Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 1
ATIVIDADES DE ENSINO PARA ABORDAGEM DA COMBINATÓRIA E DA PROBABILIDADE NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Antonio Carlos de Souza Universidade Cruzeiro do Sul tonas@ig.com.br Celi Aparecida Espasandin Lopes
Universidade Cruzeiro do Sul celilopes@uol.com.br
Débora de Oliveira Universidade Cruzeiro do Sul deboradeoliveira@gmail.com
Nilton de Freitas Universidade Cruzeiro do Sul nilton@n3d.com.br Resumo: Este minicurso tem por objetivo discutir com os professores e futuros
professores, que ensinam ou ensinaram Matemática na Educação Infantil, no Ensino Fundamental e/ou Ensino Médio, a importância da realização de problemas de simulação, experimentos e uso de software para promover o desenvolvimento do raciocínio combinatório e o pensamento probabilísticos dos alunos da Educação Básica.
Palavras-chave: Combinatória; Probabilidade; Resolução de Problemas; Educação
Básica.
Introdução
Se o ensino de Matemática se deve ocupar mais de uma forma de pensar do que de uma forma de escrever fórmulas ou numerais, se o ensino da Matemática se deve ocupar mais da tomada consciente de decisões do que do estrito cálculo, então a teoria das probabilidades é fundamental. (BERNARDES, 1987, p. 13).
A importância e relevância de enfocar a combinatória e probabilidade neste trabalho deve-se ao fato dos currículos de Matemática, na maioria dos países, recomendarem o ensino desses temas a partir do início da escolaridade dos estudantes. Tradicionalmente esses temas eram abordados apenas no Ensino Médio e na maioria das vezes restrito a um ensino centrado em fórmulas e regras, sem a devida problematização e sem interfaces com outras áreas do conhecimento humano.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 2 O desenvolvimento do raciocínio combinatório requer muito mais do que apenas classificar os problemas em permutação, arranjo ou combinação. Sua importância deve-se ao fato de ele modelar uma situação na qual há várias possibilidades de construção de agrupamentos, de caminhos, fornecendo um tipo específico de interpretação quando se devem levar em conta os resultados possíveis para cada um desses agrupamentos ou caminhos. Esta forma de pensar é importante na vida das pessoas, porque lhes permite analisar as situações de decisão quando envolvem mais de uma possibilidade de resultado final do processo e suas possíveis ramificações, como consequência. (LOPES; COUTINHO, 2009, p. 62).
Dessa forma, a combinatória não deve ser considerada somente como um ramo da ciência Matemática, pois ela está relacionada com quase todas as formas de conhecimento úteis nas quais a mente humana pode envolver-se. Ela estuda o número de associações entre determinadas variáveis e nos permite evidenciar o número de possibilidades existentes em um determinado acontecimento.
As operações combinatórias permitem desenvolver métodos para determinar os arranjos e combinações possíveis ao considerarmos o número de casos em um evento. Para isso, precisamos possibilitar aos alunos a resolução de problemas de contagem, organizando tabelas ou árvore de possibilidades sobre os elementos que se deseje combinar.
Da mesma forma, desenvolver o pensamento probabilístico implica que as pessoas sejam capazes de fazer julgamentos sobre acontecimentos incertos. O desenvolvimento do raciocínio sobre o acaso implica que realizem um grande número de experiências e simulem situações envolvendo probabilidades. O cálculo teórico da probabilidade deve ser precedido e relacionado com a sua determinação experimental ou empírica. Precisamos aprender a raciocinar logicamente sobre as diversas formas de acaso, e perceber que o grau de certeza ou incerteza varia à medida que se obtêm mais dados. A construção de intuições a partir de experiências reais é fundamental para um desenvolvimento posterior do raciocínio formal no estudo das probabilidades.
A teoria das probabilidades tem o objetivo de criar, elaborar e pesquisar modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. É necessário que os alunos adquiram a clareza de qua ao falarmos em probabilidade estaremos aferindo uma medida de chance a um certo experimento.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 3 Para isso, é preciso que o estudo probabilístico seja iniciado nos primeiros anos de escolarização, por meio da realização e da observação de experimentos aleatórios, sem preocupação com a formalização do conceito. (LOPES; COUTINHO, 2009, p. 63).
