UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS. Volumes e o Princípio de Cavalieri

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Volumes e o Princípio de Cavalieri

Aluna: Ana Claudia Casagrande Tacon - R.A. 313505

Orientador: Prof. João C.V. Sampaio

Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso

Coordenadores: Prof

. Karina Schiabel Silva

Prof. Sadao Massago

Prof

. Vera Lúcia Carbone

Aluna: Ana Claudia Casagrande Tacon - R.A. 313505

Orientador: Prof. João C.V. Sampaio

Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso

Coordenadores: Prof

. Karina Schiabel Silva

Prof. Sadao Massago

Prof

. Vera Lúcia Carbone

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus por me dar sempre a perseverança e a força ne-cessárias para continuar buscando novos conhecimentos e guiar meus caminhos.

Agradeço aos meus pais, meu irmão e meu namorado por suportar muitas vezes minhas reclamações, por me consolar todas as vezes que chorei e, principal-mente, por me incentivar e motivar sempre.

Agradeço aos meus amigos por todas as conversas e conselhos, e só foi possível conhecer todas essas pessoas maravilhosas graças à UFSCar.

Agradeço aos professores por todo o conhecimento compartilhado ao longo desses anos de vida acadêmica, em especial, ao meu orientador por toda a atenção dada durante o desenvolvimento desse trabalho, além de ser um excelente professor. Agradeço à todas as pessoas que fazem parte da minha vida e que contribuem significativamente para o meu sucesso.

1 Bonaventura Cavalieri, seu tempo e seu método 4

1.1 Bonaventura Cavalieri . . . 4

1.2 O método dos indivisíveis . . . 5

2 Sólidos básicos e seus volumes 7 2.1 Volume de um bloco retangular . . . 10

2.2 Volume de um sólido . . . 13

3 Princípio de Cavalieri 15 3.1 Princípio de Cavalieri para Volumes . . . 15

4 Aplicações do Princípio de Cavalieri 17 4.1 Volume do Paralelepípedo . . . 17

4.2 Volume do Cilindro . . . 18

4.3 Volume do Cone . . . 19

4.4 Volume da Esfera . . . 23

4.5 Volume do Toro . . . 26

4.6 Volume do Anel Esférico . . . 28

4.7 Volume da Cunha Cilíndrica . . . 31

Referências Bibliográficas 37

Resumo

Este Trabalho de Conclusão de Curso apresenta um estudo sobre o cálculo de volu-mes de sólidos e o Princípio de Cavalieri. Iniciamos com um breve histórico sobre a vida de Cavalieri e o desenvolvimento do seu método dos indivísiveis, conhecido como os Princípios de Cavalieri. Em seguida, apresentamos uma ideia intuitiva de volume, até chegarmos a uma definição para volume, e então, desenvolvemos uma fórmula para o cálculo do volume de um bloco retangular. Ao final, apresentamos o Princípio de Cavalieri e algumas aplicações, evidenciando o seu valor prático para o cálculo de volumes de alguns sólidos selecionados.

Podemos definir volume, de maneira intuitiva, como sendo a quantidade de espaço ocupado por um sólido. Como estamos interessados em medir a grandeza “volume”, podemos compará-la com uma unidade e, assim, obteremos um número que será a medida do volume. Como unidade de volume tomemos um cubo, cuja aresta mede uma unidade de comprimento, e o chamemos de cubo unitário. Por definição, o volume desse cubo será igual a 1.

Dessa forma, sendo S um sólido, o volume de S deverá ser um número que exprima quantas vezes esse sólido contém o cubo unitário. Porém, esse sólido S pode ter uma forma irregular, o que tornaria essa comparação não tão clara assim, mostrando que essa é apenas uma ideia intuitiva. Não definiremos o conceito de sólido de um modo geral, pois estudaremos apenas o cálculo de volumes de um conjunto particular de sólidos. Esses sólidos elementares são prismas, pirâmides, cilindros, cones, esferas, e porções destes.

No mundo real, o volume é uma medida de quanto um corpo preenche um determinado espaço, ou da capacidade de um recipiente.

Por exemplo, para medir o volume de um sólido S tal como uma bola de aço, sem partes ocas, podemos mergulhá-la um reservatório com uma quantidade conhecida de água, indicada por uma escala impressa na parede desse reservatório, e a medida do volume de S seria a diferença entre as medidas observadas no reservatório antes e depois do mergulho da bola na água.

O primeiro método funcionaria bem para formas regulares e o segundo funci-onaria para formas irregulares, mas com esses métodos não conseguiríamos calcular os volumes de sólidos muito grandes, como a terra, ou muito pequenos, como um elétron, ou ainda o volume ocupado por um gás em um determinado recipiente.

Portanto, torna-se necessário obter métodos mais gerais para o cálculo de volumes, que sejam válidos para calcular volumes grandes ou pequenos, tanto nos casos concretos quanto nos abstratos.

3

No capítulo 1 apresentamos um breve histórico sobre a vida de Cavalieri e o desenvolvimento do seu método dos indivísiveis, conhecido como os Princípios de Cavalieri.

No capítulo 2, iniciamos o conceito de volume intuitivamente, até chegarmos a uma definição matemática para volume, e então, desenvolvemos uma fórmula para o cálculo do volume de um bloco retangular, mostrando que essa fórmula é válida também para os números racionais e para os números irracionais.

No capítulo 3, introduzimos o Princípio de Cavalieri e evidenciamos o seu valor prático para o cálculo de volumes.

No capítulo 4, apresentamos aplicações do Princípio de Cavalieri no cálculo de volumes de alguns sólidos selecionados.

