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Mat Caderno Professor

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Academic year: 2021

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Texto

(1)

Teste de diagnóstico

Sugestão de resolução

de exercícios do manual

Sugestão de resolução

de tarefas do manual

CADERNO

DE

APOIO

AO

PROFESSOR

Y

– 11.

ANO

Matemática A

(2)

INTRODUÇÃO

...

2

APRESENTAÇÃO DO PROJETO

...

3

Manual

...

3

Testes 5 + 5

...

5

Formulários

...

6

Caderno de exercícios e problemas

...

7

Caderno de apoio ao professor

...

8

Site de apoio ao projeto

...

8

Aula digital

...

8

PLANIFICAÇÃO GLOBAL

...

9

TESTE DE DIAGNÓSTICO

...

10

Soluções

...

13

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS E TAREFAS DO MANUAL

..

16

Volume 1 – Geometria no plano e no espaço II

• Exercícios

...

16

• Tarefas

...

43

Volume 2 – Introdução ao cálculo diferencial I. Funções racionais

e funções com radicais. Taxa de variação e derivada

• Exercícios

...

27

• Tarefas

...

54

Volume 3 – Sucessões

• Exercícios

...

38

• Tarefas

...

61

ÍNDICE

(3)

Colegas,

O projeto Y11 resulta da nossa interpretação do Programa de Matemática A do 11.

o

ano e da sua articulação

com as atuais necessidades educativas dos alunos, contemplando, sempre que possível e desejável, o recurso às

novas tecnologias.

Conscientes da responsabilidade que temos como agentes educativos, procurámos construir um projeto não

apenas consistente e rigoroso mas também apelativo, desejando que constitua um incentivo à procura de mais

conhecimento. Preocupámo-nos em fornecer uma grande quantidade de recursos a alunos e professores,

possibi-litando assim a adequação do projeto a qualquer turma, em qualquer contexto letivo.

Bom trabalho,

Os autores

(4)

O projeto Y11 apresenta os seguintes materiais para o aluno:

Manual

Testes 5 + 5 (oferta ao aluno)

3 formulários (oferta ao aluno)

Caderno de exercícios e problemas

Manual multimédia (CD-ROM e on-line em www.y11.te.pt)

www.y11.te.pt (site de apoio ao projeto)

Para o professor apresenta ainda:

Caderno de apoio ao professor

Aula digital (CD-ROM e on-line em www.y11.te.pt)

Manual

Está dividido em três volumes, que têm como suporte três grandes temas:

Tema 1:

Geometria no plano e no espaço II

Tema 2:

Introdução ao cálculo diferencial I. Funcões racionais e funções com radicais. Taxa de variação

e derivada

Tema 3:

Sucessões

Cada volume inclui, além da exposição dos conteúdos acompanhada de exercícios laterais, tarefas de

introdu-ção no início de cada subtema, exercícios resolvidos, notas históricas, tarefas de exploraintrodu-ção e desenvolvimento,

uma tarefa de investigação, Testes AAA («Aplicar, Avaliar, Aprender»), + Exercícios e Problemas globais.

Realça-se no volume 2 a exploração de conexões entre funções e a geometria e, no volume 3, a exploração de

conexões entre diversos conteúdos, contribuindo-se assim para uma visão globalizante da Matemática.

Visando facilitar a articulação entre os diversos componentes do projeto, no manual encontram-se remissões

para os recursos disponíveis no manual multimédia.

(5)

8

NOTA

As seguintes instruções, bem como todas as outras que oportunamente surgirão, referem-se à utilização da calculadora TEXAS TI-83 ou TI-84/TI-84 Plus Silver Edition. Nas páginas 226 a 228 é também apresentado um conjunto de procedimentos para a utilização das calculadoras CASIO FX-9860GII e FX-9860GII SD.

CALCULADORA

Para trabalhar com a calculadora gráfica em graus deverás acionar o comando e selecionar a opção Degree.MODE

Em alternativa, consulta a página 226.

1. Uma empresa que organiza ev

entos de desportos radicais pretende instalar um cabo para a prática de

slide entre o topo de um edifício e a base de um poste de iluminação pública. O cabo mais comprido de que dispõe mede 105 metros. Sabe--se ainda que o poste está a 100 metros do edifício e que o ângulo de elevação, medido da base do poste para o topo do edifício, é de 20

o.

a. Mostra que o cabo disponív

el não tem comprimento suficiente para a instala-ção que se pretende fazer

.

b. Qual é altura do edifício? Arredonda o valor obtido às décimas de metro.

2. Determina a área de um pentágono regular inscrito numa circunferência de raio 10 cm. Apresenta o resultado em cm2, arredondado às décimas. Em cálculos intermédios conser

va, pelo menos, três casas decimais.

3. Determina a amplitude do menor ângulo formado por duas diagonais espaciais de um cubo. Apresenta o resultado em graus, arredondado às centésimas de grau.

TAREFA DE INTROD

UÇÃORazões trigonométricas de um ângulo agudo

20° 100 m

No início, propõe-se uma

TAREFA DE

INTRODUÇÃOonde são

aplicados conhecimentos intuitivos que permitirão explorar

os novos conteúdos.

118

b.Marca, num referencial, os pontos de coordenadas (x, f ’(x)) , para os valores de x que constam da tabela e escreve a equação reduzida da reta que passa

nes-ses pontos.

c.Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto, obtém a expres-são de f ’(x) e verifica que o gráfico da função que a cada x faz corresponder f ’(x) é a reta que definiste na alínea b.

À função f ’ , que a cada x僆IR faz corresponder f ’(x) , chama-se função

deri-vada da função f , ou apenas, derideri-vada da função f .

2. Seja g a função definida por g(x) = x3. Determina g’(x) e completa a afirmação:

A função derivada da função g definida por g(x) = x3 é a função g’ definida por g’(x) = _________ .

x –2 0 1 2

f’(x)

2.3Função derivada

Seja f : x哫 f(x) uma função derivável em A .

Chama-se função derivada ou apenas derivada da função f , e representa-se por f ’ ou por d

d x f

 , à função de domínio A que a cada xA faz corresponder a derivada de f no ponto x .

Exercícios resolvidos

41.Seja f a função definida por f(x) = 21 x

2+ 2x .

a.Mostra que a função f ’ (função derivada de f ) é definida por f ’(x) = x + 2 .

b.Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f que é paralela

à reta que contém as bissetrizes dos quadrantes pares.

Resolução a.f ’(x) = lim h→ 0 f(x + h h ) – f(x)  = lim h→ 0 = = limh→ 0 = limh→ 0 =  2 1 (x + h)2 + 2(x + h) – 21x2 + 2x冣 h 21 x2 + xh + 21 h2 + 2x + 2h – 21x2 – 2x h xh + 21 h2 + 2h h

(continua na página seguinte) = limh→ 0 = limh→ 0冢x + 21 h + 2冣= x + 0 + 2 = x + 2

hx + 21 h + 2冣 h

EXERCÍCIO 88

Seja f a função, de domínio IR , definida por f(x) = x

4

2

 .

a. Mostra que a função derivada

de f é definida por f ’(x) = 2x . b. Escreve a equação reduzida da

reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa –2.

c. Para um determinado valor de b ,

a reta de equação y = 3x + b é tangente ao gráfico de f . Determina as coordenadas do ponto de tangência e o valor de b . + Exercícios pág. 145 • (IC) 7 Animação Função derivada Geogebra Função derivada RECURSOS MULTIMÉDIA SÍNTESE 64 Círculo trigonométrico

•Num referencial o.n. xOy do plano, a circunferência com centro na origem e raio igual a 1 designa-se por círculo trigonométrico.

