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d B dt dt dt dt 2 dt db r1 db dt Exercícios PARTE B GABARITO Física III Lei de Faraday Lenz, Indução e Circuitos AC Prof. Dr. Cláudio S.

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Academic year: 2021

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1

INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA Capítulo 30 – Sears, Zamansky &Young, V.3 30-2: . 10 6 . 3 040 . 0 ) 10 2 . 1 )( 10 00 . 6 )( 200 ( 4 2 3 5 V x s m x T X t NBA t B

30-4: De acordo com o Ex. (30-3),

Q = 2.16 10 . 0 . 12 80 . 6 ) 10 20 . 2 )( 05 . 2 )( 90 ( 3 2 4 C x m x T R NBA 30-6: a) 4 3 5 ) / 10 00 . 3 ( ) / 0120 . 0 ( ) ( T st x T s t dt d NA B dt d NA dt Nd B = NA ((0.012 T/s) + (1.2 x 10-4 T/s)t3) = 0.0302 V + (3.02 x 10-4 V/s2)t3. b) Para t = 5.00 s = 0.0302 V + (3.02 x 10-4 V/s2)(5.00 s)3 = +0.0680V I =

1

.

13

10

.

600

0680

.

0

4

A

x

V

R

30-8:a)

dt

d

dt

d

B

(NBA cos t) = NBA sen t e 1200 rev/min = 20 rev/s, logo:

max = NBA = (150)(0.060 T) (0.025 m)2(440 rev/min)(1

min/60 s)(2 rad/rev) = 0.814 V.

b) A fem média é dada por: =

.

518

.

0

814

.

0

2

2

max

V

V

30-10: = . / 4 . 10 ) 016 )(). 075 . 0 )( 120 10 40 . 2 sin ) cos ( 2 2 max max s rad m T V x NBA NBA t NBA t NBA dt d dt d B

30-12: a) Quando o campo magnético cresce entrando na página, o campo magnético induzido deve se opor a esta variação. Logo, a corrente induzida possui sentido anti-horário.

b) Quando o campo magnético decresce entrando na página, o campo magnético induzido deve se opor a esta variação. Logo, a corrente induzida possui sentido horário.

c) Quando o campo magnético permanece constante, a variação do fluxo magnético é igual a zero. Logo não existe nenhuma corrente induzida.

30-14: a) Quando a corrente passa no sentido de a b e está aumentando, vemos que o fluxo magnético aumenta da direita para a esquerda, logo a corrente induzida deve produzir um fluxo magnético da esquerda para a direita. Donde se conclui que a corrente induzida deve passar no resistor da direita para a esquerda.

b) Quando a corrente passa no sentido de b a e está diminuindo, vemos que o fluxo magnético aumenta da direita para a esquerda, logo a corrente induzida deve produzir um fluxo magnético da esquerda para a direita. Donde se conclui que a corrente induzida deve passar no resistor da direita para a esquerda.

c) Quando a corrente passa no sentido de b a e está aumentando, vemos que o fluxo magnético aumenta da esquerda para a direita, logo a corrente induzida deve produzir um fluxo magnético da direita para a

esquerda. Donde se conclui que a corrente induzida deve passar no resistor da esquerda para a direita.

30-16: a) = vBL = (5.00 m/s)(0.450 T)(0.300 m) = 0.675 V.

b) A diferença de potencial entre as extremidades da barra é dada pela fem induzida pelo movimento, ou seja, V = 0.675 V.

c) As cargas positivas se deslocam para a extremidade b, logo b está a um potencial mais elevado.

d) E =

2

.

25

.

750

.

0

675

.

0

m

V

V

d

v

e) b 30-18: a) = vBL = (7.50 m/s)(0.800 T)(0.500 m) = 3.00 V.

b) A corrente passa no sentido anti-horário visto que o campo magnético que ela produz deve se opor ao aumento do fluxo magnético na espira. c) F=ILB =

50

.

1

)

800

.

0

)(

500

.

0

)(

00

.

3

(

V

m

T

R

LB

= 0.800 N, da esquerda para a direita.

d) Pmec = Fv = (0.800 N)(7.50 m/s) = 6.00 W. Pele =

50

.

1

)

00

.

3

(

2 2

V

R

6.00 W. Logo as duas potências são iguais.

30-20: a) Usando a Equação (30-6): = vBL B =

.

833

.

0

)

120

.

0

)(

/

50

.

4

(

450

.

0

T

m

s

m

V

vL

b) O ponto a está a um potencial mais elevado do que o do ponto b, porque existem mais cargas positivas no ponto a do que no ponto b.

30-22: a) 2

.

1

dt

dB

r

dt

dB

A

dt

d

B b) E = . 2 2 2 1 1 1 2 1 1 dt dB r dt dB r r dt d r B

c) O flux magnético está inteiramente confinado na região r < R, logo fora do solenóide E =

.

2

2

2

1

2 2 1

dt

dB

r

R

dt

dB

r

R

dt

d

r

B

d) Use os resultados dos itens (b) e (c) para fazer o gráfico solicitado. e) Para r = R/2:

.

4

)

2

/

(

2

dt

dB

R

dt

dB

R

dt

d

B f) Para r = R = 2

.

dt

dB

R

dt

d

B

(2)

2

g) Para r = 2R = 2

.

dt

dB

R

dt

d

B

Note que a fem induzida não depende da distância r ao eixo central do cilindro para pontos fora do cilindro. 30-24: . / 21 . 9 ) 0110 . 0 ( ) 00 . 4 ( ) 0350 . 0 ( 2 )( / 10 00 . 8 ( 2 ) . ( ) ( 2 1 0 6 0 0 0 s A m m m V x dt dI nA r E dt dI dt dI nA nIA dt d BA dt d dt d B 30-26: =

-t

nI

NA

t

B

B

NA

t

N

B

(

f i

)

0 . 10 50 . 9 0400 . 0 ) 350 . 0 )( 9000 )( 10 00 . 8 )( 12 ( 4 1 2 4 V x s A m m x o

30-28: Podemos fazer o seguinte modelo simples. Imagine um supercondutor do tipo II como se fosse um circuito contendo em paralelo uma região condutora (ou várias regiões) e uma região supercondutora (ou várias regiões). Caso haja uma ddp nos terminais de um fio supercondutor do tipo II, a corrente deve fluir pelas regiões supercondutoras (com resistência igual a zero) e não pelas regiões condutoras (com resistência diferente de zero). A corrente passará portanto como se a resistência total fosse igual a zero. Ou seja, podemos dizer que a resistência equivalente é igual a zero.