Bonaventura Cavalieri, seu tempo e

seu método

1.1

Bonaventura Cavalieri

Bonaventura Cavalieri nasceu em Milão em 1598, aos 15 anos tornou-se membro de uma ordem religiosa, os jesuados, foi aluno de Galileu Galilei, viveu em Milão e Roma antes de atuar como professor de matemática na Universidade de Bolonha de 1629 até 1647, ano de sua morte.

Figura 1.1. Bonaventura Cavalieri.

Cavalieri deixou uma obra vasta, abrangendo muitos aspectos da matemá-tica pura e aplicada, tais como geometria, trigonometria, astronomia e ópmatemá-tica. Foi também em grande parte o responsável pela introdução dos logaritmos na Europa, sendo o primeiro autor italiano a apreciar o valor dos logaritmos. Em 1632 Ca-valieri publicou seu Directorium universale uranometricum, que continha tabelas

5

de senos, tangentes, secantes e senos, juntamente com seus logaritmos com oito casas decimais. Mas a sua obra de maior contribuição à matemática é o tratado Geometria indivisibilibus continuorum, publicado em 1935.

1.2

O método dos indivisíveis

No tratado Geometria indivisibilibus continuorum, Cavalieri apresenta seu método dos indivisíveis, cujas raízes remontam a Demócrito e Arquimedes, mas fora direta-mente estimulado pelas tentativas de Kepler de encontrar algumas áreas e volumes, além de incentivado por Galileu a organizar seus pensamentos sobre infinitésimos na forma de um livro.

Figura 1.2. Geometria indivisibilibus continuorum.

O livro baseia-se no argumento de que uma porção plana seja formada de uma infinidade de cordas (segmentos) paralelas e que um sólido seja formado de uma infinidade de secções planas paralelas. Dessa forma, um indivisível de uma porção plana dada é uma corda dessa porção e um indivisível de um sólido dado é uma secção plana desse sólido. Cavalieri argumentava que ao deslizar cada um dos elementos do conjunto das cordas paralelas de uma certa porção plana, ao longo do seu próprio eixo, de forma que as extremidades da corda ainda descrevam um contorno contínuo, a área da nova porção plana será igual à da original, uma vez que ambas são formadas pelas mesmas cordas.

Figura 1.3. Princípio de Cavalieri para áreas.

Fazendo um procedimento análogo com os elementos do conjunto das secções planas paralelas de um sólido qualquer, teremos um outro sólido com o mesmo volume do original, pois ambos são formados pelas mesmas secções planas.

Figura 1.4. Princípio de Cavalieri para volumes.

Generalizando os resultados acima, obtemos os chamados Princípios de Ca-valieri:

1. Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas, e paralela a uma reta dada, determina nas porções segmentos de reta cuja razão entre os comprimentos é constante, então a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante.

2. Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles, e paralelo a um plano dado, determina nos sólidos secções cuja razão entre as áreas é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante.

Capítulo 2

Sólidos básicos e seus volumes

Paralelamente ao conceito de volume, vamos definir informalmente o conceito de sólido, não de um modo geral, mas de modo a agregar ao nosso estudo a coleção de sólidos habitualmente estudados no Ensino Médio.

São considerados como sólidos básicos os poliedros, os cilindros generalizados, os cones generalizados, e as esferas (sólidas).

Se R e S são dois sólidos, representamos por R ∪ S a reunião dos sólidos R e S, e diremos que R ∪ S também é um sólido, mesmo quando R e S não tiverem pontos em comum. Se R e S tiverem pontos em comum, representamos por R ∩ S a interseção de R e S, ou seja, o conjunto de todos os pontos comuns a ambos, R e S. Se R e S não tiverem pontos em comum, dizemos que a interseção de R e S é o conjunto vazio, e escrevemos R ∩ S = ∅. Veja ilustrações desses conceitos nas Figuras 2.1 e 2.2.

Figura 2.1. A reunião do sólido cilíndrico com o paralelepípedo resulta no sólido representado à direita.

Para definir o conceito de volume, vamos associar a cada sólido S um número

real não negativo V (S), chamado volume de S. Os axiomas iniciais que definem o conceito de volume são, em linguagem mais próxima possível da matemática do ensino médio, os seguintes.

Figura 2.2. A interseção do sólido representado à esquerda com o sólido represen-tado à direita resulta o sólido ao centro.

Axioma 1. Se dois sólidos R e S são tais que R é (geometricamente) uma cópia de S (e então, simultaneamente, S é uma cópia de R ), então V (R) = V (S). Em outras palavras, se um sólido é uma reprodução de outro, então ambos tem o mesmo volume.

Axioma 2. Se S é um polígono, ou se S é uma figura plana ou está contida em um plano, então V (S) = 0, ou seja, tem volume nulo não apenas os polígonos, mas toda figura geométrica para a qual existe um plano que a contém.

Para comodidade no estudo de volumes, assumiremos, portanto, que figuras planas, muito embora não sejam habitualmente consideradas como sólidos, são “sólidos de volume zero”. Por propósitos matemáticos, também diremos que o conjunto vazio, embora não seja propriamente um sólido ou uma figura geométrica, tem volume igual a zero.

Axioma 3. Se dois sólidos R e S são tais que R ⊂ S (R está contido em S), então V (R) ≤ V (S). Isto quer dizer que um sólido nunca tem volume maior do que um sólido que o contenha. Veja Figura 2.3.

