MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Damares Pavione
&
COLEÇÃOCONCURSOSPÚBLICOSMATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
Damares Pavione&
COLEÇÃOCONCURSOSPÚBLICOS
(UFV). Mestre em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Viçosa. Trabalhou como engenheira civil na Companhia de Sanea-mento Básico do Estado de São Paulo (SABESP). Engenheira civil do Departamento de Ciência e Tecnologia Aeroespacial (DCTA). Professora da Universidade do Vale do Paraíba (UNIVAP).
Coordenação
Lu i z F l á v i o Go m e s
Jurista e cientista criminal. Fundador da Rede de Ensino LFG. Diretor-presidente do Instituto de Pesquisa e Cultura Luiz Flávio Gomes. Foi Promotor de Justiça (1980 a 1983), Juiz de Direito (1983 a 1998) e Advogado (1999 a 2001).
F a b r í c i o B o l z a n
Mestrando em Direito do Estado pela PUCSP. Palestrante exclusivo de Direito Administrativo e Direito do Consumidor da Rede de Ensino LFG. Consultor jurídico.
2 0 1 2
MATEMÁTICA E
RACIOCÍNIO LÓGICO
Damares Pavione&
COLEÇÃOCONCURSOSPÚBLICOS
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Damares Pavione&
COLEÇÃOCONCURSOSPÚBLICOSDamares Pavione
Diretor editorial Luiz Roberto Curia Gerente de produção editorial Lígia Alves Editor Roberto Navarro
Assistente editorial Thiago Fraga Produtora editorial Clarissa Boraschi Maria Preparação de originais Ana Cristina Garcia
Maria Izabel Barreiros Bitencourt Bressan Liana Ganiko Brito Catenacci Arte e diagramação Cristina Aparecida Agudo de Freitas
Tavares Produções Gráficas Revisão de provas Rita de Cássia Queiroz Gorgati
Regina Machado Serviços editoriais Elaine Cristina da Silva
Kelli Priscila Pinto Capa Guilherme P. Pinto Produção gráfica Marli Rampim
Pavione, Damares
Matemática e raciocínio lógico / Damares Pavione. — São Paulo : Saraiva, 2012. — (Coleção concursos públicos : nível médio e superior).
1. Lógica - Concursos públicos 2. Lógica simbólica e matemática - Problemas, exercícios etc. 3. Matemática - Concursos públicos 4. Raciocínio I. Título. II. Série.
Editado também como livro impresso em 2012. Índices para catálogo sistemático: 1. Concursos públicos : Matemática 510.76 2. Concursos públicos : Raciocínio lógico 511.076 3. Matemática : Concursos públicos 510.76 4. Raciocínio lógico : Concursos públicos 511.076
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização da Editora Saraiva.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei n. 9.610/98 e punido pelo art. 184 do Código Penal.
FILIAIS
AMAZONAS/RONDÔNIA/RORAIMA/ACRE Rua Costa Azevedo, 56 – Centro
Fone: (92) 3633-4227 – Fax: (92) 3633-4782 – Manaus BAHIA/SERGIPE
Rua Agripino Dórea, 23 – Brotas Fone: (71) 3381-5854 / 3381-5895 Fax: (71) 3381-0959 – Salvador BAURU (SÃO PAULO)
Rua Monsenhor Claro, 2-55/2-57 – Centro Fone: (14) 3234-5643 – Fax: (14) 3234-7401 – Bauru CEARÁ/PIAUÍ/MARANHÃO
Av. Filomeno Gomes, 670 – Jacarecanga Fone: (85) 3238-2323 / 3238-1384 Fax: (85) 3238-1331 – Fortaleza DISTRITO FEDERAL
SIA/SUL Trecho 2 Lote 850 – Setor de Indústria e Abastecimento Fone: (61) 3344-2920 / 3344-2951
Fax: (61) 3344-1709 – Brasília GOIÁS/TOCANTINS
Av. Independência, 5330 – Setor Aeroporto Fone: (62) 3225-2882 / 3212-2806 Fax: (62) 3224-3016 – Goiânia MATO GROSSO DO SUL/MATO GROSSO Rua 14 de Julho, 3148 – Centro
Fone: (67) 3382-3682 – Fax: (67) 3382-0112 – Campo Grande MINAS GERAIS
Rua Além Paraíba, 449 – Lagoinha
Fone: (31) 3429-8300 – Fax: (31) 3429-8310 – Belo Horizonte PARÁ/AMAPÁ
Travessa Apinagés, 186 – Batista Campos Fone: (91) 3222-9034 / 3224-9038 Fax: (91) 3241-0499 – Belém PARANÁ/SANTA CATARINA Rua Conselheiro Laurindo, 2895 – Prado Velho Fone/Fax: (41) 3332-4894 – Curitiba PERNAMBUCO/PARAÍBA/R. G. DO NORTE/ALAGOAS Rua Corredor do Bispo, 185 – Boa Vista Fone: (81) 3421-4246 – Fax: (81) 3421-4510 – Recife RIBEIRÃO PRETO (SÃO PAULO)
Av. Francisco Junqueira, 1255 – Centro
Fone: (16) 3610-5843 – Fax: (16) 3610-8284 – Ribeirão Preto RIO DE JANEIRO/ESPÍRITO SANTO
Rua Visconde de Santa Isabel, 113 a 119 – Vila Isabel Fone: (21) 2577-9494 – Fax: (21) 2577-8867 / 2577-9565 Rio de Janeiro
RIO GRANDE DO SUL Av. A. J. Renner, 231 – Farrapos
Fone/Fax: (51) 3371-4001 / 3371-1467 / 3371-1567 Porto Alegre
SÃO PAULO
Av. Antártica, 92 – Barra Funda Fone: PABX (11) 3616-3666 – São Paulo
CEP 05413-909 PABX: (11) 3613 3000 SACJUR: 0800 055 7688 De 2ª a 6ª, das 8:30 às 19:30 saraivajur@editorasaraiva.com.br Acesse: www.saraivajur.com.br 132.623.001.001 Dúvidas? Acesse www.saraivajur.com.br
Aos meus pais, pelo apoio incondicional em todas as etapas da minha vida.
Ao meu esposo, companheiro carinhoso e amigo. E a Deus, que é capaz de fazer infinitamente mais do que tudo o que pedimos ou pensamos, conforme o Seu poder que atua em nós.