30-30: a) Imediatamente abaixo de

B

c1

(limite para o início da fase supercondutora), o campo magnético no material deve ser igual a zero, e

0 3 0

ˆ

10

55

x

T

i

B

M

cl

= -(4.38 x 104 A/m)

ˆi

.

b) Imediatamente acima de

B

c2

(limite para o início da fase condutora), a magnetização é igual a zero, e

2 c

B

B

=(15.0 T)

ˆi

.

30-32: a) I = . sen ) cos ( 1 1 R t BA dt t BA d R dt d R R B b) P = I2R = R t A B2 2 2 2 sen c) = IA =

R

t

BA

2

sen

d) = B sen = B sen t = R t A B2 2 2 sen e) P = =

R

t

A

B

2 2 2

sen

2 , o mesmo resultado obtido na parte

(b).

30-34: a) Girando em torno do eixo y:

max =

dt

d

B

= BA = (35.0 rad/s)(0.450 T)(6.00 x 10-2 m) = 0.945 V.

b) Girando em torno do eixo x:

dt

d

B

= 0 0. c) Girando em torno do eixo z:

max =

dt

d

B = BA = (35.0 rad/s)(0.450 T)(6.00 x 10-2 m) = 0.945 V. 30-36: a) Quando I = i B =

r

i

2

0 , entrando na página. b) d B = BdA =

r

i

2

0 Ldr. c) B = b a d B =

2

2

0 0

iL

r

dr

iL

b a ln(b/a). d) =

ln(

/

)

.

2

0

dt

di

a

b

L

dt

d

B e) =

2

)

240

.

0

(

0

m

ln(0.360/0.120)99.60 A/s) = 5.06 x 10-7 V. 30-38: a) B = BA = B0 r02(1-3(t/t0)2 + 2(t/t0)3). b) = -

dt

d

B B0 r02

d t

d

(1-3(t/t0)2 + 2(t/t0)3 = 0 2 0 0

t

r

B

(-6(t/t 0) + 6(t/t0)2) = = 0 2 0 0

6

t

r

B

, logo para t = 5.0 x 10-3 s, = -s s x s s x s m B 010 . 0 10 0 . 5 010 . 0 10 0 . 5 010 . 0 ) 0420 . 0 ( 6 2 3 2 3 0 = 0.0665 V, anti-horário. c) . 2 . 10 12 10 0 . 3 0655 . 0 3 A x V r i R r R R i total total

d) Calculando a fem para t = 1.21 x 10-2 s e usando as equações da

parte (b), obtemos: = -0.0676 V, e a corrente possui sentido horário, correspondendo ao sentido de b para a através do resistor.

(3)

3

e) = 0 0 = 0 2 0 t t t t 1 = 0

t

t

t = t 0 = 0.010 s. 30-40: Fio A:

v

x

B

= 0 = 0.

Fio C: = vBL sen = (0.350 m/s)(0.120 T)(0.500 m) sen 45o = 0.0148 V. Fio D: = vBL sen = (0.350 m/s)(0.120 T)

2

(0.500 m) sen 45o = 0.0210 V. 30-42: . 40 . 0 250 )) 0 . 3 )( 95 . 0 )( / 5 . 3 (( ) ( : logo , ) ( 2 2 2 2 2 W m T s m P vBL R R vBL R R V P méd ia efica z méd ia 30-44: a) =

v

x

B

L

)

(

= (4.20 m/s)

x ((0.120 T)

- (0.220 T)

– (0.0900 T)

)

L

= ((0.378 V/m)

– (0.924 V/m)

) ((0.250 m)(cos 36.9o

+ sen 36.9o

)) = (0.378)(0.250) sen 36.9o = 0.0567 V. 30-46:

.

dt

d

l

d

E

B Quando

B

estiver em direção paralela a uma área, concluímos que

dt

d

B = 0, logo

E

d

l

.

= 0. Na figura seguinte, temos

l

d

E

a b cd a

= EabL – EdaL = 0, porém Eda = 0, logo EabL = 0.

Visto que a hipótese inicial era que Eab 0, o resultado

anterior entra em contradição com a lei de Faraday. Donde se conclui que um

campo elétrico uniforme não pode cair abruptamente para zero em uma região onde existe um campo magnético paralelo.

30-48: a) A figura seguinte mostra o módulo (relativo), a direção e o sentido do campo elétrico nos pontos solicitados.

b) Para calcular o campo elétrico na direção da espira em uma posição genérica, usaremos a geometria indicada na figura abaixo.

Eespira = E cos porém E =

a a r 2 cos ) cos / ( 2 2 Eespira =

a

2

cos

2 porém = dt dB a dt dB r dt dB A dt d B 2 2 2 cos Eespira =

dt

dB

a

dt

dB

a

a

2

2

2 2

, que é exatamente igual ao resultado do caso de um anel, obtido no Ex. (30-23), e não depende da região da espira considerada. c) I = 90 . 1 ) / 075 . 0 ( ) 20 . 0 ( 2 2 m T s dt dB R L dt dB R A R = 1.58 x 10 -3 A. d) ab = 8 ) / 075 . 0 ( ) 20 . 0 ( 8 1 8 1 2 2 m T s dt dB L = 3.75 x 10-4 V.

Porém existe uma queda de potencial dada por: V = IR = -3.75 x 10-4 V,

portanto a diferença de potencial entre esses pontos é igual a zero.

