
4
)(
280
.
0
(
1
1
6F
x
H
LC
= 945 rad/s.b) I = 1.20 A para a ressonância, logo: R = Z = A V I V 70 . 1 120 = 70.6 . c) Para a ressonância:
Vpico(R) = 120 V, Vpico(L) = Vpico(C) = I L = (1.70 A)(945 rad/s)(0.280
H) = 450 V. 32-30: a) 120 13000 1 2 N N = 108. b) P = I2V2 = (0.00850 A)(13000 V) = 110.5 W. c) I1 = I2 1 2
N
N
= (0.00850 A)(108) = 0.918 A. 32-32: a) Ztweeter =R
2(
1
/
C
)
2 b) Zwoofer =R
2( L
)
2c) Como os dois elementos estão ligados em paralelo (ver a Figura 32-7), quando Ztweeter = Zwoofer, a corrente que passa em um ramo é igual à
corrente que passa no outro ramo.
d) Para o ponto de interseção entre as duas curvas, como as correntes são iguais:
R2 + (1/ C)2 = R2 + ( L)2 =
LC
1
28-34: a) Quando = 200 rad/s: Z =R
2(
L
1
/
C
)
2 . 0272 . 0 2 0385 . 0 779 30 . 779 ))) 10 00 . 6 )( / 200 /(( 1 ) 400 . 0 )( / 200 (( ) 200 ( m q 2 6 2 A I I A V Z V I F x s rad H s rad Z Logo, V1 = Iq-mR = (0.0272 A)(200 ) = 5.44 V, V2 = Iq-mXL = Iq-m L = (0.0272 A)(200 rad/s)(0.400 H) = 2.18 V, V3 = Iq-mXC =,
7
.
22
)
10
00
.
6
)(
/
200
(
)
0272
.
0
(
6 m qV
F
x
s
rad
A
C
I
13
V4 = V3 – V2 = 22.7 V –2.18 V = 20.5 V, e V5 = q-m =.
2
.
21
2
0
.
30
V
V
b) Quando = 1000 rad/s, fazendo as mesmas etapas do item (a),obtemos: Z = 307 , V1 = 13.8 V, V2 = 27.6 V, V3 = 11.5 V, V4 = 16.1 V, V5 = 21.2 V. 32-36: a)
0
.
332
)
120
(
2
250
Hz
XL
L
L
X
L.
668
400
800
)
472
(
.
cos
,
472
)
250
(
)
400
(
2 2 2 2 2V
W
R
P
Z
V
Z
R
Z
V
P
Z
R
X
R
Z
a v m q m q méd ia L 32-38: a) , 4 4 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 C L C L X X X C C L L Xlogo a reatância do indutor é maior do que a reatância do que capacitor. b) , 9 1 9 1 9 1 3 1 3 2 2 3 3 3 1 1 3 C L C L L X X X C C L X e
portanto a reatância do capacitor é maior do que a do indutor.
c) Visto que na ressonância XL = XC, pelo enunciado do
problema vemos que no circuito em série a freqüência de ressonância seria igual a 1. 32-40:
.
)
/
1
(
1
2 2 saída saídaC
L
R
C
V
V
C
I
V
V
s C Quando é grande:.
)
(
1
)
(
1
)
/
1
(
1
2 2 2 2 saíd aLC
L
C
C
L
R
C
V
V
s Quando é pequeno: . 1 ) / 1 ( 1 2 saíd a C C C C V V s 32-42: a) VL = I L = . ) / 1 ( 2 2 C L R L V Z L V b) VC = . ) / 1 ( 2 2 C L R C V CZ V C I c)d) Quando a freqüência angular é igual a zero, o indutor possui voltagem zero enquanto que o capacitor possui uma voltagem de 100 V (igual à voltagem total da fonte). Para freqüências muito grandes, a voltagem do capacitor tende a zero, enquanto que a voltagem do indutor tende a 100 V. Para a ressonância, 0 =
LC
1
= 1000 rad/s, e as duas voltagens são iguais e atingem um valor máximo igual a 1000 V.
