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Caderno Didático de Sistemas de Controle I

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UNIVERSIDADE FE

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA

DERAL DE SANTA MARIA - UFSM

MARIA - UFSM

CENTRO DE TECNOLOGIA - CT

CENTRO DE TECNOLOGIA - CT

DEPA

DEPART

RTAMENTO DE

AMENTO DE ELETRÔNICA E

ELETRÔNICA E COMPUTA

COMPUTAÇÃO -

ÇÃO - DELC

DELC

PROJETO REENGE - ENG. ELÉTRICA

PROJETO REENGE - ENG. ELÉTRICA

CADERNO DIDÁTICO

CADERNO DIDÁTICO

DE

DE

SISTEMAS DE CONTROLE 1

SISTEMAS DE CONTROLE 1

ELABORA

ELABORAÇÃO: Prof. Hélio Leães ÇÃO: Prof. Hélio Leães Hey, Dr. Eng.Hey, Dr. Eng. DIGITAÇÃ

DIGITAÇÃO: O: Patrick Patrick , , bolsistabolsista

AGOSTO - 1997 AGOSTO - 1997

(2)
(3)

APOSTILA DE SISTEMAS DE CONTROLE 1

APOSTILA DE SISTEMAS DE CONTROLE 1

ÍNDICE

ÍNDICE

CAPÍTULO 1 - GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE

CAPÍTULO 1 - GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE

1.1- INTRODUÇÃO

1.1- INTRODUÇÃO ______________________________________________________________________________________________________________________ I-1I-1

1.2- DEF

1.2- DEFINIÇÕES INIÇÕES BÁSICASBÁSICAS ______________________________________________________________________________________________________ I-1I-1

1.2.1- CONTROLE EM

1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MMALHA-FECHADA E MALHA-ABERTA______ALHA-ABERTA________________________________ I-2I-2

1.3- CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROL

1.3- CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLEE ____________________________________________________ I-3I-3

1.4- COMENTÁRIOS A RESPEI

1.4- COMENTÁRIOS A RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTETO DO CONTROLE DE UM SISTEMAMA __________________________ I-4I-4

CAPÍTULO 2 - REVISÃO MATEMÁTICA

CAPÍTULO 2 - REVISÃO MATEMÁTICA

2.1- INTRODUÇÃO

2.1- INTRODUÇÃO ______________________________________________________________________________________________________________________ II-1II-1

2.2- DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL COMPL

2.2- DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL COMPLEXA E FUNÇÃO COMPLEXAEXA E FUNÇÃO COMPLEXA ________________________ II-1II-1

2.3- F

2.3- FUNÇÕES UNÇÕES ANALÍTICASANALÍTICAS ____________________________________________________________________________________________________ II-2II-2

2.4- TEOREMA

2.4- TEOREMA DE EULERDE EULER ________________________________________________________________________________________________________ II-2II-2

2.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE ____________________________________________________________________________________ II-3II-3

2.5.1- OBTENÇÃO DA

2.5.1- OBTENÇÃO DA TRANSF. DE TRANSF. DE LAPLACE LAPLACE DE ALGUMAS DE ALGUMAS FUNÇÕESFUNÇÕES ____________________II-3II-3

a) Função Exponencial___________________________________________________________ a) Função Exponencial___________________________________________________________ II-3II-3

b) Fun

b) Função Degraução Degrau ____________________________________________________________________________________________________________________________ II-4II-4

c)

c) Função Função Rampa___________________Rampa___________________________________________________________________________________________________________ II-4II-4

d) Função Senoidal

d) Função Senoidal __________________________________________________________________________________________________________________________ II-4II-4

e)

e) Função Função Co-senoidal____________________Co-senoidal__________________________________________________________________________________________________ II-5II-5

2.5.2- TEOREMAS

2.5.2- TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE DA TRANSFORMADA DE LAPLACE___________LAPLACE_________________________________________ II-6II-6

a)

a) Função Função Transladada__________Transladada____________________________________________________________________________________________________________ II-6II-6

b)

b) Função Função PulsoPulso ________________________________________________________________________________________________________________________________ II-7II-7

c)

c) Função Função ImpulImpulsoso ____________________________________________________________________________________________________________________________ II-7II-7

d) Multipl

d) Multiplicação de f(t) por icação de f(t) por ee-- tt________________________________________________________________________________________________________ II-8II-8

e)

e) Mudança de Mudança de escala de escala de tempotempo________________________________________________________________________________________________________ II-8II-8

f) Dem

f) Demonstração do teoonstração do teorema da drema da dififerenciaçãoerenciação ________________________________________________________________________________ II-8II-8

g) Teorema do Valor Fi

(4)

h) Teorema do Valor Inicial______________________________________________________

h) Teorema do Valor Inicial______________________________________________________ II-11II-11

2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ________________________________________________________________ II-11II-11

2.6.1- M

2.6.1- MÉTODO DE EXPANSÃO EM ÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS__________________FRAÇÕES PARCIAIS____________________________ II-12II-12

DETERMINAÇÃO

DETERMINAÇÃO DOS RESÍDOS RESÍDUOS ASSOCIDUOS ASSOCIADOS AOS ADOS AOS PÓLOSPÓLOS __________________________ II-12II-12

a) Pólos Reais e Disti

a) Pólos Reais e Distintosntos ______________________________________________________________________________________________________________ II-12II-12

b) Pólos Reais Múltiplos_______________________________________________

b) Pólos Reais Múltiplos_______________________________________________ II-14II-14

c)

c) Pólos Pólos Complexos Complexos Conjugados Conjugados __________________________________________________________________________________________________ II-15II-15

2.7- SOLUÇÃO DE

2.7- SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENEQUAÇÕES DIFERENCIAIS, LINEARES E INVARIANTES NOCIAIS, LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO ATRAVÉS

TEMPO ATRAVÉS DE T.L.DE T.L. ______________________________________________________________________________________________________ II-16II-16

 CAPÍTULO 3 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS

 CAPÍTULO 3 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS

3.1- INTRODUÇÃO

3.1- INTRODUÇÃO ____________________________________________________________________________________________________________________ III-1III-1

3.2-

3.2- FUNÇÃO FUNÇÃO DE DE TRANSFERÊTRANSFERÊNCIA____________NCIA__________________________________________________________________________ III-1III-1

COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇ

COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊÃO DE TRANSFERÊNCIANCIA ______________________________________________ III-1III-1

3.3- DIAGRA

3.3- DIAGRAMA DE MA DE BLOCOSBLOCOS ________________________________________________________________________________________________ III-2III-2

-

- Blocos e Blocos e FluxFluxo o de de SinSinaisais ______________________________________________________________________________________________________________ III-2III-2

- Ponto de Soma

- Ponto de Soma ____________________________________________________________________________________________________________________________ III-2III-2

- Pontos de Ramificações________________________________________________________

- Pontos de Ramificações________________________________________________________ III-2III-2

3.4- DIAGR

3.4- DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA EM MALHA FECHEMA EM MALHA FECHADAADA __________________ III-3III-3

3.5- SISTEMA

3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES_______PERTURBAÇÕES___________________ III-4III-4

3.6- REGRAS DA

3.6- REGRAS DA ÁLGEBRA DO DÁLGEBRA DO DIAGRAMA DE BLOCOSIAGRAMA DE BLOCOS ____________________________________________ III-5III-5

3.7- GRÁFICOS DE

3.7- GRÁFICOS DE FLUXO DE SINALFLUXO DE SINAL __________________________________________________________________________________ III-6III-6

