calculo diferencial I

Cálculo Diferencial e Integral

Regina Maria Sigolo Bernardinelli

Sandra Regina Leme Forster

e

Sandra Regina Leme Forster

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

5

1 CONJUNTOS

NUMÉRICOS

6

1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS... 6

1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS... 7

1.2.1 Subconjuntos de Z... 8

1.2.1.1 Exercícios... 4

1.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS... 9

1.3.1 Exercícios………. 10

1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS... 11

1.4.1 Exercícios... 11

1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS... 11

1.5.1 Subconjuntos de R - Intervalos... 12 1.5.1.1 Exercícios... 15 1.6 Desigualdade... 15 1.7 Aplicações... 16 1.7.1 Exemplo... 16 1.8 Exercícios do capítulo... 16

2 FUNÇÃO

19

2.4.6 Função Quadrática... 41 2.4.6.1 Exercícios... 43 2.4.6.2 Exercícios... 48 2.4.7 Função Exponencial... 48 2.4.8 Função Logarítmica... 51 2.4.9 Função Modular... 57

2.5 APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES... 63

2.5.1 Aplicação da função polinomial do 1º grau... 63

2.5.2 Aplicação da função polinomial do 2º grau... 66

2.5.3 Aplicação da função exponencial... 70

2.5.4 Aplicação da função logarítmica... 71

2.6 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO... 72

3 INTRODUÇÃO

AO

LIMITE

82

3.2 SÍMBOLOMATEMÁTICOPARALIMITEDEFUNÇÃO... 83

3.3 OCONCEITODELIMITE... 84

3.3.1 Exercícios... 86

3.4 PROPRIEDADES DOS LIMITES... 88

3.4.1 Exercícios... 88 3.5 LIMITES LATERAIS... 88 3.6 LIMITESINFINITOS... 89 3.6.1 Exercícios... 89 3.7 LIMITE NO INFINITO... 90 3.8 EXERCÍCIOS... 92

3.9 LIMITE DA FUNÇÃO RACIONAL... 92

3.9.1 Exercícios... 93

3.9.2 Exercícios... 93

CONSIDERAÇÕES FINAIS...

APRESENTAÇÃO

É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno, esta apostila de Cálculo Diferencial e Integral I, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltados ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos alunos uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.

A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidisciplinares como chats, fóruns, Aulas web, Material de Apoio e e-mail.

Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de informação e documentação.

Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo no seu estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.

A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!

INTRODUÇÃO

Esta apostila destina-se aos alunos dos cursos de Engenharia de Ambiental e Engenharia de Produção com a finalidade de servir de orientação aos estudos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. Ela foi elaborada com o objetivo de fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e de auxiliar o aluno do ENSINO A DISTÂNCIA (EaD).

Em sua elaboração, procurou-se criar uma linguagem diferenciada daquela que normalmente aparece nos livros a fim de proporcionar uma melhor compreensão para os alunos do ENSINO A DISTÂNCIA.

A apresentação dos conteúdos está estruturada em partes teóricas, aplicações em forma de exercícios resolvidos que aparecem como exemplos, exercícios de aprendizagem para melhor compreensão dos assuntos abordados.

Espera-se com este material, contribuir de forma expressiva no aprendizado dos alunos, porém sua participação nas aulas ao vivo, realização das atividades e interação no correio, fóruns de discussões e chats são fundamentais para o seu sucesso.

Embora a apostila seja um pouco extensa, ela se divide em apenas três capítulos. No capítulo 1, estudaremos os conjuntos numéricos, pois é necessário que se entenda com clareza o número real, já que em todas as disciplinas a referência será esse conjunto. No capítulo 2, será tratado com detalhes o estudo de algumas funções, tais como a função polinomial do 1º grau, do 2º grau, exponencial, logarítmica e modular. A função racional, tão importante como as anteriormente citadas não está presente nessa apostila, mas será apresentada em aula Web, junto ao limite de uma função. No capítulo 3, Introdução aos limites, será apresentada apenas uma ideia do limite de uma função, o qual será estudado com mais detalhes na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. O capítulo 3 será utilizado com fonte de estudos para efeito de atividades e avaliações, tanto no módulo 4, como no módulo 5, deste curso.

Caso discorde de algo apresentado nessa apostila, comunique ao professor da disciplina, pois desejamos ouvi-los para que possamos melhorar o curso a cada trimestre.

1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

A disciplina de Cálculo, a qual será desenvolvida ao longo desse curso, está dividida em quatro grandes tópicos, pois cada um deles tratará um conteúdo específico, com aprofundamentos por meio de poucas demonstrações de algumas propriedades e por aplicações diversas pertinentes a cada uma delas. O que todos esses tópicos terão

em comum é que serão desenvolvidos tendo como base os números reais. Dessa forma, este primeiro capítulo apresentará uma revisão acerca dos conjuntos numéricos, já que não teria lógica iniciarmos pelos números reais, pois estes estão formados por elementos pertencentes aos números naturais, inteiros, racionais e irracionais.

1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Indicado pela letra N, é o seguinte conjunto: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }. Vejam sua representação na reta:

Quando excluímos o zero, obtemos o conjunto dos naturais não nulos, que é indicado por: N* _{= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... }.}

Sejam m e n dois números naturais. Então podemos ter:

m = n ou m > n ou m < n

sendo que: m > n ⇔(m−n)∈Ν∗ e m < n ⇔(m−n)∉Ν

Observação

Ao justificar as afirmações acima, temos que m > n ⇔(m−n)∈Ν∗, pois

como o m > n, o resultado m – n, obrigatoriamente será um número positivo, já que

0 1 2 4 3 5 _∙∙∙

Web

Conjuntos Numéricos

está sendo realizada a subtração de um número menor em relação a um número maior.

E ainda temos que m < n ⇔(m−n)∉Ν, pois nessa operação o resultado

será negativo e vimos na pág. 2, o conjunto N é constituído de números positivos e o zero.

Exemplos

Leitura 1) 7 > 2 (7 – 2 = 5 e 5 ∈Ν∗) Sete é maior do que dois. Sete menos dois é igual

a 5 e 5 é um número natural diferente de zero. 2) 3 < 10 ((3 – 10) ∉ ) Ν Três é menor do que dez. Três menos dez é um _{número negativo, logo esse resultado não será um}

número natural.

3){x ∈ | x > 6} = {7, 8, 9, 10, ... } Ν “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal que “x” é maior do que seis.

4){x ∈ | x ≥ 6} = { 6, 7, 8, 9, ... } Ν “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal que “x” é maior ou igual a seis.

5){x ∈ | x < 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Ν “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal que “x” é menor do que seis.

6){x ∈ | x ≤ 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5,6}Ν “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal que “x” é menor ou igual a seis.

7) {x ∈ | 3 < x < 7} = { 4, 5, 6} Ν “x” pertence aos números naturais tal que “x” está entre três e sete.

8) {x ∈ | 3 ≤ x ≤ 7} = {3, 4, 5, 6, 7}Ν “x” pertence aos números naturais tal que “x” está entre três e sete, incluindo o três e o sete.

9) {x ∈ | 11 < x ≤ 16} = Ν

{12, 13, 14, 15, 16}

“x” pertence aos números naturais tal que “x” está entre onze e dezesseis, incluindo o dezesseis.. 10) {x ∈ | 11 ≤ x < 16} = Ν

{11, 12, 13, 14, 15}

“x” pertence aos números naturais tal que “x” está entre onze e dezesseis, incluindo o onze.

1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Indicado pela letra Z, é o seguinte conjunto: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Vejam sua representação na reta:

0 1 _{2 4 3 5}

1.2.1 Subconjuntos de Z

a) Conjunto dos inteiros não nulos: Ζ = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ... } ∗ b) Conjunto dos inteiros positivos: Ζ = {1, 2, 3, 4, 5, ... } ∗₊

c) Conjunto dos inteiros negativos: Ζ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} ∗₋ d) Conjunto dos inteiros não negativos: Ζ₊= {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } e) Conjunto dos inteiros não positivos: Ζ₋ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

Note que o número zero não é positivo e nem negativo e que também N⊂ Z, ou seja, N está contido em Z e além disso o N = Ζ₊

Sejam m e n dois números inteiros. Então podemos ter:

m = n ou m > n ou m < n

sendo que: m > n ⇔(m−n)∈Ζ∗₊ e m < n ⇔(m−n)∈Ζ∗

-e ainda: m > 0 ⇔mépositivo(m∈Ζ∗₊) e m < 0 ⇔ménegativo(m∈Ζ∗₋)

Exemplos 1) 6 > -8 (6 – (-8) = 6 + 8 = 14 > 0) 2) -3 > -7 (-3 – (-7) = -3 + 7 = 4 >0) 3) -6 < -2 (-6 – (-2) = -6 + 2 = -4 < 0) 4) {x ∈Ζ|x<3}={...,−4,−3,−2,−1,0,1,2} 5) {x∈Ζ|−2≤x ≤6} ={−2,−1,0,1,2,3,4,5,6} 1.2.1.1 Exercícios

1) Explique detalhadamente as afirmações contidas em cada retângulo.