Sendo P o ponto de interseção do lado extremida-de extremida-de um ângulo extremida-de amplituextremida-de α com o círculo tri-gonométrico, o seno e o cossenodesse ângulo são dados, respetivamente, pela

ordenada de Pe pela abcissa de P . Simbolicamente:

P(cos α, sen α)

•Seja α 僆 IR a amplitude de um ângulo. Então: –1 ≤ cos α ≤ 1 e –1 ≤ sen α ≤ 1

•No círculo trigonométrico, sendo

Q o ponto de interseção da reta que contém o lado extremidade de um ângulo de amplitude

α com a reta de equação x = 1 (eixo das tangentes), tem-se:

tg α = ordenada de Q P α 1 sen α cos α 1 -1 -1 O y x

•Seja α ⫽ ᎏ2␲ᎏ + k␲ , k 僆 ZZ a amplitude de um ângulo. Então, tg α pode tomar qual-quer valor do intervalo ]–∞, +∞[ .

Sinal das razões trigonométricas no cír culo trigonométrico Q 1 t α 1 -1 -1 O y x Q t α O y x 1 1 -1 -1 1.oQ 2.oQ 3.oQ 4.oQ Seno + + – – Cosseno + – – + Tangente + – + – Grupo I

Este grupo é constituído por itens de seleção. P

ara cada item, seleciona a opção correta. 1. Na figura ao lado está representada uma

circunferência de centro em A e raio 5 cm.

A reta t é tangente à circunferência no ponto T . O ponto B pertence à circunfe-rência e define com o ponto T um arco de

centro em A com 45ode amplitude. A distância de B à reta t , em cm, arre-dondada às centésimas, é:

(A)2,56 cm (B)1,56 cm

(C)1,46 cm (D)2,55 cm 2. Relativamente ao triângulo retângulo da figura, o valor de cos

β é:

(A)ᎏ31ᎏ (B)

(C) (D)

3. Uma escada de 2 metros de comprimento está encostada a uma parede v ertical. A base dessa escada está assente num pátio horizontal adjacente a essa parede. Sabendo que o ângulo formado pela escada e pela parede mede 30

o, a altura, em metros, atingida pela escada na parede, arredondada às centésimas, é:

(A)1,73 m (B)1 m (C)1,16 m (D)2,31 m

4. Sendo α a amplitude de um ângulo agudo, a expressão (1 – cos α)(1 + cos α) é equi-valente a:

(A)cos α (B)cos2α (C)sen α (D)sen2α

5. O valor da expressão sen (60o) – 2tg (45o) + cos (30o) é:

(A)–2 (B) – 2 (C)–1 (D)兹3苶 – 2 兹13苶苶 ᎏ⫺ᎏ13 兹3苶 ᎏ⫺ᎏ2 2兹13苶苶 ᎏ⫺ᎏ13 3兹13苶苶 ᎏ⫺ᎏ13 TESTE AAA 1 A 45° B T t 12 ␤ 8 22 + EXERCÍCIOS Itens de seleção (IS

) De entre as quatro opções apresentadas em cada item, seleciona a opção correta.

1. Na figura seguinte estão representados os v

etores uជ e vជ .

Qual das afirmações seguintes é v erdadeira?

(A)uជ ∧ vជ é um ângulo agudo.

(B)uជ ∧ vជ é um ângulo reto. (C)uជ ∧ vជ é um ângulo obtuso. (D)uជ ∧ vជ é um ângulo raso.

2. Num triângulo [ABC] sabe-se que

ABជ · BCជ < 0 . Então:

(A)[ABC] é um triângulo acutângulo.

(B)[ABC] é um triângulo retângulo. (C)[ABC] é um triângulo obtusângulo. (D)Nada se pode concluir

.

3. Num triângulo [ABC] sabe-se que

ABជ · BCជ > 0 . Então:

(A)[ABC] é um triângulo acutângulo.

(B)[ABC] é um triângulo retângulo. (C)[ABC] é um triângulo obtusângulo. (D)Nada se pode concluir

.

4. De dois vetores uជe vជ sabe-se que ||uជ|| = 4 , |

|vជ|| = 2 e

que uជ · vជ= –4兹3苶 . Qual é a amplitude de

uជvជ , em radianos?

(A)ᎏ␲ᎏ6

(B)– ᎏ6␲ᎏ (C) (D)–

5. Representa-se na figura abaixo o triângulo equilátero

[ABC] , em que A苶B苶 = 2 . Qual das seguintes igualdades

é verdadeira?

(A)BAជ · BCជ = 2

(B)BAជ · BCជ = 4

(C)BAជ · BCជ = 2兹3苶

(D)BAជ · BCជ = 4兹3苶

6. O cubo representado na figura tem aresta 1. Os pontos

A ,

B e Csão vértices do cubo. Qual é o valor do produto escalar dos vetores ABជ e BCជ ?

(A)–2

(B)–1

(C)0

(D)2

7. Na figura está representado um tetraedro regular (sólido

geométrico com quatro faces, que são todas triângulos equiláteros).

A , B , Ce D são os vértices do tetraedro;

A苶B苶 = 6

O valor do produto escalar BCជ · BDជ é:

(A)18 (B)18兹2苶 (C)36 (D)36兹2苶

in Exame Nacional de Matemática

, 12.oano, 2.afase, 1999.

8. Seja [AB] o diâmetro de uma esfera de centro

C e raio 5.

Qual é o valor do produto escalar CAជ · CBជ ?

(A)–25 (B)–5兹2苶 (C)5兹2苶 (D)25

Adaptado de Teste Intermédio de Matemática

, 11.oano, maio de 2010. 5␲ ᎏᎏᎏ6 5␲ ᎏᎏᎏ6 0 1 3 -1 x y 2 1 -1 2 u v A B C A B C D 151 A B C 28

1. Dois amigos avistaram uma torre de lados opostos, alinhados com a torre, conforme se representa na figura seguinte.

Sabendo que a torre tem 368 metros de altur

a, determina a distância a que os dois amigos se encontr avam um do outro. Despreza a altura de cada um deles. Apresenta

o resultado, em metros, arredondado às unidades.

2. Após uma tempestade, um poste de telecomunicações quebrou-se em dois segmentos, formando com o solo um triângulo retângulo, como sugere a figura. Um dos segmentos tem um quar

to do comprimento do poste. A ponta do poste tombou a 3 metros da base do mesmo.

a.Determina o valor de α arredondado às décimas de grau. b.Determina o valor exato do comprimento do poste.

3. Considera uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros. a.Qual é a amplitude do ângulo formado por uma aresta lateral e uma diagonal da base que sejam concorrentes? b.Mostra que as arestas laterais são perpendiculares duas a duas.

c.Determina o volume dessa pirâmide, sendo a o comprimento da aresta da base. PROBLEMAS GLOBAIS 45° 60° 60° ␣ TAREFA DE INVESTIGAÇÃO

Uma população de insetos

Comecemos por considerar a reprodução de uma popula-ção de insetos, como, por exemplo, os afídios dos álamos, para melhor perceber como evolui o número de indivíduos dessa população. As fêmeas adultas produzem vesículas contendo toda a sua descendência, que depositam em folhas de árvores. Da descendência de cada fêmea, apenas uma fração sobreviverá até à idade adulta. Geralmente, a fecundidade das fêmeas e a capacidade de sobrevivência das suas crias dependem de fato-res ambientais, da qualidade e quantidade de alimento e da dimensão da população. Porém, com o objetivo de obter um modelo simples, o efeito destes fatores no crescimento desta população de insetos pode ser ignorado. Desta forma, conside-remos os seguintes parâmetros(constantes) e variáveis en -vol vidos no modelo:

an= número de fêmeas adultas na n-ésima geração;

cn= número de crias na n-ésima geração;

m = taxa de mortalidade dos insetos jovens;

f = número de descendentes por fêmea adulta;

r = fração de fêmeas na população adulta.

Considerando o número de fêmeas na n-ésima geração,

an(n 僆 IN0), o número total de crias da população na geração

n + 1 , cn + 1, é dada pela seguinte equação:

cn + 1= f × an(1)

Deste número, apenas uma fração sobreviverá até à idade adulta, (1 – m)cn + 1, que multiplicada por r dá o número de fêmeas adultas na geração n+ 1 , isto é:

an + 1= r (1 – m)cn + 1(2)

Combinando as equações (1) e (2), obtém-se:

an + 1= f × r (1 – m)an que traduz a relação existente entre o número de fêmeas adul-tas em gerações consecutivas.