 DEFINIÇ

 DEFINIÇÕES DOS TERMOS USADÕES DOS TERMOS USADOS EM GRÁF. DE FLUXOS EM GRÁF. DE FLUXO DE SINAISO DE SINAIS ____________________ III-7III-7

 ÁLGEBRA DO GR

 ÁLGEBRA DO GRÁFICO DE FLUÁFICO DE FLUXO DE SINAIXO DE SINAISS__________________________________________________________________ III-7III-7

3.8- FÓRMULA DO

3.8- FÓRMULA DO GANHO DE MASONGANHO DE MASON ______________________________________________________________________________ III-8III-8

3.9- INTRODUÇÃO A TEORIA DE MODELOS DE VARIÁVEIS DE ESTAD

3.9- INTRODUÇÃO A TEORIA DE MODELOS DE VARIÁVEIS DE ESTADOO ______________ III-9III-9

3.10- FORMA PADRÃO DE REPRESENTAÇÃO DO MODELO 3.10- FORMA PADRÃO DE REPRESENTAÇÃO DO MODELO DE VARIÁVEIS DE

DE VARIÁVEIS DE ESTADO DE UM ESTADO DE UM SISTEMA_____________SISTEMA___________________________________________________ III-12III-12

3.11- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS 3.11- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS

(5)

3.12- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA _____________________________________________ III-13

3.13- OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA, A PARTIR DAS EQUAÇÕES DE ESTADO _______________________________________________ III-14

3.14- TRANSFORMAÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO E VARIÁVEIS DE ESTADO III-15

CAPÍTULO 4 - MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS

4.1- INTRODUÇÃO __________________________________________________________ IV-1

4.2- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS ________________ IV-1

- Massa _____________________________________________________________________ IV-1

- Força ______________________________________________________________________ IV-2

- Torque_____________________________________________________________________ IV-2

- Deslocamento, Velocidade e Aceleração __________________________________________ IV-2

- Deslocamento Angular, Velocidade Angular e Aceleração Angular______________________ IV-2

 LEIS DE NEWTON ___________________________________________________________ IV-3

- Segunda lei de Newton (Translação) _____________________________________________ IV-3

- Segunda lei de Newton (Rotação)________________________________________________ IV-3

4.2.1- SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO______________________________ IV-3

- Elemento de Inércia (Massa)____________________________________________________ IV-3

- Elemento de Amortecimento (Amortecedor) _______________________________________ IV-4

- Elemento de Elasticidade (Mola) ________________________________________________ IV-4

4.2.2- SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO _________________________________ IV-6

- Elementos de inércia (Momento de Inércia) ________________________________________ IV-7

- Elemento de Amortecimento (Amortecedor) _______________________________________ IV-7

- Elemento de Elasticidade (Mola) ________________________________________________ IV-7

4.3- MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS ELÉTRICOS _________________ IV-8

4.3.1- CIRCUITO RLC________________________________________________________ IV-8

4.4- SISTEMAS ANÁLOGOS __________________________________________________ IV-9

4.4.1- ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELÉTRICOS E MECÂNICOS_______________ IV-9

a) Analogia Força-Tensão _______________________________________________________ IV-9

b) Analogia Força-Corrente _____________________________________________________ IV-10

(6)

4.5.1- SERVOMOTORES DE CORRENTE CONTÍNUA __________________________ IV-11

4.5.1.1- CONTROLE PELA ARMADURA DE SERVOMOTORES CC ______________ IV-12

4.5.1.2- GERADOR CC ______________________________________________________ IV-16

4.6- TRANSFORMADORES E ENGRENAGENS ________________________________ IV-17

4.7- LINEARIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS NÃO-LINEARES _________ IV-18

CAPÍTULO 5 - AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE E CONTROLADORES

AUTOMÁTICOS INDUSTRIAIS

5.1- AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE _________________________________________ V-1

5.1.1- AÇÃO DE CONTROLE ON-OFF OU DE DUAS POSIÇÕES ___________________ V-1

5.1.2- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL__________________________________ V-2

5.1.3- AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL _______________________________________ V-2

5.1.4- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL ______________________ V-3

5.1.5- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVO ____________________ V-4

5.1.6- AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO_________ V-4

5.2- CONTROLE PROPORCIONAL APLICADO A UM SISTEMA DE 1aORDEM _____V-5 5.2.1- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL ________________ V-6

5.2.2- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-DERIVATIVO___ V-6

5.2.3- IMPLEMENTAÇÃO DO CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL _____ V-7

5.3- EFEITOS DAS AÇÕES DE CONTROLE INTEGRAL E DERIVATIVA NO DESEMPENHO DO SISTEMA _________________________________________________ V-8

5.3.1- AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL _______________________________________ V-8

5.3.2- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE PROPORCIONAL A

PERTURBAÇÃO _____________________________________________________________ V-9

5.3.3- RESPOSTA DE UM SISTEMA COM CONTROLE “P-I” A PERTUBAÇÕES ____ V-9

CAPÍTULO 6 - ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA, DO ERRO DE

REGIME PERMANENTE E DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS

(7)

6.2- SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM________________________________________ VI-1

a) Resposta ao degrau __________________________________________________________ VI-1

b) Resposta a Rampa Unitária ____________________________________________________ VI-2

6.3- SISTEMAS DE 2aORDEM ________________________________________________ VI-3 a) Pólos Reais ________________________________________________________________ VI-3

b) Pólos Complexos____________________________________________________________ VI-3

1o Caso: SISTEMA SUBAMORTECIDO __________________________________________ VI-3

2oCaso: SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO _______________________________ VI-4

3oCaso: SISTEMA SUPERAMORTECIDO ________________________________________ VI-5

6.3.1- ESPECIFICAÇÕES DO TEMPO DE RESPOSTA ___________________________ VI-6

- Tempo de Subida “tr” _________________________________________________________ VI-6

- Tempo de Pico “tp”___________________________________________________________ VI-6

- Tempo de Acomodação “ts” ____________________________________________________ VI-6

- Overshoot Máximo “Mp” ______________________________________________________ VI-6

6.4- SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR / RESPOSTA TRANSITÓRIA _____________ VI-8

6.5 - ERRO DE REGIME PERMANENTE PARA UM SISTEMA DE 2a ORDEM ASSOCIADA A UM COMPENSADOR PROPORCIONAL _______________________________________ VI-9

6.6- CONTROLADOR “P-D” APLICADO A UM SISTEMA DE 2aORDEM _________ VI-10

6.7- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ_____________________ VI-11

6.8- ERROS EM REGIME PERMANENTE_____________________________________ VI-12

6.8.1- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO DEGRAU UNITÁRIO _____________ VI-13

6.8.2- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO RAMPA UNITÁRIA_______________ VI-13

6.8.3- ERRO PARA UMA ENTRADA DO TIPO PARÁBOLA _____________________ VI-14

QUADRO RESUMO _________________________________________________________ VI-15

 CAPÍTULO 7 - ANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES

7.1- INTRODUÇÃO _________________________________________________________ VII-1

7.2- MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES ______________________________________ VII-1

7.2.1- PRINCÍPIOS BÁSICOS DO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES____________ VII-1

(8)

7.3- REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DOS LUGARES ___________________ VII-5