Sejam m e n dois números inteiros. Então podemos ter: m = n ou m > n ou m < n sendo que:

m > n ⇔(m−n)∈Ζ∗₊ e m < n ⇔(m−n)∈Ζ∗

-e ainda:

m > 0 ⇔mépositivo(m∈Ζ∗₊) e m < 0 ⇔ménegativo(m∈Ζ∗₋)

2) Escreva como se lê cada um dos exemplos acima.

1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Indicado pela letra Q, é o seguinte conjunto: Q = {x | x = ,m Ζen Ζ }

n

m _∗

∈

∈ , ou seja, é todo número obtido pela divisão de dois inteiros. Exemplos 1) 0,8 Q∈ , pois 0,8 = 5 4 = 10 8 2) -2,32 Q∈ , pois -2,32 = 25 58 50 116 _{= −} − = − 100 232 3) 5 Q∈ , pois 5 = 1 5 4) – 8 Q∈ , pois - 8 = 1 8 − 5) 0,333... Q∈ , pois 0,333... = 3 1 6) -1,2333... Q∈ , pois 1,2333... = -90 111

Observando os exemplos acima, convém notar que quando escrevemos um número racional na forma decimal, este pode apresentar um número finito de casas decimais (decimal exato, como nos exemplos “1” e “2’ ) ou um número infinito

de casas decimais (dízimas periódicas simples e composta, como nos exemplos “5” e “6” ). É conveniente observar também que todo número inteiro é racional, pois pode ser escrito na forma ,m Ζen Ζ }

n

m _∗

∈

∈ . Logo Z⊂Q.

É importante saber que o número racional não representa apenas uma “divisão”, mas também pode representar “parte e todo”, uma “razão” e um “operador”.

Observação: o estudo sobre os tipos de representações de números racionais e dízimas periódicas poderá ser estudado com mais profundidade em disciplinas que envolvem a didática do ensino da matemática.

Sejam x e y dois números racionais. Então podemos ter:

x = y ou x > y ou x < y sendo que: x = y ⇔ x−y =0; x < y ⇔ x−y<0; x > y ⇔ x−y >0. Exemplos 1) comparar x = 7 3 e y = 11 5 x – y = 0 x y 77 2 77 35 33 11 5 7 3 < ⇒ < − = − = − 2) comparar x = 4 7 − e y = 5 9 − x – y = 0 x y 20 1 20 36 35 ) 5 9 ( ) 4 7 (− − − = − + = > ⇒ > 1.3.1 Exercícios

1) Dê dois exemplos de números racionais nas formas decimal finita, decimal infinita

periódica simples e na decimal infinita periódica composta. Justifique o porquê de cada exemplo dado ser um número racional.

2) Compare os números racionais e apresente o caminho utilizado para fazer essa comparação. a) x = 7 6 e y = 9 7 b) x = 7 10 − e y = 8 11 − c) x = 8 e y = 8 66 1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS

São números não periódicos que podem ser escritos na forma decimal com infinitas casas decimais. Esses números não são racionais (não podem ser obtidos pela divisão de dois inteiros) e será indicado por Q (não racionais).

Exemplos

1) 2 =1,4142135... 2) 0,7 =0,83666002653... 3) −621 = −1,6680095... 4) π =3,1415926... 5) e = 2,7182818284... 6) -13, 1231123111231...

1.4.1 Exercícios

Classifique cada número abaixo como racional ou irracional e em seguida explique a sua resposta. a) = 121 81 b) 0,256 = c) = 90 36 d) 0,328 =

1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

É todo número racional ou irracional.

Desse modo, indicado pela letra R, é a reunião do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (Q).

Web

Aula 1 A reta real e o subconjunto de R

Q Q∪ =

ℜ

Convém notar que os números reais podem ser representados numa reta de tal modo que a todo número real corresponde um ponto da reta e a todo ponto da reta corresponde um número real, e ainda que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ ℜ.

Uma propriedade dos números reais é que eles se apresentam ordenados: 0 é menor do que 1, -2 é menor do - 1,8, π é maior do 1,45327..., e assim por diante. Na reta real podemos observar que a é menor do que b, se e somente se a está à esquerda de b.

Sejam a e b dois números reais. Então podemos ter: a = b ou a > b ou a < b

sendo que: a = b ⇔a−b=0

a < b ⇔a−b<0

a > b ⇔a−b>0

1.5.1 Subconjuntos de R - Intervalos

Sejam a e b dois números reais com a < b. Temos:

0 1 _{2 4 3 5} ∙∙∙ -4 -3 -2 -1 ∙∙∙ 2 1 2 1 − -3,2 2 3 1 _4,6 N Z Q Q ℜ

Tipos de Intervalos Representação na Reta Numérica Representação Simbólica Representação Algébrica 1) Intervalo aberto (a, b) = ]a, b[ {x∈ℜ|a<x<b} 2) Intervalo fechado [a, b] {x∈ℜ|a≤x≤b} 3) Intervalo aberto à esquerda e fechado à

direita (a, b] = ]a, b] {x∈ℜ|a<x≤b} 4) Intervalo fechado à

esquerda e aberto à

direita [a, b) = [a, b[ {x∈ℜ|a≤x<b}

5) Intervalo infinito à esquerda a[ , ] a) , (−∞ = −∞ {x∈ℜ|x<a} a] , ] a] , (−∞ = −∞ {x∈ℜ|x≤a} 6) Intervalo infinito à direita

(

1) Dados os intervalos: I = [2, 7] e J = ]5, 9[, determine I∩ J . I ∩ J = x∈ℜ|5<x≤7}=]5,7] 2) Sendo I = [-1, 6] e J = ]3, 8[, determine I∪ J. I∪ J = [-1, 8[ = {x∈ℜ|−1≤ x<8} 3) Sendo I = ]0, 2] e J = [5, +∞ [, determine: a) I ∩ J; b) I ∪ J. a I∩ J = _∅ 2 7 5 ₉ I J I ∩ J 5 7 -1 6 I J 3 8 -1 8 I ∪ J 0 2 5 I J I∩ J

b)

I∪ J = ]0, 2] ∪ [5, + ∞ [ = {x∈ℜ|0<x≤2 ou x≥5}

1.5.1.1 Exercícios

1) Explique as respostas de cada um dos exemplos acima.

2) Em cada um dos itens abaixo, complete com V (verdadeiro) ou F (falso) e

justifique as alternativas falsas.

a) ( ) A = [2,10[ é um intervalo semi-aberto em que o extremo esquerdo pertence

ao conjunto A e o extremo direito não pertence.

b) ( ) B = (2,3) é um conjunto com um número infinito de elementos. c) ( ) C = [2,4] = {2, 3, 4}

d) ( ) Sejam A, B e C os conjuntos dos itens anteriores, pode-se afirmar que

A ∪ B ∪ C = A

e) ( ) Sejam A, B e C os conjuntos dos itens anteriores, pode-se afirmar que

(A ∩ B ) ∪ C = {2, 3, 4}

1.6 DESIGUALDADES

Muitas vezes devemos resolver desigualdades que envolvem expressões como 2x – 5 < 9. O número a é uma solução de uma desigualdade se esta é verdadeira quando substituímos x por a. O conjunto de todos os valores de x que satisfazem uma desigualdade é chamado conjunto solução da desigualdade. Na

0 2

5 I

J

resolução da desigualdade aplicam-se as propriedades apresentadas na tabela abaixo:

Nome Propriedade

Propriedade transitiva a < b e b < c ⇒ a < c

Adição de desigualdades a < b e c < d ⇒ a + c < b + d Multiplicação por uma constante positiva a < b ⇒ a.c < b.c, c > 0 Multiplicação por uma constante negativa a < b ⇒ a.c > b.c, c < 0 Adição de uma constante a < b e ⇒ a + c < b + c Subtração de uma constante a < b e ⇒ a - c < b - c

1.7 APLICAÇÕES

As desigualdades têm aplicação freqüente para definir condições que ocorrem em diversas áreas, um exemplo disso está em analisarmos os níveis de produção.