Sumário
APRESENTAÇÃO DA COLEÇÃO ... 13
CAPÍTULO 1 – CONJUNTOS ... 15
1.1. RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS ... 15
1.1.1. Relação de pertinência ... 16
1.1.2. Relação de inclusão ... 16
1.2. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS ... 17
1.2.1. União entre conjuntos ... 17
1.2.2. Interseção entre conjuntos ... 17
1.2.3. Diferença entre conjuntos ... 18
1.3. CONJUNTOS NUMÉRICOS ... 20
1.3.1. Conjunto dos números naturais – ... 21
1.3.2. Conjunto dos números inteiros – ... 21
1.3.3. Conjunto dos números racionais – ... 21
1.3.4. Conjunto dos números irracionais – ... 23
1.3.5. Conjunto dos números reais – ... 25
1.3.6. Conjunto dos números complexos ... 25
1.3.7. Operações com números complexos ... 25
1.3.8. Notação de intervalo ... 26
CAPÍTULO 2 – MÚLTIPLOS E DIVISORES ... 36
2.1. NÚMERO PRIMO ... 36
2.2. FATORAÇÃO ... 37
2.2.1. Fatoração em números primos ... 37
2.2.2. Fator comum em evidência ... 38
2.3. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM - MMC ... 38
2.5. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE ... 41 2.5.1. Divisibilidade por 2 ... 42 2.5.2. Divisibilidade por 3 ... 42 2.5.3. Divisibilidade por 4 ... 42 2.5.4. Divisibilidade por 5 ... 42 2.5.5. Divisibilidade por 6 ... 42 2.5.6. Divisibilidade por 8 ... 43 2.5.7. Divisibilidade por 9 ... 43 2.5.8. Divisibilidade por 10 ... 43 2.5.9. Divisibilidade por 12 ... 43 2.5.10. Divisibilidade por 15 ... 44
CAPÍTULO 3 – RAZÃO E PROPORÇÃO ... 51
3.1. Grandezas diretamente proporcionais ... 52
3.2. Grandezas inversamente proporcionais ... 52
3.3. Regra de três simples ... 52
3.4. Regra de três composta ... 53
CAPÍTULO 4 – PORCENTAGEM E JUROS ... 61
4.1. PORCENTAGEM ... 61
4.2. JUROS ... 62
4.2.1. Juros simples ... 62
4.2.2. Juros compostos ... 62
CAPÍTULO 5 – POTÊNCIAS E RAÍZES ... 68
5.1. OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS ... 68
5.1.1. Exemplos com expoentes inteiros ... 69
5.1.2. Exemplos com expoentes fracionários ... 69
5.2. OPERAÇÕES COM RAÍZES ... 69
5.2.1. Exemplos de operações com raízes ... 71
5.2.2. Racionalização de denominadores ... 71
5.3. POTÊNCIA DE DEZ – NOTAÇÃO CIENTÍFICA .... 71
CAPÍTULO 6 – GEOMETRIA ... 77
6.1. ÂNGULOS ... 77
sUMário
6.2. CIRCUNFERÊNCIA ... 80
6.2.1. Posições relativas entre retas e circunferências ... 81
6.2.2. O número pi ( ) ... 83
6.2.3. Área e perímetro de circunferências e arcos ... 83
6.3. TRIÂNGULO ... 88
6.3.1. Condição de existência ... 88
6.3.2. Classificação dos triângulos ... 89
6.3.3. Soma dos ângulos internos de um triângulo... 89
6.3.4. Segmentos notáveis de um triângulo ... 90
6.3.5. Congruência de triângulos ... 91 6.3.6. Semelhança de triângulo ... 91 6.3.7. Triângulo retângulo ... 92 6.3.8. Teorema de Pitágoras ... 93 6.3.9. Área do triângulo ... 94 6.4. TRIGONOMETRIA ... 96 6.5. POLÍGONOS ... 99
6.5.1. Nomes dos polígonos ... 100
6.5.2. Número de diagonais de um polígono ... 100
6.5.3. Soma dos ângulos de um polígono ... 101
6.5.4. Apótema de um polígono regular ... 102
6.5.5. Área de um retângulo ... 102 6.6. GEOMETRIA ESPACIAL ... 103 6.6.1. Esfera ... 104 6.6.2. Cilindro ... 104 6.6.3. Prisma ... 105 6.6.4. Cone ... 106 6.6.5. Pirâmide ... 106
CAPÍTULO 7 – UNIDADES DE MEDIDA ... 119
7.1. UNIDADES DE COMPRIMENTO ... 119
7.1.1. Múltiplos e submúltiplos do metro ... 119
7.2. UNIDADES DE ÁREA ... 120
7.2.1. Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado ... 120
7.3. UNIDADES DE VOLUME ... 121
7.3.1. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico ... 121
7.3.2. Múltiplos e submúltiplos do litro ... 121
CAPÍTULO 8 – EQUAÇÕES E FUNÇÕES ... 127
8.1. FUNÇÕES PAR E ÍMPAR, CRESCENTE E DECRES-CENTE ... 128 8.2. EQUAÇÃO DE 1o GRAU ... 130 8.3. EQUAÇÃO DE 2o GRAU ... 131 8.3.1. Produtos notáveis ... 132 8.4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ... 132 8.5. FUNÇÃO DE 1o GRAU ... 134 8.6. FUNÇÃO DE 2o GRAU ... 135 8.7. FUNÇÃO EXPONENCIAL ... 138 8.8. FUNÇÃO LOGARÍTMICA ... 141 8.8.1. Propriedades logarítmicas ... 142 8.9. INEQUAÇÃO DE 1o GRAU ... 145 8.10. INEQUAÇÃO DE 2o GRAU ... 146
8.11. DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO EM .. 147
8.12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ... 154
CAPÍTULO 9 – PROGRESSÕES ... 164
9.1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA ... 164
9.1.1. Razão de uma PA ... 164
9.1.2. Termo geral de uma PA ... 165
9.1.3. Soma de uma PA ... 165
9.2. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - PG ... 166
9.2.1. Razão de uma PG ... 166
9.2.2. Termo geral de uma PG ... 167
9.2.3. Soma de uma PG ... 167
CAPÍTULO 10 – NOÇÕES DE ESTATÍSTICA ... 173
10.1. MÉDIA ARITMÉTICA, MEDIANA E MODA ... 173
10.1.1. Média aritmética simples ... 173
10.1.2. Média aritmética ponderada ... 174
10.1.3. Mediana ... 174
10.1.4. Moda ... 174
10.2. DESVIO PADRÃO E DISPERSÃO ... 175
10.2.1. Desvio padrão ... 175
10.2.2. Variância ... 175
sUMário
CAPÍTULO 11 – MATRIZ E DETERMINANTE ... 185
11.1. MATRIZES ... 185 11.1.1. Matriz nula ... 185 11.1.2. Matriz quadrada ... 186 11.1.3. Matriz identidade ... 186 11.1.4. Matriz transposta ... 186 11.1.5. Matriz simétrica ... 187 11.1.6. Soma de matrizes ... 187
11.1.7. Propriedades de soma ou subtração de matrizes . 188 11.1.8. Multiplicação de uma matriz por um escalar ... 188
11.1.9. Propriedades da multiplicação de matriz por esca-lar ... 188
11.1.10. Multiplicação de matrizes ... 188
11.1.11. Propriedades da multiplicação de matrizes ... 189
11.1.12. Matriz inversa... 190
11.2. DETERMINANTES ... 191
11.2.1. Determinante de uma matriz de segunda ordem (2x2) ... 191
11.2.2. Determinante de uma matriz de terceira ordem (3x3) ... 191
11.2.3. Propriedades dos determinantes ... 192
CAPÍTULO 12 – ANÁLISE COMBINATÓRIA E PRO-BABILIDADE ... 199
12.1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM.... 199
12.1.1. Número de possibilidades de ocorrência simul-tânea de eventos ... 199
12.1.2. Número de possibilidades de ocorrência não si-multânea de eventos ... 199
12.2. PROBABILIDADE ... 200
12.2.1. União de dois eventos ... 201
12.2.2. Probabilidade de dois eventos ... 202
12.3. COMBINAÇÃO, ARRANJO E PERMUTAÇÃO ... 203
12.3.1. Fatorial ... 203
12.3.2. Combinação ... 203
12.3.3. Arranjo ... 204
CAPÍTULO 13 – RACIOCÍNIO LÓGICO ... 218 13.1. PROPOSIÇÕES... 218 13.1.1. Negação ... 219 13.1.2. Conjunção ... 220 13.1.3. Disjunção ... 221 13.1.4. Disjunção exclusiva ... 221 13.1.5. Condicional ... 222 13.1.6. Bicondicional ... 228 13.1.7. Negação de proposições ... 229
13.1.8. Número de linhas da tabela verdade ... 230
13.1.9. Tautologia e proposições contraditórias ... 231
13.2. LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO ... 232 13.2.1. Argumento ... 232 13.2.2. Quantificadores ... 233 13.2.3. Negação de quantificadores ... 234 13.2.4. Diagramas lógicos ... 235 13.3. QUESTÕES DIVERSAS ... 242
Cap. – Con Untos
Apresentação da Coleção
O maior objetivo da Coleção Concursos Públicos – Nível Médio e Superior é dar acesso ao Direito para os candidatos que pretendem ocupar cargos públicos mesmo sem possuir grau superior ou para aqueles que já cursaram uma universidade, mas em áreas completa-mente distintas da carreira jurídica.
Tal finalidade será alcançada certamente em razão da excelência dos autores, que possuem larga experiência em ensinar o Direito para os alunos que almejam aprovação em concursos públicos envolvendo carreiras não jurídicas. Assim, houve efetiva preocupação e compro-metimento de cada um dos autores no sentido de evitar o uso exces-sivo de terminologias técnico-jurídicas, ou, quando necessária a utili-zação desses termos, ocorreu uma verdadeira tradução do famoso “juridiquês”.
É muito difícil compreender uma lei com vários termos jurídicos se o candidato não cursou graduação em Direito. Foi pensando nesse público que esta Coleção foi idealizada há algum tempo e agora con-cretizada com o propósito de simplificar o Direito. Muitos exemplos da vida cotidiana, esquemas e quadros sinóticos foram utilizados para facilitar ao máximo a compreensão das mais variadas disciplinas jurí-dicas solicitadas em concursos de nível médio e superior.
No entanto, nem só de conhecimento sobre o Direito vive o candidato a ocupar um cargo público. Dessa forma, além das discipli-nas jurídicas, o leitor irá se deparar com uma Coleção que terá entre os seus volumes quatro matérias imprescindíveis para a aprovação em qualquer concurso público, quais sejam: Português, Matemática, Ra-ciocínio Lógico e Informática.