30-50: a) Quando a barra começa a deslizar, o fluxo magnético começa a diminuir, logo surge uma corrente induzida orientada no sentido de

(4)

4

fazer aumentar o fluxo magnético, correspondendo ao sentido de a para b através da barra.

b) A força magnética sobre a barra deve ser igual à força da gravity. Obtemos:

FB = iLB = ( cos ) cos

2 2 2 R B vL vL R LB dt dA B R LB dt d R LB R LB B Portanto Fg = mg tan

.

cos

tan

logo

,

cos

2 2 2 2

B

L

Rmg

v

R

B

L

v

t t c) . tan cos ) cos ( 1 1 LB mg R vLB vL R B dt dA B R dt d R R i B d) P = i2R = . tan 2 2 2 2 2 B L g Rm e) Pg = Fv cos(90o - ) = mg , tan sen cos tan 2 2 2 2 2 2 2 B L g Rm P B L Rmg g

Resultado igual ao obtido na parte (d).

(5)

5

INDUTÂNCIA Capítulo 31

31-2: Para um solenóide toroidal, M = N2 B2/i1, e B2 = 0N1i1A/2 r.

Logo, M = 0AN1N2/2 r. 31-4: a) M = 2/(di/dt) = 1.65 x 10-3 V/(-0.242 A/s) = 6.82 x 10-3 H. b) N2 = 25, i1 = 1.20 A, B2 = i1M/N2 = (1.20 A)(6.82 x 10-3 H)/25 = 3.27 x 10-4 Wb. c) di2/dt = 0.360 A/s e 1 = Mdi2/dt = (6.82 x 10-3 H)(0.360 A/s) = 2.45 mV.

31-6: Para um solenóide toroidal, L = N B/I = /(di/dt). Logo obtemos:

N = i/ B (di/dt)= ) / 0260 . 0 )( 00285 . 0 ( ) 40 . 1 )( 10 6 . 12 ( 3 s A Wb A V x = 238 espiras. 31-8: a) Lk = k 0N2A/2 r = ) 120 . 0 ( 2 ) 10 80 . 4 ( ) 1800 )( 500 ( 0 2 5 2 m m x = 0.130 H. b) Sem o material, L =

k

1

Lk =

500

1

(0.130 H) = 2.60 x 10-4 H.

31-10: [N /I] = s = Vs/A = V/(A/s) = [ /(di/dt)].

31-12: a) U =

2

1

LI2 = (12.0 H)(0.300 A)2/2 = 0.540 J.

b) P = I2R = (0.300 A)2 (180 ) = 16.2 W.

c) Não. A energia magnética e a energia térmica são independentes. Quando a corrente é constante, U = constante.

31-14: a) U = Pt = (200 W)(24 h/dia x 3600 s/h) = 1.73 x 107 J. b) U =

2

1

LI2 L = 2 7 2 ) 0 . 80 ( ) 10 73 . 1 ( 2 2 A J x I U = 5406 H. 31-16: a) vácuo: U = uV = 0 2 0 2 2 ) 560 . 0 ( 2 T V B (0.0290 m3) = 3619 J. b) material com k = 450 U = uV = 0 2 0 2

)

450

(

2

)

560

.

0

(

2

T

V

k

B

(0.0290 m3) = 8.04 J. 31-18: a)

.

35

.

4

)

0690

.

0

(

2

)

50

.

2

)(

600

(

2

0 0

mT

m

A

r

NI

B

b) Pela Eq. (31-10),

.

/

53

.

7

2

)

10

35

.

4

(

2

3 0 2 3 0 2

m

J

T

x

B

u

c) Volume V = 2 rA = 2 (0.0690 m)(3.50 x 10-6 m2) = 1.52 x 10-6 m3. d) U = uV = (7.53 J/m3)(1.52 x 10-6 m3) = 1.14 x 10-5 J. e)

)

0690

.

0

(

2

)

10

50

.

3

(

)

600

(

2

2 6 2 0 2 0

m

m

x

r

A

N

L

= 3.65 x 10-6 H. U =

2

1

2

1

2

LI

(3.65 x 10-6 H)(2.50 A)2 = 1.14 x 10-5 J, o mesmo

resultado obtido no item (d).

31-20: a)

.

256

)

120

)(

13

.

2

(

.

13

.

2

115

.

0

)

260

.

0

(

2

2

2

1

2

V

A

IR

A

H

J

L

U

I

LI

U

b)

.

10

32

.

3

2

1

ln

)

120

(

2

115

.

0

2

1

ln

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

4 ) / ( 2 2 0 ) / ( 2 2 2 ) / (

s

x

H

R

L

t

e

LI

U

e

LI

Li

U

and

Ie

i

t L R t L R t L R 31-22: a) Para t = 0 vab = 0 e vbc = 60 V. b) Quando t vab 60 V e vbc 0. c) Quando I = 0.150 A vab = iR = 36.0 V e vbc = 60.0 V – 36.0 V = 24.0 V.

(6)

6

31-24: Quando a chave 1 está fechada e a chave 2 está aberta:

.

)

/

ln(

0

) / ( 0 0 0 0 L R t t i I

e

I

i

t

L

R

I

i

t

d

L

R

i

i

d

L

R

i

dt

di

iR

dt

di

L

31-26: a)

.

10

37

.

2

)

10

18

.

4

(

)

10

6

.

1

(

4

1

4

1

2

1

3 1 2 2 6 2 2 2

x

H

F

x

x

C

f

L

f

LC

b)

)

10

00

.

6

(

)

10

40

.

5

(

4

1

4

1

5 2 5 2 2 min 2 max

H

x

x

L

f

C

=3.67 x 10 -11 F. 31-28:

F

x

H

)(

3

.

20

10

6

0850

.

0

(

1

= 1917 rad/s a)

s

rad

A

x

i

Q

Q

i

/

1917

10

50

.

