Dá-se o nome de superfície quádrica ou simplesmente quádrica ao gráfico de uma equação do segundo grau, nas variáveis x, y e z, da forma:

equação do segundo grau, nas variáveis x, y e z, da forma:

𝐴𝑥2_{+ 𝐵𝑦}2_{+ 𝐶𝑧}2_{+ 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑥𝑧 + 𝐹𝑦𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐾 = 0, que mediante uma rotação}

ou translação de eixos, ou até mesmo através dos dois movimentos simultaneamente, se transforma em um dos dois tipos de equações:

1) 𝐴𝑥2+ 𝐵𝑦2+ 𝐶𝑧2 = D 2) 𝐴𝑥2+ 𝐵𝑦2+ 𝐼𝑧 = 0

15.2

. SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO

15.2.1. Superfície de revolução

é a superfície gerada pela rotação ou revolução de uma curva plana ou cônica em torno de um de seus eixos ou em torno de uma reta fixa pertencente ao plano da curva plana ou cônica.

A reta fixa ou eixo em torno da(o) qual rotacionou a curva plana ou cônica é denominada de eixo da superfície e a curva plana ou cônica é a geratriz.

Exemplo: Obtenha uma equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela rotação da

cônica 𝑥2− 4𝑧2 = 16 e identifique a superfície em cada caso.

 em torno do eixo dos x

 em torno do eixo dos z Exemplo:

𝑥2 _{− 4𝑧}2 _{= 16 ou} 𝑥2 16

−

𝑧2

4

= 1

é uma hipérbole, onde

𝑎2 _{= 16 e 𝑏}2 _{= 4 ⟹ a = 4 e b = 2}

Portanto, 𝑥2− 4𝑧2 = 16 é uma hipérbole de eixo transverso ou real sobre (paralelo) o eixo das abscissas (eixo dos x) e eixo conjugado ou imaginário sobre (paralelo) o eixo das cotas (eixo dos z).

15.2.2.rotação em torno do eixo dos x

Seja 𝑄(𝑥, 0, 𝑧1) um ponto pertencente à hipérbole 𝑥2− 4𝑧2 = 16

Logo, 𝑥2− 4𝑧12 = 16 ⟹ 𝑥2− 16 = 4𝑧12 ⟹

𝑧

12

=

𝑥2− 16 4

(𝐼)

Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos x, o ponto 𝑄(𝑥, 0, 𝑧1) descreverá uma

circunferência cujo centro é o ponto R(x, 0, 0).

Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência.

Assim, 𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 𝑥)2+ (𝑦 − 0)2+ (𝑧 − 0)2 = √(𝑥 − 𝑥)2+ (0 − 0)2+ (𝑧1− 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅

∴ 𝑦

2

+ 𝑧

2

= 𝑧

₁2

(𝐼𝐼) (𝐼)

em

(𝐼𝐼),

vem:

𝑦

2

_{+ 𝑧}

2

₌

𝑥2− 16

4

⟹

𝟒𝒚𝟐+ 𝟒𝒛𝟐 = 𝒙𝟐− 𝟏𝟔 ⟹ 𝑥2− 4𝑦2− 4𝑧2 = 16

A superfície é uma hiperboloide de revolução de 2 folhas.

15.2.3.

rotação em torno do eixo dos z

Q (x, 0, z1) P (x, y, z) 4 -4 ₀ P (x, y, z) x z y

Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos z, o ponto 𝑄(𝑥1, 0, 𝑧) descreverá uma

circunferência cujo centro é o ponto R(0, 0, z).

Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. 𝑃𝑅 ̅̅̅̅ = √(𝑥 − 0)2_{+ (𝑦 − 0)}2_{+ (𝑧 − 𝑧)}2 _{= √(𝑥} 1− 0)2+ (0 − 0)2+ (𝑧 − 𝑧)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅

∴ 𝑥

2

_{+ 𝑦}

2

_{= 𝑥}

12

(𝐼𝐼) (𝐼)

em

(𝐼𝐼),

vem: 𝑥2+ 𝑦2 = 16 + 4𝑧2

⟹

𝒙𝟐_{+ 𝒚}𝟐_{− 𝟒𝒛}𝟐 _{= 𝟏𝟔 ⟹ 𝑥}2_{+ 𝑦}2_{− 4𝑧}2 _{= 16}

A superfície é uma hiperboloide de revolução de 1 folha.