Axioma 4. Se os sólidos R e S são tais que a parte comum a ambos (interseção de ambos) tem volume zero, ou seja, se V (R ∩ S) = 0, então o sólido tomado como a reunião dos sólidos R e S tem volume igual à soma dos volumes dos sólidos R e S, ou seja,

9

Figura 2.3. Os cilindros R, S e T são três cópias geométricas de um mesmo cilindro e, assim, pelo pressuposto 1, têm o mesmo volume. Os cilindros U e V são também cópias um do outro e, portanto, também têm o mesmo volume. O cilindro V tem volume menor que o do cilindro T , pelo pressuposto 3, pois V está contido em T (V ⊂ T ). Assim, o cilindro U também tem volume menor que o volume de T .

Isto quer dizer que, em particular, reunindo-se dois sólidos sem pontos em comum (considerando-se essa reunião como sendo um sólido de duas partes se-paradas) ou reunindo-se dois sólidos cuja parte comum a ambos é uma figura plana, tem-se que o volume da reunião de ambos é igual à soma dos volumes des-ses sólidos. Veja Figura 2.4. Generalizando este pressuposto, podemos afirmar que se S1, . . . , Sn são sólidos, dois a dois com interseção de volume zero, então

V (S1∪ · · · ∪ Sn) = V (S1) + · · · + V (Sn).

Figura 2.4. Se os sólidos R e S não têm nenhuma parte em comum, como na situação à esquerda, ou se a parte compartilhada por ambos (interseção) é um segmento, como na figura ao centro, ou uma figura plana, como à direita, então, V (R ∩ S) = 0. Daí, pelo pressuposto 4, o volume do sólido reunião de R e S, R ∪ S, é a soma dos volumes de R e de S, ou seja, V (R ∪ S) = V (R) + V (S).

Axioma 5. Se S é um cubo em que cada aresta mede uma unidade de compri-mento, então o volume desse cubo é igual a uma unidade de volume, V (S) = 1.

2.1

Volume de um bloco retangular

Definição 2.1. Bloco retangular é um sólido delimitado por seis retângulos, que são chamados de faces do bloco. Esses retângulos formam três pares, cada par formado por dois retângulos iguais (congruentes). Os lados dos retângulos são chamados de arestas. Cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces. Quando conhecemos três de suas arestas que concorrem em um ponto, temos o bloco retangular inteiramente determinado (Figura 2.5).

a

c

b

Figura 2.5. Bloco retangular de arestas a, b, c.

Definição 2.2. Cubo é um caso particular de bloco retangular, em que todas as suas arestas têm o mesmo comprimento, ou seja, as seis faces do cubo são qua-drados iguais (Figura 2.6).

Definição 2.3. Cubo unitário é um cubo de aresta medindo uma unidade de com-primento. Seu volume, pelo axioma 5, é igual a uma unidade de volume (Figura 2.7).

a

a

a

Figura 2.6. Cubo de aresta a.

1

1 1

= 1 unidade de volume

Figura 2.7. Cubo unitário.

Qual é o volume de um cubo C que tem como aresta o número racional a? Proposição 2.1. Um cubo C com aresta de medida a, a racional, tem volume vol(C) = a3_.

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Demonstração. Seja n um número inteiro, um cubo C de aresta n unidades de comprimento pode ser decomposto em n3 _{cubos unitários justapostos, isto é, dois}

a dois tendo interseção de volume zero. Logo, pelo axioma 4 e sua generalização, C tem volume igual a n3.

Analogamente, podemos decompor cada aresta de um cubo unitário no mes-mo número inteiro q de partes iguais, dessa forma, obtemes-mos q3 cubos justapostos, cada um com aresta 1/q. Logo, segue que um cubo de aresta 1/q tem volume igual a (1/q)3 = 1/q3.

Assim, dado um cubo C de aresta p/q, onde p/q é um número racional, podemos decompor cada uma de suas arestas em p partes iguais. Dessa forma, decompomos o cubo C em p3 cubos justapostos, cada um com aresta 1/q. Temos que o volume de cada cubo menor é 1/q3_{. Assim, o volume de C é}

p3× 1 q3 =

 p q

3

Podemos concluir que se a aresta de um cubo C tem como medida um número racional a, então o volume de C será igual a a3_.

Exemplo 2.1. No caso a = 3, temos o cubo de aresta 3 decomposto em 27 = 33

cubos unitários justapostos (Figura 2.8).

Figura 2.8. Cubo de aresta 3 decomposto em 27 = 33 _{cubos unitários justapostos.}

Qual é o volume de um cubo C que tem como aresta o número irracional b? Proposição 2.2. Um cubo C que tem como aresta o número irracional b tem volume vol(C) = b3_.

Demonstração. Para demonstrar que vol(C) = b3 mesmo quando b é irracional, usaremos novamente o método da exaustão: mostraremos que se x é qualquer

b b

b

Figura 2.9. Cubo de aresta b, com b irracional.

número menor do que b3 _{então x < vol(C), depois mostraremos que se y > b}3

então y > vol(C), por último, concluiremos que vol(C) = b3_.

Seja x um número tal que x < b3. Podemos aproximar o número irracional b por um valor racional r < b, tão próximo de b tal que x < r3 _{< b}3_{. Então, o}

cubo C de aresta b, contém o cubo D de aresta r. Segue-se que vol(D) < vol(C). Mas já sabemos que vol(D) = r3_{, pois r é racional. Concluímos que r}3 _{< vol(C)}

e, portanto, x < vol(C).

Analogamente mostramos que se y é um número maior que b3_{, então y >}

vol(C).

Seja B um bloco retangular cujas três arestas têm como medidas números racionais. Podemos reduzir esses três números ao mesmo denominador, vamos supor a/q, b/q e c/q, com a, b, c, q números racionais.