A articulação com a Estatística pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento probabilístico, uma vez que trabalha com a problematização, a realização do experimento, a coleta e a organização dos dados, antes de sua interpretação em termos de uso das frequências relativas como estimativas dos valores de probabilidade do evento que se pode observar.
Em sua pesquisa de mestrado, realizada a partir de um projeto estatístico desenvolvido com um grupo de alunos de Educação Infantil, Souza (2007) verificou em alguns alunos a capacidade de fazer inferências diante da incerteza do acontecimento de eventos, como determinar o melhor meio de transporte a ser utilizado para deslocamento no trajeto “casa-escola”, bem como precisar o nome ou o tamanho da escola de destino após o término da Educação Infantil.
Quando pensamos situações do dia-a-dia em que estão presentes fenômenos aleatórios, quer no mundo físico quer no social, verificamos não ser fácil ter situações concretas para demonstrar um fenômeno aleatório a uma criança, uma vez que uma situação ocorrida já não comporta mais uma incerteza, pois já tem um resultado estabelecido e bem definido. É preciso planejar atividades que partam de experiências próximas das crianças, em que a interação com o professor é fundamental, como acontece com a exploração de situações baseadas na literatura infantil, por meio da qual é possível por meio do diálogo abordar naturalmente noções probabilísticas. (LOPES 2003; AZCÁRATE, 1996).
Quando pensamos na complexidade do pensamento probabilístico, facilmente aceitamos, ou deveríamos aceitar, que ele não pode ser trabalhado segundo práticas tradicionais de sala de aula nem tampouco ensinado de modo convencional. (LOPES; COUTINHO, 2009, p. 72).
Assim, mais do que saber definições, importa saber lidar com os conceitos em situações concretas: realização efetiva de um experimento ou observação efetiva de um fenômeno, utilizando-se para isso de contextos variados. (CARVALHO 2001; COUTINHO, 2001).
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O Ensino da Combinatória e Probabilidade através da Resolução de Problemas
A resolução de problemas é o princípio norteador da aprendizagem da Matemática. No início da escolaridade ela deve valer-se de situações lúdicas que promovam o pensar da criança sobre problemáticas do seu universo infantil.
É preciso entender que problema não é um exercício de aplicação de conceitos recém trabalhados, mas o desenvolvimento de uma situação que envolve interpretação e estabelecimento de uma estratégia para a resolução. Pozo (1998) considera que trabalhar problema em Matemática significa colocar em ação certas capacidades de inferência e de raciocínio geral.
Para Ernest (1998), a perspectiva do trabalho em classe de Matemática, a partir da formulação e resolução de problemas, desencadeia as seguintes consequências para a educação: 1) a Matemática escolar para todos deve estar essencialmente relacionada com a formulação e resolução de problemas; 2) a inquirição1 e a investigação devem ocupar um lugar central no currículo de Matemática; 3) o fato de a Matemática ser uma construção falível e em permanente evolução deve ser explicitamente aceito e incorporado no currículo; 4) a pedagogia utilizada deve ser centrada nos processos e na inquirição, caso contrário, existe contradição com as implicações anteriores.
A responsabilidade do professor em atividades de resolução de problemas em uma perspectiva emancipadora aumenta, uma vez que, segundo Ernest (1998), este professor passa a contribuir para que o aluno assuma uma postura de investigação (inquirição) e de matemática para todos passe para matemática por todos.
Um dos grandes problemas apontados pelos professores atualmente, quanto ao trabalho com a resolução de problemas com base nas etapas da heurística de resolução de problemas, refere-se ao tempo dispensado para tal, justificando que este tempo gasto comprometeria a lista de conteúdos feitas no planejamento escolar. Para tanto, as pesquisas demonstram que as aulas com uma abordagem conteudista não atingem a todos os alunos e não propiciam o pensar sobre o saber fazer matemático, ainda mais, os alunos não são levados a justificar sua forma de pensar nem tampouco comunicar suas idéias. (ERNEST, 1998).
