∫
Teste de diagnóstico
∫
Sugestão de resolução
de exercícios do manual
∫
Sugestão de resolução
de tarefas do manual
CADERNO
DE
APOIO
AO
PROFESSOR
Y
– 11.
ANO
Matemática A
INTRODUÇÃO
...
2
APRESENTAÇÃO DO PROJETO
...
3
Manual
...
3
Testes 5 + 5
...
5
Formulários
...
6
Caderno de exercícios e problemas
...
7
Caderno de apoio ao professor
...
8
Site de apoio ao projeto
...
8
Aula digital
...
8
PLANIFICAÇÃO GLOBAL
...
9
TESTE DE DIAGNÓSTICO
...
10
Soluções
...
13
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS E TAREFAS DO MANUAL
..
16
Volume 1 – Geometria no plano e no espaço II
• Exercícios
...
16
• Tarefas
...
43
Volume 2 – Introdução ao cálculo diferencial I. Funções racionais
e funções com radicais. Taxa de variação e derivada
• Exercícios
...
27
• Tarefas
...
54
Volume 3 – Sucessões
• Exercícios
...
38
• Tarefas
...
61
ÍNDICE
Colegas,
O projeto Y11 resulta da nossa interpretação do Programa de Matemática A do 11.
oano e da sua articulação
com as atuais necessidades educativas dos alunos, contemplando, sempre que possível e desejável, o recurso às
novas tecnologias.
Conscientes da responsabilidade que temos como agentes educativos, procurámos construir um projeto não
apenas consistente e rigoroso mas também apelativo, desejando que constitua um incentivo à procura de mais
conhecimento. Preocupámo-nos em fornecer uma grande quantidade de recursos a alunos e professores,
possibi-litando assim a adequação do projeto a qualquer turma, em qualquer contexto letivo.
Bom trabalho,
Os autores
O projeto Y11 apresenta os seguintes materiais para o aluno:
•
Manual
•
Testes 5 + 5 (oferta ao aluno)
•
3 formulários (oferta ao aluno)
•
Caderno de exercícios e problemas
•
Manual multimédia (CD-ROM e on-line em www.y11.te.pt)
•
www.y11.te.pt (site de apoio ao projeto)
Para o professor apresenta ainda:
•
Caderno de apoio ao professor
•
Aula digital (CD-ROM e on-line em www.y11.te.pt)
Manual
Está dividido em três volumes, que têm como suporte três grandes temas:
•
Tema 1:
Geometria no plano e no espaço II
•
Tema 2:
Introdução ao cálculo diferencial I. Funcões racionais e funções com radicais. Taxa de variação
e derivada
•
Tema 3:
Sucessões
Cada volume inclui, além da exposição dos conteúdos acompanhada de exercícios laterais, tarefas de
introdu-ção no início de cada subtema, exercícios resolvidos, notas históricas, tarefas de exploraintrodu-ção e desenvolvimento,
uma tarefa de investigação, Testes AAA («Aplicar, Avaliar, Aprender»), + Exercícios e Problemas globais.
Realça-se no volume 2 a exploração de conexões entre funções e a geometria e, no volume 3, a exploração de
conexões entre diversos conteúdos, contribuindo-se assim para uma visão globalizante da Matemática.
Visando facilitar a articulação entre os diversos componentes do projeto, no manual encontram-se remissões
para os recursos disponíveis no manual multimédia.
8
NOTA
As seguintes instruções, bem como todas as outras que oportunamente surgirão, referem-se à utilização da calculadora TEXAS TI-83 ou TI-84/TI-84 Plus Silver Edition. Nas páginas 226 a 228 é também apresentado um conjunto de procedimentos para a utilização das calculadoras CASIO FX-9860GII e FX-9860GII SD.
CALCULADORA
Para trabalhar com a calculadora gráfica em graus deverás acionar o comando e selecionar a opção Degree.MODE
Em alternativa, consulta a página 226.
1. Uma empresa que organiza ev
entos de desportos radicais pretende instalar um cabo para a prática de
slide entre o topo de um edifício e a base de um poste de iluminação pública. O cabo mais comprido de que dispõe mede 105 metros. Sabe--se ainda que o poste está a 100 metros do edifício e que o ângulo de elevação, medido da base do poste para o topo do edifício, é de 20
o.
a. Mostra que o cabo disponív
el não tem comprimento suficiente para a instala-ção que se pretende fazer
.
b. Qual é altura do edifício? Arredonda o valor obtido às décimas de metro.
2. Determina a área de um pentágono regular inscrito numa circunferência de raio 10 cm. Apresenta o resultado em cm2, arredondado às décimas. Em cálculos intermédios conser
va, pelo menos, três casas decimais.
3. Determina a amplitude do menor ângulo formado por duas diagonais espaciais de um cubo. Apresenta o resultado em graus, arredondado às centésimas de grau.
TAREFA DE INTROD
UÇÃORazões trigonométricas de um ângulo agudo
20° 100 m
No início, propõe-se uma
TAREFA DE
INTRODUÇÃOonde são
aplicados conhecimentos intuitivos que permitirão explorar
os novos conteúdos.
118
b.Marca, num referencial, os pontos de coordenadas (x, f ’(x)) , para os valores de x que constam da tabela e escreve a equação reduzida da reta que passa
nes-ses pontos.
c.Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, obtém a expres-são de f ’(x) e verifica que o gráfico da função que a cada x faz corresponder f ’(x) é a reta que definiste na alínea b.
À função f ’ , que a cada x僆IR faz corresponder f ’(x) , chama-se função
deri-vada da função f , ou apenas, derideri-vada da função f .
2. Seja g a função definida por g(x) = x3. Determina g’(x) e completa a afirmação:
A função derivada da função g definida por g(x) = x3 é a função g’ definida por g’(x) = _________ .
x –2 0 1 2
f’(x)
2.3Função derivada
Seja f : x哫 f(x) uma função derivável em A .
Chama-se função derivada ou apenas derivada da função f , e representa-se por f ’ ou por d
d x f
, à função de domínio A que a cada x僆A faz corresponder a derivada de f no ponto x .
Exercícios resolvidos
41.Seja f a função definida por f(x) = 21 x
2+ 2x .
a.Mostra que a função f ’ (função derivada de f ) é definida por f ’(x) = x + 2 .
b.Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f que é paralela
à reta que contém as bissetrizes dos quadrantes pares.
Resolução a.f ’(x) = lim h→ 0 f(x + h h ) – f(x) = lim h→ 0 = = limh→ 0 = limh→ 0 = 2 1 (x + h)2 + 2(x + h) – 冢21x2 + 2x冣 h 21 x2 + xh + 21 h2 + 2x + 2h – 21x2 – 2x h xh + 21 h2 + 2h h
(continua na página seguinte) = limh→ 0 = limh→ 0冢x + 21 h + 2冣= x + 0 + 2 = x + 2
h冢x + 21 h + 2冣 h
EXERCÍCIO 88
Seja f a função, de domínio IR , definida por f(x) = x
4
2
.
a. Mostra que a função derivada
de f é definida por f ’(x) = 2x . b. Escreve a equação reduzida da
reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa –2.
c. Para um determinado valor de b ,
a reta de equação y = 3x + b é tangente ao gráfico de f . Determina as coordenadas do ponto de tangência e o valor de b . + Exercícios pág. 145 • (IC) 7 Animação Função derivada Geogebra Função derivada RECURSOS MULTIMÉDIA SÍNTESE 64 Círculo trigonométrico
•Num referencial o.n. xOy do plano, a circunferência com centro na origem e raio igual a 1 designa-se por círculo trigonométrico.