Se decompormos as três arestas do bloco B, respectivamente em a, b e c segmentos iguais, cada um medindo 1/q de comprimento, teremos o bloco B de-composto em abccubos justapostos, cada cubo com aresta 1/q e, portanto, com volume 1/q3. Então: vol(B) = abc q3 = a q. b q. c q

Dessa forma, concluimos que: Se um bloco retangular B tem arestas com medidas racionais a, b, c, seu volume será o produto dessas medidas, isto é, vol(B) = abc. Assim como no caso do cubo, a fórmula anterior é válida para quaisquer que sejam as medidas das arestas, ou seja, para medidas racionais ou irracionais.

Proposição 2.3. Se um bloco retangular B tem arestas com medidas irracionais a, b, c, seu volume será o produto dessas medidas, isto é, vol(B) = abc.

13

Demonstração. A demonstração é feita pelo método da exaustão, assim como no caso do cubo. Temos ainda que o cubo é um caso particular da fórmula acima, onde a = b = c.

Seja B um bloco retangular, com arestas de medidas a, b, e c. Suponhamos que o número x seja menor que abc. Podemos então encontrar números racionais r < a, s < b, t < c tão próximos de a, b e c tais que

x < srt < abc.

Dessa forma, o bloco B contém um bloco menor C, de arestas r, s e t, logo vol(C) < vol(B). Mas, vol(C) = rst. Portanto

x < rst = vol(C) < vol(B) ou seja, x < vol(B).

Analogamente podemos mostrar que todo número y > abc é maior que o volume de B. Portanto, vol(B) = abc.

Observação 2.1. Provamos que dado x < abc, podemos obter números racionais r, s, t tais que r < a, s < b, t < c e x < rst < abc.

De x < abc resulta x/bc < a, logo existe r racional tal que x/bc < r < a. Então x < rbc < abc e daí x/rc < b. Portanto existe s racional tal que x/rc < s < b. Segue-se que x < rsc, donde x/rs < c. Assim, existe t racional com x/rs < t < c. Portanto, x < rst < abc.

2.2

Volume de um sólido

Definição 2.4. A reunião de um número finito de blocos retangulares justapostos é chamado de poliedro retangular. Para calcularmos o volume de um poliedro retangular, basta somarmos os volumes dos blocos retangulares que o constituem.

Aproximação por falta

Seja S um sólido. Queremos definir o número vol(S) de maneira exata, dife-rentemente da ideia inicial em que vol(S) era o número que representava quantas vezes que S continha o cubo unitário.

Dessa forma, para cada poliedro retangular P contido em S, sabemos calcular o vol(P ). Assim, o número V = vol(S) deve satisfafazer à seguinte condição

para todo poliedro retangular P contido em S.

Os números vol(P ) fornecem aproximações inferiores para o volume de S. Se acrescentarmos mais blocos retangulares a P , tendo o cuidado de permanecer dentro de S, obteremos um poliedro retangular P0, com P0 > P , e assim, vol(P0) será uma aproximação melhor para o vol(S).

Queremos aproximar vol(S), com a maior precisão possível, por volumes de poliedros retangulares contidos em S, ou seja, que vol(S) seja o número real cujas aproximações por falta são os volumes dos poliedros retangulares contidos em S. Assim, dado qualquer número real r tal que r < vol(S), temos um poliedro retangular Q, contido em S, tal que

r < vol(Q) ≤ vol(S)

Aproximação por excesso

Seja S um sólido e V = vol(S) o seu volume, o qual queremos calacular. Consideremos os poliedros retangulares Q que contêm o sólido S. Sabemos calcular o volume de cada um desses poliedros. Assim, o número V = vol(S) deve satisfazer a seguinte condição

V ≤ vol(Q) para todo poliedro retangular Q que contém S.

Os números vol(Q)são aproximações por excesso pra o volume de S. Dessa forma, quanto menor for o poliedro retangular Q contendo S, melhor será a apro-ximação vol(Q) para o volume de S.

Então, podemos afirmar o seguinte:

Quaisquer que sejam os poliedros retangulares P , contido em S, e Q, con-tendo S, tem-se vol(P ) ≤ V ≤ vol(Q).

Capítulo 3

Princípio de Cavalieri

3.1

Princípio de Cavalieri para Volumes

A definição de volume dada anteriormente satisfaz a necessidade lógica de esta-belecer conceitos, mas do ponto de vista do cálculo tem pouco valor prático, ou seja, seria extremamente trabalhoso calcular os volumes dos sólidos a partir da-quela definição. Como solução para esse problema vamos enunciar um resultado, conhecido como Princípio de Cavalieri, de valor prático para o cálculo de volumes. Axioma 6 (Princípio de Cavalieri). Sejam A e B dois sólidos. Se existe um plano α tal que qualquer plano β, paralelo a α, secciona A e B segundo figuras planas com áreas iguais, então vol(A) = vol(B).

h _h

A B

β α

Figura 3.1. Princípio de Cavalieri para volumes.

Sejam A e B dois sólidos dados. Se os cortarmos com planos paralelos ao plano da base onde repousam esses sólidos, teremos fatias muito finas, de mesma altura e de bases com áreas iguais que têm aproximadamente o mesmo volume.

O volume de cada sólido será a soma dos volumes dessas fatias, podendo tornar a aproximação entre os volumes das fatias tão precisa quanto se deseje, teremos então vol(A) = vol(B).

a

b

x

A(x)

B(x)

>

Figura 3.2. Princípio de Cavalieri para volumes.