Com o propósito de auxiliar os candidatos no ingresso em car-reiras: de Analista e Técnico de Tribunais Estaduais e Federais e dos Ministérios Públicos Estaduais e Federal; de Agente e Escrivão das Polícias Civis Estaduais e Federal e das Polícias Rodoviárias Estaduais e Federal; em entidades e órgãos da Administração Pública Municipal, Estadual, Distrital ou Federal como o INSS e a AGU, dentre outras, estamos convictos de que esta é uma Coleção que irá revolucionar a metodologia de aprendizado para o êxito no concurso público.
Se você pensa num futuro melhor ocupando uma carreira públi-ca, não perca mais tempo e comece já a sua preparação. Bons estudos e avante!
Os Coordenadores Luiz Flávio Gomes e Fabrício Bolzan
Cap. – Con Untos
1.
CON
NTOS
Conjunto é uma união de elementos que possuem características em comum. Os conjuntos são normalmente representados fechando-se em chaves os seus elementos, ou através de diagramas. Veja os exemplos.
3 6 9
12 15
18 A
• A é o conjunto formado por múltiplos de 3 menores que 20. • B {Salvador, Aracaju, Maceió, Recife, João Pessoa, Natal, Fortaleza, Terezina, São Luís}. B é o conjunto formado pelas capitais nordestinas.
1.1. RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS
A tabela a seguir mostra os símbolos utilizados quando se traba-lha com conjuntos. Em seguida, os exemplos demonstrarão melhor o uso de cada um.
ou Conjunto vazio
Pertence
Não pertence
Não está contido Contém Não contém União Interseção Diferença
Considere os conjuntos A, B, C e D. Cada um deles está repre-sentado de duas formas diferentes.
3 6 9 12 15 18 21 A 6 12 24 18 30 B 6 9 3 D C • A {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21} • B {6; 12; 18; 24; 30} • C , ou C { } • D {3; 6; 9} 1.1.1. elaçãodepertinência
O elemento 15 pertence ao conjunto A, mas não pertence ao Conjunto B. As notações para estas afirmações são:
• 15 A (leia-se: 15 pertence a A). • 15 B (leia-se: 15 não pertence a B).
1.1.2. elaçãodeinclusão
Todos os elementos do conjunto D também pertencem ao conjunto A. Portanto, o conjunto D está contido em A. Podemos também dizer que D não está contido em B. Neste caso, utilizamos as notações:
Cap. – Con Untos 3 6 9 12 15 18 21 A D
• D A (leia-se: D está contido em A). • D B (leia-se: D não está contido em B).
Outra forma de expressar que D está contido em A é dizendo que A contém D. Semelhantemente, B não contém D.
• A D (leia-se: A contém D). • B D (leia-se: B não contém D).
Podemos dizer ainda que D é um subconjunto de A.
1.2. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
1.2.1. Uniãoentreconjuntos
A representação da união de todos os elementos dos conjuntos A e B em um novo conjunto é: 3 6 9 12 15 18 21 24 30 A B
A B 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 30 (leia-se: A união com B)
1.2.2. Interseçãoentreconjuntos
A interseção entre dois conjuntos é formada pelos seus elemen-tos comuns. Desta forma, tem-se:
3 6 9 12 15 18 21 24 30 A B A B
A B 6; 12; 18 (leia-se: A interseção com B)
1.2.3. Diferençaentreconjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é formada pelos elementos pertencentes a A menos aqueles pertencentes a B. Logo,
A B 3 6 9 12 15 18 21 24 30 A B 3; 9; 15; 21 (leia-se: A menos B)
✎
APLICAÇÃO EM CONCURSOS
CAIPIMES/2007/São Paulo Turismo – A tabela abaixo represen-ta o resulrepresen-tado de uma pesquisa semanal em um resrepresen-taurante sobre a preferência entre 3 vinhos A, B e C: Considere as afirmativas:
VINHO PREFERÊNCIA
A 160
B 200
C 270
Cap. – Con Untos
B e C 90
A e C 100
A, B e C 60
Nenhum 160
I. 40 pessoas preferem somente o vinho A II. 280 pessoas preferem o vinho A ou B III. 140 pessoas preferem somente o vinho C IV. 580 pessoas foram consultadas
São verdadeiras as alternativas: a) II, III e IV apenas
b) I, II, III e IV c) I, III e IV apenas d) I, II e III apenas
Solução:
Observe que existem quatro diferentes conjuntos; o conjunto das pessoas que gostam do vinho A, das pessoas que gostam do vinho B, das pessoas que gostam do vinho C e daquelas que não gostam de nenhum desses vinhos. Os conjuntos A, B e C possuem elementos em comum. Ou seja, quando a tabela acima diz que pessoas têm preferên-cia pelos vinhos A e B, por exemplo, essas pessoas pertencem tanto ao grupo A quanto ao grupo B.
Quando a tabela diz que 160 pessoas preferem o vinho A, quer dizer que a soma de todo o conjunto A tem que ser igual a 160. Cui-dado! A tabela não informou aqueles que preferem apenas o vinho A. O conjunto daqueles que não gostam de nenhum dos três vinhos ficará separado, sem nenhum elemento em comum.
Sabemos quantas pessoas preferem os três vinhos concomitante-mente. Logo, a área de interseção dos três conjuntos deverá conter 60 pessoas.
O número de elementos das áreas comuns a dois conjuntos é obtido por simples subtração.
Por exemplo, o número de pessoas comum aos conjuntos A e B é de 80 pessoas. Dessas 80 pessoas há aquelas que também gostam do vinho C, que são 60 pessoas. Assim, o número daqueles que gostam apenas dos vinhos A e B é de 20 pessoas (80 - 60).
80-60 90-60 100-60 160 Nenhum 60 A B 160 Nenhum 20 30 40 60 A B C C
Para encontrar o número de pessoas que gostam apenas do vinho A, por exemplo: 160 (engloba todo o conjunto A) menos 20 (aqueles que gostam dos vinhos A e B), menos 40 (aqueles que gos-tam dos vinhos A e C), menos 60 (aqueles que gosgos-tam dos vinhos A, B e C).
Descobrindo-se o número de pessoas de cada área isolada dos con- juntos, para se encontrar o número total de pessoas entrevistadas basta somar cada área isolada (40 20 40 60 30 90 140 160 580). 60 60 160 Nenhum A B 160 Nenhum A B C C 20 90 40 40 30 20 40 30 140 270-40-60-30 160-20-60-40 200-20-60-30 (Resposta: letra b)
1.3. CONJUNTOS NUM RICOS
Os números podem ser agrupados em diferentes conjuntos, con-forme suas características.
Cap. – Con Untos – Irracionais – Racionais – Reais – Complexos – Inteiros – Naturais 1.3.1. Conjuntodosnúmerosnaturais
São todos os números inteiros e positivos, inclusive o zero. 0; 1; 2; 3; 4; ...; 100; 101; 102; ...
1.3.2. Conjuntodosnúmerosinteiros
São todos os números do conjunto N, acrescidos dos números inteiros negativos.
... 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; ...
1.3.3. Conjuntodosnúmerosracionais
São todos os números do conjunto , acrescidos dos números fracionários, inclusive as dízimas periódicas.
Exemplos:
0; 0,444; 12; 1; 2; 3,333333...; 5,5
Dízimas periódicas
Dízima é um número que, quando escrito no sistema decimal, possui infinitos algarismos. Por exemplo: 0,33333.... A quanti -dade de algarismos 3, depois da vírgula, é infinita.
Essas dízimas possuem um PERÍODO. Isso significa que os al-garismos após a vírgula, os chamados decimais, se repetem. Veja os exemplos:
• 0,44444... período: 4 • 2,184184... período: 184
• 0,53333... período: 3. Neste caso, o 5 é a parte não periódica, pois só aparece uma vez, não se repete.
As dízimas periódicas podem ser escritas como uma razão entre dois números inteiros (com denominador diferente de zero). Essa razão chama-se fração geratriz.
Fração geratriz
Quando temos uma dízima simples, ou seja, sem parte não perió-dica, coloca-se na fração geratriz um algarismo 9 para cada algarismo da dízima no denominador e o período no numerador. Acompanhe o exemplo a seguir.
2,184 2 0,184184 ...
Iremos determinar a fração geratriz da parte decimal. A dízima é formada por
um período de três algarismos (184).
Coloca-se o período no numerador.
Como o período é formado por três algarismos, colocam-se três algarismos 9 no denominador.