CAPÍTULO 8- ANÁLISE DO MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

8.1- INTRODUÇÃO _________________________________________________________ VIII-1

8.2- PRINCÍPIO BÁSICO ____________________________________________________ VIII-1

8.3- DIAGRAMA DE BODE __________________________________________________ VIII-4

8.3.1- GANHO CONSTANTE “K” _____________________________________________ VIII-5

8.3.2 - PÓLOS E ZEROS NA ORIGEM_________________________________________ VIII-5

8.3.3- PÓLOS E ZEROS REAIS E DIFERENTES DE ZERO_______________________ VIII-6

8.3.4- PÓLOS E ZEROS COMPLEXOS ________________________________________ VIII-7

8.4- CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST _____________________________ VIII-9

Teorema de Cauchy: _________________________________________________________ VIII-10

8.4.1- VANTAGEM DO CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST SOBRE O

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ _______________________ VIII-11

8.4.2- APLICAÇÕES DO CRITÉRIO DE NYQUIST ____________________________ VIII-11

8.5- ESTABILIDADE RELATIVA E DIAGRAMA DE BODE_____________________ VIII-12

Margem de Ganho: __________________________________________________________ VIII-12

Margem de Fase: ____________________________________________________________ VIII-12

(9)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica  Apostila de Sistemas de Controle I 

I-1

“ GENERALIDADES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLE ” 

1.1- INTRODUÇÃO

Embora muitas vezes não percebemos, todos os dias participamos ativa ou passivamente de diversos sistemas de controle. Sempre que o ser humano participa de um determinado processo com a função de monitorá-lo, está participando do fechamento de uma malha. Como exemplos de sistemas de controle, pode-se citar:

- Ato de guiar um automóvel (malha fechada); - Ato de utilizar um liqüidificador (malha fechada); - Ato de utilizar um máquina de lavar (malha aberta); - Ato de utilizar um microondas (malha aberta).

Atualmente os sistemas de controle têm assumido um papel progressivamente importante no desenvolvimento da civilização moderna. Praticamente todos aspectos de nossa atividade diária são afetados por algum tipo de sistema de controle. A busca da qualidade, eficiência e precisão, praticamente exige a presença de sistemas de controle em malha fechada sem a presença do operador humano, isto é, CONTROLE AUTOMÁTICO.

O primeiro dispositivo que utilizava controle em malha fechada que se tem notícia, é o relógio de água inventado dois séculos antes de cristo.

O tempo era medido pelo volume de água acumulada no reservatório inferior, o qual recebia os pingos de água com uma vazão constante de um reservatório para o outro. Isto era conseguido, graças a válvula flutuante do primeiro reservatório que possuía a função de garantir sempre o mesmo nível de água no primeiro reservatório. Esta válvula apresentava as funções de sensor e atuador do sistema.

1.2- DEFINIÇÕES BÁSICAS

A seguir são introduzidas as definições básicas a respeito das denominações utilizadas na teoria de controle.

- Planta:

A planta de um sistema de controle é definida como sendo a parte do sistema a ser controlada. Ex: reator químico, caldeira, gerador, etc.

- Processo:

O processo é definido como sendo a operação a ser controlada na planta. Ex: processo químico, físico, biológico, etc.

(10)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica  Apostila de Sistemas de Controle I 

I-2

- Perturbações:

São sinais que tendem a afetar o valor da saída de um sistema. Se a perturbação é gerada dentro do sistema, ela é denominada interna. Caso contrário, é considerada como um sinal de entrada do sistema.

- Controle Realimentado:

É a operação que na presença de perturbações externas, tende a reduzir a diferença entre a saída do sistema e a entrada de referência.

- Sistema de Controle Realimentado:

É um sistema que tende a manter uma relação preestabelecida entre o sinal de saída e a entrada de referência, comparando-as e utilizando a diferença entre estes sinais como um meio de controle do sinal de saída.

Ex: sistema de controle de temperatura de uma sala. Pela comparação da temperatura da sala (saída) com a temperatura desejada (entrada), um termostato abre ou fecha, com o objetivo de

igualar os sinais.

Outro exemplo é o controle de velocidade de um automóvel pelo motorista. Para que o automóvel não ultrapasse uma velocidade predefinida, o motorista deve comparar continuamente a velocidade do veículo (saída) com a velocidade estabelecida (entrada).

- Servo Mecanismo:

É um sistema de controle realimentado no qual a saída do sistema é uma posição mecânica, velocidade ou aceleração.

- Sistema Regulador Automático:

É um sistema de controle cujas saída e entrada de referência são constantes, ou variam lentamente, e o objetivo do sistema é manter a saída em um valor desejado mesmo na presença de perturbações. Ex: controle de pressão e temperatura em um processo químico.

1.2.1- CONTROLE EM MALHA-FECHADA E MALHA-ABERTA

O controle em malha fechada  é o mesmo que controle realimentado. A diferença entre o

sinal de entrada (referência) e o sinal de saída realimentado, chamado de sinal de erro, é introduzido

no controlador que atua na planta ou no processo de forma a reduzir o erro e manter a saída em um valor desejado.

Conforme já foi mencionado anteriormente, existem dois tipos de controle em malha fechada (realimentado), definidos como controle manual e controle automático. No controle automático, o

operador é substituído por dispositivos que desempenham as suas funções de formas mais eficientes e precisas.

Já nos sistemas decontrole em malha aberta, a saída não tem efeito na ação de controle, isto

é, a saída não é medida nem realimentada para comparação com a entrada. Para cada entrada de referência haverá uma condição preestabelecida de operação. Qualquer sistema que opere em uma base de tempo é um sistema em malha aberta.

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Projeto Reenge - Eng. Elétrica  Apostila de Sistemas de Controle I 

I-3

Nem sempre, os sistemas em malha fechada são aconselháveis. Nos sistemas em que as entradas são conhecidas e não estão sujeitas a perturbações, a operação em malha aberta deve ser preferida. Entretanto, quando o sistema estiver sujeito a perturbações e variações imprevisíveis deve-se preferir a operação em malha fechada. Porém, estes sistemas devem deve-ser analisados e projetados com bastante cuidado, visto que outros problemas podem ser gerados como por exemplo, instabilidade e oscilações.

1.3- CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE

- Sistemas de Controle Linear e Não-Linear

Praticamente todos os sistemas físicos existentes na prática são não-lineares. Entretanto, quando os módulos dos sinais dos sistemas de controle são limitados a uma certa faixa de valores, na qual os componentes do sistema exibem características lineares, o sistema é dito linear . Quando os

módulos dos sinais se estendem fora da faixa linear de operação, o sistema deverá ser considerado como não-linear .

No geral o sistema é dito linear, quando o princípio da superposição pode ser aplicado.

- Sistemas de Controle Invariante no tempo e Variante no tempo

Um sistema de controle é dito invariante no tempo quando seus parâmetros são estacionários

com relação ao tempo, isto é, não variam com o tempo. A resposta do sistema independe do instante de tempo no qual a entrada é aplicada.

Por outro lado, um sistema de controle é dito variante no tempo, quando um ou mais

parâmetros variam com o tempo e a resposta do sistema depende do instante de tempo no qual a entrada é aplicada. Um exemplo de um sistema de controle variante no tempo é o controle de um míssil teleguiado, no qual a massa do mesmo diminui com o tempo, já que combustível é consumido durante o vôo.

- Sistemas de Controle Contínuos e Discretos

Um sistema é dito contínuo, quando todas as variáveis do sistema são conhecidas em todos

os instantes de tempo.

Um sistema é dito discreto, quando pelo menos uma variável do sistema só é conhecida em

alguns instantes de tempo.