Demonstração utilizando cálculo integral. Tomemos um eixo perpendicular aos planos que determinam secções de mesma área em ambos os sólidos. Vamos supor que os planos que intersectam os sólidos correspondem a coordenadas x ∈ [a, b], sendo a e b números reais, com a < b.

Consideremos a função x ∈ [a, b] 7−→ A(x), que assumiremos contínua. Por hipótese, A(x) = B(x) para todo x ∈ R, com a ≤ x ≤ b.

Pelo cálculo integral, usando o cálculo de volumes por fatiamento vol(A) = Z b a A(x)dx = Z b a B(x)dx = vol(B)

Capítulo 4

Aplicações do Princípio de Cavalieri

4.1

Volume do Paralelepípedo

Definição 4.1. Um paralelepípedo é um sólido limitado por 6 paralelogramos, que são suas faces. Essas faces são agrupadas em 3 pares, onde em cada par as 2 faces são paralelas, congruentes e opostas. Quando se toma uma das faces do paralelepípedo como base, a altura correspondente é a distância entre esta face e sua oposta, isto é, é o comprimento da perpendicular baixada de um ponto da face oposta sobre o plano da base. As arestas de um paralelepípedo são os lados dos paralelogramos que constituem suas faces. Um paralelepípedo cujas faces são retângulos é um bloco retangular.

Teorema 4.1. O volume de um paralelepípedo é o produto da área da base pela altura.

Demonstração. Seja P um paralelepípedo. Tomemos uma das faces de P como base e chamemos de α o plano que a contém. Sobre α, tomemos um retângulo de área a igual à área do paralelogramo que é a base de P . Podemos construir um bloco retangular B, que tem como base o retângulo obtido anteriormente, e altura h igual a altura de P . Temos que vol(B) = ah.

Agora, seja β um plano qualquer paralelo ao plano α. A secção plana β ∩ P é um paralelogramo congruente à base de P , e β ∩ B é um retângulo congruente à base de B.

Como β é um plano arbitrário, tomado paralelamente ao plano α, segue do Princípio de Cavalieri que o volume do paralelepípedo P é igual ao volume do

bloco retangular B, ou seja, vol(P ) = vol(B) = ah  P B a a a h a h α β

Figura 4.1. O volume do paralelepípedo P é igual ao volume do bloco retangular B.

4.2

Volume do Cilindro

Definição 4.2. Seja F uma região plana qualquer, chamada base do cilindro. Chamemos de α o plano que contém F . Seja g um segmento de reta que não esteja contido no plano α nem seja paralelo a ele, chamado geratriz do cilindro. O sólido formado pela reunião de todos os segmentos paralelos e congruentes a g, todos situados em um mesmo semiespaço determinado por α e com uma de suas extremidades contida na base F , é o Cilindro C, de base F e geratriz g. As extremidades não contidas em F constituem uma região plana F0, contida num plano α0 paralelo a α. A distância entre esses planos, ou seja, o comprimento da perpendicular baixada de um ponto de F0 sobre o plano α, chama-se altura do cilindro.

Teorema 4.2. O volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela altura.

Demonstração. Seja C um cilindro. Seja F uma figura plana, a base de C, e chamemos de α o plano que a contém. Sobre α, tomemos um retângulo de área

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g

F F'

Figura 4.2. Elementos que definem um cilindro.

a igual a área de F . Podemos construir um bloco retangular B, que tem como base o retângulo obtido anteriormente, e altura h igual a altura de C. Temos que vol(B) = ah.

Agora, seja α0 um plano qualquer paralelo ao plano α. A secção plana α0∩ C é uma figura plana congruente à F , e α0∩ B é um retângulo congruente à base de B.

Como α0 é um plano arbitrário, tomado paralelamente ao plano α, segue do Princípio de Cavalieri que o volume do cilindro C é igual ao volume do bloco retangular B, ou seja,

vol(C) = vol(B) = ah

 Definição 4.3. Prisma é um cilindro cujas bases são regiões poligonais.

4.3

Volume do Cone

Definição 4.4. Seja F uma região plana contida em um plano α, chamada base do cone, e um ponto P situado fora do plano α, chamado vértice do cone. O sólido obtido pela reunião de todos os segmentos de reta que unem P aos pontos de F , isto é, todos os segmentos que vão do vértice P à base F é o cone K com base F e vértice P . A distância do vértice P ao plano α, que contém sua base, é chamada altura do cone (essa distância é o comprimento de um segmento perpendicular ao plano α, com uma das extremidades no vértice P e outra no plano α).

Observação 4.1. Um cone que tem como base um polígono (região poligonal) é chamado pirâmide. As faces laterais de uma pirâmide são triângulos. Uma

pirâmide de base triangular é chamada de tetraedro.

Figura 4.3. Pirâmide com base pentagonal.

Lema 4.1. Consideremos um cone circular K1 com vértice V , base B1 e altura

h1. Cortemos o cone K1 por um plano π paralelo ao plano que contém a base B1

do cone. Tal corte dá origem a um outro cone circular K2 com vértice V , de altura

h2 e base B2, sendo

B2 = π ∩ K1

Nessas condições, vale então a seguinte relação: ´ area(B1) ´ area(B2) = h 2 1 h2 2

Demonstração. Para demonstrar esse teorema, vamos supor que a base B1 do

cone circular K1 é um disco de centro O1e raio R1, e que a base B2do cone circular

K2 é um disco de centro O2 e raio R2. Tal como indicado na Figura 4.5, um plano

passando por V e O1, e perpendicular à base B1, determina triângulos ∆O1P1V

e ∆O2P2V no interior do cone, como indicado. Os triângulos ∆O1P1V e ∆O2P2V

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O vértice V do triângulo ∆O1P1V é o mesmo vértice V do triângulo ∆O2P2V

e os ângulos O1V Pˆ 1 e O2V Pˆ 2 são, portanto, ângulos congruentes. As retas O1P1

e O2P2 são paralelas e cortadas pela transversal O1O2, assim os ângulos V ˆO1P1

do triângulo ∆O1P1V e V ˆO2P2 do triângulo ∆O2P2V são ângulos

corresponden-tes de um par de retas paralelas, cortadas por uma transversal, e são, portanto, congruentes.