0,184 184999
Agora basta juntar a parte fracionária à parte inteira. A função geratriz do número 2,184184... é 2 184999 1998 184999 2182999 Quando há uma parte não periódica, o procedimento para se en-contrar a fração geratriz é um pouco diferente. Acompanhe o exemplo.
Coloca-se no numerador um número formado pelos algarismos da parte não periódica e da parte periódica: 53 Parte não periódica: 5
Parte periódica: 3
0,5333 53 590 Diminui-se pela parte não periódica: 5 No denominador coloca-se um algarismo 9 para cada algarismo da parte perió-dica e um algarismo zero para cada algarismo da parte não perióperió-dica: 90
A fração geratriz da dízima 0,5333... é
Dividimos por 6 para simplificar a fração. 53 5 90 48 90 8 15 6 6
Cap. – Con Untos
Veja mais um exemplo.
0,90686868... 9068 90 9900 8978 9900 4489 4950 Parte periódica: 68
Parte não periódica: 90
É importante ter em mente algumas características de operações entre elementos do conjunto dos números racionais.
Considere dois números, x e y, ambos racionais (pertencentes ao conjunto Q).
• (x y) Q A soma de dois números racionais resulta em um número racional
• (x y) Q A diferença entre dois números racionais resul-ta em número racional
• (x y) Q O produto de dois números racionais resulta em um número racional
•
xy Q, y 0 O quociente de dois números racionais resulta em um número racional, desde que o denominador seja dife-rente de zero.
Podemos dizer então que o conjunto dos números racionais é fechado para as operações de adição, subtração, multiplicação e divi-são (exceto por zero).
1.3.4. Conjuntodosnúmerosirracionais
Os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma ab com a e b inteiros. Ou seja, não existe uma fração que os represente. São dízimas, mas não periódicas, ou seja, não existe um período que se repete infinitamente.
A dízima periódica 0,3333333... pode ser escrita com a fração 13. Já para o número irracional PI (3,141592...) não existe uma fração de números inteiros que o represente. (Veja número PI em
circunferên-cia, geometria plana.)
Pela figura anterior, que expressa os conjuntos numéricos exis-tentes, percebemos que não existe um número que seja irracional
(conjuntos I) e racional (conjunto Q) ao mesmo tempo, como ocorre com alguns números em Z e N, por exemplo.
NOTA São irracionais todas as raízes de números naturais cujos resultados não são inteiros, isto é, raízes não perfeitas. Exemplos:
• √16 2 ⇒ 4 4√16 é um número racional, pois sua raiz é inteira • √ 3 é um número irracional
Agora, vejamos as operações entre dois números irracionais (per-tencentes ao conjunto I).
• A soma de dois números irracionais nem sempre resulta em um número irracional.
Exemplo: √ 2 ( √ 2) 0 ⇒ zero não está em .
• A diferença entre dois números irracionais nem sempre resulta em número irracional.
Exemplo: √ 2 √ 2 0 ⇒ zero não está em .
• O produto de dois números irracionais nem sempre resulta em um número irracional.
Exemplo: √ 2 √ 2 2 ⇒ 2 não está em .
• O quociente de dois números irracionais nem sempre resulta em um número irracional.
Exemplo: √ 2
√ 2 1 ⇒ 1 não está em .
Podemos dizer então que o conjunto dos números irracionais não é fechado para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Vejamos agora operações entre um número racional (a) e um número irracional (b).
• (a b) A soma de um número racional com um núme-ro irracional resulta em um númenúme-ro irracional.
• (a b) A diferença entre um número racional e um número irracional resulta em um número irracional.
• (a b) O produto de um número racional por um núme-ro irracional resulta em um númenúme-ro irracional.
Cap. – Con Untos
• ab O quociente de um número racional por um número irracional resulta em um número irracional.
• ba Um número irracional elevado a um expoente
racio-nal resulta em um número irracioracio-nal.
1.3.5. Conjuntodosnúmerosreais
São todos os números do conjunto , acrescidos dos números irracionais (conjunto ). A figura que ilustra a relação entre os conjun-tos mostra que o conjunto está dentro do conjunto , mas à parte do conjunto .
1.3.6. Conjuntodosnúmeroscomplexos
No conjunto dos números reais, quando elevamos um número ao quadrado, positivo ou negativo, o resultado sempre será positivo.
32 3 3 9
( 3)2 ( 3) ( 3) 9
Entretanto, o conjunto dos números complexos traz o conceito dos números com parte imaginária (i ), que possuem a propriedade de, quando elevados ao quadrado, resultar em um número negativo.
i2 1
Um número complexo é escrito na forma z x yi
em que x representa a parte real, enquanto yi representa a parte ima-ginária.
A cada número complexo podemos atribuir um número real equivalente, dado por z.
z √ x2 y2
1.3.7. Operaçõescomnúmeroscomplexos Adição e subtração:
• (a bi) (c di) (a c) (b d)i Somam-se as partes reais e somam-se as partes imaginárias.
• (a bi) (c di) (a c) (b d)i Subtraem-se as partes reais e subtraem-se as partes imaginárias.
Multiplicação e divisão:
• (a bi) (c di) (ac bd) (ad cb)i Multiplicam-se todos os termos do primeiro parênteses por todos os termos do se-gundo parênteses.
• (a bi)(c di) (a bi)(c di) (c di)(c di) (a c) (b d)ic2 (di)2 (a c) (b d)ic2 d2 (Veja produtos notáveis em equações de 2o
grau, equações e funções.) Multiplicam-se os dois termos por um número complexo que permitirá eliminar a parte imaginária do de-nominador, semelhantemente ao que é feito na racionalização de denominadores. (Veja racionalização de denominadores em cias e raízes.)
• (a bi)di (a bi)di ii ai bidi2 2 ai b 1d aid bd Quando o denominador possui apenas a parte imaginária (parte real igual a zero), basta multiplicar o numerador e o denominador por i para eliminar a parte imaginária do denominador.
NOTA Quando se deseja representar um conjunto excluindo-se o zero, coloca-se um asterisco (*) acompanhando a notação do conjunto.
Quando se deseja representar apenas os valores positivos ou nega-tivos de um conjunto, coloca-se o subscrito ou o subscrito acom-panhando a notação do conjunto.
• * é o conjunto dos números naturais diferentes de zero. • é o conjunto dos números inteiros positivos (inclui-se o zero).
• é o conjunto dos números racionais negativos (inclui-se o zero).
• * é o conjunto dos números reais positivos (exclui-se o zero).
1.3.8. Notaçãodeintervalo
Intervalos numéricos são subconjuntos de um determinado con-junto. Na figura abaixo, a reta representa o conjunto dos números reais. A distância entre dois pontos quaisquer na reta real representa o intervalo.
0
1 2
Cap. – Con Untos
A figura mostra uma reta numérica, onde se encontram, em ordem crescente, todos os números do conjunto , inclusive aqueles fracioná-rios e irracionais, apesar de não estarem todos os números indicados. Como foi indicado que a reta numérica representa o conjunto dos números reais, estes números não escritos estão subentendidos.
Repare que as setas indicam que o conjunto continua com os números menores que 3 e maiores que 3.
Se a reta numérica fosse representante do conjunto dos números naturais, consideraríamos apenas os números inteiros positivos.
0 1 2 3
A linha mais espessa na primeira figura representa um intervalo numérico. No caso, este intervalo compreende todos os números entre o número 1 e o número 1 (Por exemplo: 0,6543; 0,5; 0; 0,3333333; 0,8 etc.).
Na notação de intervalo colocamos uma “bolinha cheia” para indicar que o número no qual a bolinha se encontra também perten-ce ao intervalo (intervalo fechado). A “bolinha vazia” indica que o número não pertence ao intervalo (intervalo aberto). Ou seja, no caso em questão, os números muito próximos de 1 (0,99; 0,9999; 0,9999999) pertencem ao intervalo. Mas o número 1 não pertence.
A seguir, são descritas outras formas de notação de intervalo. • Intervalos de todos os números compreendidos entre 2 e 5. Intervalo fechado à direita e à esquerda. Ou seja, os números 2 e 5 pertencem ao intervalo.
✓ [ 2; 5] ou
✓ {x / 2 x 5}
• Intervalos de todos os números compreendidos entre 2 e 5. Intervalo fechado apenas à direita. Ou seja, o número 5 pertence ao intervalo, mas o número 2, não.
✓ ] 2; 5] ou ✓ ( 2; 5] ou
• Intervalos de todos os números compreendidos entre 2 e 5. Intervalo fechado apenas à esquerda. Ou seja, o número 2 pertence ao intervalo, mas o número 5, não.