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Na tradução do texto, inquirição equivale em português “inquiry”, segundo Houaiss e Villar (2001) inquirir é: fazer perguntas, interrogar, perguntar, indagar, pesquisar, investigar.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 5 Analisando estes aspectos, Ernest (1998) propõe a pedagogia de formulação e resolução de problemas em que o professor pode usar as “brechas” do sistema educacional, visto que no Currículo Nacional não está declarado qual pedagogia usar.
(...) este fato abre uma „janela de oportunidades‟. Uma pedagogia de formulação de problemas, baseada numa filosofia matemática apropriada, pode cumprir aquilo que é oficialmente obrigatório e ser ao mesmo tempo emancipadora. Desde que o conteúdo curricular seja encarado em termos de uma epistemologia social-construtivista, ou pelo menos absolutista progressiva, esta filosofia pode refletir-se na abordagem pedagógica adotada (p. 41).
Acreditamos que a proposta de uma pedagogia de formulação e resolução de problemas, tendo em vista que os alunos são colocados em atividade em termos de uma epistemologia social-construtivista2, caracterizando uma postura emancipadora, permitindo
atingir os objetivos sociais mais importantes da educação matemática. Estes objetivos incluem a realização do potencial dos indivíduos como seres humanos, um passo para uma maior consciência das questões sociais e da necessidade da mudança social, e para a luta contra a injustiça, especialmente o racismo e o sexismo. (ERNEST, 1998, p. 46).
Por isso, não faz sentido trabalharmos atividades envolvendo conceitos da combinatória ou da probabilidade que não estejam vinculados a uma problemática. Os currículos de Matemática, de forma geral, têm destacado a importância de se possibilitar aos alunos o confronto com situações que envolvam as idéias de acaso e de aleatório, a fim de não se reduzir o ensino desta ao verdadeiro e falso de suas proposições.
O desenvolvimento do raciocínio combinatório e do pensamento probabilístico pode efetivar as potencialidades formativas da disciplina de Matemática, pois possibilita uma ruptura com uma perspectiva deterministica. Rompe com a tradição da exatidão no cálculo, favorece a exploração de situações que envolvam aproximação, aleatoriedade e estimação, as quais permitem ao aluno ampliar sua visão matemática.
2 Segundo Ernest (1998), a epistemologia social-construtivista é uma reflexão sobre o conhecimento humano que “identifica a matemática como sendo uma instituição social que resulta da formulação e resolução de problemas pelo Homem” (p. 25).
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 6 O ensino e a aprendizagem da análise combinatória precisam superar a aplicação de fórmulas para permutações, arranjos e combinações, passando ao trabalho de modelagem necessário para o reconhecimento de configurações, de esquemas multiplicativos a serem mobilizados para a resolução do problema proposto. Destacamos, então, a necessária abordagem dos processos sobre a resolução dos diversos tipos de registros pelos quais os alunos possam explicar suas estratégias de resolução: esquemas, árvores de possibilidades, enumeração (necessária para a introdução a esse tipo de raciocínio), entre outros. (LOPES; COUTINHO, 2009, p. 63).
Godino et al (1996) apontam uma razão do tipo social para defender a educação da intuição probabilística no Ensino Fundamental, que é tornar os alunos conscientes da natureza probabilística de distintos jogos de azar (loterias, máquinas caça-níqueis, bingos, etc...), jogos que são magníficos negócios para os que os promovem e um risco desproporcional de perder dinheiro para quem aposta. Eles questionam se é racional um homem ou uma mulher expor seus bens a uma casualidade tão pouco favorável para si.
Compreender o significado de expressões nas quais estejam presentes as noções probabilísticas faz hoje parte da competência matemática que todos devem desenvolver para serem cidadãos críticos e participativos. (LOPES; COUTINHO, 2009, p. 74).
Para auxiliar nesta compreensão consideramos a inserção de atividades envolvendo tecnologia virtual a qual auxilia a construção dos significados da combinatória e da probabilidade por meio dos Objetos de Aprendizagem Híbridos, contribuindo para desfazer e refazer as ecologias cognitivas e as tecnologias intelectuais (LÉVY, 1993). Neste trabalho se articula a tecnologia intelectual à outros recursos pedagógicos visando ampliar o olhar docente sobre um conteúdo matemático sendo abordado de diferentes formas e em diferentes contextos, ou seja, físico e virtual.