1.7.1 Exemplo

Além do custo administrativo fixo, de R$ 720,00, o custo da produção de x unidades de certo item é de R$ 3,00 por unidade. Durante o mês de outubro, o custo total da produção variou entre o máximo de R$ 1.155,00 e no mínimo de 1.120,00 por dia. Determine os níveis de produção máximo e mínimo durante o mês.

Resolução

Como o custo de produção de uma unidade é de R$ 3,00, a produção de x unidades é de 3.x. Além disso, como o custo fixo diário é de R$ 720,00, o custo total da

produção de x unidades é C = 3.x + 720.

Ora, como o custo variou de R$ 1.120 a R$ 1.155, podemos escrever que:

1.120 ≤ 3.x + 720 ≤ 1.155

1.120 - 720 ≤ 3.x + 720 – 720 ≤ 1.155 – 720 400 ≤ 3.x ≤ 435

3 435 3 3 3 400 ≤ ⋅ ≤ x 133,33 ≤ x ≤ 145

Assim, os níveis de produção diária durante o mês variam entre um mínimo de 133 unidades e um máximo de 145 unidades.

1.8 EXERCÍCIOS GERAIS DO CAPÍTULO

1) Forme os seguintes subconjuntos de Z:

a) A = {x∈Ζ|x >−3} b) B = {x∈Ζ|x≤−2} c) C = {x∈Ζ|x<5} d) D = {x∈Ζ|-8< x<−3} e) E = {x∈Ζ|-6≤ x≤0} f) F = {x∈Ζ|-3≤x≤3}

2) Determine os elementos de cada conjunto: a) A = {x∈Q|x.(x+1).(2x−1).(2x−4)=0} b) B = {x∈Ζ|x.(x+1).(2x−1).(2x−4)=0} c) C = {x∈Ν|x.(x+1).(2x−1).(2x−4)=0} d) D = {x∈Ν∗|x.(x+1).(2x−1).(2x−4)=0}

3) Represente na reta os seguintes subconjuntos de ℜ:

a) ℜ∗ ={x∈ℜ|x ≠0} =ℜ−{0} b) ℜ₊ ={x∈ℜ|x ≥0} =[0,+∞[ c) ℜ∗₊ ={x∈ℜ|x>0}=]0,+∞[ d) ℜ₋ ={x∈ℜ|x≤0}=]−∞,0] e) ℜ∗₋ ={x∈ℜ|x<0} =]−∞,0[

4) Determine I∩ J e I ∪ J nos casos:

a) I = [-3, 3] e J = [0, 6] b) I = ]1, 7[ e J =]2, 5[

Produção diária máxima Produção diária

mínima

Produção de cada dia durante o mês recaiu nesse intervalo

0 100 150 200

c) I = ]-∞,3]eJ=[−2,+∞[ d) I = [1, 4] e J = [4, 9]

5) Uma loja de chocolates em um Shoping Center vende o quilo de um determinado

chocolate a R$ 23,00. Além do custo fixo (aluguel, tarifas públicas e seguro) de R$ 150,00 por dia, a matéria prima e mão de obra custam R$ 14,00 por quilo desse chocolate. Se o lucro diário varia entre R$550,00 e R$ 671,00, entre que níveis em quilo variam as vendas diárias?

6) A receita da venda de x unidades de um produto é R = 120,20x e o custo da

produção de x unidades é C = 98x +800. Para que haja lucro, a receita de venda há de ser maior do que o custo. Para que valores de x este produto dará lucro?

7) Investem-se R reais à taxa anula r de juros (simples). Após t anos, o montante na

conta é dado por A = R + Rrt, onde a taxa de juros é expressa em forma decimal. Par que um investimento de R$ 5.000 ultrapasse R$ 6.000 em 2 anos, qual deve ser a taxa de juros?

8) Uma grande empresa tem uma frota de motos cujo o custo operacional aual

unitário é C = 0,15q + 800, onde qu é o número de quilometragem percorridas por uma moto em um ano. Qual quilometragem proporcionará um custo operacional anual, por moto, inferior a R$ 5.000?

Respostas da Lista de Exercícios (1.8)

1) a) {-2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }; b) {..., -4, -3, -2}; c) {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}; d) {-7, -6, -5, -4}; e) {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}; f) {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}; 2) a) {-1, 0, 2 1 , 2}; b) {-1, 0, 2}; c) {0, 2}; d) {2}; 4) a) [0, 3]; [-3, 6]; b) ]2, 5[; ]1, 7[; c) [-2, 3]; ℜ;d){4};[1,9] 5) 77,8 < x < 91,3; 6) x > 36,04; 7) 10%; 8) 28.000 km.

2 FUNÇÃO

Neste capítulo serão discutidos vários tipos de funções que aparecem no Cálculo. As funções são as melhores ferramentas para descrever o mundo real em termos matemáticos.

Este capítulo apresenta as idéias básicas das funções, seus gráficos, seus métodos para transladá-los, mas, ao contrário do que normalmente se apresenta, existirá uma preocupação em

apresentar a função em suas diversas representações, ou seja, a partir de uma função representada algebricamente, será solicitado seu gráfico, a partir do gráfico de uma função será pedida a sua representação numérica ou a partir de sua representação numérica será solicitada a sua representação algébrica.

Iniciaremos este capítulo com algumas definições que irão nos auxiliar na compreensão do conceito de função.

2.1 PAR ORDENADO

Imaginem a seguinte situação: “para formar a equipe de basquete de um colégio, vamos selecionar 5 alunos dentre os da 3ª série A e da 3ª série B, indicando as quantidades de alunos escolhidos em cada classe do seguinte modo: anotamos entre parênteses primeiro o número de selecionados da 3ª série A e depois o da 3ª série B”.

Então, (3, 2) indicará que foram selecionados 3 alunos da 3ª A e 2 alunos da 3ª B, enquanto (2, 3) indicará que foram selecionados 2 alunos da 3ª A e 3 alunos da 3ª B. Assim, em (3, 2) e (2, 3) temos as mesmas quantidades, 3 e 2, porém dispostas em ordens diferentes. Por isso, dizemos que (3, 2) e (2, 3) são dois pares

ordenados diferentes. No nosso exemplo, podem ocorrer os seguintes pares

ordenados: (5, 0), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) e (0, 5).

Com esse exemplo, podemos formar a idéia de par ordenado, como sendo um conjunto de dois elementos considerados numa dada ordem. Para lembrar que na representação de um par ordenado a ordem é importante, usamos parênteses ao invés de chaves como nos conjuntos em geral. Assim, (x, y) é o par

Web Aula 2 Introdução à Função Par ordenado, Produto cartesiano e Relação

ordenado de 1º termo x e 2º termo y, enquanto que (y, x) é o par ordenado de 1º termo y e 2º termo x.

Podemos representar os pares ordenados de números reais por pontos de um plano.

Consideremos duas retas orientadas (eixos) x e y, perpendiculares e que se cortam num ponto O. Então, essas duas retas concorrentes determinam um único plano α cujos pontos serão associados aos pares ordenados (a, b) de números reais do seguinte modo:

1º) Marcamos em x o ponto P1 correspondente ao número a e por ele traçamos a

reta y’ paralela a y;

2º) Marcamos em y o ponto P2 correspondente ao número b e por ele traçamos a

reta x’ paralela a x.

Desse modo, as retas x’ e y’ interceptam-se num ponto P, que é associado ao par (a, b).

Temos então:

• P é o ponto de coordenadas (a, b); • O número a é a abscissa de P; • O número b é a ordenada de P; • O eixo x é o eixo das abscissas; • O eixo y é o eixo das ordenadas; • O ponto O é a origem e tem

coordenadas (0, 0).

A cada par de números reais fazemos corresponder um ponto do plano α

e também a cada ponto do plano corresponde um par de números reais. Essa correspondência é denominada sistema de coordenadas cartesianas ortogonais (ou sistema cartesiano ortogonal). O plano α é chamado plano cartesiano.

2.2 PRODUTO CARTESIANO x y P1 P2 P (a, b) a b O x’ y’ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ α

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto

cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos são todos pares ordenados

(x, y), onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. B} y e A x / y) {(x, B A× = ∈ ∈

O símbolo A x B lê-se: “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B” Quando A = ∅ ou B = ∅, temos que A x B = ∅.