- Sistemas de Controle “uma entrada - uma saída” e “várias entradas - várias saídas” 

Um exemplo claro de um sistema “uma entrada - uma saída” é o sistema de controle de

velocidade de um motor elétrico, onde a entrada é a velocidade desejada e a saída é a velocidade atual.

Como exemplo de sistemas “várias entradas - várias saídas” pode-se citar o controle de

pressão e temperatura de um caldeira, que apresenta duas grandezas de entrada e de saída (pressão e temperatura).

- Sistemas de Controle Clássico e Sistemas de Controle Moderno

A teoria de controle clássico  utiliza exaustivamente o conceito de função de transferência,

onde a análise e o projeto de um sistema são feitos no domínio de freqüência, isto é, no domínio “S”. Esta teoria fornece resultados satisfatórios somente para sistemas do tipo “uma entrada - uma saída”.

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Projeto Reenge - Eng. Elétrica  Apostila de Sistemas de Controle I 

I-4

A teoria de controle moderno  é baseado na abordagem de espaço de estado, que utiliza

exaustivamente os conceitos de matriz de transferência e a análise e o projeto de um sistema são feitos no domínio do tempo.

1.4- COMENTÁRIOS A RESPEITO DO CONTROLE DE UM SISTEMA

- Requisitos de um Sistema de Controle

A exigência fundamental de um sistema de controle é ser estável ,  isto é, apresentar estabilidade absoluta. Deve também, apresentar um boa estabilidade relativa, isto é, a velocidade

de resposta deve ser rápida e esta resposta deve apresentar um bom amortecimento. O sistema de controle deve ser capaz de reduzir os erros para zero ou para algum valor pequeno tolerável.

As exigências de uma ótima estabilidade relativa e erro zero em regime, muitas vezes são incompatíveis. Deve-se portanto buscar um ponto ótimo entre estas exigências.

- Modelagem Matemática

Os componentes e dispositivos presentes nos mais diversos sistemas de controle são geralmente de natureza totalmente distintas, como por exemplo, eletromecânicos, hidráulicos, pneumáticos, eletrônicos, etc. Para que haja uma uniformidade na análise estes componentes e/ou dispositivos são substituídos pelos seus modelos matemáticos.

Um dos primeiros problemas que nos deparamos quando vamos projetar um sistema de controle, é na obtenção de modelos matemáticos precisos para os dispositivos físicos. Estes modelos devem representar os aspectos essenciais destes dispositivos.

A análise do desempenho do sistema baseado no seu modelo matemático deve ser razoavelmente precisa. Sistemas aparentemente diferentes podem ser descritos pelo mesmo modelo matemático. É baseado neste fato que a teoria de sistemas de controle é uma abordagem única e interdisciplinar.

Devido a facilidade de se manipular e analisar os sistemas lineares, muitos dispositivos em que a relação entre entrada-saída não são lineares, normalmente são linearizados em torno do ponto de operação através das técnicas disponíveis.

- Análise, Projeto e Síntese de um Sistema de Controle

 A análise de um sistema de controle significa a investigação do desempenho do sistema, cujo

modelo matemático é conhecido sob certas condições especificadas. Esta, deve começar pela descrição matemática de cada dispositivo que o compõe. Uma vez que o modelo matemático do sistema é obtido, a análise do mesmo independe de sua natureza física (eletrônico, pneumático, etc.).

No geral, a análise de um sistema é feita sob dois aspectos: análise da resposta transitória e análise de regime permanente.

Projetar um sistema, significa determiná-lo de modo a desempenhar uma dada tarefa. Se as

características da resposta transitória e do regime permanente não forem satisfatórias, deve-se adicionar um componente ao sistema, com o objetivo de compensar o desempenho indesejado do mesmo. Este componente adicional é conhecido como compensador . Em geral o projeto de um

compensador, na teoria de controle clássico, é baseado nos métodos da resposta em freqüência e/ou do lugar das raízes.

Síntese de um sistema, é a sua determinação através de um procedimento direto que faça com

que funcione com uma característica específica. Geralmente, este procedimento é puramente matemático.

Atualmente, os computadores têm tido um papel importante na análise, projeto e operação de sistema de controle, tanto na parte de simulação do sistema e projeto orientado, como também fazendo parte do sistema atuando como um controlador digital.

(13)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica  Apostila de Sistemas de Controle I 

I-5

Geralmente o projeto de um sistema de controle envolve métodos de tentativa e erro. Isto se deve principalmente, as não-linearidades do sistema e também as imprevisões e simplificações adotadas na determinação dos modelos característicos dos dispositivos do sistema.

Na prática, o projetista de posse da planta a ser controlada, projeta o resto do sistema para que atenda as especificações solicitadas, como por exemplo, Amortecimento, Precisão em Regime Permanente, Confiabilidade e Custo.

As especificações podem ser solicitadas explicitamente ou não. Caso sejam solicitadas, o projetista deve, dentro do possível, obtê-las. Caso contrário, deve obter as especificações que julgar conveniente. As especificações devem ser analisadas em termos matemáticos. Deve-se salientar, que as especificações devem ser realísticas.

- Metodologia de projeto

De posse da planta a ser controlada, deve-se escolher qual o melhor sensor e atuador a ser utilizado. Após, deve-se obter os modelos matemáticos da planta , sensor e atuador. A seguir, define-se o modelos matemático do controlador, para que o sistema em malha fechada satisfaça as especificações do projeto.

Uma vez que o projetista tenha em mãos o modelo matemático completo do sistema, deve simulá-lo para avaliar o seu desempenho em relação a variações do sinal de entrada e também na presença perturbações. Nesta fase é que devem ser feitos os ajustes no sistema, para que a resposta do mesmo atenda as especificações solicitadas.

Após, deve-se construir o protótipo físico do sistema, para que o mesmo seja testado e para que sejam feitos os ajustes práticos.

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Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-1

“REVISÃO MATEMÁTICA” 

2.1- INTRODUÇÃO

Este capítulo tem por objetivo revisar alguns fundamentos matemáticos necessários para o estudo da teoria de controle.

Inicialmente, defini-se o que vem a ser uma variável complexa e uma função complexa. Após, revisa-se os teoremas de Euler. Por fim revisa-se os conceitos relativos a Transformação de Laplace.

O domínio da Transformação de Laplace é fundamental para o entendimento da teoria de Controle Clássico.

2.2- DEFINIÇÃO DE VARIÁVEL COMPLEXA E FUNÇÃO COMPLEXA

- Variável Complexa

É um número complexo, cujas partes real e ou imaginária são variáveis. A variável complexa “S” é expressa em coordenadas retangulares, como mostrado a seguir:

S1

= +

τ

1 j

ω

1 Onde:

τ =

Re( )s

ω =

Im( )s

- Função Complexa

Uma função complexa F(s), é uma função de “S” com parte real e imaginária; podendo ser expressa como:

F(s) = Fx + jFy Onde: Fx e Fy são reais

Ex:

VARIÁVEL COMPLEXA FUNÇÃO COMPLEXA

Plano “S” Plano F(s) F s F F tg Fy F X Y X ( ) = 2 2 1

+

=

θ

O conjugado da função Complexa F(s) é :

2.3- FUNÇÕES ANALÍTICAS

F s Fx jFy( )

= −

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Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-2

Uma função é dita Analítica, quando ela e suas derivadas são definidas para um dado valor de “S” ou um dado ponto no plano “S”.