32-44: a) Visto que se trata de uma ligação RLC em paralelo, a diferença de potencial da fonte deve ser igual à voltagem nos terminais do capacitor, do indutor e do resistor, logo vR = vL = vC = v. Por outro lado, como
a soma das correntes que chegam a um nó deve ser igual à soma das correntes que saem do mesmo nó, obtemos: i = iR + iL + iC.
b) iR =
R
v
está sempre em fase com a voltagem, iR =
L
v
está sempre atrasada de 90º em relação à voltagem, e ic = v C está adiantada de
90º em relação à voltagem.
c) Pela diagrama de fasores,
I2 = I R2 + (IC – IL)2 = 2 2
L
V
C
V
R
V
d) Pela (c): I = V1
1
.
2 2L
C
R
Porém.
1
1
1
2 2C
L
R
Z
Z
V
I
32-46: a) IR =400
220V
R
V
= 0.550 A. b) IC = V C = (220 V)(360 rad/s)(6.00 x 10-6 F) = 0.475 A. c) = arctan R CI
I
= arctanA
A
550
.
0
475
.
0
= 40.8º.14
d) I = 2 2 2 2)
475
.
0
(
)
550
.
0
(
A
A
I
I
R C = 0.727 Ae) A corrente está adiantada em relação à voltagem visto que > 0.
32-48: a) Pmédia =
Z
V
q2m cos Z =)
220
(
)
560
.
0
(
)
120
(
cos
2 2W
V
P
V
média m q = 36.7 R = Z cos = (36.7 )(0.560) = 20.6 . b) Z = 2 2 2 2 2 2 ) 6 . 20 ( 7 . 36 ( R Z X X R L L = 30.4. Porém para = 0 ocorre ressonância, logo a reatância indutiva e a reatância capacitiva possuem o mesmo valor. Logo:
XC = ) 4 . 30 )( 0 . 50 ( 2 1 2 1 1 1 Hz fX X C C C C = 1.05 x 10-4 F. c) Para a ressonância, P = 6 . 20 ) 120 ( 2 2 V R V = 699 W. 32-50: a) Para = 800 rad/s, Z =
R
2(
L
1
/
C
)
2 Z= (500 )2 ((800rad/s)(2.0H) 1/((800rad/s)(5.0x107F)))2 =1030 . I = 1030 100V Z V = 0.0971 A VR = IR = ().0971 A)(500 ) = 48.6 V. VC = ) 10 0 . 5 )( / 800 ( 0971 . 0 1 7 F x s rad A C = 243 V. VL = I L = (0.0971 A)(800 rad/s)(2.00 H) = 155 V.Note que = arctan
R
C
L
1
/(
)
= -60.9º.
b) Repetindo os mesmos cálculos anteriores para = 1000 rad/s:
Z = R = 500 ; = 0; I = 0.200 A; VR = V = 100 V; VC = VL = 400 V.
c) Repetindo os mesmos cálculos da parte (a) para = 1250 rad/s:
Z = R = 1030 ; = +60.9º; I = 0.0971 A; VR = 48.6 V; VC = 155 V;
VL = 243 V.
32-52: Desejamos obter Pmédia( 1) = máxima, Pmédia( 2) = 0.01Pmédia( 1). A
potência máxima ocorre na ressonância, logo
2 6 6 2 0 0
)]
10
1
.
94
(
2
)[
10
0
.