8

4 max max max max = 4.43 x 10-7 C b) Pela Eq. 31-26 . 1917 10 00 . 5 ) 10 43 . 4 ( 2 1 4 2 7 2 2 s A x C x LCi Q q 31-30: a) . 450 . 0 ) 10 50 . 2 ( 2 ) 10 50 . 1 ( 2 . 10 50 . 1 ) 10 50 . 2 )( 400 . 0 ( ) 50 . 1 ( 1 0 2 5 2 max max 5 1 0 max max max max max max J F x C x C Q U C x F x H a Q LC i i Q Q i b) 4 1 10 ) 3.1810 10 50 . 2 )( 400 . 0 ( 1 1 2 2 2 x s F x H LC f

(a freqüência deve dobrar porque o período dobra).

31-32: A Equação (31-20) fornece

1

0

.

2 2

q

LC

dt

q

d

Resolveremos esta equação usando:

. 1 1 0 ) cos( ) cos( 1 ). cos( ) sen( ) cos( 2 2 2 2 2 2 2 LC LC t LC Q t Q q LC dt q d t Q dt q d t Q dt dq t Q q 31-34: a)

q

Ae

( R/2L)t

cos(

t

)

. 4 1 0 1 2 2 ). cos( ) sen( 2 2 ) cos( 2 ). sen( ) cos( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 / ( 2 ) 2 / ( ) 2 / ( 2 2 2 ) 2 / ( ) 2 / ( L R LC LC L R L R q LC q dt dq L R dt q d t Ae t e L R A t e L R A dt q d t Ae t e L R A dt dq t L R t L R t L R t L R t L R b) Para

0

,

,

0

:

dt

dq

i

Q

q

t

. 4 / / 1 2 2 tan 0 tan 2 ; cos 0 sen cos 2 ; cos 2 2 L R LC L R L R q l QR Q A A A L R dt dq Q a Q 31-36:

.

/

2

C

L

A

V

V

C

s

F

H

C

L

31-38: a) Quando R = 0, 0 =

)

10

50

.

2

)(

450

.

0

(

1

1

5

F

x

H

LC

= 298 rad/s. b) Desejamos 0 = 0.95

L

C

R

LC

L

R

LC

4

1

/

1

)

4

/

/

1

(

2 2 2 = (0.95)2 R = ) 10 50 . 2 ( ) 0975 . 0 )( 450 . 0 ( 4 ) ) 95 . 0 ( 1 ( 4 5 2 F x H C L = 83.8 . 31-40: a) = -L dt d L dt di ((0.124 A) cos [(240 /s)t] = +(0.250 H)(0.124 A)(240 )sen(240 /s)t) = +(23.4 V)sen((240 /s)t).

(7)

7

b) max = 23.4 V; I = 0, porque a diferença de fase entre a fem e a

corrente é igual a 90º.

c) Imax = 0.124 A; = 0, porque a diferença de fase entre a fem e a

corrente é igual a 90º. 31-42: a) 1 2 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 1 1 0 1 2 2 1 2 2 2 1 2 l r N N l A N N l IA N IA A N A A I N I N M B B b) 1. 1 2 2 2 1 0 1 1 2 1 0 2 2 2 2 dt di l r N N dt di l A N N dt d N B c) 2

.

1 2 2 2 1 0 2 2 2 1

dt

di

l

r

N

N

dt

di

M

dt

di

M

31-44: a) = L

d t

d i

= (3.50 x 10-3 H)

d t

d

((0.680 A)cos( t/0.0250 s)) max = (3.50 x 10-3 H)(0.680 A)

s

0250

.

0

= 0.299 V. b) Bmax =

400

)

680

.

0

)(

10

50

.

3

(

3 max

x

H

A

N

Li

= 5.95 x 10-6 Wb. c) (t) = -L

d t

d i

= -(3.50 x 10-3 H)(0.680 A)( /0.0250 s)sen( /0.0250 s) (t) = -(0.299 V)sen((125.6 s-1)t) (0.0180 s) = -(0.299 V)sen((125.6 s-1)(0.0180 s)) (t) = 0.230 V. 31-46: a)

.

2

2

0 0 nterna 0

r

i

B

i

r

B

I

l

d

B

i b)

.

2

0

ldr

r

i

BdA

d

B c) ln( / ). 2 2 0 0 a b il r dr il d b a B b a B d) L=

ln(

/

).

2

0

b

a

l

i

N

B e) U = ln( / ). 4 ) / ln( 2 2 1 2 1 2 0 2 0 2 a b li i a b l Li 31-48: a)

.

2

2

,

2

2

2 2 0 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 21 1

r

A

N

r

i

N

i

A

N

i

N

L

r

A

N

r

i

N

i

A

N

i

N

L

B B b) M2 = . 2 . 2 2 1 2 2 2 0 2 1 0 2 2 1 0 LL r A N r A N r A N N 31-50: a) . 1860 10 45 . 6 0 . 12 3A x V i V R f b) . 963 . 0 )) 45 . 6 / 86 . 4 ( 1 ln( ) 10 25 . 7 )( 1860 ( ) / 1 ln( ) / 1 ln( ) 1 ( 4 ) / ( H s x L i i Rt L i i L Rt e i i f f t L R f 31-52: a) U = 2 2 2 0 240 60 ) 160 . 0 ( 2 1 2 1 2 1 V H R L Li = 5.00 x 10-3 J. b) . 52 . 4 240 ) 60 ( 2(2 4 0/0.1 6 0)(4.0 01 0 ) 2 ) / ( 2 2 2 ) / ( 4 W e V dt dU e R Ri dt di iL dt dU i L R dt di e R i x L t L R L t L R c) No resistor: . 52 . 4 240 ) 60 ( 2(2 4 0/0.1 6 0)(4.0 01 0 ) 2 ) / ( 2 2 2 4 W e V e R R i dt dUR RLt x d) PR(T) = i2R =

e

R Lt

R

) / ( 2 2 2 2 2 ) / ( 2 0 2 ) 240 ( 2 ) 160 . 0 ( ) 60 ( 2 H V R L R dt e R U R Lt R = 5.00 x 10-3 J,

(8)

8

31-54: a) Para t = . 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 / 1 1 2 4 3 cos 8 3 2 cos ) cos( 8 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B E U C q C Q LC Q L Li U LC Q Q Q LC q Q LC i Q Q T T Q t Q q T

b) As duas energias são quase iguais quando

.