NOTA:

Na equação de uma hiperboloide, a quantidade de sinais negativos (-) existentes na equação indica o número de folhas da superfície, ou seja: 1 sinal (-)

⟹ 1 folha

; 2 sinais (-)

⟹ 2

folhas.

15.2.4.HIPERBOLOIDE CIRCULAR OU DE REVOLUÇÃO

x2 _{– 4z}2 ₌₁₆ x2 _{+ y}2 _{= 16-4k}2 _(z=k) Q(x1, 0, z) x z y -4 0 ₄

Hiperboloide circular ou de revolução é a superfície gerada pela rotação (ou revolução) de uma hipérbole da forma 𝑥

2

𝑎2

−

𝑦2

𝑏2

= 1

em torno de um de seus eixos, eixo transverso ou eixo

conjugado, ou em torno de um dos eixos coordenados.

Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da

hipérbole 𝑥

2

𝑎2

−

𝑦2

𝑏2

= 1

em torno do eixo das abscissas (eixo dos x). SOLUÇÃO

Seja 𝑄(𝑥, 𝑦1, 0) um ponto pertencente à hipérbole 𝑥2 𝑎2

−

𝑦2 𝑦2

= 1

. Logo, 𝑥2 𝑎2

−

𝑦₁2 𝑏2

= 1

⟹ 𝑥_𝑎2₂

− 1 =

𝑦_𝑏1₂2 ⟹

𝑦

₁2

= 𝑏

2

(

𝑥 2_{− 𝑎}2 𝑎2

) (𝐼).

Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos x, o ponto 𝑄(𝑥, 𝑦1, 0) descreverá uma

circunferência cujo centro é o ponto R(x, 0, 0).

Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. 𝑃𝑅 ̅̅̅̅ = √(𝑥 − 𝑥)2_{+ (𝑦 − 0)}2_{+ (𝑧 − 0)}2 _{= √(𝑥 − 𝑥)}2_{+ (𝑦} 1− 0)2+ (0 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅

∴ 𝑦

2

_{+ 𝑧}

2

_{= 𝑦}

12

(𝐼𝐼).

(𝐼)

em

(𝐼𝐼),

vem:

𝑦

2

+ 𝑧

2

= 𝑏

2

(

𝑥 2_{− 𝑎}2 𝑎2

)

⟹ 𝑦2 𝑏2

+

𝑧2 𝑏2

=

𝑥2 𝑎2

− 1 ∴

𝑥2 𝑎2

−

𝑦2 𝑏2

−

𝑧2

𝑏2

= 1

Equação da Hiperboloide de Revolução de 2 folhas (dois sinais (-)), com

eixo de rotação sobre o eixo dos x.

OBSERVAÇÃO: A equação 𝑥 2 𝑎2

−

𝑦2 𝑏2

−

𝑧2 𝑐2

= 1 ,

𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐 , representa uma

hiperboloide elíptica (não de revolução) de 2 folhas, com eixo sobre o eixo dos x. A equação 𝑦 2 𝑎2

−

𝑥2 𝑏2

−

𝑧2

𝑐2

= 1,

𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐, representa uma hiperboloide elíptica (não

Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da

hipérbole 𝑥

2

𝑎2

−

𝑦2

𝑏2

= 1

em torno do eixo das ordenadas (eixo dos y).

SOLUÇÃO

Seja 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) um ponto pertencente à hipérbole 𝑥2 𝑎2

−

𝑦2 𝑦2

= 1

. Logo, 𝑥₁2 𝑎2

−

𝑦2 𝑏2

= 1

⟹ 𝑥12 𝑎2

= 1 +

𝑦2 𝑏2 ⟹

𝑥

12

= 𝑎

2

(

𝑏2+ 𝑦2 𝑏2

) (𝐼).

P (x, y, z) Q (x, y1, 0) R (x, 0, 0) x y z P (x, y, z) Q (x, y1, 0) R (x, 0, 0) 0 -a a

Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos y, o ponto 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) descreverá uma

circunferência cujo centro é o ponto R(0, y, 0).

Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. 𝑃𝑅 ̅̅̅̅ = √(𝑥 − 0)2_{+ (𝑦 − 𝑦)}2_{+ (𝑧 − 0)}2 _{= √(𝑥} 1− 0)2+ (𝑦 − 𝑦)2+ (0 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅

∴ 𝑥

2

+ 𝑧

2

= 𝑥

₁2

(𝐼𝐼).