Segue então do critério “ângulo-ângulo” de semelhança de triângulos que os triângulos ∆O1P1V e ∆O2P2V são semelhantes, do que então deduzimos que

R1

R2

= V P1 V P2

Sendo V M1 e V M2 as alturas, a partir do vértice V , dos triângulos ∆O1P1V e

∆O2P2V , também são semelhantes, por razões análogas, os triângulos ∆P1M1V e

∆P2M2V , de onde concluímos que V P_{V P}1 2 =

V M1 V M2 =

h1

h2. Portanto, a razão entre os raios das bases dos cones é igual à razão entre as alturas dos cones circulares:

R1

R2

= h1 h2

As áreas das bases dos cones K1 e K2 são dadas por ´area(B1) = π · R21 e

´

area(B2) = π·R22, e assim a razão entre as áreas das bases dos cones circulares pode

ser formulada, levando-se em consideração a expressão acima e temos a conclusão que queríamos demonstrar:

´ area(B1) ´ area(B2) = πR 2 1 πR2 2 = R 2 1 R2 2 = h 2 1 h2 2  Teorema 4.3. Dois cones de mesma altura e bases com áreas iguais têm volumes iguais.

Demonstração. Sejam K e L dois cones com mesma altura h e bases F e G com mesma área. Fixemos um plano α e repousemos os cones K e L, por suas bases, sobre α. Seja β um plano paralelo a α, situado entre as bases e os vértices de K e L. As secções F0 = β ∩ K e G0 = β ∩ L têm áreas iguais, segundo o lema 4.1 onde h0 é a altura do vértice ao plano β.

Como β é um plano paralelo a α tomado arbritariamente, segue do Princípio

K L F G F' G' h h h' h' α β

Figura 4.4. Ilustração do Teorema 4.3.

Teorema 4.4. O volume de um cone é igual a um terço do produto da altura pela área da base. C' C A' A B' B A' C' C' A A B' B' B' C C B A

Figura 4.5. Prisma triangular decomposto em 3 pirâmides ABCB0, A0B0C0A e ACC0B0 de volumes iguais.

Demonstração. Pelo teorema anterior, o volume do cone é igual ao volume de uma pirâmide triangular ABC, de área igual à da base do cone, e vértice B0 tal que o segmento BB0 é perpendicular ao plano ABC e comprimento igual à altura do cone.

Dessa forma, precisamos provar que o volume da pirâmide ABCB0 é igual a um terço do rpoduto da área da base ABC pela altura BB0.

Primeiramente, obtenhamos AA0 e CC0, perpendiculares ao plano ABC, com comprimentos iguais ao de BB0. Assim, obtemos um prisma reto de bases ABC

23

e A0B0C0. Já sabemos que o volume desse prisma é igual ao produto da área da base pela altura. Então, basta mostrar que esse prisma pode ser decomposto em três pirâmides, cada uma delas com volume igual ao da pirâmide ABCB0. Mas, as três pirâmides são a própria ABCB0. A pirâmide A0B0C0A tem base congruente à base da primeira e mesma altura, e a pirâmide ACC0B0, de base ACC0 congruente à base AA0C0 da segunda pirâmide e altura igual a pirâmide AA0C0B0, a partir do

vértice B0, o que conclui a demonstração. _

Corolário 4.1. O volume de um cone de altura h, cuja base é um círculo de raio R, é igual a 1₃πR2_h.

4.4

Volume da Esfera

Definição 4.5. A esfera de centro num ponto O e raio R é o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto O é menor do que ou igual a R, ou seja, é a reunião de todos os segmentos de retas de origem em O e comprimento igual a R. Teorema 4.5. O volume de uma esfera de raio R é igual a 4₃πR3_.

b x R R R S _{K C} b b b

α

β

Figura 4.6. Semiesfera S de raio R, cone circular reto K de raio e altura R e cilindro circular reto C de raio e altura R.

Demonstração. Sejam S a metade de uma esfera de raio R, K um cone circular reto, que tem como base um círculo de raio R e altura com a mesma medida R, C um cilindro circular reto, que tem como base um círculo de raio R e altura também medindo R, todos dispostos sobre um plano α.

Consideremos um plano β, paralelo ao plano α, distante b do vértice do cone (o qual se localiza num plano que contém a base superior do cilindro, bem como o disco superior da semiesfera).

O plano β intersecta cada um dos sólidos em círculos. Vamos agora calcular o raio desses círculos.

O disco β ∩ C, formado pela interseção do cilindro com o plano β, tem raio igual a R.

O disco β ∩ K, formado pela interseção do cone com o plano β, tem raio P B, Vamos mostrar que P B = b.

P B b V Q A R R

Figura 4.7. Círculo formado pela interseção do cone circular reto K com o plano β.

Observamos que o triângulo V P B é semelhante ao triângulo V QA. Temos ainda que V P = b e V Q = QA = R. Logo,

V P P B = V Q QA ⇒ b P B = R R Portanto, P B = b.

Agora, vamos calcular o raio x do disco β ∩ S, formado pela interseção do plano β com a semiesfera S.