✓ [ 2; 5[ ou ✓ [ 2; 5) ou
✓ {x / 2 x 5}
• Intervalos de todos os números compreendidos entre 2 e 5. Intervalo aberto à direita e à esquerda. Ou seja, os números 2 e 5 não pertencem ao intervalo.
✓ ] 2; 5 [ ou ✓ ( 2; 5) ou
✓ {x / 2 x 5}
É fácil perceber que, assim como a “bolinha cheia”, o colchete virado para dentro indica intervalo fechado. E o colchete virado para fora, ou o parênteses, indica o intervalo aberto. E ainda, o sinal de (menor que) denota intervalo aberto, enquanto o sinal de (menor ou igual) indica intervalo fechado.
NOTA Leia-se:
{x / 2 x 5}
x pertence a R, tal que, 2 é menor que x, que é menor ou igual a 5.
✎
APLICAÇÃO EM CONCURSOS
FUNRIO/2008/CBM – Dada a dízima x 0,222... , então o valor
numérico da expressão x 1 x 1 x 1x 1 é representado por a) 10367 c) 10567 e) 10467 b) 10365 d) 10465
Cap. – Con Untos
Solução:
Vamos encontrar a fração geratriz da dízima 0,222... e substituí- -la na expressão. 0,222... 29 2 9 1 2 9 1 2 9 1 2 9 1 2 9 2 9 1 2 9 9 2 1 4 81 18 18 4 81 18 18 67 18 103 18 6718 10318 10367 (Resposta: letra a)
AOCP/2009/Casan – Dados os intervalos [5; 8] e [3; 7], podemos afirmar que [5; 8] (3; 7) equivale a
a) (3; 8] c) [5; 7) e) [5; 8]
b) (3; 8) d) [5; 7]
Solução:
Vamos expressar os intervalos sobre retas, para melhor visualiza-ção. Lembrando que a interseção entre os intervalos são os elementos pertencentes aos dois intervalos ao mesmo tempo.
5 3 7 8 5 3 7 8 5 3 7 8
O número 7 não pertence ao intervalo (3; 7), pois este intervalo é aberto nas duas extremidades. Logo, no resultado da interseção o 7 deve aparecer como intervalo aberto.
O número 5 pertence ao intervalo [5; 8], pois este intervalo é fechado em ambas as extremidades. Logo, no resultado da interseção, o 5 deve aparecer como intervalo fechado.
[5; 8] (3; 7) [5; 7)
Outras formas de notação deste intervalo: [5; 7) [5; 7[ {x / 5 x 7}
CESPE/2009/Fundação Hospitalar de Saúde – ES – Julgue os itens que se seguem com relação aos números reais.
Solução:
1. As raízes da equação x2 4x 1 são números irracionais.
(Veja equações e funções.) ( 4)2 4 1 1 12
x ( 4) √ 22 1 4 √ 22
Como √ 2 não é uma raiz perfeita, podemos concluir que é um número irracional. As operações entre um número irracional e um nú-mero racional resultam em um núnú-mero irracional. Assim, concluímos que a soma/subtração e a divisão do número irracional √ 2 pelos números racionais 4 e 2, respectivamente, resultam em um número irracional. (Resposta: item certo)
2. O produto de dois números racionais não inteiros é um número racional não inteiro.
Solução:
Podemos afirmar que o produto de dois números racionais será um número racional. Mas não podemos afirmar se serão inteiros ou não.
Exemplo: 3 4 4 3 12 12 1 Tanto o número 3 4 quanto o número 4 3 são racionais não inteiros. Porém o seu produto é igual a 1, que é um número racional inteiro.
(Resposta: item falso)
3. Se a soma de dois números reais é um número irracional, então um desses números é, necessariamente, irracional.
Solução:
Os números reais são formados pelos números racionais e irra-cionais. A soma entre dois números racionais será necessariamente um número racional. Assim, para que o resultado da soma entre dois nú-meros reais seja um número irracional, ou os dois núnú-meros devem ser
Cap. – Con Untos
irracionais, ou um dos números deve ser irracional e o outro racional. (Resposta: item certo)
CESGRANRIO/2001/Petrobras Distribuidora –Os números complexos z1; z2; z3 formam, nessa ordem, uma progressão
geométri-ca de razão i, onde i representa a unidade imaginária. Se z2 2 i,
então z1 é igual a
a) 2 i c) 1 2i
b) 2 i d) 1 2i
Solução:
z2 i z3 (Veja progressão geométrica em progressões.)
z2 z3 i 2 i i 2 i i i i (2 i) i i2 2i i2 i 1 2i ( 1) 1 1 2i 1 1 2i z1 i z2 z1 z2 i 1 2i i 1 2i i i i (1 2i) i i2 i 2i 2 1 i ( 1 2) 1 i 2 1 i 2 2 i (Resposta: letra a)
✍
PRATICANDO
1. FUNRIO/2008/CBM-RJ – Na seleção de operários da constru-ção civil, foram entrevistados 80 candidatos e constatou-se que: • 45 desses candidatos sabiam lidar com pintura;
• 50 deles sabiam lidar com instalações elétricas; • 50 sabiam lidar com instalações hidráulicas;
• 15 tinham habilidades nas três modalidades de serviço.
Todos os operários tinham habilidade em pelo menos uma das modalidades acima. Foram contratados todos os que tinham habilida-de em exatamente duas modalidahabilida-des. Nessas condições, o número habilida-de candidatos contratados foi:
a) 20 c) 35 e) 55
CESPE/2011/TRE-ES – Em uma pesquisa, 200 entrevistados foram questionados a respeito do meio de transporte que usualmente utilizam para ir ao trabalho. Os 200 entrevistados responderam à indagação e, do conjunto dessas repostas, foram obtidos os seguintes dados: – 35 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo e automóvel próprio; – 35 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo e bicicleta; – 11 pessoas afirmaram que usam automóvel próprio e bicicleta; – 5 pessoas afirmaram que usam bicicleta e vão a pé;
– 105 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo; – 30 pessoas afirmaram que só vão a pé;
– ninguém afirmou usar transporte coletivo, automóvel e bicicleta; e o número de pessoas que usam bicicleta é igual ao número de pes-soas que usam automóvel próprio.
Com base nessa situação, julgue os itens subsequentes.
2. O número de pessoas que só usam bicicleta é inferior ao número de pessoas que só usam automóvel próprio.
3. O número de pessoas que usam apenas transporte coletivo para ir ao trabalho é igual a 35.
4. O número de pessoas que usam transporte coletivo é o triplo do número de pessoas que vão a pé.
5. Caso se escolha, ao acaso, uma das pessoas entrevistadas, a probabi-lidade de essa pessoa ir para o trabalho a pé será inferior a 15%. 6. O número de pessoas que somente usam automóvel próprio é
superior ao número de pessoas que só vão ao trabalho a pé. 7. IDESPEM/2008/Prefeitura de Matias Cardoso – MG –
Tritão é o maior satélite de Netuno. Sabe-se que a sua superfície é formada por metano e nitrogênio congelados: a temperatura medi-da pela Voyager é de 235 ºC. Sobre o número citado no enuncia-do, NÃO é correto afirmar:
a) É um número que faz parte do conjunto b) É um número maior 240 ºC
Cap. – Con Untos
d) É um número real
e) É um número que faz parte do conjunto
8. CESGRANRIO/2011/Petrobras – Conversando com os 45 alunos da primeira série de um colégio, o professor de educação física verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos não jogam nem futebol nem vôlei. O número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei é
a) 5 d) 11
b) 7 e) 13
c) 9
9. NCE/2005/Secretaria da Fazenda – AM – A fração que repre-senta a dízima 3,0121212 é:
a) 301299 d) 2982990
b) 3012999 e) 2982999
c) 99993012
10. CESPE/2009/SEDUC-CE – Julgue os itens subsequentes rela-tivos a números reais.
I. √ √ 2 e √ √ 5 são, ambos, números irracionais.
II. Se u e v são números inteiros e se u2 v2, então u v.
III. Se m e n são números inteiros e se m n é um número par, então pelo menos um deles, m ou n, é um número par.
IV. Se a e b são números inteiros e se a 0, então ab é um número inteiro.
V. A dízima 0,2222... representa um número racional. Estão certos apenas os itens
a) I e IV. c) I, II e III.
11. CONESUL/2008/Correios – GO – Na equação x 26 95 1
3, com x 2, o valor de x é
a) uma dízima periódica. d) um número irracional. b) um número inteiro negativo. e) um número imaginário. c) um número natural.