(𝐼)

em

(𝐼𝐼),

vem:

𝑥

2

+ 𝑧

2

= 𝑎

2

(

𝑏 2_{+ 𝑦}2 𝑏2

)

⟹ 𝑥2 𝑎2

+

𝑧2 𝑎2

=

𝑦2 𝑏2

+ 1 ∴

𝑥2 𝑎2

−

𝑦2 𝑏2

+

𝑧2

𝑎2

= 1.

Equação da Hiperboloide de Revolução de 1 folha (um sinal (-)), com

eixo de rotação sobre o eixo dos y.

A equação 𝑥 2 𝑎2

−

𝑦2 𝑏2

+

𝑧2

𝑐2

= 1,

𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐, representa uma hiperboloide elíptica (não

de revolução) de 1 folha, com eixo sobre o eixo dos y.

P (x , y , z) R (0, y, 0) x y z -a _{0 a} Q(x1, y1, 0) R(0, y, 0) 𝑥2 𝑎2− 𝑦2 𝑏2 = 𝟏

NOTA:

Na equação da Superfície Hiperbólica, o termo com sinal diferente dos outros dois termos indica o eixo de rotação da superfície.

Exercícios 1) Estudando as superfícies : I .𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2= 9; II. 𝑧 = −2𝑥2− 2𝑦2; III.𝑥2− 𝑦2+ 𝑧2= 0 IV.4𝑦 − 3𝑧 + 38 = 0 V. 𝑥2+ 𝑧 − 9 = 0

Pode-se afirmar que são de revolução, as superfícies: a) II, IV e V ;

b) I, III e V; c) i, II e III; d) III, IV e V.

2.A(1, 1, 0) e B(1, 1, 3) são pontos do espaço ℛ3 . Considerando a superfície 𝑆: 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 3 = 0 , podemos dizer que:

a) 𝐴 ∈ 𝑆 𝑒 𝐵 ∈ 𝑆 ; b) 𝐴 ∈ 𝑆 𝑒 𝐵 ∉ 𝑆 ; c) 𝐴 ∉ 𝑆 𝑒 𝐵 ∈ 𝑆 ; d) 𝐴 ∉ 𝑆 𝑒 𝐵 ∉ 𝑆 .

3) A curva dada por {𝑧 = 𝑥_{𝑧 = 4}2+ 𝑦2 é , a) uma elipse com centro no ponto (0, 0, 0);

b) uma hipérbole;

c)uma parábola de vértice no ponto (0, 0, 4); d) uma circunferência de raio 𝑟 = 2.

4)Seja a superfície de equação 𝑥₄2+𝑦₄2− 𝑧₉2= 1 . Pode-se dizer que esta equação é de: a) uma esfera;

b) um paraboloide; c) uma superfície cônica;

d) um hiperboloide de revolução.

Respostas: 1 c; 2b ; 3d ; 4d

Aula 16

16.1.ELIPSOIDE CIRCULAR OU DE REVOLUÇÃO

Elipsoide circular ou de revolução, é a superfície gerada pela rotação ou revolução da elipse em torno de um de seus eixos, normalmente em torno do eixo maior.

Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da

elipse 𝑥

2

𝑎2

+

𝑦2

SOLUÇÃO

Seja 𝑄(𝑥, 𝑦1, 0) um ponto pertencente à elipse 𝑥2 𝑎2

+

𝑦2 𝑏2

= 1

. Logo, 𝑥2 𝑎2

+

𝑦₁2 𝑏2

= 1

⟹

1 −

𝑥2 𝑎2

=

𝑦₁2 𝑏2 ⟹

𝑦

1 2

_{= 𝑏}

2

₍

𝑎2− 𝑥2 𝑎2

) (𝐼).

Ao girar a curva (elipse) em torno do eixo dos x, o ponto 𝑄(𝑥, 𝑦1, 0) descreverá uma

circunferência cujo centro é o ponto R(x, 0, 0).

x y z b -a _{0 a} -b R(x, 0, 0) Q(x, y1, 0)

Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. 𝑃𝑅 ̅̅̅̅ = √(𝑥 − 𝑥)2_{+ (𝑦 − 0)}2_{+ (𝑧 − 0)}2 _{= √(𝑥 − 𝑥)}2_{+ (𝑦} 1− 0)2+ (0 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅

∴ 𝑦

2

_{+ 𝑧}

2

_{= 𝑦}

12

(𝐼𝐼).