Suponhamos que O seja o centro da esfera de raio R, e que G é o centro da seção circular β ∩ S, sendo GT um raio. Temos que o triângulo OGT é retângulo em G, OG = b e OT = R. Pelo Teorema de Pitágoras temos que x2 + b2 = R2. Assim, area(β ∩ S) = πx2 _{= π(R}2_{− b}2_).

Então, temos que:

area(β ∩ C) = πR2 area(β ∩ K) = πb2

25 O G b R T x

Figura 4.8. Círculo formado pela interseção da semiesfera S com o plano β. area(β ∩ S) = πx2 = π(R2− b2₎

ou seja,

area(β ∩ S) + area(β ∩ K) = π(R2− b2) + πb2 = πR2 = area(β ∩ C)

Como essa igualdade é válida para qualquer plano β, paralelo ao plano α, segue do Princípio de Cavalieri que o volume da semiesfera S, somado ao volume do cone circular reto K, é igual ao volume do cilindro circular reto C, logo vol(S)+ vol(K) = vol(C).

Pelo Teorema 4.2, temos que o volume do cilindro C é igual ao produto da área de qualquer uma de suas bases pela altura relativa a esta base, assim,

vol(C) = πR2R = πR3

Pelo Teorema 4.4, temos que o volume do cone K é igual a um terço do produto da área de sua base pela sua altura, ou seja,

vol(K) = πR

2_R

3 =

πR3 3

Daí, o volume da semiesfera S é igual à diferença entre o volume do cilindro e o volume do cone, ou seja,

vol(S) = vol(C) − vol(K) = πR3− πR

3

3 =

2πR3

3

Como a esfera E de raio R é a reunião de duas semiesferas de volumes iguais, que têm em comum apenas uma região plana circular, o volume da esfera de raio R é dado por vol(E) = 2 × vol(S) = 2 × 2πR 3 3 = 4πR3 3 

4.5

Volume do Toro

Definição 4.6. Toro é o sólido gerado pela rotação de um círculo de raio r em torno de um eixo vertical situado no plano do círculo, a uma distância c > r do seu centro.

c

r

Figura 4.9. Toro de raio r distante c do seu eixo vertical de rotação.

Teorema 4.6. O volume de um toro gerado pela rotação de um círculo de raio r distante c do eixo vertical é igual a 2π2_r2_c.

Demonstração. Seja T o toro de raio r distante c do eixo vertical ao centro da esfera de raio r, e C o cilindro que repousa sobre o mesmo plano α que o toro T , de raio (base circular) r e comprimento 2πc.

c

r

r

2πc

T _C

Figura 4.10. Toro T e cilindro C repousando sobre o plano α.

Seja β um plano paralelo ao plano α, que contém o centro O e O0 dos sólidos T e C, respectivamente.

Agora, seja γ um plano qualquer paralelo aos planos α e β, e distante h do plano β. A secção plana γ ∩ T é uma planificação do toro, e γ ∩ C é um retângulo.

27 x 2 cπ γ ∩ C

Figura 4.11. Retângulo gerado por γ ∩ C.

>

< < >

c - x c + x

Figura 4.12. Anel gerado por γ ∩ T .

h r x r h x T C

Figura 4.13. Perfil dos sólidos T e C.

r2 = h2+ x2 x2 = r2− h2

x =√r2_{− h}2 _(4.1)

Dessa forma, temos

De (4.1)

area(γ ∩ T ) = 4πcx = 4πc√r2_{− h}2

e

area(γ ∩ C) = 2πc.2x = 4πcx = 4πc√r2_{− h}2

Como γ é um plano arbitrário, tomado paralelamente ao plano α, segue do Princípio de Cavalieri que o volume do toro T é igual ao volume do cilindro circular C, ou seja,

vol(T ) = vol(C) = 2π2r2c



4.6

Volume do Anel Esférico

Definição 4.7. Anel esférico é o sólido obtido de uma esfera pela remoção de um canal cilíndrico coaxial com um eixo polar (diâmetro) da esfera.

Teorema 4.7. O volume de um anel esférico de altura h é igual a 4₃πh3.

Demonstração. Seja A o anel esférico obtido da remoção de um cilindro circular reto, de raio r e altura h, de uma esfera de raio R, e seja S uma esfera de raio h/2. Sejam os planos paralelos α, onde repousam os sólidos A e S, e β, que contém as origens O e O0 de A e S, respectivamente.

S

A

Figura 4.14. Os sólidos A e S seccionados pelos planos α e β.

Agora, seja γ um plano qualquer paralelo aos planos α e β. A secção plana γ ∩ A é uma planificação do anel esférico, e γ ∩ S é um círculo.

29

Seja y a distância do plano β ao plano γ.

h/2

S

A

Figura 4.15. Os sólidos A e S seccionados pelos planos γ e β. Então, pelo Teorema de Pitágoras, temos

(r + x)2+ y2 = R2 (r + x)2 = R2− y2 _(4.2)

A

Figura 4.16. Triângulo retângulo gerado pela interseção dos planos γ e β no sólido A.

Dessa forma, temos

area(γ ∩ A) = π(r + x)2− πr2

De (4.1), obtemos

isto é, area(γ ∩ A) = πR2− πy2_{− πr}2 _(4.3)

A

Figura 4.17. Triângulo retângulo gerado pela interseção dos planos α e β no sólido A.

Agora, seja o triângulo retângulo formado pelos planos α e β. Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que

 h 2 2 + r2 = R2 h2 4 = R 2_{− r}2

Aplicando o resultado obtido em (4.2) temos

area(γ ∩ A) = πR2− πr2− πy2 = area(γ ∩ A) = π(R2− r2) − πy2 = πh

2 4 − πy 2

S

Figura 4.18. Triângulo retângulo gerado pela interseção dos planos γ e β no sólido S.