O número de fêmeas destes insetos na n-ésima geração é dado pela expressão:

an= [f × r(1 – m)]na0(n僆IN0) Este modelo pode ser traduzido por uma sucessão de termo geral an= kn × a0, que corresponde ao termo geral de uma progressão geométrica de razão k.

A monotonia desta família de sucessões depende do valor

de k e do sinal de a0. 97 A rubrica PROBLEMAS GLOBAISpermite trabalhar os conteúdos estudados de forma articulada. Sempre que oportuno, irá

encontrar um TESTE AAA, com

itens de seleção e itens de construção. Este teste inclui a

rubrica SOSno final para ajudar

a responder às questões colocadas.

As TAREFAS DE INVESTIGAÇÃO

incentivam a interdisciplinaridade, o gosto pela história da Matemática e a criatividade.

Ao longo do manual encontram-se as instruções da CALCULADORA TEXAS, e no final as instruções da CALCULADORA CASIO, assim como as SOLUÇÕES dos exercícios e tarefas.

No final de cada bloco de conteúdos encontrará a rubrica

+EXERCÍCIOS.

Esta inclui itens de seleção e itens de construção para consolidar os conhecimentos adquiridos.

Sempre que oportuno,

é apresentada uma SÍNTESE

para sistematizar os conceitos mais importantes.

Na mancha larga poderá encontrar: definições

exemplos

exercícios resolvidos tarefas

história da Matemática Na mancha estreita poderá encontrar:

notas exercícios

remissões para as rubricas + Exercícios e Problemas globais remissões para

os recursos multimédia remissões para o site de apoio ao projeto

(6)

Testes 5 + 5

O livro de testes 5 + 5, que acompanha o manual, inclui cinco testes 5 + 5 e dois testes modelo dos testes

intermédios.

Este é um instrumento de trabalho particularmente útil em momentos de preparação para testes de

avalia-ção e para os testes intermédios.

22

Grupo I

•Os cinco itens deste grupo são de seleção. Em cada um deles, são indicadas quatro

opções, das quais só uma está correta.

•Escreve apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares

para responder a esse item.

•Não apresentes cálculos, nem justificações.

•Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos,

o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegív el. 1. Considera, num referencial o.n.

Oxyz , a reta r definida por:

(x, y, z) = (0, 0, 1) + λ(1, 2, 3) , λ  IR Qual das condições seguintes define um plano paralelo à reta

r ?

(A)z = 1

(B)x + y = 0

(C)x + y – z = 0

(D)x + 2y + 3z = 0

2. No referencial o.n. da figura ao lado está representado um quadrado [

OABC] de

lado 1. Os vértices

A e C pertencem aos eixos coordenados.

Considera que o ponto

P se desloca sobre o lado [ AB] .

Seja f a função que à abcissa

x do ponto P faz corresponder o produto escalar OP • OC .

Em qual dos referenciais seguintes está representada a função

f ? (A) (B) (C) (D) P B C A 1 x y O TESTE INTERMÉDIO 2 1 x y O 1 1 x y O 冪苴2 1 x y O 1 1 x y O 冪苴2 3:13 PM Page 22 14 TESTE 3 Grupo I

Este grupo é constituído por itens de seleção. Para cada item, seleciona a opção correta.

1. Na figura seguinte está representado o círculo trigonométrico. O ponto A tem coorde-nadas (1, 0) .

O ponto P pertence à circunferência e está no 2.

oquadrante. O ponto Q pertence à cir-cunferência e está no 3.oquadrante. A reta PQ é paralela ao eixo Oy.

O perímetro do triângulo [POQ] é 3,6.

Qual é o valor, em radianos, arredondado às décimas, da amplitude do ângulo

AOP

assinalado na figura?

(A)0,6 (B)0,9 (C)2,2 (D)2,5 2. Considera a pirâmide quadrangular regular

repre-sentada na figura ao lado.

Em relação a um referencial Oxyz , sejam E1 e E2 equações cartesianas dos planos ADFe BCF e seja

E3 uma equação cartesiana do plano mediador de [AB] .

Considera o sistema constituído pelas três equações

E1 , E2 e E3.

Qual das afirmações é verdadeira?

(A)O sistema tem exatamente uma solução. (B)O sistema tem exatamente três soluções. (C)O sistema é possível e indeterminado. (D)O sistema é impossível. x y O P Q A A B F C D YTestes5+5_p01a32:Layout 1 3/26/1

(7)

Para que o aluno tenha sempre presente o essencial dos conteúdos estudados, cada volume do manual é

acompanhado por um formulário.

Os formulários constituem auxiliares de memória úteis para o apoio ao estudo do aluno e um incentivo ao

tra-balho autónomo.

Inclinação e decliv e de uma reta

•Num referencial o.n. do plano, a inclinação de uma reta (não v

ertical) é a amplitude não negativa do menor ângulo que a reta faz com o semieixo positiv

o das abcissas, tomando este semieixo para lado origem.

O declive, m , de uma reta não vertical é a tangente trigonométrica da inclinação, α , da reta: m = tg α .

Condição de perpendicularidade de v etores

•Dois vetores não nulos são perpendiculares se e só se o seu produto escalar é zero:

u⊥ v

⇔ u

⋅ v

= 0

Dado um vetor u

(u1, u2) num referencial o.n. do plano, qualquer v

etor de coordenadas (–ku2, ku1) , com k 僆 IR\{0} , é perpendicular a

u→. Relação entre o decliv

e de retas perpendiculares

•Num referencial o.n. do plano, dada uma reta de decliv

e m , não nulo, o declive de uma reta perpendicular é

– .

Conjuntos de pontos definidos por condições no plano

•A mediatriz de um segmento de reta [

AB] , de ponto médio

M , é o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem a condição

AB⎯→⋅ MP⎯→

= 0 .

•A circunferência

de diâmetro [AB] é o conjunto dos pontos

P do plano que satisfazem

a condição AP⎯→

⋅ BP⎯→

= 0 .

•A reta tangente a uma circunferência

de centro C , no ponto T , é o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem a condição

CT⎯→⋅ TP⎯→= 0 . Conjuntos de pontos definidos por condições no espaço

•O plano mediador de um segmento de reta [

AB] , de ponto médio

M , é o conjunto dos

pontos P do espaço que satisfazem a condição

AB⎯→⋅ MP⎯→= 0 .

•A superfície esférica de diâmetro [

AB] é o conjunto dos pontos

P do espaço que

satisfazem a condição

AP⎯→⋅ BP⎯→= 0 .

•O plano tangente a uma esfera

de centro C , no ponto T , é o conjunto dos pontos P

do espaço que satisfazem a condição

CT⎯→⋅ TP⎯→

= 0 . Retas e planos

•Uma equação cartesiana do plano

que passa no ponto

A(xA, yA, zA) e que é

perpendi-cular ao vetor n

(a, b, c) é:

a(x – xA) + b(y – yA) + c(z – zA) = 0

O vetor n

(a, b, c) diz-se um v

etor normal ao plano.

•A equação geral do plano

de vetor normal n

(a, b, c) e que passa no ponto

A(xA, yA, zA) é:

ax + by + cz + d = 0 , com d = –ax

A– byA– czA

• = =

são equações cartesianas da reta

do espaço que passa no ponto de coordenadas (

xA, yA, zA) e que tem a direção do v

etor de coordena-das (u1, u2, u3) (para u1 , u

2 e u3não nulos).