1
(
1
1
1
x
H
x
L
C
LC
= 2.86 x 10-12 F. Pmédia( 2) = 0.01 Pmédia( 1)R
V
C
L
R
R
V
2
100
1
)
/
1
(
2
/
2 2 2 2 100R2 = R2 + ( L – 1/ C)2 R =99
)
/
1
(
99
)
/
1
(
L
C
2L
C
R = F x Hz x H x Hz x 6 6 6 12 10 86 . 2 )( 10 0 . 94 ( 2 1 10 00 . 1 )( 10 0 . 94 ( 2 99 1 R = 0.126 .Esta resposta é muito sensível ao valor da capacitância logo você deve usar mais algarismos significativos na primeira parte do problema.
32-54: a)
)
10
00
.
9
)(
80
.
1
(
1
1
7 0F
x
H
LC
= 786 rad/s. b) Z =R
2(
L
1
/
C
)
2 Z= (300 )2 ((786rad/s)(1.80H) 1/((786rad/s)(9.00x107F)))2 =300 /300
60
0V
Z
V
I
q m q m = 0.200 A.15
c) Na ressonância a corrente eficaz é máxima, desejamos saber que pontos correspondem à metade deste valor máximo. Logo,
. 0 1 4 2 ( 0 4 2 1 4 ) / 1 ( ) / 1 ( 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 0 C I V C L R L I V R C L C L I V C L R C L R V I I rm s rm s m q rm s rm s m q m q m q
Substituindo os valores para este problema, obtemos a equação: ( 2)2(3.24) + 2(-4.27 x 106) + 1.23 x 1012 = 0.
Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos:
2 = 8.90 x 105 rad2/s2 ou 4.28 x 105 rad2/s2 = 943 rad/s ou 654 rad/s.
d) (i) R = 300 , Iq-mo = 0.200, | 1 - 2| = 289 rad/s.
(ii) R = 30 , Iq-mo = 2A, , | 1 - 2| = 28 rad/s.
(iii) R = 3 , Iq-mo = 20A, , | 1 - 2| = 2.88.
As larguras tornam-se cada vez menores à medida que R diminui; Iq-mo
torna-se cada vez maior à medida que R diminui.
32-56: a) 2 2
1
c
L
R
V
Z
V
I
para a ressonância, temos L =1
.
Logo
.
maxR
V
I
C
b).
0 maxC
L
R
V
C
R
V
X
I
V
Cm as C c).
0 maxC
L
R
V
R
V
X
I
V
L L mas d).
2
1
2
1
2
1
2 2 2 2 2 ma x ma xR
V
L
C
L
R
V
C
CV
U
C C e).
2
1
2
1
2 2 2 max ma xR
V
L
LI
U
L 32-58:2
0.
a) . 4 9 ) 2 1 2 ( 2 2 0 0 2 C L R V C L R V Z V I b) . 4 9 2 / 4 9 2 1 2 2 0 ma x C L R V C L C L R V C IX VC C c) . 4 9 2 4 9 2 2 2 0 ma x C L R V C L C L R V L IX VL L d).
4
9
8
2
1
2 2 2 max maxC
L
R
LV
CV
U
C C e).
4
9
2
2
1
2 2 2 maxC
L
R
LV
LI
U
L 32-60: a) VR = máxima quando VC = LL = 0 =LC
1
.b) Pelo Problema (32-42a), VL = máxima quando
.
0
d
dV
L Logo: 2 2)
/
1
(
0
C
L
R
L
V
d
d
d
dV
L . 2 / 1 2 1 1 2 ) / 1 ( ) / 1 ( ) ) / 1 ( ( ) / 1 ( ) / 1 ( 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 / 3 2 2 2 2 2 2 C R LC C R LC C C L R C L C L R C L R C L L V C L R VLc) Pelo Problema (32-42b), VC = máxima quando
. 0 d dVC Logo: . 2 1 2 ) / 1 ( ) / 1 ( ) ) / 1 ( ( ) / 1 )( / 1 ( ) / 1 ( 0 ) / 1 ( 0 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 / 3 2 2 2 2 2 2 2 2 L R LC L C L L R C L C L R C L R C C L C L V C L R C V C L R C V d d d dVC