Quando a função F(s) ou suas derivadas tendem ao infinito para um dado valor de “S”, diz-se que a função não é analítica para aquele ponto.

Seja a seguinte função F(s): F s( )

=

(S

+

11)

A derivada desta função em relação a “S”, é dada por: d dSF s( )

=

(S )

+

1 1 2

Tanto a função F(s), como sua derivada, são definidas para todos os pontos do plano “S”, exceto para o ponto S

= −

1. Neste ponto, F(s) e sua derivada se aproximam do infinito. Portanto, a função F(s) é Analítica em todo o Plano “S”, exceto no Ponto S

= −

1.

Os pontos no plano “S”, onde a função F(s) é analítica são chamados PONTOS ORDINÁRIOS,

enquanto que os pontos onde F(s) não é analítica, são chamados PONTOS SINGULARES. Os pontos

singulares são também chamados de PÓLOS DA FUNÇÃO (S

= −

1 é um pólo da função F(s)).

Seja uma função F(s) qualquer. Se F(s) tende a infinito quando S

= −

p e se a função F s s p( ).(

+

)n onde n = 1, 2, 3..., é um valor finito não nulo para o ponto S

= −

p, então: S

= −

p é

chamado de PÓLO DE ORDEM “n”.

- Se n

=

 1

 Pólo simples; - Se n

=

 2

 Pólo de 2aordem; - Se n

=

 3

 Pólo de 3aordem.

Os valores de “S” em que a função F(s) é igual a zero, são chamados de ZEROS DAFUNÇÃO.

Ex: F(s) K(S )(S ) S(S )(S )(S )

=

+

+

+

+

+

2 10 1 5 15 2

Esta função tem zeros em S

= −

2 e S

= −

10 e pólos simples em: S

=

 0, S

= −

1 e S

= −

5 e um pólo de 2a ordem em S

= −

15. Caso S

→ ∞

, G s K s S ( ) →∞

=

3 e G s

S→∞( )

=

0. Portanto, se forem considerados pontos no infinito, a função passa a ter 5 zeros sendo um de 3a ordem, em S

= ∞

.

2.4- TEOREMA DE EULER

O teorema de Euler, é definido por:

e jθ

=

cos

θ

+

jsen

θ

Pelo uso deste teorema, podemos expressar funções em seno e co-seno, na forma de uma função exponencial.

(16)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-3

Utilizando-se o teorema de Euler, pode-se definir as seguintes expressões para o sen

θ

 e para o cos

θ

.

(

)

cos

θ

=

1 θ

+

− θ 2 e e  j j sen

θ

=

1 ( θ

− θ) 2  j e e  j j

2.5- TRANSFORMADA DE LAPLACE - T.L.

A transformada de laplace, é a ferramenta matemática utilizada para converter um sinal do domínio de tempo em um função de variáveis complexas. Diversas funções, como por exemplo fun-ções senoidais, exponenciais, etc.., podem ser convertidas para funfun-ções algébricas da variável com-plexa “S”.

O uso do método de transformada de laplace, simplifica os cálculos para a obtenção da res-posta do sistema.

Operações complicadas no domínio de tempo, como por exemplo integração e diferenciação, são substituídas por operações algébricas básicas no domínio da freqüência (plano complexo). Uma vez resolvida a expressão algébrica no domínio “S”, a resposta da equação diferencial no domínio de tempo é obtida através do uso das tabelas de transformadas de laplace ou pelas técnicas de expansão em frações parciais.

A transformada de laplace, caracteriza completamente a resposta exponencial de uma função linear invariante no tempo.

Esta transformação é gerada através do processo de multiplicação de um sinal linear f(t) pelo sinal “e-St” e integrando-se este produto, no intervalo de tempo compreendido entre (0,

+∞

).

Sejam as seguintes definições:

f(t)

É uma função no domínio de tempo Linear e Invariante no tempo, tal que f(t)

=

 0 para t < 0.

S

 Variável Complexa.

Operador transformada de laplace. Indica que a função temporal f(t) associa-da, será transformada pela integral de Laplace:

∫ 

+∞e−STdt

0 .

F(s)

 Transformada de laplace da função f(t).

{ }

f t( )

=

F s( )

=

∫ 

∞e− STdt f t{ ( )}

=

∫ 

∞f t e( ) −STdt

0 0

Obs:

Não esquecer que S

= +

τ

j

ω

.

Se as funções f(t), f 1(t) e f 2(t) apresentam T.L., então:

{ } { }

*

( ) . f t( )

*

{

}

{ }

{

}

*

f t2( )

*

2.5.1- OBTENÇÃO DA TRANSF. DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES

 a) Função Exponencial 

para t

<

 0

para t

 0 A,

α →

 são constantes. f t f t A e T ( ) ( ) .

=

=

− 0 α      A f t

=

A   f t1 f t2  f t   1 ( )

+

( )

=

( )

+

(17)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-4

{ } { } ( ) A e t = e-st. . .dt A e-α t = A e

∫ 

∞ - +S α t.dt 0 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

A e A S e A S e e t S t S S . - = . - + . - + - + - +

=

- + -α α α α

α

α

∞ ∞ ∞ 0

 b) Função Degrau

para t

<

 0 para t

 0 { A.

µ

( )t } A.

µ

( ).t e dt A. ( )

µ

t . ( . . ) S e A S e e St St S S

=

=

=

− − ∞ ∞ − ∞

∫ 

0 0 0 { A t } A S . ( )

µ

=

 c) Função Rampa

para t

<

 0 para t

 0 { A.t}

=

A.

∫ 

∞t e dt. −St 0

Utilizando a definição de Integração por partes tem-se:

0t

µ ϑ µϑ

 .d

=

0t

∫ 

0t

ϑ µ

.d Seja:

µ

= →

t d

µ

=

dt e d

ϑ =

e dt−St

⇒ ϑ

 = e S St −

A t e dt A t e S e S dt St St St . . − . . . . − − ∞

=

∫ 

∫ 

0 0 0 { A t} A S e S A S S St .

=

. .

 =

− ∞ 0 1 { A t} A S .

=

2

 d) Função Senoidal 

para t

<

 0 para t

 0 Utilizando o teorema de Euler, tem-se:

( ) ( ) sen

θ

=

1 . θ

− θ

sen

ω

=

ω

− ω 2 1 2  j e e t  j e e  j j j t j t { A e } A S t . - = + α

α

f t f t A t ( ) ( ) . ( )

=

=

0

µ

f t f t A t ( ) ( ) .

=

=

0 f t f t A t ( ) ( ) .sen

=

=

0

ω

1 0 0 1 0  f t( ) =  . −α

∞ 0              

(18)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-5

{ f t( )}

=

∫ 

∞A.sen .t e dt−St 0

ω

{ f t } A

(

)

 j e e e dt  j t j t St ( )

=

− . − .

∫ 

0 2 ω ω { f t } A ( ) ( )  j e dt A  j e dt S j t S j t ( )

=

∞ . − − .

∞ . − + .

0 2

∫ 

0 2 ω ω { } ( ) ( ) ( ) ( )

{

}

f t A  j e S j e S j S j t S j t ( )

=

.

− −

− +

− − ∞ − + ∞ 2 0 0 ω ω

ω

ω

{ f t } A  j S j S j A  j  j S ( )

=

. .

+

 

 

 

 

 =

+

2 1 1 2 2 2 2

ω

ω

ω

ω

{ A sen t} A S .

ω

.