Dois planos, α e β , de vetores normais

ae b, são paralelos se os vetores normais são colineares:

α // β ⇔ a

// b⇔ a

= k b

, k僆 IR\{0}

Dois planos, α e β , de vetores normais

ae b→, são perpendiculares se e só se os vetores normais são perpendiculares:

α ⊥ β ⇔ a

⊥ b

⇔ a

⋅ b

= 0

Uma reta r , não contida num plano

α , é paralela ao plano se e só se um vetor diretor de r , u→ , for perpendicular a um v etor normal a α , n→ . r //α ⇔ u⊥ n⇔ u⋅ n→ = 0

Uma reta r é perpendicular a um plano

α se um vetor diretor de

r , u

, for colinear com um vetor normal a α , n

. r⊥ α ⇔ u// n⇔ u= k n, k僆 IR\{0} 1 ᎏ m z – zA ᎏᎏᎏᎏ u3 y – yA ᎏᎏᎏᎏ u2 x – xA ᎏᎏᎏᎏ u1

Este formulário é uma ofer ta que acompanha o manual

Y

, 11.

oano, não podendo ser v

endido separ adamente. cos (π − α) = −cos α cos (π + α) = −cos α cos (–α) = cos α sen (π − α) = sen α sen (π + α) = −sen α sen (–α) = –sen α tg (π − α) = –tg α tg (π + α) = tg α tg (−α) = –tg α

Geometria no plano e no espaço II

Num triângulo retângulo, definem-se as seguintes

razões trigonométricas de um ângulo agudo de amplitude α:

sen α = tg α = cos α =

Relações entre razões trigonométricas de um ângulo de amplitude α tg α = sen2α + cos

2α = 1 tg2α + 1 =

Redução ao 1.oquadrante

Razões trigonométricas de ângulos notáveis

Função periódica

Uma função f , de domínio Df, diz-se periódica de período

T se e só se

∀ x  Df, f(x + T) = f(x) . Equações trigonométricas

As equações do tipo sen x = b são possíveis se e só se b  [–1, 1] .

•senx = sen α ⇔ x = α + k2π ∨ x = (π – α) + k2π , k  ZZ

As equações do tipo cos x = b são possíveis se e só se b  [–1, 1] .

•cosx = cos α ⇔ x = α + k2π ∨ x = – α + k2π , k  ZZ

As equações do tipo tg x = b são possíveis para qualquer

b  IR .

•tgx = tg α ⇔ x = α + kπ , k ZZ

Produto escalar

•Produto escalar de dois vetores

u e v : u ⋅v = ||u|| × ||→ → v|| × cos (u∧→ v )

•Expressão do produto escalar nas coordenadas dos v etores Num referencial o.n. do plano, dados dois vetores quaisquer,

u(u1, u2) e v → (v1, v2) , tem-se: u⋅ v→ = u1v1+ u2v2

Num referencial o.n. do espaço, dados dois vetores quaisquer,

u(u1, u2, u3) e v

(v1, v2, v3) ,

tem-se: u⋅ v→= u1v1+ u2v2+ u3v3

Ângulo de dois vetores e ângulo de duas retas

Dados dois vetores u

e v

quaisquer, no plano ou no espaço:

u →∧v

= cos–1

•Dadas duas quaisquer retas r e s , no plano ou no espaço, e dois quaisquer v etores

diretores das mesmas, r

e s→, respetivamente: cos(rs) = |cos (r

→∧s

)| = comp. do cateto oposto

ᎏᎏᎏᎏ

comp. do cateto adjacente comp. do cateto oposto

ᎏᎏᎏcomp. da hipotenusa

comp. do cateto adjacente

ᎏᎏᎏᎏcomp. da hipotenusa 1 ᎏcos2α sen α ᎏcos α u⋅ v→ ᎏᎏᎏᎏᎏ||u|| ||v|| |r⋅ s→ | ᎏᎏᎏ||r|| ||s→ || 30° ᎏ6πᎏ ᎏ2 1ᎏ 45° ᎏ4πᎏ 1 60° ᎏπᎏ321ᎏ 兹3苶 兹32 兹2苶 ᎏ2 ᎏ兹23苶 Seno Cosseno Tangente ᎏ兹33苶 兹2苶 ᎏ2 VOLUME 1

cos

− α

= sen α sen

− α

= cos α tg

− α

= ᎏtgᎏ1ᎏα πᎏ

2

πᎏ2 πᎏ2 cos

+ α

= –sen α sen

+ α

= cos α

tg

+ α

= − ᎏtgᎏ 1 α ᎏ πᎏ2 πᎏ2 πᎏ 2 Y11Formularios

(8)

Caderno de exercícios e problemas

O Caderno de exercícios e problemas inclui sínteses, itens resolvidos, itens de seleção e itens de construção.

Contém diversos itens de exame e testes intermédios.

Muitos exercícios têm um carácter globalizante, tornando este caderno particularmente útil em momentos

de preparação para testes de avaliação e para os testes intermédios.

Itens de construção

1.Na figura estão representadas, em referencial o.n.

xOy , uma reta AB

e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5. Os pontos A e B pertencem à circunferência. O ponto A também pertence ao eixo das abcissas. Admitindo que o decliv

e da reta AB é igual a ᎏ21ᎏ , resolve as três alíneas seguintes.

a)Mostra que uma equação da reta

AB é x – 2y + 5 = 0 .

b)Mostra que o ponto

B tem coordenadas (3, 4) .

c)Seja C o ponto de coordenadas (– 3, 16) . Verifica que o triângulo [

ABC] é retângulo em B .

in Teste Intermédio de Matemática

, 11.oano, janeiro de 2008.

2.Na figura está representada, num referencial o.n.

xOy , a circunferência de equação

(x – 4)2

+ (y – 1)2= 25 .

O ponto C é o centro da circunferência.

a)O ponto A de coordenadas (0, –2) per

tence à circunferência. A reta t é tangente à circunferência no ponto

A .

Determina a equação reduzida da reta

t .

b)P e Q são dois pontos da circunferência.

A área da região colorida é ᎏ2

6 5πᎏ . Determina o valor do produto escalar →

CP · CQ .

in Teste Intermédio de Matemática

, 11.oano, janeiro de 2010.

3.Na figura está representado um retângulo [

ABCD] .

Mostra que o produto escalar

AB · AC é igual a —AB2.

in Teste Intermédio de Matemática

, 11.oano, maio de 2006.

C B D

A

Geometria no plano e no espaço II – Geometria analítica

46 O x y B A 5 O t Q C A P x y

Geometria no plano e no espaço II – T rigonometria 4

Síntese

TRIGONOMETRIA

Razões trigonométricas de um ângulo agudo Num triângulo retângulo, definem-se as seguintes

razões trigonométricas de um ângulo agudo de amplitude α :

sen α = = cos α = =

tg α = = comprimento do cateto oposto

ᎏᎏᎏᎏᎏᎏcomprimento da hipotenusa

b

c comprimento do cateto adjacente

ᎏᎏᎏᎏᎏᎏcomprimento da hipotenusa

a

c comprimento do cateto oposto

ᎏᎏᎏᎏᎏᎏcomprimento do cateto adjacente

b

a

Relações entre razões trigonométricas de um ângulo

•tg α = ᎏsen αcos α

Razões trigonométricas de ân

gulos complementares

Razões trigonométricas de ângulos notáv eis sen (90o– α) = cos α

cos (90o– α) = sen α tg (90o– α) = ᎏ1 tg α

•sen2α + cos2α = 1 (Fórmula fundamental da trigonometria)

•tg2α + 1 = 1 ᎏcos2α ab c 30o 45 o 60 o Seno ᎏ21ᎏ 兹2苶 ᎏ⫺ᎏ 2 兹3苶 ᎏ⫺ᎏ 2 Cosseno ᎏ 2 1ᎏ 兹3苶 ᎏ⫺ᎏ2 兹2苶 ᎏ⫺ᎏ 2 Tangente 1 兹3苶 兹3苶 ᎏ⫺ᎏ 3

(9)

Nesta publicação incluímos uma proposta de planificação global, um teste de diagnóstico com as respetivas

soluções e resoluções das tarefas e de alguns exercícios do manual. Estas resoluções estão também disponíveis

em

, para poderem ser projetadas na sala de aula.