•Sendo P o ponto de interseção do lado extremida-de extremida-de um ângulo extremida-de amplituextremida-de α com o círculo tri-gonométrico, o seno e o cossenodesse ângulo são dados, respetivamente, pela
ordenada de Pe pela abcissa de P . Simbolicamente:
P(cos α, sen α)
•Seja α 僆 IR a amplitude de um ângulo. Então: –1 ≤ cos α ≤ 1 e –1 ≤ sen α ≤ 1
•No círculo trigonométrico, sendo
Q o ponto de interseção da reta que contém o lado extremidade de um ângulo de amplitude
α com a reta de equação x = 1 (eixo das tangentes), tem-se:
tg α = ordenada de Q P α 1 sen α cos α 1 -1 -1 O y x
•Seja α ⫽ ᎏ2ᎏ + k , k 僆 ZZ a amplitude de um ângulo. Então, tg α pode tomar qual-quer valor do intervalo ]–∞, +∞[ .
Sinal das razões trigonométricas no cír culo trigonométrico Q 1 t α 1 -1 -1 O y x Q t α O y x 1 1 -1 -1 1.oQ 2.oQ 3.oQ 4.oQ Seno + + – – Cosseno + – – + Tangente + – + – Grupo I
Este grupo é constituído por itens de seleção. P
ara cada item, seleciona a opção correta. 1. Na figura ao lado está representada uma
circunferência de centro em A e raio 5 cm.
A reta t é tangente à circunferência no ponto T . O ponto B pertence à circunfe-rência e define com o ponto T um arco de
centro em A com 45ode amplitude. A distância de B à reta t , em cm, arre-dondada às centésimas, é:
(A)2,56 cm (B)1,56 cm
(C)1,46 cm (D)2,55 cm 2. Relativamente ao triângulo retângulo da figura, o valor de cos
β é:
(A)ᎏ31ᎏ (B)
(C) (D)
3. Uma escada de 2 metros de comprimento está encostada a uma parede v ertical. A base dessa escada está assente num pátio horizontal adjacente a essa parede. Sabendo que o ângulo formado pela escada e pela parede mede 30
o, a altura, em metros, atingida pela escada na parede, arredondada às centésimas, é:
(A)1,73 m (B)1 m (C)1,16 m (D)2,31 m
4. Sendo α a amplitude de um ângulo agudo, a expressão (1 – cos α)(1 + cos α) é equi-valente a:
(A)cos α (B)cos2α (C)sen α (D)sen2α
5. O valor da expressão sen (60o) – 2tg (45o) + cos (30o) é:
(A)–2 (B) – 2 (C)–1 (D)兹3苶 – 2 兹13苶苶 ᎏ⫺ᎏ13 兹3苶 ᎏ⫺ᎏ2 2兹13苶苶 ᎏ⫺ᎏ13 3兹13苶苶 ᎏ⫺ᎏ13 TESTE AAA 1 A 45° B T t 12  8 22 + EXERCÍCIOS Itens de seleção (IS
) De entre as quatro opções apresentadas em cada item, seleciona a opção correta.
1. Na figura seguinte estão representados os v
etores uជ e vជ .
Qual das afirmações seguintes é v erdadeira?
(A)uជ ∧ vជ é um ângulo agudo.
(B)uជ ∧ vជ é um ângulo reto. (C)uជ ∧ vជ é um ângulo obtuso. (D)uជ ∧ vជ é um ângulo raso.
2. Num triângulo [ABC] sabe-se que
ABជ · BCជ < 0 . Então:
(A)[ABC] é um triângulo acutângulo.
(B)[ABC] é um triângulo retângulo. (C)[ABC] é um triângulo obtusângulo. (D)Nada se pode concluir
.
3. Num triângulo [ABC] sabe-se que
ABជ · BCជ > 0 . Então:
(A)[ABC] é um triângulo acutângulo.
(B)[ABC] é um triângulo retângulo. (C)[ABC] é um triângulo obtusângulo. (D)Nada se pode concluir
.
4. De dois vetores uជe vជ sabe-se que ||uជ|| = 4 , |
|vជ|| = 2 e
que uជ · vជ= –4兹3苶 . Qual é a amplitude de
uជ∧vជ , em radianos?
(A)ᎏᎏ6
(B)– ᎏ6ᎏ (C) (D)–
5. Representa-se na figura abaixo o triângulo equilátero
[ABC] , em que A苶B苶 = 2 . Qual das seguintes igualdades
é verdadeira?
(A)BAជ · BCជ = 2
(B)BAជ · BCជ = 4
(C)BAជ · BCជ = 2兹3苶
(D)BAជ · BCជ = 4兹3苶
6. O cubo representado na figura tem aresta 1. Os pontos
A ,
B e Csão vértices do cubo. Qual é o valor do produto escalar dos vetores ABជ e BCជ ?
(A)–2
(B)–1
(C)0
(D)2
7. Na figura está representado um tetraedro regular (sólido
geométrico com quatro faces, que são todas triângulos equiláteros).
• A , B , Ce D são os vértices do tetraedro;
• A苶B苶 = 6
O valor do produto escalar BCជ · BDជ é:
(A)18 (B)18兹2苶 (C)36 (D)36兹2苶
in Exame Nacional de Matemática
, 12.oano, 2.afase, 1999.
8. Seja [AB] o diâmetro de uma esfera de centro
C e raio 5.
Qual é o valor do produto escalar CAជ · CBជ ?
(A)–25 (B)–5兹2苶 (C)5兹2苶 (D)25
Adaptado de Teste Intermédio de Matemática
, 11.oano, maio de 2010. 5 ᎏᎏᎏ6 5 ᎏᎏᎏ6 0 1 3 -1 x y 2 1 -1 2 u v A B C A B C D 151 A B C 28
1. Dois amigos avistaram uma torre de lados opostos, alinhados com a torre, conforme se representa na figura seguinte.
Sabendo que a torre tem 368 metros de altur
a, determina a distância a que os dois amigos se encontr avam um do outro. Despreza a altura de cada um deles. Apresenta
o resultado, em metros, arredondado às unidades.
2. Após uma tempestade, um poste de telecomunicações quebrou-se em dois segmentos, formando com o solo um triângulo retângulo, como sugere a figura. Um dos segmentos tem um quar
to do comprimento do poste. A ponta do poste tombou a 3 metros da base do mesmo.
a.Determina o valor de α arredondado às décimas de grau. b.Determina o valor exato do comprimento do poste.
3. Considera uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros. a.Qual é a amplitude do ângulo formado por uma aresta lateral e uma diagonal da base que sejam concorrentes? b.Mostra que as arestas laterais são perpendiculares duas a duas.
c.Determina o volume dessa pirâmide, sendo a o comprimento da aresta da base. PROBLEMAS GLOBAIS 45° 60° 60° ␣ TAREFA DE INVESTIGAÇÃO
Uma população de insetos
Comecemos por considerar a reprodução de uma popula-ção de insetos, como, por exemplo, os afídios dos álamos, para melhor perceber como evolui o número de indivíduos dessa população. As fêmeas adultas produzem vesículas contendo toda a sua descendência, que depositam em folhas de árvores. Da descendência de cada fêmea, apenas uma fração sobreviverá até à idade adulta. Geralmente, a fecundidade das fêmeas e a capacidade de sobrevivência das suas crias dependem de fato-res ambientais, da qualidade e quantidade de alimento e da dimensão da população. Porém, com o objetivo de obter um modelo simples, o efeito destes fatores no crescimento desta população de insetos pode ser ignorado. Desta forma, conside-remos os seguintes parâmetros(constantes) e variáveis en -vol vidos no modelo:
•an= número de fêmeas adultas na n-ésima geração;
•cn= número de crias na n-ésima geração;
•m = taxa de mortalidade dos insetos jovens;
•f = número de descendentes por fêmea adulta;
•r = fração de fêmeas na população adulta.
Considerando o número de fêmeas na n-ésima geração,
an(n 僆 IN0), o número total de crias da população na geração
n + 1 , cn + 1, é dada pela seguinte equação:
cn + 1= f × an(1)
Deste número, apenas uma fração sobreviverá até à idade adulta, (1 – m)cn + 1, que multiplicada por r dá o número de fêmeas adultas na geração n+ 1 , isto é:
an + 1= r (1 – m)cn + 1(2)
Combinando as equações (1) e (2), obtém-se:
an + 1= f × r (1 – m)an que traduz a relação existente entre o número de fêmeas adul-tas em gerações consecutivas.