Quando B = A, temos A x A = A2 e lê-se, “A dois”.

Exemplos

1) Se A = {1, 2} e B = {2, 3, 4}, o produto cartesiano:

Representação

Simbólica Representação Numérica Representação Gráfica

a) A x B {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} b) B x A {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)} c) A x A = A2 {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} y x 1 2 2 3 4 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ x y 1 2 2 3 4 ∙ ∙ ∙ ∙ x y 1 2 2 1

2) Se A ={x∈ℜ/2 ≤ x < 4} e B = {3}, apresente em diferentes representações:

Representação

Simbólica Representação Algébrica Representação Gráfica

A X B {(x,3)/ x∈A}={(x,3)/2≤x<4}

3) Se A ={x∈ℜ/2<x≤4} e B={x∈ℜ/2≤x<6}, apresente em diferentes

representações:

Representação

Simbólica Representação Algébrica Representação Gráfica

A X B {(x,y)∈ℜ×ℜ/2<x≤4 e 2≤y<6} B X A _{(x,y)∈ℜ2_{/2<x≤6 e 2≤y<4}} x y 2 3 4 x y 2 6 4 2 4 6 x y 2 6 4 2 4 6

2.2.1 Exercícios

1) Observando o exemplo (1), o que se pode concluir em relação à quantidade de

elementos de um produto cartesiano, ou seja, se o conjunto A tem m elementos e o conjunto B tem n elementos, então o conjunto A x B será formado por quantos pares ordenados?

2) Se o conjunto A é diferente do conjunto B, então A X B e B X A são diferentes?

Explique detalhadamente a sua resposta.

3) Se o conjunto A está composto por 3 elementos e o conjunto B por 4 elementos,

então a quantidade de elementos, ou seja, de pares ordenados de A X B e de B x A são diferentes? Justifique a sua resposta.

4) Explique o porquê do gráfico do exemplo (2) ser um segmento de reta a, além

disso, o fato de conter a extremidade esquerda e não conter a extremidade direita.

5) Justifique o fato dos gráficos do exemplo (3) serem representados pela área de

uma região retangular. Explique ainda, as linhas tracejadas em cada retângulo.

2.3 RELAÇÃO

Denominamos relação de A em B a todo subconjunto R de A x B.

R é uma relação de A em B ⇔R⊂ A×B

Exemplos

1) Se A = {1, 2} e B = {2, 3, 4}, determine a R ={(x,y)∈A×B/ x<y}a qual está

sendo apresentada em uma linguagem simbólica, nas representações numéricas e gráficas

A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}.

Representação Numérica Representação Gráfica

Cartesina Diagrama de

Flechas

R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

2) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}, represente numericamente e em forma de

diagramas de flechas as relações de A em B:

a) R = {(x,y)∈A×B / x+y=8}

b) S = {(x,y)∈A×B / xy≤10}

a) A relação R é formada pelos pares (x, y), x∈ e A y∈ , com a soma dos termos B

x + y = 8. Estes pares são: (1, 7) e (3, 5). Logo, R = {(1, 7), (3, 5)}.

b) A relação S é formada pelos pares (x, y), x∈ e A y∈ , com o produto dos B

termos ≤10. Estes pares são: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3) e (4, 1) Logo,

S = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (4, 1)}

Diagrama de Flechas Diagrama de Flechas

A B 1 1 2 3 4 3 5 7 R A B 1 1 2 3 4 3 5 7 S A _B 1 2 3 4 2 R x y 1 2 2 3 4 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

2.3.1 Exercício

Observando o exemplo (1), explique qual é a diferença do produto cartesiano e da relação.

2.4 FUNÇÃO

2.4.1 Definição

Sejam dois conjuntos A e B, com A ≠Ø e B≠Ø.

Uma função ou aplicação de A em B é uma relação que a todo elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B.

Exemplo

“O perímetro (y) de um quadrado é função do lado (x) desse quadrado. Se o lado medir 2 cm, o perímetro será 8 cm; se o lado medir 10 cm, o perímetro será 40 cm; para cada x, o perímetro será y = 4x, onde x pode ser qualquer número real positivo”.

2.4.2 Observações

1) Em relação ao diagrama de flechas, uma relação de A em B é uma função se:

a) Todo elemento de A é ponto de partida de flecha;

b) Cada elemento de A é ponto de partida de uma única flecha.

2) Em relação à representação cartesiana, uma relação de A em B é uma função se:

“A reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x, 0), onde x∈ , encontra sempre A o gráfico da função em um só ponto”.

3) A seguinte linguagem é utilizada: a) O conjunto A é o domínio da função;

Web

Aula 3 Função

b) O conjunto B é o contradomínio da função;

c) O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x; d) O subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos de

A é denominado conjunto-imagem (ou apenas imagem) da função.

2.4.3. Notação

Função: em geral, usamos as letras f, g, h e outras para designarmos as funções.

Também podemos escrever: B

A :

f → (leia: f de A em B), para indicar uma função f de A em B; y = f (x) (leia: y = f de x), para indicar que y é a imagem de x.

Domínio: utilizamos D ou D (f) (leia: D de f) para indicarmos o domínio da função f.

Imagem: utilizamos Im ou Im (f) (leia: imagem de f), para indicarmos a imagem da

função f.

Assim, para uma função f :A → , temos: B D (f) = A e Im (f) = {y ∈B /(∃x∈A / f (x)=y)}

Para uma função f ficar bem definida, devemos dizer quem é o domínio (A), o contradomínio (B) e a lei (ou regra) pela qual a cada x de A corresponde o elemento y = f (x) de B. Diagrama de Flechas A = D (f) B Im (f) ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ x _y f

Observem ainda que quando temos uma função f :A→ , tal que B y = f (x), x e y recebem o nome de variáveis, com x como variável independente e

y, variável dependente. (Vejam o exemplo dado na definição 2.4.1)

Exemplos

1) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3}, verifique pelo diagrama

de flechas, quais das seguintes relações definidas abaixo,são funções.

a) R = {(x,y)∈A×B / y=x+2} b) S = {(x,y)∈A×B / y2 =x2} c) T = {(x,y)∈A×B / y=x} d) V = {(x,y)∈A×B / y=x2−2x} e) W = {(x,y)∈A×B / y=3} Resolução a) R = {(0, 2), (1, 3)} a) b) S = {(0, 0), (1, -1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} c) T = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} d) V = {(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)} e) W = {(0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3)} b) c) A B 0 0 1 1 -1 2 2 3 3 não é função R B A 0 0 1 1 -1 2 2 3 ₃ Não é função S A ₀ B 0 1 1 -1 2 2 3 3 É função T

d) e)

2) Dadas as representações cartesianas das relações f de A em ℜ, verifique quais

são funções: a) A = {x∈ℜ/ −1≤x ≤2} b) A = {x∈ℜ / −1≤ x≤1} c) A = {x∈ℜ/ 0≤ x≤3} A ₀ B 0 1 1 -1 2 2 3 3 É função V A ₀ B 0 1 1 -1 2 2 3 3 É função W -1 2 x y x y -1 1 2 x y 3 0

Observem que o item (a) representa uma função, pois qualquer reta traçada paralelamente a y por pontos do intervalo [-1, 2] intercepta o gráfico cartesiano num único ponto. O item (b) não representa uma função, pois se traçarmos retas paralelas a y, por pontos do intervalo [-1, 1], estas interceptam o gráfico cartesiano em dois pontos. O item (c) também não representa uma função, pois retas traçadas paralelamente a y por pontos do intervalo [0, 2[ não interceptam o gráfico cartesiano em ponto algum. Se no item (c) tivéssemos A = {x∈ℜ/ 2≤x ≤3}, daí teríamos uma função.

3) Dado A = {-1, -2, -3, -4}, consideremos a função f:A→ℜdefinida por f (x) = 2 x.

Qual a imagem dessa função?

Atribuindo a x os valores do D (f) = A, temos: Para x = -1, f (-1) = 2 . (-1) = -2 Para x = -2, f (-2) = 2 . (-2) = -4 Para x = -3, f (-3) = 2 . (-3) = -6 Para x = -4, f (-4) = 2 . (-4) = -8 Portanto, Im (f) = {-2, -4, -6, -8} 2.4.4 Exercícios

1) Com base nas observações do tópico 2.4.2, justifique as respostas do exemplo

(1).

2) Qual é a diferença de uma relação e de uma função? Toda função é uma

relação? E toda relação é uma função?