12. CESGRANRIO/2001/Petrobras – Sendo i a unidade imagi-nária e escrevendo o complexo z (3 i)1 i2 na forma z a bi tem-se que a b é igual a
a) 1 c) 2
b) 1 d) 6
13. CESGRANRIO/2001/Petrobras – Os números complexos z1; z2; z3 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética e são
tais que z1 z2 z3 6 9i, onde i representa a unidade
ima-ginária. Sendo assim, (z2)2 é igual a
a) 5 d) 13 6i
b) 5 6i e) 13 12i
c) 5 12i
14. FCC/2010/TCE-SP – Sabe-se que se i é unidade imaginária do conjunto dos números complexos, então, para cada número natu-ral n, a potência in é igual a 1, i, 1 ou i. Usando essa informa-ção, é correto afirmar que a soma ∑50
n 1 i
n é igual a:
a) 0 d) 1 i
b) 1 i e) i 1
Cap. – Con Untos
CESPE/2008/TRT – 5a Região – No curso de línguas Esperanto,
os 180 alunos estudam inglês, espanhol ou grego. Sabe-se que 60 alu-nos estudam espanhol e que 40 estudam somente inglês e espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem.
15. Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês.
16. Se os alunos que estudam grego, estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando inglês do que espanhol.
17. Se os 60 alunos que estudam grego, estudam também inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando so-mente inglês do que espanhol.
CESPE/2010/TRT – 21a Região – Considere que todos os 80
alunos de uma classe foram levados para um piquenique em que foram servidos salada, cachorro-quente e frutas. Entre esses alunos, 42 come-ram salada e 50 comecome-ram frutas. Além disso, 27 alunos comecome-ram ca-chorro-quente e salada, 22 comeram salada e frutas, 38 comeram cachorro-quente e frutas e 15 comeram os três alimentos. Sabendo que cada um dos 80 alunos comeu pelo menos um dos três alimentos, julgue os próximos itens.
18. Dez alunos comeram somente salada. 19. Cinco alunos comeram somente frutas. 20. Sessenta alunos comeram cachorro-quente.
21. Quinze alunos comeram somente cachorro-quente. Gabarito:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C Certo Certo Certo Falso Falso A C D B A D C E Falso
16 17 18 19 20 21
2.
M LTIPLOS E DI ISORES
2.1. N MERO PRIMO
Um número será primo quando for divisível por nenhum outro número além de 1 e ele mesmo. Por exemplo, o número 13 só é divi-sível por 1 e por 13, portanto, é primo.
Os primeiros números primos são fáceis de serem identificados, que são 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 etc. Entretanto, para se identificar um número primo de alto valor pode-se seguir um critério. Há vários mé-todos para se reconhecer um número primo. Apresentaremos um aqui. Divide-se o número pelos primeiros números primos (2, 3, 5, 7, 11 etc.) até que:
• Ou ocorra uma divisão com resto zero. Neste caso o número não é primo.
• Ou ocorra uma divisão com quociente menor ou igual ao di-visor com o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplo: verificar se o número 79 é primo. • 79 2 quociente 39, resto 1 • 79 3 quociente 26, resto 1 • 79 4 quociente 19, resto 1 • 79 5 quociente 15, resto 4 • 79 6 quociente 13, resto 1 • 79 7 quociente 11, resto 2 • 79 8 quociente 9, resto 7 • 79 9 quociente 8, resto 7
Cap. – Múltiplose divisores
Pronto! Aqui o quociente foi menor que o divisor: 8 9. Portan-to, o número 79 é primo.
NOTA O número 1 não é número primo, pois tem apenas um divisor, que é ele mesmo. Para ser primo tem que haver 2 divisores.
2.2. FATORAÇÃO
A fatoração é um recurso da matemática que permite alterar a forma de uma expressão para facilitar os cálculos, utilizando a multi-plicação.
2.2.1. Fatoraçãoemnúmerosprimos
Todo número não primo pode ser decomposto em números pri-mos. A esta decomposição chamamos fatoração em números pripri-mos.
Para exemplificar, vamos fatorar o número 630.
• Busca-se o menor número, maior que 1, que divida o número 630 e que a divisão não tenha restos. Ou seja, que o quociente (re-sultado da divisão) seja um número inteiro. Neste caso foi o número 2. Este número encontrado para a divisão será um número primo.
• Realizada a divisão do número 630 por 2 (630 2 315), busca-se agora o menor número primo que dividirá o número 315 sem deixar restos.
• Repete-se este processo até chegar ao número 1. 630 2
315 3 630 2 315 Menor número primo que o número 630 é divisível. 105 3
35 5 7 7 1
A decomposição do número 630 em números primos será: 630 2 32 5 7.
Note que, como o número primo 3 apareceu duas vezes na fa-toração, colocamo-lo na forma de potência (3 3 32). (Veja
2.2.2. Fatorcomumemevidência
Uma forma de fatorar uma expressão é colocando-se um fator comum em evidência. Para isso, basta identificar o fator comum das partes integrantes da expressão e destacá-lo. Veja os exemplos.
x2 2x
1a parte x x 2a parte 2 x
Fator comum x
Agora colocaremos o fator comum x em destaque, fora dos pa-rênteses: x(x 2).
Perceba que se multiplicarmos o fator comum x pelos fatores internos aos parênteses, voltaremos à expressão original.
x(x 2) x x x 2 x2 2x
• 6x3 9x2 3x 3x(2x2 3x 1) Fator comum: 3x
(Veja potências e raízes.)
• x8 x2 x2(x6 1) Fator comum: x2
• 18x2 6x 12 6( 3x2 x 2) Fator comum: 6
• ab2 3a3b ab(b 3a2) Fator comum: ab
Em alguns casos, teremos grupos de fatores comuns. No primei-ro exemplo a seguir, o grupo (x y) é comum a a e b.
ax ay bx by a(x y) b(x y) (a b) (x y) x2 3x ax 3a x(x 3) a(x 3) (x a) + (x 3)
2.3. MÍNIMO M LTIPLO COMUM MMC
Observe os conjuntos a seguir. O primeiro conjunto descreve os primeiros múltiplos do número 4. Cada número do conjunto é igual ao anterior mais 4. O segundo conjunto traz os primeiros múltiplos do número 6.
{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, ...} {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ...}
Cap. – Múltiplose divisores
Perceba que alguns múltiplos de 4 coincidem com os múltiplos de 6 (12, 24, 36, 48, 60 etc.). O menor múltiplo em comum é o nú-mero 12. Este é chamado de MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM.
Através do exemplo a seguir apresentaremos uma metodologia para encontrar o menor múltiplo comum entre dois ou mais números.
MMC entre os números 15; 20 e 40:
• Busca-se o menor número maior que 1 que divida, sem deixar restos, pelo menos um dos três números (com quociente inteiro). Neste caso foi o número 2.
15; 20; 40 2
• Dividem-se os números 40 e 20 por 2 e repete-se o número 15, pois ele não é divisível por 2.
15; 20; 40 2 15; 10; 20
• Novamente o 2 é o menor número que divide pelo menos um dos três números sem deixar restos. Novamente repete-se o nú-mero 15.
15; 20; 40 2 15; 10; 20 2 15; 5; 10
• Repete-se este processo até que todos os números cheguem a 1. 15; 20; 40 2 15; 10; 20 2 15; 5; 10 2 15; 5; 5 3 5; 5; 5 5 1; 1; 1
• O MMC será o resultado da multiplicação dos números à di-reita da barra.
2 2 2 3 5 120 MMC (15; 20; 40) 120
Outra maneira de se encontrar o MMC é: • realizar a fatoração dos números desejados;
• reunir os números iguais, colocando-os sob a forma de potên-cias, e,
• em cada número fatorado, retirar os números de maior ex- poente. 20 2 10 2 22 5 5 5 1 15 3 5 5 3 5 1 40 2 20 2 23 5 10 2 5 5 1 Os números de maior expoente são: 3 23 5 120
MMC (15; 20; 40) 120
Note que quando um número aparece apenas em uma fatoração, como é o caso do número 3 que aparece na fatoração apenas do nú-mero 15, este núnú-mero deve entrar no cálculo do MMC.
DICA Os problemas que envolvem MMC, em geral, referem--se a situações cíclicas, ou seja, que ocorrem de tempo em tempo.
Por exemplo: certo evento ocorre a cada 10 dias, enquanto outro, a cada 7 dias. Estes eventos irão coincidir de tempo em tempo. E essa coincidência ocorrerá a cada período t. Este período é determinado pelo menor MMC entre 10 e 7 (MMC (10, 7) 70). (Veja o exemplo na Aplicação em concursos.)