O número de fêmeas destes insetos na n-ésima geração é dado pela expressão:
an= [f × r(1 – m)]na0(n僆IN0) Este modelo pode ser traduzido por uma sucessão de termo geral an= kn × a0, que corresponde ao termo geral de uma progressão geométrica de razão k.
A monotonia desta família de sucessões depende do valor
de k e do sinal de a0. 97 A rubrica PROBLEMAS GLOBAISpermite trabalhar os conteúdos estudados de forma articulada. Sempre que oportuno, irá
encontrar um TESTE AAA, com
itens de seleção e itens de construção. Este teste inclui a
rubrica SOSno final para ajudar
a responder às questões colocadas.
As TAREFAS DE INVESTIGAÇÃO
incentivam a interdisciplinaridade, o gosto pela história da Matemática e a criatividade.
Ao longo do manual encontram-se as instruções da CALCULADORA TEXAS, e no final as instruções da CALCULADORA CASIO, assim como as SOLUÇÕES dos exercícios e tarefas.
No final de cada bloco de conteúdos encontrará a rubrica
+EXERCÍCIOS.
Esta inclui itens de seleção e itens de construção para consolidar os conhecimentos adquiridos.
Sempre que oportuno,
é apresentada uma SÍNTESE
para sistematizar os conceitos mais importantes.
Na mancha larga poderá encontrar: definições
exemplos
exercícios resolvidos tarefas
história da Matemática Na mancha estreita poderá encontrar:
notas exercícios
remissões para as rubricas + Exercícios e Problemas globais remissões para
os recursos multimédia remissões para o site de apoio ao projeto
Testes 5 + 5
O livro de testes 5 + 5, que acompanha o manual, inclui cinco testes 5 + 5 e dois testes modelo dos testes
intermédios.
Este é um instrumento de trabalho particularmente útil em momentos de preparação para testes de
avalia-ção e para os testes intermédios.
22
Grupo I
•Os cinco itens deste grupo são de seleção. Em cada um deles, são indicadas quatro
opções, das quais só uma está correta.
•Escreve apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares
para responder a esse item.
•Não apresentes cálculos, nem justificações.
•Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos,
o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegív el. 1. Considera, num referencial o.n.
Oxyz , a reta r definida por:
(x, y, z) = (0, 0, 1) + λ(1, 2, 3) , λ IR Qual das condições seguintes define um plano paralelo à reta
r ?
(A)z = 1
(B)x + y = 0
(C)x + y – z = 0
(D)x + 2y + 3z = 0
2. No referencial o.n. da figura ao lado está representado um quadrado [
OABC] de
lado 1. Os vértices
A e C pertencem aos eixos coordenados.
Considera que o ponto
P se desloca sobre o lado [ AB] .
Seja f a função que à abcissa
x do ponto P faz corresponder o produto escalar OP • OC .
Em qual dos referenciais seguintes está representada a função
f ? (A) (B) (C) (D) P B C A 1 x y O TESTE INTERMÉDIO 2 1 x y O 1 1 x y O 冪苴2 1 x y O 1 1 x y O 冪苴2 3:13 PM Page 22 14 TESTE 3 Grupo I
Este grupo é constituído por itens de seleção. Para cada item, seleciona a opção correta.
1. Na figura seguinte está representado o círculo trigonométrico. O ponto A tem coorde-nadas (1, 0) .
O ponto P pertence à circunferência e está no 2.
oquadrante. O ponto Q pertence à cir-cunferência e está no 3.oquadrante. A reta PQ é paralela ao eixo Oy.
O perímetro do triângulo [POQ] é 3,6.
Qual é o valor, em radianos, arredondado às décimas, da amplitude do ângulo
AOP
assinalado na figura?
(A)0,6 (B)0,9 (C)2,2 (D)2,5 2. Considera a pirâmide quadrangular regular
repre-sentada na figura ao lado.
Em relação a um referencial Oxyz , sejam E1 e E2 equações cartesianas dos planos ADFe BCF e seja
E3 uma equação cartesiana do plano mediador de [AB] .
Considera o sistema constituído pelas três equações
E1 , E2 e E3.
Qual das afirmações é verdadeira?
(A)O sistema tem exatamente uma solução. (B)O sistema tem exatamente três soluções. (C)O sistema é possível e indeterminado. (D)O sistema é impossível. x y O P Q A A B F C D YTestes5+5_p01a32:Layout 1 3/26/1
Para que o aluno tenha sempre presente o essencial dos conteúdos estudados, cada volume do manual é
acompanhado por um formulário.
Os formulários constituem auxiliares de memória úteis para o apoio ao estudo do aluno e um incentivo ao
tra-balho autónomo.
Inclinação e decliv e de uma reta
•Num referencial o.n. do plano, a inclinação de uma reta (não v
ertical) é a amplitude não negativa do menor ângulo que a reta faz com o semieixo positiv
o das abcissas, tomando este semieixo para lado origem.
•O declive, m , de uma reta não vertical é a tangente trigonométrica da inclinação, α , da reta: m = tg α .
Condição de perpendicularidade de v etores
•Dois vetores não nulos são perpendiculares se e só se o seu produto escalar é zero:
u→⊥ v→
⇔ u→
⋅ v→
= 0
•Dado um vetor u→
(u1, u2) num referencial o.n. do plano, qualquer v
etor de coordenadas (–ku2, ku1) , com k 僆 IR\{0} , é perpendicular a
u→. Relação entre o decliv
e de retas perpendiculares
•Num referencial o.n. do plano, dada uma reta de decliv
e m , não nulo, o declive de uma reta perpendicular é
– .
Conjuntos de pontos definidos por condições no plano
•A mediatriz de um segmento de reta [
AB] , de ponto médio
M , é o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem a condição
AB⎯→⋅ MP⎯→
= 0 .
•A circunferência
de diâmetro [AB] é o conjunto dos pontos
P do plano que satisfazem
a condição AP⎯→
⋅ BP⎯→
= 0 .
•A reta tangente a uma circunferência
de centro C , no ponto T , é o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem a condição
CT⎯→⋅ TP⎯→= 0 . Conjuntos de pontos definidos por condições no espaço
•O plano mediador de um segmento de reta [
AB] , de ponto médio
M , é o conjunto dos
pontos P do espaço que satisfazem a condição
AB⎯→⋅ MP⎯→= 0 .
•A superfície esférica de diâmetro [
AB] é o conjunto dos pontos
P do espaço que
satisfazem a condição
AP⎯→⋅ BP⎯→= 0 .
•O plano tangente a uma esfera
de centro C , no ponto T , é o conjunto dos pontos P
do espaço que satisfazem a condição
CT⎯→⋅ TP⎯→
= 0 . Retas e planos
•Uma equação cartesiana do plano
que passa no ponto
A(xA, yA, zA) e que é
perpendi-cular ao vetor n→
(a, b, c) é:
a(x – xA) + b(y – yA) + c(z – zA) = 0
O vetor n→
(a, b, c) diz-se um v
etor normal ao plano.
•A equação geral do plano
de vetor normal n→
(a, b, c) e que passa no ponto
A(xA, yA, zA) é:
ax + by + cz + d = 0 , com d = –ax
A– byA– czA
• = =
são equações cartesianas da reta
do espaço que passa no ponto de coordenadas (
xA, yA, zA) e que tem a direção do v
etor de coordena-das (u1, u2, u3) (para u1 , u
2 e u3não nulos).