2.4.5. Funções do 1º Grau 2.4.5.1. Função Afim A = D (f) ℜ -1 -2 -2 -3 -4 -4 -6 -8 Im (f) f -4 Web Aulas 4 e 5 Função do 1º grau

Definição: uma aplicação de ℜem ℜrecebe o nome de função afim quando a

cada x ∈ℜ estiver associado o elemento (ax +b) ∈ℜ com a≠0, isto é:

0 a b, ax (x) f y x : f ≠ + = = ℜ → ℜ a Exemplos

Apresente as funções dos itens (a), (b) e (c) nas representações algébrica, numérica e gráfica.

Representação Algébrica

Representação

Numérica Representação Gráfica

a) y = 2 x + 3 com a = 2 e b = 3 x y 0 3 -1 1 b) y = 3 x – 1 com a = 3 e b = -1 x y 0 -1 1 2 c) y = - x + 3 com a = -1 e b = 3 x y 0 3 1 2

2.4.5.1.1 Exercício

Observando os exemplos anteriores, podemos notar que para representar essa função por meio de um gráfico apenas dois pontos foram utilizados. O que ocorreria se utilizássemos mais de 2 pontos? O que garante que apenas dois pontos sejam necessários para o esboço do gráfico da função polinomial do 1° grau?

Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = ℜ.

Coeficientes da Função Afim: f (x) = ax + b

a: coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. b: coeficiente linear (ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y).

Exemplos

1) Obter a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, -2).

Resolução

A equação da reta é da forma: y = ax + b (1, 2) pertence à reta ⇒ 2 = a + b (3, -2) pertence à reta ⇒ -2 = 3a + b ⎩ ⎨ ⎧ − = + = + 2 b 3a 2 b a (-)

2a = -4 ⇒ a = -2 ⇒ b = 4. Portanto, a equação da reta é: y = -2x + 4

b) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem coeficiente angular

igual a 2.

Resolução

A equação da reta é da forma: y = ax + b

Se o coeficiente angular é igual a 2, temos que a = 2 Portanto a equação fica: y = 2x + b

Como o ponto (1, 3) pertence à reta, vem: 3 = 2 . 1 + b ⇒ b = 1 Portanto, a equação da reta é: y = 2x + 1

c) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual

a 4.

Resolução

A equação da reta é da forma: y = ax + b

Se o coeficiente linear é igual a 4, temos que b = 4 Portanto, a equação fica: y = ax + 4

Como o ponto (-2, 1) pertence à reta, vem: 1 = -2a + 4 ⇒ -2a = -3 ⇒ a = 2 3

Portanto, a equação da reta é: y = 2 3

x + 4

Zero da Função Afim: é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f (x) = 0.

x é zero de y = f (x) ⇔ f (x) = 0

Exemplo

y = f (x) = 2x – 2

f (x) = 0 ⇒ 2x – 2 = 0 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1

Graficamente, o zero da função afim é a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x.

Funções Crescentes ou Decrescentes

Função Crescente: a função f: A → B definida por y = f (x) é crescente no conjunto

A1 ⊂ A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 de A1, com x1 < x2, tivermos f (x1) < f

Função Decrescente: a função f: A → B definida por y = f (x) é decrescente no

conjunto A1 ⊂ A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 de A1, com x1 < x2, tivermos f

(x1) > f (x2).

Teorema: “a função afim é crescente ou decrescente se, e somente se, o coeficiente

angular é respectivamente positivo ou negativo”.

Exemplos

a) y = 2x – 3; a = 2 > 0 ⇒ y é crescente. b) y = -3x +3; a = -3 < 0 ⇒ y é decrescente.

Sinal da Função Afim: seja y = f (x) = ax + b

f (x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ x = a b

− (zero ou raiz da função afim)

a) Se a > 0 :

Se a < 0 :

Portanto, podemos resumir os dois casos acima em um único caso:

a b − x + _ a b − + _ c/a 0 m/a x a b − x + _ a b − + _ c/a 0 m/a x a b − c/a y = 0 m/a x

Exemplos Estude as funções: a) y = f (x) = 2x – 2 b) y = f (x) = -3x +6 Resolução a) y = f (x) = 2x – 2 a = 2 > 0 ⇒ f é crescente f (x) = 0 ⇒ 2x – 2 = 0 2x = 2 ⇒ x = 1 (zero ou raiz) b) y = f (x) = -3x + 6 a = -3 < 0 ⇒ f é decrescente f (x) = 0 ⇒ -3x + 6 = 0 -3x = -6 ⇒ x = 2 (zero ou raiz) Atenção

Quando igualamos a zero a função y = f (x) para determinar sua raiz (intersecção da reta com o eixo x), passamos a ter uma equação do 1º grau na

incógnita x, a qual queremos determinar.

2.4.5.1.2 Exercício

Dados os gráficos das funções dos itens (a) e (b):

1 x _ + 1 _ + m/a c/a f (x) = 0 f (x) > 0 f (x) < 0 2 x _ + 2 + _ m/a c/a f (x) = 0 f (x) < 0 f (x) > 0

1) Represente a função algebricamente.

2) Determine os coeficientes (angular e linear). 3) Determine o zero de cada uma das funções.

4) As funções são crescentes ou decrescentes? Por quê?

a) b)

2.4.5.2 Função Linear

Definição: se na função afim y = f (x) = ax + b, a ≠ 0 tivermos b = 0, teremos a

função linear que é uma aplicação de ℜ em ℜ e que associa a cada elemento

x ∈ℜ o elemento ax ∈ℜ, a ≠ 0. 0 a ax, (x) f y x : f ≠ = = ℜ → ℜ a Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = ℜ. Exemplos

Represente as funções abaixo, numérica e graficamente:

a) y = 2x −4 −2 2 4 8 −6 −4 −2 x y f −4 −2 2 4 8 −6 −4 −2 x y f

b) y = -2x

2.4.5.2.1 Exemplo

Como pode ser observado nos exemplos acima, o gráfico da função linear também é representado por uma reta, mas esse gráfico apresenta uma particularidade em relação à função afim. Qual é essa particularidade?

2.4.5.3 Função Identidade

Definição: se na função afim y = f (x) = ax + b, a ≠ 0 tivermos b = 0 e a = 1, teremos

a função identidade, que é uma aplicação de ℜ em ℜ e que associa a cada elemento x ∈ℜ o próprio x. x (x) f y x : f = = ℜ → ℜ a

Gráfico: o gráfico da função identidade também é uma reta que contém as

bissetrizes do 1º e 3º quadrantes e que passa pela origem.

Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = ℜ. x y 0 0 1 2 x y 0 0 1 -2

Exemplos

Construir o gráfico das funções:

a) y = x b) y = -x

Para cada item, vamos atribuir valores a x.

a) b)

2.4.5.3.1 Exercício

1) Existe diferença entre as funções linear e identidade? Em caso afirmativo, quais?

2) Toda função linear é identidade? E toda função identidade é linear? Por quê?

3) Por que o domínio de uma função linear são todos os números reais?

4) Se uma função linear estiver definida para x ∈ ℜ/ 3 < x < 10, a sua imagem estará

composta por todos os números reais? Por quê?

5) Se uma função linear estiver definida para x ∈ ℜ/ 3 < x < 5, a sua imagem estará

composta por um número finito de elementos? Por quê?

x y 0 0 1 1 x y 0 0 1 -1

2.4.5.4 Função Constante

1) Definição: se na função afim y = f (x) = ax + b, tivermos a = 0, teremos a função

constante, que é uma aplicação de ℜ em ℜe que associa a cada elemento x ∈ℜ,

sempre o mesmo elemento b ∈ℜ.

) (constante b (x) f y x : f = = ℜ → ℜ a

Gráfico: o gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x, passando pelo

ponto (0, b).

Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = {b}

Exemplos

Construir os gráficos das funções:

a) y = 4 b) y = -2

Observem que as duas funções não dependem de x, isto é, para qualquer x ∈ℜ, em (a), o y vale sempre 4 e em (b) vale sempre -2.

a) b)

2.4.5.4.1 Exercício

2.4.5.5 Declividade

Declividade da reta é à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo Ox. Na função polinomial do primeiro grau, esta tangente coincide com a própria reta do gráfico da função e tem valor igual ao coeficiente angular “a”.

A partir do gráfico da função do 1º grau é possível determinar o valor do coeficiente angular. Para isso, tomamos dois pontos A e B da função; ou da reta.