8

5

8

5

2

T

t

t

Q

q

31-56: a) Vmax = F x C x C Q 4 6 10 50 . 2 10 00 . 6 = 0.0240 V. b)

)

10

50

.

2

)(

0600

.

0

(

10

00

.

6

2

2

1

4 6 max 2 2 max

F

x

H

C

x

LC

Q

i

C

Q

Li

= 1.55 x 10-3 A. c) Umax =

2

1

2

1

2 max

Li

(0.0600 H)(1.55 x 10-3 A)2 = 7.21 x 10-8 J. d) If . 10 20 . 5 4 3 2 2 4 3 4 3 10 80 . 1 4 1 2 1 6 2 2 max 8 max max C x Q q C q C Q U U J x U U i i L C Umax =

C

q

Li

2 2

2

1

2

1

para qualquer instante.

31-58: a) Quando a chave está fechada, então em um instante posterior:

d t

d i

= 50.0 A/s v cd = L d t d i = (0.300 H)(50 A/s) = 15.0 V.

Para a malha superior: 60.0 V = i1R1 i1 =

0

.

40

0

.

60 V

= 1.50 A.

Para a malha inferior: 60 V – i2R2 – 15.0 V = 0 i2 =

0

.

25

0

.

45 V

= 1.80 A.

b) Depois de um tempo muito longo: i2 = 0 . 25 0 . 60 V= 2.40 A, e imediatamente depois de abrir a chave, o indutor mantém esta corrente, logo i1

= i2 = 2.40 A.

31-60: a) Imediatamente depois de fechar S2, o indutor mantém a

corrente i = 0.180 A através de R. Usando as leis de Kirchoff na malha externa, obtemos:

+ L – iR – i0R0 = 36.0 V + (0.18)(150) – (0.18)(150) –

i0(50) = 0

i0 = = 0.720 A, vac = (0.72 A)(50 V) = 36.0 V e vcb = 0.

b) Depois de um tempo muito longo, vac = 36.0 V, e vcb = 0. Logo

i0 =

50

36V

= 0.720 A, IR = 0, e is2 = 0.720 A. c) i0 = 0.720 A, IR(t) = t L R to tal

e

R

) / ( IR(t) = (0.180 A)e-50t, e is2(t) = (0.720 A) = (0.180 A)e-50t, = (0.180 A)(4 – e-50t)

Os gráficos das correntes são indicados na figura abaixo.

31-62: Série: 2

.

1 2 1 2 1 2 2 1 1

dt

di

L

dt

di

M

dt

di

M

dt

di

L

dt

di

L

eq Porém I = i1 + i2 dt di dt di dt di 1 2, também M12 = M21 M. Logo (L1 + L2 + 2M)

,

dt

di

L

dt

di

eq Ou seja Leq = L1 + L2 + 2M. Paralelo: Temos L1 2

,

1 2 1

dt

di

L

dt

di

M

dt

di

eq Também L2 1

,

2 1 2

dt

di

L

dt

di

M

dt

di

eq Onde

dt

di

dt

di

dt

di

1 2 e M 12 = M21 M.

Para simplificar faça A = 1

,

2

,

e

.

dt

di

C

dt

di

B

dt

di

Logo L1A + MB = LeqC, L2B + MA = LeqC, A + B = C.

(9)

9

Explicitando A e B em termos de C: (L1 – M)A + (M – L2)B = 0 usando A = C – B (L1 – M)(C-B) + (M – L2)B = 0 (L1 – M)C – (L1 – M)B + (M – L2)B = 0 (2M – L1 – L2)B = M – L1)C B =

.

)

2

(

)

(

2 1 1

C

L

L

M

L

M

Porém A = C – B = C - , ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2 1 1 2 1 2 1 1 C L L M L M L L M L L M C L M Ou seja, A = . 2 ) ( 2 1 2 C L L M L M Substituindo na equação original, obtemos: . 2 ) 2 ( ) ( 2 ( ) ( 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 C L C L L M L L M C L C L L M L M M L L M C L M L eq eq Finalmente, Leq = . 2 2 1 2 2 1 M L L M L L

31-64: a) Usando as leis de Kirchoff nas malhas da esquerda e da direita, obtemos: Esquerda: - (i1 + i2)R – L

dt

di

1 = 0 R(i1 + i2) + L

dt

di

1 = . Direita: - (i1 + i2)R –

C

q

2 = 0 R(i1 + i2) +

C

q

2 = .

b) Inicialmente, imediatamente depois da chave ser fechada, i1 = 0, i2 =

R

e q2 = 0.

c) A substituição direta é fácil porém muito longa. Deixamos esta tarefa para o leitor.

Mostraremos que as condições iniciais são satisfeitas:

Para t = 0, q2=

sen(

)

sen(

0

)

R

t

e

R

t = 0, . 0 )] 0 [cos( 1 ( ) 0 ( ) cos( ) sen( ) 2 ( ) sen( 1 ) ( 1 1 1 R i t t RC R t e R t i t

d) Quando i2 se torna igual a zero, ´ =

2 ) 2 ( 1 1 RC LC = 625 rad/s 0 1 ) tan( ) 2 ( ) cos( ) sen( ) 2 ( 0 ) ( 1 1 2 e RC t t RC t R t i bt

.

00

.

1

)

10

00

.