Nesta perspectiva, tem-se um trabalho crítico e reflexivo com a Combinatória e a Probabilidade possibilitando ao estudante um repensar sobre seu modo de ver a vida, contribuindo para sua leitura de mundo em uma perspectiva mais crítica e científica.
Assim, consideramos que o estudo da combinatória e da probabilidade a partir da Educação Infantil é essencial à formação do aluno.
Frente a esses pressupostos teóricos apresentamos uma proposta de desenvolvimento para o minicurso.
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Proposta de desenvolvimento do minicurso
Este minicurso é dirigido educadores matemáticos que atuam na Educação Infantil, no Ensino Fundamental e Médio e propõe-se discutir questões teórica-metodológica no que se refere ao ensino e aprendizagem da análise combinatória e da probabilidade.
Trata-se de um trabalho centrado na resolução de problemas via realização de simulações, experimentos e recursos tecnológicos.
Serão desenvolvidas as seguintes etapas:
1. Discussão teórica-metodológica sobre o ensino de Probabilidade e Combinatória. 2. Apresentação e discussão de recortes de uma a pesquisa de mestrado abordando a Educação Estatística na Educação Infantil. (SOUZA, 2007).
3. Realização e discussão de experimentos e simulações com material manipulativo para a abordagem da Probabilidade e Combinatória (sorteio das fichas, jogo da soma, jogo do produto, ordenação de frases a partir da Probabilidade de eventos, jogo das roupas). 4. Utilização e discussão do OA (Objeto de Aprendizagem) denominado “Possível ou Impossível” e com escopo direcionado as possibilidades para a análise de um determinado evento.
5. Utilização e discussão do OA denominado “Menino e menina vestir”, conduz por meio da simulação a possibilidade certa do número de combinações.
Após a realização dessas etapas haverá um fechamento com uma análise crítica a ser realizada pelos participantes sobre as atividades desenvolvidas.
Referências
AZCÁRATE, Pilar. Estudio de las concepciones disciplinares de futuros profesores de primaria en torno de las nociones de aleatoriedad y probabilidad. Granada: Comares, 1996.
CARVALHO, Carolina. Interação entre pares: contributos para a promoção do desenvolvimento lógico e do desempenho estatístico, no 7º ano de escolaridade. Tese (Doutorado) – Universidade de Lisboa, Lisboa, 2001.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Minicurso 8 COUTINHO, Cileda Q. S. Introduction aux situations aléatoires dès le Collège: de la modèlisation à la simulation d‟expériences de Bernoulli dans l‟environnement informatique Cabri-géomètre II, Université Joseph Fourier, Grenoble I, França, 2001. ERNEST, Paul. Investigações, resolução de problemas e pedagogia. In: ABRANTES, Paulo; LEAL, Leonor da Cunha; PONTE, João Pedro (Orgs.). Investigar para aprender matemática. Lisboa, 1998, p. 25-48.
GODINO, Juan. D., BATANERO, M. Carmen. CAÑIZARES, M. Jesus. Azar y
Probabilidad. Madrid: Sínteses, 1996.
LÉVY, Pierre. As Tecnologias da Inteligência: o futuro do pensamento na era da
informática. 15ª ed. Rio de Janeiro: Ed.34, Trad. de Carlos Irineu da Costa, 1993.
LOPES, Celi E. O Conhecimento Profissional dos professores e suas relações com
Estatística e Probabilidade na Educação Infantil. Tese de Doutorado. Campinas/SP:
FE/UNICAMP, 2003.
LOPES, Celi E. e COUTINHO, Cileda Q. S. Leitura e escrita em educação estatística. In: LOPES, Celi E. e NACARATO, Adair M. (orgs.). Educação matemática, leitura e escrita: armadilhas, utopias e realidade. Campinas, SP: Mercado das Letras, 2009. POZO, Juan. I. A solução de problemas – aprender a resolver, resolver a para
aprender. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998.
SOUZA, A. C. A Educação Estatística na Infância. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade Cruzeiro do Sul. São Paulo, 2007.