(𝐼)

em

(𝐼𝐼),

vem:

𝑦

2

+ 𝑧

2

= 𝑏

2

(

𝑎 2_{− 𝑥}2 𝑎2

)

⟹ 𝑦2 𝑏2

+

𝑧2 𝑏2

= 1 −

𝑥2 𝑎2

∴

𝑥2 𝑎2

+

𝑦2 𝑏2

+

𝑧2 𝑏2

= 1.

Equação da Elipsoide de Revolução ou Circular de eixo de rotação sobre o eixo dos x.

NOTA: A equação 𝑥 2 𝑎2

+

𝑦2 𝑏2

+

𝑧2

𝑐2

= 1,

𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐, representa uma elipsoide elíptica

(não de revolução), com eixo sobre o eixo dos x. Quando 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, a equação 𝑥 2 𝑎2

+

𝑦2 𝑎2

+

𝑧2 𝑎2

= 1

ou

𝑥

2

+ 𝑦

2

+ 𝑧

2

= 𝑎

2

representa uma superfície esférica.

16.2. Paraboloide circular ou de revolução

Paraboloide circular ou de revolução é a superfície gerada pela rotação ou revolução de uma parábola em torno do seu eixo de simetria.

Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da

parábola 𝑎𝑥2 = 𝑏𝑦em torno do eixo dos y (eixo das ordenadas).

SOLUÇÃO

Seja 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) um ponto pertencente à parábola 𝑎𝑥2 = 𝑏𝑦 .

Logo, 𝑎𝑥12 = 𝑏𝑦 ⟹

𝑥

12

=

𝑏𝑦

𝑎

(𝐼)

Ao girar a curva (parábola) em torno do eixo dos y, o ponto 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) descreverá uma

circunferência cujo centro é o ponto R(0, y, 0).

Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência.

(𝐼)

em

(𝐼𝐼),

vem:

𝑥

2

+ 𝑧

2

=

𝑎

∴ 𝑎𝑥

2

_{+ 𝑎𝑧}

2

_{= 𝑏𝑦.}

Equação da Paraboloide de Revolução ou Circular de eixo de rotação sobre o eixo dos y.

NOTA: A equação

𝑎𝑥

2

+ 𝑐𝑧

2

= 𝑏𝑦,

𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑐, representa uma paraboloide elíptica

(não de revolução), com eixo sobre o eixo dos y.

16.3. Paraboloide hiperbólico

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO ou SELA é a superfície ou lugar geométrico de uma equação

da forma 𝑎𝑥2− 𝑏𝑧2 = 𝑐𝑦, com c > 0.

A seção por um plano y = k (k > 0), é a hipérbole 𝒂𝒙𝟐− 𝒃𝒛𝟐 = 𝒄𝒌, cujos eixos transverso e conjugado são paralelos aos eixos das abscissas (eixo dos x) e das ordenadas (eixo dos y). x y z 0 Q(x, y1, 0) ax2 = by R(0, y, 0)

A seção por um plano x = k, são parábolas de equações 𝒄𝒚 = −𝒃𝒛𝟐+ 𝒂𝒌𝟐 A seção por um plano z = k, são parábolas de equações 𝒄𝒚 = 𝒂𝒙𝟐− 𝒃𝒌𝟐 A seção por um plano x = 0, é a parábola de equação 𝒄𝒚 = −𝒃𝒛𝟐

A seção por um plano y = 0, é o par de retas de equações √𝒂. 𝒙 = ± √𝒃. 𝒛 A seção por um plano z = 0, é a parábola de equação 𝒄𝒚 = 𝒂𝒙𝟐

16.4.Superfície Cônica

SUPERFÍCIE CÔNICA ou simplesmente CONE é a superfície gerada por uma reta que gira

em torno de um dos eixos coordenados, passando sempre por um mesmo ponto, denominado de vértice da superfície cônica.

Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da

reta (r): 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0em torno do eixo dos y (eixo das ordenadas).

SOLUÇÃO x y z 0 √𝒂x = –√𝒃z √𝒂x = √𝒃z

Ao girar a curva (reta) em torno do eixo dos y, o ponto 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) descreverá uma

circunferência cujo centro é o ponto R(0, y, 0).

Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. 𝑃𝑅 ̅̅̅̅ = √(𝑥 − 0)2_{+ (𝑦 − 𝑦)}2_{+ (𝑧 − 0)}2 _{= √(𝑥} 1− 0)2+ (𝑦 − 𝑦)2+ (0 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅

∴ 𝑥

2

_{+ 𝑧}

2

_{= 𝑥}

12

(𝐼𝐼). (𝐼)

em

(𝐼𝐼),

vem:

𝑥

2

+ 𝑧

2

= (−

𝑏𝑦 + 𝑐 𝑎

)

2

∴ 𝑎

2

_𝑥

2

_{+ 𝑎}

2

_𝑧

2

_{= (𝑏𝑦 + 𝑐)}

2

_{⟹ 𝑎}

2

_𝑥

2

_{+ 𝑎}

2

_𝑧

2

_{− (𝑏𝑦 + 𝑐)}

2

_{= 0}

Equação da Superfície Cônica de Revolução ou Circular

NOTA:

A equação

𝑎𝑥

2

+ 𝑏𝑧

2

− 𝑐𝑦

2

= 0,

com 𝑎 ≠ 𝑏, representa uma superfície cônica (ou simplesmente cone) não de revolução, ou seja, uma superfície cônica elíptica com vértice na origem O(0, 0, 0). x y z 0 Q(x1, y, 0) ax + by + c = 0 vértice

Exercícios

1) O valor de k, para que a equação 2𝑥2+ 2𝑦2+ 2𝑧2− 4𝑥 + 𝑧 + 𝑘 = 0 , represente uma esfera de raio 𝑟 = 2 é:

a) 41₈ ; b) 47₈ ; c) 49₈ ; d) 43₈ .

2) P(x, y, z) é um ponto que se move no ℛ3 , de tal modo que a sua distância ao eixo x, é igual ao triplo da distância ao eixo z. Então o conjunto de todos os pontos P com essa característica é expresso pela

equação :

a) 9𝑥2− 𝑦2+ 8𝑧2= 0; b) 9𝑥2+ 𝑦2+ 8𝑧2− 1 = 0; c) 9𝑥2− 𝑦2+ 8𝑧2+ 5 = 0; d) 9𝑥2− 2𝑦2+ 8𝑧2= 0.

3) Seja a superfície esférica de equação 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 5𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 + 6 = 0 . Fazendo a interseção desta superfície com o eixo das abscissas, encontramos os pontos,

a) (0, 1, 0) e (-2, 0 ,0); b) ( 0, 0, 5) e (2, 0, 0); c) (2, 0, 0) e ( 3, 0, 0); d) (-2, 0, 0) e ( 1, 0, 0)

4) A quádrica de equação de equação 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 4𝑦 + 4 = 0 é , a) uma superfície esférica ;

b) um paraboloide; c) uma superfície cônica;

Respostas;

1.b ; 2.a ; 3.c; 4.c

Aula 17

17.1. Superfície Cilindrica

SUPERFÍCIE CILÍNDRICA, ou simplesmente CILINDRO, é a superfície gerada por uma reta

móvel que se desloca ao longo de uma curva plana ou cônica mantendo-se paralelamente a uma reta fixa não pertencente ao plano da curva plana ou cônica. A curva plana ou cônica é denominada diretriz da superfície cilíndrica e a reta móvel é chamada de geratriz da superfície.

Normalmente a reta fixa (e a geratriz) é perpendicular ao plano da curva plana ou cônica e, neste caso, a equação da superfície cilíndrica (ou cilindro) é a mesma equação da curva plana ou cônica.

Exemplo: Discuta, identifique e esboce o gráfico de cada uma das superfícies seguintes:

a) 4𝑥2 − 𝑧2 = 16 b) 4𝑥2 + 𝑧2 = 16 c) 4𝑥2 + 𝑧 = 2 d) 4𝑥2 + 𝑦2+ 𝑧 = 2

17.2. Superfície Cilíndrica hiperbólica

Exemplo: 4𝑥2− 𝑧2 = 16 ou 𝑥

2

4

−

𝑧2

16

= 1

(𝑎2 = 4 𝑒 𝑏2 = 16 ∴ 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 4) Discussão: A equação 4𝑥2 − 𝑧2 = 16 representa, no plano, uma hipérbole com eixo

transverso ou real sobre o eixo dos x e eixo conjugado ou imaginário sobre o eixo dos z.