2

)(

400

)(

/

625

(

2

2

)

tan(

t

RC

rad

s

x

6

F

. 10 256 . 1 / 625 785 . 0 785 . 0 ) 00 . 1 arctan( 3 s x s rad t t

(10)

10

Circuitos AC - Corrente alternada Capítulo 32

32-2: a) A corrente eficaz (ou corrente quadrática média Iq-m) é

relacionada com a amplitude da corrente pela Equação (32-5). Portanto a amplitude da corrente é dada por:

I =

2I

q m =

2

(2.10 A) = 2.97 A.

b) A corrente retificada média Ir.m. é relacionada com a

amplitude da corrente pela Equação (32-3). Portanto a corrente retificada média é dada por:

Ir.m. =

2

I =

2

(2.97 A) = 1.89 A.

c) A corrente eficaz (ou corrente quadrática média Iq-m) é

sempre maior do que a corrente retificada média Ir.m. porque elevar ao

quadrado e depois calcular a média do quadrado (e a seguir extrair a raiz quadrada) fornece sempre um valor maior do que simplesmente obter a média da função considerada (sem elevar a função ao quadrado).

32-4: a) V = IXC =

C

I

I = V C = (60.0 V)(100 rad/s)(2.20 x 10-6 F) = 0.0132 A . b) I = V C = (60.0 V)(1000 rad/s)(2.20 x 10-6 F) = 0.132 A. c) I = V C = (60.0 V)(10,000 rad/s)(2.20 x 10-6 F) = 1.32 A. d) 32-6: a) XL = L = 2 fL = 2 (60 Hz)(0.450 H) = 170 . If f = 600 Hz, XL = 1700 . b) XC =

)

10

50

.

2

)(

60

(

2

1

2

1

1

6

F

x

Hz

fC

C

= 1061 . If f = 600 Hz, XC = 106.1 . c) XC = XL

C

1

= L =

)

10

50

.

2

)(

450

.

0

(

1

1

6

Hz

x

H

LC

= 943 Hz. 32-8: VL = I L f =

)

10

50

.

4

)(

10

60

.

2

(

2

)

0

.

12

(

2

x

3

A

x

4

H

V

IL

V

L = 1.63 x 106 Hz. 32-10: a) XC =

)

10

80

.

4

)(

/

120

(

1

1

6

F

x

s

rad

C

=1736 .

b) Para achar a voltagem nos terminais de um resistor precisamos conhecer a corrente, que pode ser obtida pela corrente do capacitor (lembrando que ela está defasada de 90o da voltagem do capacitor).

i = 1736 ) ) / 120 cos(( ) 60 . 7 ( ) cos( V rad s t X t v X v C C C = (4.38 x 10 -3 A) cos((120 rad/s)t)

vR = iR = (4.38 x 10-3 A)(250 ) cos((120 rad/s)t) = (1.10 V) cos((120

rad/s)t). 32-12: a) Z =

R

2

(

L

)

2

(

200

)

2

((

250

rad

/

s

)(

0

.

400

H

))

2 = 224 b) I =

224

0

.

30 V

Z

V

= 0.134 A. c) VR = IR = (0.134 A)(200 ) = 26.8 V; VL = I L = (0.134 A)(250 rad/s)(0.400 H) VL = 13.4 V. d) = arctan R L

v

v

= arctan

V

V

8

.

26

4

.

13

= 26.6º, e a voltagem está avançada em relação à corrente.

e) 32-14: a) Z = ( L – 1/ C) = (250 rad/s)(0.400 H)

-)

10

00

.

6

)(

/

250

(

1

6

F

x

s

rad

= 567 c) I =

567

0

.

30 V

Z

V

= 0.0529 A.

(11)

11

c) VL = I L = (0.0529 A)(250 rad/s)(0.400 H) = 5.29 V VC =

)

10

00

.

6

)(

/

250

(

)

0529

.

0

(

6

F

x

s

rad

A

C

I

= 35.3 V. d) = arctan R C L

V

V

V

= arctan

(

)

= -90.0º, e a voltagem está atrasada em relação à corrente.

e)

32-16: a)

b) As diferentes voltagens são:

v = (30.0 V) cos(250t – 73.3º), vR = (8.62 V) cos(250t), vC = (28.7 V) cos(250t – 90º) Para t = 20 ms: v = -25.1 V, vR = 2.45 V, vC = -27.5 V. Note: vR + vC = v. c) Para t = 40 ms: v = -22.9 V, vR = -7.23 V, vC = -15.6 V. Note: vR + vC = v.

Tome cuidado com radianos vs. graus!

32-18: a)

As diferentes voltagens da figura acima são: v = (30 V) cos(250t – 70.6º), vR = (9.98 V) cos(250t), vL = (4.99 V) cos(250t – 90º) vC = (33.3 V) cos(250t – 90º). b) Para t = 20 ms: v = -24.3 V, vR = 2.83 V, vL = 4.79 V, vC = -31.9 V. c) Para t = 40 ms: v = -23.8 V, vR = -8.37 V, vL = 2.71 V, vC = -18.1 V.

Nas partes (b) e (c), note que a voltagem total é dada pela soma das outras voltagens para um dado instante. Tome cuidado com radianos vs. graus!

32-20: Usando Z = 2 2 1 C L R e = arctan

,

)

/(

1

R

C

L

e os valores R = 200 , L = 0.400 H, e C = 6.00 x 10-6 F, obtemos: a) = 1000 rad/s: Z = 307 , = 49.4º; = 600 rad/s: Z = 204 , = -10.7º; = 200 rad/s: Z = 779 , = 75.1º.

b) A corrente inicialmente cresce e depois diminui.

c) O ângulo de fase foi calculado na parte (a) para todas as freqüências.

(12)

12

32-22:

.

5

.

43

)

0

.

75

(

)

105

(

)

0

.

80

(

cos

2 2 2 2 2

W

V

R

Z

V

Z

R

Z

V

Z

V

P

m q m q m q méd ia

32-24: a) O fator de potência é dado por:

cos = 2 2 2 2

))

20

.

5

)(

/

60

)

2

(((

)

360

(

)

360

(

)

(

L

rad

s

H

R

R

Z

R

= 0.181. b) Pmédia = c) ) 181 . 0 ( )) 20 . 5 )( / 60 ) 2 ((( ) 360 ( ) 240 ( 2 1 cos 2 1 2 2 2 H s rad Z V = 2.62 W. 32-26: a) 0 = ) 10 20 . 1 )( 350 . 0 ( 1 1 8 F x H LC = 15.4 x 103 rad/s. b) VC =

C

I

I = VC C = (550 V) (15.4 x 103 rad/s)(1.20 x 10-8 F) = 0.102 A Vmax(fonte) = IR = (0.102 A)(400 ) = 40.8 V. 32-38: a) 0 =

)

10

00

.