Site de apoio ao projeto (www.y11.te.pt)

Permite o acesso aos links de apoio ao aluno e ao manual multimédia on-line.

Aula digital

Todos os recursos do projeto são disponibilizados em

.

A aula digital possibilita a fácil exploração do projeto Y11 através da utilização das novas tecnologias em sala

de aula, permitindo-lhe tirar o melhor partido do seu projeto escolar e simplificando o seu trabalho diário.

Através da aula digital poderá não só projetar e explorar as páginas do manual na sala de aula, como também

aceder a um vasto conjunto de conteúdos multimédia integrados no manual, tornando assim a aula mais dinâmica:

Apresentações em PowerPoint com as resoluções de todas as tarefas e de alguns exercícios do manual.

Flipcharts com exemplos e sínteses da matéria dada.

Animações que, integrando imagem e áudio, são lições sobre um determinado assunto. Englobam uma

componente interativa que permite avaliar o aluno quanto a esse assunto.

Aplicações realizadas em Geogebra com exemplos dinâmicos relativos aos três temas estudados.

Testes interativos – extenso banco de testes interativos, personalizáveis e organizados pelos diversos

temas do manual.

Para poder comunicar mais facilmente com os seus alunos, a aula digital permite a troca de mensagens e a

(10)

Sendo o Programa de Matemática A do 11.

o

ano extenso, uma boa planificação das aulas é essencial.

Apresentamos aqui uma proposta de distribuição dos tempos letivos para cada tema, que poderá constituir

uma base para uma planificação mais detalhada.

PLANIFICAÇÃO GLOBAL

Temas

Tempos letivos (90 minutos)

Tema 1

– Geometria no plano e no espaço II

30

Trigonometria

Geometria analítica

Programação linear

15

12

3

Tema 2

– Introdução ao cálculo diferencial I.

Funcões racionais e funções com radicais.

Taxa de variação e derivada

30

Funções racionais e funções com radicais

Taxa de variação e derivada

20

10

Tema 3

– Sucessões

24

Sucessões

Limites de sucessões

12

12

Temas transversais

Comunicação matemática

Aplicações e modelação matemática

História da Matemática

Lógica e raciocínio matemático

Resolução de problemas

Atividades de investigação

(11)

NOME:

___________________________________________________________________________________________________ TURMA: ______________ N.

O

:

________

Grupo I

Este grupo é constituído por itens de seleção. Para cada item, seleciona a opção correta.

1.

Num referencial o.n. xOy , uma equação da reta que passa pelo ponto (–1, 5) e é perpendicular à reta de

equação y = –3 , é:

(A)

x = –1

(B)

x = 5

(C)

y = –1

(D)

y = 5

2.

Considera o paralelepípedo [ABCDEFGH ] num referencial o.n. Oxyz .

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A)

O plano ABC pode ser definido por z = 0 .

(B)

O plano EFB pode ser definido por y = 6 .

(C)

O plano BCG pode ser definido por x = 6 .

(D)

O plano ADH pode ser definido por y = –3 .

3.

Considera a função f : [–3, 3]

→ IR cujo gráfico se apresenta.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A)

f é injetiva e ímpar.

(B)

f não é injetiva nem ímpar.

(C)

f é ímpar, mas não é injetiva.

(D)

f é injetiva, mas não é ímpar.

4.

Considera duas funções reais de variável real, f e g , tais que g (x ) = f (x – 3) + 1 . Sabendo que o ponto de

coordenadas (1, 5) pertence ao gráfico de f , podemos afirmar que:

(A)

g(4) = 5

(B)

g(4) = 8

(C)

g(4) = 2

(D)

g(4) = 6

z 6 6 –3 9 y x A D E H B C F 0 G x y 2 –2 2 3 –2 –3 0

(12)

Grupo II

Este grupo é constituído por itens de construção. Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocínio de

forma clara, indicando todos os cálculos que efetuares e todas as justificações necessárias.

1.

No referencial Oxyz da figura está representado um prisma quadrangular regular

[ABCOEFG H] . O ponto A tem coordenadas (0, 0, 8) e a área da base do prisma é 16 cm

2

.

a.

Caracteriza por uma condição o plano paralelo a xOy que,

ao intersetar o prisma, o decompõe em dois cubos.

b.

Escreve uma equação do plano que contém a face [ABFE ] .

c.

Define por uma condição a reta EF .

d.

Calcula CE

苶.

e.

Escreve uma condição que defina a esfera de diâmetro [AB ] .

2.

No referencial ortonormado da figura estão representados

dois prismas retos que constituem um sólido. A face [GEH ]

do prisma triangular é um triângulo isósceles, H ( 3, 4, 0)

e C (a, b, c ) .

a.

Determina as coordenadas de C , sabendo que a – b =

c

2

ᎏ .

b.

Calcula o volume do sólido representado na figura.

c.

Calcula as coordenadas do vetor v

= 2EA

– AB

.

d.

Escreve uma equação vetorial da reta GH .

3.

Para cada a

∈ IR , a expressão g(x) = ᎏ

ax –

2

3

ᎏ define uma função afim, g .

a.

Se a = 4 , determina analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico da função com

os eixos coordenados.

b.

Determina a de modo que o gráfico da função passe no ponto de coordenadas (1, 3) .

c.

Indica o valor de a de modo que g não tenha zeros.

d.

Determina a de modo a que a função g seja decrescente.

y x C B G F H E A O z z y x F G E D H C A B O I

(13)

a.

Diz, justificando, se o número –2 é elemento do contradomínio da função f .

b.

Constrói a tabela de monotonia e extremos da função f .

c.

Sabendo que os números –3, 0 e 3 são os três zeros de f , constrói a tabela de zeros e de sinal da função f .

d.

Diz se a função f é, ou não, injetiva. Justifica a resposta.

e.

A função f é par? Justifica a resposta.

5.

De uma função quadrática f , sabe-se que:

a reta de equação x = – 3 é eixo de simetria do gráfico de f ;

D

f

= ]–

⬁, 5] ;

2 é zero de f .

Identifica, das expressões seguintes, a única que pode definir a função f .

(A)

5

1ᎏ (x + 3)

2

+ 5

(B)

5

1ᎏ (x + 3)

2

– 5

(C)

5

1ᎏ (x – 3)

2

+ 5

(D)

5

2ᎏ (x + 3)

2

+ 5

Numa pequena composição, indica, para cada uma das outras três expressões, uma razão pela qual a rejeitas.

x y 5 –1 2 –2 –4 0 f

(14)

Resolução do teste de diagnóstico

Grupo I

1. (A)

2. (D)

3. (C)

f não é injetiva, pois há objetos diferentes com imagens iguais. Por exemplo, f (2) = f (3) .

A observação do gráfico permite concluir que a função é ímpar, pois o gráfico é simétrico em relação à

ori-gem do referencial.

4. (D)

Como o ponto de coordenadas (1, 5) pertence ao gráfico de f , tem-se que f (1) = 5 e, portanto,

g(4) = f (4 – 3) + 1 = f (1) + 1 = 5 + 1 = 6 .

0 x = –1 y = –3 1 –1 –2 –3 –4 2 3 4 5 –1 1 2 3 4 –2 –3 –4 x y z 6 6 –3 9 y x A D E H B C F O G x y 2 –2 2 3 –2 –3 0

(15)

1.

a.

A

base

= 16 cm

2

e, portanto, aresta

base

= 4 cm .

A aresta da base é 4 e a altura do prisma é 8. Se dividirmos o prisma ao meio por um plano paralelo a xOy ,

obtemos dois cubos de aresta 4. Uma condição que caracteriza o plano paralelo a xOy que passa no ponto

médio de [OA] é z = 4 .

b.

z = 8

c.

A reta EF resulta da interseção dos planos ABE e FEG , com equações z = 8 e x = –4 , respetivamente.

Uma condição que define a reta é x = –4

∧ z = 8 .

d.