2.4. M IMO DIvISOR COMUM MDC
Os conjuntos a seguir descrevem todos os divisores de 48 e 36, res-pectivamente. Dividindo-se 48 por qualquer elemento do primeiro con-junto o resultado será inteiro, pois todos os elementos são divisores de 48.
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Alguns divisores de 48 coincidem com os divisores de 36 (1, 2, 3, 4, 6 e 12). O maior divisor em comum é o número 12. Este é cha-mado de MÁXIMO DIVISOR COMUM.
Cap. – Múltiplose divisores
Para encontrar o máximo divisor comum (MDC) entre números primeiramente realiza-se a fatoração.
Na fatoração dividindo-se pelos menores números possíveis, maiores que 1, de forma que o resultado seja inteiro.
O produto dos fatores em comum será o MDC entre eles. MDC entre os números 18; 36 e 90. Fatorando: 36 2* 36 2* 18 2 9 3** 3 3*** 1 18 2* 18 2* 9 3** 3 3*** 1 90 2* 90 2* 45 3** 15 3*** 5 5 1
Fatores em comum: 2; 3 e 3. Note que o fator 3 é comum duas vezes.
2 3 3 18 MDC (18; 36; 90) 18
DICA Os problemas que envolvem MDC, em geral, requerem a divisão de coisas, objetos ou grupos de tamanhos diferentes em ta-manhos iguais e do “maior tamanho possível”.
Por exemplo: tem-se duas cordas, uma com 12 metros e outra com 8 metros. Deseja-se dividir ambas as cordas em tamanhos iguais, com o maior tamanho possível de maneira que não haja sobras. O tamanho que cada pedaço deverá ter será o MDC entre 12 e 8, que é igual a 4 metros. (Veja o exemplo na Aplicação em concursos.)
2.5. CRIT RIOS DE DIvISIBILIDADE
Muitas vezes precisamos saber se a divisão de um número por outro tem resto igual a zero. Ou seja, precisamos saber se um deter-minado número é divisível por outro número.
Para tal, é possível estabelecer algumas regras práticas para detec-tarmos um divisor. Ou pelo menos, a partir de um número muito grande, chega-se a um número menor, do qual é mais fácil perceber a divisibilidade. Apresentaremos algumas destas “regrinhas”.
Conhecer os principais critérios de divisibilidade auxilia, por exemplo, no procedimento de fatoração em números primos.
2.5.1. Divisibilidadepor
Um número é divisível por 2 quando ele é par. Exemplo: 2; 8; 18; 456
2.5.2. Divisibilidadepor
Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos que formam um determinado número tem que ser divisível por 3.
Exemplos:
• 54 → 5 4 9 9 é divisível por 3, então, 54 também é di-visível por 3.
• 354 → 3 5 4 12 novamente testa-se o número 12 quanto à divisibilidade por 3.
• 12 → 1 2 3 3 é divisível por ele mesmo. Assim, 354 é divisível por 3.
2.5.3. Divisibilidadepor
Para detectar um número divisível por 4 é necessário que o nú-mero formado pelos dois algarismos da direita do núnú-mero em questão seja divisível por 4, ou que o número termine em 00.
Veja os exemplos.
• 2300 → é divisível por 4, pois termina em 00;
• 6512 → é divisível por 4, pois termina em 12, que é divisível por 4.
2.5.4. Divisibilidadepor
Para ser divisível por 5 basta o número terminar em 0 ou 5. Exemplo: 5; 90; 650.
2.5.5. Divisibilidadepor
Quando um número é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, este também é divisível por 6.
Cap. – Múltiplose divisores
Confira os exemplos.
• 864 → é divisível por 2, pois é par. É divisível por 3, pois 8 4 6 18, e 18 é divisível por 3. Logo, 864 é divisível por 6.
• 82 → é divisível por 2, pois é par. Entretanto, não é divisível por 3, pois 8 2 10, e 10 não é divisível por 3. Assim, 82 não é divisí-vel por 6.
2.5.6. Divisibilidadepor
Para um número ser divisível por 8, é necessário que ele termine em 000, ou que o número formado pelos três últimos algarismos seja divisível por 8.
Exemplos:
• 1000 → é divisível por 8, pois termina em 000.
• 54064 → é divisível por 8, pois os três últimos algarismos são 064, e 64 é divisível por 8.
2.5.7. Divisibilidadepor
Semelhantemente ao que ocorre no critério de divisibilidade por 3, para reconhecer um número divisível por 9, basta a soma dos alga-rismos ser um número divisível por 9.
• 891 → 8 9 1 18 18 é divisível por 9, então, 891 é divisível por 9.
2.5.8. Divisibilidadepor
É o critério mais reconhecido. Basta o número terminar em zero que ele será divisível por 10.
Exemplo: 70; 110; 2340.
2.5.9. Divisibilidadepor
Semelhantemente ao que ocorre no critério de divisibilidade por 6, para um número ser divisível por 12 ele precisa ser divisível por 4 e 3 ao mesmo tempo.
• 876 → é divisível por 3, pois 8 7 6 21 e 21 é divisível por 3. Também 876 é divisível por 4, pois 76 é divisível por 4. Logo, 876 é divisível por 12.
2.5.10. Divisibilidadepor
É necessário que o número em questão seja divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.
• 615 → é divisível por 3, pois 6 1 5 12 e 12 é divisível por 3. Também 615 é divisível por 5, pois termina em 5. Logo, 615 é divisível por 15.
✎
APLICAÇÃO EM CONCURSOS
FUNRIO/2008/SUFRAMA – Considere os maiores valores pos-síveis para os naturais a, b e c de modo que 2a 3b 5c seja divisor de 1800. Dessa forma, a b c vale
a) 6 c) 8 e) 10
b) 7 d) 9
Solução:
O resultado de 2a 3b 5c deve ser menor ou igual a 1800, pois seu resultado é um divisor de 1800. Como se deseja que os números naturais a, b e c sejam os maiores possíveis, o resultado de 2a 3b 5c será o maior possível, ou seja, 1800, pois o maior divisor de um nú-mero é o próprio núnú-mero.
Vamos fatorar o número 1800 para escrevê-lo em forma de nú-meros com expoentes.
1800 2 900 2 450 2 225 3 1800 = 23 32 52 75 3 25 5 5 5 1
Logo, os valores de a, b e c são iguais, respectivamente, aos expo-entes encontrados na fatoração. Ou seja:
2a 23 ⇒ a 3
3b 32 ⇒ b 2
5c 52 ⇒ c 2
a b c 7 (Resposta: letra b)
Cap. – Múltiplose divisores
FUNRIO/2008/Prefeitura de Goytacazes-RJ – O mínimo múl-tiplo comum entre os números 240, 800 e N 2k 1 32 é igual a
14400. O valor de k é
a) 2 c) 4 e) 6
b) 3 d) 5
Solução:
O número N já se encontra fatorado. Iremos agora fatorar os números 240, 800 e o resultado do MMC, 14400. 800 2 400 2 200 2 100 2 25 52 50 2 25 5 5 5 1 240 2 120 2 60 2 30 2 24 3 5 15 3 5 5 1 14400 2 7200 2 3600 2 1800 2 26 32 52 900 2 450 2 225 3 75 3 25 5 5 5 1 N 2k 1 32
Vamos selecionar os números de maiores expoentes. 2k 1 32 52 26 32 52 ⇒ k 1 6 ⇒ k 5
(Resposta: letra d)
CESGRANRIO/2009/BNDES – A figura ilustra um bloco de madeira no formato de um paralelepípedo com as medidas, em cen-tímetros, das suas arestas. Esse bloco é dividido em cubos, todos do mesmo tamanho, de modo que a medida das arestas desses cubos seja a maior possível. Sabendo-se que, nos cubos, as arestas têm a mesma medida e que, após a divisão, não há sobra de madeira, a quantidade de cubos obtidos é a) 18 d) 48 b) 24 e) 60 c) 30 12 30 18
Solução:
Para que a medida das arestas dos cubos seja a maior possível é necessário encontrar o MDC das medidas do paralelepípedo.
MDC (12; 18; 30) 6
Logo, cada aresta do paralelepípedo será dividida de forma que cada cubo tenha arestas de tamanho 6.