ω

ω

=

+

2 2

e) Função Co-senoidal 

para t

<

 0 para t

 0 { f t( )}

=

∞ A

(

e j t

+

e−j t

)

.e−St.dt

∫ 

0 2 ω ω { f t( )}

=

∞ A e− −(S j )t.dt

+

∞ Ae− +(S j )t.dt

0 2

∫ 

0 2 ω ω { } ( ) ( ) ( ) ( ) A e S j e S j S j t S j t

=

− −

+

− +

− − ∞ − + ∞ 2 0 0 ω ω

ω

ω

{ f t } A S j S j A S S ( )

=

+

+

=

+

 

 

 

  

2 1 1 2 2 2 2

ω

ω

ω

{ A t} A S S .cos

ω

.

ω

=

+

2 2

Embora o procedimento para a obtenção da transformada de laplace de funções temporais seja simples, existem tabelas prontas para as funções que freqüentemente aparecem na análise de sistemas de controle.

Ex:

Dada a função f(t) abaixo, obtenha a T.L. da mesma. f t f t A ( ) ( ) .co

=

=

0

(

)

cos

ω

t

=

1 e j tω

+

e−j tω 2                   f t( ) t s

ω

   

(19)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-6

( ) ( ) f t

=

5. .

µ

t

+

3.e−2t ( )

{ }

{

( )

}

{

e−2t

}

( )

{

}

a t S ) 5. .

µ

=

5 b

{

e

}

S t ) 3. 3 2 2 −

=

+

( )

{ }

f t S S

= +

+

5 3 2

{ }

f t( ) ( ) S S S

=

+

+

8 10 2

2.5.2- TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

 a) Função Transladada

Sejam as funções f(t) e f(t -

α

), mostradas a seguir:

Sabendo-se que “

µ

(t)” é a função Degrau unitário, podemos escrever as funções f(t) e f(t-

α

) como:

f(t) = f(t).

µ

(t) e f(t-

α

) = f(t-

α

).

µ

.(t-

α

) A transformada da função f(t-

α

).

µ

.(t-

α

) é dada por:

( ) ( )

{

f t

t

− =

}

∞f t( ) ( )

t

e−st dt

∫ 

α µ α

.

α µ α

. . .

0

Chamando t

 − =

α

τ

, tem-se: d

τ

 =

dt, já que

α

 é uma constante. ( ) ( )

{

f

τ τ

.

µ

}

=

∫ 

αf( ) ( )

τ τ

.

µ

.e− +s( τ α)d

τ

Como a função só é válida para t >

α

, então quando substituí-se t

 − →

α

τ

, deve-se trocar o limite inferior da integral 0

→ − α

. Porém, quando t

= +α

,

τ

 =

0.

Portanto: ( ) ( )

{

f

τ τ

.

µ

}

=

∞f( ) ( )

τ τ

.

µ

.e− +s( τ α).d

τ

∫ 

0 ( ) ( )

{

f

τ τ

.

µ

}

=

∞f( )

τ

.e− sτ .e−sα.d

τ

∫ 

0 1  f t

=

 5. .

µ

t

+

  3.                

(20)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-7

( ) ( )

{

f

τ τ

.

µ

}

=

e−sα ∞f( )

τ τ

.e− sτ .d

=

e−sα. ( )F s

∫ 

0 ( ) ( )

{

f t

α µ

. t

α

}

=

e−sα. ( )F s Caso particular:

α =

 0

{ f t( ) ( ).

µ

t }

=

F s( )

Comparando-se as expressões acima, concluí-se que transladar no tempo uma função f(t) qualquer, significa multiplicar a transformada de laplace de f(t), F(s), por e-Sα onde

α

, significa a translação sofrida por f(t).

 b) Função Pulso

f(t) = A 0 < t < t0 f(t) = 0 t < 0 e t > t0 f(t) = A.

µ

(t) - A.

µ

(t - t0)

µ

(t) = 1(t) e

µ

(t - t0) = 1(t - t0) { } ( )

(

A. .1(t t

)0

)

( A t ) A S . ( )1

=

e

(

A ( t t )

)

A S e S t . .1 . . 0 0

=

{ f t } A

(

)

S e S t ( )

=

1

− .0

 c) Função Impulso

A Função Impulso é um caso especial da função pulso, onde o período de duração do impul-so tende a zero(t0), e a amplitude tende a infinito At

0

      

 

 . Se f(t) é a função impulso, a sua transformada será: { }

(

e S t.

)

− 0 { }

(

(

)

)

d A e d d t t S A S S A S t . . . .

=

=

− 0 1 0 0

Esta função é chamada de FUNÇÃOIMPULSO UNITÁRIO ou FUNÇÃO DELTA DE DIRAC, se A

=

1.        f t( )

=

 A. .( )1 t

         f t      A t S t ( ) .

=

→ 0 0 0 1  f t      d t t ( )

=

. . → 0 0 0

(21)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-8

 d) Multiplicação de f(t) por e

- α  t

{

e t f t

}

=

e t f t est dt

=

f t e− +( S )t dt

∫ 

α . ( ) α . ( ). . ( ) α . . 0 0

{

e− t f t

}

=

t e− +( S )t dt

=

F S(

+

)

∫ 

α . ( ) ( ). α .

α

0 Ex: Seja: f(t)

=

 sen

ω

t ( ) F s S ( )

 =

+

ω

ω

2 2 Portanto: f 1(t)

=

e−αt.sen

ω

t ( ) ( ) F S S

+ =

+

+

α

ω

α

2

ω

2

e) Mudança de escala de tempo

Se o tempo t é modificado para αt , a função f(t) é alterada para f 

( )

α

t . Seja a seguinte

trans-formação de Laplace.

( )

{ }

f t

( )

t e St dt α

=

α ∞

∫ 

 f  0 . .

Seja α =t t1 e

α

S S

=

1, onde

α

 é uma constante. Desta forma:

( )

{ }

f t t e S t d t α

=

α

∫ 

 f  0 1 1 1 1 ( ). . . ( . )

( )

{ }

f t ( )t e S t dt F S α

=

α

=

α

∫ 

 f  0 1 1 1 1 1 . . . . ( )

( )

{ }

f αt

=

α α

.F S( ) Ex: Seja f(t) = e-t e f

( )

t e t 5

=

−0 2, { }

{ }

( )

S t . 5 5 1 5 = +

 f) Demonstração do teorema da diferenciação

Seja a T.L. da derivada primeira da função f(t):

δ

(t) ou

δ

(t-t0)              f t   S ( )

=

;

+

1 1

(22)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-9

d dt. ( )f t S F s. ( ) f  ( )

 =

0

Seja também, a função f(t).

{ f t( )}

=

∞f t e( ). −St.dt

=

F s( )

∫ 

0

Integrando-se por partes a expressão acima, temos:

µ ϑ µϑ

d

ϑ µ

d t t t 0 0 0

=

∫ 

F s f t e S e S d f t dt dt St St ( )

=

( ). . . ( ).

 

 

 

  

∫ 

0 0 F s f t e S d dt f t e S dt St St ( )

=

( ). . ( ) . .

 

 

 

   −

∫ 

0 0 F s f  S S d dt f t ( )

=

( )0

+

1.