Para determinar a declividade ou coeficiente angular de uma reta prosseguimos conforme pode ser lido abaixo.

Seja “a” o coeficiente angular da reta, então

1 2 1 2 x x y y a − − = , onde A = (x1,y1) e B = (x2,y2)

Note que o triângulo ABC destacado da figura é um triângulo retângulo. Assim, temos: α tag a α a adjacente cateto α a oposto cateto AC BC a x x y y a 1 2 1 2 _{⇒ = = ⇒ =} − − = Exemplos

1) Determine a inclinação da reta apresentada no gráfico abaixo.

Resolução

Uma das forma de determinar a inclinação de uma reta é aplicar a fórmula 1 2 1 2 x x y y a − −

= . Para isso devemos conhecer ao menos dois dos pontos da reta. Note, que no gráfico apresentado, temos bem definidos dois de seus pontos, que são as intersecções da reta com os eixos coordenados. No eixo Ox, vamos

−4 −2 2 4

−4 −2 2 4

denominar o ponto de A, então A = (-2,0) e no eixo Ou, vamos denominar de B, então B = (0,4). Seja então, x1 = -2, x2 = 0, y1 = 0 e y2 = 4, substituindo em

1 2 1 2 x x y y a − − = , teremos 2 2 4 ) 2 ( 0 0 4 a = = − − −

= . Logo, o coeficiente angular dessa reta, ou a declividade é igual a 2.

2) Determine a equação da reta do exemplo anterior.

Resolução

Uma das formas de determinar a equação de uma reta é usar a equação reduzida da reta, dada por: y – y0 = m(x – x0), onde m é o coeficiente

angular da reta, também conhecido por “a” e as coordenadas (x0,y0) representam as

coordenadas de qualquer ponto conhecido da reta. Para o exemplo em questão, conhecemos as coordenadas dos pontos A e B, portanto pode-se usar qualquer um dos dois pontos. Ainda temos o coeficiente angular m = a = 2. Substituindo o 2 e o ponto A, por exemplo, teremos: y – y0 = m(x – x0), ⇒ y – (0) = 2(x – (-2)) ⇒ y = 2x +

4.

Portanto, a equação da reta é dada por: y = 2x + 4.

2.4.6. Função Quadrática

Definição: uma aplicação f de R em R recebe o nome de função

quadrática ou do 2º grau quando associa a cada x R∈ o elemento

(ax2 + bx + c) R∈ , onde a ≠ 0. 0 a c, bx ax (x) f y x : f 2_{+ + ≠} = = ℜ → ℜ a Exemplos a) f (x) = x2 – 2x + 3; a = 1; b = -2; c = 3 b) f (x) = -2x2 + 5x – 1; a = -2; b = 5; c = -1 c) f (x) = x2 – 4; a = 1; b = 0; c = -4 Web Aula 6 Função do 2º grau

d) f (x) = -2x2 + 3x; a = -2; b = 3; c = 0 e) f (x) = -4x2; a = -4; b = 0; c = 0

Gráfico: o gráfico da função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é uma parábola.

Concavidade

a) a > 0 ⇒ concavidade voltada para cima (boca pra cima)

b) a < 0 ⇒ concavidade voltada para baixo (boca pra baixo)

Zeros da função do 2° grau

Os zeros ou raízes da função quadrática y = f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 são os valores de x reais tais que f (x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do 2º grau

ax2 + bx + c = 0 na incógnita x.

Discussão: ax2 _{+ bx + c = 0; Δ = b}2 _{– 4ac (discriminante da equação do 2º grau)}

1º) Δ > 0, a equação apresenta duas raízes reais e distintas

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − = + − = 2a Δ b x 2a Δ b x 2 1

(a parábola corta o eixo dos x em dois pontos)

2º) Δ = 0, a equação apresenta duas raízes reais e iguais

⎩ ⎨ ⎧ _{= =−} 2a b x x_{1 2} (a parábola tangencia o eixo dos x)

3º) Δ < 0, a equação não apresenta raízes reais, pois Δ∉ℜ.

(a parábola não corta o eixo dos x)

x y

y

Exemplo

Determine os valores de m para que a função quadrática f (x) = mx2 _{+ (2m – 1)x + (m – 2) tenha dois zeros reais e distintos.}

Resolução

Para a função ser quadrática, devemos ter a = m ≠ 0.

Para que a função tenha dois zeros reais e distintos, devemos ter Δ > 0. Δ > 0 ⇒ (2m – 1)2 _{– 4m (m – 2) > 0} 4m2 – 4m + 1 – 4m2 + 8m > 0 4m + 1 > 0 4m > -1 m > 4 1 −

Portanto, devemos ter: m ≠ 0 e m > 4 1 −

Vértice da Parábola: o ponto V = (

4a Δ , 2ab −

− ) é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática.

Máximo e Mínimo: dizemos que o número yM ∈ Im (f) (ou ym ∈ Im (f)) é o valor de

máximo (ou mínimo) da função y = f (x) se, e somente se, yM ≥ y (ou ym ≤ y) para

qualquer y ∈ Im (f) e o valor xM ∈ D (f) (ou xm ∈ D (f)) tal que yM = f (xM) (ou ym = f

(xm)) é chamado ponto de máximo (ou mínimo) da função.

Teorema:

A função quadrática y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 admite um valor máximo (ou mínimo) y = 4a Δ − em x = 2a b

− se, e somente se, a < 0 (ou a > 0).

1) Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de

mínimo das funções abaixo, definidas em ℜ.

a) y = 4x2 – 8x + 4

Resolução:

a) y = 4x2 – 8x + 4; a = 4 > 0 ⇒ y =

4a Δ

− é o valor mínimo da função, no ponto de

mínimo x = 2a b − . Δ = b2 _{– 4ac} Δ = (-8)2 _{– 4 . 4 . 4} Δ = 64 – 64 = 0

Portanto, o valor mínimo da função é ym = 0 e o ponto de mínimo da função é:

xm = 2a b − = 1 88 = −

− . Logo, o vértice é o ponto V = (1, 0).

2.4.6.1 Exercícios

1) Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de

mínimo das funções abaixo, definidas em ℜ. y = -3x2 + 12x

2) Determine o valor de m na função real f (x) = (m – 1)x2 + (m + 1)x - m para que o

valor mínimo seja 1.

Domínio e Imagem: D (f) = ℜ. Para determinarmos a Im (f), fazemos:

f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 a) a > 0 ⇒ y } 4a Δ y / {y (f) Im x , 4a Δ − ≥ ℜ ∈ = ∴ ℜ ∈ ∀ − ≥ b) a < 0 ⇒ y } 4a Δ y / {y (f) Im x , 4a Δ _{∀ ∈ℜ ∴ = ∈ℜ ≤−} − ≤ Exemplos

1) Obter a imagem da função f de ℜem ℜdefinida por: f (x) = 2 x2 – 8x + 6. a = 2 > 0 ⇒ } 4a Δ y / {y (f) Im = ∈ℜ ≥− Vamos determinar Δ : Δ = b2 _{– 4ac} Δ = (-8)2 _{– 4 . 2 . 6} Δ = 64 – 48 = 16 Portanto, } 4a Δ y / {y (f) Im = ∈ℜ ≥− = } Im(f) {y / y 2} 8 16 y / {y∈ℜ ≥− ⇒ = ∈ℜ ≥−

2) Determinar m na função f (x) = 3x2 – 4x + m definida em ℜpara que a imagem

seja Im (f) = {y∈ℜ / y≥2} a = 3 > 0 ⇒ } 4a Δ y / {y (f) Im = ∈ℜ ≥− Vamos determinar Δ : Δ = b2 _{– 4ac} Δ = (-4)2 _{– 4 . 3 . m} Δ = 16 – 12m } 12 12m -16 -y / {y } 4a Δ y / {y (f) Im = ∈ℜ ≥− = ∈ℜ ≥ ∴

Como queremos que Im (f) = {y∈ℜ / y≥2}, fazemos:

3 10 12 40 m 40 12m 24 12m 16 2 12 12m 16 = = ⇒ = ⇒ = + − ⇒ = − −

Sinal da Função Quadrática: f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0

1º caso: Δ < 0 ⇒ a equação ax2 + bx + c = 0 não apresenta raízes reais ⇒ a

parábola não corta o eixo dos x.