31

Novamente, pelo Teorema de Pitágoras temos z2+ y2 = (h 2) 2 z2 = h 2 4 − y 2

Assim, concluimos que

area(γ ∩ S) = πz2 = π h

2

4 

− y2

Como γ é um plano arbitrário, tomado paralelamente ao plano α, segue do Princípio de Cavalieri que o volume do anel esférico A é igual ao volume da esfera S, ou seja, vol(A) = vol(S) = 4 3π  h 2 3 = 1 12πh 3 

4.7

Volume da Cunha Cilíndrica

Definição 4.8. Cunha Cilíndrica é o sólido obtido da secção de um cilindro cir-cular reto por um plano que corta o diâmetro da base desse cilindro.

h

r

r

r

Figura 4.19. Cunha cilíndrica de altura h.

Teorema 4.8. O volume de um anel esférico de altura h é igual a 4₃πh3_.

Demonstração. Seja C um cilindro circular reto (cilindro cujo eixo central é perpendicular à base circular) de raio da base medindo r, que repousa sobre um plano α, apoiado em uma das bases circulares.

Seja β um plano passando pelo centro da base circular, portanto contendo um diâmetro da base, inclinado em relação ao plano α da base, que corta C em uma altura h. O sólido delimitado pelo plano α da base do cilindro, pela superfície cilíndrica e pelo plano inclinado β é a cunha cilíndrica.

Para calcular o volume da cunha cilíndrica, consideraremos a metade da cu-nha cilíndrica K, obtida quando cortamos a cucu-nha por um plano γ perpendicular ao plano α da base. Consideraremos também uma pirâmide P , cuja base é um retângulo de dimensões r e h/2, mas apoiada sobre o plano α por um lado trian-gular, que é um triângulo retângulo de catetos iguais a r, e perpendicular à base retangular. Consideramos também um bloco retangular reto B, de base quadrada de lado r e altura h/2.

h

h/2

r

r

r

_r

r

Figura 4.20. A metade da cunha cilíndrica K, a pirâmide P e o bloco retangular reto B.

Os retângulos de lados r e h/2, nos sólidos P e B, situam-se em um mesmo plano δ, que é tangente à superfície cilíndrica, sendo γ paralelo ao plano δ, com a K situado entre esses planos.

Seccionamos simultaneamente os sólidos K, P e B por um plano θ qualquer, paralelo aos planos γ e δ. Vamos mostrar que

area θ ∩ K+ area θ ∩ P = area θ ∩ B

Vamos calcular a área do triângulo de catetos w e z obtido pela secção θ ∩ K. Conforme a figura, vamos calcular z utilizando o Teorema de Pitágoras. Assim,

r2 = (r − x)2+ z2 z2 = r2− (r − x)2

33

r

z

w

Figura 4.21. Triângulo de catetos w e z obtido pela secção θ ∩ K.

r

r

r

z

x

α

Agora, para encontrarmos o valor de w, basta observar que o triângulo for-mado pela secção θ ∩ K é semelhante ao triângulo obtido pela secção γ ∩ K.

Então, r √ 2rx − x2 = h w rw = h√2rx − x2 w = h r √ 2rx − x2

Dessa forma, temos que a área da secção θ ∩ K é dada por

wz 2 = h r √ 2rx − x2√_{2rx − x}2 2 = h r(2rx − x 2₎ 2 = hx − hx2 2r

α

h

r

w

z

Agora, para calcular a área da secção θ ∩ P , precisamos encontrar os valores de a e b.

b

a

Figura 4.24. Retângulo de lados a e b formado pela secção θ ∩ P .

Para encontrarmos a, basta observar que o triângulo da secção α ∩ P é semelhante ao triângulo delimitado pelos planos γ e θ, então, temos que

α

35

Agora, para encontrarmos b, podemos observar que o triângulo de lados r e h/2 é semelhante ao triângulo delimitado pelos planos γ e θ, então

r x b h/2 Figura 4.26. r r − x = h/2 b br = h 2(r − x) b = h 2r(r − x) b = h 2 − hx 2r

Assim, a área do retângulo obtido pela secção θ ∩ P é dada por ab = (r − x) h 2 − hx 2r  = hr 2 − hx + hx2 2r A área de θ ∩ B é h 2r = hr 2 Logo, obtemos o seguinte

(hx − hx 2 2r ) + ( hr 2 − hx + hx2 2r ) = hr 2 ou seja,

area θ ∩ K+ area θ ∩ P = area θ ∩ B

Como θ é um plano arbitrário, tomado paralelamente ao plano γ, segue do Princípio de Cavalieri que o volume do sólido k é igual ao volume do bloco B menos o volume da pirâmide P , ou seja,

vol(K) = vol(B) − vol(P ) = hr 2 r − 1 3 hr2 2 = hr2 3

Como o sólido K é metade da cunha cilíndrica, então o volume total da cunha cilíndrica é dado por

vol(cunha) = 2vol(K) = 2 3hr

2

Referências Bibliográficas

[1] BOYER, Carl B. História da matemática. 2 ed. São Paulo: (tradução de Elza Gomide). Edgard Blucher, 2003. 496 p.

[2] EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 4 ed. Campinas: (tra-dução de Hygino H. Domingues). Editora da Unicamp, 2004. 848 p.

[3] LIMA, E. L. Medida e Forma em Geometria. Rio de Janeiro: Sociedade Bra-sileira de Matemática, 2008. 98 p.