 

 

. ( )

 

  

d dt. ( )f t S F s. ( ) f  ( )

 

 

 

  

=

0

Para a derivada segunda, temos: d dt f t S F s Sf f   2 2 2 0 0 . ( ) ( ) ( ) ,( )

=

( ) Seja: g t d dt f t

=

. ( ) Portanto: d d dt g t 2 . ( )

{ } d dt. ( )f t

;

g dt f f  ( )0

=

( )0

=

,( )0 d d dt f t f  2 0 . ( ) ,( )

{ } d dt f t S S F s f f   2 2 . ( ) . . ( ) ( )0 0 , ( )

=

f t d df t d e dt e S St St ( )

=

=

( )

=

= −

µ

µ

ϑ

ϑ

             dt2 . ( )f t

=

    d dt. ( )g t S G s. ( ) g( ) G s( ) g t( )

=

0

=

=

d    dt2 . ( )f t S.

=

 

(23)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-10

d dt f t S F s S f f   2 2 2 0 0 . ( ) . ( ) . ( ) ,( )

=

 g) Teorema do Valor Final 

Este teorema, permite que se conheça o valor da função f(t) no tempo t

= ∞

, através da fun-ção F(s), isto é, o comportamento de f(t) em regime permanente é igual ao comportamento de S.F(s) na vizinhança de S

=

 0.

Entretanto, este teorema só é aplicável se e somente se: “

t f t( )” existir.

O

t→∞f t( ) existe, se todos os pólos de S.F(s) estiverem no semi-plano esquerdo do plano S. Se “S.F(s)” tiver pólos no eixo imaginário ou no semi-plano direto, a função f(t) será oscila-tória ou crescerá exponencialmente. Portanto o f t( ) não existirá.

 Um exemplo, bastante elucidativo deste fato, são as funções sen

ω

t e cos

ω

t, onde S.F(s) apresenta pólos em S

= ±

 j

ω

.

O Teorema do Valor Final, diz que: se f(t) e d

dt f t( )  são transformáveis segundo Laplace, se o “

t→∞f t( )” existe e F(s) é a T.L. de f(t), então:

t→∞ S→0

PROVA:

Seja a seguinte T.L. da função g t( )

=

dtd f t( ): d dt f t g t e dt d dt f t e dt St St . ( ) ( ). . ( ) . .

 =

=  

 

 

− ∞ ∞

0

∫ 

0

Se “S” tender a zero, resulta:

S S d ∞ Portanto: S St d dt f t e dt d dt f t dt f t → − ∞

 

∞ ∞

 

 

=

=

∫ 

0 0 . ( ) . 1 0 . ( ). ( )0 S St d dt f t e dt f f   − ∞

 

= ∞ −

∫ 

0 0 . ( ) . ( ) ( )0 “1”

Por outro lado:

{ S S d       →∞         t→∞        f t( )

=

    S F s. ( )           St St dt f t e dt e → − → −

 

 

 

=

∫ 

0 0 . ( )  onde: 0. 1         →         St dt f t e dt S F s f   → − ∞ →

 

  

=

∫ 

0 0 . ( ) . 0 . ( ) ( )0 S S d f   → ∞ 0 ( )0 “2”         St dt f t e dt S F s − →

 

 

 

  

=

∫ 

0 . ( ) . 0 . ( )

(24)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-11

“1”

=

“2”

f f t S F s t S ( )

∞ =

( )

=

. . ( ) → 0 →0 “3” Ex: Seja a seguinte T.L.: F(s) = 1 1 S S(

+

) Qual é o valor de t             f t →∞ ( )?

A função S.F(s), apresenta um pólo no semi-plano esquerdo do plano “S” e portanto,

t f t( ) existe. Então, utilizando a expressão “3” , acima resulta:

t S S

=

1

Este resultado, pode ser verificado aplicando-se transformação inversa de Laplace, onde:

 h) Teorema do Valor Inicial 

Ao contrário do teorema do valor final, este não apresenta limitações quanto a posição dos pólos de S.F(s). Através deste teorema, é possível que se conheça o valor de uma função f(t) no ins-tante t

=

 0+, diretamente da T.L. de f(t).

Se a função f(t) e df t dt

( )

 são transformáveis por Laplace e se

s S F s. ( )  existe, então: f S F s s ( )0+ . ( ) →∞

=

PROVA: Seja a função g(t) = d dt. ( ) e:f t { } + ∞                  ∞

=

+

=

∫ 

+ g t g t e dt d dt f t e dt St St ( ) ( ). . ( ) . 0 0 { }

{

}

S S S     →∞            →∞. ( )f t

=

→0. . ( )S F s

=

→0S

+

1 1     →∞                   St g t d dt f t e dt S F s f   →∞ + →∞                  ∞ →∞ +

=

∫ 

+

=

=

( ) . ( ) . . . ( ) ( ) 0 0 0

{

}

S     S F s f   →∞ +

=

. ( ) ( )0 0

f S F s S ( )0+ . ( ) →∞

=

2.6- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

{ }

−1

É o processo inverso da transformação de Laplace, isto é, a partir de uma expressão no do-mínio “S” encontra-se a expressão no dodo-mínio de tempo correspondente.

{ } − − ∞ +

=

=

∫ 

1 1 2 F s f t  j c j F s e dS c j St ( ) ( ) ( ).

π

ω f(t) = 1 - e-t e t             f t →∞ ( )

=

 1

(25)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-12

Embora o procedimento matemático que permite encontrar a transformada inversa de Lapla-ce seja um pouco complicado, esta pode ser encontrada através do uso das tabelas de transforma-das de Laplace. Porém, isto requer que a função F(s) esteja na tabela. Muitas vezes isto não aconte-ce, fazendo com que seja necessário expandir F(s) em frações parciais, tornando a função F(s) for-mada por termos simples e conhecidos.

2.6.1- MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

Geralmente na análise de sistemas de controle, a função F(s) aparece na seguinte forma:

F s B s A s ( ) ( )

( )

=

Onde: A(s), B(s)

- São polinômios em “S”;

- O grau de B(s) é sempre menor que A(s) ;

Se F(s) é expandido em partes, então:

( )   ( ) ( ) ( ) F s F s F s F s F s F s F s F s f t f t f t f t n n n ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

= + + +

=

+

+

+

= + +

+

− − − − 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2

Porém para que possamos aplicar este método numa função do tipo F s B s A s ( ) ( )

( )

=

, é necessário que o grau do polinômio B(s) seja menor que o grau do polinômio A(s). Se isto não ocorrer, é ne-cessário que se divida os polinômios com o objetivo de diminuir o grau do numerador.

“Qualquer função racional

B s

A s

( )

( )

, onde “B(s)” e “A(s)” são Polinômios, com o grau de B(s)

menor que o grau de A(s), pode ser escrito como a soma de funções racionais ( frações parciais),

tendo as seguintes formas: ”

( ) ( ) A aS b AS B aS b S c R R

+

+

+ +

 ou 2 Onde: R

=

 1, 2, 3,....

Encontrando-se a transformada inversa de laplace para cada fração, temos a −

 

 

 

  

1 B s A s ( ) ( ) .  DETERMINAÇÃO DOS RESÍDUOS ASSOCIADOS AOS PÓLOS

 a) Pólos Reais e Distintos

Seja a função

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

F s B s A s K S Z S Z S Z S P S P S P m n ( ) ( ) ( ) ... ...

=

=

+

+

+

+

+

+

1 2 1 2 Onde: “m < n”

Se os pólos de F(s) são distintos, então F(s) pode ser expandido em :

     

(26)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-13

( ) ( )

( )

F s a S P a S P a S P n n ( )

=

...

+

+

+

+

+

1 1 2 2

O coeficiente ai é chamado de resíduo do pólo S

= −

Pi.