C (0, –4, 0); E (–4, 0, 8)

CE

苶 = 兹苶

(0 + 4)

苶苶苶

2

+

(–4 – 0)

苶苶苶苶苶

2

+ (0 – 8)

苶= 4 兹6苶

2

e.

A esfera tem centro no ponto médio de [AB] , que tem coordenadas (0, –2, 8) e tem raio 2, que é metade

de AB

苶 . Uma condição que define a esfera é:

x

2

+ (y + 2)

2

+ (z – 8)

2

 4

2. a.

Sendo H (3, 4, 0) , temos que C (3, 4, c) .

Como a – b = 3 – 4 = – 1 , tem-se c = – 2 . O ponto C tem coordenadas (3, 4, –2) .

b.

Volume do prisma [OAHEIBCD ] :

V = 3

× 4 × 2 = 24

Volume do prisma [EHAOGF ] :

EH

苶 = 4 e EG

苶 = 4

V =



4

×

2

4

 × 3 = 24

O volume do sólido é 48.

c.

EA

= (0, 4, 0) – (3, 0, 0) = (–3, 4, 0)

AB

= (0, 4, –2) – (0, 4, 0) = (0, 0, –2)

v

= 2EA

– AB

= (–6, 8, 0) – (0, 0, –2) = (–6, 8, 2)

d.

GH

= (3, 4, 0) – (3, 0, 4) = (0, 4, –4)

Uma equação vetorial da reta GH poderá ser (x, y, z ) = ( 3, 0, 4) + k (0, 4, –4) , k

∈IR

y x C B H F G E A O z

(16)

3. a.

g(x) = ᎏ

4x –

2

3

As coordenadas do ponto de interseção do gráfico de g com o eixo das abcissas são

4

3ᎏ, 0

, pois:

4x –

2

3

ᎏ = 0 ⇔ x = ᎏ

4

3ᎏ

As coordenadas do ponto de interseção do gráfico de g com o eixo das ordenadas são

0, – ᎏ

2

3ᎏ

, pois:

y = ᎏ

4 ×

2

ᎏᎏ

0 – 3

ᎏ ⇔ y = – ᎏ

2

3ᎏ

b.

3 = g(1) ⇔ 3 = ᎏ

a ×

2

ᎏᎏ

1 – 3

ᎏ ⇔ a = 9

c.

Se a = 0 , g(x) = – ᎏ

2

3ᎏ, e o gráfico de g é uma reta paralela ao eixo das abcissas.

d.

Para que a função g seja decrescente o declive da reta que é o seu gráfico tem de ser negativo, ou seja,

g é decrescente se a ∈IR

.

4. a.

Não, porque o contradomínio de f é [–1, + ⬁[ e –2 não pertence a este intervalo.

b.

c.

d.

A função f não é injetiva, pois, por exemplo, –2 ⫽ 2 , mas f (–2) = f (2) .

e.

A função f não é par, pois o seu domínio não contém os simétricos de alguns dos seus elementos. Por

exemplo, 5 pertence a

Df e –5 não pertence a D

f

, pelo que não se pode afirmar que f (–5) = f (5) .

5.

A função f é da família das funções quadráticas definida por y = a(x + h)

2

+ k , com a ≠ o e h , k ∈IR .

O vértice da parábola tem coordenadas (–h, k) e o eixo de simetria é a reta de equação x = –h . Como o eixo

de simetria tem equação x = – 3 , temos h = 3 . Assim, rejeitamos a opção (C).

Como o contradomínio da função f é ]–⬁, 5] , temos que k = 5 , em que 5 é o máximo absoluto da função

atingido em

x = – 3 . Assim, rejeitamos a opção (B).

Como f (2) = 0 , temos que 0 = a(2 + 3)

2

+ 5 ⇔

a = –ᎏ

5

1ᎏ . Assim, rejeitamos a opção (D). A opção correta é a

opção (A).

x

–4

–2

0

2

+

f (x)

5

–1

0

–1

Máximo

relativo

Mínimo

absoluto

Máximo

relativo

Mínimo

absoluto

x

–4

–3

0

3

+

f (x)

5

+

0

0

0

+

(17)

VOLUME 1

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

PÁG. 12

5.Sendo x o comprimento do tabuleiro à esquerda do alicerce

prin-cipal e y o comprimento do tabuleiro à direita desse alicerce,

o comprimento da ponte é dado por x + y , com 10

x 0

 = tg 21o

⇔ x ≈ 260,509 e 10y = tg 160 o ⇔ y ≈ 348,741 . Logo, a ponte mede,

aproximadamente, 609 m. 6.  5 x = cos 40o⇔ x ≈ 3,830 5h = sen 40o⇔ h ≈ 3,214  y h = tg 25o∧ h ≈ 3,214 ⇔ y ≈ 6,892 AB= x + y≈ 10,72 dm e  BCh = sen 25 o⇔ BC ≈7,60 dm

PÁG. 13

7. a. AC15 = cos 30 o⇔ AC ≈17,3 cm b. 15 BC  = tg 30o⇔ BC= 15 tg 30o BD2= AB2– AD2 ⇔ BD2= 152– (15 tg 30o)2 ⇔ BD=150(cm) Vprisma= (15 tg 30o)2×150 ≈ 918,6 (cm3)

PÁG. 16

10. 4 cos x + 3 sen x = 5 ⇔ cos x = 5 – 3 sen x 4  ⇔

sen2x + cos2x = 1 sen2x + x = 1

⇔ cos x = 

5 – 3 sen x 4



⇔ 16 sen2x + 25 – 30 sen x + 9 sen2x = 16

⇔ cos x =  5 – 3 sen x 4  ⇔ 25 sen2x – 30 sen x + 9 = 0 ⇔ cos x = 5 – 3 sen x 4  ⇔ cos x =  5 4 (5 sen x – 3)2= 0 sen x =  5 3

Logo, cos x – sen x = 

5 4 –  5 3 =  51. 11. a. sen2 1 + cos  =  1 – cos2 1 + cos  =  = 1 – cos 

b.(cos  – sen )2– 2 = cos2 + sen2 – 2 sen  cos  – 2 =

= – 1 – 2 sen  cos  = –(1 + 2 sen  cos ) = – (sen  + cos )2

12. = =

= = = = cos 

PÁG. 17

14. Sendo h a altura do trapézio, temos: 

5h= sen 45 o⇔ h = 5 2 2 , Atrapézio= 12 + 3 2 ×  5 2 2 = 75 4 2 

PÁG. 27

3.

Sejam l a largura do rio e h a altura do penhasco. Tem-se:

hl = tg 62o l = h tg 62o ––––––––– ⇔ h tg 62°–––––––– ⇔ 26 tg 52° –––––––––⇔ h +26l = tg 52o h + 26 = tg 52o h =tg 62o– tg 52o ⇔ ––––––––– ⇔ l ≈ 104 m h≈ 55 m ––––––––– 7. a.(cos x – sen x) ·tg x

sen x = (cos x – sen x) · sen

sen x x · cos x = = (cos x – sen x) ·1 cos x = 1 – tg x b. tg x



cos x +1 – sen 2x sen x



=  sen x cos x



cos x +  cos2x

sen x



= sen x + cos x

8.2 – (cos x – sen x)2– 2 cos x sen x =

= 2 – (cos2x + sen2x – 2 sen x cos x) – 2 cos x sen x =

= 2 – 1 + 2 sen x cos x – 2 cos x sen x = 1 (1 + cos α) · (1 – cos α)  1 + cos α 1  sceons × sen  + cos  1 tg  × sen  + cos  1   co 1 s  1  sen2co+scos2 1  s c e o n s 2    + cos  (5 – 3 sen x)2 16 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ 25° 40° 5 dm h x y A B C 38° 28° A D C B l 26 m h 52° 62° ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

(18)

9. a.ᎏ 3 hᎏ = tg 45o⇔ h = 3 × 1 = 3 ; h = 3 cm b.BCᎏᎏ2= 32+ 32⇔ BCᎏᎏ= 18= 32 ; BCᎏᎏ= 32cm c.Ptrapézio= 8 + 3 + 11 + 32= 22 + 32 (cm) 10.

a. Como o hexágono é regular, o triangulo [ODE] é equilátero.