a) a > 0 x y f (x) > 0 + + + + + + + + + + m/a x

b) a < 0

2º caso: Δ = 0 ⇒ a equação ax2 + bx + c = 0 apresenta duas raízes reais e iguais:

x1 = x2 =

2a b

− ⇒ a parábola tangencia o eixo dos x.

a) a > 0

b) a < 0

3º caso: Δ > 0 ⇒ a equação ax2 + bx + c = 0 apresenta duas raízes reais e

distintas ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − = + − = 2a Δ b x 2a Δ b x 2 1

⇒ a parábola corta o eixo dos x em dois pontos.

y x f (x) < 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ m/a x x y f (x) > 0 f (x) > 0 f (x) = 0 + + m/a x m/a f (x) = 0 x1 = x2 _ _ m/a x m/a f (x) = 0 x1 = x2 x y f (x) < 0 f (x) < 0 f (x) = 0

a) a > 0

b) a < 0

Exemplos

Faça o estudo completo das funções:

1) f (x) = x2 – 2x + 1 2) f (x) = x2 – x – 6

Resolução:

1) f (x) = x2 – 2x + 1; a = 1 > 0 ⇒ a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Vamos achar as raízes da função. Para isso, fazemos f (x) = 0 e obtemos a seguinte equação na incógnita x: x2 – 2x + 1 = 0 Δ = b2 _{– 4ac} Δ = (-2)2 _{– 4 . 1 . 1} x y f (x) > 0 f (x) > 0 f (x) = 0 f (x) = 0 f (x) < 0 m/a x m/a f (x) = 0 x1 x2 f (x) = 0 + + _ c/a f (x) < 0 x y f (x) < 0 f (x) = 0 f (x) = 0 f (x) > 0 + _ _ m/a x m/a f (x) = 0 x1 x2 f (x) = 0 c/a

Δ = 4 – 4 = 0, temos, portanto, duas raízes reais e iguais: x1 = x2 = 1 2 2 2a b = − − = − Portanto, a parábola tangencia o eixo x.

Sinal: Para x < 1⇒ f (x) > 0 Para x = 1 ⇒ f (x) = 0 Para x > 1 ⇒ f (x) > 0 Vértice: V = ( 4a Δ , 2ab −

− ) = (1, 0) ⇒ ponto de mínimo da função

Imagem: Im (f) = } {y / y 0} 4a Δ y / {y∈ℜ ≥− = ∈ℜ ≥

2) f (x) = x2 – x – 6; a = 1 > 0 ⇒ a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Vamos achar as raízes da função. Para isso, fazemos f (x) = 0 e obtemos a seguinte equação na incógnita x:

x2 – x – 6 = 0 Δ = b2 _{– 4ac}

Δ = (-1)2 _{– 4 . 1 . (-6)}

Δ = 1 + 24 = 25 > 0, temos, portanto, duas raízes reais e distintas

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = = = ⇒ ± = ± − = 2 2 4 x ou 3 2 6 x 2 5 1 2a Δ b x 2 1

Portanto, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.

-2 f (x) = 0 + + x m/a _m/a 3 f (x) = 0 _ c/a 1 f (x) = 0 + + x m/a _m/a

Sinal: Para x < -2 ⇒ f (x) > 0 Para x = -2 ⇒ f (x) = 0 Para -2 < x < 3 ⇒ f (x) < 0 Para x = 3 ⇒ f (x) = 0 Para x > 3 ⇒ f (x) > 0 Vértice: V = ( 4a Δ , 2ab − − ) = ) 4 25 , 2 1

( − ⇒ ponto de mínimo da função

Imagem: Im (f) = } 4 25 y / {y } 4a Δ y / {y∈ℜ ≥− = ∈ℜ ≥− 2.4.6.1.2 Exercício

Faça o estudo completo da função definida por: f (x) = -2x2 + 3x - 2

2.4.7 Função Exponencial

Definição: chama-se função exponencial de base a, com a∈ℜ∗₊−

{ }

∗ + ℜ → ℜ definida por _f(x)=ax_. Exemplos

1) Construa os o gráficos das funções exponenciais f :ℜ→ℜ∗₊ definidas por x 2 f(x)= e ₎x 2 1 (

g(x)= e em seguida, comparando-os escreva algumas conclusões. x -3 -2 -1 0 1 2 3 x 2 f(x) y= = 8 1 2 1 2−3= ₃ = 4 1 2 1 2−2 = ₂ = 2 1 2−1 = 2 1 0 = 2 21 = 22 = 4 23 = 8

Conclusões

a) O gráfico da função exponencial está sempre acima do eixo Ox, pois

ℜ ∈ ∀ >0, x

ax .

b) O gráfico da função exponencial sempre intercepta o eixo Oy no ponto (0,1), pois

{}

c) Se a > 1 a função exponencial é estritamente crescente.

d) Se 0 < a < 1 a função exponencial é estritamente decrescente.

e) A função exponencial é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem

são, ambos, iguais a ∗ +

ℜ .

f) A função exponencial é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta seu

gráfico no máximo uma vez.

g) A função exponencial é, pois, bijetora.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 x 2 1 ( g(x) y= = ) (₂1)−3=23=8 ) 2 4 2 1 ( −2₌ 2_{= ) 2 2} 2 1 ( −1 ₌ 1 _{= ) 1} 2 1 ( 0₌ 2 1 ) 2 1 ( 1₌ 4 1 ) 2 1 ( 2₌ 8 1 ) 2 1 ( 3₌ −4 −3 −2 −1 1 2 3 2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y f(x) −4 −3 −2 −1 1 2 3 2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x y g(x)

h) ax1 =ax2 ⇔x₁=x₂, pois a função exponencial é injetora.

i) Se a > 1, então ax1 ≥ax2 ⇔x₁≥x₂ , pois a função exponencial é estritamente

crescente.

j) Se 0 < a < 1, então ax1≥ax2 ⇔x₁≤x₂ , pois a função exponencial é estritamente

decrescente.

2) Determine m ∈ℜ para que a função f (x) = (2m – 1)x seja crescente em ℜ.

Resolução

Vimos que a função exponencial f (x) = ax _{é estritamente crescente quando a > 1.}

Na função dada, a = 2m – 1. Logo, fazemos: 2m – 1 > 1 ⇒ 2m > 2 ⇒ m > 1

3) Esboce o gráfico e determine o conjunto imagem da função de domínio ℜ:

f (x) = 2x – 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 2 -2 f(x) y_{= =} x ₂-3 _{– 2 =} 8 15 8 1 − = − 2 2-2 _{– 2 =} 4 7 4 1_{− 2=−} 2-1 _{– 2 =} 2 3 2 1_{− 2=−} 20 _{– 2} = 1 – 2 = -1 21 _{– 2} = 2 – 2 = 0 22 _{– 2} = 4 – 2 = 2 23 _{– 2} = 8 – 2 = 6 2} y / {y (f) Im = ∈ℜ >− −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −2 −1 1 2 3 4 x y

2.4.8 Função Logarítmica

Definição: chama-se função logarítmica de base a, com a > 0 e a≠1, a função

ℜ → ℜ∗

+

:

f definida por f (x)=log _a x.

Definição de Logaritmo: se a,b∈ℜ, 0<a≠1 e b >0, então

b a x

b x

a = ⇔ =

log . (lê-se: “logaritmo de b na base a”→log_ab), onde: b é o

logaritmando; a é a base do logaritmo; x é o logaritmo.

Exemplos de Gráficos

1º) Construa os gráficos das funções f:ℜ∗₊→ℜ definida por f(x)=log₂ x e

x log (x) 2 1 =

g e em seguida, comparando-os, escreva algumas conclusões.

x 8 1 4 1 2 1 1 2 4 x log (x) f y= = ₂ 3 ) (2 log l ) 8 1 ( log 3 2 2 − = = − 2 ) (2 log ) 4 1 ( log 2 -2 2 − = = 1 ) (2 log ) 2 1 ( log 1 -2 2 − = = 0 1 log₂ = ₁ 2 log₂ = 2 2 log 4 log 2 2 2 = = x 8 1 4 1 2 1 1 2 4 x log (x) f y= = ₂ 3 ) 2 1 ( log ) 8 1 ( log 3 2 1 2 1 = = 2 ) 2 1 ( log ) 4 1 ( log 2 2 1 2 1 = = 1 ) 2 1 ( log 2 1 = 0 1 log 2 1 = 1 ) 2 1 ( log 2 log 1 2 1 2 1 − = = − 2 ) 2 1 ( log 4 log 2 -2 1 2 1 − = =

Conclusões

a) O gráfico da função logarítmica está sempre “à direita do eixo Oy”, pois seu

domínio é ℜ . ∗₊

b) O gráfico da função logarítmica sempre intercepta o eixo Ox no ponto (1,0), pois

{ }

c) Se a > 1 a função logarítmica é estritamente crescente.

d) Se 0 < a < 1 a função logarítmica é estritamente decrescente.

e) A função logarítmica é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem são

f) A função logarítmica é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta o seu

gráfico no máximo uma vez.

g) A função logarítmica é, pois, bijetora.

h) A função exponencial de ℜem ℜ e a função logarítmica de ∗₊ ℜ em ∗₊ ℜ são

inversas uma da outra.