( ) a S Pi B s A s S Pi i

=

+

 = −

. ( ) ( ) Ex1: ( )( ) F s S S S ( )

 =

+

+

+

3 1 2 F s a S a S ( )

 =

+

+

+

1 2 1 2 ( ) ( ) ( )( ) a S S S S S S S S 1 1 1 1 1 3 1 2 3 2 2

=

+

+

+

+

=

+

+

=

=− =− . a ( ) ( ) ( )( )

a

S

S

S

S

S

S

S S 2 2 2 2

2

3

1

2

3

1

1

1

1

=

+

+

+

+

=

+

+

 =

+

− = −

=− =−

.

a

Portanto: F s S S ( )

 =

+

+

2 1 1 2 1 2 1 2 S e t

+

 =

− . 1 1 2 2 1 S e t

+

 =

− . f t( )

=

2.e− t

e−2t t

 0 Ex2: F s S S S S S ( ) ( )( )

=

+

+ +

+

+

3 5 2 9 7 1 2 S S S S S S S S S S S S S S 3 2 2 3 2 2 2 5 9 7 3 2 3 2 2 2 7 7 2 6 4 3

+ + +

+ +

+

+ +

− −

+

Com isto a função F(s), é escrita da seguinte forma:

Como o numerador apresenta um grau superior ao denominador, deve-se dividir os Polinômios.

 

 

(27)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-14

F s S S S S ( ) ( ) ( )( )

= + +

2

+

+

3

+

1 2 Portanto: { } { } { } { } −1{ }S.1

−1{ }S1

=

d t dt .

δ

( ) { } { } −1{ }2 1.

=

2. ( )

δ

t −

+

+

+

=

1 3 1 2 ( ) ( )( ) S

S S Esta parcela é igual ao exemplo anterior.

 b) Pólos Reais Múltiplos

Seja a seguinte função F s B s A s B s S P S P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

+

1

+

3 2

Então F(s), será expandido na seguinte forma:

F s a S P a S P a S P a S P ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

+

+

+

+

+

+

+

13 1 3 12 1 2 11 1 2 2 Onde: a S P B s A s S P 13 1 3 1

= 

=− ( ) . ( ) ( ) + a d ( ) dS S P B s A s S P 12 1 3 1 1 1

=

+

=− ! . ( ) ( )

(

)

a d dS S P B s A s S P 11 2 2 1 3 1 2 1

=

+

=− ! . ( ) ( ) ( ) a S P B s A s S P 2 2 2

=

+

 = − . ( ) ( ) Ex: F s S S S a S a S a S ( ) . ( ) ( ) ( ) ( )

=

+

+

+

=

+

+

+

+

+

2 3 13 3 12 2 11 2 3 1 1 1 1 ( ) a S S S S S 13 3 2 3 1 13 2 13 1 2 3 1 1 2 1 3 2

=

 

+ +

+

 

 

 

    ∴ = − − + ∴ =

=− + a a ( ) ( ) . f t t d dt t e e t t ( )

= +

2

δ

( )

δ

( )

+ −

2 − −2 t ≥ diferenciação impulso unitário im ulso unitário CTE       −

=

+

+

+

+

+

1 1 1 2 1 3 1 2 F s S S S S ( ) ( )( )    − 1 S

      − 1 2

− 1 2 1.

=

 

(28)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-15

( ) ( ) a d dS S S S S S S S 12 3 2 3 1 12 1 12 1 1 1 2 3 1 2 2 0

=

+

+ +

+

 

 

 

 

 

∴ = +

⇒ =

=− =− ! ( ) a a ( ) ( ) a d dS S S S S S S 11 2 2 3 2 3 1 11 1 1 2 1 2 3 1 1 2 2 1

=

+

+ +

+

 

 

 

 

 

∴ =

⇒ =

=− =− ! ( ) a a F s S S S ( ) = 2 1 0 1 1 1 3 2 (

+

)

+

(

+

)

+

(

+

) { }

L

F s

L

L

S S −

=

− −

+

 

 

 

 

 +

+

1 1 3 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) f t( ) (

= +

1 t e2) −t f(t) = t2e− t

+

e−t t ≥ 0

 c) Pólos Complexos Conjugados

Seja a seguinte função:

F s K S a jb K S a j b ( ) .

=

+ −

+

+ +

1 2

A definição dos termos K1 e K2, é dada por:

{ } K S a jb F s S a jb M Me j 1

=

(

+

). ( ) =− +

=

=

θ

θ { } K S a jb F s S a jb M Me  j 2

= + +

( ). ( ) =− −

= − =

θ

− θ Desta forma: F s Me S a jb Me S a jb  j j ( ) ( ) ( )

=

+ −

+

+ +

− θ θ { } −1 F s( )

=

M e e.  jθ . −(a jb t− )

+

M e. −jθ.e −(a jb t+ ) { }

{

}

−1

=

− +

+

− + 2 2 F s( ) M e. at. ej bt( θ ) e j bt( θ) . { } −

=

+

+

− +

1 2 2 F s( ) M e. at. e j bt( θ ) e j bt( θ) 0      

(29)

Projeto Reenge - Eng. Elétrica 

Apostila de Sistemas de Controle I  II-16

{ }

− 1 F s( )

=

2M e. −at cos(bt

+

θ

)

2.7- SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, LINEARES E INVARIANTES

NO TEMPO ATRAVÉS DE T.L.

Nos métodos clássicos para obtenção de solução de equações diferenciais há a necessidade da determinação das constantes de integração através do uso das condições iniciais. O uso da T.L. na solução das equações diferenciais elimina esta dificuldade, uma vez que as condições iniciais são automaticamente incluídas.

Para a obtenção da T.L. de um equação diferencial cujas condições iniciais são nulas, sim-plesmente substitui-se “ d

dt” por “S”, “ ddt

2

2 ” por “S

2” e assim sucessivamente.

Dada uma equação diferencial linear e invariante no tempo, acha-se inicialmente a T.L. de cada termo que a compõe, transformando-se uma equação diferencial em uma equação algébrica. Após, deve-se manipular a expressão algébrica resultante isolando-se a variável dependente. Uma vez solucionada esta expressão, através da aplicação da T.I.L obtém-se a solução da equação dife-rencial dada.

Ex:

1) Ache a solução para x(t) da equação diferencial, mostrada abaixo:

χ

(t) 0

=

Onde:

χ

( )0

=

a ( )0

=

b X s aS b a S S s aS b a S S ( ) ( ) ( )( )

=

+ +

+ +

=

+ +

+

+

3 3 2 3 1 2 2 X X s A S B S ( )

 =

+

1

+

+

2 A aS b a S a b a S

=

+ +

+

=

− + +

 

 

 

 

  ∴

=− 3 2 3 1 1 A A b

= +

2a B aS b a S a b a S

=

+ +

+

=

− + +

 

 

 

 

  ∴

=− 3 1 2 3 1 2 B B

= −

b

a X s a b S a b S ( ) ( ) ( )

=

+

+

+

+

2 1 2

χ

( ) (t a b e). (a b e). t t

= +

2

− +

−2

2) Ache a solução para x(t) da equação diferencial:

χ χ

+ =

5 3

χ

( )0

=

0 , ( )0

=

0 Solução: x(t)

=

3 5 3 10 2 3 5 2

.e sen t− t.

.e−t.cos t.    

χ

(t) + 3 (t) + 2

χ

χ



χ +

2

χ

Referências

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