•Dois planos, α e β , de vetores normais
a→e b→, são paralelos se os vetores normais são colineares:
α // β ⇔ a→
// b→⇔ a→
= k b→
, k僆 IR\{0}
•Dois planos, α e β , de vetores normais
a→e b→, são perpendiculares se e só se os vetores normais são perpendiculares:
α ⊥ β ⇔ a→
⊥ b→
⇔ a→
⋅ b→
= 0
•Uma reta r , não contida num plano
α , é paralela ao plano se e só se um vetor diretor de r , u→ , for perpendicular a um v etor normal a α , n→ . r //α ⇔ u→ ⊥ n→ ⇔ u→ ⋅ n→ = 0
•Uma reta r é perpendicular a um plano
α se um vetor diretor de
r , u→
, for colinear com um vetor normal a α , n→
. r⊥ α ⇔ u→ // n→⇔ u→ = k n→ , k僆 IR\{0} 1 ᎏ m z – zA ᎏᎏᎏᎏ u3 y – yA ᎏᎏᎏᎏ u2 x – xA ᎏᎏᎏᎏ u1
Este formulário é uma ofer ta que acompanha o manual
Y
, 11.
oano, não podendo ser v
endido separ adamente. cos (π − α) = −cos α cos (π + α) = −cos α cos (–α) = cos α sen (π − α) = sen α sen (π + α) = −sen α sen (–α) = –sen α tg (π − α) = –tg α tg (π + α) = tg α tg (−α) = –tg α
Geometria no plano e no espaço II
Num triângulo retângulo, definem-se as seguintes
razões trigonométricas de um ângulo agudo de amplitude α:
sen α = tg α = cos α =
Relações entre razões trigonométricas de um ângulo de amplitude α tg α = sen2α + cos
2α = 1 tg2α + 1 =
Redução ao 1.oquadrante
Razões trigonométricas de ângulos notáveis
Função periódica
Uma função f , de domínio Df, diz-se periódica de período
T se e só se
∀ x Df, f(x + T) = f(x) . Equações trigonométricas
•As equações do tipo sen x = b são possíveis se e só se b [–1, 1] .
•senx = sen α ⇔ x = α + k2π ∨ x = (π – α) + k2π , k ZZ
•As equações do tipo cos x = b são possíveis se e só se b [–1, 1] .
•cosx = cos α ⇔ x = α + k2π ∨ x = – α + k2π , k ZZ
•As equações do tipo tg x = b são possíveis para qualquer
b IR .
•tgx = tg α ⇔ x = α + kπ , k ZZ
Produto escalar
•Produto escalar de dois vetores
→ u e → v : → u ⋅→ v = ||u|| × ||→ → v|| × cos (→u∧→ v )
•Expressão do produto escalar nas coordenadas dos v etores Num referencial o.n. do plano, dados dois vetores quaisquer,
→ u(u1, u2) e v → (v1, v2) , tem-se: u → ⋅ v→ = u1v1+ u2v2
Num referencial o.n. do espaço, dados dois vetores quaisquer,
→ u(u1, u2, u3) e v
→
(v1, v2, v3) ,
tem-se: u→⋅ v→= u1v1+ u2v2+ u3v3
Ângulo de dois vetores e ângulo de duas retas
•Dados dois vetores u
→e v→
quaisquer, no plano ou no espaço:
u →∧v→
= cos–1
冢
冣
•Dadas duas quaisquer retas r e s , no plano ou no espaço, e dois quaisquer v etores
diretores das mesmas, r
→
e s→, respetivamente: cos(r∧s) = |cos (r
→∧s→
)| = comp. do cateto oposto
ᎏᎏᎏᎏ
comp. do cateto adjacente comp. do cateto oposto
ᎏᎏᎏcomp. da hipotenusa
comp. do cateto adjacente
ᎏᎏᎏᎏcomp. da hipotenusa 1 ᎏcos2α sen α ᎏcos α u → ⋅ v→ ᎏᎏᎏᎏᎏ||→ u|| ||→ v|| |r→ ⋅ s→ | ᎏᎏᎏ||r→|| ||s→ || 30° ᎏ6πᎏ ᎏ2 1ᎏ 45° ᎏ4πᎏ 1 60° ᎏπᎏ3 ᎏ21ᎏ 兹3苶 兹3苶 ᎏ2 兹2苶 ᎏ2 ᎏ兹23苶 Seno Cosseno Tangente ᎏ兹33苶 兹2苶 ᎏ2 VOLUME 1
cos
冢
− α冣
= sen α sen冢
− α冣
= cos α tg
冢
− α冣
= ᎏtgᎏ1ᎏα πᎏ2
πᎏ2 πᎏ2 cos
冢
+ α冣
= –sen α sen冢
+ α冣
= cos αtg
冢
+ α冣
= − ᎏtgᎏ 1 α ᎏ πᎏ2 πᎏ2 πᎏ 2 Y11FormulariosCaderno de exercícios e problemas
O Caderno de exercícios e problemas inclui sínteses, itens resolvidos, itens de seleção e itens de construção.
Contém diversos itens de exame e testes intermédios.
Muitos exercícios têm um carácter globalizante, tornando este caderno particularmente útil em momentos
de preparação para testes de avaliação e para os testes intermédios.
Itens de construção
1.Na figura estão representadas, em referencial o.n.
xOy , uma reta AB
e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5. Os pontos A e B pertencem à circunferência. O ponto A também pertence ao eixo das abcissas. Admitindo que o decliv
e da reta AB é igual a ᎏ21ᎏ , resolve as três alíneas seguintes.
a)Mostra que uma equação da reta
AB é x – 2y + 5 = 0 .
b)Mostra que o ponto
B tem coordenadas (3, 4) .
c)Seja C o ponto de coordenadas (– 3, 16) . Verifica que o triângulo [
ABC] é retângulo em B .
in Teste Intermédio de Matemática
, 11.oano, janeiro de 2008.
2.Na figura está representada, num referencial o.n.
xOy , a circunferência de equação
(x – 4)2
+ (y – 1)2= 25 .
O ponto C é o centro da circunferência.
a)O ponto A de coordenadas (0, –2) per
tence à circunferência. A reta t é tangente à circunferência no ponto
A .
Determina a equação reduzida da reta
t .
b)P e Q são dois pontos da circunferência.
A área da região colorida é ᎏ2
6 5πᎏ . Determina o valor do produto escalar →
CP · →CQ .
in Teste Intermédio de Matemática
, 11.oano, janeiro de 2010.
3.Na figura está representado um retângulo [
ABCD] .
Mostra que o produto escalar →
AB · AC é igual a —→ AB2.
in Teste Intermédio de Matemática
, 11.oano, maio de 2006.
C B D
A
Geometria no plano e no espaço II – Geometria analítica
46 O x y B A 5 O t Q C A P x y
Geometria no plano e no espaço II – T rigonometria 4
Síntese
TRIGONOMETRIA
Razões trigonométricas de um ângulo agudo Num triângulo retângulo, definem-se as seguintes
razões trigonométricas de um ângulo agudo de amplitude α :
sen α = = cos α = =
tg α = = comprimento do cateto oposto
ᎏᎏᎏᎏᎏᎏcomprimento da hipotenusa
b
ᎏc comprimento do cateto adjacente
ᎏᎏᎏᎏᎏᎏcomprimento da hipotenusa
a
ᎏc comprimento do cateto oposto
ᎏᎏᎏᎏᎏᎏcomprimento do cateto adjacente
b
ᎏa
Relações entre razões trigonométricas de um ângulo
•tg α = ᎏsen αcos α
Razões trigonométricas de ân
gulos complementares
Razões trigonométricas de ângulos notáv eis sen (90o– α) = cos α
cos (90o– α) = sen α tg (90o– α) = ᎏ1 tg α
•sen2α + cos2α = 1 (Fórmula fundamental da trigonometria)
•tg2α + 1 = 1 ᎏcos2α a ␣ b c 30o 45 o 60 o Seno ᎏ21ᎏ 兹2苶 ᎏ⫺ᎏ 2 兹3苶 ᎏ⫺ᎏ 2 Cosseno ᎏ 2 1ᎏ 兹3苶 ᎏ⫺ᎏ2 兹2苶 ᎏ⫺ᎏ 2 Tangente 1 兹3苶 兹3苶 ᎏ⫺ᎏ 3
Nesta publicação incluímos uma proposta de planificação global, um teste de diagnóstico com as respetivas
soluções e resoluções das tarefas e de alguns exercícios do manual. Estas resoluções estão também disponíveis
em
, para poderem ser projetadas na sala de aula.