Portanto, no espaço, representa uma superfície cilíndrica hiperbólica, uma vez que a equação da

17.3. Superfície cilíndrica elíptica Exemplo: 4𝑥2 + 𝑧2 = 16 ou 𝑥 2 4

+

𝑧2 16

= 1

(𝑎2 = 16 𝑒 𝑏2 = 4 ∴ 𝑎 = 4 𝑒 𝑏 =2) Discussão: A equação 4𝑥2+ 𝑧2 = 16 representa, no plano, uma elipse com eixo maior sobre

o eixo dos z e eixo menor sobre o eixo dos x. Portanto, no espaço, representa uma superfície

cilíndrica elíptica (cilindro elíptico), uma vez que a equação da superfície cilíndrica é a mesma

equação da curva plana ou cônica (diretriz).

x y z 0 4x2 – z2 = 16 2 -2

17.4. Superfície cilíndrica parabólica

Exemplo: 4𝑥2 + 𝑧 = 2

Discussão: A equação 4𝑥2+ 𝑧 = 2 representa, no plano, uma parábola com eixo de simetria

sobre o eixo dos z. Portanto, no espaço, representa uma superfície cilíndrica parabólica (cilindro

parabólico), uma vez que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana

ou cônica (diretriz). z x 0 -2 2 4 -4

17.5.Discutindo um exemplo de superfície: 4𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧 = 2

1) Se x = 0, tem-se 𝑦2+ 𝑧 = 2 ou 𝑧 = −𝑦2+ 2, que representa uma parábola no plano y0z. 2) Se y = 0, tem-se 4𝑥2+ 𝑧 = 2 ou 𝑧 = −4𝑥2+ 2, que representa uma parábola no plano x0z. 3) Se z = 0, tem-se 4𝑥2 + 𝑦2 = 2, que representa uma elipse no plano x0y.

4) Se x = k, tem-se 4𝑘2 + 𝑦2+ 𝑧 = 2 ou 𝑧 = −𝑦2+ 2 − 4𝑘2, que representa uma parábola.

5) Se y = k, tem-se 4𝑥2 + 𝑘2+ 𝑧 = 2 ou 𝑧 = −4𝑥2 + 2 − 𝑘2, que representa uma parábola. 6) Se z = k, tem-se 4𝑥2+ 𝑦2+ 𝑘 = 2 ou 4𝑥2 + 𝑦2 = 2 − 𝑘, que representa uma elipse, desde

que 2 – k ≥ 0.

Exercícios

1). A distância de um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) do espaço ℛ3 a um ponto A(2, 1, -3) é igual ao triplo da distância dele ao eixo y. Pode-se afirmar que , a superfície quádrica tem equação,

a) 𝑥2− 𝑦2− 8𝑧2+ 4𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 − 14 = 0 ; b) 8𝑥2− 𝑦2+ 𝑧2+ 4𝑥 − 2𝑦 − 6𝑧 − 14 = 0 ; c) 8𝑥2− 𝑦2+ 8𝑧2+ 4𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 − 14 = 0 ; d) 𝑥2− 𝑦2+ 𝑧2+ 4𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 − 14 = 0 ;

2) Leia atentamente as informações sobre as superfícies quádricas.

I. A superfície quádrica 𝑥2+ 2𝑦2+ 3𝑧2− 2𝑥 − 4𝑧 + 2 = 0 é simétrica ao plano cartesiano xz. II. A superfície quádrica 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 4𝑥 = 0 passa pela origem e é simétrica em relação aos planos

2 y x 0 −√𝟐 𝟐 √𝟐 𝟐

xy, xz e em relação ao eixo x.

III. A equação 𝑥2− 𝑦2= 2, representa no ℛ3 uma hipérbole. Pode-se dizer que:

a) são verdadeiras as duas primeiras;

b)são verdadeira a primeira (I) e a terceira (III); c)são verdadeiras a segunda (II) e a terceira (III); d) Todas são verdadeiras.

3) Um ponto se desloca noℛ3 de tal modo que a soma das distâncias aos pontos A(0,1,2) e B(1, 3, 0) é 5. Logo a superfície descrita por esse ponto é:

a) um Paraboloide; b) um elipsoide; c) uma esfera; d) um círculo.

4) Se uma superfície esférica de centro no ponto C(1, -2, -5) , passa pela origem , tem seus pontos determinados pela equação :

a)𝑥2− 𝑦2+ 𝑧2− 2𝑥 + 4𝑦 + 10𝑧 = 0 ; b) 𝑥2+ 𝑦2− 𝑧2− 2𝑥 + 4𝑦 + 10𝑧 = 0 ; c) 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 4𝑥 + 4𝑦 + 10𝑧 − 9 = 0 ; d) 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 2𝑥 + 4𝑦 + 10𝑧 = 0 ; Respostas: 1c ; 2 a ; 3 b; 4d ; .