De fato: f(x)=ax⇒y=ax.

Trocando-se x por y e vice versa, vem: x=ay. Isolando-se y, temos: x log y= _a . x log (x) f a (x) f ₌ x _⇔ 1 _{= a} ∴ −

i) Por serem inversas uma da outra, o gráfico da função exponencial e o

gráfico da função logarítmica são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares que é a reta de equação y = x.

Exemplos 1º) ) f (x) log x 2 1 ( f(x) 2 1 1 x _{⇔ =} = −

2º) f(x)=2x ⇔f−1(x)=log₂ x

j) log_a x₁=log _a x₂ ⇔x₁=x₂ >0, pois a função logarítmica é injetora.

l) Se a > 1, então log_a x₁>log_a x₂ ⇔x₁>x₂>0, pois a função logarítmica é

estritamente crescente.

m) Se 0< a < 1, então loga x1>loga x2 ⇔0<x1<x2, pois a função logarítmica é

estritamente decrescente. Condições de Existência b log y= _a , C.E. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ < > 1 a 0 e 0 b Exemplo

Qual é o domínio da função y log (x2 x 6)

x + −

= ?

Resolução

Para determinarmos o domínio da função devemos aplicar as condições de

existência para a função y=log_ab, que são:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ < > 1 a 0 e 0 b

Observem que a = x e b = x2 + x – 6. Então fica:

x2 + x – 6 > 0. Devemos, portanto, fazer o estudo do sinal de uma função quadrática. a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima (boca pra cima).

Igualando a zero para achar as raízes, temos: x2 + x – 6 = 0 4ac b Δ₌ 2₋ Δ = 12 – 4 . 1 . (-6) Δ = 1 + 24 = 25 e x > 0 e x ≠ 1 2} x / {x (f) D = ∈ℜ > ∴ Exemplos ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = − = ⇒ ± − = ± − = 2 2 4 x ou 3 2 6 x 2 5 1 2a Δ b x -3 2 + _ + -3 0 ₁ 2

a) Construa o gráfico da função: f (x) = log₂ x2. C.E.: x ≠ 0 x y = f (x) = log₂ x2 x y = f (x) = log ₂ x2 -8 6 2 log (8) log 8) ( log 6 2 2 2 2 2 = = = − 2 1 2 ) (2 og l ) 2 1 ( log 2 1 2 2 2 − = = − -4 4 2 log (4) log 4) ( log 4 2 2 2 2 2 = = = − 1 log (1)2 0 2 = -2 _{log ( 2) log (2)}2 ₂ 2 2 2 − = = 2 log2(2)2= 2 -1 _{log ( 1) log (1)}2 ₀ 2 2 2 − = = 4 log 2(4)2 =log 2 24 =4 2 1 − 2 ) (2 log ) 2 1 ( log ) 2 1 ( log 2 1 2 2 2 2 2 − = = = − − 8 _{log (8) log 2}6 ₆ 2 2 2 = =

b) Seja f (x) = log(2x2). Determine: 1º) o domínio de f;

2º) os valores de x, tais que f (x) = 1

Observação: quando a base do logaritmo não é especificada, vale 10. Por exemplo, 3

log 3

log = ₁₀ .

5 ln 5

log_e = , onde e = 2,7182818284590453..., chamado número de Nepper, é um número real irracional para o qual usamos a seguinte aproximação: e≅2,718.

Resolução 1º) y=log_ab, C.E. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ < > 1 a 0 e 0 b

Em y = f (x) = log(2x2)_{, a = 10. Vamos, portanto, impor a condição: b = 2x}2 _{> 0.}

Temos então, uma função quadrática cujas raízes são reais e iguais: x1 = x2 = 0.

∗ ℜ = ≠ ℜ ∈ = ∴ D {x /x 0}

2º) f (x) = 1 ⇒ log(2x2) = 1, pela definição de logaritmo, x = log _ab⇔b=ax , vem:

101 = 2x2 ⇒ x2 _{= 5 ⇒ x = ± 5} c) Dada f (x) = 2 x x log 2 2 ₊ , calcule se existir: 1º) f (0) f (0) = = = ∴ + 2 log 0 0 log 2 x x log 2 2 2 2 não existe. 2º) f (-1) f (-1) = log 1 0 1 1 log 2 1 -(-1) log 2 x x log _{2 2} 2 2 2 2 ₊ = ₊ = = = 3º) f (-4) f (-4) = = = − ∴ + = + -2 log ( 8) 16 log 2 4 -(-4) log 2 x x log _{2 2} 2 2 2 2 não existe 2.4.9 Função Modular

Definição: uma aplicação de ℜem ℜ recebe o nome de função módulo ou

modular quando a cada x ∈ℜ associa o elemento x ∈ℜ.

0

x x : f a ℜ → ℜ

Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular pode ser definida da seguinte forma:

⎩ ⎨ ⎧ ≥ < − = 0 x se x, 0 x se x, (x) f

Gráfico: o gráfico da função modular é a reunião de duas semi-retas de origem O,

que são as bissetrizes do 1º e 2º quadrantes.

Domínio e Imagem:

Domínio: D (f) = ℜ. Imagem: Im (f) = ℜ₊

Exemplos

a) Construir o gráfico da função real definida por: f(x)= x+2

Resolução ⎩ ⎨ ⎧ − < ⇒ < + − − − ≥ ⇒ ≥ + + = ⇒ + = 2 x 0 2 x se 2, x 2 x 0 2 x se 2, x (x) f 2 x (x) f

Portanto, a função f (x) será a reta x +2, para valores de x ≥ -2 e a função f (x) será a reta –x – 2, para valores de x < -2.

b) Construir o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = |x – 1| + 1. Resolução Seja ⎩ ⎨ ⎧ < ⇒ < − + − ≥ ⇒ ≥ − − = ⇒ − = 1 x 0 1 x se 1, x 1 x 0 1 x se 1, x (x) g 1 x (x) g

Portanto, a função g (x) será a reta x – 1, para valores de x ≥ 1 e a função g (x) será a função –x + 1, para valores de x < 1.

Logo, a função f (x) será dada por g (x) + 1, ficando f (x) = x, para valores de x ≥ 1 e f (x) = -x + 2, para valores de x < 1.

c) Construir o gráfico da função definida em ℜpor: f (x) = |x + 2| + x – 1.

Resolução ⎩ ⎨ ⎧ − < ⇒ < + − − − ≥ ⇒ ≥ + + = + 2 x 0 2 x se 2, x 2 x 0 2 x se 2, x 2 x

Portanto, a função f (x) será :

f (x) = x + 2 f (x) = -x - 2 g (x) = x - 1 g (x) = -x + 1 f (x) = x f (x) = -x + 2

a) para 2x≥− f (x) = x + 2 + x – 1 f (x) = 2x + 1 b) para x < -2 f (x) = -x – 2 + x – 1 f (x) = -3 Logo, ⎩ ⎨ ⎧ − < − − ≥ + = 2 x se 3, 2 x se 1, 2x (x) f

d) Construir o gráfico da função definida em ℜpor: f (x) = |2x + 1| + |x – 1|

Resolução ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − < ⇒ − < ⇒ < + − − − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ + + = + 2 1 x 1 2x 0 1 2x se 1, 2x 2 1 x 1 2x 0 1 2x se 1, 2x 1 2x ⎩ ⎨ ⎧ < ⇒ < − + − ≥ ⇒ ≥ − − = − 1 x 0 1 x se 1, x 1 x 0 1 x se 1, x 1 x Os intervalos de x, ficam:

Portanto, a função f (x) será:

a) para 2 1 x<− (todo 2 1 x<− , será < 1) f (x) = -2x – 1 – x + 1 f (x) = 2x + 1 f (x) 2 1 − 1 2 1 x <− x 1 2 1_{≤ <} − x ≥1