Site de apoio ao projeto (www.y11.te.pt)
Permite o acesso aos links de apoio ao aluno e ao manual multimédia on-line.
Aula digital
Todos os recursos do projeto são disponibilizados em
.
A aula digital possibilita a fácil exploração do projeto Y11 através da utilização das novas tecnologias em sala
de aula, permitindo-lhe tirar o melhor partido do seu projeto escolar e simplificando o seu trabalho diário.
Através da aula digital poderá não só projetar e explorar as páginas do manual na sala de aula, como também
aceder a um vasto conjunto de conteúdos multimédia integrados no manual, tornando assim a aula mais dinâmica:
•
Apresentações em PowerPoint com as resoluções de todas as tarefas e de alguns exercícios do manual.
•
Flipcharts com exemplos e sínteses da matéria dada.
•
Animações que, integrando imagem e áudio, são lições sobre um determinado assunto. Englobam uma
componente interativa que permite avaliar o aluno quanto a esse assunto.
•
Aplicações realizadas em Geogebra com exemplos dinâmicos relativos aos três temas estudados.
•
Testes interativos – extenso banco de testes interativos, personalizáveis e organizados pelos diversos
temas do manual.
Para poder comunicar mais facilmente com os seus alunos, a aula digital permite a troca de mensagens e a
Sendo o Programa de Matemática A do 11.
oano extenso, uma boa planificação das aulas é essencial.
Apresentamos aqui uma proposta de distribuição dos tempos letivos para cada tema, que poderá constituir
uma base para uma planificação mais detalhada.
PLANIFICAÇÃO GLOBAL
Temas
Tempos letivos (90 minutos)
Tema 1
– Geometria no plano e no espaço II
30
•
Trigonometria
•
Geometria analítica
•
Programação linear
15
12
3
Tema 2
– Introdução ao cálculo diferencial I.
Funcões racionais e funções com radicais.
Taxa de variação e derivada
30
•
Funções racionais e funções com radicais
•
Taxa de variação e derivada
20
10
Tema 3
– Sucessões
24
•
Sucessões
•
Limites de sucessões
12
12
Temas transversais
•
Comunicação matemática
•
Aplicações e modelação matemática
•
História da Matemática
•
Lógica e raciocínio matemático
•
Resolução de problemas
•
Atividades de investigação
NOME:
___________________________________________________________________________________________________ TURMA: ______________ N.
O:
________
Grupo I
Este grupo é constituído por itens de seleção. Para cada item, seleciona a opção correta.
1.
Num referencial o.n. xOy , uma equação da reta que passa pelo ponto (–1, 5) e é perpendicular à reta de
equação y = –3 , é:
(A)
x = –1
(B)
x = 5
(C)
y = –1
(D)
y = 5
2.
Considera o paralelepípedo [ABCDEFGH ] num referencial o.n. Oxyz .
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A)
O plano ABC pode ser definido por z = 0 .
(B)
O plano EFB pode ser definido por y = 6 .
(C)
O plano BCG pode ser definido por x = 6 .
(D)
O plano ADH pode ser definido por y = –3 .
3.
Considera a função f : [–3, 3]
→ IR cujo gráfico se apresenta.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A)
f é injetiva e ímpar.
(B)
f não é injetiva nem ímpar.
(C)
f é ímpar, mas não é injetiva.
(D)
f é injetiva, mas não é ímpar.
4.
Considera duas funções reais de variável real, f e g , tais que g (x ) = f (x – 3) + 1 . Sabendo que o ponto de
coordenadas (1, 5) pertence ao gráfico de f , podemos afirmar que:
(A)
g(4) = 5
(B)
g(4) = 8
(C)
g(4) = 2
(D)
g(4) = 6
z 6 6 –3 9 y x A D E H B C F 0 G x y 2 –2 2 3 –2 –3 0Grupo II
Este grupo é constituído por itens de construção. Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocínio de
forma clara, indicando todos os cálculos que efetuares e todas as justificações necessárias.
1.
No referencial Oxyz da figura está representado um prisma quadrangular regular
[ABCOEFG H] . O ponto A tem coordenadas (0, 0, 8) e a área da base do prisma é 16 cm
2.
a.
Caracteriza por uma condição o plano paralelo a xOy que,
ao intersetar o prisma, o decompõe em dois cubos.
b.
Escreve uma equação do plano que contém a face [ABFE ] .
c.
Define por uma condição a reta EF .
d.
Calcula CE
苶.
e.
Escreve uma condição que defina a esfera de diâmetro [AB ] .
2.
No referencial ortonormado da figura estão representados
dois prismas retos que constituem um sólido. A face [GEH ]
do prisma triangular é um triângulo isósceles, H ( 3, 4, 0)
e C (a, b, c ) .
a.
Determina as coordenadas de C , sabendo que a – b =
ᎏ
c
2
ᎏ .
b.
Calcula o volume do sólido representado na figura.
c.
Calcula as coordenadas do vetor v
→= 2EA
→
– AB
→
.
d.
Escreve uma equação vetorial da reta GH .
3.
Para cada a
∈ IR , a expressão g(x) = ᎏ
ax –
2
3
ᎏ define uma função afim, g .
a.
Se a = 4 , determina analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico da função com
os eixos coordenados.
b.
Determina a de modo que o gráfico da função passe no ponto de coordenadas (1, 3) .
c.
Indica o valor de a de modo que g não tenha zeros.
d.
Determina a de modo a que a função g seja decrescente.
y x C B G F H E A O z z y x F G E D H C A B O I
a.
Diz, justificando, se o número –2 é elemento do contradomínio da função f .
b.
Constrói a tabela de monotonia e extremos da função f .
c.
Sabendo que os números –3, 0 e 3 são os três zeros de f , constrói a tabela de zeros e de sinal da função f .
d.
Diz se a função f é, ou não, injetiva. Justifica a resposta.
e.
A função f é par? Justifica a resposta.
5.
De uma função quadrática f , sabe-se que:
•
a reta de equação x = – 3 é eixo de simetria do gráfico de f ;
•
D
f′
= ]–
⬁, 5] ;
•
2 é zero de f .
Identifica, das expressões seguintes, a única que pode definir a função f .
(A)
–
ᎏ
5
1ᎏ (x + 3)
2+ 5
(B)
–
ᎏ
5
1ᎏ (x + 3)
2– 5
(C)
–
ᎏ
5
1ᎏ (x – 3)
2+ 5
(D)
–
ᎏ
5
2ᎏ (x + 3)
2+ 5
Numa pequena composição, indica, para cada uma das outras três expressões, uma razão pela qual a rejeitas.
x y 5 –1 2 –2 –4 0 f
Resolução do teste de diagnóstico
Grupo I
1. (A)
2. (D)
3. (C)
f não é injetiva, pois há objetos diferentes com imagens iguais. Por exemplo, f (2) = f (3) .
A observação do gráfico permite concluir que a função é ímpar, pois o gráfico é simétrico em relação à
ori-gem do referencial.
4. (D)
Como o ponto de coordenadas (1, 5) pertence ao gráfico de f , tem-se que f (1) = 5 e, portanto,
g(4) = f (4 – 3) + 1 = f (1) + 1 = 5 + 1 = 6 .
0 x = –1 y = –3 1 –1 –2 –3 –4 2 3 4 5 –1 1 2 3 4 –2 –3 –4 x y z 6 6 –3 9 y x A D E H B C F O G x y 2 –2 2 3 –2 –3 01.
a.
A
base= 16 cm
2e, portanto, aresta
base
= 4 cm .
A aresta da base é 4 e a altura do prisma é 8. Se dividirmos o prisma ao meio por um plano paralelo a xOy ,
obtemos dois cubos de aresta 4. Uma condição que caracteriza o plano paralelo a xOy que passa no ponto
médio de [OA] é z = 4 .
b.
z = 8
c.
A reta EF resulta da interseção dos planos ABE e FEG , com equações z = 8 e x = –4 , respetivamente.
Uma condição que define a reta é x = –4
∧ z = 8 .
d.