4

)(

280

.

0

(

1

1

6

F

x

H

LC

= 945 rad/s.

b) I = 1.20 A para a ressonância, logo: R = Z = A V I V 70 . 1 120 = 70.6 . c) Para a ressonância:

Vpico(R) = 120 V, Vpico(L) = Vpico(C) = I L = (1.70 A)(945 rad/s)(0.280

H) = 450 V. 32-30: a) 120 13000 1 2 N N = 108. b) P = I2V2 = (0.00850 A)(13000 V) = 110.5 W. c) I1 = I2 1 2

N

N

= (0.00850 A)(108) = 0.918 A. 32-32: a) Ztweeter =

R

2

(

1

/

C

)

2 b) Zwoofer =

R

2

( L

)

2

c) Como os dois elementos estão ligados em paralelo (ver a Figura 32-7), quando Ztweeter = Zwoofer, a corrente que passa em um ramo é igual à

corrente que passa no outro ramo.

d) Para o ponto de interseção entre as duas curvas, como as correntes são iguais:

R2 + (1/ C)2 = R2 + ( L)2 =

LC

1

28-34: a) Quando = 200 rad/s: Z =

R

2

(

L

1

/

C

)

2 . 0272 . 0 2 0385 . 0 779 30 . 779 ))) 10 00 . 6 )( / 200 /(( 1 ) 400 . 0 )( / 200 (( ) 200 ( m q 2 6 2 A I I A V Z V I F x s rad H s rad Z Logo, V1 = Iq-mR = (0.0272 A)(200 ) = 5.44 V, V2 = Iq-mXL = Iq-m L = (0.0272 A)(200 rad/s)(0.400 H) = 2.18 V, V3 = Iq-mXC =

,

7

.

22

)

10

00

.

6

)(

/

200

(

)

0272

.

0

(

6 m q

V

F

x

s

rad

A

C

I

(13)

13

V4 = V3 – V2 = 22.7 V –2.18 V = 20.5 V, e V5 = q-m =

.

2

.

21

2

0

.

30

V

V

b) Quando = 1000 rad/s, fazendo as mesmas etapas do item (a),obtemos: Z = 307 , V1 = 13.8 V, V2 = 27.6 V, V3 = 11.5 V, V4 = 16.1 V, V5 = 21.2 V. 32-36: a)

0

.

332

)

120

(

2

250

Hz

XL

L

L

X

L

.

668

400

800

)

472

(

.

cos

,

472

)

250

(

)

400

(

2 2 2 2 2

V

W

R

P

Z

V

Z

R

Z

V

P

Z

R

X

R

Z

a v m q m q méd ia L 32-38: a) , 4 4 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 C L C L X X X C C L L X

logo a reatância do indutor é maior do que a reatância do que capacitor. b) , 9 1 9 1 9 1 3 1 3 2 2 3 3 3 1 1 3 C L C L L X X X C C L X e

portanto a reatância do capacitor é maior do que a do indutor.

c) Visto que na ressonância XL = XC, pelo enunciado do

problema vemos que no circuito em série a freqüência de ressonância seria igual a 1. 32-40:

.

)

/

1

(

1

2 2 saída saída

C

L

R

C

V

V

C

I

V

V

s C Quando é grande:

.

)

(

1

)

(

1

)

/

1

(

1

2 2 2 2 saíd a

LC

L

C

C

L

R

C

V

V

s Quando é pequeno: . 1 ) / 1 ( 1 2 saíd a C C C C V V s 32-42: a) VL = I L = . ) / 1 ( 2 2 C L R L V Z L V b) VC = . ) / 1 ( 2 2 C L R C V CZ V C I c)

d) Quando a freqüência angular é igual a zero, o indutor possui voltagem zero enquanto que o capacitor possui uma voltagem de 100 V (igual à voltagem total da fonte). Para freqüências muito grandes, a voltagem do capacitor tende a zero, enquanto que a voltagem do indutor tende a 100 V. Para a ressonância, 0 =

LC

1

= 1000 rad/s, e as duas voltagens são iguais e atingem um valor máximo igual a 1000 V.

32-44: a) Visto que se trata de uma ligação RLC em paralelo, a diferença de potencial da fonte deve ser igual à voltagem nos terminais do capacitor, do indutor e do resistor, logo vR = vL = vC = v. Por outro lado, como

a soma das correntes que chegam a um nó deve ser igual à soma das correntes que saem do mesmo nó, obtemos: i = iR + iL + iC.

b) iR =

R

v

está sempre em fase com a voltagem, iR =

L

v

está sempre atrasada de 90º em relação à voltagem, e ic = v C está adiantada de

90º em relação à voltagem.

c) Pela diagrama de fasores,

I2 = I R2 + (IC – IL)2 = 2 2

L

V

C

V

R

V

d) Pela (c): I = V

1

1

.

2 2

L

C

R

Porém

.

1

1

1

2 2

C

L

R

Z

Z

V

I

32-46: a) IR =

400

220V

R

V

= 0.550 A. b) IC = V C = (220 V)(360 rad/s)(6.00 x 10-6 F) = 0.475 A. c) = arctan R C

I

I

= arctan

A

A

550

.

0

475

.

0

= 40.8º.

(14)

14

d) I = 2 2 2 2

)

475

.

0

(

)

550

.

0

(

A

A

I

I

R C = 0.727 A

e) A corrente está adiantada em relação à voltagem visto que > 0.

32-48: a) Pmédia =

Z

V

q2m cos Z =

)

220

(

)

560

.