Portanto, a amplitude do ângulo ODE é 60o.

b. Seja h a altura do triângulo [DOE ] . Então, ᎏ

4 hᎏ = tg 60o ⇔ h = 43 ; h = 43 cm c.Ahexágono= 6 × ᎏ 8 × 4 2 3 = 963 ; A hexágono= 963 cm2

PÁG. 28

1.

A distância a que os dois amigos se encontravam é dada por x + y , onde x e y são tais que:

ᎏ368xᎏ = tg 45o x = tg 45o 368 ᎏ x = 368 ⇔ ⇔ ᎏ368yᎏ = tg 65o y = tg 65o 368 ᎏ y≈ 171,601 Logo, x + y≈ 540 m. 2.

Onde c é o comprimento do poste.

a. = sen ␣ ⇔ ␣ = sen–1

 

⇔ ␣ ≈ 19,5o b.



ᎏ 43ᎏc



2 =



ᎏ 41ᎏc



2 + 32⇔ c2= 18 ⇔ c = 18= 32; 32m 3. a. = cos ␣ ⇔ ␣ = cos –1



 2 2 



⇔ ␣ = 45o

b. Como EA^D = EC^A = 45o. Conclui-se que AE^C = 90.o

c.Sendo = tg 45o⇔ h = ᎏ 2 2  a , tem-se Vpirâmide= ᎏ 31ᎏ × a 2× ᎏ 2 2  a = 6 2 a3

PÁG. 29

4. 3 —4 c 1 —4 c ␣ 1 ᎏ 3 ᎏ41ᎏ c ᎏ ᎏ 43ᎏ c  2 2  ᎏa ᎏ a h ᎏ ᎏ 2 2  ᎏa ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ B A D 8 E F C O 4 h 2a a a a ␣ A B D C A 3 87° 46 C O D r r x y 45° 60°65° 368 A 8 B C D E 3 45°

(19)

r + 3r = sen (87o46’) ⇔ r =  1 3 – s s e e n n (8 (8 7 7 o o 4 4 6 6 ’) ’)  ⇔ ⇔ r ≈ 3946,521 milhas r≈ 6350 km 5.

[ABCD ] é um trapézio isósceles. A base maior mede 12 cm,

o lado AD mede 6 cm e o ângulo  tem 55o de amplitude.

5.1 a.  6 DE  = sen 55o⇔ DE= 6 sen 55o⇔ DE ≈ 4,9 (cm) b.  6 AE  = cos 55o⇔ AE= 6 cos 55o ⇔ AE ≈ 3,4 (cm) 5.2DB2= DE2+ EB2⇔ DB2= (6 sen 55o)2+ (12 – 6 cos 55o)2 ⇔ DB ≈ 9,9 (cm) 5.3 DF CD  = tg  ⇔  6 sen 55o–2 12 – 12 cos 55o  = tg  ⇔ ⇔  = tg–1

 6 sen 55o 12 – 12 cos 55o 

⇔  ≈ 60o 5.4AF2= 22+ (6 cos 55o)2⇔ AF ≈3,98 (cm) , FC= AC– AF ⇔ FD ≈ 5,92 (cm) P[EFDB]≈ 2 + 5,92 + 6 + 12 – 3,44 ≈ 22,5 (cm)

PÁG. 30

6. x + y = 9 y = 9 – x ––––––––– h x = tg 40 o ⇔ h = x tg 40o ⇔ ––––––––– hy = tg 70o h = (9 – x ) tg 70o x tg 40o= (9 – x ) tg 70o ––––––––– ––––––––– y≈ 2,106 ⇔ ––––––––– ⇔ ––––––––– ⇔ h ≈ 5,785 x =  tg 40o+ tg 70o 9 tg 70o  x≈ 6,894 ––––––––– a2= h2+ x2⇔ a ≈ 8,9996 (m) , b2= h2+ y2⇔ b ≈ 6,156 (m)

O comprimento total dos cabos é dado por a + b≈ 15,16 (m) .

7.

a.A área da zona colorida a amarelo pode obter-se da seguinte forma:

começamos por determinar metade da área do círculo 2 (ilustrado na Fig. 1). De seguida, determinamos a área do setor circular de

cen-tro em A , raio AC e amplitude 2 (ilustrado na Fig. 2). Por fim, é

necessário subtrair a área do triângulo [ACE ] , para que não seja contabilizada duas vezes (Fig. 3).

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩  A D E F C B 55° 6 12 Fig. 1 40° 70° 9 m a b x y h  A c2 c1 B C D  A c2 c1 B C E D  A c2 c1 B C E D Fig. 2

(20)

 2 Ac2 =  2  × CD2 Como  AC CD

 = sen  e AC= 10, tem-se CD= 10 sen  . Então,

 2 Ac 2 =  2  × (10 sen )2  = 50 sen2 . Asetor circular=  360  × 10 × 2 =  95 A[ACE]=  2 CE×AD  Como CE= 2 × CD= 20 sen  e  AC AD  = cos  ⇔ AD= 10 cos  , tem-se A[ACE]=  2 20 sen  × 10 cos   = 100 sen  cos  .

Logo, a área pretendida é 50  sen2  + 

95 – 100 sen cos  .

b. O valor exato dessa área para  = 60oé:

50 sen260o+ 9 5 ×60 – 100 sen 60ocos 60o= 4 6 25  – 253cm2

PÁG. 47

28.Como – 1 ≤ sen  ≤ 1 , tem que se ter – 1 ≤ k

2 2 – 3  ≤ 1 . – 1 ≤ k 2 2 –3  ≤ 1 ⇔ k22 ≥ –1 ∧–3 k22–3 ≤ 1 ⇔ k2≥ 1 ∧ k2≤ 5 ⇔ ⇔ (k ≤ –1 ∨ k ≥ 1) ∧ (k ≥ –5∧ k ≤ 5)⇔ ⇔ k ∈

[

–5, –1

]

[

1, 5

]

PÁG. 53

32.A partir do cosseno de , pode obter-se o seno de  :

sen2+ cos2 = 1 ⇔ sen  = +



1 –











41





2



⇔ sen  = +– 4 15   Como  ∈

]

 2 , 

[

, sen  = 4 15  . De tg = sen

cos  conclui-se que tg  = =  –15

Assim, tg  – sen  = –15–  4 15  = – 5 4 15  .

33.A partir do valor da tangente é possível determinar o valor do

cosseno, como se segue:

tg2 + 1 =  cos 1 2  ⇔



–  31



2 + 1 =  cos 1 2  ⇔ cos2 =  1 9 0 ⇔ ⇔ cos  = +– 3 10 10   Como  ∈



3 2, 2

, cos  = 3 10 10  .

Agora, a partir do cosseno, pode obter-se o seno de  :

sen2 + cos2 = 1 ⇔ sen  = +



1 –











3

1



0 1



0 







2⇔ ⇔ sen  = +– 10 10   Como  ∈



3 2, 2

, sen  = –  10 10  .

Assim, sen  cos  = –

10 10  × 3 10 10  = – 1 3 0 .

PÁG. 56

35.

a.cos ( + ) – cos ( – ) = –cos  – (–cos ) = 0

b.sen ( – ) – sen ( + ) = sen  – (–sen ) = 2 sen 

c.tg ( – ) cos ( + ) = –tg  (–cos ) = – s c e o n s   (–cos ) = sen 

PÁG. 58

36.Tem-se cos(–) = –  5 2 ⇔ cos  = –  5 2 Simplificando a expressão dada, obtém-se:

sen (–) – 2tg ( – ) – cos ( + ) = –sen  – 2 (–tg ) – (– cos ) =

= –sen  + 2 tg  + cos 

A partir do cosseno, pode obter-se o seno de  :

sen2 + cos2 = 1 ⇔ sen  = +



1 –











5 2





2



⇔ sen  = +– 5 21   Como  ∈ ]–, 0[ , sen  = – 5 21  .