C (0, –4, 0); E (–4, 0, 8)
CE
苶 = 兹苶
(0 + 4)
苶苶苶
2+
苶
(–4 – 0)
苶苶苶苶苶
2+ (0 – 8)
苶= 4 兹6苶
2e.
A esfera tem centro no ponto médio de [AB] , que tem coordenadas (0, –2, 8) e tem raio 2, que é metade
de AB
苶 . Uma condição que define a esfera é:
x
2+ (y + 2)
2+ (z – 8)
24
2. a.
Sendo H (3, 4, 0) , temos que C (3, 4, c) .
Como a – b = 3 – 4 = – 1 , tem-se c = – 2 . O ponto C tem coordenadas (3, 4, –2) .
b.
Volume do prisma [OAHEIBCD ] :
V = 3
× 4 × 2 = 24
Volume do prisma [EHAOGF ] :
EH
苶 = 4 e EG
苶 = 4
V =
4
×
2
4
× 3 = 24
O volume do sólido é 48.
c.
EA
→
= (0, 4, 0) – (3, 0, 0) = (–3, 4, 0)
AB
→
= (0, 4, –2) – (0, 4, 0) = (0, 0, –2)
v
→= 2EA
→
– AB
→
= (–6, 8, 0) – (0, 0, –2) = (–6, 8, 2)
d.
GH
→
= (3, 4, 0) – (3, 0, 4) = (0, 4, –4)
Uma equação vetorial da reta GH poderá ser (x, y, z ) = ( 3, 0, 4) + k (0, 4, –4) , k
∈IR
y x C B H F G E A O z
3. a.
g(x) = ᎏ
4x –
2
3
ᎏ
As coordenadas do ponto de interseção do gráfico de g com o eixo das abcissas são
冢
ᎏ
4
3ᎏ, 0
冣
, pois:
ᎏ
4x –
2
3
ᎏ = 0 ⇔ x = ᎏ
4
3ᎏ
As coordenadas do ponto de interseção do gráfico de g com o eixo das ordenadas são
冢
0, – ᎏ
2
3ᎏ
冣
, pois:
y = ᎏ
4 ×
2
ᎏᎏ
0 – 3
ᎏ ⇔ y = – ᎏ
2
3ᎏ
b.
3 = g(1) ⇔ 3 = ᎏ
a ×
2
ᎏᎏ
1 – 3
ᎏ ⇔ a = 9
c.
Se a = 0 , g(x) = – ᎏ
2
3ᎏ, e o gráfico de g é uma reta paralela ao eixo das abcissas.
d.
Para que a função g seja decrescente o declive da reta que é o seu gráfico tem de ser negativo, ou seja,
g é decrescente se a ∈IR
–.
4. a.
Não, porque o contradomínio de f é [–1, + ⬁[ e –2 não pertence a este intervalo.
b.
c.
d.
A função f não é injetiva, pois, por exemplo, –2 ⫽ 2 , mas f (–2) = f (2) .
e.
A função f não é par, pois o seu domínio não contém os simétricos de alguns dos seus elementos. Por
exemplo, 5 pertence a
Df e –5 não pertence a D
f, pelo que não se pode afirmar que f (–5) = f (5) .
5.
A função f é da família das funções quadráticas definida por y = a(x + h)
2+ k , com a ≠ o e h , k ∈IR .
•
O vértice da parábola tem coordenadas (–h, k) e o eixo de simetria é a reta de equação x = –h . Como o eixo
de simetria tem equação x = – 3 , temos h = 3 . Assim, rejeitamos a opção (C).
•
Como o contradomínio da função f é ]–⬁, 5] , temos que k = 5 , em que 5 é o máximo absoluto da função
atingido em
x = – 3 . Assim, rejeitamos a opção (B).
•
Como f (2) = 0 , temos que 0 = a(2 + 3)
2+ 5 ⇔
a = –ᎏ
5
1ᎏ . Assim, rejeitamos a opção (D). A opção correta é a
opção (A).
x
–4
–2
0
2
+
⬁
f (x)
5
–1
0
–1
Máximo
relativo
Mínimo
absoluto
Máximo
relativo
Mínimo
absoluto
x
–4
–3
0
3
+
⬁
f (x)
5
+
0
–
0
–
0
+
VOLUME 1
GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II
PÁG. 12
5.Sendo x o comprimento do tabuleiro à esquerda do alicerce
prin-cipal e y o comprimento do tabuleiro à direita desse alicerce,
o comprimento da ponte é dado por x + y , com 10
x 0
= tg 21o⇔
⇔ x ≈ 260,509 e 10y = tg 160 o ⇔ y ≈ 348,741 . Logo, a ponte mede,
aproximadamente, 609 m. 6. 5 x = cos 40o⇔ x ≈ 3,830 5h = sen 40o⇔ h ≈ 3,214 y h = tg 25o∧ h ≈ 3,214 ⇔ y ≈ 6,892 AB= x + y≈ 10,72 dm e BCh = sen 25 o⇔ BC ≈7,60 dm
PÁG. 13
7. a. AC15 = cos 30 o⇔ AC ≈17,3 cm b. 15 BC = tg 30o⇔ BC= 15 tg 30o BD2= AB2– AD2 ⇔ BD2= 152– (15 tg 30o)2⇔ ⇔ BD=150(cm) Vprisma= (15 tg 30o)2×150 ≈ 918,6 (cm3)PÁG. 16
10. 4 cos x + 3 sen x = 5 ⇔ cos x = 5 – 3 sen x 4 ⇔sen2x + cos2x = 1 sen2x + x = 1
⇔ cos x =
5 – 3 sen x 4
⇔ 16 sen2x + 25 – 30 sen x + 9 sen2x = 16
⇔ cos x = 5 – 3 sen x 4 ⇔ 25 sen2x – 30 sen x + 9 = 0 ⇔ cos x = 5 – 3 sen x 4 ⇔ cos x = 5 4 (5 sen x – 3)2= 0 sen x = 5 3
Logo, cos x – sen x =
5 4 – 5 3 = 51. 11. a. sen2 1 + cos = 1 – cos2 1 + cos = = 1 – cos
b.(cos – sen )2– 2 = cos2 + sen2 – 2 sen cos – 2 =
= – 1 – 2 sen cos = –(1 + 2 sen cos ) = – (sen + cos )2
12. = =
= = = = cos
PÁG. 17
14. Sendo h a altura do trapézio, temos:
5h= sen 45 o⇔ h = 5 2 2 , Atrapézio= 12 + 3 2 × 5 2 2 = 75 4 2
PÁG. 27
3.Sejam l a largura do rio e h a altura do penhasco. Tem-se:
hl = tg 62o l = h tg 62o ––––––––– ⇔ h tg 62°–––––––– ⇔ 26 tg 52° –––––––––⇔ h +26l = tg 52o h + 26 = tg 52o h =tg 62o– tg 52o ⇔ ––––––––– ⇔ l ≈ 104 m h≈ 55 m ––––––––– 7. a.(cos x – sen x) ·tg x
sen x = (cos x – sen x) · sen
sen x x · cos x = = (cos x – sen x) ·1 cos x = 1 – tg x b. tg x
cos x +1 – sen 2x sen x = sen x cos xcos x + cos2xsen x
= sen x + cos x8.2 – (cos x – sen x)2– 2 cos x sen x =
= 2 – (cos2x + sen2x – 2 sen x cos x) – 2 cos x sen x =
= 2 – 1 + 2 sen x cos x – 2 cos x sen x = 1 (1 + cos α) · (1 – cos α) 1 + cos α 1 sceons × sen + cos 1 tg × sen + cos 1 co 1 s 1 sen2co+scos2 1 s c e o n s 2 + cos (5 – 3 sen x)2 16 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ 25° 40° 5 dm h x y A B C 38° 28° A D C B l 26 m h 52° 62° ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
9. a.ᎏ 3 hᎏ = tg 45o⇔ h = 3 × 1 = 3 ; h = 3 cm b.BCᎏᎏ2= 32+ 32⇔ BCᎏᎏ= 18= 32 ; BCᎏᎏ= 32cm c.Ptrapézio= 8 + 3 + 11 + 32= 22 + 32 (cm) 10.
a. Como o hexágono é regular, o triangulo [ODE] é equilátero.