• 18 6 3 três cubos de tamanho 6 • 30 6 5 cinco cubos de tamanho 6 • 12 6 2 dois cubos de tamanho 6
Serão trinta (3 5 2 30) cubos ao todo. (Resposta: letra c)
✍
PRATICANDO
CESPE/2011/STM – Acerca dos conjuntos A {6, 8, 10, 12} e B {4, 6, 10}, julgue os seguintes itens:
1. O mínimo múltiplo comum dos elementos do conjunto A/B {x A; x B} é múltiplo de 5.
2. O máximo divisor comum dos elementos do conjunto A B é um número primo.
3. CESGRANRIO/2008/Caixa Econômica Federal – A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i% ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
4. FUNRIO/2008/Prefeitura de Coronel Fabriciano-MG – A soma dos divisores positivos de 36 é:
a) 83 d) 89
b) 85 e) 91
Cap. – Múltiplose divisores
5. FUNRIO/2008/Prefeitura de Goytacazes-RJ – O máximo divisor comum entre os números 350 e N 27 3k 11 é igual a
24. O valor de k é
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
6. FUNRIO/2008/Prefeitura de Goytacazes-RJ – Dois números inteiros positivos têm soma igual a 90 e máximo divisor comum igual a 10. Se o produto desses números é o menor possível, este produto é igual a
a) 600 d) 750
b) 650 e) 800
c) 700
7. CAIPIMES/2007/São Paulo Turismo – Ao dividir-se 18 por um número natural, obteve-se um quociente 7 unidades menor que o divisor, então esse divisor é:
a) 9 c) 2
b) 2 d) 9
8. IPAD/2006/PM – Buíque – Sejam os divisores positivos de 30. Sorteando um deles ao acaso, a probabilidade de sair um múltiplo de 6 é de:
a) 60% d) 25%
b) 50% e) 15%
c) 30%
CESPE/2007/PM de Limeira – Com relação a fatoração e di-visibilidade, cada um dos itens subsequentes apresenta um conjunto de informações hipotéticas ou não, seguida de uma assertiva a ser julgada.
9. Menor número natural que é um quadrado perfeito e cuja decom-posição em fatores primos é da forma 26 5m 7n, em que m e n são números naturais estritamente positivos, é o número 4.900. 10. Na divisão de um número natural D por 12, o resto é o maior
possível e a diferença entre D e o quociente Q é igual a 66. Nes-se caso, é correto afirmar que a soma D Q é igual a 78. 11. NCE/2007/ANAC – Analise as afirmativas a seguir:
I – Se um número N é múltiplo de dois números naturais p e q, então N é múltiplo de p.q.
II – Se N é um múltiplo de 3 então a soma de seus algarismos é um múltiplo de 3.
III – Se o resto da divisão de um número N por 5 é 3, então o último algarismo de N é 8.
IV – Se N é divisor de dois números naturais p e q então N2 é divisor de p.q. Estão corretas as afirmativas:
a) I e II, apenas; d) II, III e IV, apenas; b) I, II e III, apenas; e) I, II, III e IV. c) I, II e IV, apenas;
12. CESPE/2008/UEPA – Acerca de números naturais, assinale a opção correta.
a) Em determinado país da América Latina as eleições presidenciais acontecem de 8 em 8 anos, as eleições para governadores das pro-víncias, de 6 em 6 anos e para prefeitos dos municípios, de 4 em 4 anos. Neste ano de 2008 acontecerão as eleições para os 3 cargos. Dessa forma, depois desse ano, a próxima vez que novamente as eleições se realizarão em um mesmo ano será em 2024.
b) Considere que A e B sejam números naturais e que B seja múltiplo de A. Nesse caso, o MDC entre A e B é o maior deles e o MMC entre A e B é o menor deles.
c) Na divisão não exata de dois números naturais D e d, o quociente é q e o resto é r. Se D 1 é divisível por d, então o resto r é o maior possível, isto é, r d 1.
Cap. – Múltiplose divisores
d) Na divisão não exata de dois números naturais, a soma do quocien-te com o divisor é igual a 42, o quocienquocien-te é o quíntuplo do divisor e o resto é o maior possível. Nesse caso, o dividendo é um número inferior a 250.
13. CESGRANRIO/2008/Caixa Econômica Federal – Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000?
a) 90 c) 220 e) 232
b) 142 d) 229
14. FCC/2010/TCE – Sabe-se que N é o menor número inteiro positivo que multiplicado por 7 resulta em um número inteiro cujos algarismos são todos iguais a 2. Nessas condições, é correto afirmar que
a) N 30 000 b) N é múltiplo de 11
c) produto dos algarismos que compõem N é 514 d) a soma dos algarismos que compõem N é 20 e) N 40 000
15. FCC/2011/TRT – 14a Região – Seja N um número inteiro e
positivo que multiplicado por 7 resulta em número composto apenas por algarismos iguais a 2. Assim sendo, a soma de todos os algarismos que compõem N é igual a
a) 12 c) 21 e) 27
b) 15 d) 24
16. FCC/2010/TRT – 12a Região – Sejam x e y números inteiros e
positivos tais que a fração xy é irredutível, ou seja, o máximo divisor comum de x e y é 1. Se xy 0,00125 100,75 10 8 4, então x y é igual a
a) 53 c) 26 e) 8
17. FCC/2011/TRT – 24a Região – Sabe-se que Vitor e Valentina
trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se no último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de regula-ridade, uma nova coincidência de datas de seus plantões em 2011, com certeza, NÃO ocorrerá em
a) 18 de janeiro. b) 10 de fevereiro. c) 31 de março. d) 24 de abril. e) 18 de maio. Gabarito: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Falso Certo A E A E D D Falso Falso C C C B C
16 17
Cap. – ra ãoe proporção
3.
RA
O E PROPOR
O
A razão entre dois números é obtida pela simples divisão entre eles. É uma forma de se comparar duas grandezas. Por exemplo, a razão entre os números 30 e 6 é 5, pois 306 5.
Se em uma sala de aula existem 15 meninas e 10 meninos, a razão entre meninas e meninos é de 1015, ou seja, simplificando a fração, 32. O que significa dizer que a cada 3 meninas há 2 meninos.
NOTA A razão entre duas grandezas de mesma espécie não possui unidade de medida. A razão entre duas grandezas de espécies diferentes possui unidade de medida.
Por exemplo, a largura de uma sala é de 6 metros, enquanto a altura é de 3 metros. A razão entre a largura e a altura é 2, sem o uso de unidade, pois trata-se de duas medidas de comprimento. Se uma medida fosse dada em metros e a outra em centímetro, por exemplo, seria necessário converter uma das duas medidas, antes de realizar a divisão para encontrar a razão. (Veja unidades de medida.)
Por outro lado, razão entre uma distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la necessita de uma unidade para defini-la. A ve-locidade de 100 km/h é a razão entre 100 km (unidade de compri-mento) percorridos em 1 hora (unidade de tempo).
Quando duas ou mais grandezas possuem uma razão em comum dizemos que são proporcionais. Por exemplo, a distância percorrida em 2 horas de viagem pode ser proporcional à distância percorrida em 5 horas de viagem. Para que isso ocorra, basta que haja uma razão em comum. Neste caso, a razão é a velocidade.
3.1. GRANDE AS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, aumen-tando-se uma, aumenta-se a outra, diminuindo-se uma, diminui-se a outra.
Por exemplo: Um carro consome 10 litros de gasolina por qui-lômetro rodado. As duas grandezas, quantidade de gasolina e distância percorrida, são diretamente proporcionais, pois, aumentando-se a distância percorrida, aumenta-se a quantidade de gasolina gasta. Di-minuindo-se a distância, diminui-se o gasto de gasolina.
3.2. GRANDE AS INvERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumen-tando-se uma, diminui-se a outra e vice-versa.
Por exemplo: Um carro viaja a 120 km/h e chega a seu destino em 2 horas. As duas grandezas, velocidade e tempo, são inversamente proporcionais, pois, aumentando-se a velocidade, diminui-se o tempo. Diminuindo-se a velocidade, aumenta-se o tempo. Perceba que neste caso a distância é fixa, pois é ela a razão entre a velocidade e o tempo.
3.3. REGRA DE TR S SIMPLES
Para realizar uma regra de três, primeiramente é preciso agrupar os parâmetros da mesma espécie (tempo, área, comprimento, peças, velocidade etc) em colunas. Nas linhas, ficarão os parâmetros de espé-cies diferentes em correspondência. Em seguida, é necessário identi-ficar se os parâmetros são diretamente ou inversamente proporcionais. Se forem inversamente proporcionais, basta inverter a fração. Depois disto, basta multiplicar os termos “cruzados”.
Veja os exemplos.
Certa máquina é capaz de produzir 21 fraldas descartáveis em 3 minutos. Qual seria a produção em 10 minutos?