Agora, a partir do seno e do cosseno, obtém-se a tangente de  :

tg  =  2 21    4 15    –  41 Fig. 3  A c2 c1 B C E D

(21)

Assim, o valor exato da expressão dada é: 兹 5 21 苶 + 2 ×兹 2 21 苶 +

– 52

=  6兹2 5 1 苶– 2 

PÁG. 59

38.Tem-se cos

 2 – x

= – 1 5 3 ⇔ sen x = – 1 5 3 . Simplificando a expressão dada, obtém-se: sen (–x ) tg

 2  –x

– sen (–x ) = –sen x tg 1 x

 + sen x = –cos x + sen x A partir do seno, pode-se obter o cosseno de x :

sen2x + cos2x = 1 ⇔ cos x = +

1 –



1 5 3



2 ⇔ cos x = +– 1 1 3 2 Como x∈

2 3, 32

, o cos x é negativo. Logo, cos x = – 1 1 3 2 .

Assim, o valor exato da expressão dada é –

–

1 1 3 2

–  1 5 3 = 1 7 3 . 39.tg

 2 – x

tg x – cos

 2 – x

sen ( – x) =  tg 1 x  tg x – sen x sen x = = 1 – sen2x = cos2x

PÁG. 61

41. a.A = A[ABCD ]–A[ADP ]= 42– A苶 = tg x ⇔ DPDD苶P =  t 4 gx

A área da região colorida é, portanto, dada por:

16 – = 16 –  tg 8 x  b.cos

x +  2 

= –  1 1 3 2 ⇔ sen x =  1 1 3 2 sen2x + cos2x = 1 ⇔ cos x = +

1 –



1 1 3 2



2⇔ cos x = +– 1 5 3 Como x∈

,

, cos x =  1 5 3 . tg x = 1 52 Logo, A = 16 – = 3 3 8  .

PÁG. 78

2. a.A = = (cm2) b.B

3 cos

5 6

, 3 sen

 5 6

, ou seja, B

– , 23

. c.A[OBB’ ]= = (cm2)

PÁG. 79

3.

3.1 Determinemos as coordenadas do ponto C : x2+ y2= 1 ⇔ x = 兹 6 6 苶  y = 兹5苶x y = 兹 6 30 苶  sen = 兹 6 30 苶 , cos = e tg = = 兹苶5 3.2 a.sen ( – ) = 兹 6 30 苶 , cos ( – ) = – , tg ( – ) = –兹苶5 c.sen (–) = – 兹 6 30 苶 , cos (–) = , tg (–) = –兹5苶 4.

a.O ponto Q pertence à circunferência trigonométrica, pois:

– 兹 3 3 苶 

2+

兹 3 6 苶 

2= 1

b.O ponto P está no 4.oquadrante e pertence à reta que passa pela

origem e pelo ponto Q . Logo, P

兹

3 3 苶 , –兹 3 6 苶 

. c. = +  tg  = tg

+ 

= – cos (+ ) = – 兹 3 3 苶 ⇔ cos = 兹 3 3 苶  , sen (+ ) = 兹 3 6 苶  ⇔ D苶P苶 × A苶D苶 2  tg 4 x  × 4  2   2   4 8  1 52 15 4 5 6×3 2 2 3兹3苶  2 6兹 2 3 苶 × 23  2 兹30苶  兹6苶 兹6苶 6  2 9兹3苶  4 兹6苶  6 兹6苶  6 1  tg    2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ b.sen ( + ) = – 兹 6 30 苶 , cos ( + ) = –兹6苶, tg ( + ) = 兹5苶 6 d.sen

– 

= , cos

– 

= 兹 6 30 苶 , tg

– 

= 2 兹6苶 6 2 2 兹55苶

sen  = sen

+ 

= cos  , cos  = cos

+ 

= –sen  , 2

  2

(22)

sen  = 兹 3 3 苶 , cos  = 兹 3 6 苶 , tg  = 兹 2 2 苶 

PÁG. 80

5.cos ( – ) + cos

+ 

+ tg (–) = – cos  – sen  – tg  =

6.

a.A (cos , sen ) , C(cos , –sen )

b.A[ABC ]=  A 苶C苶 × 2 h  = = sen  (1 + cos )

c.Se o triângulo [ABC ] for equilátero, os seus ângulos internos têm



3rad de amplitude. Assim, o ângulo OBA tem de amplitude 6.

Como α é o ângulo ao centro correspondente ao ângulo inscrito

OBA , a sua amplitude é o dobro da amplitude de OBA . Logo,  = 

3 l = A苶C苶 = 2 sen 

3 = 兹苶3

d. Recorrendo à fórmula da alínea b, tem-se:

A

 3

= sen 3

1 + cos 3

=

PÁG. 87

47. a. = cos  ⇔ AC= 20 cos  , f () = 10 + 10 + 20 cos  = 20 + 20 cos  b.Df =

0,

, Df’ = ]20, 40[

PÁG. 89

50.Tem-se g (–x ) = cos

–x

= sen x = –cos

+x

= –g (x ) .

Logo, a função g é ímpar.

PÁG. 93

52.

a.Seja h a altura do trapézio. Tem-se h

2 = tg x ⇔ h = 2 tg x . Logo, A(x) = 8 + 2 4  × 2 tg x = 12 tg x . b.DA =

0,

, DA’ = ]0, + [ c.A

冢 冣

= 12 tg

冢 冣

= 12兹3苶

PÁG. 116

1.

a.A expressão sen(100t) toma todos os valores do intervalo

[–1, 1] se t toma todos os valores do intervalo [0, +∞[ . Logo, a

fun-ção V (t ) toma todos os valores do intervalo [–330, 330] e, por-tanto, o valor máximo da tensão elétrica é 330 V.

b.V(t) = 0 ⇔ 330 sen (100t) = 0 ⇔ sen (100t) = 0 ⇔

⇔ 100t = 0 + k , k ∈INo⇔ t = 0,01k , k ∈INo

O valor da tensão elétrica é nulo 100 vezes por segundo.

c.V (t ) = Vef⇔ 330 sen (100t ) = ⇔ sen (100t ) = ⇔ ⇔ t = 0,0025 + 0,02 k ∨ t = 0,0075 + 0,02, k ∈ INo Para k = 0 , t = 0,0025 segundos. 2. a.T (2) = 8 + 3 cos

(2 + 12 7)  

= 8 – ≈ 5,9 oC

Às 2 horas desse dia a temperatura foi, aproximadamente, 5,9 graus Celsius.

b.Se t toma todos os valores do intervalo [0, 24[ , toma

e, portanto, a expressão cos

toma todos os valores do

intervalo [–1, 1] . Logo, a função T (t ) toma todos os valores do

in-tervalo [5, 11] . A temperatura mínima foi 5 oC e a temperatura

máxima foi 11 oC.

T (t ) = 8 + 3 cos

= 5 ⇔ cos

= – 1 ⇔

A temperatura mínima ocorreu às 5 horas.   2   2 2 sen  (1 + cos ) 2 3兹3苶 4 A 苶C苶   1 2 0  2   2  2  3  3 兹2苶 2 330  兹2苶 3兹2苶 2 (t + 7)   12 (t + 7)   12 (t + 7)  12 (t + 7) 12 4 8 A D C B x h 10 A C B  ⇔sen = – , tg = sen cos  = –  兹苶2 兹6苶  3 = –0,6 + 0,8 –

–4 3

= 23  15 c.f

冢 冣

 = 20 + 20 cos

冢 冣

= 20 + 10兹2苶 4   4 ⇔ 100t = + k 2 ∨ 100 t = + 4 k 2, k ∈ INo⇔ 3  4

todos os valores do intervalo

7,

que tem amplitude 2

12

31

12

⇔ (t + 7) =  + 2k , k ∈ ZZ ⇔ t = 5 + 24k , k ∈ ZZ

Referências

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