Portanto, a amplitude do ângulo ODE é 60o.
b. Seja h a altura do triângulo [DOE ] . Então, ᎏ
4 hᎏ = tg 60o⇔ ⇔ h = 43 ; h = 43 cm c.Ahexágono= 6 × ᎏ 8 × 4 2 3 = 963 ; A hexágono= 963 cm2
PÁG. 28
1.A distância a que os dois amigos se encontravam é dada por x + y , onde x e y são tais que:
ᎏ368xᎏ = tg 45o x = ᎏ tg 45o 368 ᎏ x = 368 ⇔ ⇔ ᎏ368yᎏ = tg 65o y = ᎏ tg 65o 368 ᎏ y≈ 171,601 Logo, x + y≈ 540 m. 2.
Onde c é o comprimento do poste.
a. = sen ␣ ⇔ ␣ = sen–1
⇔ ␣ ≈ 19,5o b.ᎏ 43ᎏc 2 = ᎏ 41ᎏc 2 + 32⇔ c2= 18 ⇔ c = 18= 32; 32m 3. a. = cos ␣ ⇔ ␣ = cos –1ᎏ 2 2 ⇔ ␣ = 45o
b. Como EA^D = EC^A = 45o. Conclui-se que AE^C = 90.o
c.Sendo = tg 45o⇔ h = ᎏ 2 2 a , tem-se Vpirâmide= ᎏ 31ᎏ × a 2× ᎏ 2 2 a =ᎏ 6 2 a3
PÁG. 29
4. 3 —4 c 1 —4 c ␣ 1 ᎏ 3 ᎏ41ᎏ c ᎏ ᎏ 43ᎏ c 2 2 ᎏa ᎏ a h ᎏ ᎏ 2 2 ᎏa ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ B A D 8 E F C O 4 h 2a a a a ␣ A B D C A 3 87° 46 C O D r r x y 45° 60°65° 368 A 8 B C D E 3 45°r + 3r = sen (87o46’) ⇔ r = 1 3 – s s e e n n (8 (8 7 7 o o 4 4 6 6 ’) ’) ⇔ ⇔ r ≈ 3946,521 milhas r≈ 6350 km 5.
[ABCD ] é um trapézio isósceles. A base maior mede 12 cm,
o lado AD mede 6 cm e o ângulo tem 55o de amplitude.
5.1 a. 6 DE = sen 55o⇔ DE= 6 sen 55o⇔ DE ≈ 4,9 (cm) b. 6 AE = cos 55o⇔ AE= 6 cos 55o ⇔ AE ≈ 3,4 (cm) 5.2DB2= DE2+ EB2⇔ DB2= (6 sen 55o)2+ (12 – 6 cos 55o)2⇔ ⇔ DB ≈ 9,9 (cm) 5.3 DF CD = tg ⇔ 6 sen 55o–2 12 – 12 cos 55o = tg ⇔ ⇔ = tg–1
冢
6 sen 55o 12 – 12 cos 55o冣
⇔ ≈ 60o 5.4AF2= 22+ (6 cos 55o)2⇔ AF ≈3,98 (cm) , FC= AC– AF ⇔ FD ≈ 5,92 (cm) P[EFDB]≈ 2 + 5,92 + 6 + 12 – 3,44 ≈ 22,5 (cm)PÁG. 30
6. x + y = 9 y = 9 – x ––––––––– h x = tg 40 o ⇔ h = x tg 40o ⇔ ––––––––– ⇔ hy = tg 70o h = (9 – x ) tg 70o x tg 40o= (9 – x ) tg 70o ––––––––– ––––––––– y≈ 2,106 ⇔ ––––––––– ⇔ ––––––––– ⇔ h ≈ 5,785 x = tg 40o+ tg 70o 9 tg 70o x≈ 6,894 ––––––––– a2= h2+ x2⇔ a ≈ 8,9996 (m) , b2= h2+ y2⇔ b ≈ 6,156 (m)O comprimento total dos cabos é dado por a + b≈ 15,16 (m) .
7.
a.A área da zona colorida a amarelo pode obter-se da seguinte forma:
começamos por determinar metade da área do círculo 2 (ilustrado na Fig. 1). De seguida, determinamos a área do setor circular de
cen-tro em A , raio AC e amplitude 2 (ilustrado na Fig. 2). Por fim, é
necessário subtrair a área do triângulo [ACE ] , para que não seja contabilizada duas vezes (Fig. 3).
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ A D E F C B 55° 6 12 Fig. 1 40° 70° 9 m a b x y h A c2 c1 B C D A c2 c1 B C E D A c2 c1 B C E D Fig. 22 Ac2 = 2 × CD2 Como AC CD
= sen e AC= 10, tem-se CD= 10 sen . Então,
2 Ac 2 = 2 × (10 sen )2 = 50 sen2 . Asetor circular= 360 × 10 × 2 = 95 A[ACE]= 2 CE×AD Como CE= 2 × CD= 20 sen e AC AD = cos ⇔ AD= 10 cos , tem-se A[ACE]= 2 20 sen × 10 cos = 100 sen cos .
Logo, a área pretendida é 50 sen2 +
95 – 100 sen cos .
b. O valor exato dessa área para = 60oé:
50 sen260o+ 9 5 ×60 – 100 sen 60ocos 60o= 4 6 25 – 253cm2
PÁG. 47
28.Como – 1 ≤ sen ≤ 1 , tem que se ter – 1 ≤ k
2 2 – 3 ≤ 1 . – 1 ≤ k 2 2 –3 ≤ 1 ⇔ k22 ≥ –1 ∧–3 k22–3 ≤ 1 ⇔ k2≥ 1 ∧ k2≤ 5 ⇔ ⇔ (k ≤ –1 ∨ k ≥ 1) ∧ (k ≥ –5∧ k ≤ 5)⇔ ⇔ k ∈
[
–5, –1]
∪[
1, 5]
PÁG. 53
32.A partir do cosseno de , pode obter-se o seno de :
sen2+ cos2 = 1 ⇔ sen = +–
1 ––41
2⇔ sen = +– 4 15 Como ∈
]
2 ,[
, sen = 4 15 . De tg = sencos conclui-se que tg = = –15
Assim, tg – sen = –15– 4 15 = – 5 4 15 .
33.A partir do valor da tangente é possível determinar o valor do
cosseno, como se segue:
tg2 + 1 = cos 1 2 ⇔
– 31 2 + 1 = cos 1 2 ⇔ cos2 = 1 9 0 ⇔ ⇔ cos = +– 3 10 10 Como ∈3 2, 2, cos = 3 10 10 .
Agora, a partir do cosseno, pode obter-se o seno de :
sen2 + cos2 = 1 ⇔ sen = +–
1 –31
0 1 0 2⇔ ⇔ sen = +– 10 10 Como ∈3 2, 2, sen = – 10 10 .
Assim, sen cos = –
10 10 × 3 10 10 = – 1 3 0 .