0

(

)

120

(

cos

2 2

W

V

P

V

média m q = 36.7 R = Z cos = (36.7 )(0.560) = 20.6 . b) Z = 2 2 2 2 2 2 ) 6 . 20 ( 7 . 36 ( R Z X X R L L = 30.4

. Porém para = 0 ocorre ressonância, logo a reatância indutiva e a reatância capacitiva possuem o mesmo valor. Logo:

XC = ) 4 . 30 )( 0 . 50 ( 2 1 2 1 1 1 Hz fX X C C C C = 1.05 x 10-4 F. c) Para a ressonância, P = 6 . 20 ) 120 ( 2 2 V R V = 699 W. 32-50: a) Para = 800 rad/s, Z =

R

2

(

L

1

/

C

)

2 Z= (500 )2 ((800rad/s)(2.0H) 1/((800rad/s)(5.0x107F)))2 =1030 . I = 1030 100V Z V = 0.0971 A VR = IR = ().0971 A)(500 ) = 48.6 V. VC = ) 10 0 . 5 )( / 800 ( 0971 . 0 1 7 F x s rad A C = 243 V. VL = I L = (0.0971 A)(800 rad/s)(2.00 H) = 155 V.

Note que = arctan

R

C

L

1

/(

)

= -60.9º.

b) Repetindo os mesmos cálculos anteriores para = 1000 rad/s:

Z = R = 500 ; = 0; I = 0.200 A; VR = V = 100 V; VC = VL = 400 V.

c) Repetindo os mesmos cálculos da parte (a) para = 1250 rad/s:

Z = R = 1030 ; = +60.9º; I = 0.0971 A; VR = 48.6 V; VC = 155 V;

VL = 243 V.

32-52: Desejamos obter Pmédia( 1) = máxima, Pmédia( 2) = 0.01Pmédia( 1). A

potência máxima ocorre na ressonância, logo

2 6 6 2 0 0

)]

10

1

.

94

(

2

)[

10

0

.

1

(

1

1

1

x

H

x

L

C

LC

= 2.86 x 10-12 F. Pmédia( 2) = 0.01 Pmédia( 1)

R

V

C

L

R

R

V

2

100

1

)

/

1

(

2

/

2 2 2 2 100R2 = R2 + ( L 1/ C)2 R =

99

)

/

1

(

99

)

/

1

(

L

C

2

L

C

R = F x Hz x H x Hz x 6 6 6 12 10 86 . 2 )( 10 0 . 94 ( 2 1 10 00 . 1 )( 10 0 . 94 ( 2 99 1 R = 0.126 .

Esta resposta é muito sensível ao valor da capacitância logo você deve usar mais algarismos significativos na primeira parte do problema.

32-54: a)

)

10

00

.

9

)(

80

.

1

(

1

1

7 0

F

x

H

LC

= 786 rad/s. b) Z =

R

2

(

L

1

/

C

)

2 Z= (300 )2 ((786rad/s)(1.80H) 1/((786rad/s)(9.00x107F)))2 =300 /

300

60

0

V

Z

V

I

q m q m = 0.200 A.

(15)

15

c) Na ressonância a corrente eficaz é máxima, desejamos saber que pontos correspondem à metade deste valor máximo. Logo,

. 0 1 4 2 ( 0 4 2 1 4 ) / 1 ( ) / 1 ( 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 0 C I V C L R L I V R C L C L I V C L R C L R V I I rm s rm s m q rm s rm s m q m q m q

Substituindo os valores para este problema, obtemos a equação: ( 2)2(3.24) + 2(-4.27 x 106) + 1.23 x 1012 = 0.

Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos:

2 = 8.90 x 105 rad2/s2 ou 4.28 x 105 rad2/s2 = 943 rad/s ou 654 rad/s.

d) (i) R = 300 , Iq-mo = 0.200, | 1 - 2| = 289 rad/s.

(ii) R = 30 , Iq-mo = 2A, , | 1 - 2| = 28 rad/s.

(iii) R = 3 , Iq-mo = 20A, , | 1 - 2| = 2.88.

As larguras tornam-se cada vez menores à medida que R diminui; Iq-mo

torna-se cada vez maior à medida que R diminui.

32-56: a) 2 2

1

c

L

R

V

Z

V

I

para a ressonância, temos L =

1

.

Logo

.

max

R

V

I

C

b)

.

0 max

C

L

R

V

C

R

V

X

I

V

Cm as C c)

.

0 max

C

L

R

V

R

V

X

I

V

L L mas d)

.

2

1

2

1

2

1

2 2 2 2 2 ma x ma x

R

V

L

C

L

R

V

C

CV

U

C C e)

.

2

1

2

1

2 2 2 max ma x

R

V

L

LI

U

L 32-58:

2

0

.

a) . 4 9 ) 2 1 2 ( 2 2 0 0 2 C L R V C L R V Z V I b) . 4 9 2 / 4 9 2 1 2 2 0 ma x C L R V C L C L R V C IX VC C c) . 4 9 2 4 9 2 2 2 0 ma x C L R V C L C L R V L IX VL L d)

.

4

9

8

2

1

2 2 2 max max

C

L

R

LV

CV

U

C C e)

.

4

9

2

2

1

2 2 2 max

C

L

R

LV

LI

U

L 32-60: a) VR = máxima quando VC = LL = 0 =

LC

1

.

b) Pelo Problema (32-42a), VL = máxima quando

.

0

d

dV

L Logo: 2 2

)

/

1

(

0

C

L

R

L

V

d

d

d

dV

L . 2 / 1 2 1 1 2 ) / 1 ( ) / 1 ( ) ) / 1 ( ( ) / 1 ( ) / 1 ( 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 / 3 2 2 2 2 2 2 C R LC C R LC C C L R C L C L R C L R C L L V C L R VL

c) Pelo Problema (32-42b), VC = máxima quando

. 0 d dVC Logo: . 2 1 2 ) / 1 ( ) / 1 ( ) ) / 1 ( ( ) / 1 )( / 1 ( ) / 1 ( 0 ) / 1 ( 0 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 / 3 2 2 2 2 2 2 2 2 L R LC L C L L R C L C L R C L R C C L C L V C L R C V C L R C V d d d dVC

(16)

16

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