PÁG. 56
35.a.cos ( + ) – cos ( – ) = –cos – (–cos ) = 0
b.sen ( – ) – sen ( + ) = sen – (–sen ) = 2 sen
c.tg ( – ) cos ( + ) = –tg (–cos ) = – s c e o n s (–cos ) = sen
PÁG. 58
36.Tem-se cos(–) = – 5 2 ⇔ cos = – 5 2 Simplificando a expressão dada, obtém-se:sen (–) – 2tg ( – ) – cos ( + ) = –sen – 2 (–tg ) – (– cos ) =
= –sen + 2 tg + cos
A partir do cosseno, pode obter-se o seno de :
sen2 + cos2 = 1 ⇔ sen = +–
1 ––5 2
2 ⇔ sen = +– 5 21 Como ∈ ]–, 0[ , sen = – 5 21 .Agora, a partir do seno e do cosseno, obtém-se a tangente de :
tg = 2 21 4 15 – 41 Fig. 3 A c2 c1 B C E D
Assim, o valor exato da expressão dada é: 兹 5 21 苶 + 2 ×兹 2 21 苶 +
冢
– 52冣
= 6兹2 5 1 苶– 2PÁG. 59
38.Tem-se cos冢
2 – x冣
= – 1 5 3 ⇔ sen x = – 1 5 3 . Simplificando a expressão dada, obtém-se: sen (–x ) tg冢
2 –x冣
– sen (–x ) = –sen x tg 1 x+ sen x = –cos x + sen x A partir do seno, pode-se obter o cosseno de x :
sen2x + cos2x = 1 ⇔ cos x = +–
冪
1 –莦
莦
冢
–莦
1 5 3
莦
莦
冣
莦
2 ⇔ cos x = +– 1 1 3 2 Como x∈冥
2 3, 32冤
, o cos x é negativo. Logo, cos x = – 1 1 3 2 .Assim, o valor exato da expressão dada é –
冢
–1 1 3 2
冣
– 1 5 3 = 1 7 3 . 39.tg冢
2 – x冣
tg x – cos冢
2 – x冣
sen ( – x) = tg 1 x tg x – sen x sen x = = 1 – sen2x = cos2xPÁG. 61
41. a.A = A[ABCD ]–A[ADP ]= 42– A苶 = tg x ⇔ DPD苶D苶P苶 = t 4 gxA área da região colorida é, portanto, dada por:
16 – = 16 – tg 8 x b.cos
冢
x + 2冣
= – 1 1 3 2 ⇔ sen x = 1 1 3 2 sen2x + cos2x = 1 ⇔ cos x = +–冪
1 –莦
莦
冢
1 1 3 2
莦
莦
冣
莦
2⇔ cos x = +– 1 5 3 Como x∈冥
,冤
, cos x = 1 5 3 . tg x = 1 52 Logo, A = 16 – = 3 3 8 .PÁG. 78
2. a.A = = (cm2) b.B冢
3 cos冢
5 6冣
, 3 sen冢
5 6冣
冣
, ou seja, B冢
– , 23冣
. c.A[OBB’ ]= = (cm2)PÁG. 79
3.3.1 Determinemos as coordenadas do ponto C : x2+ y2= 1 ⇔ x = 兹 6 6 苶 y = 兹5苶x y = 兹 6 30 苶 sen = 兹 6 30 苶 , cos = e tg = = 兹苶5 3.2 a.sen ( – ) = 兹 6 30 苶 , cos ( – ) = – , tg ( – ) = –兹苶5 c.sen (–) = – 兹 6 30 苶 , cos (–) = , tg (–) = –兹5苶 4.
a.O ponto Q pertence à circunferência trigonométrica, pois:
冢
– 兹 3 3 苶冣
2+冢
兹 3 6 苶冣
2= 1b.O ponto P está no 4.oquadrante e pertence à reta que passa pela
origem e pelo ponto Q . Logo, P
冢
兹3 3 苶 , –兹 3 6 苶
冣
. c. = + tg = tg冢
+冣
= – cos (+ ) = – 兹 3 3 苶 ⇔ cos = 兹 3 3 苶 , sen (+ ) = 兹 3 6 苶 ⇔ D苶P苶 × A苶D苶 2 tg 4 x × 4 2 2 4 8 1 52 15 4 5 6×3 2 2 3兹3苶 2 6兹 2 3 苶 × 23 2 兹30苶 兹6苶 兹6苶 6 2 9兹3苶 4 兹6苶 6 兹6苶 6 1 tg 2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ b.sen ( + ) = – 兹 6 30 苶 , cos ( + ) = –兹6苶, tg ( + ) = 兹5苶 6 d.sen冢
–冣
= , cos冢
–冣
= 兹 6 30 苶 , tg冢
–冣
= 2 兹6苶 6 2 2 兹55苶sen = sen
冢
+冣
= cos , cos = cos冢
+冣
= –sen , 22
sen = 兹 3 3 苶 , cos = 兹 3 6 苶 , tg = 兹 2 2 苶
PÁG. 80
5.cos ( – ) + cos
冢
+冣
+ tg (–) = – cos – sen – tg =6.
a.A (cos , sen ) , C(cos , –sen )
b.A[ABC ]= A 苶C苶 × 2 h = = sen (1 + cos )
c.Se o triângulo [ABC ] for equilátero, os seus ângulos internos têm
3rad de amplitude. Assim, o ângulo OBA tem de amplitude 6.
Como α é o ângulo ao centro correspondente ao ângulo inscrito
OBA , a sua amplitude é o dobro da amplitude de OBA . Logo, =
3 l = A苶C苶 = 2 sen
3 = 兹苶3
d. Recorrendo à fórmula da alínea b, tem-se:
A
冢
3冣
= sen 3冢
1 + cos 3冣
=PÁG. 87
47. a. = cos ⇔ AC= 20 cos , f () = 10 + 10 + 20 cos = 20 + 20 cos b.Df =冥
0,冤
, Df’ = ]20, 40[PÁG. 89
50.Tem-se g (–x ) = cos
冢
–x冣
= sen x = –cos冢
+x冣
= –g (x ) .Logo, a função g é ímpar.
PÁG. 93
52.
a.Seja h a altura do trapézio. Tem-se h
2 = tg x ⇔ h = 2 tg x . Logo, A(x) = 8 + 2 4 × 2 tg x = 12 tg x . b.DA =
冥
0,冤
, DA’ = ]0, + [ c.A冢 冣
= 12 tg冢 冣
= 12兹3苶PÁG. 116
1.a.A expressão sen(100t) toma todos os valores do intervalo
[–1, 1] se t toma todos os valores do intervalo [0, +∞[ . Logo, a
fun-ção V (t ) toma todos os valores do intervalo [–330, 330] e, por-tanto, o valor máximo da tensão elétrica é 330 V.
b.V(t) = 0 ⇔ 330 sen (100t) = 0 ⇔ sen (100t) = 0 ⇔
⇔ 100t = 0 + k , k ∈INo⇔ t = 0,01k , k ∈INo
O valor da tensão elétrica é nulo 100 vezes por segundo.
c.V (t ) = Vef⇔ 330 sen (100t ) = ⇔ sen (100t ) = ⇔ ⇔ t = 0,0025 + 0,02 k ∨ t = 0,0075 + 0,02, k ∈ INo Para k = 0 , t = 0,0025 segundos. 2. a.T (2) = 8 + 3 cos
冢
(2 + 12 7)冣
= 8 – ≈ 5,9 oCÀs 2 horas desse dia a temperatura foi, aproximadamente, 5,9 graus Celsius.
b.Se t toma todos os valores do intervalo [0, 24[ , toma
e, portanto, a expressão cos
冢
冣
toma todos os valores dointervalo [–1, 1] . Logo, a função T (t ) toma todos os valores do
in-tervalo [5, 11] . A temperatura mínima foi 5 oC e a temperatura
máxima foi 11 oC.
T (t ) = 8 + 3 cos
冢
冣
= 5 ⇔ cos冢
冣
= – 1 ⇔A temperatura mínima ocorreu às 5 horas. 2 2 2 sen (1 + cos ) 2 3兹3苶 4 A 苶C苶 1 2 0 2 2 2 3 3 兹2苶 2 330 兹2苶 3兹2苶 2 (t + 7) 12 (t + 7) 12 (t + 7) 12 (t + 7) 12 4 8 A D C B x h 10 A C B ⇔sen = – , tg = sen cos = – 兹苶2 兹6苶 3 = –0,6 + 0,8 –
冢
–4 3冣
= 23 15 c.f冢 冣
= 20 + 20 cos冢 冣
= 20 + 10兹2苶 4 4 ⇔ 100t = + k 2 ∨ 100 t = + 4 k 2, k ∈ INo⇔ 3 4todos os valores do intervalo
冤
7,冤
que tem amplitude 212
31
12
⇔ (t + 7) = + 2k , k ∈ ZZ ⇔ t = 5 + 24k , k ∈ ZZ